Численные и аналитические методы исследования динамических систем на алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Мамаев Иван Сергеевич

УДК 530.01

ЧИСЛЕННЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА АЛГЕБРАХ ЛИ

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск — 1998

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете

Научный руководитель —

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, с.н.с., A.B. Борисов доктор физико-математических наук профессор, А.П. Маркеев доктор физико-математических наук профессор, A.B. Болсинов Вычислительный центр Российской Академии наук

Защита диссертации состоится "С___".

.1998 года в Ü

16

£h

часов на заседании специализированного совета Д 053.05.01 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. Адрес: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор

Д.В.Трещев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Исследование интегрируемости гамильтоновых систем является одной из основных задач механики. В связи с этим неудивителен интерес к гамиль-тоновым системам со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли—Пуассона). С одной стороны это наиболее простая скобка среди вырожденных пуассоновых структур, с другой стороны — многие гамильтоновы системы могут быть представлены в таком виде. В работе исследован ряд задач небесной механики в пространствах постоянной кривизны и динамики твердого тела, уравнения движения которых представлены в гамильтоновой форме на алгебре Ли. Результаты работ Э.Шредингера, В.В.Козлова, Д.Слапяновского и др., относящиеся к проблеме Кеплера и обобщению теоремы Бертрана для искривленных пространств указывают на большое сходство небесной механики в этих пространствах с классической небесной механикой. Тем не менее существуют и различия, связанные с отсутствием симметрии группы Галилея у ньютоновских уравнений движения в пространствах постоянной кривизны.

Исследование вопросов связанных с условиями возникновения хаоса в гамильтоновых системах и свойствами системы в стохастическом слое также являются одними из актуальных проблем в теории динамических систем. В работе рассмотрены системы из динамики твердого тела, возникновение хаоса в которых связано с наличием в них медленной и быстрой подсистемы (адиабатический хаос). Эти результаты могут быть использованы также для описания влияния на движение планет, медленных процессов на них (сезонные процессы, вызвынные таянием снегов, движение внутреннего жидкого ядра и т.п.)

Цель работы

Предсавление уравнений движения в виде гамильтоновой системы на алгебрах Ли. Исследование интегрируемости и поиск частных решений задач классической механики в искривленных пространствах. Исследование влияния кривизны на различные свойства динамических систем. Исследование адиабатического хаоса в динамике твердого тела.

Научная новизна

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Обобщены результаты об интегрируемости задачи двух ньютоновских центров на случай 53 и X3. Доказана интегрируемость аналога задачи Лагранжа (задача о движении частицы в поле ньютоновского центра и постоянном однородном поле) в пространстве Лобачевского — X3 и задачи о движении заряженной частицы в поле магнитного монополя.

2. Проведен качественный анализ задачи Лагранжа на плоскости Лобачевского Ь2, построена бифуркационная диаграмма, найдены области возможного движения.

3. Доказано существование инвариантных многообразий 52 (Ь2) в задаче п—тел в 53 (Ь3). Проведено численное исследование ограниченной задачи двух тел на найденных инвариантных многообразиях — 52, свидетельствующее о неинтегрируемости этой задачи в пространствах постоянной положительной кривизны.

4. Найдено семейство частных решений задачи двух тел на 52 (Ь2), обобщающих относительные равновесия для плоскости. Для случая сферы доказано, что найденные решения являются единственными, для которых сохраняется расстояние между телами.

5. Исследованы системы Лиувилля и Пуанкаре—Жуковсковкого, при условиях возникновения в них адиабатического хаоса, проведен анализ уравнения диффузии по улучшенному адиабатическому инварианту и построены кривые неопределенности в системе Пуанкаре—Жуковского, ограничивающие области стохастичности в этой системе.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты диссертации позволяют по-новому взглянуть на природу интегрируемости различных задач небесной механики и динамики твердого тела. Действительно, как показывает пример исследованных в диссертации задач динамики в искривленных пространствах, интегрируемость одной части задач была существенно связана с группой Галилея, относительно которой инвариантны уравнения динамики И.3. Она пропала при переходе к искривленному пространству (гиростат, задача двух тел), интегрируемость другой части сохранилась (свободное твердое тело, задача двух центров и пр.). Однако, даже во втором случае, например, для свободного движения твердого тела отсутствие группы преобразования Галилея

привело к существенному усложнению топологической структуры слоения фазового пространства на торы Лиувилля.

Результаты относящиеся к адиабатическому хаосу в динамике твердого тела могут быть использованы для описания движений небесных тел с медленными изменениями их параметров.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на IX международном семинаре "Гравитационная энергия и гравитационные волны" (Дубна, 1996), международной конференции "Геометризация физики III" (Казань, КГУ, 1997), научном семинаре В.В. Козлова, C.B. Болотина "Динамические системы классической механики".

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 62 наименований. Общий объем — 75 страниц.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор имеющихся работ по теме диссертации и изложено содержание работы. Первые две главы диссертации посвящены исследованию задач небесной механики и динамики твердого тела в искривленном пространстве. Основное внимание уделено выявлению влияния кривизны пространства на различные свойства динамических систем, такие как интегрируемость, существование частных решений и т.п.

В первой главе рассматриваются задачи, сохраняющие интегрируемость при переходе к искривленному пространству. Потенциальную энергию точки в поле ньютоновского (кулоновского) центра в искривленном пространстве можно представить в виде

U = —7ctg0 для S3, (f = -7cth0 для/,3), (1)

где в — широта, 7 — гравитационная постоянная. В.В.Козловым и А.О.Ха-риным была доказана интегрируемость задачи о движении материальной

точки в поле двух ньютоновских центров на двумерной сфере — S2. В диссертации доказано, что задача двух центров в S3 (L3) (задача Эйлера) также интегрируема, причем после исключения циклической переменной она сводится к задаче о движении точки на S2: х2 + у1 + г2 = 1 {!?-. у2 — х2 — z2 = 1) в эффективном потенциале

М2

U» = -7i ctg - 72 ctg б2 + 2J2",

(для L3 необходимо заменить ctg в —> cth в) и может быть проинтегрирована методом разделения переменных. Новые координаты j], для которых разделяются переменные даются выражениями

aß

(Верхний знак соответствует сфере, а нижний псевдосфере, и кроме того, для псевдосферы всюду sgn(y) = 1.)

Известно, что задача Эйлера в евклидовом пространстве имеет интегрируемый предельный случай, когда один из зарядов относится на бесконечность, и его величина при этом также бесконечно увеличивается пропорционально расстоянию от центра. В пределе получается задача о движении частицы в постоянном однородном поле и поле точечного заряда — задача Лагранжа. В работе показано, что для пространства Лобачевского аналогичный предельный переход также имеет смысл, и получающаяся при этом задача о движении частицы в поле точечного заряда и поле "бесконечно удаленного " заряда интегрируема. Качественный анализ, проведенный для задачи Лагранжа на плоскости Лобачевского — L2, показывает, что бифуркационная диаграмма устроена более сложно по сравнению с евклидовым случаем, и в фазовом пространстве содержится больше областей различных типов движения. (В частности для псевдосферы появляется область значений интегралов движения, при которых возможно движение на всей плоскости Лобачевского.)

В этой же главе разобрано обобщение задачи о движении заряженной частицы в поле монополя, предложенной А.Пуанкаре для описания дви-

жения частиц вблизи магнитных полюсов Земли. Для уравнений Максвелла в S3 и L3, найдено решение с особенностью отвечающее стационарному магнитному полю (монополь) и рассмотрена задача о движении заряженной частицы в поле магнитного монополя. Функция Лагранжа частицы в сферических (псевдосферических) координатах в данном случае имеет вид

L= ^Я2 (в2 -fsin2%>2 + sin2^2)) - ii'CQS<p, У = const. (Для L3 — sin в sh0). Показано, что сохраняется трехмерный вектор

M = qx ? + 7'Т4Г7.

\Я I

где q = (q°, q) декартовы координаты в R4 (М4), такие что 53 (L3) задаются уравнениями (9°)2 + (q, Я) = R2 ((90)2 - (q, q) = Л2). Траектория частицы располагается на двумерной инвариантной поверхности, определяемой уравнениями

(я°)2± (я,я) = R\ (м, |7|) = const •

При подходящем выборе координат на этой поверхности выделяется циклическая переменная и система сводится к системе с одной степенью свободы.

В конце главы рассмотрена задача о движении свободного твердого тела на трехмерной сфере — 53. Уравнения движения представлены в гамильтоновой форме на алгебре so(4), что позволяет установить изоморфизм с задачей о движении четырехмерного тела с закрепленной точкой, проинтегрированной в прошлом веке в работах В.Фрама и Ф.Шотки. Необходимо отметить, что в связи с отсутствием понятия центра масс в этом случае интегрируемость не так очевидна.

Во второй главе диссертации исследуется задача о движении двух тел в искривленном пространстве взаимодействующих по закону (1), для интегрируемости (по Лиувиллю—Арнольду) которой не хватает одного первого интеграла. Показано, что аналогично плоскому случаю в данной задаче в искривленном пространстве существуют инвариантные многообразия — поверхности в конфигурационном пространстве, такие, что при подходящем выборе начальных условий точки остаются на них во все моменты

времени. Для сферы 53 — это двумерные сферы 52, а для ¿3 — это плоскости Лобачевского I?, причем эти инвариантные многообразия существуют также в задаче «—тел, это связано с тем, что энергия взаимодействия зависит лишь от взаимных расстояний (измеренных вдоль геодезической) между телами.

Более подробно разобрана ограниченная задача двух тел на 52, когда масса (заряд) одного тела стремится к нулю, а энергия взаимодействия остается конечной. В отличие от аналогичной плоской ограниченной задачи в евклидовом пространстве в искривленном пространстве она не сводится к задаче Кеплера, так как в гамильтониане появляются добавки связанные с неииерциальностью системы отсчета, связанной с "тяжелым" телом (гироскопические силы). Показано, что ограниченную задачу двух тел на можно представить в виде гамильтоновой системы на е(3) насим-плектическом листе, определяемом соотношениями (М, 7) = 0, (7,7) = 1, с гамильтонианом

где й — постоянный вектор.

Для анализа системы (2) (с потенциалом {/ = —"/с^в) на интегрируемость мало пригодны известные на сегодняшний день аналитические методы. Поэтому в работе был использован компьютерный эксперимент по построению сечения Пуанкаре при различных фиксированных значениях энергии. Как показывают проведенные расчеты — на плоскости отображения Пуанкаре появляются области стохастичности, что говорит об отсутствии у системы (2) дополнительного первого интеграла. (Аналогичный результат справедлив для гармонического осциллятора в искривленном пространстве — С/ = к tg2 в.)

Для частных решений задачи п—тел на инвариантных поверхностях 52 (¿2), обобщающих известные относительные равновесия плоской задачи п-тел справедливо

Утверждение. Равномерно вращающаяся конфигурация п тел является частным решением тогда, и только тогда, когда она является критической точкой приведенного потенциала

Я = [М,й) - -(<3 х 7)2 + и {у),

1

1

(2)

где М — величина момента системы относительно оси вращения, I — суммарный момент инерции системы относительно этой оси.

Более подробно рассмотрены относительные равновесия задачи двух тел на сфере, для которых доказано

Утверждение. Единственными частными решениями на 52, для которых остается постоянным расстояние между телами, является конфигурация, такая что два тела равномерно вращаются вокруг фиксированной оси, оставаясь с этой осью в одной плоскости.

Необходимо отметить, что в отличие от плоского пространства, где тела вращаются вокруг центра масс, а сам центр масс движется равномерно и прямолинейно, на сфере ось относительно которой вращаются тела — неподвижна. Также в этой главе показано, что задача двух тел на 53 при нулевом суммарном моменте интегрируема и является частным случаем задачи двух тел на окружности.

В заключение второй главы выведены уравнения движения свободного гиростата в искривленном пространстве — механической системы, состоящей из "несущего" тела, на котором закреплено вращающееся "несомое" тело, так, что распределение масс системы не меняется. Уравнения представлены в гамильтоновой форме на алгебре яо(4) в стандартном матричном представлении с функцией Гамильтона

Я = 1- (I - Р, А(£ - ?)) + (к - 5, В(ж - 5)) , (3)

здесь А, В — матрицы связанные с распределением масс гиростата, а векторы Р,5 выражаются через матрицу гиростатического момента "несомого" тела. В отличие от евклидова пространства здесь нельзя выделить движение центра масс и движение вокруг центра масс, что, по-видимому, приводит к неинтегрируемости системы (3) при произвольных значениях параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы при дополнительных ограничениях на параметры.

В последней главе диссертации изучается возникновение адиабатического хаоса в гамильтоновых системах с полутора и двумя степенями свободы. В первом случае (3/2 степени свободы) рассматриваются уравнения Лиувилля, описывающие движение твердого тела с гиростатом с медленно периодически меняющимися параметрами, которые можно представить в

виде гамильтоновой системы на алгебре so(3)

ait t

М = Мх-,, Н = -(М,АМ)-(М,К), (4)

дМ i

здесь матрица Л(г) = diag(ai,a2,ti3) и вектор К(т) медленно меняются со временем (г = Го +et) с периодом 2тг/е, е 1.

Для всякого го фазовый портрет "замороженной" (е = 0) системы содержит сепаратрисы. Для описания эволюции вдали от них используются адиабатическое и улучшенное адиабатическое приближение. Вблизи сепаратрисы эти приближения не являются корректными. Исследование явлений в этих областях содержится в работах А.В.Тимофеева, А.И.Нейштадта, Д.В.Трещева и др. В работе рассматриваются траектории, которые не захватываются в резонанс и не лежат в окрестности периодических траекторий вблизи сепаратрисы, мера таких траекторий близка к полной и для них справедливо вероятностное описание, связанное с представлением о случайных скачках улучшенного адиабатического инварианта при персечении траекорией сепаратрисы.

В диссертации исследуется так называемая диффузия УАИ в области, где располагаются сепаратрисы "замороженной" системы (при различных г0) на сечении Пуанкаре системы (4) через период изменения параметров. Для функции распределения р{ J, п) по УАИ на п—ом шаге отображения Пуанкаре численно находилось стационарное (n -»• оо) решение p. (J), причем оказалось, что р,(J) = const. Это позволяет записать уравнение Фокера—Планка—Колмогорова для р( J, п) в дивергентном виде

,(jlB + i )-,(/,„) Л^(ад^р).

Коэффициент диффузии D(J), вычисленный аналитически из формул для скачка УАИ, сравнивается с рассчитанным в численном эксперименте. На приведенном в диссертации графике видно некоторое расхождение — "экспериментальный" коэффициент несколько больше.

Для системы (4), кроме того, выполнен анализ необходимых условий интегрируемости, основанный на исследовании величины расщепления сепаратрис (в первом порядке по е) для отображения Пуанкаре с помощью адиабатической функции Пуанкаре—Мельникова. Как показывает этот анализ при К = 0, сепаратрисы не расщепляются лишь в тривиальном случае 6 = (аг - ai)/(a3 - oi) = const. В случае К ф 0, фазовый портрет

содержит две пары сепаратрис, причем при условии нерасщепления одной пары вторая пара остается расщепленной, что приводит к отсутствию каких-либо новых случаев интегрируемости в этой системе.

В качестве системы с двумя степенями свободы, где также возможно появление адиабатического хаоса рассматривается система Пуанкаре— Жуковского, описывающая движение твердого тела с эллипсоидальной полостью, полностью заполненной однородной вихревой несжимаемой жидкостью, уравнения могут быть записаны на алгебре Ли so(4)

,7 он и - ст

М = М х ——, 7 = 7 х ——, (5)

дМ ду

где гамильтониан Н = \{АМ,М) + (ВМ, у) + \{Су,у) является однородной квадратичной функцией переменных (М, у). При некоторых ограничениях на параметры системы

М-^еМ, -у 7, А-*е~1А, В -> В, С-*еС,

где е -С 1, переменные М меняются много быстрее у. В работе построены кривые неопределенности (при различных значениях полной энергии системы) на фазовой плоскости "медленных" переменных, ограничивающие области стохастичностя. (Вне этих областей справедливо адиабатическое приближение для описания эволюции системы (5).)

Основные публикации по теме диссертации

1. Мамаев И.С. Обобщенная задана Эйлера в пространствах постоянной кривизны. Труды IX международного семинара "Гравитациот ая энергия и гравитационные волны", Дубна, 1996, Р2-97-401, (в печати).

2. Борисов A.B., Мамаев И.С. Движение материальной точки и и твердого тела в пространствах постоянной кривизны. Тезисы конференции "Геометризация физики III", Казань, К ГУ, 1997.

3. ВозмищеваТ.Г., Мамаев И.С. Задачи Эйлера и Лагранжа на плоскости Лобачевского. Классификация движений. Тезисы конференции "Геометризация физики III", Казань, КГУ, 1997.

4. Борисов A.B., Мамаев И.С. Адиабатический хаос в динамике твердого тела. Per. и хаотич. динамика. 1997, т.2 N 2 с.65-78.

5. Борисов A.B., Мамаев И.С. Нелинейные скобки Пуассона в динамике. Per. и хаотич. динамика. 1997, т.2 N 3,4 с.72-89.