Двоякосимптотические траектории и условия интегрируемости гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

Механико-математнческин факультет

^ О ОД

На правах рукописи

2 ч НОЙ 'ПП7

Болотин Сергей Владимиров1 УДК 531.01

ДВОЯКОАСИМПТОТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ И УСЛОВИЯ ИНТЕГРИЬ ОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ С*- ЕМ

Специальность 01.02.01 — теоретически, механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г

Москва - 1997

Работа выполнена в МГУ имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Анатолий Павлович Маркеев.

Доктор физико-математических наук, профессор

Анатолий Исерович Нейштадт.

Доктор физико-математических наук, профессор,

академик РАН Анатолий Тимофеевич Фоменко.

Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН

Защита диссертации состоится 5 декабря 1997 г. в 16:20 час. на заседании специализированного совета Д 053.05.01 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. Адрес: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан Ц ноября 1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук, доцент

Д.В.Трещев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Исследование вопросов интегрируемости гамильтоновых систем является одной из основных задач механики, тесно связанной с исследованием хаотического поведения механических систем. Необходимые условия интегрируемости изучались в работах Лиувилля, Брунса, Пенлеве, Пуанкаре, Ковалевской, Ляпунова, Козлова, Зн-глина и других авторов. В классических работах под интегрируемостью понималось существование полного набора алгебраических или мероморфных первых интегралов, или же интегралов, представимых в виде ряда по малому параметру (интегрируемость по Пуанкаре). Для интегрируемости в указанных смыслах были разработаны достаточно простые необходимые условия, имеющие алгебраический характер.

Одним из наиболее общих понятий интегрируемости гамильтоновых систем является интегрируемость по Лиувиллю (существование полного набора аналитических интегралов в инволюции, независимых по крайней мере в одной точке). Доказательство неинтегрируемости по Лиувиллю является более сложной задачей: требуется установить нетривиальные динамические эффекты, не свойственные интегрируемым системам, например, существование траекторий, имеющих "хаотический" характер.

Основополагающие результаты, о неинтегрируемости по Лиувиллю гамильтоновых систем принадлежат В.В.Козлову и С.Л.Зиг-лину. Кушман доказал, что неинтегрируемость по Лиувиллю аналитических систем с двумя степенями свободы вытекает из наличия изолированных двоякоасимптотических траекторий к периодическим траекториям. В работах В.В.Козлова, С.Л.Зиглина и последующих работах для доказательства существования таких траекторий использован метод интеграла Пуанкаре - Мельникова. Применение этого метода ограничено случаем систем, близких к интегрируемым. Если система не является близкой к интегрируемой, так что теория возмущений неприменима, для доказательства неинтегрируемости по Лиувиллю требуются другие подходы, наиболее перспективным из которых является метод вариационного исчисления в целом.

Первые теоремы существования двоякоасимптотических траекторий, основанные на вариационных принципах, были получены автором диссертации. Для доказательства неинтегрируемости ва-риацнонный метод впервые применен в работе В.В.Козлова. В ней открыт новый тип препятствий к интегрируемости, имеющий чисто топологическую природу: системы со сложной топологией конфигурационного пространства не могут быть интегрируемыми.

Диссертация посвящена развитию новых вариационных методов доказательства существования двоякоасимптотических и хаотических траекторий и неинтегрируемости гамильтоновых систем. С их помощью получены конструктивные геометрические условия существования изолированных двоякоасимптотических траекторий, дающие достаточные условия неинтегрируемости по Лиу-виллю и хаотического поведения в случаях, когда методы теории возмущений неприменимы.

Полученные результаты позволили доказать неинтегрируемость и существование хаотических траекторий для ряда классических задач механики, не поддававшихся исследованию. Среди них задача о движении тяжелого твердого тела, задача тг центров, двойной маятник, и другие задачи. Сказанное дает основания утверждать, что тема диссертации актуальна.

Отметим, что в последнее время появились работы, где хаотические траектории гамильтоновых систем строятся с помощью вариационных методов, основанных на идее Э.Сере. Здесь можно упомянуть работы Э.Сере, В.Коти-Зелати, П.Рабиновича, У.Бесси и других авторов. Все эти результаты применимы лишь для неавтономных систем и используют предположение, что множество го-моклинических траекторий обладает некоторыми свойствами компактности, обобщающими классическое условие трансверсальности. Однако до сих пор не существует конструктивных критериев, позволяющих проверить эти условия для конкретных механических систем, исключая случаи, когда применима теория возмущений.

Цель работы

Целью работы является развитие методов исследования гамильто-новых систем, основанных на вариационных принципах механики, и доказательство геометрических критериев неинтегрируемости и хаотического поведения.

Теоретическая и практическая ценность

Работа расширяет возможности качественного анализа гамильто-новых систем на те случаи, когда методы теории возмущений неприменимы. Полученные результаты могут быть использованы при доказательстве неинтегрируемости и построении хаотических траекторий для гамильтоновых систем, возникающих в механике и физике. Полезность полученных результатов при анализе, конкретных систем показана на ряде задач из динамики тяжелого твердого тела и небесной механики. Результаты диссертации вошли в монографии по проблемам интегрируемости гамильтоновых систем.

Методы исследования

Методы исследования, используемые в диссертации, основаны на вариационных принципах аналитической механики - принципах Гамильтона - Остроградского и Мопертюи - Якоби. Основным инструментом является вариационное исчисление в целом, разработанное в работах А.Пуанкаре, Дж.Бнркгофа, М.Морса, Л.А.Люс-терника, Л.Г.Шнирельмана, Р.Пале, С.Смейла.

С помощью вариационных методов доказывается существование двоякоасимптотнческих траекторий. Затем, используя модификацию методов теории динамических систем, разработанных А.Пуанкаре, М.Морсом, Дж.Биркгофом, С.Смейлом, Л.П.Шильни-ковым, показывается, что система обладает хаотическими траекториями. При доказательстве неинтегрируемости по Лиувиллю используются методы А.Пуанкаре, В.В.Козлова, С.Л.Зиглина.

В диссертации применяются также методы теории возмущений, разработанные А.Пуанкаре, Дж.Биркгофом, В.И.Арнольдом, Ю.Мозером, В.К.Мельниковым, Д.В.Трещевым.

Научная новизна

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Доказано существование периодических траекторий заданной энергии и двоякоас'имптотических траекторий обратимых га-мшгьтоновых систем.

2. Получен геометрический критерий неинтегрируемости для систем с конфигурационным пространством сфера. С его помощью доказана неинтегрируемость по Лиувиллю и существование хаотических движении на нулевом уровне интеграла площадей для задачи о движении тяжелого динамически симметричного твердого тела с центром масс в диаметральной плоскости эллипсоида инерции, при отношении моментов инерции больше четырех.

3. Получен геометрический критерий неннтегрнруемости и существования хаотических траекторий для систем с конфигурационным пространством тор или цилиндр. С его помощью доказана неинтегрируемость по Лиувиллю двойного математического маятника.

4. Обнаружен механизм влияния ньютоновских особенностей потенциальной энергии на интегрируемость и существование хаотических траекторий механических систем. Доказана неинтегрируемость по Лиувиллю задачи п центров и ограниченной круговой задачи многих тел при п > 3 и неотрицательных значениях интеграла Якоби.

5. Получены топологические препятствия к интегрируемости по Биркгофу систем с: гироскопическими силами и упругими отражениями. Дана классификация интегрируемых систем с упругими отражениями на поверхностях постоянной кривизны.

6. Получен критерий неинтегрируемости, обобщающий метод Пуанкаре - Мельникова - Зпглина на многомерный случай. Даны достаточные условия неинтегрируемости при наличии двоякоасим-птотической траектории к положениям равновесия седлового типа.

7. Доказано существование асимптотических и двоякоасимпто-тических траекторий для инвариантных торов гамильтоновых систем, на которых функция Лагранжа достигает минимума.

8. Установлено существование двоякоасимптотических траекторий для гиперболических инвариантных торов, возникающих

при распадении резонансных инвариантных торов вполне интегрируемых гамильтоновых систем.

9. Доказано существование инвариантных множеств Мезера, возникающих при распадении резонансных инвариантных торов гамильтоновых систем, и существование двоякоасимптотических траекторий к этим множествам.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на ряде конференций, в том числе на Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент 1980), конференции по интегрируемости и хаотическому поведению гамильтоновых систем (Торун, Польша, 1993), международном конгрессе математиков (Цюрих, Швейцария, 1994). конференции по динамическим системам (Триест, Италия, 1994), конференции по гамильтоновым системам с тремя и более степенями свободы (Сагаро, Испания 1995), конференции по динамическим системам (Обервольфах, Германия, 1995), а также на семинарах механико-математического ф-та МГУ, ф-та ВМК МГУ, Математического ин-та им. Стеклова РАН. Института проблем управления РАН и других.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-28]. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, и списка литературы. Имеются также три приложения. Объем работы 268 страниц. Библиография включает 242 наименования.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и изложено содержание-диссертации.

Глава 1 посвящена проблемам существования периодических и двоякоасимптотических траекторий обратимых автономных га-

мильтоновых систем. Предполагается, что функция Гамильтона Н(р, q) строго выпукла по импульсу р. Периодические траектории д(£), такие, что р(-£) = —рЩ, <7(~0 =(7(0- названы В. В. Козловым либрациями.

Пусть ^(д) = 0, (?) - потенциальная энергия. Траектории либрации энергии ¡г являются кривыми в области возможности движения {V < К) с концами на границе {V = /г}.

Теорема 1 Если область возможности движения компактна и на ее границе нет положений равновесия, то существует либрация энергии И.

Приведено также обобщение теоремы 1 на случай некомпактной области возможности движения. Теорема 1 является обобщением теоремы Г.Зейферта, который рассматривал случай, когда область возможности движения - шар, и В.В.Козлова, который предполагал, что граница несвязна. Доказательство теоремы 1 основано на вариационном принципе Мопертюи - Якоби. Основная трудность связана с вырождением метрики Якоби

= таx{{p,dq) | Н(р, (¡) = /).}

на границе области возможности движения. Поэтому для применения вариационных методов потребовалось исследовать поведение метрики Якоби вблизи границы.

Получены оценки числа либрации заданной энергии, минимизирующих действие Якоби, в случае, когда область возможности движения по модулю границы неодносвязна. Их число не меньше ранга фундаментальной группы области возможности движения по модулю границы. В случае двух степеней свободы при некоторых условиях удается доказать существование неминимальных либрации. Это дает новые периодические движения энергии в динамике тяжелого твердого тела, когда область возможности движения на сфере Пуассона - кольцо.

В последнее время появились работы, обобщающие теорему 1 на случай более общих гамильтоновых систем на уровне энергии "контактного типа". Однако эти результаты пока не имеют механических приложений.

Полученные результаты применены для доказательства существования двоякоасимптотпческнх траекторий. В частности, доказано

Следствие 1 Если конфигурационное пространство компактно и существует единственная, невырожденная точка максимума потенциальной энергии, то соответствующее положение равновесия имеет дволкоасимптотическую траекторию.

Этот результат является основой для глав '2 и 4.

Центральными в диссертации являются главы 2-5. В них изучаются автономные системы с двумя степенями свободы. В.В.Козлов доказал, что если конфигурационное пространство М компактно, а его эйлерова характеристика \{М) отрицательна, то система не интегрируема по Лиувиллю. Впоследствии этот результат обобщен на многомерный случаи И.А.Таймановым и Г.Патернайном.

В диссертации рассматриваются случаи, когда М некомпактно (например, потенциальная энергия имеет особенности), когда Л/ имеет край (системы с упругими отражениями), а также когда х{М) > 0. Последнее означает, что М - сфера (например, сфера Пуассона в динамике твердого тела), или проективная плоскость (например, в задаче Неймана), цилиндр или тор (например, для двойного маятника), или плоскость. Для бутылки Клейна пока не существует механических приложений. В указанных случаях нет чисто топологических критериев неинтегрируемости, и их требуется дополнить геометрическими условиями. Следует разделять принципиально различные ситуации, когда эйлерова характеристика х(М) > 0 (сфера, плоскость или проективная плоскость) и х(М) = 0 (тор, цилиндр или бутылка Клейна).

В главе 2 получено достаточное условие неинтегрируемости и существования хаотических траекторий для натуральных систем с конфигурационным пространством сфера. Пусть потенциальная энергия достигает невырожденного максимума Л в точке <7о- Согласно следствию 1, существует движение, двоякоасимптотическое к положению равновесия </о- Его траектория Г является экстремалью функционала действия Якоби.

Предположим, что Г касается в точке <70 собственных направлений, отвечающих большему по модулю характеристическому показателю положения равновесия.

Теорема 2 Пусть Г явллельсл точкой невырожденного локального минимума действия. .Якоби в классе кривых на сфере с концами в точке до■ Тогда

• В каждой из областей, на которые Г делит сферу, сл/ще-ствует двояко асимптотическая к положению равновесия траектория 7.

• Если система аналитическая и обладает плоскостью симметрии, не содержащей Г, то траектория 7 либо трансвер-сальна, либо имеет нечетную кратность.

• В предположении предыдущего пункта существует е > О, такое, что система обладает хаотическими траекториями на каждом уровне энергии {Н = Е}, где 0 < \Е — /г| < е. В частности, система не интегрируема по Лиувиллю.

Этот результат применен для доказательства неинтегрируемости тяжелого твердого тела. Пусть А = В ф С, & центр масс лежит в диаметральной плоскости эллипсоида инерции. Предположим, что постоянная площадей (вертикальная компонента кинетического момента) равна нулю. Тогда после понижения порядка возникает натуральная система на сфере Пуассона. Она интегрируема при А = С, А = 2С (случай Ковалевской), и А — 4С (случай Горячева - Чаплыгина).

Оказывается, что маятниковая двоякоаснмптотическая траектория, соответствующая вращению тела вокруг оси динамической симметрии, является точкой невырожденного локального минимума действия Якоби при условии А > АС. Таким образом, из теоремы 2 вытекает

Следствие 2 При А > 4С задача о движении тяжелого твердого тела неинтегрируема по Лиувиллю на нулевом уровне интеграла площадей и имеет хаотические траектории.

По видимому, этот результат нельзя получить без использования вариационных методов. Отметим, что несуществование дополнительного мероморфного интеграла установлено С.Л.Зиглц-ным с помощью анализа ветвления решений в комплексной области. Неинтегрируемость по Лиувиллю является значительно более сильным утверждением.

В главе 3 получены достаточные условия неинтегрируемости и существования хаотических траекторий систем с двумя степенями свободы и потенциалом, имеющим особенности ньютоновского типа. При регуляризации парных столкновении возникает сложная топология конфигурационного пространства, что позволяет строить хаотические траектории.

Пусть функция Гамильтона

Я(р)?)=Я2(р1?)+Я,(р|9) + ВД

класса С2 квадратична по импульсу р, где однородные формы Я2,Я[ определены на всем конфигурационном пространстве М. а Я0 - всюду, кроме п особых точек ньютоновского типа. Оказывается, что наличие п > 2\(М) особенностей ньютоновского типа влечет хаотическое поведение траекторий механической системы и, в частности, неинтегрируемость.

Теорема 3 Пусть М компактно, а потенциальная энергия имеет п > 2\(М) особенностей ньютоновского типа. Тогда при Н > эирЯо система неинтегрируема по Лиувиллю на уровне энергии {Я = /г}.

Отметим, что даже если Я € С2, имеет смысл говорить об интегрируемости по Лиувиллю на уровне энергии, поскольку он имеет естественную структуру аналитического многообразия.

Теорема 3 доказывается с помощью регуляризации столкновений методом Леви-Чивита и вариационных методов. Она является обобщением теоремы В.В.Козлова о топологических препятствиях к интегрируемости и совпадает с ней. когда система обратима и не имеет особенностей.

В случае некомпактного М необходимо дополнительное

Условие на бесконечности. Пусть конфигурационное пространство получается из компактного двумерного многообразия выбрасыванием конечного числа бесконечно удаленных точек. Предположим, что каждая замкнутая кривая в окрестности бесконечно удаленной точки, охватывающая эту точку, не может быть утянута на бесконечность в классе кривых ограниченной в метрике #2 длины.

Будем говорить, что гироскопическая сила <5, соответствующая форме Н1, знакоопределена, если она всегда направлена по одну сторону от вектора скорости, т.е. пара векторов ф, <7 одинаково ориентирована, или С} = 0.

Теорема 4 Пусть М некомпактно, Н-2 удовлетворяет приведенному условию на бесконечности, гироскопическая знакоопределена, а Но имеет п > 2\{М) особых точек ньютоновского типа. Тогда при Н > Бир .Но система не интегрируема на уровне .энергии {# = /*}.

Плоская круговая ограниченная задача п+1 тел. Пусть п точек закреплены в плоскости, вращающейся вокруг ортогональной оси с постоянной угловой скоростью ш, а п + 1-я точка движется под действием их гравитационного притяжения. Гироскопическая сила Кориолиса знакоопределена. Ограниченная задача тг + 1 тел интегрируема при п = 1 (задача Кеплера), а также при п = 2 и ш = 0 (задача Эйлера двух неподвижных центров). Из теоремы 4 вытекает, что при п > 2 и всех и ограниченная задача тг + 1 тел не интегрируема по Лиувиллю и имеет хаотические траектории на любом уровне интеграла Якоби Н = /г > 0. В частности, задача тг центров неинтегрируема при п > 2. Отметим, что неинтегрируемость по Лиувиллю ограниченной задачи трех тел на положительных уровнях интеграла Якоби до сих пор не доказана.

Приведено также частичное обращение теорем 3-4. А именно, если одно из условий нарушено, можно построить интегрируемую систему, удовлетворяющую остальным условиям.

Теоремы 3-4 допускают следующее уточнение-

Теорема 5 Пусть выполцены условия теорем 3~4 и пусть функция Гамильтона аналитическая. Тогда система имеет беско-

нечное число минимизирующих действие неустойчивых периодических траекторий на уровне энергии h > sup Но, причем через каждую из них проходят двумерные аналитические инвариантные многообразия в фазовом пространстве, состоящие из траекторий, асимптотических к этому периодическому решению при t -4 ±00. Существует бесконечное число трансверсальных гомо-клинических траекторий к каждой из этих периодических траекторий (линий трансеерсалъного пересечения инвариантных многообразий). В частности, система имеет хаотические траектории.

Доказательство основано на вариационных методах, обобщающих метод М.Морса исследования минимальных геодезических на поверхностях. Отметим, что, по крайней мере для натуральных систем без особенностей, существование хаотических траекторий вытекает также из результата А.Катка. Однако и в этом случае теорема 5 дает дополнительную информацию.

Построенные в теореме 5 периодические и гомоклиническпе траектории могут, вообще говоря, включать отражения от притягивающих центров. В обратимом случае удается доказать, что большая часть построенных траекторий не содержит соударений. Неизвестно, верно ли это для необратимых систем.

В главе 4 рассматривается случай = 0. Получен вари-

ационный критерий неинтегрируемости для натуральных систем с двумя степенями свободы и конфигурационным пространством тор или цилиндр. Пусть <7о - точка строгого невырожденного максимума потенциальной энергии V, a J - функционал действия Якоби, отвечающий энергии h = V(qo). Пусть Г - свободный гомотопический класс замкнутых кривых в М и / = infp./. В некомпактном случае требуется

Условие на бесконечности. Пусть М - полное метрическое пространство по отношению к расстоянию, определяемому метрикой Якоби, и существует е > 0 и компакт К С М такие, что любая кривая 7 € Г с ./(7) < / + е содержится в К.

Это условие выполняется при наличии так называемых сильных особенностей потенциальной энергии, а также при наличии беско-

нечно удаленных точек, удовлетворяющих условию Пшяир |д|2(Л - = оо.

Пусть П С Г - множество кривых, проходящих через О.

Теорема 6 При условии тГп ■] > I система не имеет непостоянных аналитических интегралов на уровне энергии {Н = 1г). Существует £ > О, такое, что существуют хаотические траектории на каждом уровне энергии {Н — Е}, где Н — г < Е < Л.

В качестве одного из приложений доказана неинтегрируемость двойного математического маятника при условии

9тг2{т^] + т-2{11 -12)'2)((т1 + + т2/2) < 32гг4(тах{/ь/2})\

где /1,2 - длины звеньев маятника, а т^ - массы. Ранее неинте-грнруемость была доказана А.А.Буровым для весьма специального физического маятника.

Метод доказательства теоремы 6 аналогичен методу главы 3, однако используются не двоякоасимптотические траектории, соединяющие периодические орбиты, а траектории, соединяющие минимизирующие действие периодические траектории (существующие в силу условия т^ .7 > I) с положением равновесия (¡г0- Доказано также

Предложение 1 При условии теоремы б суи^ествует бесконечное число трансе ер сальных гомоклинических траекторий к положению равновесия до-

Деваней показал, что существование трансверсальных гомоклинических траекторий к положению равновесия с вещественными характеристическими показателями не влечет неинтегрируемость. Например, четыре трансверсальные гомоклинические траектории существуют для системы двух несвязанных математических маятников.

Если характеристические показатели различны и существуют три трансверсальных гомоклинические траектории, не касающиеся собственных векторов, отвечающих большему характеристическому показателю, то существование хаотических траекторий

вытекает из результатов Д.В.Тураева и Л.П.Шильникова. Следовательно, если характеристические показатели различны, то теорема 6 вытекает из предложения 1. В общем случае требуется другой подход.

Существование хаотических траекторий молено доказать, не используя аналитичности системы [30]. В этой работе используются чисто вариационные методы и явно строятся хаотические траектории. Соответствующий результат сформулирован без доказательства в приложении к главе 4.

Результаты глав 1-4 основаны на вариационных методах. Однако эти методы применимы не всегда. В главе 5 рассматриваются системы с гироскопическими силами A(q)q, такими, что форма гироскопических сил Г = T.(iij(q)dqi A dqj не является полным дифференциалом. Подобные системы возникают при понижении порядка по Раусу. Тогда функция Лагранжа является многозначной, так что вариационные теоремы существования, вообще говоря, неприменимы. Теория многозначных функционалов разработана С.П.Новиковым и И.В.Таймановым для периодической задачи вариационного исчисления, однако и в этом случае полное обоснование вызывает проблемы. Примеры показывают, что доказать существование гомоклнннческих траекторий, видимо, невозможно.

Поэтому удается установить критерии неинтегрируемости, аналогичные полученным в главе 3, лишь интегрируемости по Бирк-гофу (существование дифференцируемых интегралов на уровне энергии, полиномиальных по скорости). Существование хаотических движений в рассматриваемых случаях не установлено. В некоторых случаях их просто не существует. В других случаях доказать их существование - нерешенная задача. Результаты главы 5 могут быть обобщены на случай полей симметрии. Частично это сделано в работе В.В. Козлова и автора [29]. Однако эти обобщения не вошли в диссертацию.

В качестве примера сформулируем две теоремы главы 5. Пусть потенциальная энергия V имеет п особенностей ньютоновского типа.

Теорема 7 Пусть М компактно (либо выполнены некоторые условия на бесконечности) и п > 2\{М). Тогда при h > sup V не

существует непостоянных полиномиальных по скорости первых интегралов на уровне энергии {if = h}.

Показано, что при h < sup V утверждение теоремы неверно. Если гироскопических сил нет и потенциальная энергия не имеет особенностей, то теорема 7 совпадает с теоремой В.Н.Колокольцова. Если форма гироскопических сил точна, так что можно определить функцию Гамильтона Н(р, q), и гироскопические силы не слишком велики, то теорема 7 вытекает из результатов главы 3 при h > sup Н0 > supF.

При п = 2\(М) определяющую роль играет структура гироскопических сил.

Теорема 8 Пусть М компактно (либо выполнены некоторые условия на бесконечности), а потенциальная энергия им.еет п = 2\(М) особых точек ньютоновского типа. Если Jf\{T ф 0, то не существует непостоянных полиномиальных по скорости первых интегралов на уровне энергии {Н = h} при h > sup V.

Примеры показывают, что при условиях теорем 7-8 аналитические первые интегралы могут существовать.

Во второй части главы 5 рассматриваются системы с упругими отражениями. Предположим, что конфигурационное пространство М механической системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием потенциальных и гироскопических сил, является компактным многообразием с кусочно-гладкой границей Г. Когда траектория встречает границу Г в гладкой точке, она отражается по закону "угол падения равен углу отражения". Полученная система с односторонней идеальной связью Г называется системой с упругими отражениями, или бильярдной системой.

Функция класса С1 на уровне энергии {Н = h}, где h больше максимума потенциальной энергии, называется полиномиальным интегралом. если она является полиномом по скорости, первым интегралом уравнений движения, и сохраняется при отражении. Такие интегралы изучались Биркгофом. Имеются другие определения интегрируемости.

Пусть вк € (0,2ж) - внутренние углы в точках излома границы.

Теорема 9 Если система с упругим.и отражениями имеет полиномиальный интеграл на уровне энергии, то

£(тг - 9к) < 2тт\(М). к

Если неравенство превращается в равенство, то 9* = жтпи/п, где п, m - целые числа.

Отметим, что если кривая Г такова, что выполняются утверждения теоремы, то существует потенциальная энергия класса С1, такал, что система интегрируема на данном уровне энергии.

В последней части главы 5 обсуждается задача классификации интегрируемых систем с упругими отражениями на поверхности постоянной кривизны (плоскость, сфера, или плоскость Лобачевского). Доказана

Теорема 10 Если по крайней мере один из кусков Г не является геодезической, и является регулярной комплексной кривой, то степень любого неприводимого полиномиального по скорости интеграла интеграла системы с упругими отражениями не больше четырех, а Г состоит из кусков геодезических и кривых второй степени.

Дана полная классификация границ интегрируемых в указанном смысле бильярдов.

В главе 6 критерий Пуанкаре-Мельникова-Зиглина неинтегрируемости гамильтоновых систем обобщен на периодические по времени системы с п степенями свободы. Пусть 7+,7~ - периодические траектории, характеристические показатели которых не лежат на мнимой оси. Тогда траектории, асимптотические к 7+ при í оо и к 7" при t —> —со соответственно образуют (п + 1)-мерные инвариантные многообразия Л+ и Л- в расширенном фазовом пространстве. Пересечение Л+ П А- состоит из двоякоасимптотиче-ских траекторий.

Пуанкаре показал, что наличие трансверсальной двоякоасим-птотической траектории влечет, сложную структуру траекторий в окрестности множества Л+ U Л-. Поскольку первые интегралы постоянны на Л+ U Л-, при п — 1 это позволяет делать выводы о

несуществовании первых интегралов. При п > 1 подобный метод доказательства неинтегрируемости неприменим, так что из существования трансверсальной двоякоасимптотической траектории не следует неинтегрируемость по Лиувиллю. Неинтегрируемость по Лиувиллю установлена в многомерном случае лишь если имеется несколько двоякоасимптотических траекторий, удовлетворяющих дополнительным условиям невырожденности (С.А.Довбыш).

В главе 6, в предположении вещественности характеристических показателей траекторий 7±, доказано достаточное условие неинтегрнруемости по Лиувиллю, более слабое, чем условие трансверсальности. Хаотических траекторий при этом условии может не существовать. Приведем одно из следствий полученного результата.

Предположим, что аналитическая функция Гамильтона

Н = Н0(:) + еН1{=Л) + О(е2)

гладко зависит от малого параметра е. Пусть при достаточно малых е система имеет две периодические траектории 7± с вещественными ненулевыми характеристическими показателями. Предположим, что существует траектория 7, двоякоасимптотическая к 7±, непрерывно зависящая от £ при г = 0. При е = 0 периодические траектории являются положениями равновесия, соединенными двоякоасимптотической траекторией 7о(0-

Теорема 11 Предположим, что

Г {#о,{Яо,Я,}}(7о(*М)«МО.

3—00

Тогда при всех достаточно малыхе ф 0 система не интегрируема по Лиувиллю.

Это утверждение обобщает на многомерный случай теорему С.Л.Зиглина. Теорема справедлива также при условии непостоянства функции

/со

{#0,Я,}(7о(*).* + *) Л-

-оо

Предположение о существовании семейства двоякоасимптотических траекторий можно проверить на практике с помощью одного из следующих достаточных условий.

1. Пусть инвариантные многообразия невозмущенной системы сдвоены при е = 0 и образуют гладкое многообразие. Если действия Гамильтона траекторий 7± совпадают, то существует двоя-коасимптотическая траектория.

2. Если невозмущенная система имеет полный набор ^,..., независимых первых интегралов, и

Г{Я,Я,}(7о(*).0<Й = 0, <1ес,( #0.

J—оо У—со

то при малых е ф 0 существует трансверсальная двоякоасимпго-тическая траектория.

3. Если конфигурационное пространство компактно, функция Гамильтона выпукла по импульсу, а положения равновесия являются точками строгого минимума функции Лагранжа при е = 0, то в гомоклиническом случае существует двоякоасимптотическая траектория. Это вытекает из результатов главы 7.

4. Если преобразование к (резонансной) нормальной форме Бирк-гофа в окрестности периодических траекторий 7± сходится, то условие существования двоякоасимптотической траектории не нужно. По теореме Мозера преобразование Биркгофа сходится при п = 1. Тогда теорема 11 сводится к теореме С.Л.Зиглина. По теореме Ито в нерезонансном случае преобразование Биркгофа всегда сходится, если система интегрируема. Таким образом, в нерезонансном случае существование двоякоасимптотической траектории не требуется.

Приведено приложение теоремы 11 к автономному случаю, основанное на методе Уиттекера.

Во второй части главы 6 рассматривается более тонкий случай положений равновесия автономных систем. Наличие трансвер-сальных гомоклинических траекторий для положений равновесия с вещественными характеристическими показателями не является препятствием к интегрируемости. Получены естественные достаточные условия неинтегрируемости в этом случае. Эти результаты, в отличие от подхода глав 2 и 4, применимы для многомерных систем и требуют наличия лишь одной двоякоасимптотической траектории.

Пусть положение равновесия аналитической гамильтоновой системы имеет характеристические показатели ±А[,..., ±АП, А,- > 0.

Предположим, что среди резонансов

{к, А) = £ Л-,-А,- = 0, кч € г, 1=1

нет комбинационных резонансов

А; = (/,А), А, + А^ = (/, А), /¡>0.

Тогда функция Гамильтона приводится в окрестности положения равновесия к нормальной форме Биркгофа

н п

н = Е -V. + Е (4)0^] + 05(р,<?), 1=1 «¿=1

где сг,- — р,д{. Назовем положение равновесия слабо нерезонансным, если матрица А = (оу) удовлетворяет условию А к ф 0 для всех резонансных векторов к ф 0. Если положение равновесия нерезонансное, то это условие выполняется автоматически.

Рассмотрим ограничение системы на неустойчивое многообразие И/и положения равновесия. Поскольку соответствующие характеристические показатели А[,...,А„ одного знака, преобразование к нормальной форме Пуанкаре сходится на \Уи. При отсутствии комбинационных резонансов нормальная форма является линейной: существуют аналитические координаты ...,</„ на IV" такие, что ограничение системы на имеет вид

<2. = А, </,-, { = 1

Назовем траекторию Г С главной асимптотической траекторией при Ь —оо, если вдоль нее одна из нормальных координат д; обращается в нуль. Аналогично определяются главные асимптотические траектории при ( —>■ +оо.

Теорема 12 Пусть г± - слабо нерезонансные положения равновесия с вещественными характеристическими показателями. Предположим, что существует транс в ер сальная двояко асимптотическая к г* траектория Г, которая не является главной при Ь —> ±оо. Тогда система не имеет аналитических первых интегралов в окрестности множества Ги{г+, г~}, кроме функций от энергии Я.

Это утверждение является новым и для систем с двумя степенями свободы. В качестве примера приведены приложения к динамике тяжелого твердого тела. Доказано, что возмущенный волчок Лагранжа неинтегрируем по Лиувиллю на нулевом уровне интеграла площадей. Другим методом близкое утверждение доказано С.А.^овбышем. Ранее была установлена неинтегрируемость по Пуанкаре.

Глава 7 посвящена доказательству существования гомоклини-ческих траекторий к гиперболическим инвариантным торам га-мильтоновых систем. В случае автономных обратимых систем и нульмерных торов (положений равновесия) эти результаты содержатся в главе 1. Используемые в главе 1 методы, основанные на вариационном принципе Мопертюи-Якоби, не работают для неавтономных систем. Вариационный метод, применимый в данном случае, впервые предложен в работе В.В.Козлова и автора [3], посвященной обобщению теоремы Хагедорна на неавтономный случай. Он основан на принципе Гамильтона. Основная мотивировка результатов главы 7 - применения в теории возмущений гамиль-тоновых систем, которые обсуждаются в главе 8. Существуют также более элементарные приложения. Например, с их помощью В.В.Козлов доказал неинтегрируемость маятника с колеблющейся точкой подвеса при почти всех значениях параметров.

Отметим, что в последнее время в работах Э.Сере и других авторов разработан иной подход к доказательству существования го-моклинических траекторий к положениям равновесия, однако эти методы неприменимы для инвариантных торов.

Пусть конфигурационное пространство М системы с т степенями свободы компактно, а функция Гамильтона класса С2 периодически зависит от времени. Предположим, что выполнены следующие условия.

Выпуклость. Функция Н(р, (¡Л) строго выпукла по импульсу р. Рост на бесконечности. ¿)/||/;|| сю при ||/.)|| оо.

Полнота. Решения уравнений Гамильтона с произвольными начальными условиями неограниченно продолжаются.

В случае, когда функция Гамильтона квадратична по импульсу, причем квадратичная форма Щ положительно определена, эти усло-

вия выполнены. Однако для приложений в теории возмущений требуется рассматривать более широкий класс систем.

Инвариантный тор Г размерности п + 1 < т в расширенном фазовом пространстве называется гиперболическим, если объединения траекторий, асимптотических к Г при t ±00 соответственно, представляют собой т + 1-мерные гладкие инвариантные многообразия Ws и Wu, и все траектории на W',u экспоненциально стремятся к Г при i ±00. Как показано Д.В.Трещевым, гиперболические торы возникают при возмущении интегрируемых гамильтоновых систем.

Траектории, принадлежащие множеству W*r\Wu, и не лежащие в Г, являются гомоклиническими к тору Г.

Теорема 13 Предположим, что гиперболический тор Г - множество точек минимума функции Лагранжа. Тогда:

• через каждую точку расширенного конфигурационного пространства М х R проходят траектории, асимптотические к Г при t —» ±со;

• существует гомоклиническал траектория к Г;

• если первое число Бетти к расширенного конфигурационного пространства по модулю проекции инвариантного тора отлично от нуля, то существуют по крайней мере k + 1 гомо-клинических траекторий.

В частности, если тор Г является положением равновесия р = О, q = <7о, получим

Следствие 3 Пусть длявсехЬ функция Н(0, q,t) достигает строгого невырожденного максимума в точке qq. Тогда:

• через любую точку М проходит траектория, асимптотическая к положению равновесия qо,-

• существует гомоклиническал к qg траектория;

• существуют по крайней мере k + 1 гомоклинических траекторий, где к - первое число Бетти М.

В автономном обратимом случае следствие вытекает из результатов главы 1.

Условие теоремы 13 не инвариантно относительно канонических преобразований. Например, при добавлении к функции Лагранжа полной производной уравнения движения не изменятся, но условие теоремы может нарушиться. Доказано обобщение теоремы 13, инвариантное относительно канонических преобразований, и справедливое для тех торов, которые являются минимальными в смысле Мезера. В приложении к главе 7 обсуждаются обобщения на случай, когда инвариантный тор заменяется на произвольное множество Мезера. Доказана слабая изотропность множеств Мезера и построены полугомоклинические в смысле Биркгофа траектории.

В главе 8 результаты главы 7 применены к исследованию инвариантных торов и инвариантных множеств, возникающих в теории возмущений гамильтоновых систем. При этом рассматриваются три случая: автономные системы, периодические по времени системы, и симплектпческие отображения. Сформулируем один из полученных результатов для случая автономных гамильтоновых систем с тп степенями свободы и гладкой функцией Гамильтона

Я = #0 + еЩ +0{е2), £ > 0.

Предположим, что невозмущенная система с: функцией Гамильтона Н0 имеет компактное связное инвариантаое лагранжево многообразие М, причем траектории на М условно периодичны с вектором частот ш е Я", где п < т. Тогда М расслоено на п-мерные инвариантные торы невозмущенной системы и невозмущенное га-мильтоново векторное поле V - постоянное поле и на каждом из этих торов. В приложениях М обычно является резонансным инвариантным тором интегрируемой по Лиувиллю системы.

Диофантово условие. Существуют С, и > 0, такие, что к)| > С\к\~" для всех к 6 Ъп \ {0}.

Существуют канонические переменные (р, £ Т'М в окрестности многообразия М в фазовом пространстве, такие, что М = {р = 0}. Тогда

Но = Ш,р) + К(р,д) + о(\р\2),

где К - квадратичная форма по р. Пусть K(p,q) - среднее квадратичной формы К по действию тора Т" на ТМ. Инвариантное многообразие M невозмущенной гамильтоновой системы называется положительно определенным, если для всех q форма Л (р, q) положительно определена.

Положим V = #[(0,ç) и пусть V - среднее функции Vj по отношению к действию тора Т" на М. Подобная функция впервые определена Пуанкаре.

Топологическое условие. Пусть Г0 С M - некоторый инвариантный тор невозмущенной системы. Предположим, что каждая замкнутая не стягиваемая кривая в Го нестягиваема в M.

Это условие удовлетворяется для случая, когда M - резонансный инвариантный тор интегрируемой невозмущенной системы. Без этого условия следующая теорема неверна.

Теорема 14 Пусть множество точек максимума функции V -невырожденное критическое многообразие Tq. Тогда при достаточно малых £ > 0:

• Возмущенная система имеет п-мерный инвариантный тор Г£ с вектором частот и. гладко зависящий от е.

• Тор Г£ гиперболический. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия W'(r£) и РК"(Г£) гладко зависят от •Je и стремятся к M при е —> 0.

• Многообразия W'(r£) и WU[T£) проектируются на все M при проекции (р, q) -»■ q.

• Существует траектория, гомоклиническая к Г£ и содержащаяся в окрестности

W£ = {(р, q) | К(р, q) < emax(F|r0 -V) + о(е)}.

м

многообразия M.

• Если первое число Бетти к многообразия M по модулю Го отлично от нуля, то числ<Г~различных гомоклинических к Г£ траекторий в We не меньше 2к.

Первые два утверждения представляют собой обобщение теоремы Д.В.Трещева. Доказательства остальных утверждений получаются сведением к теореме 13 с помощью метода Делоне. Отметим, что теорему 14 невозможно доказать с использованием только методов теории возмущений, поскольку, как доказал А.И.Нейштадт в аналитическом случае, угол пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий вдоль двоякогк.имптотических траекторий является экспоненциально малым по е.

Следствие 4 Пусть М - резонансный инвариантный тор кратности т — п интегрируемой по Лиувиллю положительно определенной гамилътоновой системы. Тогда длл всех достаточно малых е > 0 существуют по крайней мере 2(т — п) гомоклинические траектории к п-мерному гиперболическому тору возмущенной системы, соответствующему невырожденному максимуму функм,ии Пуанкаре.

В приложении приведены обобщения на случай, когда КАМ-теория не работает (например, нарушено диофантово условие, или гладкость Н недостаточна). Тогда инвариантный тор Г£ заменяется на инвариантное множество Мезера. Доказано существование двоякоасимптотических траекторий к этому множеству.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Болотин C.B. Либрационные движения обратимых динамических систем. Вестн. Моск. ун-та., Матем. Механ., 1978, вып. 6. Стр. 72 - 77.

[2] Болотин C.B., Козлов В.В. Либрация в системах со многими степенями свободы. Прикладная Математика и Механика, 1978, т. 42, вып. 2. Стр. 245 - 250.

[3] Болотин C.B., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1980, вып. 4. Стр. 84 - 89.

[4] Болотин C.B. Существование гомоклинических движений. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1983, вып 6. Стр. 98

. -.юз.

[5] Болотин C.B. Неинтегрируемость задачи п центров при тг > 2. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1984, вып. 3. Стр. 65 -68.

[6] Болотин C.B. Влияние особенностей потенциальной энергии на интегрируемость механических систем. Прикладная Математика и Механика, 1984, т. 48, вып. 3. Стр. 356 - 362.

[7] Болотин C.B. О первых интегралах систем с гироскопическими силами. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1984, вып. 6. Стр. 75 - 82.

[8] Болотин C.B. Условия неинтегрируемости по Лиувиллю га-мильтоновых систем. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1986, вып. 3. Стр. 58 - 64.

[9] Болотин C.B. О первых интегралах систем с упругими отражениями. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1988, вып. 6. Стр. 42 - 45.

10] Болотин C.B. Периодические решения систем с гироскопическими силами. Прикладная Математика и Механика, 1987, т. 51, вып. 4. Стр. 696 - 698.

11] Болотин C.B. Интегрируемые бильярды Биркгофа. Вестник МГУ, Сер. Матем. Механ., 1990, вып. 2. Стр. 33 - 36.

12] Болотин C.B. Двоякоасимптотические траектории и условия интегрируемости гамильтоновых систем. Вестник МГУ, Сер.1, Матем. Механ., 1990, вып. 1. Стр. 55 - 63.

13] Болотин C.B. Интегрируемые бильярды на поверхностях постоянной кривизны. Математические Заметки, 1992, т. 54, вып. 2. Стр. 20 - 28.

14] Болотин C.B. Вариационные методы построения хаотических движении в динамике твердого тела. Прикладная Математика и Механика, 1992, том 56, вып. 2. Стр. 230 - 239.

15] Болотин C.B. Двоякоасимптотические траектории минимальных геодезических. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ.,

1992, вып. 1. Стр. 92 - 96.

16] Болотин C.B. Условие неинтегрируемости по Лиувиллю гамильтоновых систем. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем., Механ. 1986, вып. 3. Стр. 58 - 64.

17] Болотин C.B. Гомоклинические траектории к минимальным инвариантным торам лагранжевых систем. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ., 1992, вып. 6. Стр. 34 - 41.

18] Болотин C.B. и Негрини П. Асимптотические траектории гироскопических систем. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем. Механ.,

1993, вып. 6, Стр. 66 - 75.

19] Болотин C.B. Двоякоасимптотические к инвариантным торам

движения в теории возмущений гамильтоновых систем. При*

кладная Математика и Механика, 1990, том 54, вып. 3. Стр. 497 - 501.

[20] Болотин С.В., О носителях минимальных инвариантных мер гамильтоновых систем. Вестник МГУ, Сер. 1, Матем., Механ., 1995, вып. 1. Стр. 38 - 45.

[21] Bolotin S.V. Variational criteria for nonintegrability and chaos in Hamiltonian systems. В книге: Hamiltonian Mechanics: Integra-bility and Chaotic Behavior, NATO ASI Series 331\ Plenum Publisher, 233 Spring Street New York, USA 1994, 173 - 179.

[22] Bolotin S.V. Honioclinic orbits of geodesic: flows on surfaces. Russian Journal of Mathematical Physics, 1994, 1, 275 - 288.

[23] Bolotin S.V., Negrini P. Asymptotic solutions of Lagrangian systems with gyroscopic forces. NoDEA, 1995, 2, 417 - 444.

[24] Bolotin S.V. Homoclinic orbits to invariant tori of Hamiltonian systems. Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 1995, 168, 21 - 90.

[25] Bolotin S.V. Invariant sets of Hamiltonian systems and variational methods. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zurich 1994), Birkhauser, 1995, 1167-1178.

[26] Bolotin S.V. Homoclinic trajectories of time dependent Hamiltonian systems. Proceedings of the Workshop on Hamiltonian Systems (ICTP 1994), Kluwer Publishers, 1995.

[27] Bolotin S.V. Homoclinic trajectories of invariant sets of Hamiltonian systems, NoDEA 4, 1997, 359-389.

[28] Bolotin S.V. and Negrini P. Variational criteria for nonintegrability. Препринт Римского Университета, 1996. В печати в: Russian Journal of Mathematical Physics.

[29] Bolotin S.V. and Kozlov V.V. Symmetry fields of geodesic flows on surfaces. Russian Journal of Mathematical Physics, 1995, 3, 279 -296.

[30] S. V. Bolotin and P. H. Rabinowitz, A variational construction of chaotic trajectories for a Hamiltonian system on a torus. Препринт Висконсинского Университета. В печати в: Bollettino della Unione Matematica Italiana.