Неограниченные и ограниченные операторы в спектральной теории локально выпуклых алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

(\ ин 199^

ШШСТЕРСТВО ОСШ1 УКРА1П Льв1вськаЯ ццкавШ ун1верс*тет 1к. 1вац •ранка

Ва правах рукаяасу

Лопуаансышв Олег Васильевич

п1в0емежен1 та оемежен1 оператор» . в спектр а№н1й теор11 локально опухли алгебр

(0l.0t.0t - иатемапгший анаЛз)

Автореферат дисертааП .,. на здобуття наукового ступеня доктора ф1зшсо-иатеыатичвих наук

лмнв - (994

Робота вшсонана в 1нститут1 прикладних проблем ыехан!ки 1 иатематаки 1и. Я.Шдстригача АН УкраХни

Оф1ц1йн1 опоненти: доктор ф1зико-матеыатичних наук, професор Радино Як1в. Валентинович (Шнськ)

доктор-ф1зико-математмчних наук

. ' Вайнернан Леон1д Иосипович (Ки1в)

доктор ф1эико-матеиатичних наук Зар1чний Михайло Михайлович (Льв1в)

Пров1дна установа - Натематичне в1дд1лення ,Ф1зико-техн1чного 1нституту. низьких температур АН УкраШи (Харк1в)

Захист вибудеться '¿Л-' '^^£1994 р. а^Год.М в. на зас1данн1 спец1ал1зовано1 вчено! ради Д 04.04.01 при Льв1вському державдаиу ун1верситет1 1м. 1вана франка за адресою :

290001, и.Льв1в, вул. Ун1верситетська 1, ауд. 377..

3 дисертац1сю иохна ознайоыитися в науковШ б10л1отец1 Льв1вського держун1верситету (ы.Льв1в, вул.Драгоианова, 5)

Автореферат роз1сланий 1994 р.

Вчвннй секретар спац1ад1зовано1 вчено! ради Микитюк Я.В.

Актуальн1сть тени. Зростання 1нтересу до теорП ненормованих локально опуклих (ЛО) алгебр эикликане систематичним використанням ряду таких алгебр в р1зинх областях математики.' В топологи - це алгебри неперервних фуккц1й с(П) ца некомпактних П, в комплексному анал1з! 1 теорП оператор1в - алгебри голоморфних функц!й в областях с", в гармон!йному анал!з1 ■ 1 диференШалышх р!вняннях - алгебри основних Функц1й с"(вп); 0(КП), згортков1 алгебри узагальнених Функц1й 6' з компакткими нос1яии 1 ^ , - з нос1ями в конусах я", в квантов 1й теорП поля - алгебри необмехеких оператор!в.

Найб1льи вивченши е алгебри 1з структурою проективно! або 1ндуктивно! гранкц1 вигляду Jiи-pr 1р ,. Нт-1ти1 1р , дё (1р) -банахов! алгебри. На так1 класи 1з збереженням значних аналог!й переноситься рчд основних положень спектрально! теорП банахових алгебр, * зокрема, перетворення Гельфанда, функц!ональне числения. Однак, ряд алгебр необмехених оператор1в, згадан1 виие алгебри

, , не зводяться до такого вигляду. У зв'язку з -тин актуальною е проблема розробки спектрально! теорП для ЛО алгебр загального вигляду» зокрема, побудовй функцЮнального числення, яке дозволяв визначати в1д необмехених оператор1в банахових прос-тор1в широк1 класи функц1й (зокрема, ц!л1- функцП). •

Питаниям спектрально!. .теорП ненормованих ЛО алгебр 1 операторному числению присвячена обвирна л1тература. Алгебри вигляду ' Ип-рг почали вивчати в 50-х роках Р.Аренс 1 Е.Майкл; сучасний огляд резул*>тат1в можна.'знайти в книз! Хелеыского .А.Я. (Банаховы и полинормированныа алгебры. -И.:Наука, 1989). Теор1я алгебр типу 11п-1п<1 I , в рамках • б1льи Загально! концепцП. борнолог1чних

алгебр, подана в роботах Л.Вааьброока/ Основн1 • результата,' а такох

• . * *»

!х застосування наведеве в книз1 Радино Я.В. (Лицеййые уравнения и борнология.-Минск:Изд-во Белорусского ун-та, 1982). Вар1ант спект-1

рально! теорП ЛО алгебр, яка виходить за рамки вказаких клас1в алгебр, розвинений в 60-х роках Г.Алланом. Одь'ак, функ'ц1ональне числения, побудоване на баз1 ц1е! теорП, не дозволяе визначати, наприклад, ц1л! функцП в!д необыежений оператор1в.

Функц1ональне числения необмежених опаратор1в в банахових просторах лежигь в основ! операторних метод!в, як1 нають иироке коло застосувань. Розвитку операторних мотод!в досл!дження лишних р1внянь присвячен! роботи С.Г.Крейна, М.Л.Горбачука 1' 1шшх автор!в, нал1нШних р!внянъ - роботи В.О.Марченка, В.П.маслова.

Мета роботи. Розробка спектрально! теорП ненорыованих ЛО алгебр (а сане, загальних питань, теорП перетворення Гельфанда, функц1онального числення) 1 II застосування до алгебр, породжених кеобмвхеними операторами в банахових просторах.

Наукова новизна. В дисертац1йн!й робот1 розроблений новий п1дх1д до спектрально! теорП ЛО алгебр, який полягае увид!ленн! в эадан1й алгебр1 п1далгебр 1з структурою проективно! транши банахових алгебр (п1вобне*ених елеиент!в) 1 побудов! розжирень з таких п1далгебр перетворення Гельфанда 1 голоморфного функц1онально-го числення на елементи з п1вобмв1ешши резольвентами. При цьону • показано, що в банахових просторах п1далгебри Швобмежених елемен-т1в природнШ чиной виникають в результат! звужень необмежених заыкнених оператор1в на асоц1йован1 з ними п1дпростори ультрагладких вектор1в. Це дало можлив1сть помирити опораторне числення, зок-рема, генератор1в С0-п1вгруп, на класи функц1й, як! голоморфн1 в околах обмежених частин спектр1в о(1ератор1в ! довести для них аналоги теорви про в!добра*ення спектру.

Методика досл!дження. В робот1 суттевин чином використовують-ся «етоди тополог1чно-борнолог1чно1 дво!стост1 локально опуклих простор!в. зокрема. техн!ка проективних та 1ндуктивних границь.

тензорних добутк1в, а такоа теор1я банахових алгебр. 0сновн1 разу льтати з операторного числения базуються на теорП некваз1анал1-тичних та кваз1аиал1тнчних клас1в функц1й, анал1тичн1й теорП однопарамотричних п1вгруп.

Практична 1 теоретична ц1нн!сть. Дисертац1я мае теоретичний характер. II результата иовуть бути використан1при розробц1 опе-раторних ивтод1в дос.в1дження л1н1йних 1 нел1н!йних диференц1альних 1 псввяодкференц1альних р1внянь; досл1дженн1 ряду задач комплесно-ю анал1зу, зокрека. оОолонок голоморфност! 1 згорткових р1внянь; для розвятку алгевра1чних метод1в статпстично! мэхан1ки, а також в 1явюс задачах. ■

АпроЗац!» роботи. 0сновн1 результат!! дисортац1йко! ройоти до-пов1дались $ о^говорювались на Всесоюзних школах по теорП оператор^ Ь фунгсц 1 ональних просторах (Терноп1ль, 1984 р.; Новгород, 1989 р.), Всесоюзн1й конференцП по нал!н1йних проблемах диферен-ц!аль5шх р1внянь 1 иатеиатично! ф!зики (Терноп1ль, 1989 р.), Все-соознШ конферэнцП "![ов1 п1дходи до розв'язку диференцЦльних р!внянь" (Дрогобич, 1991 р.), республ1канських школах "Розривн! Д!шам1чн1 системи" (Ки1в, 1989 р.), "Застосування топологП в алгебр! 1 диференц1альн1й геометрП" (Тарту, 1988 р., 1991 р.),-М1гнародн1й конференцП до 100-р1ччя С.Банаха (Льв1в, 1992 р.), М1жнародн1й математичн1й икол1 "АлгебраНн! 1 геонетричн1 методи в- ■ математичнШ ф1зиц1" (Кацивэл!, 1993 р.), наукових еео1ях В1дд1-лення математики АН УкраПш (Ки1в, 1992 р.), математично! ком1сП ЯТИ (Льв1в, 1993 р.), сем1нар1 з. функц1онального анал1зу Б1лорусь-кого ушверситету (1992- р.), сем1нарах Льв1вського ун1верситету з функцЮнального анал!зу (1992 р.,М994 р.), диференШальних^ р1в-нянь (1992 р.) 1 з. топологП (1993 р.), сб'н!нар1 Льв1вського иатенатичного товариства (1994 р.). .

Структура обсяг роботи. Днсертац1Лиа робота складаеться 1. вступу, 5-ти розд!л1в: 1.Тополог!чи! властивост1 мнохення; 2.Спек-тральна класиф!кац1я елемент1Е локально опуклих алгебр; З.Числення Р1сса-Данфорда; 4.П1врегулярний спектр; 5.Функц1ональне числення на п1врегулярнону спектр!; додатку 1 списку л!тератури (170 назв.) Параграфи пронумерован! двома цифрами, теореми 1 1ни1 твердження -трьома. Обсяг роботи 228 стор.

Основн! положения, як! виносяться на захист:

1.Голоморфне функц1ональне числення на п!врегулярних, сум 1с* них п!врегулярних 1 регулярних спектрах елеыент1в локально опуклю. алгебр, теореми про в1добрахення таких спектр!в.

2Леретворення Гельфанда на п1врегулярних спектрах комутатив-них локально опуклих алгебр 1 його властивост1.

З.Операторно числення на просторах ультрагладких ввктор!в, теореми про' щ1льн!сть таких просгор!в для генаратор1в С0-п1вгруп, теореми про в1добра1ення спектр!в необмежених оператор1в в банахових просторах.

4.0сновн1 структурн1 теореми про п1вобмежен! 1 р1вном!рно

ааера.го/>и

п1вобмехен! елеыенти локально опуклих алгебр та4'локально опуклих простор!в.

5.Борнолог1чне узагальнення теореми Банаха-Штейнгауза та основан! на ньому ознаки г1понеперарвност! 1 неперервност1 операцН мнохення в локально опуклих алгебрах.

6.Властивост1 однопараметричних п!вгруп в локально опуклих алгебрах (теореми про неперервн!сть 1 експоненц!альне зобрахення типу Х1лла-1ос!ди).

- 6 -ЭМ1СТ РОВОТИ

0перац1я мнохення в' ЛО алгебрах за означениям е неперервною окремо по кохному- сп1вмнохнику. У 1-му розд1л1 наведен! результат про умови г1понеперервност1, обмехеносП, свквенц1ально! неперера-HocTl 1 неперервиост1 операцП мнохення.

Нехай дал1 * - гаусдорфова ДО алгебра з единицею i (ч - ЛО npocTlp) над полем комплексних чисел с, P-lp,<T,r,..J -наб1р п!в-нори, який визначае топояог1ю 1 (в1дп. и). Припускаемо, до наб1р Р напрямлений частинним порядком (p*q: p(*)*q(r). v*«*).

Опуклою борнолог!ею г наэиваеться будь-яка сукупн1сть Р обме-жених множин <s,K,...) 1з 1, яка и1стить вс! 1х п1ямнохини 1 задо-вольняе умовам: as«íз, v\€c; s+Kep; <s>«<?; i- U S, де <s> -опухла

seo

оболонка s 1 риска позначав замикання. Через s - позначаемо сукуп-н1сть ск!нчених мнохин в I (точкову борнологГю). через Ь .- обмеже-них Сборнолог!я фон Неймана), через к - компактко-опуклу борноло-г1в. породхану опуклими компактами. Для борнолог1й И í" в 1 ■ inf{3,p") породжуетьря <l<sus"> 1 :sep,s"ep'}, suplpfi") -(l<sns">i: sepps"e0"), m 1*1 - ур1вноважена оболонка к. Дал1 обмехен! мнохи-. ни s 1з г так!, во s»l<s>l назван1 дисками. Диску s в!дпов1дае в * векторний ninnpocrip cs. який разом з нормою |rjs"inf{\>0:хе\§} позначаеться через *(s). Ббрнолог1я Р називаеться. банаховою (бочковою). якио простори (í(s): s-|<s>|«p> ,банахов1 (бочков1); Р -банахова тод1 1 т1льки тод1, коли v s-|<5>-|cp посл1довност! Komi простору i(s) з01гаються в'*. Зокрема, к, s - банахов!. Очевидно, банахов! борнологН е бочковими. .

Наступив узагальнення теореми Банаха-Штейнга/за в!дноситься до основних результат!в розд!лу. 1. Нехай и, ® -ЛО простори, t(n,®) -npocTÍp (алгебра, при' tt-e) л!н1йних неперервних' оператор1в з ч в 0. КожнШ борнологН S з 1 в!дпов!дае в L(a,0) тополог!я р!вном1р-4

но! зб1*ност1 на fi (дал1, (е)-тополог!я). цо позначасмо через L (И.в). Якцо ко*на миохина ü 1э в з властивостями: (а) и«|<и>|; (b) vse¡3, за>0: Sc\u; е околом нуля, то и називаеться (э)-бочко-В1Ш простором (бочковим. при fis).

теорема. 1.3.2. ИехаО - иаОсяабш бочкова борлолог^я u i u«inf{0;pu>. Якцо npocfflip U с (и)-бочковин, mо 6орнолог1я фон Неймана простору l (u,0) скпадастъся з одностаОно неперервнизс множин. э

Кохному' елементу « ЛО алгебри I в1дпов1дають оператори а_: lar -♦ ar«3f (a+:'î»jr -» axcl) 1 в1добрахення 1эа -» а_«1.(1) (1»а -* a+«L(I)) називаеться л!вим (правим) регулярным представлениям 1. Сукупн1сть множин .(s) в * таких, до s±»(ateL(ï): aes) одностайно ,неперервн1 над утворюють опукл1 б.орнологП - <*>t. Виявляеться, що звухення операцН ыноження *xî»(x,y) xytï на п1дмнохини виг-ляду sxi i îxK. де s«u_ i Keu+, в неперервними.

1.4.1.- Шве (праве) регупярне представления I реаШэус люло-лог!чниО Хэонорф1эм в алгебру L (I) (антЛзоморф1зм в (I)).

Мнохення в ï називаеться г1понеперервним зл!ва (справа), я то и_-Ь (в!дп., ы+«Ь). Якщо мнохення в * г1понеперервне зл^ва (справа), то воно обмехене 1 секвенц1алъно неперервне. Насл1дком теоре-ми 1.3.2 е наступний Критер1й г!понеперевност1 мнохення.

теорема i .4.3. ИехаО Pt - наОслабша бочкова борнолоня ж i u-inf<pr;o_> (<j-ínr{f}j;u+)). Якцо 3f - (ь>)-6очкова алгебра, то нно-ження в I Ипонеперервие эл!ва (справа). Зон рема, мнохення бочко-'во1 алгебри г1понеперервне элiва 1 слрава.

Мнохення борнолог1чно! ЛО алгебри * неперервне тод! 1 т1льки тод1, коли воно обмехене, т.т., s-K«b, vs,K«b,

1.4.10. Яхщо алгебра ï повна i борнолог!чна, то ыноження в i неперервне.

Останнс твердхення п1дсилюс вiдому теорему Р.Аренса про не -

перврвн1стъ множення алгебри Фреяе. 1з сформульованих тверджень також випливае, до згортка в алгебр1 обнажена в. слабк1й топологи, в алгебрах 1 неперервна в сильних тополог1ях. Це дозволяв навести конструкц1ю ЛО поля часгок. вигляду з неперерв-ним множенням для числення М1кус1нського в1д багатьох зм1нних.

Якцо <и,в> - в1докремлювана дуальна пара ЛО -простор1в з б1л1-нШним функц1оналом Их®»(х,у) <г,у>«с, 0 - борнол9г1я в и (в 0), то на б-Ци.с) (в1дп., на а»|.(б,с)) задана (£)-тополог1я, яку по -значимо через /3(в,в) (в1дп., Дал1 ^СМО •

(в!дп., ®)ж|-г>(<5.с)). зокрема, (Э)-тополог1я при Р"» нази-

ваеться слабкою. при - тополог!ею Макк!. при Р»Ь - сильною.

Нехай И" - спряжений прсот1р до и 1 Введена прос-

тори ч'*(Э)"1(и^,с) 1 сформулгемо основний критер!й (0)-бочковост1.

теорема 1.5.2. Наступил унови екв!валеити (аУ лросШр и с ($)-бочковит (Ь) кохна обхежена п1дннохипа в гГ одиостайно неперервна мад и; (с) сальна тополог!А Ыи""(0),п^] щдукус в и закону.

Якцо $'Ь, то прост!р О" ■ ч"(Ь) називаеться другим сильиим спряжении до а. В загальному випадку; и с с и". При и-и",

к називаеться п!врефлексивним. Якщо И - пь(и" а') ~ тополог1чний 1зоморф!зм, то и - рефлексивниЯ. ' . '

1.5.1. Яхг,о ЛО алгебра £ - пИзрефлексивна 1 борнопог1чна, аба рефлексивна, то нноження в I иеперервпг.

■ Прост1р и називаеться (З).-повещ (кваз!повним. при 0'Ь), якцо кожна напрямлен1сть Ков! простору '«I, яка наложить Р, зб!гавться в и. Нехай 2(3)" У 5 - (Д)-поповн8№я и, де 5 - замикакня 5 в попов-

ненн1 & простору и. В1дзначимо, до (£)-попошгення лов!льно!

ЛО алгебри 5 завжди е алгебрами. СлабкД (0)-п6повнення припускавть наступний опис в терм!нах дво!стост1. * . • •. ..

теорема 1.5.4. Справедлива сШввИиошення: (а) Еи^ц и-)1(0)"

U s°°, de s°°- 6iполяра в i дносно <tt"(p),u">; (b) -U"(Jt^), de - звуження на борнологИ к простору

<c> якв0 ш V 1 u"-[2S(u,u-),(b)-

1.5.5. Bkw на ДО алгебр1 * задана тополог i я s(i,i"), то í(ut)-i"(ut)-.

В 1.7 досд1джуються простори гладких вектор!в замкненого оператора A: d(a)cü -» и дов1льного ЛО простору ч 1з ц!льною областю визначення. Нехай е'(л).п(л), вп;>,(л)-{и*Бп(Д):Лиееп(л)), П1внорни

4,PW i 'W » <Jn,p(«)-íkEo^) tP(''k«))r),/r- i VP(ü)"

■p(u) при и«еп{д), (lsr<»), задають тополог1ю на простор1 еп(л) з в1дпов1дним <1ндексои п«М. Тод1 звуження оператора А породжують оператор» над Бп( л) з областю визначення сп*'(л).

1.7.1.Koxhv0 операвор 1п над gn( Л) эамкнениО i неперервниО 1з еп+1(Л) в еп(я). Якщр npQcmip и - повний (секвенцЮльно повний. npocalp fpeae обо Банаха), то простори б"(д) повн1 (Bidn.,секвен-цюльно noBHi, i реме обо Банаха). Ях«о И - реФлексивяиО прост! р fpeae (Банаха), по коже» 1э npocnopiB б"(л) с рефлексивнии лрос-яоро* »реве (в1дп.; Банаха).

Нехай б"(л)» lln-pr еп(А) - прост1р гладких вектор!в

оператора а, е~"(л) -спряжений прост1р до с"(д), Б~"(л) -до б"(д).

1.7.4. Якщо на е'"(д) i е"п(л) задай i топологи Накк!, то i снус тополог1чний 1зоморф1зч е""(д)« íim-ind е*п{л). Якщо npocmip

п"»

U рефлексивниО, ею 1зонорф1зы реал1зустъся для сильних тополог 10.

Якщо Лв - звуження А на с"(д), то л^и^л).!!. Виникае питания, коли алгебра Ив"(д)] нетрив1адьна. Наступна теорема е розвит-ком в1доыого результату Г.М.Гельфанда про однопараыетричн1 групи оператор1в Санахових просторов i також базуеться на властивостях одностаПно! нэперарвност!.

теорема 1.7.3, Як до npocaip и секвенц1ально повниО 1 л - генератор однослойно неперервно! п1вгрупи хпасу CQ , то вктдення ва(л)с бпм(л)с еп(л)сД нелерервн! i ЩпыИ, вокрема, l[e"(.a)]*{0>

У Z-му розд1л1 наведен! основн! структура теореми 1 приклади про п!вобмежен1 та р1вном1рно п1вобнежен1 елементи JIO алгебр.

Елемент reí називаеться Швобмеженим (зл!ваУ, якио vpeip, з х». -х(р,х)>0: р{ху)**-р{у),. Уу«1. Шдалгебру п!вобмежекшг алемент1в * позначино через «$_(*) 1 задано на *_(*) тополог!», яка визначасть-

ся niBHopHaííH ¡p >-„ вигляду р (х)« sup p(xf). Швнорми Р суб" , р<к>*1

мультипл1кативн1: p_(ry)sp_(x)p_(y), ¿ -локально

мультипл1кативно-опукла (ЛШ) алгебра» яе'язрарвно вкладена в'

Héxaft р»{р) - напряилен1 яабори п1вноры, якi визначають то-

полог1ю Наведено конструкц1ю розкладу п1далгебри в проек-

тивну систему нсрмованих алгебр. йехай у «(yei:p(y)sl )„ тод! у^"

*{г52:г/рскр) - вочка така. ко ^ «У i р (r)-inf{A>0:r«xr

' функШонал МШковського, вязяачвний на uhoxuhI Е-У Зокрема,

~ р

С- Г -н1далгебра в .1» ¡ter(p ) -двостороннШ 1деал i можна- виз-

~ ¡p -

начити фактор-алгебру «9_p(Jf )»s-з нормою |х_р-8_р»р_(х), • цэ х *х«.кег(р ) -липок элемента .reс- У по 1деалу Кег(р ). Нареп-

-р "Р -

tí, d (i)- 9в(с'у ) i при p3«j визначея! пеперервн! гомоморф1зми'

ре®- -р „ V

"V : 4 (1)зп -i х (з), як i породжуить проективну границ» •

-р -q -q[ -р -р

lia-pr ¿ (i).

"р€б> "i .

ТЕОРЕМА 2.1.2. Щ<5обра*е.ЧЯЯ Л (I)е iím-рг sí (Jf)

"р . реР . "р

р еал1эуе яополо;1чки0 ¡зояорфЛзя, в я кому проехтзвШ границ!, пародиен! pisnusrj наборами Р is -5', • ■

Як яасл1лок, одерзуехо даступну,-ознаку п1вобмеженост1. 2.1.4.Вяемекя asi _пХвобкевенцО aodi Í ¡Шяъки modi, коли Чр*Р, 3r»r(rjo)>0, Ч«Р: P(xky)=syk<;(y), vyar,

- It -

Позаачино через ? i 2_{г) поповнения в1дпов1дних J10 простор1в

Очевидно. 2_(i) - повна ЛИО алгебра, однак в ? мнохепня, взагал1

кахучи, на визяачвае. Тим не менее, мае М1сце иеперэрвне вкладення

2_(зе)с?. алгебра J назнваеться п!вповною (зл!ва). якао 3_(i)«<i_(i)

. 2.1.6. ¿лгебра 1 Швповна modi i аШъхи nodi, коли козна нап-

ряилев1свь Kossi is ) абиастъся в 1.

Едеыент Jrc3_(l) назнваеться рДвном!рно п1вобмехеним (зл!ва).

якцо vpep. 3i»x(x)>0 (залехне т1льки в1д х ) таке, но р(ху)*Ар(у),

vysf. де р - наперервна розвирення Р на 5 (р_ - на ¡L(i)). Шдал-

гебру plBBouipao п1вобыежаних елеыент1в.1з * позначно через

i задано на н!й норну 1х|.р» sap р (г). Нехай В (*)» S_(i) n J.

р«р

теорша г.2.1. шсалгебра s_(i) - банахова 1 э вючнЮвя до

топологХчмого isouopSisuy не залехшгь Bid вибору Pi з сукупност1

г. Бкаадевня г_(*) с - иеперервие i §i|_p-l.

2.2.2. Елемеяп х«3_(1) р1внон1рно п1вобие*еии0 modi 1 вИльхи

aodi, холи vpsp, 3y»y(x)>0, pi^yJ^y'-Siy), vycf,

Еланент назнваеться обмехенин. якщо 1снуе. число т-г(х)>0

таке. цо -i-^r-j . « Ь; г -обиехенпй тод1 1 т!льки тод1, коли

I 7* " - . __• 4

да ia«{Ui(s): S€u(l)} i ra(i)»{s»|<s>|«i: s2cs>/ Наступна теорема встановлюе уыови (а саые, г1понеперврвн1сть зл1ва мнохення). при якшс спектра льва теор1я Г.Аллана охоллюеться иаиим п1дходом.

теорема 2.2.7. 2кед мнохеяня в алгебр! I гтонеперервне эл1ва, ао реаШвусвься еюаолог1чт0 ХаонорФ1эн S_(x)» lim-ind J(s), ае

s«m(x)

I(s)«c-5. s - ааиихалня s в ■

2.2.8. Ячщр I- псевдоловна (т.т., алгебри (f(s):Sem(i)} -бана-xobI) i множення в i гтонеперервне злхва, ао в (i)« iim-ind i(s)

. ~ s««(i)

i алгебра »_(!) - банахова.

v

Швобмехан! I обмехен! елеыенти алгебри <-„(и) на залехать в1д

Сориодог!!* Р ЛО простору и. Цв формулюеться иаступним чином. Ска-авио, ко оператор t«l(ti) п1во0нежений. якао *р«р, зх»х(р,т)>0: p(Tu)*Xp(u). Vueti. Шдалгобру п1вобмеяених оператор1з 1з 1(a) позначного через 1 задано па н!й Швнории Р-{р)рЕР, де р(г) . -

• sup р(Ги), Те4(0) i и«а. р< U)s1

ТЕОРЕМА 2.3.2. Для будЬ-ЯКО! Э борнояогШ ft, s, Ь реалi-

зусяься BQnonotlUtlUÜ isowpíis* дЗ 1-1.0(11).

Оператор T«L(ü) - р1вко»1рко п1вобногеппа. яхпо vp«p. -а(г)>0: p(ru)sAp(t?), vusJt. На п1далгвбр1 2(п) - р1вяоы1рно п!воб-мехених оператор1в задаемо порму ¡TUpUsup р(г).

ТЕОРЕМА с.з.-s. йвпзО npocaip U - no¿¡iut¡. Для будъ-яхо! э бор-нопогШ р » ft. s,,b реел!эусз5.ся nononoeivmiü isosoi^ls.'i банахова*

алгебр s(u)«s m, <э«г i-t (a).

" , *

2.3.5. ляя £0 слгебри a i ату с 1зоневр1я з(в) - l Es (u)], aa в 1 [3 (n)J эаёапа пораa Sri- sap - i |x¡¡ „■ sop p_(x).

В1дзаачимо; тополог1чш1й 1зсыор01аи lin-prJ_(rp)«^_(iin-prrp) ^ а такох алгебра!чиу р!вп1сть <!_(i®3)«'«J_( J)®rí_(3). де 3 -

JIO алгебра 1 твнзорш добутки провктивн!.

В 2.5-2.S паизявна одна загальяа' копстр'/тсп1я, яка доаволяг поставптп у в1дпов1дн1сть.рсобаахвпону защжзнону л1н1йноиу оператору л: »(д)еН -» и банахогого простору о«(а,|.|) деякий п!вобиехэ-' ний оператор. Нехай »(Л) «п. - посл1доен1сть : додатШх чи-

сел i !«г<». Дзя vi>>0 р.:тзгатг:'о ntóipocrlp

Г " flAk«i)rl"r „ „ '

L ~-1 í ~ порка в Просторк '»г(л) банахов!

(Пльбортов!. «Kíso a rtswtepYis i r«2) i прп- 0о»*т<" справедлив! кйпэрэрвк! вкладення с £Г(л) с Д. Ггшуягпйда транкця в"(--)я

о U г>^(л)« lin-ind »"(Л) rarcjSJPíoaa i Екяаяегза о£(л)гЧ непэрерэ-

t'>C Р V+ю Г

не. Кожна обмежана Шдмножина простору »"(Л) м1ститься 1 обмежена в деякому простор! *У(А). Позначимо через ®~м(л) ! ^(А) - спряжен! простори до 1 »^(л).

2.5.4. Яхшр на просторах ю~"(д) i »'"(л) заданI 1х силън1 тополога аба топологи НакШ, то 1снус тополоИчнив 1зонорф1зм »""(л) « Ит-рг с""(д), в якоку проективна граница эведеиа.

г + ш г

Зокрена, в сильнЮ топологИ Т>~"(л) - прост1р #реие.

1ндуктивна границя називаеться простором ультрагладких

вектор!в А, якщо !снуе число <1 > О таке, що

2.5.5. ПростАр ультрагладких вектора: 1ивар1антний в!д-носно оператора А 1 звуження А *А. налепить 11ю"(д)1.

Зауважино, що випадок (анал!тичних вектор1в) впврие

розглянув Ё.Нельсон 1 тут € обширна л!тература; випадок д^-1 вектор!в експоненц!ального типу досл1джений Я.В.Радино; Р.Б1лз вивчав абстрактн! класи Хевре Р>1). Загальн1 класи таких

вектор1в (без вид!лення унови введен1 в роботах

М.Л.Горбачука 1 ВЛ.Горбачук.

Наступн1 влас'тивост1 простор1в ультрагладких вектор1в необме--женого замкченого оператора встановлен! в робот! 17 1.

теорема 2.5.6. ИехаО с"(д) - прост!р ультрагладких вектор!в оператора А. Тод1 справедлив 1 наступи! тэердження: (а) оператор Я_м , спряжений до Ап вИносно дуальноI пари <с"(д), Ю~м(л)>, с Швобнеяеним над лросиорон *ГМ(Д) 1з сильно» тополог 1с»: (Ь) кошен Шдпрост1р я) 1нвар!антниа в1днасно оператора А 1 в!дпов!дне звуження Ли ■ Л^ с обиеженин оператором над .

г"

Побудуемо за посл1довн1ств И функц1ю вир-*}- додатнього

п

. « ' Г

аргументу С. Якцо 1нтеграл I -^-¿С , де 5>0, розб1жний

■•а - С

(зб1жний), то И називають кваз!анал!тично1> (некваз!анал1тичною) посл1довн1стю.

теорема 2.в.4. Якщо - npocmiр ультрагладких век/nopiB а

А -генератор п1вгрупи (обнехено! групи) кпасу CQ toad u, М - яеква-з1анап11лцчна посл1довн1сть (кваз1анол1тична i и. * 1), по Х>М(Л)»Д.

к Г

Трет1й розд1л присвячений побудов1 розширення голоморфного числення з нормовано! п1далгебри р1вном!рно п!воСмежених елемент1в на всю алгебру 1 вивчению його спектральних властивостей.

Групу оборотн1х елемент1в алгебри * лозначаемо через сферу Р1мана - через с=си(«>. Область визначення в с резольвенти К(у,х)я(м-зг)"1 елемента хеХ (резольвентна ыножина) мае вигляд л(г)»(л«с:х i -*«!"1 )U<~), зокрема, R(x,°>) = 0, оск1льки при м-л'^с, R(x,\)*n{i-uic)~] Множина sp(x)*b\R(x) називаеться (алгебра!чним) спектром х в i. Нехай р(х) -область (слабко!) голоморфност1 Доповнення <г(х)*с\р(х) називаеться дал! регулярним спектром х в В1дзначимо, що с(х)*а, v*«r i cr(x)-sp(r) у випадку, коли {»)ер(*>. Якщо 15 - замкнена п1далгебра в I така, до 1«3, 1 "jí*) " регу-лярний спектр * в 3, тод1 е об'еднання множини с(*) 1 деяко!

сукупност! зв'язних компонент област1 р(х). Границя множини "gí*) М1ститься в границ1 <г(х). Коли область с\сг^(*) зв'язна, то справедлива piBHicTb -cTg(jr). Область р(х) опчсуеться наступит чином.

теорема 3.1.4, якщо ниояеиия в t г!понеперервие зШва, то vxíi, p(x)'int(AeR(*): й(*,л)€®_(1)), de int - внутршшстъ в с, i в окоп! кояноi скшченоI (неа^нченох) точки vtp(x) ряд R(x,\) -

- I CRÍx.iOl'"'^^)* (Bidrt., Z збНасаься в

k»0 k >0

HopaoBaHiü алгебрi 8_(r).

Як приклад, в згортков!й алгебр! розпод!л1в т>\ на «' э нос1я-ми в 10,+и) i слабков тополог!ею розглянут! розпод!ли вигляду:

йны

f -

-<• ^Tfi. t г»♦ I

d?1

, при t>0, t ,CC)»e(C) при t-0; да ttl-

ц1ла частила числа t*0,0(C) - карактеристичиа ®ункц!я п1вос1 [0,+~), r(t) -гака-фуикц1я ЕАлара. Регулярна представления еяекан-та f_t над алгеброю ^ д1е як оператор дробового дифервнц1ювакия

порядку с i к). е>. Да g (g.r)-V f ■ ■ -

v t ki0r<kt+c)

ц!ла фуигсц!я Шттаг-Даффлера, отав W»> при t>0 i <т(Г_0)»{ 1). В э'гортковШ алгебр! S"T Т-пер1одичних рсзпояШв пов1льиого росту •на R1: k«íju(e}; для оператора Далз.нбера ° п агорт-

коэ1й алгебр! -розяодШв поейльного р.л ту з.нос!лми в за-

микашЦ-конуса кайбуткьогс V* простому R"4', х. ;.«•{.о с-(с)»{п>.

Неха¡i с "f .п ¡in-ind - алгвира паросткт голокорфних

' Пэо-(г-)

ФункцШ на регулярному спектр! <?(*) «леивнта г<=г, до 1каукишаа границ« взяга по сладкому ф1льтру в1дкритих 'окогЛв Л навколо <?(*) 1 «(П) -алгебрк гояоморфник ФункцШ в А з тополог!е& р1вном1рно1 зб1гност1 ка компактах. Основнов в дакому роздШ « каступна

теорема з;з.1¡.яхцо в алгебр! £ инояенкя Поэкекер^ргис зШва, ко Чснуе непгрервяий еококорф£зи алгебр i: с -> í(jr)s2_(X)»

якиО эаёовопьнне ynoBi V(jr)^"1, ®е ~ oávnjua в °<т(х)"

Зохрена, при 1»)«р(г) i <¡>(z)-z, o3ep»ystsc в(г)«г, а при Р(*)»е i ¡up(x)\{^"},6[(а-я)"!1-к(г,а). <r(~)-c, ftCi -¿ i; c»A -» x-4.

Для koxho! суикцИ' значения # задастъсг; Формулой

Дв i,"! при i «г»0 црц <»>«0.

i ^

Спраьог.хтаа тгког теор.:ь'.а про в1добрахс-якл регулярного сцгктру.

Ti.o?E'.!ri 3.4.е. sssrr t*r?rc:.;;.7 в í ал£с<з, со

V c-V-v ■«ííí¡sí?íf-í-)' = splv-(r)] i

£'tí(*:)i ' c-asb;'. ¿ pstyr.%p> ü" cr/v~- í,:- t-декекпй" <*(*) с

í rv'sfc- '"i (í) -' -Ч-;■.>>)'' ?"r:i;} г.зго.

- te -

' Отяе. дробове Штегрування порядку t>0 ноана оиэначнти. як

регулярна представления в алгебр! розпод1ду при

# —т

цьому, <4ft)-(0), Аналог1чно, в алгебр1 ? (кп) оператор о мае оберкений 1 <г(о"1 )■{())

£

Рогуляпним спектральним pan!усом елемента я«* називаеыо число Ixl^supi |А I :я«£г(*)). Под1бно, як в баиаховому випадку, мае н1сце теорема 3.5,1. я г. со ниоасння о ï гЛпоиеперервие эШва I

--1/п

(o)sp(*), яо 1 im „ . Зохрена, vxel, ь'ар(й)\(ю) padlye

' u, . -t

sßiÄHoemi ряду R(x.A)" £ [«(Jf.v)] ■(v-A)1 СорЮнюе ¡Я(х,1>) j . k»0

Алгеброю йальброока називаеться ЛО алгебра О з в1дкритою трупов о"1 1 наперервшш обертанняи о""'эх ->

теорема 3.5,3.Яхщо ннохення D алгебрi г iiпопеперервне эл1за, то для кожного еленепаа xtï такого, цо <г(х)*с алгебра о в1дносно но рай 4з 2 (ï) с алгеброю Вальброока l справедлив! cnioBià-

ноаення <r0(y)=sp0(y)*<rs(y)»sps(y), de cr0(y) i sp0(y) спекари в £>х, a <rs(y) i spB(y) - в S_(ï).

Зв!дси випливае, ио якцо ï - нормована алгебра з неперервним миожетши, то реал1зуеться 1зоморфне вкладення Ic2_(ï) i vxeï: або spj(r)=c, або spj(x)'crI(x)spjB(x). В1дзначино неперервнЮть сг(х).

теорема 3.5.5. при уиов! г!понеперервносМ эл!ва ыноження в t для кожного еленент xei i в!дкрию! мнояини П сфера с таких, то Пэ<г(х)*Ь, ынояина (у«Ох : <г(х+у)сп) е в1дкрипюю. Якцо алгебра I псевдоповна, по BidKpuiooto такая е кнояина {ytSJt): а(х*у)са).

У 4-иу роздШ викладений локально опуклий аналог спектрально! теорП комутативних банахових алгебр ГЫ.Гельфанда. В1н грун-тусться на понятт! п!врегуляриого спектру, введеного в робот! 18). Спочатку наведемо иеобх!дн1 для цього узагальнення деяких класич-них теорем. Характерами коыутативно! алгебри I називаемо И йену-

льов1 л1н1йн1 мультипл1кативи1 функц1оналн. Тополог1чним спектром * називасться мнохнна Я>(Я) -неаерарвннх характер1в з найслабио»

А

гауслорфовою тополог1сю. в1дносно яко! функц11 -» h(s)

неперервн1 Vx«i. Паретворенням Гелыйанда I називаеться гомоыорф!зм

А

I»* * в алгебру c£w(i)J -неперэрвних функц1й на w(*) з топологию piHHOMipHoI 3dliH0CTS на компактах.

4.1.1. ИехаО к -борнаяоПя сщшеиоге простору 1\ яка пород-яустся Bcina коипактат, Якшр прося! р а' с (к)-повтя i I - хсау-яюйх/вха алгебра НакгЛ, ив nepgtsaopems Р -меперервне. Зокргяа, §■ -иеперерэие Оля бочкозих алгебр. ' '

Справакливий наступнмй аналог теораии Гельфанда-Мазура С23. теорема -8.2.2. Яке/з алгебра I с а! лом i enepsuis обершяня x~itx 1 (слабо) иеперервт, во * ¿яонорфт noun е.

. Стандартнин насл1дком теоремя г те, ко замккзнЗ максималыП 1леали хомутативкик" алгебр я 1з (слабо) кеперервнин ойертанням, зокрема ЛМО алгебр, маеть вигяяд Ker(h), да

Впд1лимо алгебры, i яких (алгебра 1чний) сгхектр елемзнта мохна обчислювати обкежуючнсь тополог1чним. спектром алгебри. Скажемо, ко алгебра S з иеперервки« многсенкям 1 II поповнвкнк ^ утворвать пару Binepa. якво [15].

4.2.6. КегаЙ Ж ДНО алгебра. Ллгебри Л усгорс

юна, пару Binepa воЭ1 i в!аьки nodi, копи sp(r)«<h(r) :hsBi(i)}. v*«i -Яксо Я - ЛО алгебра з в!дкрятоэ групою -г"' (Q-алгебра) або проактиЕна гракиня таких алгебр, то * 1 ? - утворкють пару Binepa.

Наступив псняття е одккы з ссношшх в podori. Когкону елемен-ту г«* сп1встгшшс так заану область ni врегулярност! резольвента, похлакавч::: p_(*)»K_(r) при rer\«a_(i); р_(г)-К_(л)и(«) при г«.а_(г) дэ, Я (г)аа{А«£: к(х,л)е^_(г)), Доповнвння o-_(j:)EK\£»_(;r) називаеться. (л1вии) п)вреггляркш .спектрои влзкоита * в алгебр!

ТЕОРЕМА 4.3.1. Vx«Jf, <r_(x)»e.

В дов1льн1й ЛО алгебр1 * справедливо вкладення: а(х)е<г_(х), vxsi. Для кожного xsi такого, цо р_(х)»и, мае м!сце сп!вв1дноаення Aesp^ ^[R(*,u)))f да (J«p_(x). Якдо множення в *

гШонеперервне, зл1ва, то <т(х)-<т_(х).

Визначимо на сфер! с структуру комплексно! алгебри, ототожню-ючи с з полем часток с/с»iv/ц-. у,и < с), де и/0"», Vf»0 l 0-««0. Лозначимо 3f_»{*-«i:о-_(х)*с). П1врегулярним характером комутативно! алгебри * називаеться будь-який нетрив1альний неперервний гомомор-ф1зм h: х -* h(x)tc з областю визначення Множина б_(1) -п1вре-гулярних характер1в * 1з найслабпою гаусдорфовою тополог1сю, в1д-носно яко! функц11 х: h -» ft(x)«c неперервн1 на 6_(*), ух«1_, називаеться п!врегулярним спектром алгебри

Якцо с[б_(ж),с1 -нножина неперервних в!дображень 1з 6 (1) в с з тополог1ею р1вном1рно! зб1жност1 на компактах, то можна визначи-

А ,

ти аналог перетворення Гельфанда *_эх -» х«с[б_(1),с].

4.4.3. Перетворения Гельфанда ЛНО алгебри час сдине роэширення 9 на х_ , причому 5 неперервне modi i т!лъки nodi, коли неперервним с s_ . Зокрена, & неперервне. як ко 1 ~ алгебра ipeae.

Шврегулярний спектр ЛО алгебр, под1бно до банахового випадку1 дае можлив1сть обчислювати п1врегулярн1 спектри елемент1в.

4.4.4. НехаО алгебри л (ж) i 3_(Х) увшорюють пару Ынера або алгебра I с Швповноо, подi <r_(x)-(h(x): h«6_(l)}, vx«X_.

Нехай x-{xj)jej - елементи 1з *_, cJ - прямий добуток J коп1й сфер с. Як то комутативна алгебра * е п1вповиою. то образ воображения a:_:e_(i)ah {h(x ))«fcJ будемо називати сум1сним Шврегуляр-ним спектром елемент!в * 1 позначати через

Обчислимо п1врегулярн1 спектри деяких 1ндуктивних i проектив-них границь систем комутативних ЛО алгебр.

4.5.4. Якще í Sч > - 1идукиивиа система комутатвних банахових алгебр bíдносно сиискуючих вкладень, та реаШэусюься гомеоморф! з* О_{lim-ind 3q) • lim-pr W(3q).

Якщо í *ч > - проективна система ЛО алгебр э неперервнин ыно-женням, то справедлива ,р1вн1сть lin-ind ®_(2q) - e_(Jim-pr lq), в як1й вкладення ©_(*ч> с ®_(Ит-рг неперервн!. Застосувания до проективно! системи >, породжено! п1далгеброю ¿X1),

приводить до наступного результату.

теорема 4.в.1. якцо переаворення Гельфанба ч: í_ * c[e_(i),c) неперервнс i 0_(Х) с (k)-npocmopcu, то реаШзусться гонеонорфХэн в (i), iím-incf ЯК2_р(1)), tfe «*_p(f) - поповнення «<_р(*).

Умови теореми очевидно аиконуються для алгебр Фреие.

Hexaft í 1 5 - комутативн1 ЛО-алгебри. *ай - проективний

тензорний добуток i *«3 - floro поповнення. Справедлива наступна

теорема 4.7.1. Якяо алгебра t, 3 nosiii 1 иаюаь неперервне

нноиенпя, то pea/liaусться гоыгоноруI за т<*«>5) - 5).

В 5-му роздШ розвинуте функц1ональне числення в ЛО алгебрах

загального вигляду 1 наведена (toro реал1зац1я в алгебрах необмеже-

них оператор1в. Встановлен! теореми про в1дображення спектр1в. а

також теорема типу Х1лла-1ос1ди для однопараметричних п1вгруп.

Нехай t |i«p(x)\(«). Тод! l)c l<7nC5rD ПРИ

q«P -ч • -ч Р

Ч*Р. де с_ч»{м-А"': \«sp(y_q)> i sp(y.4) -спектр лишка резольвенти

у=к(*,м) в поповненн1 3_(Х) фактор-алгебри )Авг(9-). Вказане

розбиття на об'еднаиня компакт1в сфери с залегить в1д вибору

<- ■

Р í не залежить в!д точки и&р{х)\{«).. Визначимо алгебру н1<г_(х)]*

■ lim-pr о(<? ) -локальная паростк1в голонорфних функц1й на "_(*)

Алгебра )(í<r_(x)3 не заложить в1д розбиття <г_(*'). Кр1н того, резя!-

*

зусться гоиеоморф!зм ГО{Я[<г_(г) 3 >=и_(дг).

теоремл 3.1.1. Яка.0 алгебра I -п1вповна, то 1снус неперервниО

4-

гономорф19м иС<г_(х)}9* -» ф(х)Ы_(Ж) такиО, *о '<г (х> 'одиниця олгебро Х1<г_(х)). При х*л_(1), »_(г)-х, де г -комплексна эШнна. Якцо х«*\*_, ею *_ :с»г 2-1, оск1льки сг_(х)»с 1 «(С) - с.

В рамках даного функц1онального числення справедлива теорема про в1дображення п1врегулярного спектру.

теорема 5.1.2. Якт алгебра зс п!вповна, то справедлив1 сШв-в1дношепня <г_[#(*)].|>[сг_(х)1, (Г.*)(х)»0[/(х)], V х«ЗГ, $«Н[(г_(х)],

Гомоморф1зм характеризус мнохину '.(х) елемент1в х 1з х_ .

теорема 5.1.4. Якщо I -алгебра врете 1 н*(ф(х): феН[а_(х)] >,

* +-

ао а (х)=арй(х) -спектр елеменаа (Ю в л.1 ¿алгебр! И

Функц1ональне числення припускав багатовим1рне узагальнення. теорема 5.1.5. аехаО г - п1вповиа кокутативна алгебра IX--ск1нчени0 наб1р елеменШв 1э Тод1 сум1сни0 п1в-регулярний спектр сг_(Х) с об' сднанням компакт!в а прямого добутку сфер с", кожей э як их 61 голоморфно екв!валентиО поШноШально опуклЮ множим! 13 с", алгебра н(<г_(х) ] нетривЮлъна 1 1снус непе-рервниО гомоморф!зм И[о_(х)]»* -• ф(х)е4_(х), якиО задовольняс сШв !дношенням (г_1ф(х)]-ф1<т (X)] 1 »_(1_ ,„,)-«, де ,„ -одиниця

1 • ™ СГ (л) (Т (А'

»[<г_(х)3. При хсл_(х), маемо Ф_(2г^)-*у де г_)-/па координата

комплексно1 зм!нно! (2.,. ..,2 ).

4 1' ' п'

Техн1ка ультрагладких вектор1в необмеженого замкненого лыжного оператора л: 2>(л)си -» И банахового простору (и,|.|) дозволяе

навести застосування попередн1х теорем до побудови функц1й в!д Л;

(" • >

Е и «и« и: и «»"(л), Е |и |г<-'1 з

п-1 " " г П-1 п " 1

[» ч1/г

Е lu„In . Д9 inf по всix зображеннях Г«.-", п ■ I ■ * _

5.2.2. Нас Шсце ХэомелрочниО 1$оморф1аы де заникання в U.

5.2.3. Якцо с"(Л)»11, но вкладення спряжения npocaoplB u*e схГм(л) иепсрервне у сильних топологiax I неперервне оа вцльне у пюполог1ях Накк1. Якщо и -г1пъ6ерв1в, то вкпадення и*с»~м(л) неперервне та Щльне у сильних пополоНяг.

5.2.5. НехаО в - е1яъберя1в npocalp, - npocmip ультра-

гладких векшopis А i Todi Eg(л)си - топологi4H»0 isoMop-

Qian, w>0.'

t

Припустимо дал1, во х>"(Л) - npocilp ультрагладких вектор!в А 1 Нехай * -клас функц1й для' яких визначен! оператор»

Тод1 визначений оператор /(лм):о^(л) ю"(л), зву-ження якого на к"(л) сп1впадае 1з Замикання {(лм) над и

позначимо через f(A).

теорема 5.2.4. ЗСМикаННЯ Г(л) 1 сну С, Sief. яКЕ.0 f(An)*An , VncU. ВЮ Г (А)-А.

Користуючись теоремами 2.3.3-4, можна обчислити п!далгебри ^л)3 1 я[гГм(л)] алгебри 1_ъ[хГ*(Л)], де »¡"(л)« üm-pr v~n(A)

-проективна граникя спряжених банахових простор!в. А саме, 1снують тополог1чниЯ 1зоморф1зм л[С~"(л)]» üm-pr i неперервний

П"*»

1н'ективний гомоморф1зм 8[в~"(л)} L^lu], Воображения, яке Ix породжус мае вигляд Т_м -> Гм, де Тп -спряжений до оператора Т_м 1з *1[г>~м(л)3 в1дносно дво!стост1 <*>"(•*), ®~м(л)>. Таким чином, абст-рактн1 теореми 5.1.1-2 в даному випадку' дають наступний результат.

5.3.4.1снуе неперервний гоиоиорф1эк <р -» Ф(А^) 13 алгебри фуи-кЩО иСяр(Лм)] в rildamebpy llm-pr о_ь[»|;(л)] алгебри 1.[2>"(л)],

П-Ч»

якив переводишь единица }<[sp(A )] в одиничний оператор i3 L(U), а

ксиплексну зн1нну а в д^. При цьоиу виконусться сп1вв1дношення aptФ(л )]-ф1вр(лм)], de спекари розглядаться в алгебр1 L[»"(л)]. Пехай сг(д) -спектр оператора Д над простором и. Справедлива

ТЕОРЕМА 5.3.3. вр(Дм)-<г(Д).

Сформулюемо теорему про в1дображення спектру оператора Д. теорема 5.3.5. Icnyc ШнЮне в1дображення «[эр(дм)]»# Ф(Л), Эе ^(Д) -эаыикання в и оператора 0(ДМ), i одипиця н[яр(дм)] переходить в одипичниО оператор алгебры L(u), комплексна эШнна z в оператор Л 1 виконусться сШввХднотення <г[^(Д) ]~ф[а-(л) ].!

Якер ¡ви[®р(д )] - шдсшгебра обмехених ФункцЮ 1э Htsp(AM)l, юо мае uicue гомонорф1зи алгебр 8К[зр(Дм)~><Ф(д)е1.(и).

В останн!х двох параграфах функц1ональне числення застосовуе-ться до досл1дження в ЛО алгебрах однопараматричних п1вгруп. П1в-групою в * називавться Фу»кц1я Oät-*x(t)«r, цо задовольняе умовам: *(t+<)-*(t)r«). *(0)-i.

теорема 5.4.1. Якцо множення в алгебр1 * обнежене, то кожна п!вгрупа х(р) в 1, яка задовольняе в слабкЮ топологи умов 1

lim x(t)*i, неперервна. t-* + o

Слабка границя в г вигляду Ilm x(t'l'i « х (якщо така Icnye)

t-+o с

називавться дал5 генератором *(t) в алгебр1 Кожна неперервна Швгрупа x(t), яка пае в * слабкий генератор х, дифервнц1йована при tsO i =■ x-x(t) - x(t)-x у вих1дн1й топологи

теорема 5.4.3. Нехай I - кваэ1повна алгебра з гШонеперервним эл!ва ниожгияяи. Елемент Kt с генератором деяко! обиежено! неперервна! Швгрупи x(t) modi I т1льки modi, коли виконусться. унови: (a) Re [<г(х)псЬ0; (b) Ilm пЯ(х,л)-1. В «ьому випадку Швгрупа

x(t) виэиачаеться слабкчм генератором х единим чином 1 справедлива формула x(t)=lim expltxnR(x.n)], de зб1жн1саь р!вном1рна на

компактах.

Як' приклад, в эгорткоо!й алгебр! розглянута п1вгрупа 0*t -» - дробового диферанц1ювання. яка с йепврервна 1 мае

генератор 5' (?) г' (t)S(0, Тону розв'язки задач! Koai

u(C.0)-v;(C)en; в ком1й точц! ttO мааэть зм1ст похШго! порядку с в!д функц11 "(С).

В додатку рикладек* взементя теорЦ тополог1чно-борнолог1чио1 двсЦстост!, а тако* оековн! властиаост! прооктвсикх та 1нлуктивнпх систем докачьш опукляк простор!в на-яких базугться доведения ряду основних теорем.

• Результат« дисартацИ опубл1кован! в каступннх роботах автора:

1. Лопушанаышй О.В. Взаснозв'язок м!к функц1яии кяасу НВ j розв'язками лццйтм дифарйнШальних р1акянь другого порядку// Доп. АН УРСР.-1975-И 9.-С.783-785,

2. Лопуианский О.В. О прообразован»« ГельФанда локально выпуклых алгебр// Укр.ыат-s.-1985.4'1.-С. 120-!23.

3. Лопушанський ОЛЗ. Про отараторне чподеиня на просторах вектор!в експонанц!алыюго тяну// Доп. All У РСР.Сер. А,-1990.412. -С. 14-17.

4. Лопуианский О.В. Непрерывные полугруппа в локально выпуклых алгебрах// Укр.иат.*ури.-1990.-т.43.-№2.-С.»5<1-158.

5. Лопуианский О.В. Ограниченные ревенкя задачи Коши в локаль ко выпуклых алгебрах// Диф.уравнения.-1991,-т.27,-№2.С.367-379.

6. Лопуианский О.В. Неравномерные пополнения и гипонепрерыв-ность умнояения в локально выпуклых алгебрах/ / Сибир.мат.журн.-! 991 • -32.-W3.-C.89-96.

7. Лопушанський О.В. Операторне числения на ультрагладких векторах// Укр.мат.лурн.-1992.-т.44,-№ 4--С.502-513.

8. ЛопушанськиВ О.В. Спектралька теор!и локально -опуклих

алгебр// Доп. АН Укра1нк.-1892.-1ГЛ-С.З-0.

• 9. Лопушанский О.В. Об однозначных аналитических функциях с нулями в одной полуплоскости// Теор. и прикл. вопроси алгебры и диф. уравнений. -1976. -C.103-10S.

10. Лопушанский O.E. О голомофности функций в заданой области// Мат. анализ и теория вероятностей. -1978. -С. 100-103.

И. Лопушанский О.В. Свойства непрерывности умножения в топологических алгебрах// Мат.методи и физ.-иех.поля.-1983.4121. -С.26-29.

12. Лопушанський О.В. Операторнэ числения в1д тонзорно кому-туючих оператор!в на просторах ультрагладких вектор1в// Мат. методы и физ.-мех. поля.- 1992.-№ 53.-С.189-194.

13. Лопушанський О.В. Локально опукл! алгебри I. Борцолог!чн! властивост1.-Льв1в: 1н-т прикл. пробл. мехал1ки 1 математики АН УкраГни. Препринт №1-93. -1993. -55 с.

14. Лопушанський О.В. Локально опукл! алгебри II, Швобмежеш! 1 обмежен! оператори. -Льв1в: 1н~т прикл. пробл. механ1ки 1 математики АН Укра!ни. Препринт №5-93. -1993. -62 с.

15. Лопушанський О.В. Локально опукл! алгебри III. Функц!о-нальне числення на п1врегулярному спектр1. -Льв!в: 1н-т прикл. пробл. механ!ки 1 математики АН Укра1ни. Препринт !i6-93. -1993. -59с.

16. Лопушанский О.В. Борнологии Аллана в спектральной теории локально выпуклых алгебр. -Львов: Ин-т прикл.пробл.математики и механики АН УССР.-1987. Деп.ВИНИТИ (08.04.87) W2489-B87. -107 с.

17. Лепуяанский О.В. Векторные борнологии в спектральной теории локально выпуклых алгебр. Автореферат канд. диссертации. Минск: Белорус, гос. ун-т. -1988. -1S с.

18. Лопуиавский О.В. К теории Гельфанда алгебр Фреие// IX

Всесоюзная икола по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Тернополь.-1984. -С.78-79.

19. Лопушанский О.В. Некоторые вопросы спектральной теории локально выпуклых алгебр// ¿-я осенняя икола "Применение топологии в алгебре и днф. геом.' Тезисы докладов. Тарту: Тартус.ун-т.-1988. -С.31-32.

20. Лопушанский О.В. Функциональное исчисление в алгебрах неограниченных операторов// XIV Всесоюзная икола по теории операторов в функциональных пространствах. Тезиса докладов. ч.П. Новгород.-1989.-С.58. "

■ 21. Лопушанский 0.Е Локальные диффеоморфизмы иенормируеиых локально выпуклых пространств и некоторые их применения// Всесоюзная конф. по нелинейным пробл. диф.уравйений и мат. физики. Тезисы докладов. Тернополь.- 1989.-С.248-249.

22. Лопуианский О.В. Гладкие и обобщенные решения задачи Коши для дифференцнально-операторных уравнений// Респ.вкола "Разрывные динамические системы". Тезисы докладов. Киев.-1989.-С.36.

23. Лопуианский О.В. Функциональное исчисление в алгебрах неограниченных операторов, порождаемых генераторами полугрупп// 2-я осенняя вкола 'Применение топологии в алгебре и диф. геом." Тезисы докладов. Тарту: Тартус.ун-т.-1991 .-С.64-65.

24. Лопушанский О.В. ^-представление ограниченных решений задачи Коии// III Всесоюзная конф."Новые подходы к решению дифференциальных уравнений ".Тезисы докладов. Ыосква: ВЦ АН СССР. -1991. -С.77. . ' • -

25. Lopushansky O.V. The seraibounded operator In the spectral theory of the locally convex algebras// International conferens 100-th birthday of S.Banach. May 6-8, 1992.(LViv) -P.26-27;