Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

0 Введение

1 Сдвиги инвариантов на алгебре su(3)

1.1 Уравнения движения.

1.2 Регулярные уровни отображения момента.

1.3 Спектральная кривая.

1.4 Точки типа "фокус-фокус".

2 Точки сильного вырождения сдвигов инвариантов

2.1 Подалгебры, состоящие из критических точек

2.2 Вершины и ребра бифуркационной диаграммы

3 Классическое n-мерное твердое тело 29 3.1 Точки максимального падения ранга отображения момента .'.

4 Спектральная кривая алгебры sl(n,C)

5 Регулярные точки отображения момента на компактных алгебрах Ли

6 Компактные полупростые алгебры Ли и спектральные кривые

Настоящая диссертация посвящена исследованию критических точек отображения момента многомерных интегрируемых гамильто-новых систем на иолунростых алгебрах Ли. Основной идеей диссертации является использование богатой алгебраической структуры таких систем для определения их геометрических и топологических свойств.

Семейство исследуемых в диссертации интегрируемых гамильто-новых систем построено в работе А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [18]. Предложенный ими метод сдвига аргумента позволяет получить полный коммутативный набор полиномиальных интегралов для уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли. Эти полиномиальные интегралы являются обобщениями интегралов, найденных С. В. Манаковым [17] в задаче о движении и-мерного твердого тела, закрепленного в центре масс, и представляют собой одну из самых больших и интересных серий нетривиальных интегрируемых систем.

Современный алгебро-геометрический подход в теории интегрируемых систем был заложен в работе С. П. Новикова [21], где конеч-нозонные решения уравнения Кортевега - де Фриза были получены путем их линеаризации на якобиане спектральной кривой уравнения Лакса. Как показывает развитие этого подхода, если для интегрируемых уравнений Гамильтона известно представление в форме Лакса со спектральным параметром, их решение обычно можно явно выписать в тэта-функциях. Конечно, здесь надо отметить, что некоторые классические системы, такие, например, как волчок Ковалевской, были проинтегрированы гораздо раньше, чем для них открыли соответствующие L-A пары [16].

Явные формулы в тета-функциях для решений интегрируемой системы мало говорят, однако, о ее глобальном поведении, особенно в тех случаях, когда рассматриваемая система вещественна. Поэтому нашей основной целью будет переход от интуитивного понимания свойств спектральной L-A пары и ее спектральной кривой к точным утверждениям о структуре вырождений рассматриваемого коммутативного набора сдвигов инвариантов.

Исторически большинство интегрируемых систем, для которых в настоящее время известна геометрия слоения Лиувилля, были исследованы методами гладкого анализа. Так, бифуркационные диаграммы отображения момента для основных интегрируемых случаев в динамике твердого тела вычислены в работе М. П. Харламова, [30]. Дальнейшее исследование этих случаев можно найти в работах А. А. Ошемкова [26],[27], [32], А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [7], О. Е. Орел [24] и целого ряда других авторов. Впоследствии некоторые из этих результатов были повторно получены алгебро-геометрическими методами в работе М. Одеи [23]. Таким образом, для ряда итегрируемых систем де-факто установлена связь между вырождениями спектральной кривой представления Лакса и поведением торов Лиувилля, однако отсутствие каких-либо общих результатов в этом направлении говорит о том, что данная область теории интегрируемых систем пока еще изучена очень слабо. Среди тех работ, в которых геометрия интегрируемой системы впервые исследована именно алгебро-геометрическими методами, можно отметить лишь некоторые примеры [25],[33],[34].

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Первая глава посвящена исследованию модельного примера — гамильто-новой системы, образованной сдвигами инвариантов на алгебре Ли su(3). Алгебра su(3) является минимальной среди тех полуиростых алгебр Ли, на которых сдвиги инвариантов дают пример нетривиальной интегрируемой системы. Подробно исследуя структуру отображения момента в этой системе, мы получаем наглядный пример для иллюстрации основных результатов, относящихся к последующим главам диссертации. Бифуркационная диаграмма для алгебры Ли su(3) полностью описана следующей теоремой:

Теорема 1.

Бифуркационная диаграмма отображения момента состоит из шести вершин, каждая из которых соединена с тремя другими прямолинейными ребрами, и четырех стенок, замыкание которых содерэюит восемь ребер из девяти. Общий вид диаграммы изобра-oiceu на Рис. 1 и Рис. 2, а параметризации отдельных стратов содержатся в доказательстве.

Вторая глава диссертации посвящена теоремам, устанавливающим связь между сдвигами инвариантов алгебры Ли и сдвигами инвариантов се подалгебры. Из этих теорем следует, что такие подалгебры, содержащие вектор сдвига, состоят целиком из критических точек отображения момента. В частности, для полуиростых алгебр Ли выполняется

Теорема 3.

Пусть g — компактная полупростая алгебра Ли ранга г, I - ре-дуктивная подалгебра индекса г. Предполоэ/сим, что а, хо регулярные элементы д, принадлсэ/сащие такэюе подалгебре I. Обозначим линейную оболочку дифференциалов функций сдвигов инвариантов па д, ограниченных на орбиту Ов(хо) в точке xq как dF$|c»0(io). Дифференциалы сдвигов инвариантов подалгебры I па тот же вектор а, ограниченных на меньшую орбиту Ol(xо), обозначим как dFa\ol(x0)- Эти пространства совпадают: dF2\o°(x о) = dF*\0,{xo), и, в частности, совпадают их размерности.

Критические точки отображения момента любой интегрируемой системы образуют полиэдр, стратифицированный рангом дифференциала отображения момента. Его образом при отображении момента F является бифуркационная диаграмма Е. При этом точки ранга 0 соответствуют вершинам бифуркационной диаграммы, а точки ранга 1 соответствуют ее ребрам. Замечательным фактом является то, что, в случае сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли, страты ранга 0 и 1 удастся полностью описать в терминах корневого разложения рассматриваемой алгебры 0 относительно картановской подалгебры 1)а, содержащей вектор сдвига а. Для этого мы доказываем теорему 3 в обратную сторону — отдельно для точек ранга 0 и для точек ранга 1.

Теорема 4. Пусть f)tt С g - подалгебра Картапа, содержащая вектор сдвига а. Тогда точкам ранга 0 на регулярной орбите О являются точки ее пересечения с подалгеброй f}a: rank dJ:(xo) = О xq G О П 1)а.

Теорема 5. Точки ранга 1 являются пересечениями орбиты и подалгебр вида \)а rank dT{xo) < 1 За <Е A(f)a), х0 G О П( fje + Уа).

Третья глава диссертации содержит обобщение результата об описании точек ранга 0 на случай задачи о движении п-мерного твердого тела, закрепленного в центре масс. Эта задача существенно отличается от обычных сдвигов инвариантов тем, что в качестве симилектического многообразия выступает орбита коприсоедииеп-ного представления в алгебре Ли so(п), а вектор сдвига лежит в объемлющей алгебре gl(n). Несмотря на это, также удается полностью описать точки ранга 0 и, в частности, получить тот же ответ, который был известен в случае четырехмерного волчка Эйлера [20].

Теорема 6. о х, rk dF(xо) = 0 xq V о о

Xq 0

0 о о о о у» k

XQ О о

Xq О где ~ обозначает равенство матриц с точностью до одновременной перестановки, строк и столбцов. Если п четно, то к = п/2. Если п нечетно, то к = (п — 1)/2, ах о содержит одну пулевую строку и один пулевой столбец.

В четвертой главе настоящей диссертации содержится ее центральный результат. Для полупростой алгебры Ли sl(n, С) в стандартном матричном представлении определим спектральную кривую:

Определение. Спектральной кривой элемента X 6 0 называется алгебраическая кривая Гд-, заданная в С2 с координатами (А,/х) уравнением

Гх : Rx(\ и) d= det(X + А а- цЕ) = 0.

Коммутативный набор сдвигов инвариантов состоит из коэффициентов многочлена Rx, и, следовательно, определяется только вектором £ = F{X) 6 С^. Дискриминантом D назовем множество таких векторов £ G CN, что соответствующая спектральная кривая имеет хотя бы одну особую точку Р: = >=<>•

Бифуркационная диаграмма отображения момента определяется как множество его сингулярных значений: s = {£ е CN I ЗХ е g, rkdFa(X) <N,£ = Fa(X) }

Теорема 8. Бифуркационная диаграмма Е совпадает с дискриминантом D.

Доказательство этой теоремы является по сути конструктивным и основано на построении глобального обратного к отображению момента над дискриминантом D. При этом образ построенного обратного отображения S : D —> g целиком состоит из критических точек отображения момента F, что и приводит к требуемому утверждению.

Анализируя полученный результат, можно сделать следующие выводы: 1) доказательство основано на свойствах жордановой нормальной формы, что позволяет надеяться на его обобщение для произвольной комплексной иолуиростой алгебры Ли; 2) мотивация появления именно такой конструкции остается пока совершенно не ясной, возможно для нее существует другое, более естественное и инвариантов описание; 3) доказательство существенно опирается на алгебраическую замкнутость основного поля, что не позволяет непосредственно применить его при рассмотрении компактных алгебр, где аналогичное утверждение представляется весьма правдоподобным. На данный момент сдвиги инвариантов на алгебре sl(n,C) представляют собой единственную серию интегрируемых систем, для которых вопрос о связи бифуркационной диаграммы и дискриминанта спектральной кривой полностью решен.

Пятая глава диссертации содержит основные результаты работы, касающиеся топологической структуры слоения Лиувилля для сдвигов инвариантов на компактных алгебрах Ли. Наиболее неожиданным свойством таких систем оказалась связность множества регулярных значений отображения момента.

Теорема 9. Для почти всех регулярных векторов сдвига а множество пеособых точек отобраоюения момента Fa связно.

Далее мы подробно рассматриваем малую окрестность одной точки максимального вырождения и, пользуясь связностью множества критических значений, доказываем следующий факт:

Теорема 10. Любая нсособая совместная поверхность уровня состоит ровно из одного тора.

Таким образом, показано, что сдвиги инвариантов на компактных алгебрах Ли существенно отличаются от большинства известных интегрируемых систем, имеющих "седловые" критические значения, разбивающие множество регулярных значений на несвязные области.

Среди нетривиальных интегрируемых систем, обладающих связным множеством регулярных значений, можно отметить, пожалуй, только классический случай Лагранжа в динамике твердого тела (при определенных значениях параметров). Единственной изолированной критической точкой этой системы с двумя степенями свободы является так называемая, точка типа "фокус-фокус". Это единственная устойчивая невырожденная особенность интегрируемых систем, не сводящаяся к произведению одномерных особенностей. Ее подробное описание можно найти в [7].

Однопараметрическое семейство таких особенностей можно обнаружить уже на алгебре Ли su(3). Соответствующим вычислениям посвящена четвертая часть первой главы, где предъявляется невырожденная особая точка такого типа.

Основываясь на результатах пятой главы, можно выдвинуть гипотезу о том, что все невырожденные особенности компактных сдвигов инвариантов локально сводятся к минимаксным особенностям, точкам типа "фокус-фокус" и к их прямым произведениям.

Заметим, что сдвиги инвариантов определяются в терминах алгебры Ли, в то время как для определения спектральной кривой требуется выбрать некоторое конкретное представление этой алгебры. Последняя глава диссертации рассматривает сдвиги инвариантов на основных сериях компактных полупростых алгебр Ли, а также на их прямых суммах. Для минимальных представлений таких алгебр определяется понятие спектральной кривой и доказываются следующие утверждения:

Теорема 11. Бифуркацонпая диаграмма Е припадлеоюитп миоэюе-ству D П F(g).

Теорема 12. Для почти всех векторов сдвига а codim(£> П F(g) - Е) > 2.

Далее мы строим параметризацию множества D и сводим задачу о нахождении основного страта бифуркационной диаграммы к отбору ветвей дискриминанта, проходящих через образ отображения момента. Этот отбор является в каком-то смысле тривиальным, так как мы уже доказали в предыдущей главе, что множество регулярных значений связно, и основной страт Е ограничивает ровно одну камеру в дополнении к дискриминанту. При этом вопрос о иепусто-те множества (D \ Е) П F(q) остается открытым для компактных алгебр.

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям — академику А. Т. Фоменко и профессору А. В. Болси-нову за большое внимание к работе и ряд ценных замечаний, определивших направления ее развития.

Сдвиги инвариантов на алгебре su(3)

Минимальная компактная алгебра, на которой сдвиги инвариантов образуют нетривиальную интегрируемую систему - это su(3). В третьей главе приведена теорема 3, сводящая изучение ранга отображения момента в точках подалгебры к изучению ранга сдвигов инвариантов подалгебры. Так как 8и(3)-подалгебры есть почти во всех компактных полупростых алгебрах Ли, то мы проведем подробное исследование этого случая. На примере алгебры su(3) мы изучим основные геометрические свойства отображения момента, исследованию которых посвящена данная работа.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики,, Москва, Наука, 1979.

2. Браилов Ю. А. Топология бифуркационных диаграмм интегрируемых систем на полупростых алгебрах Ли, Докл. Акад. Наук, Сер. матем., 375, No.2, 151-153, 2000.

3. Браилов Ю. А. Геометрия особенностей интегрируемых систем на алгебрах Ли, Докл. Акад. Наук, Сер. матем., 393, No.3, 300-303, 2003.

4. Браилов Ю. А. Геометрия сдвигов инвариантов па полупростых алгебрах Ли, Мат. Сборник, 194, N.11, 3-16, 2003.

5. Болсинов А. В. Критерий полноты семейства функций в инволюции построенных лгетодом сдвига аргумента, Докл. Акад. Наук СССР, Сер. матем., 301, N.5, 1037-1040, 1988.

6. Болсинов А. В., Йованович Б. Интегрируемые геодезические потоки па однородных пространствах, Мат. Сборник, 192, N.7, 21-40, 2001.

7. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классифшкация, Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск, 1999.

8. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Введение в топологию интегрируемых интегрируемыех гамильтпоновых систем, Москва, Наука, 1997.

9. Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003.

10. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамилътоиовой механике, РХД, Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск, 1999.

11. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, Москва, Мир, 1978.

12. Випберг Э. Б., Онищик A. JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Москва, Наука, 1988.

13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, Москва. Наука. 1966.

14. Диксмье Ж. Универсальные обертываюгцие алгебры, Москва, Мир, 1978.

15. Дубровин Б. А., Кричивер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления, т.4, М. ВИНИТИ, 179-288, 1985.

16. Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около иеподвиэ/сной точки, В кн.: Ковалевская С. В. Научные работы (Классики пауки), Москва, 153-232, 1948.

17. Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мерпого твердого тела, Функциональный анализ и его приложения, 10, N.4, 1976.

18. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Об интегрируемости уравнений Эйлера па полг^1ростых алгебрах Ли, Докл. Акад. Наук, 231, 1976, N.3, 536-538.

19. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера па конечномерных группах Ли, Изв. Акад. Наук СССР, Сер. матем., 42, N.2, 396-415, 1978.

20. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли, Труды сем. по вект. и тенз. анализу. 19, Москва, Изд-во Моск. Унив. 3-94. 1979.

21. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза I, Функц. анализ, 8, вып. 3, 54-66, 1974.

22. Нгуен. Т. 3. Топологические инварианты интегрируемых геодезических потоков на многомерном торе и сфере, Труды МИ-РАН, 205, 73-91, 1994.

23. Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем, Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

24. Орел. О. Е. Функция вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнения Абеля. Траекгпорная классификация систем Горячева-Чаплыгина, Матем. Сборник, 186, вып. 2, 105128, 1995.

25. Орел. О. Е., Такахаши. Ш. Траекторная классификация интегрируемых задач Горячева- Чаплыгина методами компьютерного анализа, Матем. Сборник, 187, вып. 1, 95-112, 1996.

26. Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на SO(4), УМН, 42, вып. 2, 199-200, 1990.

27. Ошемков А. А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем с двумя степенями свободы, Труды семинара по векторному и тензорному анализу, выи. 23, Москва, изд-во МГУ, 122-132, 1988.

28. Рейман А. Г. Интегрируемые гамилыпоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли, Записки ЛОМИ, т. 95, 3-54, 1980.

29. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, М., Факториал, Изд-во Удм. ун-та, 1995.

30. Харламов М. П. Топологический анализ классических интегрируемых случаев динамики твердого тела, Докл. Акад. Наук СССР, Сер. матем., 273, N.6, 1322-1325, 1983.

31. Brailov Yu. A., Fomenko А. Т. Lie groups and integrable Hamiltonian systems, Recent Advances in Lie Theory, Heldermann, 2002.

32. Oshemkov A. A. Fomenko Invariants for the Main Integrable Cases of the Rigid Body Motion Equations, Advances in Soviet Mathematics, AMS, 6, 67-146, 1991.

33. Mumford D. Tata lectures on theta, Birkhaiiser, Boston, 1984. Пер. с англ.: Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях, Москва, Мир, 1988.

34. Moser J. Integrable Hamiltonian System and Spectral Theory, Lezioni Fermiani, Pisa, 1981. Пер. с англ.: Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория, М.-Иж., РХД, 184-254, 1999

35. Williamson J. On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dinamical systems, American Journal of Mathematics, 1937, vol. 47, N.4, 719-733, 1995.Общий вид бифуркационной диаграммы для алгебры su(3)t