Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.938.5+515.164.15

4846478

Ошемков Андрей Александрович

Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 3 МАЙ 2011

Москва — 2011

4846478

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

академик РАН,

профессор Фоменко Анатолий Тимофеевич

доктор физико-математических наук, профессор Борисов Алексей Владимирович

член-корреспондент РАН,

профессор Матвеев Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Мищенко Александр Сергеевич

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 10 июня 2011 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «10» мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор . А. О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Представленная работа является исследованием в области топологии интегрируемых систем.

Топологические свойства интегрируемой гамильтоновой системы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента. Прообразы регулярных значений этого отображения являются инвариантными многообразиями системы, диффеоморфными фактору R" по некоторой решетке. Например, если фазовое пространство системы компактно, то, как следует из классической теоремы Лиувилля, такие инвариантные многообразия диффеоморфны п-исрным торам (называемым торами Лиувилля), на которых траектории системы являются условно периодическими.

Если рассматривать прообразы всех точек при отображении момента, то соответствующее слоение на фазовом пространстве системы (называемое слоением Лиувилля) имеет особенности. Кроме торов Лиувилля у него имеются слои, содержащие особые точки отображения момента. Слоение Лиувилля в окрестности этих особых слоев устроено более сложно как с топологической точки зрения, так и с точки зрения динамики.

Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна (теорема Элпассона1). А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент. Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.

Полный ответ в задаче полулокальной классификации особенностей известен лишь для систем с одной и двумя степенями свободы. Иными словами, для каждого типа особенностей таких систем имеется алгоритм их перечисления (описание этих алгоритмов изложено в книге А. В. Болси-нова, А. Т. Фоменко2). Следует отметить, что наиболее сложным является случай гиперболических особенностей ранга 0 (мы называем их седловы-ми особенностями; в случае двух степеней свободы они также называются точками типа седло-седло). В отличие от эллиптических и фокусных осо-

lL. Н. Eliasson, ‘‘Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case” Comm. Math. Helv., 65, (1990), 4-35.

2A.B. Болсинов, A-T. Фоменко, Интегрируемые гамгыътоновы системы. Геометрия, топология, классификация^ т. 1, 2. Ижевск: Издательский дом “Удмуртский университет", 19DD.

бсниостей структура особенности типа седло-седло не определяется однозначно ее сложностью (т. е. количеством особых точек на слое). Например, имеется 4 различные особенности сложности 1, а для сложности 2 число неэквивалентных особенностей типа седло-седло равно 39.

Во второй главе диссертации исследуется структура седловых особенностей произвольной сложности (т.е. с произвольным количеством особых точек ранга 0 на особом слое) с полулокальной точки зрения. Опишем кратко известные результаты, связанные с этой темой.

Первые результаты о полулокальной классификации седловых особенностей были получены в работах Л. М. Лермана и Я. Л. Уманского3, где рассматривались особенности сложности 1 для систем с двумя степенями свободы. В этом случае особый слой представляет из себя двумерный комплекс, клетками которого являются орбиты гамильтонова действия. Для особенностей сложности 1 особый слой содержит одну O-мерную клетку (особая точка), четыре 1-мерные клетки и четыре 2-мерные. При этом каждая 2-мерная клетка является “квадратом”, т. е. ее граница разбита на четыре отрезка, внутренность каждого из которых гомеоморфно отображается на 1-мерную клетку при характеристическом отображении. Л. М. Лерман и Я. Л. Уманский показали, что в случае двух степеней свободы седловые особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны. Исследовав все возможные варианты, они получили полный список, состоящий из четырех попарно неэквивалентных особенностей.

Имеется другой естественный инвариант седловой особенности (в случае двух степеней свободы), называемый “круговой молекулой”. Этот инвариант можно кратко описать следующим образом. Пусть образ особого слоя при отображении момента F есть точка Р € R2. Бифуркационная диаграмма в окрестности точки Р состоит из двух гладких кривых, трансверсально пересекающихся в точке Р, которые можно считать координатными линиями. Рассмотрим маленькую окружность 7 с центром в точке Р и ее прообраз при отображении момента. Круговая молекула — это инвариант, описывающий топологию слоения Лиувилля в трехмерном многообразии F'1^). Круговые молекулы для всех четырех особенностей сложности 1 были вычислены А. В. Болсиновым4. Как оказалось, все они различны, и поэтому также дают классификацию особенностей сложно-

3JÏ. М. Лерман, Я. Л. Уманский, “Классификация четырехмерных гамильтоновых систем и пуас-соиовских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек. I; II; III”, Матсм. сборник, 183, № 12, (1992), 141-176; 184, № 4, (1993), 103-138; 186, Л* 10, (1995), 89-102.

4А. V. Bolsinov, “Methods о} calculation of the Fomenko-Zieschang invariant”, In book: “Topological classification of integrable Hamiltonian systems”, Adv. Soviet Math., vol. 6, Amer. Math. Soc., Providence, HI, 1991, p. 147-183.

сти 1 для систем с двумя степенями свободы.

Полулокальная классификация особенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы была получена А. В. Болсиновым4. Оказалось, что для особенностей сложности 2 топология особого слоя уже не является полным топологическим инвариантом. Поэтому А. В. Волсинов ввел еще один инвариант седловой особенности, называемый “/-типом”, и в результате получил полный список особенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы, состоящий из 39 особенностей. Круговые молекулы для всех 39 особенностей сложности 2 были построены В. С. Матвеевым5 Представление 39 особенностей сложности 2 в виде почти прямых произведений было получено В.В. Корнеевым6.

Случай особенностей сложности 1 для трех степеней свободы исследован В. В. Калашниковым7. Он использует подход, оспованный на разложении особенностей в почти прямое произведение, предложенный Н. Т. Зун-гом8. В работе В. В. Калашникова7 сформулирована теорема о том. что количество особенностей сложности 1 для случая трех степеней свободы равно 32, и приведен их список. Как было потом выяснено, в этом списке пропущены некоторые особенности, а некоторые из почти прямых произведений, указанных в списке, на самом деле задают эквивалентные особенности. Отметим, что рассуждения, использованные В. В. Калашниковым, правильны, но его доказательство теоремы о классификации сводится к некоторому перебору, который в работе не приведен. По-видимому, ошибки в списке возникли именно на этом последнем этапе доказательства.

Также в работе В. В. Калашникова7 доказано следующее утверждение для систем с любым числом степеней свободы: особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны.

Для систем с двумя степенями свободы ни топология особого слоя, ни I-тип особенности не являются полными инвариантами (уже для особенностей сложности 2). Однако, оказывается, что пара {топология особого слоя, /-тип} (этот инвариант называется также

5В. С. Матвеев, “Вычисление значений инварианта Фоменко для точки типа седло-седло интегрируемой гамильтоновой системы”, Труды сем. по вект. и текз. анализу, 25, ч. 1, (1993), 75-104.

6В, В. Корнеев “Представление четырехмерной особенности типа седло-седло в виде почти прямого произведения двумерных атомов. Случай сложности два”, В кн.: “Топологические методы в теории гамильтоновых систем11 (Сборник статей под ред. А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко, А. И. Ша-фаревича), М.: изд-во “Факториал”, 1998, с. 127-135.

7В. В. Калашников, “Простые гиперболические особенности пуассоновьм действий”, В кн.: “Топологические методы в теории гамильтоновых систем” (Сборник статей под ред. А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко, А. И. Шафаревича), М.: изд-во “Факториал", 1998, с. 115-126.

8Nguyen Tien Zung, “Symplectic topology of integrable Hamütonian systems, I: Amold-Liouville with singulañties”, Compositio Math., 101, (1996), 179-215.

з

С-I-типом особенности) однозначно определяет седловую особенность с точностью до полулокалыгой эквивалентности. Этот факт был доказан В. С. Матвеевым9 (см. также работу А.В. Болсинова и В.С. Матвеева10). Отметим, что СЧ-тип особенности можно рассматривать и в случае любого числа степеней свободы. Неизвестно, будет ли этот инвариант полным для систем с числом степеней свободы больше двух.

Отметим также, что круговая молекула, которая является полным инвариантом для особенностей сложности 1 и 2, в общем случае таковым не является. Примеры неэквивалентных особенностей с одинаковыми круговыми молекулами были построены А. В. Грабежным (см. раздел 7.3 в обзоре А. В. Болсинова и А. А. Ошемкова11). Простейший из них имеет сложность 4.

Одним из важных результатов о гтолулокальной структуре особенности безусловно является теорема Н. Т. Зунга8 о разложении любой седловой особенности в почти прямое произведение атомов. Задача классификации тесно связана с вопросом о единственности такого разложения. Очевидно, что любую особенность можно представить в виде почти прямого произведения атомов различными способами, поскольку каждый атом V можно представить как фактор другого атома V по действию конечной группы. Поэтому естественным является вопрос о существовании некоторого “канонического" представления особенности в виде почти прямого произведения. Н. Т. Зунг вводит понятие “минимальной модели” особенности (он также называет ее “канонической моделью”). Далее Н. Т. Зунг доказывает утверждение о том, что для каждой особенности существует единственная минимальная модель (Proposition 7.4). Это утверждение сформулировано им для особенностей произвольного типа и ранга. В такой общности оно заведомо неверно (контрпример легко строится уже для особенностей ранга 1; см. раздел 5.1 в обзоре А. В. Болсинова и А. А. Ошемкова11). В варианте работы8, появившемся позднее в электронном архиве препринтов, некоторые ошибки в формулировках и доказательствах были отмечены в подстрочных примечаниях12. Тем не менее, для седловых особенностей

9В. С. Матвеев, “Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло”, Матем. сборник, 187, № 4, (1996), 29-58.

10А. V. Bolsinov, V. S- Matveev, “Integrable Hamiltonian systems: Topological structure of saturated neighborkoods of nondegenerate singular points”, In book: “Tensor and vector analysís. Qeometry, inechanics, and physics” (Edited by A.T. Fomenko, О. V. Manturov, V. V. Ttofimov), Gordon and Breach Sci. Publ., 1998, p. 31-56.

nA. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, “Singularities of integrable Hamiltonian systems”. In book: “Topological methods in the theoiy of integrable systems” (Edited by A.V. Bolsinov, A.T. Fomenko, A. A. Oshemkov), Cambridge Sci. Publ., 2006, p. 1-67. ,

12arXiv:math.DS/0106013vl

ранга 0 утверждение о единственности минимальной модели (и его доказательство, приведенное Н.Т. Зунгом) верно. Отметим, что это утверждение следует также из результатов диссертации.

Представление особенностей в виде почти прямых произведений достаточно удобно для описания списков особенностей, а также особенностей конкретных систем. Однако теорема Н. Т. Зунга о разложении особенности в почти прямое произведение не позволяет непосредственно получить список особенностей данного типа и данной сложности, поскольку не дает ответа на вопрос о том, как устроены сомножители почти прямого произведения и действие группы на них.

Задача полулокалыюй классификации седловых особенностей произвольной сложности и для произвольного числа степеней свободы решена в диссертации (глава 2). В частности, для таких особенностей построен полный топологический инвариант и получены оценки на сложность сомножителей в минимальной модели.

Третья глава диссертации посвящена классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях. Здесь нет прямой связи с основной темой исследования (особенностями интегрируемых гамильтоновых систем), но для решения этой задачи применены те же подходы и методы.

Вопросы, связанные с качественным исследованием динамических систем на двумерных многообразиях (в частности, классификация таких систем) обсуждались многими авторами. Первые важные результаты в этом направлении были получены в работах А. А. Андронова, Л. С. Понтряги-на13, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера14 15 1б, где исследовались векторные поля достаточно общего вида. В дальнейшем С. Смейл17 18 выделил класс потоков (названных впоследствии потоками Морса-Смейла), которые на двумерном многообразии, с одной стороны, являются типичными, а с другой стороны, имеют простое качественное описание.

М. М. Пейксото19 ввел понятие “различающего графа’, сопоставляемого произвольному потоку Морса-Смейла, и сформулировал теорему о том. что этот граф является полным топологическим инвариантом, классифи-

13А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин, “Грубые системы”, ДАН СССР, 14, № 5, (1937), 247-250.

14Е. А. Леонтович, А. Г. Майер, “О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории”, ДАН СССР, 14, JY* 5, (1937), 251-257.

1<’Е. А. Леонтович, А. Г. Майер, “О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории”, ДАН СССР, 103, 4, (1955), 557-560.

16А.Г. Майер. “О траекториях на ориентируемых поверхностях”, Мат. сборник, 12(54), К* 1, (1943), 71-84.

17С. Смейл, “Неравенства Морса для динамических систем”, Сб. пер. Мат., 11, S'- 4, (1967), 79-87.

18С. Смейл, “Дифференцируемые динамические системы”, УМН, 25, выи. 1, (1970). 113-185.

19М.М. Pcixoto, ‘‘On the classification of flows on 2-manifolds”, In book: “Dynamical systems”, New York, London: Academic Press, 1973, p. 389-419.

цирующим потоки Морса-Смейла на двумерных многообразиях с точностью до траекторной топологической эквивалентности. Однако инвариант, предъявленный М. М. Псйксото, имеет сложное описание. Поэтому трудно реализовать алгоритм сравнения двух таких графов или, например, алгоритм их перечисления для малого количества вершин. Более того, на самом деле, различающий граф является полным траекторным топологическим инвариантом лишь для потоков Морса-Смейла без предельных циклов (такие потоки называют также потоками Морса). Утверждение о том, что классы эквивалентности потоков Морса-Смейла находятся во взаимно-однозначном соответствии с различающими графами в самой работе19 не доказывается, но приводится ссылка на другую работу20, где, как говорит М. М. Пейксото, “с точностью до обозначений доказана содержательная часть этого утверждения”.

В диссертации показано, что различающий граф Пейксото не является полным инвариантом. А именно, приведен пример траекторно топологически не эквивалентных потоков с одинаковым различающим графом.

Позже появились другие описания инварианта Пейксото или похожих инвариантов. Так, например, Г. Флейтас21 описал некоторый инвариант для потоков Морса на двумерных многообразиях, который существенно проще, чем инвариант Пейксото. В работе К. Вонга22 также предъявляется более простой инвариант для потоков Морса-Смейла на ориентируемых двумерных многообразиях, но поскольку К. Вонг строит свой инвариант на основе работы Пейксото, этот новый инвариант также является полным инвариантом лишь для потоков Морса. Теорема 4.14 работы К. Вонга утверждающая, что этот инвариант классифицирует потоки Морса-Смейла общего вида на двумерных многообразиях, неверна (в работе она не доказывается).

Одна из целей главы 3 диссертации — дать описание полного траек-торного топологического инварианта, классифицирующего произвольные потоки Морса-Смейла на произвольных двумерных многообразиях.

Другая цель заключается в следующем. В работах А. Т. Фоменко23 24 была получена классификация особенностей боттовских интегралов на

20М.С. Peixoto, М. М. Peixoto, ‘‘Structural stability in the plane with enlarged boundary conditions”, Anais Acad. Brasil. Ciências, 31, № 2, (1959), 135-160.

21G. Fleitas, “Classification of gradient-like flows on dimensions two and three”, Bol. Soc. Bras. Mat., 6, (1975), 155-183. '

22X. Wang, “The C*-algebras of Morse-Smale flows on two-manifolds”, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 10, (1990), 565-597.

23A. Т. Фоменко, “Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систе.ai и препятствия к интегрируемости”, Изя. АН СССР, Сер. мат., 50, № 6, (1986), 1276-1307.

24А. Т. Фоменко, “Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем”, ДАН СССР. 287, № 5, (1986), 1071-1075.

изоэнергетичсских поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Позже достаточно удобное и формальное описание этой классификации было дано в работе А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко2^ где были введены понятия атомов и молекул. Разработанный подход, терминология, система обозначений оказались удобными для классификации не только интегрируемых гамильтоновых систем, но и других естественных геометрических объектов. Таким образом, вторая цель главы 3 диссертации — продемонстрировать, как указанный подход может быть применен к решению задачи траекторной топологической классификации потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях.

В четвертой главе диссертации обсуждаются некоторые “глобальные’’ свойства интегрируемых гамильтоновых систем и их особенностей.

Вопрос о “классификации” систем на данном фазовом пространстве (т.е. получении их “списка”) в общем случае, конечно, не решен. Отметим один важный частный результат па эту тему, для интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы А. Т. Фоменко и X. Цишан-гом26 был построен полный топологический инвариант, решющий задачу классификации (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) на трехмерных изоэнергетических поверхностях.

Отметим также еще один результат Н. Т. Зунга27. Он вводит понятие “характеристического класса Черна” для интегрируемой гамильтоновой системы и доказывает, что этот инвариант является полным инвариантом систем, рассматриваемых с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Следует отметить, что инвариант, предложенный Н.Т. Зунгом является полезным инструментом при сравнении двух систем, но не позволяет описать класс возможных систем, например, на данном конкретном фазовом пространстве.

Глава 5 диссертации посвящена применению разработанных методов топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем к нескольким конкретным системам.

Множество примеров систем, исследованных ранее различными методами (в частности, методами теории топологической классификации), содержатся в книге А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко2. Выбор примеров, ис-

25А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, '*Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности”, УМН, 45, цып. 2(272), (1990). 49-77.

26А.Т. Фоменко, X. Цишанг, “Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы”, Известия АН СССР, 54, N* 3, (1990), 546-575.

27Nguyen Tien Zung, “Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, II: Topological classification”, Compositio Math., 138, № 2, (2003), 125-156.

следованных в главе 5 был отчасти мотивирован тем, чтобы показать, как работают указанные методы в различных ситуациях (например, когда гамильтоновы поля неполны или когда система обладает бигамильтоновой структурой).

Цель работы и основные задачи

Основные цели диссертации — разработка новых топологических методов исследования интегрируемых гамильтоновых систем, в частности, методов изучения особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, а также применение этих методов к исследованию конкретных интегрируемых систем, возникающих в механике, физике, геометрии.

Основные задачи диссертации: получение полулокалыюй классификации чисто гиперболических особенностей многомерных интегрируемых гамильтоновых систем и изучение свойств их минимальных моделей; исследование топологических свойств множества особых точек интегрируемой гамильтоновой системы как подмножества в фазовом пространстве и описание таких подмножеств для комплексной проективной плоскости; классификация потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях; разработка новых методов топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем и применение этих методов к некоторым конкретным системам, в частности, к случаю Соколова на алгебре Ли во(4), задаче двух центров на двумерной сфере, случаю Манакова в динамике п-мерного твердого тела.

Основные методы исследования

В работе используются методы теории Морса, алгебраической топологии, теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, теории алгебр Ли, симплектической геометрии.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты.

1) Решена задача полулокалыюй классификации чисто гиперболических особенностей ранга 0 для интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы. В частности, построен новый топологический инвариант (/п-граф), решающий эту задачу, описан алгоритм, реализующий перечисление указанных инвариантов, эффективность этого алгоритма продемонстрирована на примере составления списков особенностей малой сложности.

2) Для чисто гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем с любым числом степеней свободы построен алгоритм нахождения сомножителей минимальной модели по /„-графу, а также получена оценка для сложности атомов, являющихся сомножителями минимальной модели особенности произвольной сложности, не зависящая от числа степеней свободы, что обобщает известный ранее результат об особенностях сложности 1.

3) Описаны гомологические свойства комплекса особенностей для интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В частности, доказано, что циклы, заданные особыми точками интегрируемой гамильтоновой системы фиксированного ранга, двойственны по Пуанкаре соответствующим классам Чженя касательного расслоения фазового пространства. Также доказано, что подмногообразия, заполненные гиперболическими особенностями, имеют тривиальное нормальное расслоение в фазовом пространстве системы. В качестве следствия получено описание всех систем с невырожденными особенностями па комплексной проективной плоскости.

4) Предъявлен новый топологический инвариант, классифицирующий потоки Морса-Смейла на двумерных поверхностях. В частности, получен список таких потоков для малой сложности.

5) Проведен топологический анализ интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли зо(4). В частности, вычислены инварианты Фоменко для этой интегрируемой системы.

6) Исследована топология задачи двух центров на двумерной сфере. В частности, вычислены соответствующие инварианты Фоменко-Цишанга. Тем самым на этом примере продемонстрирована возможность применения теории топологической классификации к интегрируемым системам, гамильтоновы потоки которых не являются полными.

7) Для интегрируемых систем, обладающих бигамильтоновой структурой, получено описание в алгебраических терминах множества особенностей ранга 0 и условие их невырожденности. В частности, на основе этих результатов получено описание особенностей многомерной интегрируемой системы, описывающей динамику п-мерного твердого тела.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при проведении топологического анализа конкретных интегрируемых гамильтоновых систем, а также в различных задачах, связанных с изучением и классификацией особенностей отобра-

жения момента, исследованием интегрируемых систем на алгебрах Ли, бигамильтоновых систем.

Апробация результатов

Результаты диссертации неоднократно излагались на семинаре «Современные геометрические методы» и Кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ, а также на научно-исследовательских семинарах в различных зарубежных научных центрах (Токио, Лейпциг, Бохум, Бремен, Бонн, Иена, Белград, Лафборо). Кроме того, были сделаны доклады па следующих международных конференциях:

• International conference dedicated to the 90th anniversary of L. S. Pontryagin (1998, Москва).

• Symposium dedicated to 150th anniversary of birthday of Sofia V. Kovalevskaya (2000, Санкт-Петербург).

• International conference «Differential Equations and Related Topics» dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii (2001, Москва).

• International conference «Contemporary Geometry and Related Topics» (2002, Белград).

• International conference «Classical Problems in the Rigid Body Dynamics» (2004, Донецк).

• The 3rd Seminar on Geometry & Topology (2004, Табриз).

• International confercncc «Alcxandroff Readings» dcdicatcd to 110th anniversary of birthday of P. S. Alexamdroff (2006, Москва).

• International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems» (2008. Белград).

• International conference «Modern problems of mathematics, mechanics and their applications» dedicated to the 70th anniversary of rector of MSU acad. V. A. Sadovnichy (2009, Москва).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах автора, список которых приведен в конце автореферата (тезисы докладов не включены в этот список) [1-16].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и 5 глав, разбитых на разделы и подразделы. Объем диссертации — 268 страниц, список литературы включает 124 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится история вопроса, формулируются цели работы, дается краткое описание основных результатов н структуры диссертации.

Глава 1 содержит основные определения, описание некоторых методов топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, а также изложение необходимых классических результатов.

Слоение Лиувилля.

Говоря об интегрируемой гамильтоновой системе, мы имеем в виду' набор данных (М, ui, Fi,..., Fn). где (М, ш) — это гладкое 2п-мерное сим-плектическое многообразие (фазовое пространство), a F\...., Fn — гладкие функции на М (интегралы), которые функционально независимы почти всюду и для которых соответствующие векторные поля sgrad F; попарно коммутируют и полны на М (через sgrad / обозначено поле, двойственное df относительно w).

Интегрируемой гамильтоновой системе (А/, cj,Fi, ..., Fn) соответствует отображение момента F: М —» М". определяемое формулой F(z) =

(ВД,...,ВД). '

Точки, в которых интегралы зависимы, называются особыми точками системы. Они являются критическими точками отображения момента F. Если rankdF(x) = г, то х является особой точкой ранга г (или особой точкой коранга п — г). Обозначим множество всех критических точек через К. Множество критических значений Е = F(K) называется бифуркационной диаграммой отображения момента F.

Слоение на фазовом пространстве М интегрируемой гамильтоновой системы (M.ui, Fl, ..., Fn), образованное связными компонентами прообразов F_1(y) при отображении момента, называется слоением Лиувилля, соответствующим этой системе.

Слои слоения Лиувилля, не содержащие особых точек, называются регулярными. Все остальные слои называются особыми (или сингулярными). Согласно классической теореме Лиувилля все компактные регулярные слои являются гг-мерными торами (торы Лиувилля). Особый слой L является особенностью ранга г (коранга п — г), если г = minrankdF(x).

Лиувиллева эквивалентность.

Две интегрируемые гамильтоновы системы на t/j and U2 называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм Ф : Ui —> U2, отображающий каждый слой слоения Лиувилля на U\ в слой слоения Лиувилля на С/2.

Выбирая в качестве множеств Ui и f/2 окрестности особых точек или окрестности особых слоев соответствующих слоений Лиувилля. мы, фактически, говорим об “эквивалентности особенностей” интегрируемых систем. Более точно, локальная и полулокальная классификации особенностей интегрируемых гамильтоновых систем означают их классификацию относительно следующих отношений эквивалентности.

Определение. Пусть х\ и х% — критические точки отображений момента для интегрируемых гамильтоновых систем на и (М2, ыг) со-

ответственно, a Li Э æi и ¿2 Э Х2 — особые слои соответствующих слоений Лиувилля. Будем говорить, что эти особенности локально (соотв. полу-локально) лиувиллево эквивалентны, если существуют такие окрестности Ui и U2 точек Æi и Х2 (соотв. слоев Li и Li), что системы на U\ и U2 лиувиллево эквивалентны, причем отображение Ф, устанавливающее эту эквивалентность, отображает точку х\ в точку х2 (соотв. слой L\ в слой L^).

Невырожденность.

Если х £ М — особая точка paîtra 0 интегрируемой гамильтоновой системы (М, и, Fi,..., Fn), то для каждой функции Fi линеаризация векторного поля sgradF* в точке х задает оператор который может быть интерпретирован как элемент алгебры Ли sp(ТХМ) (т. е. алгебры Ли группы линейных симплектических преобразований касательного пространстваТХМ). Поскольку интегралы F\,...,Fn попарно коммутируют, каждая особая точка х ранга 0 задает коммутативную подалгебру f)x в sp(ТХМ) порожденную операторами А^...., А[.п. Особая точка х € М2п ранга 0 называется невырожденной, если f)x является подалгеброй Кар-тана в алгебре Ли sp(ТХМ).

Для особой точки х € М ранга г рассмотрим следующие два линейных подпространства в ТХМ\ подпространство Lx, порожденное косыми градиентами функций Fi,...,Fn в точке х, и его косо-ортогональное дополнение L'x. Форма си индуцирует симплектическую форму ш на фактор-пространствс L'x/Lx. Размерность стабилизатора Stx точки х (при гамильтоновом действии, порожденном функциями Fb ..., Fn) равна п — r. Связная компонента единицы группы StT изоморфна R"~r и ее действие на М порождает действие на ТХМ линейными симплектическими преобразованиями. Поскольку Lx и Ь'х инвариантны относительно этого действия, мы получаем симплектическое (относительно формы й) действие груп-

пы = М.п_г на пространстве Ь'х/Ьх размерности 2(п — г) и коммутативную подалгебру Цх в алгебре Ли эрЬх,й). Особая точка х £ М2п ранга г называется невырожденной, сели \)х является подалгеброй Карта-на в алгебре Ли 5р(Ь'х/Ьх,й)).

Особый слой Ь слоения Лиувилля С будем называть невырожденньш, сели все его точки являются невырожденными.

Теорема 1 (теорема Элиассона). Пусть х — невырожденная особая точка ранга г интегрируемой гамильтоновой системы (М, ш, /*1,..., Рп). Тогда в некоторой окрестности точки х можно ввести симплектические_координагпы q^,..., дп, р\,... ,рп и заменить интегралы Рх,... ,Рп на /*1,..., Рп (задающие то же самое слоение Лиувилля), так что функции рь ■ • • > Рп) при г = 1...., г имеют вид

^ = р{, а при г > г — один из следующих видов:

(1) F¿ = р? + (эллиптический случай),

(2) = р^ (гиперболический случай),

(3) Р,(11+1 Р1+1Ч1 (случай фокус-фокус).

^*4-1 ~ РгЯг “Ь

Из теоремы Элиассона следует, что локальная структура невырожденной особенности однозначно характеризуется ее типом, т. с. ее (ко) рангом и количеством эллиптических, гиперболических и фокусных компонент.

Почти прямые произведения.

Пусть (М2к,ш, /*1,..., ^с) и (М2[,й, Р\,..., р) — интегрируемые гамильтоновы системы. Рассмотрим прямое произведение М2к х М21. Интегралы /*^1, Ё] и 2-формы и, ш естественным образом поднимаются на многообразие М2к х М21 (сохраним для них прежние обозначения). В результате мы получаем новую интегрируемую систему (с к + I степенями свободы)

(.М2к х М21, и + ы, Ри..., Рк, Ри ..., Я).

Интегрируемая гамильтонова система, полученная описанным способом, называется прямым произведением. Аналогичным образом эту операцию можно определить для произвольного числа сомножителей. Особенность интегрируемой гамильтоновой системы, рассматриваемая с локальной (со-отв. полулокальной) точки зрения, называется особенностью типа прямого произведения, если она локально (соотв. полулокально) эквивалентна прямому произведению систем на некоторых окрестностях соответствующих точек (соотв. слоев).

Из теоремы Лиувилля следует, что любую интегрируемую гамильтонову систему с п степенями свободы в окрестности тора Лиувилля можно рассматривать как прямое произведение п тривиальных систем с одной степенью свободы. Теорема Элиассона говорит о том, что локально каждая невырожденная особенность может быть разложена в прямое произведение базисных невырожденных особенностей (двумерных и четырехмерных). аналогичное описание топологии невырожденных особенностей существует и в полулокальном случае. Это описание дается в терминах “почти прямых произведений”, которые определяются следующим образом.

Рассмотрим особенность U = W\ х • • • х Wm, являющуюся прямым произведением особенностей, и действия р\,...,рт конечной группы G на ее сомножителях, удовлетворяющие следующим условиям:

• каждое отображение Pi(g): W{ —> Wi является симплектоморфиз-мом, сохраняющим функции, которые определяют слоение Лиувилля и a W^,

• действие р группы G на U = W\ х • • • х Wm: заданное формулой р{д){хи ...,Хт) = (Pl(g)(xi), . . . ,Рт{д){Хт)), свободно.

Факторизуя пространство U = W\ х • • • х Wm по действию р группы G, мы получаем гладкое многообразие U/G, причем симплектическая структура и коммутирующие функции, определяющие слоение Лиувилля, переносятся естественным образом с U на U/G. Особенности вида (W\ х • ■ • х VVm)/G называются почти прямыми произведениями. Особенности, лиувиллево эквивалентные почти прямым произведениям, будем называть особенностями типа почти прямого произведения.

Как было доказано H. Т. Зунгом, все невырожденные особенности, • удовлетворяющие некоторому естественному “условию нерасщепляемо-сти”, лиувиллево эквивалентны почти прямым произведениям простейших (двумерных и четырехмерных) особенностей. Мы сформулируем “условие нерасщепляемости” и теорему Зунга “о разложении” для случая гиперболических особенностей ранга 0.

Определение. Будем говорить, что невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 для системы с п степенями свободы удовлетворяет условию нерасщепляемости, если для некоторой окрестности U особого слоя L бифуркационная диаграмма отображения момента F : U —> Rn может быть переведена некоторым диффеоморфизмом R" ^ R” в объединение координатных гиперплоскостей.

Теорема 2 (теорема Зунга). Любая невырожденная гиперболическая особенность ранга 0 (для системы с п степенями свободы), удовлетворя-

ющая условию нерасщепляемости, полулокально лиувиллево эквивалентна почти прямому произведению гиперболических особенностей систем с одной степенью свободы (т.е. атомов).

Определение. Минимальная модель — это такое почти прямое произведение атомов (Ц х • • ■ х Ц,)/С: что каждый (нетривиальный) элемент группы С? действует нетривиально не менее чем на двух компонентах произведения V} х • • • х Уп.

В главе 2 рассматриваются невырожденные особенности ранга 0, имеющие только гиперболические компоненты. Основная цель — получить полулокальную классификацию таких особенностей с точностью до ли-увпллевой эквивалентности.

Опишем более точно класс особенностей, для которых решается задача классификации:

1) рассматриваемый особый слой невырожден и содержит лишь конечное число особых точек ранга 0, причем все они чисто гиперболические;

2) в некоторой окрестности рассматриваемого особого слоя все слои слоения Лиувилля компактны;

3) рассматриваемая особенность удовлетворяет условию нерасщепляемости.

Особенности; для которых выполнены условия 1-3, будем называть сед-ловыми особенностями.

Ясно, что имеется бесконечное число неэквивалентных седловых особенностей. Поскольку п (число степеней свободы) и к (сложность, т. е. количество особых точек ранга 0 на слое) являются инвариантами седловой особенности относительно лиувиллевой эквивалентности, имеет смысл говорить о классификации особенностей для данной пары чисел п и к. Тем самым бесконечный “список” всех особенностей можно разбить на конечные части.

Задача полулокалъной классификации седловых особенностей с точностью до лиувиллевой эквивалентности может быть сформулирована следующим образом: описать алгоритм, позволяющий для данных пик получить полный список неэквивалентных седловых особенностей сложности к для систем с п степенями свободы.

Поставленная задача решается в работе следующим образом: каждой невырожденной седловой особенности ранга 0 сопоставляется комбинаторный объект (/„-граф), являющийся графом с дополнительной структурой в виде раскраски ребер и ориентации некоторых ребер. Это сопоставление становится однозначным, если рассматривать /„-графы с точностью

до применения к ним двух простых операций (называемых изменением ориентации и переворачиванием). Тем самым задача полулокальной классификации ссдловых особенностей ранга 0 сводится к задаче перечисления /„-графов.

Один из основных результатов данной главы — следующая теорема классификации.

Теорема 3. Две седловые особенности интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им }п-графы эквивалентны. При этом любой связный /„-граф соответствует некоторой седловой особенности.

Доказательство этой теоремы основано на том, что построенное соответствие между невырожденными седловыми особенностями ранга 0 и /п-графами является естественным в следующем смысле: операция прямого произведения простейших особенностей (атомов) соответствует операции произведения /-графов, а факторизация прямых произведений особенностей по свободному покомпонентному действий конечной группы соответствует аналогичной факторизации /„-графов. В силу теоремы Зунга все особенности, удовлетворяющие условию нерасщепляемости, могут быть получены из атомов при помощи этих двух операций.

В разделе 2.1 вводится понятие /-графа (это /„-граф при п = 1), с помощью которого решается задача классификации седловых особенностей для систем с одной степенью свободы (или, что то же самое., функций Морса на двумерных поверхностях с одним критическим седловым значением; такой объект также называется атомом). В разделе 2.2 приводится обзор известных ранее результатов о классификации седловых особенностей. В разделе 2.3 описано построение инварианта (/„-графа). Раздел 2.4 посвящен доказательству теоремы классификации.

В разделе 2.5 дана другая интерпретация построенного инварианта (на языке наборов перестановок, удовлетворяющих некоторым условиям коммутирования) и описан алгоритм, позволяющий получить список седловых особенностей сложности к для систем с п степенями свободы. Приведем некоторые результаты вычислений по разработанным алгоритмам для особенностей малой сложности.

Предложение. 1) Для интегрируемых гамильтоновых систем с п = 2 степенями свободы количество попарно неэквивалентных седловых особенностей сложности к — 1, 2, 3 равно соответственно 4, 39, 147.

2) Для интегрируемых гамильтоновых систем сп = 1, 2, 3, 4 сте-

пенями свободы количество попарно неэквивалентных седловых особенностей сложности к = 1 равно 1, 4. 32, 622 соответственно.

Отметим, что программа, реализующая указанный алгоритм, выдает, конечно, не только количество, но н список особенностей. В частности, в разделе 2.7 приведен список из 32 особенностей сложности 1 для трех степеней свободы, в котором исправлены ошибки, имевшиеся в списке из работы В. В. Калашникова7.

В разделе 2.7 более подробно исследованы особенности сложности 1. Доказано, что в этом случае в каждом классе эквивалентности /„-графов сложности 1 можно однозначно выбрать “простой” /„-граф. Вследствие этого удалось упростить формулировку теремы классификации для особенностей сложности 1, заменив в ней “эквивалентность” /„-графов на “изоморфность”. Еще один эффект, обнаруженный для особенностей сложности 1, заключается в том, что перестановки, соответствующие данному /„-графу сложности 1. задают на множестве его вершин структуру аффинного пространства (над полем Ъ2) и набор аффинных преобразований. Точнее, каждому /„-графу сложности 1 соответствует набор аффинных преобразований Рх,... Рп, <5ь .. •, 6 СА (п. Ъ^). удовлетворяющих

следующим условиям:

(А1) Р\,... Рп образуют базис в подгруппе сдвигов группы СА(п, 2г); (А2) О),..., Оп попарно коммутируют:

(АЗ) Рф = QjPi при iфj.

Если рассматривать такие наборы с точностью до сопряжения в группе СА(п. 2г) и перенумерации базисных элементов, то указанное соответствие является взаимно-однозначным. Это позволяет переформулировать теорему классификации для особенностей сложности 1 в алгебраических терминах и упростить алгоритм их перечисления.

Приведем еще одно утверждение, доказанное в разделе 2.7, косвенно показывающее, что если говорить лишь о количестве седловых особенностей (для данных п и к), то вряд ли можно надеяться на получение некоторой “формулы”.

Предложение. 1) Для интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы количество седловых особенностей сложности I, для которых сомножителями минимальной модели являются лишь атомы В и С2, равно количеству всех ориентированных графов с п вершинами без петель и кратных ребер.

2) Для интегрируемых гамильтоновых систем с п степенями свободы количество седловых особенностей сложности 1, для которых сомножителями минима,п.ъной модели являются один атом В и п— 1 атомов Р\, равно количеству всех неориентированных графов без петель и крат-

ных ребер, число вершин которых равно п — 1, причем ни одна из вершин не является изолированной.

Еще один вопрос, исследуемый в главе 2 (раздел 2.6), связан с описанием сомножителей минимальной модели. Обозначим через А^п множество атомов, которые могут быть сомножителями минимальной модели для седловой особенности сложности к интегрируемой гамильтоновой системы с п степенями свободы (в частности, — это просто множество всех атомов сложности к). Введем также следующие обозначения: |К| — сложность атома V, а вУ — несвязное объединение 5 экземпляров атома V.

Теорема 4. Если V € Ак.п> то

1) \У\ < к22к, '

2) |У] является делителем числа к2п~1,

3) существует свободное действие 2!?'1 на зУ, где в • |К| = к2п~1.

Как было замечено В. В. Калашниковым7, множества А^п одинаковы

при всех п > 3 (они состоят из четырех атомов В, 0\,Съ, Р4), т. е. для особенностей сложности 1 все возможные сомножители их минимальных моделей “появляются” при перечислении особенностей с числом степеней свободы п = 3. Следующее утверждение показывает, что тот же эффект имеет место для любой сложности: все атомы, являющиеся сомножителями минимальных моделей для особенностей сложности к, возникают при классификации особенностей с числом степеней свободы п = 2к +1 (в том числе, возможно, меньшей сложности).

к

Теорема 5. Если п>2к + 1, то Ак.п С и М^к+г-

¿=1 ’

Наконец, в разделе 2.8 приводится пример седловой особенности, не являющейся почти прямым произведением. Это невырожденная особенность сложности 6 (две степени свободы). Доказательство того, что она не представима в виде почти прямого произведения, основано на том. что ее особый слой устроен иначе, чем особые слои особенностей типа почти прямого произведения (двумерные клетки имеют вид треугольников и 6-угольников, а не квадратов).

В главе 3 решается задача классификации потоков Морса-Смейла на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до траекторией топологической эквивалентности (т. е. с точностью до гомеоморфизма, переводящего траектории в траектории с сохранением ориентации.

В разделе 3.1 строится инвариант для потоков Морса (трехцветный граф), представляющий из себя граф, все вершины которого имеют сте-

пень 3, а ребра раскрашены в три цвета таким образом, что в каждой вершине сходятся ребра трех разных цветов. Два трехцветных графа считаются изоморфншми, если они изоморфны как графы с сохранением раскраски. Цвета обозначаются буквами в, Ь, и, а циклы, на которые распадается трехцветный граф после выбрасывания всех ребер одного цвета, называются Ы-циклами, ви-циклами и вЬ-циклами.

Далее в разделе 3.1 описывается процедура сопоставления каждому потоку Морса (отличному от простейшего, т. е. не имеющего седел) некоторого трехцветного графа. Сепаратрисы потока разрезают поверхность на “четырехугольники”, каждый из которых затем разрезается еще одной траекторией, идущей из источника в сток, на два треугольника. Стороны каждого из полученных треугольников имеют тип й (траектория из источника в седло), и (траектория из седла в сток) и t (траектория из источника в сток). Трехцветный граф, сопоставляемый потоку, можно рассматривать как граф, двойственный этому разбиению на треугольники, с естественной раскраской.

В следующем утверждении собраны вместе результаты раздела 3.1.

Теорема 6. 1) Два потока Морса на двумерных поверхгметпях

(отличные от простейшего) топологически траекторий эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им трехцветные графы изоморфны.

2) Трехцветный граф соответствует некоторому потоку Морса на двумерной поверхности тогда и только тогда, когда все его ви-циклы имеют длину 4.

3) Пусть Т(ь) — инвариант потока Морса V, заданного на поверхности М. Тогда

a) эйлерова характеристика поверхности М равна

Х(Л/) = т0(Г(и)) - т1(Т(и)) + т2(Т(г>)),

где то(Т), тп^Т) и т2(Т) соответственно количество вЬ-циклов, Бициклов и Ы-циклов;

b) поверхность М ориентируема тогда и только тогда, когда граф Т(и) (без учета раскраски) не имеет циклов нечетной длины.

В разделе 3.2 дано описание других траекторных топологических инвариантов для потоков Морса и, в частности, их выражение через трехцветный граф. Кроме того здесь описана связь между классификацией потоков Морса и классификацией функций Морса на двумерных поверхностях.

В разделе 3.3 приведен пример, показывающий, что различающий граф Пейксото не является полным топологическим инвариантом для

потоков Морса-Смейла. Далее в разделе 3.3 строится инвариант (11-молекула), классифицирующий потоки Морса-Смейла с точностью до траскторной топологической эквивалентности. А именно, доказываются три утверждения, аналогичные трем пунктам приведенной выше теоремы для случая потоков Морса (теорема классификации, теорема реализации и теорема, описывающая топологию поверхности через характеристики соответствующей и-молекулы).

В разделе 3.4 описан один из возможных способов составления списка для построенных в данной работе инвариантов. Для этого описывается представление трехцветных графов и гьмолекул в виде простого кода (строчки символов некоторого алфавита) и алгоритм перечисления этих кодов. В качестве примера реализации этого алгоритма в разделе 3.4 приведен полный список этих кодов для потоков Морса с не более чем двумя седловыми точками (15 потоков) и для потоков Морса-Смейла с не более чем тремя критическими элементами (36 потоков).

В главе 4 рассматриваются некоторые глобальные топологические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем.

Сначала в разделе 4.1 описывается классическая конструкция, связанная с геометрической интерпретацией классов Чженя комплексного векторного расслоения. Пусть М — компактное ориентированное многообразие, Е —> М — комплексное векторное расслоение ранга к. а в = (йь ... ,5*) — набор глобальных гладких сечений расслоения Е. Множество вырождения Dj(s) определяется как множество точек а: 6 М, в которых линейно зависимы. Если набор сечений удовлетворяет

некоторым естественным условиям “общего положения”, то на подмножествах О^ можно ввести ориентацию и рассмотреть соответствующие циклы в гомологиях, которые называются циклами вырождения сечений в. В этом случае верно следующее утверждение (которое иногда называют формулой Гаусса-Бонне): Для общего набора сечений б класс Чженя Сг(Е) двойствен по Пуанкаре циклу вырождения Пь-г+1 сечений в.

Далее в разделе 4.1 показано, что набор коммутирующих векторных полей на симплектическом многообразии можно рассматривать как набор сечений комплексного векторного расслоения. Корректность такой процедуры вытекает из следующих двух простых утверждений.

Утверждение 1. Для любого симплектического многообразия существует почти комплексная структура, согласованная с симплектиче-ской структурой, причем множество таких почти комплексных структур стягиваемо.

Утверждение 2. Пусть (V, ш) — вещественное линейное симплек-

тическое пространство, а J — (постоянная) комплексная структура на V, согласованная с формой и. Рассмотрим набор векторов II = {их...., щ} в пространстве V. Обозначим через гкт 17 ранг системы векторов щ,...,и1, а через гкси — ранг этой системы векторов в пространстве V, рассматриваемом как комплексное пространство (относительно ,/). Тогда если линейная оболочка Ь системы векторов является изотропным подпространством в V (т. е. = 0), то гкк и = гкс и.

Отметим, что даже для систем с невырожденными особенностями набор сечений вйгас!, з§га<1 F„ может не быть общим. Более того, легко привести примеры интегрируемых гамильтоновых систем, для которых этот набор нельзя сделать общим, выбирая другие интегралы, задающие то же самое слоение Лиувилля. В нашей ситуации роль цикла вырождения будет играть множество КТ, являющееся замыканием множества особых точек ранга г.

Далее в разделе 4.1 рассматривается случай двух степеней свободы и множество К\, являющееся замыканием множества особых точек ранга 1 для интегрируемой гамильтоновой системы (М4,ш, F2). Если М4 ком-

пактно. а все особые точки невырождены, то из теоремы Элиассона следует, что К1 является объединением замкнутых двумерных подмногообразий, погруженных в фазовое пространство Л/4. При этом каждое из этих (погруженных) подмногообразий заполнено либо эллиптическими, либо гиперболическими одномерными орбитами соответствующего Пуассонова действия. Ориентируя “эллиптические” подмногообразия формой и, а “гиперболические” формой (— и>), мы получаем некоторый класс гомологий [Кх] вЯ2(М4Д).

Теорема 7. Пусть (М4,ш, — интегрируемая гамильтонова

система с невырожденными особенностями на компактном многообразии. Класс \КЛ £ //г(Л/4,2) двойствен по Пуанкаре первому классу ЧженяС1{МА) е Н2(МА). '

В разделе 4.2 исследуются некоторые другие свойства комплекса К, образованного особыми точками интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Приведем следующий результат.

Теорема 8. Пусть все особые точки интегрируемой гамильтоновой системы (А/4, а;, ^\, Л) невырождены. Тогда любое двумерное подмногообразие, входящее в состав комплекса особенностей К и заполненное гиперболическими особыми точками, имеет тривиальное нормальное расслоение в МА.

В качестве примера использования полученных ограничений на классы

гомологий двумерных подмногообразий, заполненных особыми точками, далее в разделе 4.2 дано описание всех систем с невырожденными особенностями на комплексной проективной плоскости.

В работе N. С. Leung и М. Symington28 исследовались слоения Лиувил-ля интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы без гиперболических особенностей (такие слоения называются почти ториче-скими слоениями). В этих работах описаны все возможные тотальные пространства таких слоений (почти торические четырехмерные многообразия) и базы соответствующих им почти торических слоений. В частности, было показано, что для СР2 имеется всего четыре возможности: базой почти торического слоения является двумерный диск, граница которого имеет к “углов” (к = 0,1,2,3) и внутри которого имеется 3 — к “узлов”, соответствующих фокусным особенностям. Обозначим такую базу через D\.

Теорема 9. Существует ровно четыре типа интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на симплекти-ческом многообразии (CP2,u>q). Соответствующие им слоения Лиувил-ля являются почти торическими слоениями с базой Dгде к = 0,1,2,3.

В главе 5 рассматриваются несколько конкретных примеров интегрируемых гамильтоновых систем. На этих примерах демонстрируется применение различных методов топологического анализа интегрируемых систем и вычисления их топологических инвариантов.

Первая система, для которой проводится топологический анализ (раздел 5.1) — это так называемый случай Соколова.

В работе В. В. Соколова29 были описаны новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера на шестимерных алгебрах Ли so(4). so(3,1), е(3). Гамильтонианы всех этих случаев — квадратичные функции на алгебре Ли. а интегралы — полиномы степени 4. Алгебраические свойства этих интегрируемых случаев пока не очень понятны, хотя похоже, что имеются качественные отличия от известных ранее случаев интегрируемости (например, от случая Ковалевской, где дополнительный интеграл также имеет степень 4). Поэтому представляет интерес исследование этих интегрируемых случаев с топологической точки зрения. Основной результат, полученный для данной системы — вычисление инвариантов Фоменко.

Второй пример, рассмотренный в диссертации (раздел 5.2) — задача двух центров на сфере.

Отметим, что данная система (как и другие подобные системы, оиисы-

28N. С. Leung, М. Symington, “Almost toric symplectic four-manifolds”, arXiv:math/03l2165, (2003).

29B. В. Соколов, “Об одном классе квадратичных гамильтонгтнов на so(4) ”, Докл. РАН, 394, № 5, (2004), 1-4. ,

вающие движение точки в ньютоновском потенциале) имеет особенности, связанные с неполнотой гамильтонова поля (“падение" на центр). Поэтому, формально говоря, к этой системе нельзя напрямую применить методы теории топологической классификации. Однако после проведения подходящей регуляризации это оказывается возможным. В результате для этой (регуляризованной) системы вычислены все инварианты Фоменко-Цишанга, т.е. полностью описана топология лнувиллевых слоений на изо-энергетических поверхностях.

Наконец, в разделе 5.3 рассматривается еще один пример интегрируемой системы — многомерно твердое тело.

Эту систему можно рассматривать как гамильтонову систему Eia алгебре Ли so(п). Кроме того она обладает бигамильтоновой структурой, т. е. является гамильтоновой относительно целого пучка скобок Пуассона. Поэтому сначала в разделе 5.3 описаны некоторые новые общие методы исследования особенностей бигамильтоновых систем. В результате применения этих методов к рассматриваемой системе получено описание (в алгебраических терминах) множества особых точек системы, множества ее положений равновесия, а также условий их невырожденности.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает глубокую благодарность своему научному юшеуль-танту академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко за постоянное внимание к работе и поддержку. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной гсометии и приложений механикоматематического факультета МГУ за исключительно теплую и дружескую атмосферу, способствующую успешной работе, а также лично Алексею Викторовичу Болсинову за многочисленные полезные обсуждения вопросов, затронутых в диссертации.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (работы 1-11 входят в официальный Перечень ВАК)

[1] А. А. Ошемков, “Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей”, Труды Математического института РАН, 205, 131-140 (1994).

[2| А. А. Ошемков, В. В. Шарко, “О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях”, Матем. Сборник, 189, № 8, 93-140 (1998). [Диссертанту принадлежат разделы 1.2-1.4, 2.4, 3.1, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2.] '

[3] В. С. Матвеев, А. А. Ошемков. “Алгоритмическая классификация инвариантных окрестностей точек типа седло-седло”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №2, 62-65 (1999). [Диссертанту принадлежит идея алгоритма, а также Лемма и Утверждение 2 Теоремы.]

[4] Т. Г. Возмищева, А. А. Ошемков, “Топологический анализ задачи двух центров на двумерной сфере", Матем. Сборник, 193, № 8, 3-38 (2002). [Диссертанту принадлежат разделы 1.1, 1.3, 2.2, 2.4.]

[5] Г. Хагигатдуст, А. А. Ошемков, “Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) ”, Матем. Сборник, 200, № 6, 119-142 (2009). [Диссертанту принадлежит §3.]

[6] А. V. Bolsinov, A. A. Oshernkov, “Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems”, Regular and Chaotic dynamics, 14, №4-5, 325-348 (2009). [Диссертанту принадлежат §§ 2, 3, 6-8.]

[7| А. А. Ошемков, “Сомножители минимальных моделей для седловых особенностей интегрируемых гамильтоновых систем”, ДАН, 433, №2, 173-177 (2010).

[8] А. А. Ошемков, “Топология множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы”, ДАН, 434, №5, 587-590 (2010).

[9] А. А. Ошемков. “Классификация гиперболических особенностей ран-

га 0 интегрируемых гамильтоновых систем”, Матем. Сборник, 201, № 8, 63-102 (2010). ‘

[10] А. А. Ошемков, “Классификация интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на СР2”, ДАН, 437, №4, 462-464 (2011).

[11] А. А. Ошемков, “Седловые особенности сложности 1 интегрируемых

гамильтоновых систем”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем.. Мех., №2, 3-12 (2011). ”

[12] A. A. Oshemkov, “Computer cxaminatoin of integrable Hamiltonian systems”, Int. Journ. of Shape Modeling, 1, № 1 61-75 (1995).

[13] A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, V. V. Sharko, On classification of flows on manifolds. I, Methods of Functional Analysis and Topology, 2, № 2, 190-204 (1996). [Диссертанту принадлежит §3.]

[14] А. А. Ошемков, “О топологической структуре множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы”, В кн.: “Топологические методы в теории гамильтоновых систем” (под ред. А. В.Болсинова, А. Т. Фоменко, А. И. Шафаревича) — Москва, Факториал, 272-287 (1998).

[15] A. A. Oshemkov, “The topology of the set of singular points for integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, In book: “Proc. of the 3rd Seminar on Geometry fe Topology (July 15-17, 2004, Tabriz, Iran)” — Azarbaidjan Univ. of Tarbiat Moallem, 185-204 (2004).

|16] A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, “Singularities of integrable Hamiltonian systems”, In book: “Topological methods in the theory of integrable systems” (Edited by A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, A. A. Oshemkov) — Cambridge Sci. Publ., 1-67 (2006). [Это обзорная статья, результаты диссертанта содержатся в разделах 5.3 и 7.8.]

Подписано в печать 30.04.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1112 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

Глава 1. Особенности интегрируемых гамильтоновых систем

1.1. Топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем

1.2. Невырожденные особенности.

1.3. Почти прямые произведения

Глава 2. Классификация седловых особенностей интегрируемых гамильтоновых систем

2.1. Атомы п /-графы

2.2. Обзор известных результатов о седловых особенностях

2.3. Построение инварианта.

2.4. Доказательство теоремы классификации.

2.5. Алгоритм перечисления седловых особенностей.

2.6. Сомножители минимальной модели.

2.7. Случай особенностей сложности 1.

2.8. Пример особенности, не являющейся почти прямым произведением

Глава 3. Классификация потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях.

3.1. Классификация потоков Морса.

3.2. Сравнение некоторых известных инвариантов.

3.3. Классификация потоков Морса-Смейла.

3.4. Кодирование и перечисление потоков.

Глава 4. Топология множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы.

4.1. Особенности интегрируемой гамильтоновой системы как особенности набора сечений комплексного расслоения.161 •

4.2. Топологические свойства комплекса особенностей для систем с двумя степенями свободы.

Глава 5. Примеры вычисления инвариантов интегрируемых си

5.1. Интегрируемый случай Соколова на бо(4)

5.2. Задача двух центров на сфере.

5.3. Многомерный волчок Эйлера-Манакова.

Диссертация является исследованием в области топологии интегрируемых систем. В ней разрабатываются новые методы изучения особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, которые затем применяются для классификации некоторых типов особенностей, изучения их полулокальных и глобальных свойств, а также для исследования топологии нескольких конкретных интегрируемых систем.

Хорошо известно, что топологические свойства интегрируемой гамильтоновой системы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента. Прообразы регулярных значений этого отображения являются инвариантными многообразиями системы, диффеоморфными фактору Ж" по некоторой решетке. Например, если фазовое пространство системы компактно, то, как следует из классической теоремы Лиувилля, такие инвариантные многообразия диффео-морфны п-мерным торам (называемым торами Лиувилля), на которых траектории системы являются условно периодическими.

Если рассматривать прообразы всех точек при отображении момента, то соответствующее слоение на фазовом пространстве системы (называемое слоением Лиувилля) имеет особенности. Кроме торов Лиувилля у него имеются слои, содержащие особые точки отображения момента. Слоение Лиувилля в окрестности этих особых слоев устроено более сложно как с топологической точки зрения, так и с точки зрения динамики.

Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна. А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент. Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.

В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с полулокальной и глобальной топологией интегрируемых систем, которые активно исследовались в течение последних 20-25 лет.

1. A.A. Андронов, JT.С. Понтрягин, "Грубые системы", ДАН СССР, 14, №5 (1937), с. 247-250.

2. Д. В. Аносов, "Грубые системы", Труды МИАН СССР, 169 (1985), с. 59-93.

3. С.Х. Арансон, В.З. Гринес, "Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных лтогообразаях", Успехи матем. наук, 41, №1 (1986), с. 149-169.

4. Ю. А. Архангельский, Аналитическая динамика твердого тела, М.: Наука, 1977.

5. А. В. Болсинов, Согласованные скобки Пуассона и полнота семейств функций в инволюции, Известия АН СССР, 55, №1 (1991), с. 68-92.

6. А. В. Болсинов, "Многомерные случаи Эйлера и Клебша и лиевы пучки", Труды сем. по вект. и тенз. анализу, 24 (1991), с. 8-12.

7. А. В. Болсинов, "Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко", Труды сем. по вект. и тенз. анализу, 26 (2005), с. 87-109.

8. A.B. Болсинов, A.B. Борисов, "Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли", Матем. заметки 72, №1 (2002), с. 11-34.

9. А. В. Болсинов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, "Топологическая классификация интегрируемых гамилыпоновых систем с двумя степенями свободы. Список cucmeAt малой сложности", Успехи матем. наук, 45, №2 (1990), с. 49-77.

10. А. В. Болсинов, П. Рихтер, А. Т. Фоменко, "Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской", Матем. сборник, 191, №2 (2000), с. 1-42.

11. A.B. Болсинов, А.Т. Фоменко, "Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систель с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I; II", Матем. сборник, 185, №4 (1994), с. 27-80; 185, №5 (1994), с. 27-78.

12. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

13. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

14. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, В. В. Соколов, "Новый интегрируемый случай на so(4)", ДАН, 381, №5 (2001), с. 614-615.

15. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.

16. A.B. Браилов, А.Т. Фоменко, "Топология интегральных подмногообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем", Матем. сборник, 134(176), №3(11) (1987), с. 375-385.

17. Т. Г. Возмищева, А. А. Ошемков, "Топологический анализ задачи двух центров на двумерной сфере", Матем. сборник, 193, №8 (2002), с. 3-38.

18. И. М. Гельфапд, И. С. Захарович, "Спектральная теория пучка кососиммет-рических дифференциальных операторов 3-го порядка на S1", Функц. анализ и его при л., 23, №2 (1989), с. 1-11.

19. И. 3. Голубчик, В. В. Соколов, "Согласованные скобки Ли и уравнение Янга-Бакстера", Теор. мат. физ., 146, №2 (2006), с. 195-207.

20. Ф. Гриффите, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии, М.: Мир, 1982.

21. Е.В. Жужома, B.C. Медведев, "Глобальная динамика систем Морса-Смейла", Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова, 261 (2008), с. 115-139.

22. Н. Е. Жуковский, "О двио/сении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы", В кн.: Полн. собр. соч. Т. 1, M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1937, с. 490-535.

23. М.Ю. Ивочкин, "Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости", Матем. сборник, 199, №6 (2008), с. 85-104.

24. В. В. Козлов, "О динамике в пространствах постоя^той кривизны", Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №2 (1994), с. 28-35.

25. Е. А. Леонтович, А. Г. Майер, "О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории", ДАН СССР, 14, №5 (1937), с. 251-257.

26. Е. А. Леонтович, А. Г. Майер, "О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории", ДАН СССР, 103, №4 (1955), с.557-560.

27. Н. И. Лобачевский, "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных", В кн.: Полн. собр. соч. Т. 2, М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

28. А. Г. Майер, "О траекториях на ориентируемых поверхностях", Матем. сборник, 12, № 1 (1943), с. 71-84.

29. C.B. Манаков, "Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела", Функц. анализ и его прил., 10, №4 (1976), с. 93-94.

30. В. С. Матвеев, "Вычисление значений инварианта Фоменко для точки типа седло-седло интегрируелюй гамилътоновой системы", Труды сем. по вект. и тенз. анализу, 25, ч. 1 (1993), с. 75-104.

31. В. С. Матвеев, "Интегрируемые гамилътоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло", Матем. сборник, 187, №4 (1996), с. 29-58.

32. В. С. Матвеев, А. А. Ошемков, "Алгоритмическая классификация инвариантных окрестностей точек типа седло-седло", Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №2 (1999), с.62-65.

33. Дж. Милнор,' Дж. Сташеф, Характеристические классы, М.: Мир, 1979.

34. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, "Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли", Известия АН СССР, 42, №2 (1978), с. 396-415.

35. П. В. Морозов, "Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша", Матем. сборник, 193, №10 (2002), с. 113-138.

36. П. В. Морозов, "Вычисление инвариантов Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае Ковалевской-Яхьи", Матем. сборник, 198, №8 (2007), с. 59-82.

37. A.A. Ошемков, "Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев диналшки твердого тела на so(4) Успехи матем. наук, 42, №6 (1987), с. 199-200.

38. A.A. Ошемков, "Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы", Труды сем. по вект. и тенз. анализу, 23 (1988), с. 122-132.

39. А. А. Ошемков, "Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела", Труды сем. по вект. и тенз. анализу, 25, ч. 2 (1993), с. 23-109.

40. A.A. Ошемков, "Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностейТруды Матем. иист. РАН, 205 (1994), с. 131-140.

41. А. А. Ошемков, "Сомножители минимальных моделей для седловых особенностей интегрируемых гамильтоновых системДАН, 433, №2 (2010), с. 173-177.

42. А. А. Ошемков, "Топология множества особенностей интегрируемой гамиль-тоновой системы", ДАН, 434, №5 (2010), с. 587-590.

43. A.A. Ошемков, "Классификация гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем", Матем. сборник, 201, №8 (2010), с. 63-102.

44. A.A. Ошемков, "Классификация интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на СР2", ДАН, 437, №4 (2011), с. 462-464 .

45. А. А. Ошемков, "Седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем", Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №2 (2011), с. 3-12.

46. А. А. Ошемков, В. В. Шарко, "О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях", Матем. сборник, 189, №8 (1998), с. 93-140.

47. Ж. Палис, В. диМелу, Геометрическая теория динамических систем. Введение, М.: Мир, 1986.

48. А. М. Переломов, Интегрируемые систелш классической механики и алгебры Ли, М.: Наука, 1990.

49. П. Е. Рябов, "Бифуркации первых интегралов в случае Соколова", Теор. мат. физ., 134, №2 (2003), с. 207-226.

50. С. Смейл, "Неравенства Морса для диналшческих систем", Сб. пер. Матем., 11, №4 (1967), с. 79-87.

51. С. Смейл, "Дифференцируемые динамические системы", Успехи матем. наук, 25, №1 (1970), с. 113-185.

52. С. Смейл, "Топология и механика", Успехи матем. наук, 15, №2 (1972), с. 77-125.

53. В. В. Соколов, "Об одном классе квадратичных гамильтонианов на во(4) ДАН, 394, №5 (2004), с. 1-4.

54. В. В. Соколов, "Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа", Теор. мат. физ., 129, №1 (2001), с. 31-36.

55. Я. В. Татаринов, "К исследованию фазовой топологии компактных конфигураций с симметрией", Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №5 (1973), с. 70-77.

56. Я. В. Татаринов, "Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки", Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №6 (1974), с. 99-105.

57. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамилъ-тоновых дифференциальных уравнений, М.: Факториал, 1995.

58. А. Т. Фоменко, "Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем", ДАН СССР, 287, №5 (1986), с. 1071-1075.

59. А. Т. Фоменко, "Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости", Известия АН СССР, 50, №6 (1986), с. 1276-1307.

60. А. Т. Фоменко, X. Цишанг, "Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы", Известия АН СССР, 54, №3 (1990), 546-575.

61. Г. Хагигатдуст, "Бифуркационная диаграмма некоторого класса гамильтонианов на алгебре бо(4);', Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №6 (2005), с. 3-10.

62. Г. Хагигатдуст, "Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова па алгебре Ли so(4)", ДАН, 401, №5 (2005), с. 599-602.

63. Г. Хагигатдуст, А. А.Ошемков, "Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4)", Матем. сборник, 200, №6 (2009),, с. 119-142.

64. М. П. Харламов, "Топологический анализ классических интегрируемых случаев динамики твердого тела", ДАН СССР, 273, №6 (1983), с. 1322-1325.

65. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике твердого тела", Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988.

66. Ху Сы-цзян, Теория гомотопий, М.: Мир, 1964.

67. Э. Шрёдингер, "Метод определения квантовомеханических собственных значений и собственных функций", В кн.: Избранные труды по квантовой механике, М.: Наука, 1976, с. 239-247.

68. М. F. Atiyah, "Convexity and commuting Hamiltonians", Bull. London Math. Soc., 14, №1 (1982), p. 1-15.

69. A. V. Bolsinov, "Methods of calculation of the Fomenko-Zieschang invariant", В кн.: Topological classification of integrable systems (Adv. Soviet Math., vol.6; Edited by A. T. Fomenko), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, p. 147-183.

70. A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, "Singularities of integrable Hamiltonian systems", В кн.: Topological. methods in the theory of integrable systems (Edited by A.V. Bolsinov, A.T. Fomenko, A.A. Oshemkov), Cambridge Sci. Publ., 2006, p. 1-67.

71. A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, "Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems", Regular and Chaotic dynamics, 14, №4-5 (2009), p. 325-348.

72. A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, V. V. Sharko, "On classification of flows on manifolds. I", Methods of Functional Analysis and Topology, 2, №2 (1996), p. 190-204 .

73. N. A. Chernikov, "The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solution", Acta Phys. Polonica. B23 (1992), p. 115-119.

74. P. A. Damianou, "Multiple Hamiltonian structures for Toda-type systems", J. Math. Phys., 35, № 10 (1994), p. 5511-5541.

75. T. Delzant, "Hamiltoniens périodiques et images convexe de l'application moment", Bull. Soc. Math. France, 116 (1988), p. 315-339.

76. J.-P. Dufour, P. Molino, A. Toulet, "Classification des systèmes intégrables en dimension 2 et invariants des modèles de Fomenko", Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 318 (1994), p. 949-952.

77. L. H. Eliasson, "Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case", Comm. Math. Helv., 65 (1990), p. 4-35.

78. G. Fleitas, "Classification of gradient-like flows on dimensions two and three", Bol. Soc. Bras. Mat., 6 (1975), p. 155-183.

79. V. Guillemin, S. Sternberg, "Convexity properties of the moment mapping", Invent. Math., 67, №3 (1982), p. 491-513.

80. P. W. Higgs, "Dynamical symmetries in a spherical geometry. I", J. Phys. A: Math. Gen., 12, №3 (1979), p.309-323.

81. A. Ibort, F. Magri, G. Marmo, "Bihamiltonian structures and Stàckel separability", J. Geom. Phys. 33, №3-4 (2000), p. 210-228.

82. M. Ikeda, N. Katayama, "On generalization of Bertrand's theorem to spaces of constant curvature", Tensor, 38 (1982), p. 37-40.

83. M. P. Kharlamov, P. E. Ryabov, "The bifurcations of the first integrals in the case of Kowalewski-Yehia", Regular and Chaotic dynamics, 2, №2 (1997), p. 25-40.

84. W. Killing, "Die Mechanik in der Nicht-Euklidischen Raumformen", J. Reine Angew. Math., 98 (1885), p. 1-48.

85. V.V. Kozlov, O.A. Harin, "Kepler's problem in constant curvature spaces", Cel. Mech. and Dyn. Astr., 54 (1992), p. 393-399.

86. N.C. Leung, M. Symington, "Almost toric symplectic four-manifolds", J. Symplec-tic Geom., 8, №2 (2010), p. 143-187.

87. T. Levi-Chivita, "Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps", Acta Math. 30 (1906), p. 305-327.

88. I. V. Mykytyuk, A. Panasyuk, "Bi-Poisson structures and integrability of geodesic flows on homogeneous spaces, Transformation Groups 9, №3 (2004), p. 289-308.

89. F. Magri, A simple model of the integrable Hamiltonian equation, J. Math. Phys., 19, №5 (1978), p. 1156-1162.

90. F. Magri, P. Casati, G. Falqui, M. Pedroni, "Eight lectures on integrable systems", B kh.: Integrability of Nonlinear Systems, (Lecture Notes in Physics, vol.495; Edited by Y. Kosinann-Schwarzbach et al.), Springer, 2004, p. 209-250.

91. D. McDufF, D. Salamon, Introduction to symplectic topology, Clarendon Press., Oxford, 1995.

92. E. Miranda, Nguyen Tien Zung, "Equivariant normal form for nondegenerate singular orbits of integrable Hamiltoniansystems", Annales Ecole Norm. Sup., 37, №6 (2004), p. 819-839.

93. K. R. Meyer, "Energy functions for Morse-Smale systems", Amer. J. Math., 90, №4 (1968), p. 1031-1040.

94. J. Moser, "Regularization of Kepler's problem and the averaging method on a manifold", Commun. Pure Appl. Math., 23 (1970), p. 609-636.

95. I. Nikolaev, "Graphs and flows on surfaces", Ergodic Theory Dyn. Syst., 18, №1 (1998), p. 207-220.

96. I. Nikolaev, E. Zhuzhoma Flows on 2-dimensional manifolds: an overview, Springer, 1999.

97. A. V. Odesskii, V. V. Sokolov, "Integrable matrix equations < related to pairs of compatible associative algebras", J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), p. 12447-12456.

98. A.V. Odesskii, V. V. Sokolov, "Compatible Lie brackets related to elliptic curve", J. of Math. Phys., 47, № 1 (2006), p. 1-14.

99. O. E. Orel, P. E. Ryabov, "Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in fluid and in the generalization of this problem". Regular and Chaotic dynamics, 3, №2 (1998), p.82-91.

100. M. M. Peixoto, "On the classification of flows on 2-manifolds", B kh.: Dynamical systems, Academic Press, 1973, p. 389-419.

101. M. M. Peixoto, "Structural stability on two-dimensional manifolds", Topology, 1962, 1, №2, p. 101-120; "Structural stability on two-dimensional manifolds — a further remark", Topology, 1963, 2, №2, p. 179-180.

102. M. C. Peixoto, M. M. Peixoto, "Structural stability in the plane with enlarged boundary conditions", Anais Acad. Brasil. Ciencias, 31, №2 (1959), p. 135-160.

103. L. Plachta, "The combinatorics of gradient-like flows and foliations on closed surfaces: I. Topological classificationTopology and its Appl., 128 (2003), p. 63-91.

104. A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky, "Compatible Poisson structures for Lax equations: an r-matrix approach", Phys. Lett. A, 130, №8-9 (1988), p. 456-460.

105. J. Slawianowski, "Bertrand systems on SO(3,R) a,nd SU(2)", Bull. Acad. Pol. Sci., 28, JV22 (1980), p. 83-94.

106. Yu. B. Suris , "On the bi-Hamiltonian structure of Toda and relativistic Toda lattices", Physics Letters A, 180 (1993), p. 419-429.

107. M. Symington, "Four dimensions from two in symplectic topology", B kh.: Topology and geometry of manifolds (Proc. Syrap. Pure Math., vol. 71; Edited by G. Matic, C. McGrory), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, p. 153-208.

108. S. Smale, "On gradient dynamical systemsAnnals of Math., 1961, 74, p. 199-206.

109. R. C. Thompson, "Pencils of complex and real symmetric and skew matrices", Linear Algebra Appl. 147 (1991), p. 323-371.

110. A. Toulet, Classification des systèmes intégrables en dimension 2, PhD Thesis, Université Montpellier II, 1996.

111. C. Velpry, "Kepler's laws and gravitation in non-Euclidean (classical) machanics", Acta Phys. Hung. A, 11, №1-2, (2000), p. 131-145.

112. J. Vey, "Sur certain systèmes dynamiques séparables", Amer. J. Math., 100, (1978), p.591-614.

113. T. G. Vozmischeva, "Classification of motions for generalization of the two center problem on a sphereCel. Mech. and Dyn. Astr. 77 (2000), p. 37-48.

114. X. Wang, "The C*-algebras of Morse-Smale flows on two-manifolds", Ergod. Th. & Dynam. Sys., 1990, 10, p. 565-597.

115. D. V. Zotev, "Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi integrable case", Regular and Chaotic dynamics, 5, №4 (2000), p. 437-458.

116. Nguyen Tien Zung, "Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities", Compositio Math., 101 (1996), p. 179-215.

117. Nguyen Tien Zung, "Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities", preprint, arXiv:math.DS/0106013 (2001).

118. Nguyen Tien Zung, "Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, II: Topological classification", Compositio Math., 138 (2003), p. 125-156.

119. А. А. Ошемков, "Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей", Труды Математического института РАН, 205, 131-140 (1994).

120. А. А. Ошемков, В.В.Шарко, "О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях", Матем. Сборник, 189, jVs 8, 93-140 (1998). Диссертанту принадлежат разделы 1.2-1.4, 2.4, 3.1, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2.

121. В. С. Матвеев, А. А. Ошемков, "Алгоритмическая классификация инвариантных окрестностей точек 'типа седло-седлоВестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №2, 62-65 (1999). Диссертанту принадлежит идея алгоритма, а также Лемма и Утверждение 2 Теоремы.

122. Т. Г. Возмищева, А. А. Ошемков, "Топологический анализ задачи двух центров на двумерной сфере", Матем. Сборник, 193, № 8, 3-38 (2002). Диссертанту принадлежат разделы 1.1, 1.3, 2.2, 2.4.

123. Г. Хагигатдуст, А. А. Ошемков, "Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4)", Матем. Сборник, 200, № 6, 119-142 (2009). Диссертанту принадлежит §3.

124. А. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, "Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems", Regular and Chaotic dynamics, 14, №4-5, 325-348 (2009). Диссертанту принадлежат §§ 2, 3, 6-8.

125. A. A. Ошемков, "Сомножители минимальных моделей для седловых особенностей интегрируемых гамильтоновых систем", ДАН, 433, № 2,173-177 (2010).

126. А. А. Ошемков, "Топология множества особенностей интегрируемой галшль-тоновой системы", ДАН, 434, №5, 587-590 (2010).

127. А. А. Ошемков, "Классификация гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем", Матем. Сборник, 201, № 8, 63-102 (2010).

128. А. А. Ошемков, "Классификация интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями на CP2", ДАН, 437, №4, 462-464 (2011).

129. А. А. Ошемков, "Седловые особенности сложности 1 интегрируемых гамильтоновых систем", Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Мех., №2, 3-12 (2011).Journ. of Shape Modeling, 1, № 1 61-75 (1995).

130. A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, V.V. Sharko, On classification of flows on manifolds. I, Methods of Functional Analysis and Topology, 2, № 2, 190-204 (1996). Диссертанту принадлежит §3.