Исследование бифуркационных диаграмм в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

исследование бифуркационных диаграмм в задаче о движении волчка ковалевской

в двойном силовом 7Т5ле

01.01.02 —дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ -2006

Работа выполнена в Волгоградской академии государственной службы

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Харламов Михаил Павлович

Официальные оппоненты: доктор физнко-матемхгических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Зотьев Дмитрий Борисович

Ведущая организация: Удмуртский государственный университет

Зашита состоится «/£» ноября 2006 г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 по физико-математическим наукам в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд, 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ВГУ. Автореферат разослан «_Ц_» октября 2006 года. Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05 доктор физ.-мат. наук, профессор

Ж

Ю.Е. Гликлих

общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из краеугольных задач аналитической динамики. В классической постановке, при рассмотрении движения в поле силы тяжести, уравнения для описания вращения были предложены Леонардом Эйлером в 1749 году. Для произвольных потенциальных силовых полей эта задача является примером гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, конфигурационное пространство которой является компактной группой Ли. Принципиальная неинтегрируемость этой задачи даже в поле силы тяжести и особый статус известных случаев интегрируемости постоянно являются объектом все новых исследований и обобщений, источником возникновения новых математических методов и теорий. Классические случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской сводятся к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы а полностью изучены как с аналитической точки зрения, так и современными топологическими методами, развитыми в работах С. Смейла, М.П. Харламова, А-Т. Фоменко. С топологической точки зрения наиболее сложен случай C.B. Ковалевской. Его бифуркационная диаграмма и полная классификация интегральных многообразий получены М.П.Харламовым (1983, 19S8), описание лиувиллева слоения методом круговых молекул было получено лишь в 2000 г. A.B. Болснновым, П. Рихтером и А.Т. Фоменко. В последние годы для случая Ковалевской найден ряд аналогов и обобщений (ИЗ. Комаров, X. Яхья, О.И. Богоявленский, В.В. Соколов и др.). Исследованы лишь те из них, которые сводятся к системам с двумя степенями свободы и дают возможность применения известных на сегодня методов топологического анализа.

Самый общий случай интегрируемости, найденный А.Г, Рейманом и М.А. Семеновым-Тян-Шанским (1988), описывает движение осесимметричного гиростата Ковалевской в двойном силовом поле и интерпретируется как движение массивного магнита с встроенным ротором в суперпозиции поля силы тяжести и постоянного магнитного поля. Соответствующие уравнения не имеют явных симметрий и не допускают обычной редукции к двум степеням свободы, в связи с чем для их топологического анализа требуется развития новых теорий.

Каковы бы ни были топологические методы исследования неприводимых интегрируемых систем с тремя степенями свободы, они должны базироваться на точном аналитическом описании критического множества интегрального отображения и соответствующей бифуркационной диаграммы. Необходимые уравнения получены в ряде работ М.П. Харламова (2001-2004), однако исследование фактически реализуемой части бифуркационной диаграммы до сих пор не было выполнено. Решению этой задачи посвящена настоящая диссертация. Предложена универсальная методика нахождения области существования движений в пространстве констант первых интегралов для произвольных вполне

интегрируемых систем, основывающаяся на представлении этой области в виде стратифицированного множества, так что границы стратов заданной размерности лежат в объединении стратов низших размерностей, поиск которых оказывается более простой задачей, так как интегральное отображение имеет более сильные вырождения.

Цель работы:

— выявление и классификация всех случаев падения ранга интегрального отображения;

— получение явных неравенств, описывающих область существования критических движений в пространстве констант первых интегралов;

- — полное описание бифуркационной диаграммы в трехмерном пространстве констант первых интегралов с помощью классификации ее изоэнергетиче-ских сечений. ^

Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на теории дифференцируемых отображений, аналитических и качественных методах теории дифференциальных уравнений. Также используются общие теоремы о топологии интегрируемых гамильтоновых систем.'Основным инструментом является исследование траекторий системы, в точках которых ранг интегрального отображения падает более чем на единицу.

Научная новизна:

Перечисленные ниже научные результаты являются новыми.

1. Предложен новый подход к отысканию граничных точек листов бифуркационной диаграммы, основанный на изучении случаев падения ранга интегрального отображения более чем на единицу. Аналитически описаны все случаи, при которых интегральное отображение имеет ранг О и 1.

2. Множество критических точек интегрального отображения (то есть, множество точек, в которых ранг этого отображения меньше трех), описанное М.П. Харламовым в виде трех систем инвариантных соотношений, разбито на четыре класса, отвечающих листам бифуркационной диаграммы. На каждом из них найдено множество траекторий, порождающих граничные точки этих листов.

3. Получены явные неравенства на постоянные первых интегралов, которым соответствуют непустые критические интегральные многообразия.

4. На основании предыдущих результатов дана полная классификация сечений бифуркационной диаграммы плоскостями постоянных значений энергии, то есть бифуркационных диаграмм ограничения интегрального отображения на изоэнергетические уровни. В результате выполнена компьютерная визуализация указанных сечений и их перестроек.

Теоретическая н практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Дано полное аналитическое описание фактической части бифуркаци-

онной диаграммы и диаграмм на изоэнергетических уровнях системы. Этот результат открывает возможность дальнейших исследований фазовой топологии обобщенного волчка Ковалевской.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе - 2004 (Воронеж, 2004); Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2004); Пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН5, Великие Луки, 2004); Воронежской весенней математической школе—2005 (Понтрягннские чтения XVI, Воронеж, 2005); Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), IX Международной конференции «Устойчивость, управлений и динамика твердого тела» (Донецк, 2005); Международной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005); семинаре кафедры математического моделирования ВГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]. Из шести совместных работ [I, 3, 4, 5, б, 12] в диссертацию вошли лишь результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 14 параграфов, к списка литературы (78 наименований). Общий объем основной части работы — 100 стр. Приложение (3 стр.) содержит 13 компьютерных иллюстраций, выполненных в среде Maxhematica 4,1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассматривается задача о движении осесимметричного твердого тела с неподвижной точкой, главные моменты инерции которого подчинены отношению C.B. Ковалевской 2:2:1, в силовом поле с потенциалом вида

t/«-e,»o-e2«p, (1)

где а,р - линейно независимые векторы, неподвижные в ннерциальном пространстве (характеристические векторы однородных силовых полей), а е„е, -постоянные векторы в сопутствующей телу системе отсчета (радиус-векторы центров приложения сил). Предполагается, что е,,е2 параллельны экваториальной плоскости тела. Такая система будет для краткости называться обобщенным волчком Ковалевской.

Во введении содержится краткий обзор работ по теме диссертации к перечисляются основные результаты.

В первой главе дана постановка задачи диссертационного исследования и приводятся сведения, необходимые для решения поставленной задачи.

В п. 1.1 излагается процедура приведения задачи к случаю, когда е,,е, — орты главных осей инерции в экваториальной плоскости, а силовые поля орто-

гональны (возможность этого указана М.П.Харламовым, 2003). В п. 1.2 этот результат применяется к уравнениям движения обобщенного волчка Ковалевской в безразмерных переменных

du> da dñ

I-—= 1<ох»+е[ xa+ejxp, —=axe>, —=рхи ■ dt dt dt \A)

(I = diag{2,2,l}).

В итоге эти уравнения без ограничения общности рассматриваются на многообразии Рs, заданном в R9(te,a,p) условиями |a [р|*=6а, а р =■ 0, и при этом е, =(1,0,0), ej =(0,1,0). Соответственно преобразованы интеграл энергии Я, интеграл C.B.Ковалевской - О.И.Богоявленского К и интеграл А.Г. Реймана—М.А. Семенова-ТянДШнского <7.

Рассматривается общий случай а>Ь>0. В предельных случаях (í> = 0 — классический волчок С.В.Ковалевской, Ь = а - случай интегрируемости Х.М. Яхья) задача допускает одномерные группы симметрий и сводится к системам с двумя степенями свободы.

В п. 1.3 приводятся результаты М.П. Харламова1,2 об уравнениях множества критических точек о = ст(У) интегрального отображения

J = HxKxG:P*-* R3 (3)

и его бифуркационной диаграммы Е = Ц*/). Согласно этим результатам

ст-ЙЯиЗЮО, • (4)

где 9Я,91,,0 — подмножества в Р6, почти всюду являющиеся гладкими четырехмерными многообразиями, заданными системами двух инвариантных соотношений, а бифуркационная диаграмма есть пересечение множества допустимых значений

Д = {{h,k,g) s RJ : «Г1 (M,g) * Щ= W)

s

с множеством £ •» Г,, где Г( - следующие подмножества в R3: i-I

Г,: * = 0;

».y+A^+ll

s

Г.:

* М/7. Харламов. Один кяасс решение с £»умя ннварнйНГнымн соотношениями задачи о движении ы>ячка КоямеесноН в длойнои гюстмняом лоде О Мсханнх» твердого тела. - 2002. - Búa 32.-С 32*35,

1 М.П. Харламов, Крнтнтодое множество и бифуркационная анаграмма задачи о движении волчка Кокысесюй » дойном поле if Механика твердою тела.-2004, - Вьпт. 34.-С, 47-JB.

(здесь обозначено р1 -аг +Ьг,г* => а2 - Ь1 ,у = аЬ).

Поставлена задача получения полного описания множеств Г(оД допустимых значений первых интегралов на поверхностях, несущих бифуркационную диаграмму, и, на его основе, точного описания бифуркационной диаграммы £ как пересечения ¿ПД, а также задача классификации сечений ЕЛ диаграммы 2 плоскостями, параллельными Ogk, в зависимости от имеющихся параметров с цепью получения ясного представления о бифуркационной диаграмме отображения J. Изучение этих сечений важно и само по себе, поскольку они оказываются бифуркационными диаграммами ограничений интегрального отображения па изоэнергетическке уровни системы, играющими важную роль в методе А.Т. Фоменко топологического анализа интегрируемых, гам иль-тоновых систем.

Во второй главе исследуются случаи сильного вырождения интегрального отображения (3).

В п. 2.1 излагается основная идея метода, применяемого в диссертации. Представим множество £ в виде объединения гладких непересекающихся многообразий £(">,£(1'Д{1' размерностей 0, 1 и 2 соответственно. Тогда и искомая бифуркационная диаграмма 1 = 1лЛ будет объединением гладких многообразий (клеток) Х'^Ё'^пД (/ = 0,1,2) и при этом = = Более того, граница ЗЕ(1) содержится в множестве а граница йЕ11> - в множестве 2'"1. Поэтому для полного описания условий, при которых интегральные многообразия непусты, достаточно найти все точки фазового пространства, в которых ранг интегрального отображения равен нулю или единице. Множество таких точек само инвариантно относительно фазового потока и состоит из неподвижных точек системы (2) и из особых (критических) периодических решений и траекторий, являющихся бифуркациями особых периодических решений (траекторий, асимптотических к неподвижным точкам). Такие движения в конкретной системе найти проще, чем напрямую исследовать фактическое множество значений дифференцируемого отображения (3). В этом параграфе приведены также некоторые вспомогательные утверждения, описывающие удобную технику поиска критических точек функций на Р6 и особых решений системы (2).

В п. 2.2 эта техника применяется к нахождению случаев, когда ранг интегрального отображения (3) равен нулю. Для этого, в частности, необходимо, чтобы искомые точки были критическими точками гамильтониана, то есть неподвижными точками системы. Однако, вообще говоря, это условие не является достаточным, так как, например, в задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести ранг интегрального отображения не может быть меньше единицы.

Теорема I. Ранг отображения У равен нулю е точности в четырех положениях равновесия тела

(0 = 0, а = ±ас[, р = ±6ег. Множество Е(0> состоит из четырех точек

А = -{а+Ь), & = —аЬ(а + Ь), к = (а-Ь?; Рг: к = -а+Ь, % - аЬ(а - Ь), к = {а+Ъ)г\ Рг: Аиа—Ь, g=—аЪ(а-Ь), к = (а+Ъ}г;

Показано, что все эти точки лежат в множестве (Г^иГдЭпГ.пГ^ и принадлежат кривым самопересечения поверхности Г4.

Наличие четырех неподвижных точки системы совладает с общими результатами М.П. Харламова, Д.Б. Зотьева 3 для произвольного твердого тела. Теорема 1 показывает, в данной задаче множество неподвижных точек совпадает с множеством точек нулевого ранга интегрального отображения.

В пп. 2.3, 2.4 исследуются случаи, когда ранг интегрального отображения равен единице, В соответствии с особой структурой интеграла К = 2,г + 2\, где - гладкие функции на Р*, а также с тем фактом, что критическое множество Ш определяется условием 4 К = О, нахождение соответствующих критических точек осуществляется в два этапа.

В п. 23 рассмотрено множество точек, в которых ¿К = 0. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2. При условиях с1К-0,Кмножество точек, в которых ранг интегрального отображения равен единице, исчерпывается точками двух семейств периодических траекторий:

а = й(е,со5(р + е281п(р)рр = Ь(-е, з'т(р+е1 сов ф), о> = -ф'е3, <р" =-{а+£)зтф;

а = о(е, созф+е2 $тф),р = А(е, 5тф-с2созф),й»=и — ф'е},ф~ = -{л—¿)этф.

Константы интегралов для этих семейств соответственно таковы:

% = -тгА, к = рг +2у,Ай:~<я+6;

g = уА, к ~ рг - 2у, А > -а - Ь.

Этим, е частности, определено множество Г, ГчД.

Все остальные точки, в которых = 1 и ¿К = 0, лежат на критическом многообразии 2Л = {ЛГ = 0}. Применением техники нахождения критических точек функций на Р*, предложенной п. 2.1, удалось явно найти все соответствующие критические движения, выразив все фазовые переменные через одну

1 А/ Р КЬагЬ1.УР 7<ч*у. Ь<м>чк-£ег>ггые сгсггу здгЬсе оГ Ьоду сопкЬсИ Г*М$ // & СЬмИс [)ул -

20Ю.-10,Ы 1.-1» 15-19.

1 О- К Бслмяпсмь*^ Интсгркрущме уравнения Эвкра »0 П1гс^|г|х Ли. вогинкакклис яздддчал могсч1Т1Т«скоП фшикн У/Ии*. АН СССР, Сер. «тем,- 1084..ЛВ. Н, I,. С. 883-93».

вспомогательную, зависимость которой от времени определяется эллиптическими функциями.

Теорема 3. Множество точек, удовлетворяющих условиям = \ и К-0, состоит из трех семейств периодических движений, вдоль которых фазовые переменные являются эллиптическими функциями времени, а постоянные интегралов Н, й заполняют в плоскости к = 0 следующие кривые:

8»:

6j:

g = I. - s1 Х62 - s*)

s

А = 2s+-y](a* -згХЬг-S1) s

g = s* +£.+sJ(a* ~s*Xb2 -i2) J

s

g = s* -a'Xi1 -b1)

se(0,b];

s e [<я, -Ко),

(6)

Таким образом, получены явные параметрические уравнения трех кривых, составляющих множество Г, пД.

В п. 2.4 исследуется случай, когда rgj = 1 и dK*0. Выписана система уравнений, определяющая соответствующее множество в Р4. Ее исследование приводит к следующему утверждению.

Теорема 4. Множество точек, удовлетворяющих условиям rgj = l и dK* 0, состоит из следующих четырех семейств периодических движений: a s ле,, а> = фе,, р = ¿(е2 cos<p - е3 sin<p), 2Í¡> = —£>sintp; а s ~ле,, ш = фе,, р = b(tt cosíp sin ф), 2 ф = -¿sín ф; Рг6е1,<й = фел,а = аСе| cos<p+ej stn<j>), 2¿p = —а sirup; Р = -Ыг, w = фе2, а = а(е, cos ф+Cj sin ф), 2ip = -а sin ф.

Соответствующие константы первых интегралов заполняют следующие множества:

¿ = (A + 2a)3, g'Jh+atf-b1), kt-(a + b)i

А = (Л-2а)1, g~a2h-a(a2~b2), hba-b-,

k = (h + 2b)2, g^tfh-btf-b1), h>:-(a+by,

k = (h~2bf, g = b*h+b(a1-bi), hZ-a + b.

Теоремы 1-4 дают исчерпывающее описание всех одномерных подмножеств в R3{A,g,fc), которые могут служить границами гладких двумерных листов бифуркационной диаграммы или быть ее изолированными подмножествами.

Проанализирована связь с результатами работы М.П. Харламова в которой существование периодических решений вида (3), (б) доказано для произвольного (неинтегрируемого) волчка с осью динамической симметрии в двойном силовом пале.

В третьей главеопределяются допустимые области на листах бифуркационной диаграммы.

В п. 3.1 отмечено, что, поскольку множество критических точек а отображения 3 представлено в виде (4), целесообразно разбить Е = иГ, на три поверхности Ё( = Г(, = 1^ иГ3, Ё1 = Г4 в соответствии с образами множеств Ш, ОТ, О (допустимое множество на паре прямых Г, установлено теоремой 2 и не требует дальнейшего исследования). В каждом из трех случаев почти всюду на критическом множестве имеют место следующие свойства; критическое множество задано двумя уравнениями в Р* и, следовательно, является четырехмерным многообразием, индуцированная динамическая система на нем га-мильтонова с двумя степенями свободы, критические интегральные многообразия определяются двумя независимыми (общими или частными) первыми интегралами.

В п. 3.2 строится допустимое множество в составе плоскости

Отмечено, что фазовая топология индуцированной системы на ЯЛ (случай О. И. Богоявленского) полностью изучена ДБ. Загьевым. Обсуждается связь результатов главы 2 с результатами Д.Б. Зотьева, Допустимое множество в составе описывается следующим образом.

Теорема 5. Область допустимых значений интегралов (7 на критическом многообразии ЯЛ определена системой неравенств

[А^-2 Ъ

где — однозначная зависимость вдоль кривой 8,.

В п. 3.3 получены условия, определяющие допустимое множество в составе поверхности

Теорема 6. Допустимая область на целиком лежит в полупространстве А Й -(а+Ь) и определяется следующими системами неравенств: УА - Ь(а2 - Ь1} £ & £ агИ+а{аг - Ьг)

1 ШГигсаИоп ¿¡штате Ко\>*1еУ5к1 в» сопяат АеИз И КевЫаг Л С1то*1с От - 2005. - 10«

b2h - Ь(аг - Ьг) 5 g S -У 2(2р4 - г4 )h - Jh2-2рг] 4p*l J;

—-[2(2р*-rA)h-<g*alh +а(аг -b1) ktfact+b1)

При этом к выражено через h,g с помощью уравнения г*к -(p1h-2g)1 =0,

В п. 3.4 доказана теорема, определяющая допустимое множество в составе поверхности ¿3.

Теорема 7. Допустимая область на £3 определяется следующим и условиями.

Для отрицательных значений s: 1) ~(а+Ь)йНй-2-Jab sе

3) A>-26=s-je[-a,s1(A)]. Для положительныхэначений s:

1) -a+b<.h£2b=bse[b,s,(h)]-t

2)2i£AS^=>i€[Sl(A),Sl{A)];

4) A > 2a => s e (А),я] и 1*4(А), j7(A)] ,

где т2(й) - обращения монотонных зависимостей h(s) «а кривых 5,,63, А,, е(а + Ь,2а) — минимум А на кривой 5}, отвечающий единственному реме-ни» jg е(в,+оо) уравнения

ей S

j,(A),$4(A) — обращения монотонных зависимостей h(s) на кривой 8j соответственно на участках s е [я, Ja] и jq[ye,+oo), а

Sj(A) = ^<A->Ml-4aH si(A)=|(A + VAI-4a6), ¿ДА) = ±{А + VA1 +4ОЬ).

/7рм этом g,k выражены через h,s параметрическими уравнениями Г4.

В четвертой главе исследуется эволюция сечений бифуркационной диаграммы.

В п. 4.1 предлагается алгоритм исследования сечений бифуркационной диаграммы интегрального отображения волчка Ковалевской в двойном силовом поле. Мы будем рассматривать сечения бифуркационной диаграммы 2 = £(./) плоскостями, параллельными плоскости Okg, проведенными на уровне А. Обозначим проекцию этого сечения на плоскость Okg через . Доказано, что про-

екция на плоскость Ок% является бифуркационной диаграммой отображения : Ек -» И5, где Е^ = {СеР*:Н(0-Ь) — так называемая изо-энергетическая поверхность.

Произвол в выборе единиц измерения позволяет считать, что а = 1. Следовательно, задача имеет один существенный параметр у е[0,1]. Изоэнергетиче-екая поверхность, отображение и его бифуркационая диаграмма будут зависеть не только от А, но и от параметра у. В связи с этим, множество значений параметров задачи, на котором £А=ЕА(у) терпит качественные перестройки, будем рассматривать в плоскости (у,А). Это множество, определяющее диаграммы, качественно меняющиеся при малом изменении параметров, будем называть разделяющим; а кривые в его составе — разделяющими кривыми.

В п. 4.2 исследуются перестройки бифуркационных диаграмм на изоэнер-гетических уровнях, а сами диаграммы классифицируются по параметрам у,А. Рассмотрим сечения поверхностей Г, — Г, плоскостью фиксированного А при заданном значении у как кривые на плоскости (&£). Это семейство кривых имеет следующий набор особенностей: точки трансверсального пересечения, точки возврата, точки касания. Разделяющими случаями будут те, когда эти особенности появляются, исчезают, совпадают в одной точке и т.п. Указанные бифуркации особенностей записываются аналитически .и сопоставляются с найденными ранее условиями на допустимое множество. В результате получаем 13 разделяющих кривых (/= 1,...,!3) в плоскости (у, А), при переходе через которые меняется тип бифуркационной диаграммы :

Эти кривые разбивают плоскость (у, А) на 19 открытых областей, которым соответствуют непустые диаграммы тип которых устойчив относительно малых изменений у, А (рис. 1).

Й:А = -1-у; —1+у; &:А = 1-у; &:А = 1 + у;

п

&:А = -2у; 0(1;А = ^2(1+у1);

1

-1.5 -1 -0.5 0.1 1 1.$ г »,3

Рис. 1, Область существования диаграмм и разделяющие кривые

В п. 4.3 дано описание перестроек бифуркационных диаграмм на изоэнер-гетических уровнях, происходящих при пересечении параметрами каждой из разделяющих кривых, приведены компьютерные иллюстрации этих перестроек в окрестности особых точек Г,, претерпевающих такую перестройку. На рис. 2 приведен пример, соответствующий переходу через кривую Q^, сопровождаемому исчезновению одной ячейки регулярности в и возникновению новой.

В приложении для одного из значений физического параметра у приведены точные компьютерные иллюстрации существующих бифуркационных диаграмм на допустимых изоэнергетических уровнях.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору М.П. Харламову за постанову задачи и неоценимую помощь в работе.

Публикации автора но теме диссертации

1. Шведов, Е. Г. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской! М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов//Механика твердого тела.-2003.-Вып. 33.-С. 10-19.

2. Шведов, Б. Г. Исследование структуры бифуркационного множества задачи о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле / Е. Г. Шведов // Тезисы докл. Межд. конф. но динамике твердого тела. - Донецк. - 2004. - С. 59-60.

3. Shvedov, E.G. Bifurcation set in the problem of motion of the Kowalewski top in two constant fields / M.P. Kharlamov, E.G. Shvedov // Тезисы докл. V Межд. симпозиума по классической и небесной механике (ССМЕСН5), - Великие Луки. -2004.—C.21Q-2I1.

4. Шведов, Е. Г. Обобщенный волчок Ковалевской: аналитика, топология, геометрия/М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов //Труды Воронежской зимней математической школы.—Воронеж. -2004. — С. 173-191.

5. Шведов, Е. Г. Особенности алгебраической кривой, ассоциированной с задачей о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле / М. П. Харламов, Е. Г. Шведов // Научный вестник ВАГС.- 2004. - Вып. 4. - С. 141-152.

6. Шведов, Е. Г. Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле / М. П. Харламов, Е. Г. Шведов Н Механика твердого тела, - 2004. - Вып. 34, - С. 59-65.

7. Шведов, Е, Г. Допустимые значения первых интегралов и бифуркационные диаграммы обобщенного волчка Ковалевской / Е. Г. Шведов // Материалы Межд. конф. «Поятрягинские чтения XVI». - Воронеж. - 2005. - С. 174-175.

8. Шведов, Е, Г. К исследованию областей существования движений обобщенного волчка Ковалевской / Е. Г. Шведов ti Сб. научных работ аспирантов и соискателей ВАГС, — Волгоград. - 2005. - С. 82-88.

9. Шведов, Е. Г. Случаи сильного вырождения интегрального отображения волчка Ковалевской в двойном силовом поле / Е. Г. Шведов // Тезисы докл. Межд. научн. конф. «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж, - 2005. - С. 242.

10. Шведов, Е. Г. Область существования движений в обобщении IV класса Аппельрота волчка Ковалевской в двойном поле / EX. Шведов // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы межд. конф. - Воронеж. — 2005.-С. 1НЫ11.

11. Шведов, Е. Г. Область существования и устойчивость критических многообразий волчка Ковалевской в двойном поле / Е.Г.Шведов // Тезисы докл. IX Межа, конф, «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». — Донецк.-200S.-С. 95-96.

12. Shvedov, E.G. On the existence of motions in the generalized 4th Appelrot class/ M.P. Khatlamov, E.G. Shvedov И Регулярная и хаотическая динамика. — 2006.-11, №3.-С, 337-342.

ШВЕДОВ Евгений Геннадьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ БИФУРКАЦИОННЫХ ДИАГРАММ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ВОЛЧКА КОВАЛЕВСКОЙ В ДВОЙНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Автореферат

Подписано к печати 04.10.2006 г. Формат 60x84/16. Печать офс. Бум. офс. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-иад л. 1,0. Тнраж 100 экз. Закат

ВГПУ. Издательство «Перемена» Типография издательства «Перемена» 400131, Волгоград, пр. км. В. И. Ленина, 27

Введение

Глава 1. Предварительные сведения и постановка задачи

1.1. Уравнения вращения твердого тела в двойном силовом поле

1.2. Обобщенный волчок Ковалевской

1.3. Критические многообразия и множество Ё

Глава 2. Случаи сильного вырождения интегрального отображения

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Нулевой ранг интегрального отображения

2.3. Ранг интегрального отображения равен единице. Случай dK =

2.4. Ранг интегрального отображения равен единице. Случай dK ф

Глава 3. Допустимые области на листах бифуркационной диаграммы

3.1. Основные обозначения

3.2. Допустимое множество в составе Е,

3.3. Допустимое множество в составе £

3.4. Допустимое множество в составе Х

Глава 4. Классификация бифуркационных диаграмм на изоэнергетических уровнях

4.1. Выбор основных параметров

4.2. Разделяющие кривые в плоскости параметров

4.3. Визуализация областей перестройки диаграмм 79 Список литературы 95 Приложение

Задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из краеугольных задач аналитической динамики. В классической постановке, при рассмотрении движения в поле силы тяжести, уравнения для описания вращения были предложены Леонардом Эйлером в 1749 году [66]. Для произвольных потенциальных силовых полей эта задача является примером гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, конфигурационное пространство которой является компактной группой Ли. Принципиальная неинтегрируемость этой задачи даже в поле силы тяжести и особый статус известных случаев интегрируемости постоянно являются объектом все новых исследований и обобщений, источником возникновения новых математических методов и теорий. Аналитические результаты, относящиеся к классической задаче, по состоянию на 1979 год, изложены в книге [13]. Имеется библиография того же периода [30], в которой приведено более 1200 монографий и статей по динамике твердого тела с неподвижной точкой. Новое, топологическое, направление в задачах механики открыто С. Смейлом [28] и проиллюстрировано на задачах небесной механики. Метод Смейла для пары интегралов энергии-момента был применен в динамике твердого тела в осе-симметричном силовом поле в работе С.Б. Каток [20] и цикле работ •Я.В. Татаринова [31-33]. Существенным для этого метода является цикличность (линейность по обобщенным скоростям) интегралов, дополнительных к интегралу энергии. Общие случаи интегрируемости в динамике твердого тела (движения тяжелого гиростата и тела в центральном ньютоновском поле) этим свойством не обладают. Для них методы исследования фазовой топологии были разработаны М.П. Харламовым [38, 39, 41, 42, 43]. В результате была установлена фазовая топология перечисленных интегрируемых систем, что позволило впоследствии явно найти все так называемые грубые топологические инварианты (графы Фоменко) слоений Лиувилля фазового пространства в этих случаях (А.Т. Фоменко [37], [35], А.А. Ошемков [73], [25], П.В. Морозов [24] и др.).

Однако, как с аналитической, так и с топологической точки зрения, эта задача ставит новые математические проблемы. Это - поиск аналогов известных решений в абстрактных задачах о «многомерных» телах, в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости (математически эквивалентной классу задач о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в осесиммет-ричном поле), исследование их топологических инвариантов, поиск более утонченных характеристик классификации интегрируемых систем, что привело к ряду новых результатов ([44], [29], [27] и др.) и к новым теориям в топологии слоений (работы [64], [9] и др.).

Рассмотрим вполне интегрируемую гамильтонову систему с двумя свободы. Ее фазовое пространство - гладкое четырехмерное многообразие М4, на котором имеется симплектическая структура. В этой структуре динамика определяется гамильтонианом - функцией Я: М4 -» R (энергия). Энергия является первым интегралом. Для полной интегрируемости необходим еще один интеграл F: М4 -» R, независимый с Я почти всюду.

Зафиксируем значение энергии h и рассмотрим ограничение динамической системы на трехмерный изоэнергетический уровень

El = {х е М4: Н(х) = h).

Допустим, что все они компактны. Уровни интеграла F на Е\ являются интегральными многообразиями исходной системы

IhJ = {* е El: F(x) = f} = {xzM4: H(x) = h,F(x) = /}.

Если на Ih у нет точек зависимости Я и F, то это многообразие является объединением конечного числа двумерных торов Лиувилля. Если h -регулярное значение энергии, то последнее свойство имеет место, если / регулярное значение ограничения Fh =FI 3 :El~> R. Если же значение h

Ikff критическое, то для сохранения этого свойства из E3h необходимо дополнительно исключить те уровни {Fh = /}, на которых есть критические точки Я. Множество пар (h,f) е R2, для которых Ihf не является объединением двумерных торов с условно-периодическими траекториями, называется бифуркационной диаграммой и обозначается через 2 = £(#,F).

Зафиксируем h и отождествим каждую связную компоненту множества Ih f в точку. Получится граф, вершинами которого считаются точки, полученные из компонент, содержащих критические точки пары функций H,F. При прохождении через эти вершины происходят бифуркации интегральных многообразий Ihf. В зависимости от типа бифуркации, вершина графа снабжается определенным значком [37]. Полученный таким образом объект (граф со значками в вершинах) называется инвариантом Фоменко динамической системы на изоэнергетическом уровне и обозначается W{El). Если в графе W{El) дополнительно отождествить все точки, отвечающие одному значению /, то получим некоторое подмножество прямой, составленное из отрезков, концы которых (образы вершин графа W(E])) составляют сечение бифуркационной диаграммы Е прямой на плоскости Ohf, параллельной оси Of и имеющей абсциссу h. В этом заложен путь построения инвариантов W(El), применявшийся при их построении в различных работах: находится бифуркационная диаграмма £ и исследуются ее сечения 1А; в связных компонентах R2 \Х или R\£A (ячейках регулярности) указывается количество торов Лиувилля в составе Ih f, замыкание интервалов в R , для которых это число не равно нулю, обозначим через ДА; определяется характер бифуркации, происходящей при пересечении точки из 2А. После этого инвариант W{El) однозначно восстанавливается. Для классических задач динамики твердого тела (решения Эйлера - Жуковского, Ковалевской, Чаплыгина-Сретенского, Клебша), все этапы этого исследования, кроме последнего, выполнены М.П. Харламовым [43].

Граф W(E\) считается грубым топологическим инвариантом, поскольку, как оказалось, две интегрируемые системы на трехмерных многообразиях, имеющие топологически неэквивалентные слоения Лиувилля, могут иметь одинаковые инварианты Фоменко. В связи с этим были разработаны более сложные инварианты (называемые инвариантами Фоменко-Цишанга) - меченые графы (или меченые молекулы) W\E\) [34], начато решение сформулированной А.Т. Фоменко задачи составления полного атласа молекул в интегрируемых системах с двумя степенями свободы [67].

В любом случае первым принципиальным этапом исследования является нахождение бифуркационных диаграмм £Л и множеств существования движений ДЛ, являющихся их оболочкой.

Для систем с тремя и более степенями свободы соответствующего аппарата пока еще не существует. Теория бифуркаций многомерных гамильто-новых систем [37], [36] рассматривает бифуркации общего положения (т.е. случаев, когда ранг интегрального отображения падает на одну единицу), какого-либо аналога меченых графов предложено еще не было. По-видимому, сказался и тот факт, что содержательных примеров интегрируемых систем с тремя степенями свободы с вычисленными нетривиальными бифуркационными диаграммами до последнего времени не было. Уравнения первой такой диаграммы получены М.П. Харламовым, анонсированы в [47], уравнения множества критических точек и вывод уравнений диаграммы приведены в [49]. В этих работах рассматривается случай интегрируемости Реймана-Семенова-Тян-Шанского задачи о вращении волчка типа Ковалевской в двойном силовом поле. В настоящей работе, на основе уравнений [49], найдена фактическая область существования движений в пространстве констант трех первых интегралов и, соответственно, фактическая бифуркацоннная диаграмма - та часть множества, заданного уравнениями работы [49], которая отвечает непустым интегральным многообразиям. Дана классификация сечений £а этой бифуркационной диаграммы.

Решение, найденное С. В. Ковалевской для тела в поле силы тяжести [72, 21], является наиболее сложным из всех классических случаев интегрируемости. Аналитические выражения основных переменных [72, 71] не позволяют непосредственно установить характер движения. Для отдельных частных случаев в работах [14, 59, 22, 56, 54, 12, 55] дано геометрическое истолкование движения, основанное на теореме Пуансо [74], кинематических уравнениях [57] и алгоритме [40]. Качественные свойства некоторых составляющих движения (средние изменения углов прецессии и собственного вращения, общий характер движения оси динамической симметрии) установлены в работах Г. Г. Аппельрота [14], В. В. Козлова [23]. Все случаи, когда задача интегрируется в эллиптических функциях, исследованы Г.Г. Аппельротом [1-4] и А.Ф. Ипатовым [19]. Фазовая топология случая Ковалевской описана в [41, 42, 43]. Изучены поверхности специального вида в пространствах переменных действия [65] и угловых скоростей [68].

Но и этого оказалось недостаточно для прояснения всей уникальности этого решения. Недавно опубликованы новые исследования, которые позволили дать описание задачи Ковалевской с точностью до топологической эквивалентности слоения фазового пространства на торы Лиувилля [10]. Одновременно не прекращался поиск обобщений случая Ковалевской. Первое из них для случая гиростата было получено еще в работе П.В. Харламова [59]. В середине 80-х гг. появился ряд близких между собой результатов. В 1984 году О.И. Богоявленский [7, 8] сформулировал задачу о вращении тяжелого намагниченного тела в двойном постоянном поле - гравитационном и магнитном и там же указал случай существования в дополнение к интегралу энергии Я интеграла типа Ковалевской К. Это решение было распространено на осесимметричный гиростат в работах [61, 77, 70]. Фазовая топология решения, найденного в работе [70], изучена в [44].

В 1988 году был опубликован наиболее общий результат - в работе [26] указаны условия, при которых задача о вращении гиростата в двойном силовом поле имеет еще один первый интеграл G, независимый с Н,К, и является поэтому вполне интегрируемой в смысле Лиувилля. Многомерные обобщения этого случая даны в [63].

Случай А.Г.Реймана - М.А.Семенова-Тян-Шанского содержит классическую задачу Ковалевской в качестве частного случая и дает два направления обобщений - наличие гиростатического момента и второго, независимого от гравитационного, силового поля с линейным потенциалом.

Основной объект данной работы - твердое тело (без гиростатического момента) с закрепленной точкой О и главными моментами инерции, подчиненными условиям Ковалевской. Предполагается, что тело помещено во внешнее силовое поле с потенциалом вида (u,,x0) + (u2,y0), где u,,u2 - векторы, фиксированные в плоскости тела, ортогональной оси динамической симметрии, так называемой экваториальной плоскости, а х0,у0 - произвольные векторы, неподвижные в инерциальном пространстве (направляющие, или характеристические, векторы силовых полей). Векторы u,,u2 аналогичны радиус-вектору центра масс в классической задаче с гравитационным полем. Полная интегрируемость соответствующей системы уравнений Эйлера-Пуассона, которая с аналитической точки зрения представляет собой гамиль-тонову систему с тремя степенями свободы, доказана в [26], [63] в предположении u,*u2=0, |u,| = |u2| = 1. (B.l)

Х.Яхья в работе [77] отметил, что если одновременно с этим характеристические векторы полей взаимно ортогональны и равны по длине, то система имеет однопараметрическую группу симметрий SO(2) = S\ порождающую первый интеграл, линейный по обобщенным скоростям, и поэтому обычной процедурой понижения порядка по Раусу сводится к семейству интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Такой случай, называемый симметричным, ниже не рассматривается.

Таким образом, мы имеем дело с существенно трехчастотной задачей: почти все интегральные многообразия диффеоморфны объединению трехмерных торов, траектории на которых условно-периодические, а соответствующие частоты несоизмеримы также почти всюду в фазовом пространстве. Какого-либо способа понижения порядка системы Реймана - Семенова-Тян-Шанского пока не найдено. Метод интегрирования, основанный на алгебраических подходах [62, 76, 15, 9], анонсированный в [63], так и не был явно реализован. С другой стороны, даже формулы, полученные С. В. Ковалевской и Ф. Кёттером в классической задаче, выражающие зависимость фазовых переменных от вспомогательных переменных, в которых уравнения движения были разделены, не давали достаточной информации о характере движения.

Новый подход к исследованию интегрируемых систем с тремя степенями свободы был предложен М.П.Харламовым [46, 45, 51]. Он поставил задачу отыскания всех инвариантных подмногообразий фазового пространства, на которых индуцированная система интегрируема по Якоби [60], то есть ее фазовое пространство целиком состоит из двумерных торов Лиувилля. Знание всех таких подсистем, которые могут быть в принципе исследованы в рамках существующих направлений и программ, реализуемых в школах М.П.Харламова и А.Т.Фоменко, дает и информацию о бифуркациях интегральных многообразий системы в целом, так как все они реализуются на подмногообразиях, расслоенных на торы размерности меньше трех. Как отмечено в докладе [45], в окрестности точки общего положения (т.е. критической точки, в которой ранг интегрального отображения равен двум) подсистема такого вида должна быть гамильтоновой с двумя степенями свободы, а само несущее ее инвариантное подмножество критических точек - гладким четырехмерным многообразием. В частности, последнее должно задаваться системой двух инвариантных соотношений в смысле определения [58].

Одно из таких подмногообразий было указано в работах О.И.Богоявленского еще до открытия третьего интеграла системы Реймана -Семенова-Тян-Шанского. О.И.Богоявленский рассмотрел множество нулевого уровня интеграла типа Ковалевской, который является суммой квадратов

2 2 гладких функций K = ZX + Z2. Поэтому такое множество описывается системой инвариантных соотношений

Z,=0, Z2 = 0. (В.2)

При этом Z,,Z2 независимы на множестве (В.2). Индуцированная система подробно исследована в работах Д. Б. Зотьева [17, 78] с точки зрения ее га-мильтоновых свойств, получено полное описание фазовой топологии, гладкой структуры самого многообразия (В.2), вычислены инварианты Фоменко -Цишанга, полностью описывающие класс топологической эквивалентности интегрируемой системы с двумя степенями свободы. Особенности индуцированной симплектической структуры получили обобщения [16]. Случай Богоявленского обобщает так называемый 1-й класс Аппельрота классической задачи Ковалевской.

Второй класс движений в системе Реймана - Семенова-Тян-Шанского, интегрируемых по Якоби, был указан М. П. Харламовым [46]. Он обнаружил пару инвариантных соотношений вида

F,=0, F2= 0, (В.З) где F],F2 ~ функции, заданные и гладкие почти всюду на шестимерном фазовом пространстве исходной системы и удовлетворяющие в своей области определения свойству F' F2 = с гладкими функциями Показано, что на множестве, определяемом двумя первыми уравнениями (В.З), в пределе при исчезновении второго поля константы классических интегралов оказываются связанными соотношениями, задающими так называемые особо замечательные движения 2-го и 3-го классов Аппельрота.

Наконец, в работе [49] было найдено последнее критическое многообразие, почти всюду четырехмерное, заданное уравнениями

Я,= О, R2= О, (В .4) где функции R{,R2 определены на фазовом пространстве и удовлетворяют соотношениям вида RJ = XjJRJ (i,j = 1,2). Подстановка условий (В.2)-(В.4) в выражения для первых интегралов привела к уравнениям некоторого множества ScR3, содержащего бифуркационную диаграмму ЦЯ,СД)сК3. В той же работе и в сообщениях [50], [53] поставлена задача отыскания условий, определяющих 1(H,G,K) как подмножество в Ё, и классификации сечений в пространстве параметров задачи. Эти задачи решаются в настоящем исследовании.

Структура работы и основные результаты

Работа состоит из четырех глав и приложения. В первой главе, согласно результату М.П. Харламова [49, 52], общие уравнения без ограничения (В.1) записаны как уравнения движения тела в поле сил с потенциалом е,*а + е2*р, (В.5) где векторы е,,е2 - единичные орты главных осей инерции в экваториальной плоскости, а векторы а,р, играющие роль характеристических векторов силовых полей, неподвижны в инерциальном пространстве и взаимно ортогональны. Здесь также изложены результаты работы [49], необходимые в дальнейшем. Формулируется общая постановка задачи данного исследования.

Во второй главе решается задача нахождения всех случаев, когда ранг интегрального отображения меньше двух. Если рассматривать бифуркационную диаграмму I как двумерный клеточный комплекс, то границами двумерных клеток будут являться клетки размерности 0 и 1, которые являются образами траекторий, не лежащих на двумерных критических торах Лиувилля, - неподвижных точек и особых периодических решений. На таких траекториях ранг интегрального отображения меньше, чем в критической точке общего положения. В то же время именно клетки размерности 0 и 1 определяют фактическую границу диаграммы 2 в составе множества Ё, заданного уравнениями работы [49].

В третьей главе, на основе полученных результатов, исследуются области существования движений на листах множества Ё, которые определяются уравнениями, порожденными критическими многообразиями (В.2)-(В.4). В доказанных теоремах сформулированы необходимые и достаточные условия принадлежности точки (h,k,g)e R3 листу бифуркационной диаграммы 2 с £ в виде систем неравенств для к и g при заданном h. В случае (В.4) записаны неравенства для значений s найденного в [49] частного интеграла при любых значениях h, в то время как k,g явно выражены через s,h уравнениями соответствующего листа Ё.

В четвертой главе исследуются сечения ЕЛ, то есть бифуркационные диаграммы ограничения интегрального отображения на изоэнергетический уровень (в данном случае, пятимерный, в отличие от классических задач динамики твердого тела): GxK\ 5 :£?-»R2. В силу ортогонализации сил и

IЬ/, приведения потенциала к виду (В.5), единственным существенным параметром задачи оказывается отношение напряженностей силовых полей А, = |р|/|а|е[0,1]. На плоскости (h,X) построено разделяющее множество множество всех таких точек, при переходе через которые меняется структура множества ZA =I,h(k). Оказалось, что это множество состоит из тринадцати кривых и делит плоскость (h,X) на девятнадцать открытых областей с различными типами непустых £л(^).

В приложение вынесены иллюстрации. Для одного из значений параметра X, то есть для определенной механической системы, приведены все диаграммы £А. Перестройки, происходящие на некоторых из разделяющих кривых, при изображении диаграммы в целом оказались неразличимы, приведен пример, когда соответствующая область в плоскости (g,k) в безразмерных величинах имеет порядок 10~12 -ПО"11. Поэтому для каждой перестройки ее окрестность в плоскости (g,k) изображена в увеличенном масштабе. Все иллюстрации являются точными в том смысле, что получены в результате компьютерных расчетов по полученным ранее формулам в CAB Mathematica 4.1, на всех их них приведены фактические значения по осям g,k

Апробация работы

Результаты исследования докладывались на Воронежской зимней математической школе - 2004, Международной конференции «Классические задачи динамики твердого тела» (Донецк, 2004), Пятом Международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН5, 2004, Великие Луки), Воронежской весенней математической школе - 2005 (Понтрягинские чтения XVI), Международной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), IX Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк, 2005).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Механика твердого тела. - 2003. - Вып. 33. - С. 10-19.

2. Е. Г. Шведов. Исследование структуры бифуркационного множества задачи о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докл. межд. конф. - Донецк. -2004. С. 59-60.

3. М.Р. Kharlamov, E.G.Shvedov. Bifurcation set in the problem of motion of the Kowalewski top in two constant fields // V Межд. симпозиум по классической и небесной механике (ССМЕСН5). Тезисы докл. - Великие Луки. - 2004. С. 210-211.

4. М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов. Обобщенный волчок Ковалевской: аналитика, топология, геометрия // Труды Воронежской зимней математической школы. - Воронеж. -2004. - С. 173-191.

5. М. П. Харламов, Е. Г. Шведов. Особенности алгебраической кривой, ассоциированной с задачей о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле// Научный вестник ВАГС - 2004. - Вып. 4.-141-152.

6. М. П. Харламов, Е. Г. Шведов. Бифуркационные диаграммы на изо-энергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле// Механика твердого тела. - 2004. - Вып. 34. - С. 59-65.

7. Е. Г. Шведов. Допустимые значения первых интегралов и бифуркационные диаграммы обобщенного волчка Ковалевской // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней матем. школы «Понтрягинские чтения XVI». - Воронеж. - 2005. С. 174-175.

8 .Е. Г. Шведов. К исследованию областей существования движений обобщенного волчка Ковалевской // Сб. научных работ аспирантов и студентов ВАГС. - Волгоград. - 2005. С. 82-88.

9. Е.Г. Шведов. Случаи сильного вырождения интегрального отображения волчка Ковалевской в двойном силовом поле // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Материалы межд. конф. - Воронеж. - 2005. С. 242.

10. Е. Г. Шведов. Область существования и устойчивость критических многообразий волчка Ковалевской в двойном поле // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докладов IX Международной конференции. - Донецк. - 2005. С. 95-96.

11 .Е.Г. Шведов. Область существования движений в обобщении IV класса Аппельрота волчка Ковалевской в двойном поле // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы межд. конф.-Воронеж.-2005. С. 110-111.

12. М.Р. Kharlamov, E.G. Shvedov On the existence of motions in the generalized 4th Appelrot class// Регулярная и хаотическая динамика. - 2006.-11,№3,-С. 337-342.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору М. П. Харламову за постановку задачи и помощь в работе.

1. Аппельрот, Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы Текст. / Г. Г. Аппельрот // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. - M.-JL: Изд-во АН СССР, 1940. - С. 61-156.

2. Аппельрот, Г. Г. По поводу § 1 мемуара С. В. Ковалевской "Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe" Текст. / Г. Г. Аппельрот // Ma-тем. сборник. -1891.-16, вып. 1. С. 592-596.

3. Аппельрот, Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья 1) Текст. / Г. Г. Аппельрот // Матем. сборник. 1910. - 27, вып. 3. - С. 262-334.

4. Аппельрот, Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья 2) Текст. / Г. Г. Аппельрот // Матем. сборник. 1911. - 27, вып. 4. - С. 477-561.

5. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики Текст. / В. И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

6. Арнольд, В. И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики Текст. / В. И. Арнольд // Сиб. матем. журнал. 1963. - 4, № 2. -С. 471-474.

7. Богоявленский, О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле Текст. / О. И. Богоявленский // Докл. АН СССР. 1984.- 275, №6.- С. 1359-1363.

8. Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики Текст. / О. И. Богоявленский // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1984.- 48, № 5,- С. 883-938.

9. Болсинов, А. В. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация Текст.: в 2 т. / А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

10. Болсинов, А. В. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской Текст. / А. В. Болсинов, П. Рихтер, А. Т. Фоменко // Матем. сб. 2000 - 191, № 2.-С. 3-42.

11. Борисов, А.В. Динамика твердого тела Текст. / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. -Ижевск: РХД, 2001.-С. 384.

12. Гашененко, И. Н. Движение гироскопа Ковалевской при нулевой постоянной интеграла площадей Текст. / И. Н. Гашененко // Механика твердого тела. -1973.-Вып. 25.-С. 7-16.

13. Горр, Г. В. Классические задачи динамики твердого тела Текст. / Г. В.Горр, Л. В Кудряшова, Л. А Степанова. Киев: Наукова думка, 1978. - 295 с.

14. Делоне, Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных С. В. Ковалевской Текст. / Н. Б. Делоне // Матем. сборник. 1891. -16, вып. 1. - С. 346-351.

15. Дубровин, Б. А. Интегрируемые системы Текст. / Б. А. Дубровин, И. М. Кри-чевер, С. П. Новиков // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1986. - Вып. 4. - С. 179-288.

16. Зотьев, Д. Б. Гамильтоновы системы на многообразиях с особенностью формы Текст. / Д. Б. Зотьев // Восьмая Межд. конф. «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк, 4-11 сентября 2002 г.: Тез. докл. - С. 65 - 66.

17. Зотьев, Д. Б. Фазовая топология задачи о движении тяжелого магнита при нулевом значении интеграла типа С. В. Ковалевской Текст. / Д. Б. Зотьев. 2000.- Деп. в ВИНИТИ. № 1986 В 00.

18. Зотьев, Д. Б. Фазовая топология первого класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном поле Текст. / Д. Б. Зотьев // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. -12, № 1. - С. 95 - 128.

19. Ипатов,А.Ф. Движение гироскопа С.В.Ковалевской на границе области ультраэллиптичности Текст. / А. Ф. Ипатов // Уч. зап. Петрозаводск, ун-та. -1970.-18,вып. 2.-С. 6-93.

20. Каток, С. Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела Текст. / С. Б. Каток // Успехи мат. наук.- 1972. 27, вып. 2(164). - С. 126-132.

21. Ковалевская, С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки Текст. / С. В. Ковалевская // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1940. - С. 11-49.

22. Коваль, В. И. О годографах угловой скорости гироскопа Ковалевской в случае Делоне Текст. / В. И. Коваль, П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1979. -Вып. П.-С. 3-17.

23. Козлов, В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела Текст. / В. В. Козлов. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 230 с.

24. Морозов, П. В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша Текст. / П. В. Морозов // Матем. сборник. 2002. -193, № 10. - С. 113138.

25. Ошемков, А. А. Инварианты Фоменко основных интегрируемых случаев уравнений движения твердого тела Текст. / А. А. Ошемков // Матем. сборник. -1997.-188, №7.-С. 139-160.

26. Рейман, А. Г. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений Текст. / А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский // Функц. анализ и его приложения. 1988. - 22, № 2. - С. 87-88.

27. Рябов, П. Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова Текст. / П. Е. Рябов // Теор. и матем. физика. 2003. -134, № 2. - С. 207-226.

28. Смейл, С. Топология и механика Текст. / С. Смейл // Успехи математических наук. 1972. - 27, вып. 2(164). - С. 77-134.

29. Соколов, В. А. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа Текст. / В. А. Соколов // Теор. и матем. физика. 2001. - 129, № 1. - С. 31-37.

30. Степанова, JI. А. Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой. Библиографический указатель литературы (1749-1979) Текст. / Л. А. Степанова. -Донецк: Изд-во ДЛИ, 1980. 133 с.

31. Татаринов, Я. В. Геометрическая теория симметрии и топологический анализ интегралов в динамике твердого тела Текст.: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.01 / Татаринов Ярослав Всеволодович. М. - 1979. - 12 с.

32. Татаринов, Я. В. К исследованию фазовой топологии компактных конфигураций с симметрией Текст. / Я. В. Татаринов // Вестн. Моск. ун-та. 1973- Вып. 5.-С. 70-77.

33. Татаринов, Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Я. В. Татаринов // Вестн. Моск. ун-та. 1974.- Вып. 6. - С. 99-105.

34. Фоменко, А. Т. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Текст. / А.Т. Фоменко, X. Цишанг // Изв. АН СССР, сер. мат. 1990. - 54, № 3. - 546-575.

35. Фоменко, А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы Текст. / А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко // Успехи мат. наук. 1990. - 45, вып. 2. - С. 49-77.

36. Фоменко, А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений Текст. / В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко М: Факториал, 1995.-С. 448.

37. Фоменко, А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения Текст. / А. Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 1988. - С. 414.

38. Харламов, М. П. О некоторых применениях дифференциальной геометрии в теории механических систем Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела.-1979.-Вып. П.-С. 37-49.

39. Харламов, М. П. Фазовая топология одного интегрируемого случая движения твердого тела Текст. / М.П.Харламов // Механика твердого тела. 1979. -Вып. П.-С. 50-64.

40. Харламов, М. П. О построении годографов угловой скорости тела, имеющего неподвижную точку Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 1981. -Вып. 13.-С. 10-14.

41. Харламов, М. П. Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской Текст. / М. П. Харламов // Прикл. матем. и механика-1983- 47, вып. 6.- С. 922-930.

42. Харламов, М. П. Топологический анализ классических интегрируемых систем в динамике твердого тела Текст. / М. П. Харламов // Докл. АН СССР.- 1983.273, №6.-С. 1322-1325.

43. Харламов, М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела Текст. / М. П. Харламов JL: Изд-во ЛГУ, 1988,- 200 с.

44. Харламов, М. П. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи Текст. / М. П. Харламов, П. Е. Рябов // Регулярная и хаотическая динамика. -1997.-№2.-С. 25-40.

45. Харламов, М. П. Инвариантные соотношения и функции Ботта Текст. / М. П. Харламов // Восьмая Межд. конф. «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Донецк, 4-11 сентября 2002 г.: Тез. докл. - С. 69-70.

46. Харламов, М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 2002. - Вып. 32 - С. 32-38.

47. Харламов, М. П. Бифуркационное множество в одной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской Текст. / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин, Е. Г. Шведов // Механика твердого тела. 2003. - Вып. 33 - С. 10-19.

48. Харламов, М.П. Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской Текст. / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин // Украинский математический вестник. -2004.-1, N4,-С. 564-582.

49. Харламов, М. П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле Текст. / М. П. Харламов // Механика твердого тела. 2004. - Вып. 34 - С. 47-58.

50. Харламов, М. П. Общий подход к исследованию особых движений обобщенного волчка Ковалевской Текст. / М. П. Харламов // Пятый Межд. симп. по класс, и небесной механике. Вел. Луки, 25-29 августа 2004 г.: Тез. докл. - С.

51. Харламов, М. П. Грубый топологический инвариант неприводимых задач динамики твердого тела Текст. / М. П. Харламов // Воронежская весенняя математическая школа, Воронеж, 3-9 мая 2005 г.: Тез. докл. ВЗМШ-2005. - С.

52. Харламов, П. В. Геометрическое истолкование некоторых движений гироскопа С. В. Ковалевской Текст. / П. В. Харламов, Г. В. Мозалевская // Механика твердого тела. 1973. - Вып. 5- С. 5-24.

53. Харламов, П. В. Движение гироскопа Ковалевской в случае Делоне Текст. / П. В. Харламов, В. И. Коваль // Механика твердого тела. 1982. - Вып. 14 - С. 38-54.

54. Харламов, П. В. Движение гироскопа С. В. Ковалевской в случае Б. К. Млодзеевского Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1974. -Вып. 7,-С. 9-17.

55. Харламов, П. В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку Текст. / П. В. Харламов // Прикл. матем. и мех. 1964. - 28, № 3. - С. 502-507.

56. Харламов, П. В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1974. - Вып. 6.-С. 15-24.

57. Харламов, П. В. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку Текст. / П. В. Харламов // Механика твердого тела. 1971. - Вып. 3 - С. 57-64.

58. Якоби, К. Лекции по динамике Текст. / К. Якоби,- 1936.- M.-JL- 272 с.

59. Яхья, Х.-М. Новые интегрируемые случаи движения гиростата Текст. / Х.-М. Яхья // Вести. Моск. ун-та. 1987,-Сер. 1, № 4.- С. 88-90.

60. Adler. М. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves Текст. / M. Adler, P. van Moerbeke // Adv. Math. 1980. - 38. - P. 267-317.

61. Bobenko, A. I. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions Текст. / A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky // Commun. Math. Phys. 1989. -122, N 2. - P. 321-354.

62. Bolsinov, A.V. Methods of calculation of the Fomenko-Zieschang invariant / A.V. Bolsinov Текст. // Advances in Soviet Math. 1991. - 6. - P. 147-183.

63. Dullin, H. R. Action integrals and energy surfaces of the Kovalevskaya top /H. R. Dullin, M. Juhnke, P. H. Richter Текст. // Bifurcation and Chaos. 1994.- 4. -P. 1535-1562.

64. Euler, L. Recherches sur la precession des equinoxes, et sur ia nutation de l'axe de la Terre Текст. / L. Euler // Memoires de l'Academie des Sciences de Berlin. 1749. -N5.-P. 289-325.

65. Fomenko, A.T. Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom Текст. / A. T. Fomenko // Advances in Soviet Math. 1991. - 6. - P. 1-36.

66. Gashenenko, I.N. Angular velocity of the Kovalevskaya top Текст. /

67. N. Gashenenko // Regular and Chaotic Dynamics. 5, № 1. - P. 107-116.

68. Kharlamov, M. P. Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant fields Текст. / M. P. Kharlamov, D. B. Zotev // Regular and Chaotic Dynamics. -2005.-201,N l.-P. 15-19.

69. Komarov, I. V. A generalization of the Kovalevskaya top Текст. /1. V. Komarov // Phys. Letters. 1987. -123, N 1. P. 14-15.

70. Kotter, F. Sur le cas traite par Mme Kowalevski de rotation d'un corps solide pesant autor d'un point fixe Текст. / F. Kotter // Acta Mathematica. -1893.-17, 1-2. P. 209-263.

71. Kowalevski, S. Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe Текст. / S. Kowalevski // Acta Mathematica. 1889. - 2. - P. 177-232.

72. Oshemkov, A. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of the rigid body motion equations Текст. / A. A. Oshemkov // Advances in Soviet Math. 1991. - 6. -P. 67-176.

73. Poinsot, L. Theorie nouvelle de la rotation des corps Текст. / L. Poinsot // Journ. Math. Pures Appl. 1851. -1, N 16. - P. 289-336.

74. Richter, P. H. Kovalevskaya top Текст. / P. H. Richter, H. R. Dullin, A. Wittek. -Gottingen, 1997.-96 p.

75. Van Moerbeke, P. The algebraic complete integrability of Hamiltonian systems Текст. / P. van Moerbeke // Proc. of IUTAM-ISIMM Symp. on Modern developments in analytical mechanics, Torino. 1983. - l.-P. 443-456.

76. Yehia, H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies Текст. / H. Yehia // Mech. Res. Commun. 1986.- 13, N 3.- P. 169-172.

77. Zotev, D. B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case Текст. / D. B. Zotev // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. - 5, N 4. - P. 437-458.