Особенности интегрируемых гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1 Введение

2 Основные определения

3 О топологической структуре интегрируемых гамильто-новых систем, близких к данной

4 Вырожденные окружности общего вида

5 Теоремы об глобальной устойчивости топологической структуры

6 Построение канонических координат в окрестности особой точки интегрируемой гамильтоновой системы

7 Простые гиперболические особенности пуассоновых действий

8 Комбинаторный комплекс Г

9 Алгебраическое задание комплексов Г

При изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем одним из основных инструментов является исследование особенностей, возникающих у рассматриваемой системы. Данная работа посвящена, изучению общих свойств особых траекторий и точек интегрируемых гамильтоновых систем.

В этой работе нас будут интересовать два естественных класса возмущений. Первый класс возмущений - это когда возмущается и гамильтониан и дополнительный интеграл, при условии, что возмущенный интеграл является интегралом возмущенной системы. Этот класс возмущений называется возмущениями в сильной метрике. Можно сказать, что возмущения в сильной метрике, это фактически возмущения пуассонова действия.

Второй класс возмущений, это возмущения, которые затрагивают только гамильтониан, при условии, что возмущенная система является интегрируемой. Близость интеграла возмущенной системы и интеграла исходной системы не предусматривается. Такие возмущения называются возмущениями в слабой метрике. Фактически, эти возмущения являются ограничениям обычного понятия возмущения системы на множество гамильтонианов, допускающих дополнительный независимый интеграл.

Работа состоит из нескольких частей. В первой части изучается поведение топологической структуры при возмущении в слабой метрике. Основной результат этой части состоит в том, что несмотря на то, что интегрируемые гамильтоновы системы при возмущении в слабой метрике не являются структурно устойчивыми ни в каком смысле, тем не менее, топологическая структура возмущенной системы "помнит" топологическую структуру исходной системы, являясь в некотором смысле усложнением последней. Кроме того, в этой части приведен пример возмущения, возникновения при котором возникает замкнутая траектория с отрицательными мультипликаторами.

Конкретные примеры интегрируемых гамильтоновых систем показывают, что при изменении значения гамильтониана, топологическая структура системы на изоэнергетической поверхности фл может меняться. Это изменение связано с появлением, видоизменением сингулярных слоев слоения Лиувилля и происходит "скачком" на уровне энергии, который может и не быть критическим, а содержать, например, вырожденную окружность. Учитывая топологическую устойчивость невырожденных окружностей, мы приходим к выводу, что вырожденные окружности нельзя убрать малым шевелением системы со всего симплектического многообразия.

Вопрос об изучении неботтовских (вырожденных) особенностей был поднят А.Т. Фоменко и B.C. Матвеевым в [9], где было дано определение ручного интеграла и ручных особенностей. Основной результат, полученный для ручных систем заключался в том, что класс изоэнергетических многообразий интегрируемых гамильтоновых систем не расширяется при замене невырожденных интегралов на более широкий класс ручных интегралов. Вопрос о вырожденных окружностях по-видимому впервые в явном виде затрагивался в [17] А.В.Болсиновым, а в [11] O.E. Орел была получена топологическая классификация систем в окрестности минимаксной вырожденной окружности.

Мы же поставим этот вопрос несколько иначе. Мы будем изучать топологически устойчивые вырожденные окружности, которые не исчезают при малом возмущении гамильтониана и интеграла, и топология системы в их окрестности не меняется при этом возмущении. В [8] Лерман Л.М. и Уманский Я.Л. предъявили один тип топологически устойчивой вырожденной окружности. Мы предъявим бесконечную серию таких окружностей, изучим топологию систем в их окрестности, докажем их топологическую устойчивость и при дополнительном условии покажем, что остальные вырожденные особенности устранимы.

Вырожденные окружности общего вида тесным образом связаны с семействами общего положения эквивариантных функций от двух переменных, где инвариантность естественным образом возникает в связи с приведением первых членов системы к нормальной форме Бирк-гофа.

В качестве приложения полученных результатов, а также результатов об устойчивости невырожденных особенностей мы сформулируем теорему об устойчивости топологической структуры на симплектиче-ском многообразии. При условии, что все вырожденные окружности общего вида, а также если интегрируемая система удовлетворяет условию, аналогичному условию простоты для функций Морса, то при достаточно малом возмущении этой системы в сильной метрике возмущенная система останется топологически эквивалентной невозмущенной системе. Строгая формулировка и доказательство этой теоремы содержится в параграфе 5.

Третья часть работы посвящена изучению поведения систем в окрестности невырожденных точек. Доказывается теорема о приведении аналитической системы к нормальной форме в окрестности невырожденной точки. Этот факт является следствием результатов, полученных Х.Ито о сходимости нормализующей последовательности для интегрируемых комплексно-аналитических систем. Аналогичный по духу результат получен также JI.X. Элиассоном[20] для гладких систем, однако имеющиеся работы вызывают некоторые вопросы. Данный результат важен для изучения топологической структуры из-за того, что из него следует то, что системы в окрестности невырожденной точки топологически эквивалентны, если неподвижные точки имеют один и тот же тип, то есть число эллиптических, гиперболический компонент и компонент типа фокус-фокус одинаково. В частности, в окрестности полностью гиперболических точек системы локально топологически эквивалентны. Тем не менее, системы в окрестности сингулярного слоя, содержащего гиперболическую точку могут быть топологически неэквивалентными. Например, сами сингулярные слои могут быть различными. В третьей части исследуется структура систем с окрестности сингулярного слоя, содержащего одну гиперболическую точку. Доказывается теорема о том, что сингулярный слой определяет топологию системы в своей окрестности. Приводится классификация таких слоев для систем с тремя степенями свободы. Кроме того, показано, что классификация сингулярных слоев для многих степеней свободы в некотором смысле сводится к классификации для случая трех степеней свободы.

Автор выражает искреннюю признательность своим руководителям А.Т. Фоменко и A.B. Болсинову за постановку задач, интерес к работе и поддержку. Автор также благодарен Р.Кушману, JI.M. Jlep-ману за полезные замечания.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1989

2. Болсинов A.B., Козлов В.В., Фоменко А.Т. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела// УМН 1995 Т.50, вып.З, с.3-32.

3. Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности.// УМН 1990 Т.45 V2.

4. Калашников В.В. О типичности боттовских интегрируемых гамильтоновых систем// Мат. сб. 1994 Т. 185 N1 С. 107-120.

5. Калашников В.В. О топологической структуре интегрируемых гамильтоновых систем, близких к данной//Регулярная и хаотическая динамика, 1997, N2, т.2, с.98-105.

6. Калашников В.В. Типичные интегрируемые гамильтоновые системы на четырехмерном симплектическом многообразии//Изв. РАН, 1998, т. 62, N2, С.49-74.

7. Калашников В.В. Топологическая классификация квадратично-интегрируемых геодезических потоков на двумерном торе//УМН, 1995, N1, С 201-202.

8. Лерман Л.М., Уманский Я.Л. Классификация четырехмерных интегрируемых гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных окрестностях простых особых точек// Мат. сборник, 1992, Т.183, N.12, С.141-176; Т.184, N.4 С.105-138

9. Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем с ручными интегралами// Мат. заметки Т. 43(1988), N.6, С.663-671

10. Нгуен Т.3.0 свойстве общего положения простых боттовских интегралов.//УМН 1990 Т.42 N4 С.161-162

11. Орел О.Е. Топологический анализ окрестности вырожденной одномерной орбиты пуассоновского действия R2 на симплектиче-ском многообразии М4// УМН, 1993 Т.48 N6 С.165-166

12. Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на 50(4) // УМН 1990 Т.42 N2 С.199-200

13. Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил// ПММ 1979 Т.43 С.419-428

14. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1988

15. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости// Изв. АН СССР Сер. мат. 1986 Т.50 Y6 С.1276-1307

16. Харламов М.П. Топологический анализ классических интегрируемых случаев в динамике твердого тела. // ДАН СССР 1983 Т.273 N6 С. 1322-1325

17. Bolsinov A.V. Methods of Calculation of the Fomenko Zieschang Invariant // Adv. in Sov. Math. 1991. V.6 P.147-183

18. Bridges T. J., Cushman R.H. TJnipotent normal forms for symplectic maps//PhysicaD 65(1993) pp.211-241

19. Cuchman R., Knorrer H. The energy momentum mapping of the Lagrange top // Lect. notes in Math. 1985 V.1139 P.12-24

20. Eliasson L.H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals elliptic case. Comment. Math. Helvetici 65, 4-35 (1990)

21. Golubitsky M., Shaeffer D. Singularities and group in bifurcation theory. Vol.1 Appl. Math. Sci., New York, Springer, 1985. 163 p.

22. Ito H., Action-angle coordinates at singularities for analytic integrable systems, Math. Z. 206(1991) 363-407.pue. 1s v7v,1.A