Структура алгебр неограниченных операторов и их дифференцирований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ8 ОД

5 / И10П 1093

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН Институт математики имени в. И. Ронановского

йа пра&их рукописи

АШОВ АКРАМ АКБАРОВИЧ

СТРУКТУРА АЛГЕБР НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ

0l.0l.0l - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискании ученой степени кандидата физико-математических наук

таикент - |992

Работа выполнена в Институте математики имени В. И. Романовского АН Республшси Узбекистан.

Научный руководитель - член-корреспондент АН Узбекистана.

доктор физико-математических наук, профессор Ш. А. Аюпов

Официальные оппоненты член-корреспондент АН Узбекистана.

доктор Физико-натенатическ и наук, профессор Дж. X. Хаджиев

- кандидат физико-математических наук, доцент Б. С. Закиров

Ведудая организация - Институт математики АН Украины.

Зашита диссертации состоится в ^ij часов на заседании специализированного совета Д 015.17. 21 в Институте математики имени в. и. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент -143. ул. Ходхаева. 29.

С диссертацией нохно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. И. Ронановского АН Республики Узбекистан.

¿á- „еМйЛ—

Автореферат разослан _________ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

■у,«г /

доктор Физ. -мат. наук ■ ш- А- хашимов

/ <*

0Б1ДАЕ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Рождение теории алгебр,операторов, дей-ствущих в гильбертовом пространстве связано с появлением серии работ Дж..¿он.Неймана и Ф.Дж.Мюррея, в которых были подробно изучены слабо замкнуты * - алгебры операторов (эти алгебры впоследствии были названы алгебрами фон Неймана или W - алгебрами). В ->то же время И.М.Гельфандом и М.А.Наймарком было начато систематическое изучение * - алгебр операторов, замкнутых в раьло-мерной топологии (такие алгебры были названы С _ алгебрами).С и W алгебры можно охарактеризовать б класс всех банахоЕых

* - \лгебр простыми системами аксиом, на основе которых возникает богатая содержанием структура. В настоящее время теория и W - алгебр достаточно хорошо разработана и представляет собой обширную и интенсивно развивающуюся часть общей теории банаховых алгебр.

Развитие математической физики вызвало необходимость исследования ненормируемых пространств и операторов в п>тих пространствах, jto послужило причиноГ для построения теории локально выпуклых алгебр, обобщающих теория нормированных.колец. Систематическое изуче-ше абстрактных локально выпуклых алгебр было начато Р.Аренсом и Î.А.Майклом ( Arena Я. The space and convex topological -rings.Bull, aer. iteth. Sc.. 194C. V. 5?. "dchael K.A. locally multiplicatively cnvex 'topologicd alge'cras. ¿1er-, A.r;er. Kath. See. Î952. V.II . 79),

J 3

i затем продолжено другими арторами с разных точек зченкя. Б иаст-

„ _ , ^доп

юсти л.Р.лллан определяет класс локально выпуклых инролютивных ал-

â -'V 'о

"З.;р Ullnr-.a.?.. С:: с 11,2 s r.f locality с с vex al^e bras. Proc. London ..'nth

Soc . 1967 . v.17 Kl. p. 91-114), которые часто встречаются в анализе и имеют сильное сходство с С* алгебрам. Далее П.Ж.Диксон развивает исследования Ж.Р.Аллана, характеризует локально выпуклые G & - алгебры в классе * - алгебр- замкнутых onepaTopjB в гильбертовом пространстве. ( Dixcr.. P.c. Generalized ß> algebras . Proc loiidoi: . 'Math.

Soc. 1970. V.21. КЗ. p. 693 - 715). Кроме того, ЩК.Диксон расширяет определение К.Р.Аллана и рассматривает не локально тл-пуклые алгебры. >

И.Сигалом была введена алгебра- локально измеримых опе-

раторов, присоединенных к алгебре <*>он Неймана Д , что положило начало исследованию алгебр неограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Алгебра

является естественным некомиутатквнда аналогом алгебры измеримых функций на пространстве с мерой." Элементами SiM) являются замкнутые плотно определенные операторы, дейстгукацие в гильбертовом пространстве, при ятом мнояегтво всех ограниченных операторов из S (..M) совпадает с алгеброй фон Неймана Л .'Эти соображения делают естественным рассмотрение класса & - алгебр земкнутых плотно определенных на гильбертовом пространстве операторов, обладающих свойством симметричности^ ¿Такие классы - алгебр неограниченных операторов ввел Е.Ж.Диксон и б зависимости от ограниченной части ятих алгебр, он назвал их рассиреннши 1лГ —«л-гебрами (EW - аАгебры) и расширенными С* алгебрами ( В С -алгебры). Серия рвб§т П.Е.Диксона посвящена изучение связи ятих классо? ■* - алгебр с (jB> - алгебрами.

* Алгебраический подход в квантовой теории поля, заложенный в работах Х.Борхерса ■ А.Ульмана, и формулировка ;отой теории на язы-

ке представлений алгебры Борхерса положили начато развитие теории

Ор - алгебр неограниченных операторов. Среди других классов неограниченных операторных алгеб-\ Ор - алгебры выделяются рядом свойсте, которые делают их удобными для широкого круга как математических, так и Физических приложений.

Весомый вклад е развитии теории Ор* - алгебр внесли работы ДейпцигскоЯ школы во главе с Ж.."асснером.

п,вльнейший прогресс в теории алгебр неограниченных операторов связан с исследованием EW - алгебр, являкцихся синтезом Ор -алгебр и алгебр фон Неймана. А.Иноуэ построил теорию - алгебр, которая близка к теории алгебр Фон Неймана. Далее Закиров Б.С. и Чилин В.И. ввели б^ровские обобщенные Б*- алгебры ( &GB _ алгебры). Работы Б.Закирова посвящены изучению связи ^той алгебры.с H.W ' » G& - алгеблами и характеризации ятих'алгебр.

Теория ограниченных дифференцирований С.* и W - алгебр была по существу заложена Капланским. Тем не менее большого прогресса не наблюдалось до I9G5 г., когда появилась работа Кадисона ( Kadi-sor. R.V. De: ivationB of operator algebras . Ann . Liath. 83. 1966 . p. 280-293 ) послужившая толчком к быстрому развития . теории.

Изучение неограниченных дифференцирований началось недавна, она была мотивирована главным образом проблемами мг гемат;.веской Физики, г частности проблемой построения динамики в статистической механике. Основные результаты по этой теории принадлежит Робинсону Д.В. ( Robinsor D.V. Statistical accliar.:cs of q чаи tun: epir. system . CcrEun.rJath.Phys. 7 p. 3>7 - .'-i^

Дифференцирования на алгеб_ ax неограни"енкьа оперетсро? представляют собой специальный класс неограниченных ди6й«рен!Г-5рс г"" л Г-

та "W ' - ачгебре (или С. _ алгебре) ограниченных элементов исход-юй алгебры. Операторы ди£ференцирования на алгебрах неограничен-'ызс операторов (на ETsT - алгебрах) впервые были рассмотрены в аботах Иноуэ. ( Inoue A. Ota S. Derivations on algebras of unbounded operators. Trans. Amer. I.âth. Soc. V. 2 61. И 2. P. 567 - 57S ) . .

Результаты представленные в диссертации продолжают исследования в указанных направлениях.

Цель работы. Изучение порядковых и топологических свойств упорядоченных * - алгебр, в частности * - алгебр неограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве;

- исследование йордановой структуры в алгебрах неограниченных операторов;

- исследование операторов дифференцирования "а * - алгебрах неограниченных операторов. - '

Общая методика исследований. В работе используются методы теории операторных алгебр, общие методы функционального анализа и теории йордановых алгебр.

Научная новизна. В работе изучены порядковые свойства алгебр. Получена внутренней характериэация коммутативных EiW . -алгебр неограниченных операторов. Исследованы нормальные йункцио-налк на - алгебрах, в частности получен аналог теоремы Ви-

тали-Хана Сакс«.

Изучены порядковые и топологические свойства йордановых алгебр неограниченных операторов. Исследована непрерывность и про- ■ странстЕенность оператора дифференцирования на алгебгах неограниченных операторов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты и методы диссертации можно использовать для развития теории алгебр неограниченных операторов, а также при решении различных зацаг, связанных с исследованием абстрактных топологических * -алгебр.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались, на Всесоюзной школе-семинаре "Неассоциативные алгебры и их приложения" (1950, Ташкент, Сумча), на городском семинаре по функциональному анализу, в ТашГУ (1986-1992), на семинаре в Институте математики им.В.И.Романовского АН РУз. (1966-1993), на конференциях молодых ученых Института матеиатики им, В.ЩРомановского АН РУз. (1966-1991)

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в [I - б] . Работах ^4,-б} постановка задач принадлежит Ашову Ш.А., а доказательство получено диссертантом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шесть параграфов и списка литературы из 68 наименований. Общий объем работы 81 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается тема исследования, формулируются 'цели и задачи диссертационной работы и приводится обзор ее содержания.

В 51 собраны необходимые предварительные сведений и обозначения. Приведем некоторые из них.

Пусть А - множество плотно определенных, замкнутых операторов в гильбертовом пространстве % , которое является * - алгеброй относительно сильного сложения и сильного умножения, перехода

к сопряженному оператору и сильного умножения на скаляр. Л-. - называется Е¥ - алгеброй, если ^ \ +"31 ЭС. ) «А для Ос Л (где 1 - единичный оператор в Ж. ■ и подалгебра А£ ограниченных операторов из Л является "Ы алгеброй.

Пусть (А, топологическая * - алгебра с. единицей Через обозначим совокупность всех непустых С - ограниченных, - замкнутых подмножеств'В из (Д , для которых-8>

Пусть А(Ь^- * - подалгебра в А /порожденная абсолютно выпуклым множеством Е> е и Р^ - функционал Минковскс-о на .АсЕ>)» соответствующий ^ • Пара-(А называет' ся - алгеброй, если система !£) имеет наибольший элемент являющийся абсолютно выпуклым множеством, нормированное пространство ^ А ( В>р), Р^ ) - полно, и для каждого ОС € Д существует ялемент ( <5 -V ОС.*ЗС. Подалгебра А (В 0) называется ограниченной частью А . ^ Пусть ^ - всюду плотное подпространство е

Ж и Ш-

множество всех линейных операторов на Ъ со свойствами С ^ и с Л>) . Относительно кнволвцги ~ | , •

, • множество становится алгеброй опера- :

торов на ^ с инволюцией Все Ф - подалгебры (^Сй) назы-

вается # - алгебрами на ^ . Всякая # -» алгебра на ^ , содержащая тождественный оператор, называется - алгеброй на % Для # - алгебры

И- на- 40 положим Ц $ : Б ^ и ^ и

гИЬ ^ 1 аеШ "0. еЛ , где Б/ замыкание, оператора & и &("<}{.)- алгебра'всех ограниченных линейных

операторов на . О?*" - алгебра "И на^ % называется Е1\Г -

Ф ^ А

алгеброй на >5 , если

(1 ИНГ1 е. , для всех ^ 1А. к - является ЭД - алгеброй.

Результаты р2 посвящены изучению порядковых свойств О Ь ' -алгебр.

Следующий результат является обобщением известного результата

А*

Огасавары, доказанного для С - алгебр.

Теорема 2.3. Пусть 4: произвольная &Р» -алгебра, тогда

1) для любых 0. , Ь £ из (Х^-о следует, что , ДЛЯ всех оС & [0, 1] ; ^

2) если.для любых С1

из Еытекает, что

то (}В> - алгебра Л коммутативна.

Из этой теоремы как следствие получается' необходимое и достаточное условия коммутативности С" В - алгебр. '.

Следствие 2.4. Для того, чтобы

- алгебра «Л была коммутативна, необходимо и дость очно, что для любых &

иь

а? & следовало: & ^

В ?3 дается функциональное представление коммутативных Е№ -алгебр.

Рассмотрим следующий пример № - алгебры. Пусть Л. - гиперстоунский компакт, 0 - плотное подмножество Л , т.е. 0 — .

. Рассмотрим &£>* - алгебру (Л.^ всех допустимых функ-

ций на П . •

Положим

< 00 для всех ОС ^ Л о 7

Показано, что 11(510)- ЕТ^ - алгебра. С. -^"/¡ощая теоремг характеризует

- алгебры вица

о) В классе всех коммутгтив-

£

ных - алгебр.

Теогема 3.2. Коммутативная ЕМ - алгебра Ц. пзокорфаз

алгебре 1/1 (.II0) тог-;а и только то^да, когда она обладает разделяющим-семейством характеров.

Здесь же приведен пример ЕЭД" - алгебры который не имеет ни

одного характера. Это алгебра Аоенса L (0,1) = П Up (0# dL)

р*1 г

# #

Определение_ H.W- - алгебра ti называется EW^

алгеброй сметного типа, если tL¿- алгебра íoh Неймана счетного типа. '

Пусть ti коммутативная EW - алгебра счетного типа. Тогда

U = Q 00 С SI)

. где ¿L спектральное пространство

ы .

Так как tt - счетного типа, то 6 существует точный нормаль-

ный конечный след ^ . По теореме Риеса можно определить единственную положительную меру JU. на Д , так что

l¿tCL) - \ ClU) djU. Ú) .где ае^б'. ■ .

Тогда определим пространство 1ч (SL) и . Пространство

Аренса -в -^том случае определяется

= П ир(Д) •

ря

#

Теорема 3.7. Пусть Ц - коммутативная EW - алгебра счетного типа, тогда

И

изоморфна * — подалгебре алгебры Аоенса , ча некотором гиперсто.уновском компакте л. Из чтих тес рем как следствие получено разложение коммутативных EW*- йлгебр.

Следствие 3.9. Коммутативная Е W - алгебра

И

с сепара-

бельнкм спектральные? пространством разлагается в прямую сумму двух EW* - алгебр: ti -t^ ® Uj_' , гце tlj. с U, (П0)

И И, о (0,1)

В 54 исследуются нормальные функционалы на - алгебрах.

#

Теорема 4.3. Пусть - - алгебра. Для того, чтобы положительный линейный Функционал ^ был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы он был вполне аддитивен на проекторах.

Из этого результата вытекает неограниченный вариант теоремы ■ Витали-Хана-Сакса.

Теорема 4.4. Пусть -¡и) I- последовательность нормальных по-

# 1)

ложительнкх Функционалов на Е алгебре , поточечно сходящаяся к Ц) , т.е.

л(а) =. (о.) для любого а € 11 ..

Тогда - также является нормальным положительным функционалом.

В §5 исследуются йордановы алгебры неограниченных операторов,

изучается порядковые и топологические свойства -этих ачгебр.

# л

Пусть ^ - гильбертово пространство и С1™}- максимальная

Ор*- алгебга на предгильбертовом пространстве ^ .

л

Рассмотрим ррмитору часть максимальной

ир

- алгебры.

к *

В и^ введем симметрическое умножения, связанное со старый

следующим образом:

аоЬ ^(аЬ + Ьа)

г

к

При г>том получартся специальная Яосданова алгебра. Яордановы

для лгбых

- 12 -*

подалгебры Е алгебры к Сй) будем называть аор - алг. брами. В произвольной аор - алгебре t введем обозначения: А((Х,1Ь) - О. о CCLo-fe-y^ СХ^о Ь _ альтернатор эле-ментоЕ CL , (& е .. А

[CX,£>lxCt(b — ioCl коммутатор элементов (X , (о е Е . относительно обычного умножения.

Теорема 5.3. Пусть с - aôp - алгебра и следующие условия эквивалентны: . . *

1) [a.loi =0 ;

2) CL совместен с I) 1

3v А с а, Ь ) - о , A(<O,U)-Û и Acê,att)=o

ДЛЯ (X , Ь È .

Здесь же рассмотрено умножение Аренса на втором сопряженном пространстве щ - алгебры £ . Доказано Е. - с умножением *фенса является локально выпуклой алгеброй с непрерывным умножением.

Наконец в §6 рассматриваются операторы дифференцирования. . Изучаются вопросы непрерывности и пространственности дифференцирований ка EW - алгебрах, а также их равенства нулю в коммутативном случае. "

Пусть Jfc - EW - алгебра. Линейный оператор на-

зывается дифференцированием, если:

I)' S<A*) ^ ^df ;

для любых 0., è «Л

Для элемента 1(1 € Л , мы определим оператор на ¿k следующим образом:

¡V

Очевидно, ОI является дифференцированием. Такие цнфференци-

_ л

рованп называются внутренними.■ Если дифференцирование. О имеет

следущий виц:'

На),

где ц. - некоторый ъператор в гильбертовом пространстве ЭД, ,.не "бязательно лежащий в А. , то & называется пространственным, дифференцированием.

Теорема 6.2. Пусть 5 - дифференцирование на коммутативной _ алгебре Л обладающей разделяющим семейством.характеров Тогда 8=0 .

Теорема 6.3. Всякое дифференцирование 0 на

- алгебре

Ж. , непрерывно в С - топологии.

Получены условия того, что дифференцирование было пространственным.

■л-

Теорема 6.5. . Пусть Ь - дифференцирование на

ЕМ.

- алгебре

, такое, что

к(6(Ьа))| ^^пг(а*а)

для всех

а.Ье'и. '

где ^ - константа, зависящая только от & , Т - точный нормаль ный полуконе'!ный след на алгебре фон Неймана 11 ^. Тогда.существует такой симметричный оператор к на гильбертовом пространстве X . что

т.е. 6 - пространственное дифференцирование.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителя Шавкату Абдуллаевичу А1П0ВУ па постоянное внимание и большую помощь при работе над диссертацией.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

. I. Алимов A.A. Альтернаторы на йордановых алгебрах неограниченных операторов. Изв.АН УзССР. сер.физ.-мат.наук. I9ÖC. №4. ст. о-Ю. ...

2. Алимов A.A. Порядковые свойства GBT - алгебр. Док. АН УэССР. 1989. №6. стр. 3-4. . ' ф

3. Алимов A.A. Нормальные Функционалы на EW - алгебрах. Изв. АН УзССР. Сер. Физ.-мат.наук. 1990. стр. б-П.

4. Алимов.А.А., Аюпов Ш.А. Коммутативные - алгебры. I. Док.АН РУз, №1. 1992. стр. 3-5. '

5. Алимов. A.A., Аюпов Ш.А. Дифференцирования на ^tyf - алгебрах. Докл. АН БУз. №1. 1993 г. ^

6. Алимов A.A. Коммутативные - алгебры П. Докл. АН РУз. В5. 1993 г.■

ЧШРАЛАНМАГАН ОПЕРАТОРЛАР АЛГЕБРАЛАРИ ТУЗИ-ЛИШИ ВА УЛАРК1ЧГ ДИМЕКНЦШ"ШЕРАТОРЛАРИ ■

Абстракт локал цавариц алгебраларнй систематик равшда ургпниш

Арене ва й1айклнинг мацолаларида бошланди Еа бошца элимлар томонидан

*

хар хил нуктаи назардан ривожлантирилди. Дусусан Аллан ине~>лютив локал кавариц алгебралар ( - алгебралар) тушунчасини киритди. Кейинчалик- Диксон яа Иноуп чегараланмаган операторлар алгебраларини ( - алгебралар, УМ" - алгебралар) ургана ботладилар. Бу алгебраларнинг мухимлиги шундаки, улар квант майдонлари назариясида ва уыуман назарий физикада цулланиши цумкин экан.

. Диссертацияца - алгебраларнинг тартибий ва топологик хос-

салари урганшгган ва бу адгебранинг коммутатив булиши учун зарур ва отарли Сарт тотиган. Комцутатив - алгебраларнинг кчки хпрак-

теркаацияси берилган. Щунингдек £1/7 - алгебраларда нормал функцио-иаллар урганшшб, улар учун Внтали-Хан-Сакс теоренаси уцумлаштирил-ран» Чегараланмаган операторлар алгебрлларининг ассоциатив булмаган ^хшааи - негараланмзган операторларнинг Йордан алгебралари урганилиб уларда Арене купайтмаси курилгпн.

- злгебралардаги дифференциал операторларнинг хоссалари текпирилиб, уларнинг тузилиши иасалалари ечилган.

Юкоридаги натгекаларни исботлашда уыумий функционал тахлил, операторлар алгебралари назарияси Еа йордан алгебралари назарияси услуб-ларидан фойдаланилгян.

STRUCTURE ' 0? UliBOUKDED. OFSRATCB ALGEBRAS ' AND THEIR DERIVATION

Systematic study of abstract locally convex algebras was initiated' in papers of Ariris and Kichacl axul then was continued by other authors fron different points of view.

Later Dixor. and Inoue began to study algebras of unbounded * * ♦

operators. ^ G"B> - algebras, EW - algebras, - algebras^ .

These algebras has very iiaportasit applications in the quantum, f jeld theory and theoretical physics. Xii this dissertation crdcr and topological properties of (]-& - algebras are studied.

We give a functional i-presentation of cor.-.utative EW - algebras. lioriT-sl functionals on El^ — algebras are studied and Vitali - Hahn - Sake theorem is generalized. Jordan algebras of unbounded operators are studied end Arens miltiplicatior cn their second dual is constructed.. Derivations on EW - algebras are considered and the problems of th"eir spatialViess and continuity are studied

In the proof theorems we use methods of functional analysis, operator .Igebras theory and Jordan algebras theory.

Подписано в печать 3.05.93 г. Заказ Тираж Г00 экз.

Отпечатано на ротапринт» СПКБ. 700170.г Лавмнт,Володарского, 26.