О гомоклинической динамике шестимерных гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

с

Маркова Анна Петровна

О гомоклинической динамике шестимерных гамильтоновых систем

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005539937

1 ч МОЯ 2013

Владимир - 2013

005539937

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

кафедры ДУ и МА ННГУ им. Лобачевского Лерман Лев Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт математики с ВЦ» Уфимского научного центра РАН Киселев Олег Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор, зав. отделом нелинейной динамики ИПФ РАН Некоркин Владимир Исаакович

Ведущая организация: ФГБУН «Институт проблем механики

им. А.Ю. Ишлинского» РАН

Защита состоится 24 декабря 2013 г. в 12 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.025.08 при Владимирском государственном университете им. Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, по адресу: 600024, г.Владимир, пр. Строителей, д. 11, корпус 7 ВлГУ, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета им. Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Автореферат разослан «_» ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.025.08, кандидат физико-математических наук, доцент

С.Б. Наумова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена некоторым аспектам динамики шестимерных автономных гамильтоновых систем, то есть систем с тремя степенями свободы. Системы дифференциальных уравнений, которые можно записать в гамильтоновой форме, являются классическим объектом исследования в теории дифференциальных уравнений. Они описывают математические модели явлений, возникающих в различных разделах современной физики, механики, гидродинамики, нелинейной оптики, химии (задачи молекулярной динамики). В некотором смысле можно сказать, что большинство физических задач на базисном уровне, без учета диссипации, описываются гамильтоновыми системами, и поэтому их изучение представляет первостепенный интерес.

В настоящее время общепризнано, что большинство гамильтоновых систем имеет весьма сложную динамику и одним из основных проявлений этой сложности является наличие в них гомоклинических траекторий к инвариантным множествам различного типа. Известно, что изучение гомоклинических траекторий и поведения гамильтоновой системы в окрестности таких траекторий началось с работ А.Пуанкаре, обнаружившим сложное поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки при наличии трансверсальной гомоклинической траектории. Затем это изучение было продолжено в работах Дж. Биркгофа: для случая двумерных симплектических диффеоморфизмов им было доказано существование счетного множества седловых периодических траекторий в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седловой неподвижной точке. Следующий шаг был сделан С. Смейлом, доказавшим, при условии линеаризации диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки, теорему о сложной структуре поведения траекторий в малой окрестности трансверсальной гомоклинической траектории. Однако задача об описании структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты, им не была решена. Эта задача без каких-либо дополнительных предположений была затем решена Л.П. Шильниковым. Все это касалось изучения гомоклинических траекторий к седловым периодиче-

ским траекториям гладких потоков или, соответственно, гомоклинических траекторий седловых неподвижных точек гладких диффеоморфизмов.

Л.П. Шильников был первым, кто обнаружил сложную динамику траекторий гладкого трехмерного потока в окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия типа седло-фокус. Эта ситуация имеет место в предположении положительности седловой величины седло-фокуса. При переходе к гамильтоновому случаю, ввиду симметрии спектра линеаризации потока в состоянии равновесия, это условие не выполняется. Пытаясь перенести результат Л.П. Шильникова на гамильтонов случай, Р. Девани обнаружил, что в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории седло-фокуса гамильтоновой системы имеется инвариантная подсистема, описываемая на некоторой секущей как топологическая схема Бернул-ли из двух символов. Затем Л.М. Лерманом было получено полное описание системы в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седло-фокусу на критическом уровне гамильтониана (то есть содержащем седло-фокус и гомоклиническую траекторию) и показано, что при переходе к близким уровням гамильтониана в системе происходит большое число различных бифуркаций, в результате которых система усложняется и, в частности, число состояний схемы Бернулли, которая описывает поведение некоторой инвариантной гиперболической подсистемы, имеющейся на всех близких уровнях гамильтониана, растет и стремится к бесконечности при подходе к критическому уровню.

Важность исследования гомоклинических явлений состоит в том, что наличие гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям приводит к сложной динамике соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, может служить обоснованием неинтегрируемости гамильтоновой системы. Вопросы же интегрируемости или неинтегрируемости системы важны в прикладных задачах. Кроме того, изучение структуры системы в окрестности гомоклинической траектории является важным с точки зрения понимания структуры неинтегрируемой гамильтоновой системы и позволяет существенно продвинуться в исследовании особенностей такого поведения.

Цель работы. В диссертации изучаются некоторые задачи, связанные с существованием гомоклинических траекторий к периодическим движениям различного типа при наличии эллиптических направлений и изучением структуры гамильтоновой системы с тремя степенями свободы в окрестности таких гомоклинических траекторий с целью достижения лучшего понимания динамики неинтегрируемой гамильтоновой системы.

Общие методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, нормальной формы, теория KAM, методы функционального анализа, метод усреднения, методы симплектической геометрии и дифференциальной топологии.

Научная новизна. К настоящему моменту вопросы о структуре системы в окрестности гомоклинических траекторий к периодическим траекториям, не являющимся чисто седловыми, исследованы недостаточно. Все полученные в диссертации результаты являются новыми и вносят вклад в развитие теории гамильтоновых систем. Перечислим эти результаты:

1. Доказана устойчивость по Ляпунову состояния равновесия гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в критическом случае кратных частот (то есть при гамильтоновой бифуркации Хопфа) при положительном знаке аналога ляпуновской величины.

2. В случае периодической гамильтоновой бифуркации Хопфа в гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, имеющей периодическое решение, доказано существование гомоклинических траекторий к рождающемуся периодическому движению типа седло-фокус при дополнительном условии обратимости системы.

3. Доказано существование четырех гомоклинических траекторий к каждому диофантову инвариантному КАМ-тору на центральном многообразии периодической траектории гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, имеющей периодическую траекторию типа седло-центр и гомоклиническую траекторию к ней. Построен оператор рассеяния для линеаризованной на гомоклиническом решении гамильтоновой системы.

Теоретическая и практическая значимость. С одной стороны, изучение структуры системы в окрестности гомоклинической траектории является важной задачей с точки зрения понимания структуры неинтегрируемой гамильтоновой системы. С другой стороны, наличие некоторых структур в фазовом пространстве (в том числе и гомоклинических траекторий) может служить критерием неинтегрируемости системы. А вопросы интегрируемости или неинтегрируемости динамической системы очень важны в прикладных задачах. Таким образом, хотя работа и носит теоретический характер, ее результаты могут иметь приложения в различных моделях прикладных наук как критерии хаотического поведения и неинтегрируемости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ им. Лобачевского (руководители: д.ф.-м.н., профессор А.Д.Морозов, д.ф.-м.н., профессор JI.M.Лерман), на семинарах НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ им. Лобачевского (руководитель: зав. отделом № 1 НИИ ПМК, д.ф.-м.н. C.B. Гонченко), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 и 2012 гг.); VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н.Новгород, 2008 г.); Международной студенческой конференции «Наука и Прогресс» (Санкт-Петербург, 2012 г.); Международной конференции «Анализ и особенности» (Москва, 2012 г.); Международной конференции «Динамика, бифуркации и странные аттракторы» (Н.Новгород, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них 4 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертации. Все основные результаты диссертации принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Л.М. Лерманом, автору принадлежат доказательства всех основных результатов, Л.М. Лерману принадлежат постановки задач, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 51 наименования. Объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста. Диссертация также содержит 7 иллюстраций.

Содержание работы

Во введении содержатся краткие исторические сведения, дается общая характеристика рассматриваемых задач, обосновывается актуальность темы исследования и излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается структура гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с гамильтонианом Н при переходе состояния равновесия от седло-фокуса к эллиптической точке через 1:-1 резонанс собственных значений. Соответствующая бифуркация называется гамильтоновой бифуркацией Хопфа, она неустранимо встречается в однопа-раметрических семействах гамильтоновых систем^. Состоянием равновесия типа седло-фокус гамильтоновой системы с двумя степенями свободы называется состояние равновесия, у которого матрица линеаризации системы имеет четверку комплексных собственных значений ±а ± г/3, а/3 ф 0. При изменении параметра системы состояние равновесия сохраняется, но его собственные значения попарно сливаются, и в критическом случае получаем пару двукратных чисто мнимых собственных значений, каждому из которых соответствует клетка размерности два в жордановой нормальной форме матрицы линеаризованной системы. При дальнейшем изменении параметра собственные значения расходятся вдоль мнимой оси, образуя две различные пары чисто мнимых собственных значений. Такое состояние равновесия называется эллиптическим.

Основным результатом этой главы является доказательство устойчивости состояния равновесия в критическом случае при соответствующем знаке некоторого коэффициента А в нормальной форме четвертого порядка. В этом случае линеаризованная система в состоянии равновесия является

Ш Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики: фундаментальные направления, т.З, ВИНИТИ, М., 1986.

неустойчивой из-за наличия резонанса, а устойчивость достигается за счет присутствия нелинейных членов. Существенную роль в доказательстве играет использование свойств эллиптических интегралов и функций, их зависимость от параметров эллиптических функций.

Первым шагом в изучении поведения траекторий в окрестности состояния равновесия и, в частности, его устойчивости является приведение гамильтониана к нормальной форме. Для рассматриваемого случая нормальная форма до любого конечного порядка была найдена А.Г. Сокольским^. Формальная нормальная форма может быть получена сразу для всего семейства гамильтонианов, если гамильтониан является вещественной аналитической или С°°-гладкой функцией своих переменных, и до членов четвертого порядка она имеет вид:

Яо = ^{pl+pl)+u(piq2-p2qi) + ^(ql + ql)

+(?? + 4)[Мя21 + ql) + B(Plq2 - p2qi) + C(p\+pI)]. Гамильтониан Щ, также как и нормальная форма любого конечного порядка, является интегрируемым гамильтонианом, дополнительным интегралом является функция К = Pi<72 Все траектории гамильтонова векторного

поля Хц, отличные от состояния равновесия О, являются периодическими с периодом 27г. Это позволяет далее использовать К в качестве переменной действия.

Ранее было получено описание структуры интегрируемой системы при г ф 0 и различных знаках коэффициента А через приведенные системы[1][3][4] Если А < 0 и £ = 0, то состояние равновесия неустойчиво. Это было показано А.Г. Сокольским[2], используя функцию Ляпунова p\q\ + p-iq-i- Таким образом, единственный случай, для которого не была исследована устойчивость состояния равновесия - это случай А > 0, е — 0.

Основным результатом данной главы является доказательство следующей теоремы:

^'Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот. ПММ, т. 38, вып. 5, 1974, стр. 791-799.

^van der MeerJ.-C. Hamiltonian Hopf Bifurcation. Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, v.1211, 1980.

^Glebsky L., Lerman L. On the small stationary localized solutions for generalized ID Swift-Hohenberg equation. Chaos: Interdise. J. Nonlin. Sei., v.5, no.3, 1995, pp.424-431.

Теорема 1.1 Если г — 0 и А > 0, то состояние равновесия О системы с гамильтонианом Н устойчиво по Ляпунову.

Формальная устойчивость состояния равновесия в случае А > 0 и е = О была впервые показана А.Г. Сокольским1^. Затем появилась статья, в которой объявлялось о полном доказательстве устойчивости^. Но основной момент доказательства, а именно проверка невырожденности определителя Арнольда, там отсутствовал, а приведенное рассуждение недостаточно для доказательства. После этого появилась заметка А.Г. Сокольского[б], в которой также предлагалось доказательство устойчивости. Но в этой работе есть ошибка при введении переменной действия /2. В статье Д.В. Трещева'7^ была представлена схема доказательства существования некоторого числа инвариантных торов на уровнях гамильтониана в окрестности состояния равновесия, однако полного доказательства устойчивости не было приведено.

Схема нашего доказательства следуюшая. На первом шаге вводятся переменные действие-угол {1ъ12,0ив2) в окрестности состояния равновесия О так, что невозмущенный гамильтониан зависит только от переменных действия: Н0 = H0(Ii,l2). Одна из переменных действия 1\ - это интеграл К, а вторая выражается через некоторый эллиптический интеграл. В этих переменных невозмущенный гамильтониан Но неявно входит в выражение для второй переменной действия: /2 = F(Hq, 1\). Тем не менее, нам удалось получить выражение для определителя Арнольда, которое дает условие изоэнергетической невырожденности. Данный определитель оказался отделен от нуля в окрестности состояния равновесия и стремится к —оо при приближении к О. Далее мы записываем отображение Пуанкаре на секущей 62 = 0 и доказываем, что отображение Пуанкаре является закручивающим на всех достаточно близких к критическому уровнях гамильтониана. Таким образом, можно применить теорему Мозера, которая дает канторовское множество положительной меры инвариантных кривых.

[5'Ковалев A.M., Чудненко А.Н. Об устойчивости положения равновесия двумерной гамильтоновой системы в случае равных частот. ДАН УССР, Серия А, № 11, 1977, стр. 1011-1014.

161Сокольский А.Г. Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс. Письма в Астрономический журнал, т. 4, №3, 1978, стр. 148-152.

'''Трещев Д.В. Потеря устойчивости в гамильтоновых системах, зависящих от параметра. ПММ, т. 56, вып. 4, 1992, стр. 587-596

Эти инвариантные кривые соответствуют инвариантным торам гамильтоно-вой системы на уровнях гамильтониана, достаточно близких к критическому. Эти торы не позволяют уходить траекториям из окрестности состояния равновесия, что гарантирует устойчивость.

Во второй главе изучается обобщение гамильтоновой бифуркации Хоп-фа на случай окрестности периодической траектории гамильтоновой системы. Рассматривается автономная гамильтонова система с тремя степенями свободы, которая имеет периодическую траекторию 7. В окрестности траектории 7 можно ввести новые симплектические координаты, одной из которых будет угловая переменная вдоль периодической траектории, сопряженной ей переменной будет значение функции Гамильтона, а четыре другие - координаты в трансверсальном направлении. В этих координатах получаем однопараметрическое семейство (параметром, фактически, является значение гамильтониана исходной системы) 27г-периодических неавтономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы с гамильтонианом Н, имеющих при всех достаточно малых значениях параметра е 27т-периодическое решение, которое, не ограничивая общности, можно считать имеет вид х = 0.

Мультипликаторы периодической траектории зависят от параметра. Мы предполагаем, что при е = 0 система, линеаризованная вдоль периодического решения, имеет пару двукратных мультипликаторов на единичной окружности, каждому их которых соответствует двумерная клетка жорда-новой нормальной формы матрицы линеаризации.

При изменении параметра в одну сторону от нуля (в нашем предположении при отрицательных значениях параметра) мультипликаторы расходятся, образуя две различные комплексно сопряженные пары мультипликаторов, не лежащие на единичной окружности, периодическая траектория становится типа седло-фокус. При изменении параметра в другую сторону мультипликаторы образуют две различные комплексно сопряженные пары мультипликаторов на единичной окружности (периодическая траектории эллиптического типа).

В этой главе рассматривается аналог случая А > 0, е < 0 при стандарт-

ной гамнльтоновой бифуркации Хопфа. Ему соответствует появление седло-фокусной периодической траектории, у которой в приближении нормальной формы четвертого порядка для гамильтониана устойчивое и неустойчивое многообразия сливаются, образуя «гомоклиническую юбку». «Гомоклини-ческая юбка» топологически эквивалента сфере с двумя склеенными точками, умноженной на окружность 51, и заполнена гомоклиническими траекториями к периодическому движению. В полной системе «гомоклиническая юбка», вообще говоря, расщепляется.

Основная теорема этой главы утверждает, что при дополнительном условии обратимости системы и симметричности периодической траектории, при всех достаточно малых е < О в полной системе существуют по крайней мере две симметричные гомоклинические траектории к симметричному периодическому движению типа седло-фокус. Это влечет существование сложной динамики в окрестности гомоклинической траектории и неинтегрируемость системы.

Для изучения окрестности периодической траектории применяется метод нормальной формы[8^91. Сначала, используя теорему Ляпунова, линеаризованная система с 27г-периодическими коэффициентами приводится 27г-периодической заменой переменных к автономному виду. Матрицу замены при этом можно выбрать вещественной и симплектической, гладко зависящей от параметра е. Только после этого проводится процедура нормализации членов третьего и четвертого порядков.

При дополнительном условии отсутствия сильных резонансов нормальная форма до членов четвертого порядка может быть получена сразу для всего семейства и имеет вид^ (2):

На = ^(р1+Р22)+и{р1Я2-Р2Ч1) + ч1) (2)

+ <&) + <&) + в{ркь - + ОД +Р1)} .

Заметим, что нормальная форма (2) оказывается автономным гамильтониа-

^'Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамнльтоновой системы в случае резонанса 2-го порядка. ПММ, т. 44, №5, 1980, стр. 811-822.

^Брюно А.Д. Нормализация системы Гамильтона вблизи инвариантного цикла или тора. УМН, т. 44, вып. 2, 1989, стр. 49-78.

ном, хотя мы рассматриваем периодическую неавтономную систему. Кроме того, нормальная форма (2) совпадает с нормальной формой автономной системы при стандартной гамильтоновой бифуркации Хопфа.

Для 27Г-периодической системы естественно рассмотреть отображение Пуанкаре, которое получается при отображении вдоль решений за период 2 тт. Система с гамильтонианом интегрируема, поэтому соответствующее ей отображение Пуанкаре есть сдвиг на 2тг вдоль траекторий гамильтоно-ва векторного поля Хщ. При е < 0 это отображение имеет неподвижную точку типа седло-фокус. Отображение Пуанкаре полной системы с гамильтонианом Н является возмущением этого отображения.

Для доказательства существования гомоклинических траекторий мы дополнительно предполагаем, что полная система является обратимой относительно инволюции Ь, то есть обратимым является соответствующее неавтономное периодическое гамильтоново векторное поле, оно порождает обратимый диффеоморфизм при отображении за период. Условие обратимости позволяет применить дифференциально-топологические методы для доказательства существования гомоклинических траекторий.

Без ограничения общности можно считать, что Ь приведена к следующей форме:

ЦР1,Р2,41, Чг) = (~Р1,Р2,Чъ Основным результатом данной главы является следующая теорема:

Теорема 2.1 Пусть Хц - гладкое однопараметрическое семейство 2ж-периодических галшльтоновых векторных полей, обратимых относительно инволюции Ь, имеющей двумерное многообразие неподвижных точек. Пусть также Хц имеет однопараметрическое семейство симметричных периодических решений, для которого при е = 0 осуществляется периодическая гамильтонова бифуркация Хопфа. Тогда, если А > 0 и £ < 0, то устойчивое и неустойчивое многообразия рождающейся седло-фокусной периодической траектории пересекаются по крайней мере по двум симметричным гомо-клиническим траекториям.

Для доказательства сначала проводится «раздутие» окрестности неподвижной точки, после чего мы получили уравнение «гомоклинической юб-

ки» в параметрическом виде и явным вычислением касательных плоскостей показали, что она пересекает плоскость неподвижных точек инволюции Ь трансверсально в двух точках.

Для доказательства теоремы достаточно показать С1-близость устойчивого многообразия периодической траектории полной системы к устойчивому многообразию интегрируемой системы около точки пересечения устойчивого многообразия интегрируемой системы и плоскости неподвижных точек инволюции Пх(Ь). Поскольку Пх(Ь) не зависит от возмущения, то это, по теореме трансверсальности, даст трансверсальное пересечение устойчивого многообразия периодической траектории полной системы и множества неподвижных точек инволюции Пх(Ь). Через их точки пересечения и будут проходить симметричные гомоклинические траектории к седло-фокусной периодической траектории на соответствующем уровне гамильтониана.

Здесь приходится специально доказывать С^-близость инвариантных многообразий, поскольку стандартный метод усреднения^101 ничего об этом не говорит. Из стандартной теории усреднения следует существование в полной системе периодического решения, близкого к периодическому решению интегрируемой системы, но о близости инвариантных многообразий сразу сказать нельзя. Эта С ^близость на глобальном куске многообразия доказывается в два этапа: сначала локально около периодического решения, а затем на временах порядка 1/у/^е в окрестности симметричной гомокли-нической траектории невозмущенной системы до пересечения с Пх(Ь).

В третьей главе изучается симплектический диффеоморфизм, имеющий 1-эллиптическую неподвижную точку и гомоклиническую траекторию к этой точке. К такой постановке стандартным образом сводится задача об изучении траекторий гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, имеющей периодическую траекторию типа седло-центр и гомоклиническую траекторию к ней.

Рассматриваемая задача в идейном плане восходит к задаче о структу-

|ш)БоголюбовН.Н„ Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.

ре окрестности петли сепаратрисы седло-центра в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Петли сепаратрис к седло-центру впервые были обнаружены в ограниченной круговой задаче трех тел I11^12]. Для случая вещественной аналитической гамильтоновой системы вопрос об описании поведения траекторий в окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия типа седло-центр был впервые поставлен и частично решен JI.M. Лерманом[13]. В частности, им было найдено условие общего положения, гарантирующее существование четырех гомоклинических траекторий к каждой из малых ляпуновских периодических траекторий на центральном многообразии седло-центра. Затем, при дополнительном предположении, что гомоклиническая траектория к седло-центру лежит на некотором двумерном инвариантном симплектическом подмногообразии, это условие было переформулировано в терминах соответствующей задачи рассеяния для системы, линеаризованной вдоль гомоклинической траектории^14!. Полученные результаты были обобщены на случай гамильтоновых систем с п степенями свободы, п > 3, имеющих гомоклиническую траекторию к состоянию равновесия типа седло-центр^15'.

Итак, рассматривается С""-гладкий четырехмерный симплектический диффеоморфизм /. Предполагается, что / имеет 1-эллиптическую неподвижную точку р, то есть дифференциал Dfp в этой точке имеет пару собственных значений е±ш на единичной окружности и пару вещественных собственных значений fi, /i_1, /I ф ±1.

В окрестности 1-эллиптической неподвижной точки существует Сг~1-гладкое двумерное инвариантное симплектическое центральное подмного-

[11]Deprit A., Henrard J. Symmetric doubly asymptotic orbits in the restricted three-body problem. Astronom. J. 70, no. 4, 1965, pp. 271-275.

[|21Лидов M.Л., Вашковьяк M.А. Двояко-асимптотические симметричные траектории в плоской круговой задаче трех тел. Препринт № 115, ИПМ АН СССР, 1975.

[13Шерман Л.М. О гамильтоновых системах с петлей сепаратрисы седло-центра. Методы качеств, теории диф. ур. Межвуз. сб. науч. трудов под ред. Леонтович-Андроновой Е.А. Горьковский ун-т, Горький, 1987, стр. 89-103.

l14|Grotta RagazzoC. Nonintegrability of Some Hamiltonian systems, Scattering and Analytic Continuation. Commun, in Math. Physics, v. 166, 1994, pp. 155-177.

"5IKoltsovaO., LermanL. Families of transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian systems close to the system with a Loop to a saddle-center. Inter. J. of Bifur. and Chaos, v. 6, № 6, 1996, pp. 9911006.

образие Wc, соответствующее мультипликаторам е±ш. Ограничение диффеоморфизма / на IVе является Сг~1 -гладким двумерным симплектическим диффеоморфизмом, ар- его эллиптической неподвижной точкой. По теореме Мозера[161 на IVе в окрестности точки р существует канторовское множество положительной меры замкнутых инвариантных кривых, окружающих точку р и накапливающихся к ней.

Центральное многообразие IVе имеет локальное С""_1-гладкое трехмерное устойчивое многообразие и локальное Сг_1-гладкое трехмерное неустойчивое многообразие поскольку два мультипликатора /л, /х-1

соответственно меньше и больше единицы (эти два локальных трехмерных многообразия являются одновременно центральным устойчивым и центральным неустойчивым многообразиями неподвижной точки р). Эти многообразия могут быть продолжены относительно действия /_1 и /. Их продолжения мы обозначаем Wcs и Wcn.

Каждая инвариантная КАМ-кривая на Wc может рассматриваться как седловая, поскольку она имеет локальные двумерные устойчивое и неустойчивое многообразия[17][18], которые также могут быть продолжены до глобальных многообразий под действием диффеоморфизма. Каждое такое многообразие является лагранжевым цилиндром.

Кроме того, неподвижная точка р в малой окрестности имеет две Сг-гладкие локальные инвариантные кривые, проходящие через нее: ее устойчивое Wioc и неустойчивое И'';"с инвариантные многообразия. Их продолжения с помощью /_1 и / (обозначаем, соответственно, Ws(p) и W"(p)) также являются Сг-гладкими кривыми.

Наши основные предположения в этой главе состоят в следующем:

Предположение 3.1 (Гомоклиническое пересечение)

Кривые Ws(p) и Wu(p) пересекаются в некоторой точке q, задавая тем самым гомоклиническую траекторию Г точки р.

I,6)MoserJ. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian system. Comm. Pure Appl. Math., v, 11, no. 1, 1958, pp. 81-114.

f17]HirshM., PughC., ShubM. Invariant manifolds. Lecture Notes in Math. Berlin-New York: Springer-Verlag, v. 583, 1977.

[18IFenichelN. Asymptotic stability with rate conditions, II. Indiana Univer. Math. J., v. 26, № 1, 1977, pp. 81-93.

Предположение 3.2 (Условие трансверсальности) Пересечение многообразий И76' (р) и \\гси (р) в точке д трансверсально.

В этой главе построено линейное симплектическое отображение рассеяния 5, действующее в касательной плоскости Тр\¥с к центральному многообразию IVе. Ограничение дифференциала В/р на симплектическую инвариантную плоскость Тр\¥с является двумерным линейным симплектическим отображением, имеющим пару собственных значений е±га. Поэтому эта плоскость расслоена на замкнутые инвариантные кривые этого линейного отображения, каждая из которых является эллипсом и получается из одной из них умножением координат на положительную постоянную. Зафиксируем некоторый эллипс Е. Тогда его образ Б(Е) под действием отображения рассеяния также является эллипсом с тем же центром в начале координат симплектической плоскости Тр\Ус и той же площади относительно ограничения 2-формы О на эту плоскость. Поэтому либо пересечение Е П 5'(Е) трансверсально и тогда состоит из четырех точек, либо эти эллипсы совпадают.

Предположение 3.3 (Условие рассеяния) Пересечение ЕГ)З(Е) трансверсально.

Основным результатом данной главы является следующая теорема:

Теорема 3.1 Пусть для симплектического диффеоморфизма /, имеющего неподвижную 1-эллиптическую точку общего типа, выполнены предположения 3.1, 3.2 и 3.3. Тогда существует такая окрестность V гомоклини-ческой траектории Г, что каждая замкнутая инвариантная КАМ-кривая на центральном многообразии IVе имеет в и четыре трансверсальных го-моклинических траектории.

Из предположений 3.1 и 3.2 следует, что многообразия IVе''(р) и И/сч(р) в точке д пересекаются трансверсально по двумерному диску Е. КАМ-кривая 7 е имеет локальное устойчивое многообразие, которое при продолжении отображением за конечное число итераций достигнет окрестности гомоклинической точки д и трансверсально пересечет диск £ по замкнутой кривой ?/;.,(7). Аналогичным образом, применяя отображение /,

неустойчивое многообразие той же кривой достигает окрестности точки q, и на Е получается кривая wu(7). Для завершения доказательства мы связываем свойства пересечения кривых wu(7) и ws(7) на £ со свойствами пересечения эллипсов Е и S(E) на плоскости TPWC. Для этого используется нормальная форма диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки, которая также получена в этой главе.

Результаты диссертационной работы являются частью научно-исследовательских работ, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 09-01-97016, 10-01-00429, 11-0100001, 11-01-97017), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проекты НК-13П/13, 14.В37.21.0361, 14.В37.21.2016).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Лерману Льву Михайловичу за постановку задач, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации Публикации в изданиях из перечня ВАК:

1. Lerman L.M., Markova А.Р. On Stability at the Hamiltonian Hopf Bifurcation. Regular and Chaotic Dynamics, v. 14, no. 1, 2009, pp. 148-162.

2. Лерман Л.М., Маркова А.П. Гомоклинические траектории к 1-эллиптичес-кой точке, КАМ-кривым и рассеяние. ДАН, т. 433, № 1, 2010, стр. 10-12.

3. Маркова А.П. Изучение структуры симплектического диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории к 1-эллиптической точке. // О работе НОЦ «Нелинейная динамика». Моделирование и анализ информационных систем, т. 20, № 1, 2013, стр. 162.

4. Маркова А.П. О структуре симплектического диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории к 1-эллиптической точке. Вестник Нижегородского университета им. Лобачевского, № 3 (1), 2013, стр. 165171.

Публикации в прочих изданиях:

1. Лерман Л.М., Маркова А.П. Устойчивость гамильтоновой системы в случае равных частот. Тезисы докладов, Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008, стр. 161-163.

2. Маркова А.П. Невырожденность и изоэнергетическая невырожденность в окрестности равновесия при равных частотах. Труды VIII Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем», Н.Новгород, т. 1, 2008, стр.250-251.

3. Markova А.Р. Homoclinic orbits to invariant curves in a 4D symplectic diffeomorphism. Abstracts, International conference on differential equations and dynamical systems, Suzdal, 2012, p. 217.

4. Markova A.P. On the existence of homoclinic orbits to invariant KAM-curves. Conference abstracts, International Student Conference «Science and Progress», St. Petersburg, 2012, p. 60.

5. Markova A.P. The existence proof of homoclinic orbits to KAM-curves near 1-elliptic fixed point. Abstracts, International conference «Analysis and Singularities», Moscow, 2012, pp. 146-148.

6. Markova A.P. On the existence of homoclinic orbits at periodic reversible Hamiltonian Hopf bifurcation. Book of abstracts, International conference «Dynamics, Bifurcations and Strange Attactors», N. Novgorod, 2013, pp. 8586.

Подписано в печать 11.11.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 958. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского»

Маркова Анна Петровна

О гомоклинической динамике шестимерных гамильтоновых систем

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

04201450192

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Лерман Лев Михайлович

Владимир - 2013

Содержание

Введение 2

Глава 1. Гамильтонова бифуркация Хопфа: поведение траекторий и

устойчивость в критическом случае 16

1.1 Постановка задачи..................................................17

1.2 Структура интегрируемой системы..............................20

1.3 Переменные действие-угол........................................25

1.4 Невырожденность Щ..............................................30

1.5 Изоэнергетическая невырожденность Но........................35

1.6 Устойчивость........................................................36

1.7 Случай В,С 0: изменение масштаба переменных............39

Глава 2. Существование симметричных гомоклинических траекторий при периодической обратимой гамильтоновой бифуркации Хопфа 42

2.1 Постановка задачи и основные результаты........... 44

2.2 Структура интегрируемого диффеоморфизма.......... 49

2.3 Существование гомоклинических траекторий

в полной системе ......................... 52

Глава 3. О структуре 4-мерного симплектического диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории к 1-эллиптической точке 71

3.1 Постановка задачи и основные результаты........... 73

3.2 Следствия из условия трансверсальности............ 77

3.3 Линеаризация и отображение рассеяния ............ 81

3.4 Устойчивые и неустойчивые многообразия

КАМ-кривых............................ 91

3.5 Выпрямление инвариантных многообразий........... 94

3.6 Гомоклинические траектории к КАМ-кривым......... 96

Список литературы 103

/ си-

Введение

Диссертация посвящена некоторым аспектам динамики шестимерных автономных гамильтоновых систем, то есть систем с тремя степенями свободы. Системы дифференциальных уравнений, которые можно записать в гамильтоновой форме, являются классическим объектом исследования в теории дифференциальных уравнений. Они описывают математические модели явлений, возникающих в различных разделах современной физики, механики, гидродинамики, нелинейной оптики, химии (задачи молекулярной динамики). В некотором смысле можно сказать, что большинство физических задач на базисном уровне, без учета диссипации, описываются гамиль-тоновыми системами, и поэтому их изучение представляет первостепенный интерес. Небесная механика была и остается до настоящего времени одним из основных «поставщиков» новых задач в теории гамильтоновых систем.

Наиболее изученным классом гамильтоновых систем является класс систем, близких к интегрируемым. Здесь основные успехи связаны с теорией Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM). Эта теория существенно продвинула всю теорию гамильтоновых систем и позволила решить ряд давно стоявших задач об устойчивости и сохранении квазипериодических траекторий. Современные исследования Ю. Мозера, Ю.Н. Бибикова, М.Б. Севрюка, X. Брура, М.В. Матвеева, В.Н. Тхая, Дж. Лэмба и других позволили распространить результаты этой теории на классы обратимых систем, сохраняющих объем и даже диссипативных систем. Однако и при изучении систем, близких к интегрируемым, возникают задачи, когда изучение ведется в окрестности множества вырождения интегралов и где возможны явления типа гомоклинических и связанной с ними диффузией Арнольда.

Известно, что изучение гомоклинических траекторий и поведения гамильтоновой (а позднее и диссипативной) системы в окрестности таких траекторий началось с работ А.Пуанкаре, обнаружившим сложное поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки при наличии трансверсальной гомоклинической траектории. Затем это изучение продолжил Дж. Биркгоф: для случая двумерных симплекти-ческих диффеоморфизмов им было доказано существование счетного мно-

жества седловых периодических траекторий в окрестности трансверсаль-ной гомоклинической траектории к седловой неподвижной точке. Биркгоф также высказал идею о возможности полного описания всех траекторий в окрестности гомоклинической орбиты на языке символической динамики. Следующий шаг был сделан С. Смейлом, доказавшим, при условии линеаризации диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки, теорему о сложной структуре поведения траекторий в малой окрестности трансвер-сальной гомоклинической траектории. Однако задача об описании структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты, им не была решена. Эта задача без каких-либо дополнительных предположений была затем решена Л.П. Шильниковым. Все это касалось изучения гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям гладких потоков или, соответственно, гомоклинических траекторий седловых неподвижных (или периодических) точек гладких диффеоморфизмов.

Шильников был первым, кто обнаружил сложную динамику траекторий гладкого трехмерного потока в окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия типа седло-фокус. Эта ситуация имеет место в предположении положительности седловой величины седло-фокуса. При переходе к гамильтоновому случаю, ввиду симметрии спектра линеаризации потока в состоянии равновесия, это условие не выполняется. Пытаясь перенести результат Шильникова на гамильтонов случай, Девани обнаружил, что в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории седло-фокуса гамильтоновой системы имеется инвариантная подсистема, описываемая на некоторой секущей как топологическая схема Бернулли из двух символов. Затем Лерманом было получено полное описание системы в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седло-фокусу на критическом уровне гамильтониана (то есть содержащем седло-фокус и гомоклини-ческую траекторию) и показано, что при переходе к близким уровням гамильтониана в системе происходит большое число различных бифуркаций, в результате которых система усложняется и, в частности, число состояний схемы Бернулли, которая описывает поведение некоторой инвариантной ги-

перболической подсистемы, имеющейся на всех близких уровнях гамильтониана, растет и стремится к бесконечности при подходе к критическому уровню.

Задача об описании траекторий гамильтоновой системы в окрестности гомоклинической траектории к седлу существенно зависит от числа таких траекторий. Дело в том, что согласно результату Фидлера и Вандербауведе в изолированной окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седлу гамильтоновой системы имеется только однопараметрическое семейство периодических траекторий, накапливающихся к гомоклинической, а других инвариантных целиком лежащих в окрестности множеств нет. Кроме того, Девани показал, что трансверсальные гомоклинические траектории к седлу возможны в интегрируемой системе, а Лерман и Уманский показали, что это общий случай в классе интегрируемых систем. Тураев и Шильни-ков указали достаточные условия, когда сложная динамика в гамильтоновой системе имеется в окрестности букета трансверсальных гомоклинических траекторий.

В диссертации рассматриваются некоторые задачи, связанные с существованием гомоклинических траекторий к периодическим движениям различного типа при наличии эллиптических направлений и структурой гамильтоновой системы в окрестности таких гомоклинических траекторий. Важность исследования гомоклинических явлений состоит, в частности, в том, что наличие гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям приводит к сложной динамике соответствующей гамильтоновой системы и может служить обоснованием неинтегрируемости гамильтоновой системы. Вопросы же интегрируемости или неинтегрируемости системы очень важны в прикладных задачах, поскольку позволяют различать системы с простой и сложной структурой. Для гомоклинических траекторий к периодическим траекториям, не являющимся чисто седловыми, вопросы о структуре системы в их окрестности являются гораздо более сложными и исследованы недостаточно. Кроме того, изучение структуры системы в окрестности гомоклинической траектории является важным с точки зрения понимания структуры неинтегрируемой гамильтоновой системы и позволя-

й\

ет существенно продвинуться в исследовании особенностей такого поведения.

Наиболее изученными гамильтоновыми системами являются системы с двумя степенями свободы. После выбора соответствующего уровня гамильтониана и перехода к отображению Пуанкаре изучение их динамики сводится к изучению итераций двумерных симплектических отображений, которые представляются наиболее понятными геометрически, хотя и здесь некоторые принципиальные задачи динамики не решены даже для отображений, близких к интегрируемым. Например, совершенно неясно, какова динамика двумерного симплектического закручивающего отображения, близкого к интегрируемому, в так называемом стохастическом слое. Следует также отметить, что при изучении окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия автомномной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, симплектические отображения, возникающие на секущей к гомоклинической траектории в особом уровне гамильтониана, являются разрывными вдоль следов сепаратрисных многообразий. Это дополнительно усложняет задачу исследования и приводит к необходимости изучения бифуркаций в системе при переходе на близкие неособые уровни гамильтониана.

Гамильтоновы системы являются моделями во многих разделах физики. Так, при изучении уравнений с частными производными солитонного типа возникли задачи об описании локализованных решений, которые обычно описывают решения уравнений с конечной энергией или конечным значением функционала в случае уравнений градиентного типа. В пространственно одномерном случае такие задачи часто сводятся к вопросам существования, рождения или исчезновения гомоклинических траекторий к состояниям равновесия соответствующих гамильтоновых систем. Также задачи подобного типа возникают при изучении бифуркаций гамильтоновых систем, в частности, при изучении вопросов о генезисе сложного поведения при возмущении систем с простой структурой (интегрируемых).

В теории гамильтоновых систем, особенно в задачах механики, основным вопросом при локальном изучении системы в окрестности состоя-

ний равновесия и периодических траекторий были вопросы их устойчивости и неустойчивости. Решение этих вопросов опиралось на технику нормальной формы для получения простейшей формы системы в окрестности рассматриваемой траектории и на результаты теории KAM, которые позволяли в некоторых случаях доказать устойчивость. Большой вклад в это изучение был сделан в работах В.И.Арнольда, А.Д.Брюно, А.П.Маркеева, А.Г. Сокольского и многих других. Так, В.И. Арнольдом была доказана устойчивость точки общего эллиптического типа для аналитической системы с двумя степенями свободы, используя нормальную форму Биркгофа. Большой вклад в теорию нормальной формы был сделан в работах А.Д. Брюно.

При исследовании бифуркационных задач для гамильтоновых систем встречаются системы со сложными вырождениями уже в случае однопа-раметрических семейств. Например, при наличии параметра гамильтоно-ва система с двумя степенями свободы может изменяться таким образом, что ее эллиптическое состояние равновесие может при некотором критическом значении параметра иметь пару двукратных собственных значений линеаризованной системы. При этом в общем случае жорданова нормальная форма матрицы линеаризации системы в состоянии равновесия будет иметь два двумерных жордановых блока. В этом случае в линейном приближении, в отличие от случая эллиптической точки общего типа, система будет неустойчивой. Поэтому интересен вопрос об устойчивости состояния равновесия в полной системе. Этот вопрос впервые изучался в работе А.Г. Сокольского, где была получена нормальная форма системы в окрестности такого состояния равновесия при всех значениях параметра, близких к критическому, и был указан нелинейный инвариант, от которого должна зависеть устойчивость. Случай неустойчивости был изучен Сокольским и была сделана попытка получить устойчивость при противоположном знаке нелинейного инварианта. Однако в опубликованной им работе оказалась существенная ошибка. Вторая попытка доказать устойчивость в этом случае была сделана в работе A.M. Ковалева, А.Н. Чудненко, однако и там доказательство оказалось неверным. Еще одной работой, в которой рассматривалась эта задача, была работа Д.В. Трещева, где изучался многомерный слу-

чай и был дан набросок доказательства в случае двух степеней свободы, для которого только и можно доказать устойчивость. Тем не менее, полного доказательства в ней не было дано. Устойчивость такого состояния равновесия также обсуждалась А.П. Маркеевым, но была показана только формальная устойчивость.

Кроме самостоятельного интереса, задача о полном исследовании бифуркации перехода через такой резонанс частот, которая сейчас носит название гамильтоновой бифуркации Хопфа, представляет большой интерес для различных физических моделей, в частности, как один из возможных вариантов появления стационарных локализованных и периодических структур в уравнениях с частными производными. Например, эта бифуркация происходит в широко известной модели образования структур - стационарном уравнении Свифта-Хоенберга на прямой. Стоит отметить, что для некоторых задач с двумя степенями свободы именно доказательство устойчивости по Ляпунову является ключевым. Например, в такой системе траектории не могут уходить из достаточно малой окрестности состояния равновесия, что позволяет сделать вывод об отсутствии гетероклинических траекторий в системе.

Исследование (интегрируемой) нормальной формы системы при гамильтоновой бифуркации Хопфа было проведено в книге Ч. ван дер Меера, также в обзоре В.И.Арнольда, В.В.Козлова и А.И.Нейштадта в известной серии ВИНИТИ. Недавно в работе Гельфрейха-Гайвайо и диссертации Гай-вайо были получены асимптотические формулы, из которых, в частности, следует наличие трансверсальных гомоклинических траекторий к образующемуся из эллиптической точки седло-фокусу при соответствующем направлении изменения параметра бифуркации, а поэтому соответствующая система является неинтегрируемой, и преобразование к нормальной форме расходится. Следует отметить, что для аналитической системы расщепление сепаратрисных многообразий седло-фокуса в этой задаче экспоненциально мало (это следствие одной теоремы Нейштадта), поэтому получение оценки, показывающей положительность угла расщепления вдоль гомокли-нической траектории - весьма нетривиальная задача, требующая выхода в

комплексную область и тонкой работы с различными асимптотическими разложениями. Имеется также параллельная аналогичная задача о бифуркации для случая четырехмерной обратимой системы, имеющей симметричное состояние равновесие с парой двукратных чисто мнимых собственных значений. Для этой задачи в работе Иосса и Пероэме была получена нормальная форма обратимой системы в окрестности симметричного состояния равновесия, и, кроме того, было исследовано рождение симметричных гомоклинических траекторий к рождающимся при изменении параметра из состояния равновесия седловым симметричным периодическим траекториям, а также сохранение двух симметричных гомоклинических траекторий к рождающемуся в другую сторону по параметру седло-фокусу.

Естественным обобщением гамильтоновой бифуркации Хопфа на случай гамильтоновых систем с тремя степенями свободы является изучение соответствующей бифуркации в семействе периодических траекторий. Впервые подобная задача для случая обратимого диффеоморфизма (соответствующего отображения Пуанкаре) в окрестности симметричной неподвижной точки была поставлена в работе Севрюка и Лахири. В ней изучался вопрос о существовании инвариантных кривых в окрестности неподвижной точки в предположении нерезонансности мультипликаторов. Для симплектического диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки соответствующая бифуркационная задача была рассмотрена для интегрируемого приближения. Бифуркационная задача для гамильтоновой системы в полном объеме без дополнительных предположений отсутствия резонансов была поставлена и некоторые основные результаты были сформулированы в краткой заметке Глебского и Лермана. В заметке рассматривалась нормальная форма системы, полученная для периодического случая в работе Иванова и Соко