Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.•.

ГЛАВА I

§1, Редукция симплектических многообразий с симметриями.

Интегрируемость гамильтоновых систем.

§2. (■ ««инварианты

§3. Сходные функции

§4. Примеры интегрируемых гамильтоновых систем. Задача о движении многомерного твердого тела с потенциалом

§5. Теоремы о полной интегрируемости некоторых систем с некоммутативными алгебрами первых интегралов

ГЛАВА II.

§1. Инварианты алгебр Ли вид$ ^

§2. Сингулярные орбиты алгебры Ли -й0Сп)0- & *

§3. Дополнительные замечания относительно движения И--мерного твердого тела с группой симметрий

§4. Технические подробности

I. В последние годы значительное внимание привлечено к задаче интегрирования гамильтоновых систем на симплектических многообразиях, в частности," на орбитах ^присоединенного представления алгебр Ли. Интерес к исследованию гамильтоновых систем объясняется рядом глубоких результатов математической физики (см. книгу 12.4] там же приведен список литературы), связанных с интегрированием уравнения Кортевега - де Фриза (ЦцФ).

В 1971 г. В.Е.Захаров и Л.Д.Фаддеев показали ( L2.53 ), что уравнения ВдФ с быстроубывающим потенциалом представляют собой вполне интегрируемую гамильтонову систвь^у, а в 1974 г. С.П.Новиков и Б.А.Дубровин разработали метод интегрирования КдФ с периодическим потенциалом в 0 -функциях (СМ0]Дг1]-[гз]); при этом установлена связь со случаем быстроубывающего потенциала. Эти результаты стали основополагающими для большого числа работ (см. обзоры 1293, [30]? [3?], ). В частности возникло направление, решающее задачу построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли.

Системы, интегрируемые по Лиувиллга, исследовались в работах А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, В.В.Трофимова (1з4]}135]ДЦ9]Д5С]Д52]) и ряда других авторов.

Системы на алгебрах Ли, интегрируемые в Q -функциях исследовали М.Адлер и П.ван Мёрбеке ( ), О.И.Богоявленский ( [юЗДИ]), а также А.Г.Рейман и М.А.Семенов-Тянь-Шанский

М).

Методы интегрирования в теории гамильтоновых систем сочетаются с результатами, доказывающими отсутствие первых интегралов для ряда классических систем. Первые результаты такого типа получены еще А.Пуанкаре. Недавним серьезным продвижением стало доказательство В.В.Козловым ([2.?},£2S] ) отсутствия аналитических первых интегралов в задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести при некоторых ограничениях на тело.

Подводя итог, можно сказать, что теория гамильтоновых систем сейчас обладает целым рядом сильных методов, позволяющих получать новые результаты для классических задач, а также решать задачи, необходимость исследования которых появилась уже в настоящее время.

2. Одной из классических задач гамильтоновой механики, к которой была применена техника интегрирования уравнения НдФ, является задача о движении твердого тела (вообще говоря многомерного).

В 1969 г. В.И.Арнольд показал ( С 41 ) гамильтоновость уравнений Эйлера, затем серию первых интегралов обнаружил А.С.Мищенко ( [33]), а Л.А.Дикий показал ( L203) их инволготивность.

Полную интегрируемость в 0 -функциях задачи о движении м -мерного твердого тела доказал С.В.Манаков ([31]), записав уравнения Эйлера в виде LА -пары с параметром и воспользовавшись леммой Б.А.Дубровина ([25]). Наличие LA -пары с параметром позволило также получить целую серию первых интегралов. Этот факт был использован А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко (1353 ) для построения вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на полупростых алгебрах Ли (метод сдвига инвариантов). В частности, была доказана полная интегрируемость аналогов уравнений движения многомерного твердого тела на всех полупростых алгебрах Ли. Дальнейшее развитие метода сдвига инвариантов имеется в работах М.Адлера, П.ван Мёрбе-ке (Е11 ), А.Г.Реймана (№3), В.В.Трофимова (С513 ), Дао

Чонг Тхи CL19] ), А.В.Браилова (113],М),

Для ряда механических задач (в частности, для случая Лагран-жа движения твердого тела) М.Адлер и П.ван Мёрбеке получили (£31) ЦAv -пару с параметром и, как следствие, решение их в G -функциях. Своего рода итогом цикла по интегрируемости в G -функциях на алгебрах Ли стала работа А.Г.Реймана и М.А.Семенова-Тянь-Шанского (ЕЧб] ), в которой конструкция М.Адлера и П.ван Мёрбеке получила весьма красивое алгебро-геометрическое истолкование.

В заметке £^£3 A.M. Переломов доказал полную интегрируемость по Лиувиллю многомерного аналога случая С.Ковалевской, получив для него «пару. Поскольку в ней отсутствует параметр, то интегрируемости в 0 «функциях нет и, таким образом, многомерный случай С.Ковалевской является (по крайней мере пока) едва ли не единственной вполне интегрируемой системой, не проинтегрированной в ©.фикциях.

Близкой к задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести является задача о движении твердого тела в идеальной жидкости ([4S3 ). С.П.Новиков показал, что уравнения движения этой задачи являются уравнениями для геодезических правоинвариантной метрики на группе Ли Е(5) . Он также установил, что при предельном переходе (сжатии) от группы к группе ЕСЗ} уравнения Эйлера для (Ч) переходят в уравнения для случая Клебша (об этом см.

DH).

Полная интегрируемость многомерного аналога этой задачи со знаконеопределенным гамильтонианом была доказана В.В.Трофимовым и А.Т.Фоменко (£50]); при этом был использован метод секционных операторов (L52.3) для нахождения гамильтонианов, задающих вполне интегрируемые системы. Для случая положительно определенного гамильтониана A.M.Переломовым получена «пара с параметром и, тем самым, доказана полная интегрируемость в 0 ««функциях.

3. Центральной задачей данной диссертации является задача о движении многомерного твердого тела в поле силы тяжести. Если ставить задачу отыскания вполне интегрируемых случаев (на почти всех орбитах общего положения) для движения гь -мерного тела, то по всей видимости нужно отбросить случаи с оператором инерции, имеющим более двух собственных значений. Ибо для ri~5 результаты (12.^ ) практически гарантируют отсутствие решения.

Итак, рассматривается задача о движении п. верного тела в поле силы тяжести, причем оператор инерции имеет два собственных пространства , U^ с собственными значениями • Известные многомерные случаи Лагранжа и Ковалевской налагают ограничения на dim L -L , именно, dim L L=О либо cllni L.j= I для одного из индексов 1 = 1,2.

В диссертации рассмотрен общий случай с произвольными размерностями пространств L± и (иначе говоря, рассматривается задача о движении п. -мерного тела с группой симметрий (."--Ю® в поле силы тяжести). Показано, что при некотором соотношении на коэффициенты ~X±t ^ и условии на радиус-вектор центра тяжести задача имеет три типа первых интегралов, порождающих бесконечномерную алгебру первых интегралов.

Можно лишь предположить, что найден полный набор интегралов для произвольного а. , однако проверить это вследствие технических трудностей вряд ли возможно. Но для п.-Ч,dim,L^cLlniL=Z теорема о полной интегрируемости доказана.

Случаи Лагранжа и Ковалевской являются "вырожденными", поскольку оператор инерции не общего положения. Это приводит к наличию алгебры f линейных первых интегралов, причем алгебра % вкладывается в алгебру ^ , на которой определена гамильтонова система. Функции У: <J -HR , находящиеся в инволюции с линейными интегралами алгебры j ($ -инварианты) играют важную роль при изучении вырожденных гамильтоновых систем. Кроме того, £ -инварианты могут быть использованы при нахождении инвариантов ^присоединенного представления алгебр вида ^ -frQrV , а в случае, когда £ полупроста и V" коммутативна, имеется эффективный способ их нахождения.

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава посвящена построению интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли. В первом параграфе первой главы излагаются без доказательства основные факты теории, которые в дальнейшем используются без ссылок. Эти факты цитируются из 15], ДзгЦзцузд]. в §2 излагается способ нахождения $ -инвариантов и доказываются некоторые соотношения, необходимые для вычисления скобок Цуассона jf -инвариантов. В §3 предъ явлены квадратичные функции, обладающие сериями первых интегралов (вообще говоря не инволютивных). В §4 рассматривается многомерный аналог задачи о движении твердого тела в поле силы тяжести, получен ряд интегрируемых систем, а также формулируется основная теорема о наличии первых интегралов движения твердого тела с группой симметрий .SoC^O ® So(ri-k) , в §5 доказываются теоремы о полной интегрируемости систем, рассмотренных в §4.

Во второй главе рассмотрены вопросы, близко примыкающие к тематике построения интегрируемых гамильтоновых систем. В §1 предлагается способ нахождения инвариантов коприсоединенного представления алгебр Ли вида V и явно выписаны полные наборы таких инвариантов для алгебр Ли ioC^S-lR.'1^ ^(аД)^^ iO(n.)e-lRrUa 1)/г.

В §2 указаны функции, задающие сингулярные орбиты алгебр Ли вида in п.Я/

60(гг)в* JK. • Доказана теорема об интегрируемости движения 4-мерного тела, оператор инерции которого имеет три различных собственных значения, на некоторых сингулярных орбитах размерности 4 (еа орбитах общего положения эта задача, вероятнее всего, не интегрируема). В §3 указана связь мезду задачей движения точки на п-1 «мерной сфере и случаем Лагранжа движения п, -мерного тела; задача о движении So(k) ®So(a~K) -симметричного тела в поле силы тяжести сведена к задаче с квадратичным потенциалом на компактной алгебре Ли. В §4 приводятся подробные выкладки для рядя утверждений и теорем.

На защиту выносятся следующие результаты: Теорема 2.2 (гл.1.§4) об интегрируемости уравнений движения многомерного твердого тела с группой симметрий SoCK) ® ("--К)

Теорема 4.3 (гл.1.§5) о полной интегрируемости уравнений движения 4-мерного тела с группой симметрий So (2.) So С2.)

Теорема 4 (гл.П.§2) о полной интегрируемости уравнений движения 4-мерного тела с тремя различными собственными значениями оператора инерции на некоторых (4-мерных) сингулярных орбитах

Теорема I (гл.1.§3) об интегрируемости квадратичного гамильтониана вида 2L

Утверяздение п.1 (гл.П.§3) о связи задачи движения а «мерного твердого тела в поле силы тяжести в случае Лагранжа с задачей о движении точки на а-1-мерной сфере

Теоремы 3.2 (гл.1.§4), 2.2 (гл.1.§5) о включении некоторых случаев задач о движении многомерного твердого тела в поле силы тяжести, в поле с ньютоновским потенциалом и в идеальной жидкости

-9в общую серию вполне интегрируемых систем

Утверлодения 2 (гл.П.§1), 3 (гл.П.Ш о явном виде инвариантов коприсоединенного представления алгебр Ли aq Щ n(a-l) toca^OrlR г и о полноте предъявленных наборов.

Автор глубоко признателен проф. А.Т.Фоменко, под руководством которого выполнялась работа, а также А.В.Бочарову и А.Г.Рейману за полезные обсуждения.

1. Adlet Ш.г van Шо&ъЬ&ке P., Compleiety irttc^aUe.Kac- ITloocLy Xle. cunxL си.ъгге.-ъ^ръеръьпА

2. Ad£etin.,P. 0-a.n. Шоег/еke. СогггрIatecjtctife S^emi, EuceLdecta XLe. M^&Uctb cxrvd Catw*-Adxr. inTTlcdk., Y9so, u. 55, 3, p. .

3. Adte.*с 171., R дагг ITfoetieke. Xiaea^i.£a,-llorL o(. ftanxlttoirlaa.S^-te-rn-s, ^-clco^ tfaAXailei <xn-d fcep^iervha-tLon. -theo*^ickr. Ш, S, p- зЩ-ЫЗ.

4. Арнольд В.И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости.-Успехи матем.наук,1969,т.24,№3,с.225-226.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.-М.: Наука, 1979.-432 с.

6. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела.- М.: Наука, 1977.- 328 с.

7. Беляев А.В. О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести.- Матем.сборник,1981,т.I14,№3,с.465-470.

8. Беляев А.В. Интегрируемые гамильтоновы системы с некоммутативной группой симметрий. Инварианты коприсоединенного представления некоторых алгебр Ли.- деп. УКРНИИНТИ 06.03.84,№428-84,БУ №7.

9. В>о^о^адг£еггбк^ O.I., Огг pe-vtutiraAion, oj ike pe-blocilcL Jocla tcdUca. Com-raaa, т.о.-tk. Pk^*., V. 51, ^p. zoi год.Ю.Богоявленский О.И. Новые алгебраические конструкции уравненийЭйлера.- Докл.АН СССР,1983,т.286,№2,с.277-280.

10. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера, связанные с фильтрациями алгебр Ли.- Матем.сборник,1983,тЛ21,№2,с.233-242.

11. Бочаров А.В. Дополнение к статье "Структура гамильтоновой механики".- Успехи мат ем.наук,1977,т.32,М,с.237-240.

12. Браилов А.В. Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера и приложения.- Докл.АН СССР, 1983,т.286,№3,с.1043-1046.

13. Браилов А.В. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширение кольца скаляров.- Вестн.МГУ,сер.матем. ,1983,№1,с.7-51.

14. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.- М.: Мир, 1976.- 496 с.

15. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.- М.: Мир, 1972.- 334 с.

16. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.- М.: Мир,1978.- 342 с.

17. Виноградов A.M.,Красильщик И.С.-Что такое гамильтонов формализм.- Успехи матем.наук,1975,т.30,М,с.173-198.

18. Дао Чонг Тхи. Интегрируемость уравнений Эйлера на однородных симплектических многообразиях.- Матем. сборник, 1978, т Л 66, №2, с. 154161.

19. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега -де Фриза в классе конечнозонных потенциалов.- Функц.анализ.,1975, т.9,№3,с.41-51.

20. Дубровин Б.А.,Матвеев В.Б.Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия.- Успехи матем.наук,1976,т.31,№1,с.55-136.

21. Захаров В.Е.,Манаков С.В.,Новиков С.П.,Питаевский Л.П. Теория солитонов.- М.: Наука,1980.- 320 с.

22. Захаров В.Е.,Фадцеев Л.Д. Уравнения КдФ вполне интегрируемая гамильтонова система.- Функц.анализ.,1971,т.5,№4,с.18-27.

23. Кириллов А.А. Элементы теории представлений.- М.: Наука,1972,-с.344.

24. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела.- М.: МГУ,1980

25. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике.- Успехи матем.наук,1983,т.38,№1,с.3-67.

26. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений.- Успехи матем.наук,1977,т.32,№6,с.183-208.

27. Кричевер И.М.,Новиков С.П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения.- Успехи матем.наук,1980, т.35,№6,с.47-68.

28. Манаков С.В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п -верного тела.- Функц.анализ. ,1976,т.Ю,№4,с.93-94.

29. TTlct-tbcLen. J., Ueinbizin Л. Reducilon. ^rn.p£ectue. rrLCLru.§-o£cU LOvbh -i^nanae-fc.^ } Report-6 ori mcdh. Ркцб.,19ЧЧ, U.5, vv i з p. ±г±-±ъо.

30. Мищенко А.С. Интегралы геодезических потоков на группах Ли.-Функц.анализ.,1970,т.4,№3,с.73-78.

31. Мищенко А.С.,Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем.- Функц.анализ.,1978,т.12,№2,с.46-56.

32. Мищенко А.С.,Фоменко А.Т. Об интегрировании уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли.- Докл.АН СССР,1976,т.231,№3,с.536-538.

33. Мищенко А.С.,Фоменко А.Т. Интегрирование гамильтоновых системс некомцутативными симметриями.- Труды сем.по векторному и тензорному анализу, 1981,т.20,с.5-54.

34. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем.-Успехи матем.наук,1981,т.36,№5,с.109—151.

35. С. Н&ипгагиъ. SeptoUe.rn.aiie. q,uoda-m meckaaico, quod оЛ p'c-Lnxa.a La-Le^-t<a6i.u,m. ut-b-b.ci.cttLp"t Leo-burn. с£а-ы>&т. te-iroccdut. Агь^еллУ. Ыа±к., 1&5~3, w56г p. .

36. Нехорошев Н.Н. Переменные действие-угол и их обобщения.- Труды моек.мат.общ.,1972,т.26,с.I8I-I98.

37. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега де Фриза I.-Функц. анализ., 1974, т. 8, №3, с. 54-66.

38. Переломов A.M. Несколько замечаний об интегрировании уравнений твердого тела в идеальной жидкости.- ^ункц.анализ.,1981,т.15,№2, с.83-65.

39. Реъе.Сототг J. 777. 2а.х ^ept,eie.rvicuiiori -Line. lyb-Le-rnt S, Ко irate zs-i> ka^cu -L^pe. Oorran. TTLcuth. Pkx^i>.,19Si wSl, p. Zb9- 2.41.

40. Т. R,cutlu, R ircua ?Лосг£еке. The. 'Х.а^ъа.пс^е. ^ci^id lodym-o"tlon,. — A run. cLe. I I a trill ui TouxLzt., 19&Z, 17.32., l, p. 2ii г ъН .

41. Яеутсиъ Л.&., SenaerbOir- Тьсьп.- SKa.af>k^ Reduction. o§ XamLlionLa-n. ■ЬцъЪе.пгЬ, CL^Lne. Xle аЛ an-cL Xa-X1.tir, ma-tk., 1981, 17.65. и^З, p. чгз f зг .

42. Рейман А.Г. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли.- Записки научных сем. ЛОМИ, Дифференциальная геометрия группы Ли и механика II1,1980,т.95,с.3-54.

43. Стеклов В.А. 0 движениии твердого тела в жидкости.- Харьков, 1983.

44. Трофимов В.В.,Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамиль-тоновых систем на алгебрах Ли.- Успехи матем.наук,1984,т.39,№2,с.3-56.

45. Трофимов В.В.,Фоменко А.Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем.- Докл.АН СССР,т.254,№6,с.1349-1353.

46. Трофимов В.В. Вполне интегрируемые геодезические потоки лево-инвариантных метрик на группах Ли, связанные с коммутативными градуированными алгебрами с двойственностью Пуанкаре.- Докл.АН СССР 1982,т.263,№4,с.812-816.

47. Фоменко А.Т. 0 симгшектических структурах и интегрируемых системах на симметрических пространствах.- Матем.сборник,1981,т.П5, №2,с.263-280.

48. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы.- М.: МГУ, 1983