Исследование одного класса точных решений в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Направахрукописи

Савушкин Александр Юрьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Специальность 01.01.02 —дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Волгоградской академии государственной службы

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Харламов Михаил Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Зотьев Дмитрий Борисович

Ведущая организация: Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится 7 декабря 2004 г. в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 по физико-математическим наукам в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ВГУ. Автореферат разослан «_2_» ноября 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Ю.Е. Гликлих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела с неподвижной точкой является одной из центральных задач аналитической механики, более 250 лет привлекающей внимание исследователей простотой описывающих ее дифференциальных уравнений и одновременно принципиальной их неинтегрируемостью в целом. В классической задаче о движении тела в поле силы тяжести без ограничений на начальные условия известны случаи интегрируемости Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Первые два полностью изучены: получены аналитические решения в виде эллиптических функций времени, выполнен полный качественный анализ топологии фазового пространства. Случай Ковалевской существенно более сложен. Разделение переменных и выражение основных динамических характеристик в виде гиперэллиптических функций времени, полученные С. В. Ковалевской и усовершенствованные Ф. Кёттером, не дали реального представления о поведении фазовых траекторий. Аналитические исследования решений и их соответствующая классификация были проведены Г. Г. Аппельротом, А. Ф. Ипатовым, А. И. Докшевичем. Много работ посвящено геометрической визуализации движений волчка Ковалевской (Н. Е. Жуковский, П. В. Харламов, В. И. Коваль, А. М. Ковалев, А. Я. Савченко, Г. В. Мозалевская, И. Н. Гашененко и другие). Новое направление в этой задаче возникло в результате исследований М. П. Харламова фазовой топологии классических интегрируемых задач динамики твердого тела. В случае Ковалевской им было построено бифуркационное множество первых интегралов в инволюции и описана топология слоев пятимерного фазового пространства уравнений Эйлера - Пуассона, включая все виды их бифуркаций. В работе А. В. Болсинова, П. Рихтера, А. Т. Фоменко эти исследования получили дальнейшее развитие — полностью изучены возникающие в окрестности узловых точек бифуркационной диаграммы трехмерные инвариантные многообразия, расслоенные на торы Лиувилля.

Обобщение случая Ковалевской на задачу о движении твердого тела в двойном силовом поле (физический аналог — массивное заряженное тело в гравитационном и электрическом полях) найдено в работах О. И. Богоявленского, А. И. Бобенко, А. Г. Реймана, М. А. Семенова-Тян-Шанского. В предположении, что центры масс и заряда (далее называемые

«

центрами оснащенности) лежат на взаимно ортогональных осях в экваториальной плоскости тела, указаны, в дополнение к интегралу энергии, обобщенный интеграл Ковалевской — Богоявленского1 и еще один независимый интеграл2, обобщающий интеграл площадей классической осесим-метричной задачи. Таким образом, доказана полная интегрируемость задачи по Лиувиллю. Однако ввиду крайней сложности намечен лишь общий путь сведения задачи к квадратурам, но явных выкладок не приводится. В качестве первого подхода к общему случаю целесообразно изучить в структуре шестимерного фазового пространства возможность существования четырехмерных инвариантных подмножеств, на которых индуцированная система была бы устроена как гамильтонова система с двумя степенями свободы. Одна из таких систем была указана О. И. Богоявленским и полностью изучена Д. Б. Зотьевым. Другая найдена М. П. Харламовым3. Им введены функции определенные на открытом всюду плотном

подмножестве шестимерного фазового пространства, такие, что система уравнений

задает подмножество, локально инвариантное относительно фазового потока, на котором независимы два из трех общих интегралов задачи.

Исследование динамической системы на множестве (1) (далее обозначаемом как является актуальной задачей в рамках первого этапа программы изучения фазовой топологии реальных механических систем с тремя степенями свободы.

Цель работы:

- изучение свойств динамической системы на N4 (гамильтоно-вость, наличие полного инволютивного набора интегралов, бифуркационные диаграммы);

1 Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики / О.И.Богоявленский // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1984.- 48, № 5.- С. 883-938.

2 Bobenko, A. I. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions / A.I. Bobenko, A.G. Reyman, MA. Semenov-Tian-Shansky // Commun. Math. Phys. - 1989. - 122,N2.-P. 321-354.

3 Харламов, М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле / М.П. Харламов // Механика

твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 32-38.

— аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение волчка Ковалевской в двойном силовом поле, с начальными условиями на классификация решений по аналитическим и механическим признакам;

— исследование фазовой топологии системы на ЛГ4.

Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на аналитических и качественных методах теории дифференциальных уравнений с привлечением методов дифференциальной топологии. Также используются методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем.

Научная новизна:

1. Показано, что замкнутое инвариантное подмножество ^У4 определено в фазовом пространстве уравнений Эйлера - Пуассона глобально, независимо от особенностей функций, входящих в (1). В окрестности почти всех своих точек является симплектическим многообразием размерности 4, а индуцированная на нем динамическая система почти всюду гамильтонова с двумя степенями свободы. Указаны два новых первых интеграла в инволюции М,Ь системьЩ^ункциями которых в точках является любой общий интеграл. Построено бифуркационное множество пар интегралов

2. Дифференциальные уравнения, определяющие динамику системы сведены к двум независимым дифференциальным уравнениям первого

порядка относительно вспомогательных переменных

где Р, - многочлены 4-й степени по соответствующей переменной , зависящие от постоянных выбранной пары интегралов Все фазовые переменные задачи выражены через в конечном виде. Тем самым осугцествлено разделение переменных.

3. Получено аналитическое решение системы на Л''4. В явном виде выполнена процедура интегрирования уравнений динамики индуцированной системы на Ы*, получены решения в эллиптических функциях Якоби. Проведена аналитическая классификация решений в зависимости от по-

стоянных интегралов т,1. В роли дискриминантного множества выступает соответствующая бифуркационная диаграмма.

4. Выполнено исследование фазовой топологии гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, возникающей на Ы*: установлено количество торов Лиувилля в составе регулярных интегральных многообразий; получено описание движений, состоящих из критических точек интегрального отображения; указаны критические интегральные поверхности, определяющие характер бифуркаций торов Лиувилля.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Дано полное аналитическое решение и выполнен топологический анализ гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, описывающей класс движений волчка Ковалевской в двойном силовом поле, играющий важную роль в проблеме исследования задачи в целом.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе - 2004 (Воронеж, 2004); Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2004); Пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН5, Великие Луки, 2004); семинаре кафедры математического моделирования ВГУ.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [6]. Из совместных публикаций [1,2,4] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы ( 66 наим.) и двух приложений с компьютерными иллюстрациями. Основная часть работы изложена на 116 стр., содержит 13 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержатся: краткий обзор работ по теме диссертации, формулируется общая постановка задачи, и перечисляются основные результаты.

В первой главе дано определение класса движений волчка Ковалевской в двойном силовом поле, являющегося основным в данной работе,

и обсуждается его место в общей задаче и связи с классическими исследованиями.

В п. 1.1 обсуждаются различные формы уравнений движения волчка типа Ковалевской в двойном силовом поле (О.И. Богоявленский, Х.М. Яхья, А.Г. Рейман - М.А. Семенов-Тян-Шанский). Задача характеризуется соотношениями СВ. Ковалевской на главные моменты инерции в закрепленной точке

и силовой функцией вида

(е„а)+(е2,Э), (3)

где е,,е2 — векторы, фиксированные в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (радиус-векторы центров оснащенности), а а,р — неподвижные векторы в инерциальном пространстве (направляющие, или характеристические, векторы силовых полей).

Показано, что все соответствующие системы математически эквивалентны и линейной заменой переменных с постоянными коэффициентами, предложенной М.П. Харламовым (2004) для произвольного осесим-метричного волчка, сводятся к случаю движения тела в поле сил вида (3), но с упрощающими условиями |е,| = 1, |е2| = 1, е, ± е2, а ± р. При этом преобразовании сохраняются плоскости, содержащие пары векторов {е,,е2} в теле и в инерциальном пространстве. В частности, для волчка

Ковалевской сохраняется условие принадлежности центров

оснащенности экваториальной плоскости, а триэдр остается

главным для тензора инерции.

В результате система уравнений, описывающая движение волчка Ковалевской в двойном силовом поле, без ограничения общности может быть представлена в виде:

2ю," = со2ю3 +Р3,2ю2* = —01,0)3 -аэ.®з" =а2

а," =а2со3-а3<в2, р," =Р2со3-рзш2, (123)

где конфигурационная группа переменных удовлетворяет ограничениям

Известно (Х.М. Яхья), что при одновременном выполнении условий |а| = |р|, а X Р существует дополнительный циклический интеграл, и порядок системы понижается по Раусу. Поэтому после ортогонализации силовых полей задача, не сводимая к системе с двумя степенями свободы, возникает при а±Ъ. Далее для определенности предполагается, что а>Ь. Фазовое пространство полученной системы обозначим через Ш6. Оно канонически диффеоморфно касательному расслоению группы 50(3).

В п. 1.2 приводится постановка задачи об отыскании случаев интегрируемости по Якоби системы (4)-(5), кратко излагаются имеющие отношение к этой задаче результаты О. И. Богоявленского, М. П. Харламова, приводятся инвариантные соотношения с учетом упрощений в результате ортогонализации силовых полей.

В п. 1.3 показано, что при Р = О (классический случай Ковалевской) основное множество факторизуемо по действию группы вращений вокруг вертикали и его фактор-множеством является совокупность особо замечательных движений 2-го и 3-го классов Аппельрота, в то время как случай Богоявленского обращается в совокупность движений 1-го класса Аппельрота. В результате установлены и классы движений волчка в поле силы тяжести, получившие обобщение на двойное поле.

Во второй главе изучаются общие свойства класса Лг4.

Строго говоря, система инвариантных соотношений (1) не полностью описывает замкнутое инвариантное подмножество фазового пространства. Ввиду того, что функции определены не всюду на существуют траектории, начинающиеся на множестве (1) и покидающие область определения Р1,Рг за конечное время.

В п. 2.1 доказано, что инвариантное замыкание множества, введенного М. П. Харламовым, является множеством критических точек нулевого уровня гладкой функции

где Н - интеграл энергии, К - интеграл Ковалевской - Богоявленского, в - интеграл А.И. Бобенко - А.Г. Реймана - М.А. Семенова-Тянь-Шаньского. Как следствие этого инвариантного определения доказано, что является гладким четырехмерным многообразием всюду за исключением явно указанного подмножества коразмерности один.

В п. 2.2 изучается ограничение на N4 симплектической структуры фазового пространства Ш6. Показано, что эта замкнутая 2-форма невырождена всюду, за исключением подмножества, определенного уравнением вида L = 0, где L — функция на N*, пропорциональная скобке Пуассона функций, участвующих в определении (1):

В частности, отсюда следует, что система на N4 является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы. Доказано, что функция L является ее первым интегралом, находящимся в инволюции с комбинированным первым интегралом М исходной системы, определенным как М = [2G-(a2 +Ь2)Н]/(а2-Ъ2)1.

Установлено имеющее место в точках N4 тождество

1} = 2 (а2 +Ь2)М2+ 2 HM +1, (6)

которое порождает почти всюду невырожденное соответствие между любой парой интегралов из набора

В п. 2.3 построено бифуркационное множество интегрального отображения (которое полностью определяет, в силу приведенных явных соотношений, и бифуркационное множество любой другой пары интегралов, рассматриваемых на N*).

Положим

Теорема. Бифуркационная диаграмма интегралов М,Н на многообразии N4 состоитизследующиходномерныхмножеств:

2р2т2 +2Am+'l = 0~" inS0.

При этом область существования движений определяется системой неравенств:

h+(a + b)>\r2m-(a-b)|, 2р2т2 + 2йти+1£0.

Диаграмма приведена на рис. 1. В областях, помеченных звездочкой, действительных движений не существует.

На рис. 2 показана бифуркационная диаграмма пары М, Ь в верхней полуплоскости, устанавливаемая с помощью тождества (6). Одинаковыми цифрами отмечены соответствующие друг другу регулярные области.

Глава 3 содержит главные аналитические результаты работы. В п. 3.1 выполнено разделение переменных в системе уравнений, описывающих движения основного класса Л^. Положим

*2 =(а,-Р2)2+(а2+Р,)2,

Введем новые переменные , полагая

х2+г2+г2 хг+2г-гг

(7)

В силу ограничений (5) они удовлетворяют условиям

х1>а\ 522 <62. (8)

Показано, что на совместном уровне первых интегралов, который задан уравнениями

М(д) = т,ЦЧ) = е, <7еЛГ\ (9)

изменение переменных (7) описывается системой дифференциальных уравнений

т си

Г -1

Ф(5) = ли2 - & +-

4т

а . (Ю)

Решения последней представляют собой эллиптические функции времени.

В п. 3.2 обосновывается факт полного решения уравнений движения на многообразии Ы* путем нахождения явных выражений фазовых переменных через вспомогательные переменные 5(,52 •

В силу естественных ограничений (8) вещественные решения (10) существуют в областях Ф($)) ^ 0, Ф(л2)>0.

Введем обозначения вещественных выражений

Из уравнений первых интегралов (9) и записанных в подходящей форме уравнений (1) многообразия N* найдены следующие зависимости:

Таким образом, получено полное аналитическое решение задачи. В п. 3.3 проводится классификация решений системы (10) в зависимости от постоянных

Показано, что дискриминантное множество многочленов под радикалами в правых частях за исключением полупрямой

£ = 0,т<0 (12)

совпадает с бифуркационной диаграммой отображения М хЬ, показанной на рис. 2.

Доказано, что интеграл И может обращаться в нуль лишь при т< 0, и что интегральные многообразия, и 3„ совпадают как подмножества фазового пространства, чем объясняется рассмотрение на рис. 2 лишь верхней полуплоскости и необходимость включения полупрямой (12) в дискриминантное множество системы (10).

Показано, как выбрать локальные координаты с тем, чтобы избежать ветвления интеграла в окрестности точек некоторого особого подмножества, входящих в состав интегральных многообразий при

Приведено описание всех случаев взаимного расположения корней многочлена которое определяет конкретный вид

решения системы (10). Различные варианты при отсутствии кратных корней соответствуют областям 1-9 рис. 1,2.

В п. 3.4 явно выполнена вся процедура интегрирования системы (10) для каждой из девяти областей регулярности с помощью стандартной техники обращения нормальных эллиптических интегралов первого рода в форме эллиптических функций Якоби с параметрами, зависящими от констант интегралов т, £. При этом аргументами функций Якоби служат угловые координаты на интегральных торах, линейно зависящие от времени.

В п. 3.5 рассмотрены движения на особом подмногообразии М = О. Показано, что система разделенных уравнений выдерживает предельный переход при и в ней в качестве свободного параметра появляется

постоянная интеграла энергии. При этом степень входящих в правые части многочленов понижается до трех. Явно выписаны все регулярные решения. Дана классификация соответствующих решений в зависимости уже от постоянной интеграла энергии, так как интеграл здесь вырождается в константу. Результаты п. 3.5 относятся к общим движениям класса Л^4 и многообразия Богоявленского, поэтому классификация сопоставлена с результатами Д. Б. Зотьева.

В главе 4 дается описание фазовой топологии интегрируемой системы на Л^4.

В п. 4.1 для областей в пространстве констант первых интегралов, в которых интегральное отображение регулярно, указано количество связных компонент - двумерных торов с условно-периодическими движениями - в составе интегральных многообразий Зя < • Поскольку соответствие областей между плоскостями также установлено, то тем

самым получено полное описание регулярных интегральных многообразий системы на Лг": =Т2 в областях 1, 8; =2Т2 в областях 2, 7, 9;

( = 4Т2 в областях 3-6.

В п. 4.2 изучен особый случай где имеет место вырождение

симплектической структуры индуцированной системы. При этом формально не нарушается условно-периодический (двухчастотный) характер поведения фазовых траекторий. Путем прямого вычисления с помощью выражений фазовых переменных через вспомогательные доказано, что при стремлении происходят явления двух типов - в одном случае

(— 1/2а<т<0 — переход из области 4) количество связных компонент интегрального многообразия не изменяется, но вдвое возрастает одна из частот в предельных движениях.

При приближении к остальным отрезкам полупрямой (12) (-\/2Ь<т<-1/2а и т<-\12Ь - переходы из областей 5, 6) происходят два слияния пары компонент в одну, поэтому предельное многообразие имеет две компоненты, в то время как все близкие регулярные - четыре.

В завершающем п. 4.3 изучены все критические случаи, отвечающие отрезкам на плоскости разделяющим области 1-9.

Доказано, что волчок Ковалевской в двойном поле имеет ровно четыре положения равновесия, и все они принадлежат многообразию Им соответствуют узловые точкеР,—/^уркационной диаграммы (рис. 2).

Исследуется возможность существования особых движений волчка, характерных для классических задач - равномерных вращений и маятниковых движений. Равномерных вращений в двойном поле не существует. Обнаружен широкий класс маятниковых движений, при которых один из

центров оснащенности лежит на соответствующей ему оси силового поля, а другой совершает колебания или вращения в ортогональной к этой оси плоскости, содержащей и ось второго поля. Показано, что все такие траектории также принадлежат многообразию Л^4 и являются собственно критическими движениями (то есть состоящими из критических точек интегрального отображения Л/х£). Доказано, что они полностью исчерпывают все движения, в который одна из переменный (7) в процессе движения остается постоянной.

Рис. 3 .Сводкарегулярныхинтегральныхмногообразийикритических поверхностейа) т>0: б) т<0

Описаны бифуркации регулярных торов. Все они оказались бифуркацией вида при переходе через внутреннюю точку отрезка бифуркационного множества. Окончательная картина регулярных и критических многообразий для точек плоскости постоянных первык интегралов показана на рис. 3.

В приложениях с помощью полученнык в главе 3 явный выражений фазовых переменных через две вспомогательных построены компьютерные иллюстрации предельного перехода и некоторых бифуркаций в проекции на подходящее трехмерное пространство.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору М. П.Харламову за постановку задачи и неоценимую помощь в работе.

(а)

(б)

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Савушкин, А. Ю. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е.Г.Шведов // Механика твердого тела. - 2003. - Вып.33. -С. 10-19.

2. Савушкин, А. Ю. Эквивалентность класса моделей в задаче о вращении твердого тела в двойном силовом поле / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов // Научный вестник ВАГС, вып. 4 (математическое моделирование, информационные системы и нелинейная динамика). - Волгоград: ВАГС, 2004. - С. 127-140.

3. Савушкин, А. Ю. Топология и геометрия волчка Ковалевской в решении М. П. Харламова / А. Ю. Савушкин // Научный вестник ВАГС, вып. 4 (математическое моделирование, информационные системы и нелинейная динамика). - Волгоград: ВАГС, 2004. - С. 153-175.

4. Savushkin, A. Yu. Phase topology of one integrable system in rigid body dynamics / M. P. Kharlamov, A. Yu. Savushkin // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 24 - 28 января 2004 г.: Тез. докл. -ВЗМШ-2004. - С. 5 - 6.

5. Савушкин, А. Ю. Разделение переменных и фазовая топология в случае М. П. Харламова / А. Ю. Савушкин // Межд. конф. «Классические задачи динамики твердого тела». - Донецк, 23 - 25 июня 2004 г.: Тез. докл.-С. 51-52.

6. Savushkin, A. Yu. Separation of variables in one case of motion of the Kowalewski top in double force field / A. Yu. Savushkin // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике (ССМЕСН5). - Великие Луки, 23 - 28 августа 2004 г.: Тез. докл. - С. 179 - 180.

Лицензия ИД № 04112 от 27.02.01 г.

Подписано в печать 08.10 04. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Издательство ГОУ ВПО «Волгоградская академия государственной службы» 400078 Волгоград, ул. Герцена, 10

»22 86 5

235

Введение

Глава 1. Основной класс движений и его классический аналог

1.1. Уравнения вращения твердого тела в двойном силовом поле

1.2. Общие интегралы и частные случаи интегрируемости по Якоби

1.3. Классический аналог движений класса N4 26 Итоги главы

Глава 2. Общие свойства основного класса движений

2.1. Инвариантное определение основного многообразия N

2.2. Симплектическая структура и новый интеграл

2.3. Бифуркационное множество интегрального отображения 50 Основные результаты главы

Глава 3. Разделение переменных и явные решения

3.1. Разделение переменных

3.2. Выражения для фазовых переменных

3.3. Область существования и виды решений

3.4. Построение явных решений для регулярных областей

3.5. Явные решения на множестве М = 0 81 Основные результаты главы

Глава 4. Интегральные многообразия

4.1. Регулярные интегральные многообразия

4.2. Разделяющее множество £ = 0 (полурегулярный случай)

4.3. Критические движения и интегральные поверхности 95 Основные результаты главы

Более 250 лет задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг одной закрепленной точки привлекает внимание исследователей в области механики и математики. Простота уравнений движения, предложенных Леонардом Эйлером в середине XVIII века, и их принципиальная неинтегрируемость (в полной мере так и не доказанная) остаются источником вдохновения сотен ученых. Литература по этому вопросу необозрима. Результаты, относящиеся к классической задаче - движению твердого тела в поле силы тяжести, по состоянию на 1979 год были изложены в книге [13], остающейся и на сегодня их наиболее полным обзором. В тот же период была подготовлена библиография [30], содержащая перечень из 1200 монографий и статей зарубежных и отечественных ученых по динамике твердого тела с неподвижной точкой.

Новое направление в этой задаче открылось в связи с публикацией работы С. Смейла [28], посвященной топологическому и теоретико-групповому подходу к задачам небесной механики. Идеи Смейла были обобщены и реализованы для так называемых общих случаев интегрируемости движения тяжелого гиростата и тела в центральном ньютоновском поле (решения Эйлера - Жуковского, Ковалевской, Чаплыгина - Сретенского, Клебша) в работах М.П.Харламова [35, 37, 40] (полностью эта серия результатов изложена в монографии [41]). Тем самым была выявлена фазовая топология перечисленных интегрируемых систем.

Однако задача все же была и остается неисчерпаемой. Новые методы топологического анализа и более утонченные характеристики классификации интегрируемых систем [10], поиск аналогов известных решений в абстрактных задачах о «многомерных» телах, в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости (математически эквивалентной классу задач о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в осесимметричном поле) привели к ряду новых результатов ([44, 29, 27, 25] и др.).

Объект исследования

Наиболее сложным из всех известных случаев является решение, найденное С.В.Ковалевской для тела в поле силы тяжести [61]. Аналитические выражения основных переменных [61, 60] не позволяют непосредственно установить характер движения. Для отдельных частных случаев в работах [49, 22, 45, 50, 12, 11] дано геометрическое истолкование движения, основанное на теореме Пуансо [62], кинематических уравнениях П.В.Харламова [47] и алгоритме М.П.Харламова [38]. Качественные свойства некоторых составляющих движения (средние изменения углов прецессии и собственного вращения, общий характер движения оси динамической симметрии) устанавливались в работах Г. Г. Аппельрота [1-4], В. В. Козлова [23]. Фазовая топология случая Ковалевской описана в [42, 35, 41]. Но и этого оказалось недостаточно для прояснения всей уникальности этого решения. Недавно опубликованы новые исследования, которые позволили дать описание задачи Ковалевской с точностью до топологической эквивалентности соответствующей динамической системы [9].

Поиск обобщений случая Ковалевской не прекращался. Первое из них для случая гиростата было получено в [48]. В середине 80-х гг. появились очень близкие результаты, все из которых, вероятно, следует считать приоритетными. В 1984 году О.И. Богоявленский [7, 8] сформулировал задачу о вращении тяжелого намагниченного тела в двойном постоянном поле - гравитационном и магнитном и там же указал случай существования в дополнение к интегралу энергии // интеграла типа Ковалевской К. Это решение было распространено на осесимметричный гиростат в работах [52, 65]. Одновременно интеграл типа Ковалевской для тяжелого гиростата был найден в [59] (фазовая топология соответствующего решения изучена в [44]).

В 1989 году был опубликаван наиболее общий результат - в работе [55] указаны условия, при которых задача о вращении гиростата в двойном силовом поле имеет еще один первый интеграл G, независимый с Н,К, и является поэтому вполне интегрируемой в смысле Лиувилля. Случай А.И. Бобенко - А.Г. Реймана- М.А. Семенова-Тянь-Шаньского (названный в [39] по инициалам авторов случаем БРС) полностью включает в себя классическую задачу Ковалевской и содержит два направления обобщений -наличие гиростатического момента и второго, независимого от гравитационного, силового поля с линейным потенциалом. Настоящая работа посвящена исследованию одного класса движений волчка Ковалевской в двойном силовом поле, включенного в случай БРС.

Опишем кратко постановку задачи. Сразу укажем, что в данной работе не рассматриваются эффекты, связанные с наличием гиростатического момента. Основной объект - твердое тело с закрепленной точкой О, главные моменты инерции которого подчинены условиям Ковалевской /, = /2 = 2/3. Предполагается, что тело помещено во внешнее силовое поле с потенциалом вида u,,x0) + (u2,y0), где u,,u2 - векторы, фиксированные в плоскости тела, ортогональной оси динамической симметрии, так называемой экваториальной плоскости, а х0,у0 - произвольные векторы, неподвижные в инерциальном пространстве (направляющие, или характеристические, векторы силовых полей). Векторы u,,u2 аналогичны радиус-вектору центра масс в классической задаче с гравитационным полем. Здесь точки, указываемые этими векторами в подвижной системе отсчета, предлагается назвать центрами оснащенности.

Полная интегрируемость соответствующей системы уравнений Эйлера - Пуассона, которая с аналитической точки зрения представляет собой гамильтонову систему с тремя степенями свободы, доказана в [55] в предположении

UpU2) = 0. (0.1)

В [65] отмечено, что в дополнительном предположении х0,У0) = 0, Ы = |Уо| (0-2) эта система имеет однопараметрическую группу симметрии SO(2) = S\ порождающую первый интеграл, линейный по обобщенным скоростям, и поэтому обычной процедурой понижения порядка по Раусу сводится к семейству интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Такой случай ниже не рассматривается.

Таким образом, мы имеем дело с существенно трехчастотной задачей: почти все интегральные многообразия диффеоморфны объединению трехмерных торов, траектории на которых условно-периодические, а соответствующие частоты несоизмеримы также почти всюду в фазовом пространстве. Какого-либо способа понижения порядка системы БРС пока не найдено. Метод интегрирования, основанный на алгебраических подходах [54, 64, 15, 10], намеченный в [55], так и не был явно реализован. С другой стороны, даже формулы, полученные С. В. Ковалевской и Ф. Кеттером в классической задаче, выражающие зависимость фазовых переменных от вспомогательных переменных, в которых уравнения движения были разделены, не давали достаточной информации о характере движения, что даже дало основание многим исследователям говорить о невозможности получения геометрической картины движения.

Новый подход к исследованию интегрируемых систем с тремя степенями свободы был предложен М. П. Харламовым [39, 36]. Он поставил задачу отыскания всех инвариантных подмногообразий фазового пространства, на которых индуцированная система интегрируема по Якоби, то есть ее фазовое пространство целиком состоит из двумерных торов

Лиувилля. Знание всех таких подсистем, которые могут быть в принципе исследованы в рамках существующих направлений и программ, реализуемых в школах М. П. Харламова и А. Т. Фоменко, дает и информацию о бифуркациях интегральных многообразий системы в целом, так как все они реализуются на подмногообразиях, расслоенных на торы размерности меньше трех. Как отмечено в докладе [36], в окрестности точки общего положения подсистема такого вида должна быть гамильтоновой с двумя степенями свободы, а само несущее ее инвариантное подмножество -гладким четырехмерным многообразием.

Одно из таких подмногообразий (обозначаемое через М4) было сразу же указано в основополагающих работах О. И. Богоявленского - им введено множество нулевого уровня интеграла типа Ковалевской, аналог случая Делоне (1-го класса Аппельрота) в классической задаче. Индуцированная система подробно исследована в работах Д. Б. Зотьева [17, 66] с точки зрения ее гамильтоновых свойств, получено полное описание фазовой топологии, гладкой структуры самого многообразия М4, вычислены инварианты Фоменко - Цишанга, полностью описывающие класс топологической эквивалентности интегрируемой системы с двумя степенями свободы. Особенности симплектической структуры, индуцированной на Л/4, получили далеко идущие обобщения [16].

Второй класс движений, интегрируемых по Якоби, был указан М. П. Харламовым [39]. Он обнаружил систему двух инвариантных соотношений вида

F\ - О, F2= О,

0.3) f; = [i{F2, F; = \I2F}, где F,,F2,ji,,[j.2 - функции, заданные и гладкие почти всюду на шестимерном фазовом пространстве исходной системы. Множество, определяемое двумя первыми уравнениями (0.3), в [39] обозначено через N4 и показано, что в пределе при исчезновении второго поля константы классических интегралов оказываются связанными соотношениями, задающими так называемые особо замечательные движения 2-го и 3-го классов Аппельрота.

Настоящая работа посвящена исследованию класса движений волчка Ковалевской в двойном силовом поле, указанного М. П. Харламовым.

Структура работы и основные результаты

Работа состоит из четырех глав и двух приложений.

В первой главе, с применением общего результата М.П. Харламова [43], с помощью линейной замены переменных (без ограничения (0.1)) задача сведена к случаю движения тела в поле сил с потенциалом е„а) + (е2,р), где векторы е,,е2 - единичные орты главных осей инерции в экваториальной плоскости, а векторы а,р, играющие роль характеристических векторов силовых полей, неподвижны в инерциальном пространстве и взаимно ортогональны. Этот эквивалентный переход позволил значительно упростить все аналитические выкладки работы и дал возможность представить явные решения. Здесь также с упрощениями, порожденными ортогонализацией полей, изложены основные результаты [39] и дана топологическая интерпретация соответствия инвариантного многообразия М. П. Харламова классификации Г. Г. Аппельрота [1-4] особых решений классической задачи С. В. Ковалевской.

Во второй главе изучаются некоторые общие свойства класса N4. Доказано, что наименьшее инвариантное относительно фазового потока множество, содержащее класс движений [39], является множеством критических точек некоторой гладкой функции на шестимерном фазовом пространстве 9Я6 исходной системы, в результате чего получено всюду корректное определение множества N4. Доказано, что это множество всюду, за исключением явно указанного трехмерного множества, является гладким четырехмерным многообразием. При этом форма, индуцированная на N4 симплектической структурой на 9Я6, невырождена всюду, за исключением подмножества, определенного уравнением вида

L = О, где L - новый частный интеграл индуцированной системы. В частности, отсюда следует, что система на N4 является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы. Выбрана удобная функция М, являющаяся линейной комбинацией общих первых интегралов и находящаяся в инволюции с L. Установлено имеющее место в точках N4 тождество

1} = 2(а2 + Ъ2 )М2 + 2НМ +1. которое позволяет установить почти всюду невырожденное соответствие между любой парой интегралов из набора H,K,G,L,M и парой M,L.

Построено бифуркационное множество интегрального отображения М х Я, которое полностью определяет, в силу приведенных явных соотношений, и бифуркационное множество любой другой пары интегралов, рассматриваемых на N4.

В главе 3 на конфигурационном пространстве исходной системы, диффеоморфном группе вращений ^(З) введены переменные s^s2 такие, что уравнения, описывающие движения обобщенного волчка Ковалевской, принадлежащие инвариантному подмногообразию N4, разделяются на каждом интегральном многообразии = {М = m,L = t) и приводятся к виду = yJPXs,;mJ), / = 1,2, (0.4) at где Pt - многочлены 4-й степени по соответствующей переменной sn f зависящие от постоянных выбранной пары интегралов Решения найденной системы выражаются, следовательно, в эллиптических функциях времени. Найдены явные алгебраические выражения всех фазовых переменных через переменные sXis2 и постоянные интегралов т,С. В плоскости (т,С) построено дискриминантное множество многочленов, стоящих под радикалами в правых частях (0.4), которое соответствует бифуркациям их решений. Это множество делит плоскость постоянных т,£ на связные открытые области, в каждой из которых распределение корней многочленов /J (s), ,Р2 (s) не претерпевает качественных изменений, и, следовательно, тип решений системы (0.4) неизменен. С учетом ограничений на постоянные интегралов, обеспечивающих существование вещественных решений, таких областей оказалось девять.

Изучено поведение траекторий в окрестности особого множества системы уравнений (0.3). Оказывается, что интеграл L является неоднозначным в окрестности точек этого множества. Показано, каким образом избежать этого ветвления.

Для всех девяти областей плоскости (т,£) с регулярными типами решений выполнено явное интегрирование системы для зависимость их от времени выражена в эллиптических функциях Якоби.

Рассмотрены движения на подмногообразии М- 0, которое является общим с решением О. И. Богоявленского. На этом многообразии и интеграл L обращается в константу. Показано, что система разделенных уравнений выдерживает предельный переход при т -» 0 и в ней в качестве свободного параметра появляется постоянная h интеграла энергии. При этом степень входящих в правые части многочленов понижается до трех. Явно выписаны все регулярные решения как эллиптические функции времени.

В главе 4 дается описание фазовой топологии интегрируемой системы на N4. Для областей в пространстве констант первых интегралов, в которых интегральное отображение регулярно, указано количество связных компонент - двумерных торов с условно-периодическими движениями - в составе интегральных многообразий 2тЛ. Поскольку соответствие областей между плоскостями (т,£) и (m,h) также установлено, то тем самым получено полное описание регулярных интегральных многообразий системы на //4.

Полностью изучен особый случай £ = О, где имеет место вырождение симплектической структуры индуцированной системы. При этом формально не нарушается условно-периодический (двухчастотный) характер фазовых траекторий. Путем прямого вычисления доказано, что при стремлении £ —> О происходят явления двух типов - в одном случае количество связных компонент интегрального многообразия не изменяется, но вдвое возрастает одна из частот в предельных движениях, в других - происходят два слияния пары компонент в одну, поэтому предельное многообразие имеет две компоненты, в то время как все близкие регулярные - четыре. При доказательстве этих фактов фактически явно введены угловые переменные семейств торов Лиувилля. Изучены все критические интегральные поверхности. Доказано, что собственно критические движения являются либо положениями равновесия, либо маятниковыми, при которых один из центров оснащенности лежит на соответствующей ему оси силового поля, а другой совершает колебания или вращения в ортогональной к этой оси плоскости, содержащей и ось второго поля. Описаны бифуркации регулярных торов. Все они оказались бифуркацией вида Т2 Sl х (£' v S1) -» 2Т2 при переходе через внутреннюю точку отрезка бифуркационного множества.

В приложениях с помощью полученных в главе 3 явных выражений фазовых переменных через две вспомогательных построены компьютерные иллюстрации предельного перехода I —> О и некоторых бифуркаций в проекции на подходящее трехмерное пространство.

Апробация работы

Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе - 2004; Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2004); Пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН5, Великие Луки, 2004); неоднократно обсуждались на региональном семинаре по нелинейной динамике под руководством М. П. Харламова.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Савушкин А. Ю. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов // Механика твердого тела. - 2003. - Вып. 33. - С. 10-19.

2. Савушкин А. Ю. Эквивалентность класса моделей в задаче о вращении твердого тела в двойном силовом поле / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов // Научный вестник ВАГС, вып. 4 (математическое моделирование, информационные системы и нелинейная динамика). - Волгоград: ВАГС, 2004. -С. 127-140.

3. Савушкин А. Ю. Топология и геометрия волчка Ковалевской в решении М. П. Харламова I А. Ю. Савушкин // Научный вестник ВАГС, вып. 4 (математическое моделирование, информационные системы и нелинейная динамика). - Волгоград: ВАГС, 2004. - С. 153-175.

4. Savushkin A. Yu. Phase topology of one integrable system in rigid body dynamics / M. P. Kharlamov, A. Yu. Savushkin // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 24 - 28 января 2004 г.: Тез. докл. - ВЗМШ-2004.-С. 5-6.

5. Савушкин А. Ю. Разделение переменных и фазовая топология в случае М. П. Харламова / А. Ю. Савушкин // Межд. конф. «Классические задачи динамики твердого тела». - Донецк, 23 - 25 июня 2004 г.: Тез. докл. - С. 51 - 52.

6. Savushkin A. Yu. Separation of variables in one case of motion of the Kowalevvski top in double force field / A. Yu. Savushkin // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике (ССМЕСН5). - Великие Луки, 23 - 28 августа 2004 г.: Тез. докл. - С. 179 - 180.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору М. П. Харламову за постановку задачи и неоценимую помощь в работе.

Основные результаты главы 4

1. Для областей в пространстве констант первых интегралов, в которых интегральное отображение регулярно, указано количество связных компонент - двумерных торов с условно-периодическими движениями — в составе интегральных многообразий ЗтГ Поскольку соответствие областей между плоскостями (т,С) и (m,h) также установлено, то тем самым получено полное описание регулярных интегральных многообразий системы на N4.

2. Полностью изучен полурегулярный случай £ = 0, т<0, в котором формально не нарушается условно-периодический (двухчастотный) характер фазовых траекторий. Путем прямого вычисления доказано, что эта полупрямая разбита на три участка, при стремлении к которым происходят явления двух типов - на одном участке количество связных компонент интегрального многообразия не изменяется, но вдвое возрастает одна из частот в предельном случае, так что каждая компонента накрывает предельную дважды по некоторой образующей; на двух других участках происходит два слияния пары компонент в одну, поэтому предельное многообразие имеет две компоненты, в то время как все близкие регулярные - четыре. При доказательстве этих фактов фактически явно введены угловые переменные семейств торов Лиувилля. С помощью полученных ранее явных выражений фазовых переменных через две вспомогательных построены компьютерные иллюстрации предельного перехода.

3. Изучены все критические интегральные поверхности. Доказано, что собственно критические движения являются либо положениями равновесия, либо маятниковыми, при которых один из центров оснащенности лежит на соответствующей ему оси силового поля, а другой совершает колебания или вращения в ортогональной к этой оси плоскости, содержащей и ось второго поля.

Разобраны все возможные здесь варианты, результаты сведены в таблицы критических движений и соответствующих интегральных поверхностей. Описаны бифуркации регулярных торов. Все они оказались бифуркациями видов 0 -> Т2 и Т2 -» S1 х (Sl v S1) -» 2Т2 или кратными им при переходе через внутреннюю точку отрезка бифуркационного множества. Представлены компьютерные иллюстрации некоторых переходов.

1. Аппельрот, Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы Текст. / Г. Г. Аппельрот // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1940. - С. 61-156.

2. Аппельрот, Г. Г. По поводу § 1 мемуара С. В. Ковалевской "Sur 1е probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe" Текст. / Г. Г. Аппельрот//Матем. сборник. -1891.-16, вып. 1. С. 592-596.

3. Аппельрот, Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья 1) Текст. / Г. Г. Аппельрот // Матем. сборник. 1910.-27, вып. З.-С. 262-334.

4. Аппельрот, Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья 2) Текст. / Г. Г. Аппельрот // Матем. сборник. -1911.-27, вып. 4. С. 477-561.

5. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики Текст. /

6. B. И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

7. Арнольд, В. И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики Текст. / В. И. Арнольд // Сиб. матем. журнал. 1963. - 4, № 2. С. 471-474.

8. Богоявленский, О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле Текст. / О. И. Богоявленский // Докл. АН СССР. 1984.- 275, №6.- С. 1359-1363.

9. Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли,возникающие в задачах математической физики Текст. / О. И. Богоявленский // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1984.- 48, № 5.- С. 883-938.

10. Болсинов, А. В. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской Текст. / А. В. Болсинов, П. Рихтер, А. Т. Фоменко // Матем. сб. 2000 - 191, № 2.- С. 3-42.

11. Болсинов, А. В. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация Текст.: в 2 т. / А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

12. Гашененко, И.Н. Подвижный годограф угловой скорости в решении

13. C. В. Ковалевской Текст. / И. Н. Гашененко // Механика твердого тела. 1994. -Вып. 26(1). - С.1-9.

14. Гашененко, И. Н. Движение гироскопа Ковалевской при нулевой постоянной интеграла площадей Текст. / И. Н. Гашененко // Механика твердого тела. -1973.-Вып. 25.-С. 7-16.

15. П.Горр, Г. В. Классические задачи динамики твердого тела Текст. / Г. В.Горр, Л. В Кудряшова, Л. Л Степанова. Киев: Наукова думка, 1978. - 295 с.

16. Н.Делоне, Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных С. В. Ковалевской Текст. / Н. Б. Делоне // Матем. сборник. 1891. - 16, вып. 1. - С. 346-351.

17. Дубровин, Б. Л. Интегрируемые системы Текст. / Б.Л.Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1986. - Вып. 4. - С. 179-288.

18. Зотьев, Д. Б. Гамильтоновы системы на многообразиях с особенностью формы Текст. / Д. Б. Зотьев // Восьмая Межд. конф. «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк, 4-11 сентября 2002 г.: Тез. докл. - С. 65 - 66.

19. Зотьев, Д. Б. Фазовая топология задачи о движении тяжелого магнита при нулевом значении интеграла типа С. В. Ковалевской Текст. / Д. Б. Зотьев. -2000. Деп. в ВИНИТИ. 1986 В 00.

20. Ипатов, А. Ф. Движение гироскопа С. В. Ковалевской на границе области ультраэллиптичности Текст. / А. Ф. Ипатов // Уч. зап. Петрозаводск, ун-та. -1970.- 18, вып. 2.-С. 6-93.

21. Картон, Э. Интегральные инварианты Текст. / Э. Картан. — М.-Л.: Гостех-издат, 1940.-216 с.

22. Каток, С. Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела Текст. / С. Б. Каток // Успехи мат. наук. 1972.-27, вып. 2(164).-С. 126-132.

23. Ковалевская, С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки Текст. / С. В. Ковалевская // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940. - С. 11-49.

24. Коваль, В. И. О годографах угловой скорости гироскопа Ковалевской в случае Делоне Текст. / В. И. Коваль, П. В. Харламов // Механика твердого тела. -1979.-Вып. 11.-С. 3-17.

25. Козлов, В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела Текст. / В. В. Козлов. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 230 с.

26. Колмогоров, А. Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торс Текст. / А. Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. 1953. - 93, № 5. -С.763-766.

27. Морозов, П. В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша Текст. / П.В.Морозов // Матем. сборник. 2002. - 193, 10. -С. 113-138.

28. Пуанкаре, А. Избранные труды: в 3 т. / А. Пуанкаре. 1 т.; Новые методы небесной механики Текст. - М.: Наука, 1971. - 771 с.

29. Рябов, П. Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова Текст. / П. Е. Рябов // Теор. и матем. физика. 2003. - 134, № 2. - С. 207-226.

30. Смейл, С. Топология и механика Текст. / С. Смейл // Успехи математических наук. 1972. - 27, вып. 2(164). - С. 77-134.

31. Соколов, В. А. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа Текст. / В. А. Соколов // Теор. и матем. физика. 2001. - 129, № 1. - С. 31-37.

32. Степанова, JI. А. Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой. Библиографический указатель литературы (1749-1979) Текст. / JI. А. Степанова. -Донецк: Изд-во ДПИ, 1980. 133 с.

33. Татаринов, Я. В. Геометрическая теория симметрии и топологический анализ интегралов в динамике твердого тела Текст.: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 / Татаринов Ярослав Всеволодович. М. - 1979. - 12 с.

34. Татаринов, Я. В. К исследованию фазовой топологии компактных конфигураций с симметрией Текст. / Я. В. Татаринов // Вестн. Моск. ун-та. 1973.-Вып. 5. - С. 70-77.

35. Татаринов, Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Я. В. Татаринов // Вестн. Моск. ун-та. 1974.- Вып. 6. - С. 99-105.

36. Фоменко, А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения Текст. / А. Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 414 с.

37. Харламов, М. П. Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской Текст. / М. П. Харламов // Прикл. матем. и механика-1983-47, вып. 6.-С. 922-930.

38. Харламов, М. П. Инвариантные соотношения и функции Ботта Текст. / М. П. Харламов // Восьмая Межд. конф. «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк, 4-11 сентября 2002 г.: Тез. докл. - С. 69-70.

39. Харламов, М. П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 1979. - Вып. 11.- С. 37-49.

40. Харламов, М. П. О построении годографов угловой скорости тела, имеющего неподвижную точку Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 1981.-Вып. 13.-С. 10-14.

41. Харламов, М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 2002. - Вып. 32 - С. 32-38.

42. Харламов, М. П. Понижение порядка в механических системах с симметрией Текст. / М. П.Харламов // Механика твердого тела. 1976. - Вып. 8-С. 4-18.

43. Харламов, М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела Текст. / М. П. Харламов JL: Изд-во ЛГУ, 1988.- 200 с.

44. Харламов, М. П. Топологический анализ классических интегрируемых систем в динамике твердого тела Текст. / М. П. Харламов // Докл. АН СССР.-1983.- 273, № 6. С. 1322-1325.

45. Харламов, М. П. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи Текст. / М. П. Харламов, П. Е. Рябов // Регулярная и хаотическая динамика. -1997.-№2.-С. 25-40.

46. Харламов, П. В. Движение гироскопа С. В. Ковалевской в случае Б. К. Млодзеевского Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1974. -Вып. 7.-С. 9-17.

47. Харламов, П. В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1974. -Вып. 6.-С. 15-24.

48. Харламов, П. В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку Текст. / П. В. Харламов // Прикл. матем. и мех. -1964. 28, №3.-С. 502-507.

49. Харламов, П. В. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1971. - Вып. 3.- С. 57-64.

50. Харламов, П. В. Движение гироскопа Ковалевской в случае Делоне Текст. / П.В.Харламов, В. И. Коваль // Механика твердого тела. 1982. -Выи. 14.-С. 38-54.

51. Харламов, П. В. Геометрическое истолкование некоторых движений гироскопа С. В. Ковалевской Текст. / П. В. Харламов, Г. В. Мозалевская // Механика твердого тела. 1973. - Вып. 5 - С. 5-24.

52. Якоби, К. Лекции по динамике Текст. / К. Якоби.- 1936.- М.-Л.- 272 с.

53. Яхья, Х.-М. Новые интегрируемые случаи движения гиростата Текст. / Х.-М. Яхья // Всстн. Моск. ун-та. 1987.-Сер. 1, Ха 4.- С. 88-90.

54. Abraham, R. Foundations of mechanics Текст. / R.Abraham, J. E. Marsden. Mass.: Reading, 1978. - 806 p.

55. Adler. M. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves Текст. / M. Adler, P. van Moerbeke // Adv. Math. 1980. - 38. - P. 267-317.

56. Bobenko, A. I. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions Текст. / A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky // Commun. Math. Phys. 1989. - 122, N 2. - P. 321-354.

57. Dullin, H. R. Action integrals and energy surfaces of the Kovalevskaya top /

58. H. R. Dullin, M. Juhnke, P. H. Richter Текст. // Bifurcation and Chaos. 1994- 4. -P. 1535-1562.

59. Gashenenko, I.N. Angular velocity of the Kovalevskaya top Текст. /

60. N. Gashenenko // Regular and Chaotic Dynamics. 5, № 1. - P. 107-116.

61. Kharlamov, M. P. To solve a problem of rigid body dynamics. What does it mean? Текст. / M. P. Kharlamov, P. V. Kharlamov // Proc. of IUTAM-ISIMM Symp. on Modern developments in analytical mechanics, Torino. 1983. - 2. - P. 535-562.

62. Komarov, I. V. A generalization of the Kovalevskaya top Текст. / I. V. Komarov // Phys. Letters. 1987. - 123, N 1. P. 14-15.

63. Kotter, F. Sur le cas traite par Mme Kowalevski de rotation d'un corps solide pesant autor d'un point fixe Текст. / F. Kotter // Acta Mathematica. -1893.-17, 1-2. -P. 209-263.

64. Kowalevski, S. Sur Ie probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe Текст. / S. Kowalevski // Acta Mathematica. 1889. - 2. - P. 177-232.

65. Poinsot, L. Theorie nouvelle de la rotation des corps Текст. / L. Poinsot // Journ. Math. Pures Appl. 1851. - 1, N 16. - P. 289-336.

66. Richter, P. H. Kovalevskaya top Текст. / P. H. Richter, H. R. Dullin, A. Wittek. Gottingen, 1997. - 96 p.

67. Van Moerbeke, P. The algebraic complete integrability of Hamiltonian systems Текст. / P. van Moerbeke // Proc. of IUTAM-ISIMM Symp. on Modern developments in analytical mechanics, Torino. 1983. - 1. - P. 443-456.

68. Yehia, H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies Текст. / H. Yehia//Mech. Res. Commun. 1986.- 13,N3.- P. 169-172.

69. Zotev, D. B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case Текст. / D. В. Zotev // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. - 5, N 4. - P. 437-458.