Модули над кольцом обобщенных комплексных чисел и мнемофункции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Белорусский государственный университет

УДК 517.9 • < j и ]

2 9 АПР №8

Радьщо Николай Яковлевич

МОДУЛИ НАД КОЛЬЦОМ ОБОБЩЕННЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И МНЁМОФУНКЦИИ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени капдидата физикб математических паук

Минск - 1996

Рябого выполнена lia кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета

Научный руководитель ~ доктор физико-математических паук,

профессор Лптопеоич Л.В.

Официальные онпопенты

. доктор физико-математических паук, • (профессор Кондратьев В.А.

Оппонирующая организация Московский энергетически!} институт

Защита состоится " 24 4 мня 199С г. в 10 часов на заседании Совета Д.02.01.07 в Белорусском государственном университете ('220050, г.Мшкь, пр.Ф.Скорины, 4, Белгосуниверснтет, главный корпус, К.20С).

С диссортацией можно ознакомиться в библиотеке Бслгосупи верситета

Автореферат разослан " '{О " апреля 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета , доктор физико-математичес ких наук.

доктор физико-математических наук, профессор Лопушапский О.В.

профессор

Корэюк В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современную теорию линейных уравнений с частными производными невозможно представить без се фундамента — теории обобщенных функций. Однако, как отмечено самим ее создателем Л.Шпарцем, она обладает одним существенным недостатком : нельзя перемножить два произвольных распределения. А поэтому нельзя использовать этот мощнейший аппарат в нелинейных задачах. С другой стороны, квантовая физика необходимым образом требует умножения различных распределений. С третьей стороны, Л.Шварц своей теоремой "запретил" это умножение. И вот в атом, казалось бы безвыходном положении, был найден выход, который, если глубоко задуматься, дается самим Л.Шварцем. В своей теореме он говорит, что "нельзя ни в какой теории, иметь одновременно умпожепие, дифференцирование и элемент 6". Поэтому, если мы хотим решать нелинейные дифференциальные уравнения (т.е. иметь умножение и дифференцирование), намнридогся отказаться от существования 6 ф 0 такого, что х • 6 — 0. Другими словами, нам хотелось бы вложить пространство обобщенных функций в некоторую алгебру со всюду определенным дифференцированием, хотя цы заранее знаем, что элемента 6 ф 0, обладающего свойством х = 0 в этой алгебре не будет.

Первая из таких алгебр была построена в работе рижского математика Я.Б.Ливчака в 1969 году.

Следующим шагом были работы французского математика Ж-Коломбо (1983 г.). Он построил алгебру {/(П.) с дифференцированием О, которая содержит в себе алгебру бесконечно дифференцируемых функций с естественным дифференцированием ¿/(И, как подалгебру, и пространство распределений Т>'(К), как цодиросхранстьо, го есть

С°°{К) с Т>'(П) С £7(Е).

Элементы алгебры <7(К.) Ж.Коломбо назвал "новыми обобщенными функциями". Тем самым Ж.Коломбо не только построил содержательную теорию нелинейных обобщенных функций, по и частично ответил па вопрос Л .Шварца, поставленный в упомянутой иышо статье. В этой работе Л.Шварц говорит : "Я не зпаю примера всюду определенного умножения и дифференцирования

даже с 6 = 0". Однако Л.Шварц имел ввиду вложить алгебру непрерывных функций С(И) с частично определенным обычным дифференцированием в некоторую алгебру А со всюду определенным дифференцированием. Коломбо же смог вложить только алгебру бесконечно дифференцируемых функций С°°(11) со всюду определенным дифференцированием (1/<И„

и первой главе диссертации доказан общий факт, что любую абстрактную алгебр}- X со всюду определенным дифференцированием 6 можно вложить в настолько более широкую алгебру А с дифференцированием Ю, что между ними можно поместить произвольное подпространство Е, то есть

(Х,.,<£/Л)С ЕС (АО, И).

После Коломбо, известный московский математик Ю.В.Егоров (1900 г.) предложил более простую и более широкую алгебру "новых обобщенных функций" и дал различные се приложения к дифференциальным уравнениям. Конструкция Ю '3.Егорова похожа на построения Я.Б.Ливчака. Хотя в алгебре Ю.В.Егорова помещаются всевозможные пространства распределений, ультрараспределений и аналитических функционалов, она настолько широка, что умножение в ней весьма сильно отличается от "естественного". Например, произведение "супергладких" функций (жевре-евгких, аналитических и т.п.) не совпадает с обычным их произведением.

В работах А.Б.Антонсвича и Я.В.Радыно был проведен анализ конструкций вышеупомянутых авторов и был предложен общий метод построения алгебр "новых обобщенных функций" с заданными свойствами. Элементы этих объектов предложено было называть мнеыофункциями (функциями с памятью).

Мнемофункциями называются, грубо говоря, классы эквивалентных последовательностей гладких функций. Каждому распределению соответствует несколько мпемофупкций.

Используя аппарат и технику мнемофупкций, в третьей главе диссертации доказано существование фундаментального решения в алгебре мнемофункций для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Поскольку мнемофункции являются классами эквивалентных последовательностей гладких функций, то естественно рассмотреть аналогичные классы эквивалентных последовательностей

более общей природы. Такие пространства и есть объекты исследования второй главы. Они являются по только векторными пространствами и кольцами, но также и модулями над кольцами так называемых обобщенных чисел. Эти модули обобщают, с одной стороны, банаховы алгебры, в частности, алгебры ограниченных операторов, с другой стороны классы неограниченных операторов. В этой главе изучены алгебраическая и топологическая структуры модулей. Естественной оказывается здесь неархимедова топология. Построены основы спектральной теории элементов этих модулей и даны ее приложения к спектральной теории линейных операторов.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетной научной темы : "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" N 01910055396 27.29 Вел-госуниверсмтета.

Цель и задачи рабохы. Целью диссертационной работы является построение расширения алгебр о духе мпемофункций и приложение полученных результатов к исследованию дифференциальных уравнений. ' ,

Научная новизна полученных результатов.

1. Доказана теорема о существовании расширений для алгебр с дифференцированием, дающая частичный ответ на гипотезу Л.Шварца, и предложен конструктивный способ построения некоторых из таких расширений, являющихся модулями пад кольцом обобщеппых комплексных чисел.

2. Построено расширение банаховой алгебры с использованием степенной шкалы сравнения, доказаны аналоги классических теорем о спектральных свойствах элементов полученного расширения. Ввсдепа классификация регулярных точек элемента этого расширения.

3. Дано новое определение понятия фундаментального решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в алгебре мнемофункций (содержащих медленно растущие распределения). Доказана теорема о существовании фундаментального решения в смысле мнемофункций.

Основные положения диссертации, выносимые ва защиту.

1. Конструкции расширения алгебр с дифференцированием.

2. Спектральные свойства элементов банахового модуля на; кольцом обобщенных комплексных чисел, полученного расшире нием банаховой алгебры.

3. Попптие и построение фундаментального решения линейные дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1 алгебре мпемофупкций, содержащих медлеппо растущие распре деления.

Практическая значимость. Работа имеет теоретический ха рактер. Полученные результаты п дальнейшем могут быть при менсны при исследовании уравнений с обобщенными коэффици ентами, уравнений с неограниченными операторами, нелинейны; дифференциальных уравнений с частными производными.

Некоторые из результатов могут быть использованы при чте нии спецкурсов по функциональному анализу.

Публикации, апробация работы, личный вклад. В ее основ ные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертаци онной работе, получены автором лично. Из ре зультатов, опубли копаппых совместно с Гулецкой О.И., ой принадлежат результа ты, относящиеся к конкретной алгебре операторов, а результаты относящиеся к произвольным бапахоным алгебрам принадлежа' лично автору.

Основные результаты диссертации докладывались на между народных и республиканских математических конференциях.

Часть результатов обсуждалась на семинаре лаборотории те оретической физике Объединенного института ядерных исследо ваний (руководитель профессор В.Б.Присзжев), на семинар по.дифференциальным уравнениям Московского энергетическог института (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский), на с« минаре кафедры функционального анализа ¡Зелгосуниверситетс

Опубликованность результатов. По теме диссертационно работы опубликовано 13 печатных работ, из них 9 являются тезк сами докладов на математических конференцях, в том числе 3-международных.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит и введения, трех глав и списка иегюльэуемых источников, включг ющего 90 наименований. Общий объем диссертации составляв 80 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана краткая характеристика того направления исследований, к которому относится настоящая работа.

Первая глава посвящена исследованиям, которые стимулируются гипотезой Л.Шварца о том, что не существует алгебры (A,D) со всюду определенным дифференцированием D, содержащей алгебру (C(R), непрерывных функций на вещественной прямой с обычным дифференцированием gg, как подалгебру, и P'(R) (пространство распределений), как векторное пространство. Раздел 1.1 дает представление о развитие понятия функции, там же дастся обзор основной литературы по теории обобщенных функций.

Раздел 1.2 носит вспомогательный характер. Здесь кратко напоминается суть гипотезы Л.Шварца и формулируется теорема Л.Шварца.

Здесь же формулируется основной результат, полученный в работе А.В.Антоновича и Я.В.Радыно. В разделе 1.3 формулируется и доказываемся общая теорема о расширении алгебр с дифференцированием. . .

Теорема 1.3. Пусть X - любам коммутативная алгебра со всюду определенным дифференцированием d, Е - любое векторное пространство такое, что X Q Е. Тогда существует коммутативная алгебра А и линейное вложение Е в А такое, что X вкладывается как подалгебра и D\x = d, причем kerD= kerd.

Требование того, что ядро дифференцирования на более широкой алгебре А совпадало бы с ядром дифференцирования на алгебре X, естественно с такой точки зрения, что ядро дифференцирования на Co°(R) совпадет с ядром дифференцирования на пространстве обобщенных функций Ï>'(R).

Наша цель - получить достаточно широкую алгебру Xs. содержащую X, в которой всюду задана операция дифференцирования. То, что такая алгебра существует, следует из теоремы 1.2. В разделе 1.4 описывается способ эффективного построения расширения любой локально выпуклой алгебры X но произвольной шкале сравнения S. Под шкалой понимается линейно упорядоченное семейство функций, заданных на N. В конце раздела доказывается

Теорема 1.4. Для любой локально выпуклой алгебри X и любой

шкалы сравнения Б, удовлетворяющей условиям :

а) для любых /,д 6 5 существует элемент Н такой, что/ • д -С Л

б) для любых /, Л € 6' существует элемент д такой, что/ • у -С /»

ма векторном пространстве Х.ч определена естественная операция умножения, алгебра X является подалгеброй алгебры и любой непрерывный оператор Ь : X —» X порождает оператор Ьц : Х.<,- —> А'«,'.

Далее, предложен иример расширения алгебры бесконечно дифференцируемых 2х периодических функций. В результате применения теоремы 1.4 полечена алгебра, называемая алгеброй 2тг-периодичсских мпемофупкций и которая, как оказалось, содержит 2тг периодические распределения.

Описанный способ расширения произвольной локально выпуклой алгебры X и сама расширенная алгебра становятся особенно наглядными, когда X банахова алгебра. Этому-то и посвящена глава 2 предлагаемой диссертационной работы, то есть изучению свойств получеппого расширения X* по бапаховой алгебре X. В разделе 2.1 вводятся понятия обобщенных комплексных чисел, обобщенных нормированных пространств и псевдонорма.

Пусть X нормированное пространство над полем комплексных чисел С. Для каждого т € Ъ обозначим: Х'"1' = 100(Х;к~т) пространство последовательностей х = (х*),Хк 6 X, таких, что

вир||х4||.Л-"<+оо. (2.1)

1>1

Множество Х'т1 с покоординатным сложением и умножением на комплексное число является нормированным пространством с нормой (2.1), и оно банахово, если таким является X. Справедливы вложения вместе с топологиями

... С Х1"'-11 С X1'"1 с х1т+1) с...

Введем следующие пространства :

_ хИ, _ д'Н? х\ — х'^'/Х'"^ к^х кел

Если X нормированная алгебра (в частности, банахова), то Х'1+ос1 и являются алгебрами с покоординатным умножени-

ем, причем Х'-00' есть идеал в Х'+ос'. П атом случае X« является алгеброй.

Если X — С, то получим кольцо С», которое будем назызать кольцом обобщенных чисел, R, будем называть кольцом обобщенных действительных чисел. Если х = (.т^) € Л-'"1"00', то класс эквивалентности в X», содержащий элемент х, будем обозначать [я].

Поле комплексных чисел С вложено d кольцо С, естественным образом :

СэА —[(А, А,...А,...)]€ С.

Если определить умножение [А] = [(А*.)] 6 С» на [я] = [(zi)] 6 X,

как

[А] • [z] = [(А^)],

то пространство X, превращается в С. модуль, на котором задана операция умножения, если А' была алгеброй. Заметим, что на X, можно просто смотреть как на алгебру над полем комплексных чисел С, поэтому мы и называем ниже. X, алгеброй.

Определение 2.4. Элемент А = [(А*)] 6 С» будем называть неотрицательным и писать А > 0, если имеется представитель (А',, А'2,...) в А такой, что \'к > 0 для всех к. Элемент А 6 С» будем называть положительным и писать А > 0, если А > 0 и А обратим в С,.

Так как X* является С,- модулем, то естественными отображениями будут отображения из X, в С,.

На А", определим функцию формулой .

|| • ||, : А. Э X = [(**)] — Р||. = KIMÎ)] 6 С,.

Эту функцию мы называем псевдонормой. Мы используем только что введенные понятия в определении топологии на А,.

В разделе 2.2 описывается топология на А„ порожденная псевдонормой. Сначала дастся определение.

Определение 2.5. Открытым шаром с центром в точке ¿о € А, радиуса 0 < г € R» в (Х„ || • ||.) будем называть множество

Щ£0,г) = {х G А, : ||х-хо||» < г,г >0}

Множество U С X, назовем открытым, если для любого х0 € U существует f G R,, г > 0 такое, что В(х0, г) С U.

Предложение 2.4. Таким образом определенное семейство открытых множеств задает отделимую топологию на Xt.

Раздел 2.2 заканчивается доказательством следующей теоремы, являющейся аналогом одного из базовых утверждений теории банаховых алгебр.

Теорема 2.1. Пусть X - банахова алгебра, х € X, и ||í||» < 1. Тогда элемент у — с — х обратим в Аг», где с единица в X. Более того, множество обратимых элементов JV"1 алгебры. Xt открыто, в Xt v переход к обратному х —» х"' является непрерывным отображением.

В разделе 2.3 рассматривается неархимедова топология на Х„ доказывается утверждение, что топология, порожденная псевдонормой и неархимедова топология совпадают. Более того, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть X - банахова алгебра. Тогда X, является банаховой неархимедо'вр нормированной С, - алгеброй и спектр любого элемента замкнут, непуст в С,.

Под С» алгеброй мы здесь понимаем С, модуль с операцией умножения.

Вся же вторая глава заканчивается рассмотрением модельных примеров обобщенных операторов Х„ где в качестве X выбирается некоторая алгебра ограниченных операторов, заданных на пространстве непрерывных функций.

Сначала мы покажем как наша конструкция алгебры X, позволяет описывать неограниченные операторы.

Промер 2.1. Рассмотрим последовательность ограниченных операторов, заданных на пространстве непрерывных функций С[0,

Д,х(<) =nx(t) - n2 f x(s)en('-,)d».

Jo

Последовательность операторов А„ будет задавать некоторый элемент А из Xесли в качество X взять .алгебру ограпичеп-ных операторов на пространстве С[0,1]. Пусть оператор А — djdt с областью определения

П(А) = {*(«) 6 С1 [0,1]: ®(0) = 0} .

Тогда последовательность операторов Ап сильно сходится к оператору А. Поэтому можно считать, что элсмепт A 6 X, (мы будем называть его обобщенным оператором), порожденный последовательностью А„ ограниченных операторов, является одним из элементов из Xt, который соответствует неограниченному оператору А.

Спектр оператора А пуст в С. Так, существование обратного

оператора к А — XI эквивалентно разрешимости задачи Коши

u'(t) — ku(t) = f(t), ы(0) = 0.

Согласно же нашей теореме 2.2 спектр обобщенного оператора А не пуст в С«. Например, в него попадает обобщенное комплексное число, порожденное последовательностью Л„ = п, поскольку спектр оператора А„ состоит из одной точки п.

Теорема 2.4; Спектр А содержится во множестве таких об-o6vt,cnnux комплексных чисел fi, имеющих своими представителями последовательности /(„, которые обладают одним из следующих свойств:

последовательность п — ;î„ задаст обобщенное комплексное число, которое является необратимым е'С»; последовательности цп такова, что

(" 2(n + ci + cjlnn))|- 2(n + c, + cslnn)' °иС*~

константы.

Пример 2.3. Рассмотрим пример, демонстрирующий свойство разрывности спектрального радиуса. Такой пример впервые построил Какутани, более простая его конструкция предложена в книге Л.Б.Лнтоневича. Этой конструкцией мы и воспользовались.

Возьмем две последовательности ограниченных операторов, действующих в пространстве С(Б) непрерывных па окружпости радиуса 1/2л- функций. Для этого рассмотрим две последовательности непрерывных, периодических, с периодом равным 1, функций.

пх, х 6 [0,1 fn] пп{х)={ 1, .г € [1/п, 1-1/п] п(1-.т), т € [1 — 1/п, 1].

Ьп(х) =

0, х € [0,1/п2] -п2х[(п - 1) - 1/(» - 1), х в [1/п2,1/и]

1, х е [i/n, 1 — 1/п]

n(i-i), I ell-1/п,il

Тогда искомые операторы

Ah,nu(x) = а„(х)и(х ■+ h), Bh,nu(x) = bn(x)u(x -f h).

Для любых, но фиксированных neNn/i6R\Q спектры операторов Ahtn и BhlU, соответственно,

с(4,„) = {Аб С:|А|<-^}, v[Bh,n) — {0},

причем ||А*,„ - Bh,„ || =, \jn.

Операторы Аи,п и Bh,n "близки", однако, их спектры "сильно" отличаются друг от друга.

Если в качество X взять алгебру ограниченных операторов в C(S), то последовательности и (Bh>n)%Li будут задавать

некоторые обобщенные операторы Ak,Bh € X*. Каковы будут спектры a(Ah),o(Bh) и резольвентные множества p(Ah), p(Bh) операторов Ah,Bh в смысле Х,1

Наиболее интересен обобщенный оператор Вн- Так оператор обратный к А/ — Bh,n можно записать явно, Л ф 0

(XI - Bh,n) '«(х) = \ («(*) + ^ • «(х + /*) + ...

где N - минимальное натуральное число, для которого

М1) • + ft)... Ь„(х + Nh) = 0.

Оказывается ЛГ будет зависеть от длины интервала, на котором Ьп(х) = 0, то есть зависеть от п. Более того, число N будет зависеть от того, каково число Л, насколько быстро оно приближается рациональными числами.

Сформулируем теорему, являющуюся итогом наших вычислений в примере 2.3.

Те >ема 2.6. Если иррациональное ■число h конечного типа, то в спектре обобщенного оператора В/,, порожденного операторами взвешенного сдвига Bh,n> содержатся те обобщенные комплексные числа А € С*,у которых существуют представители А„, обладающие свойством, что для любого е > 0, е £ R

Йп| < 1 — е, Для всех п.

Когда вместо произвольной локально выпуклой алгебры X, в выше упомяпутой теореме 1.4, рассмотреть алгебру <S(R) бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций, то это приводит к конструкции алгебры мно.мофупкций G(S), па которой задается преобразование Фурье. К тому же, алгебра G(S) будет содержать медленно растущие распределения <S'(R). А как хорошо известно, для последних верна теорема о "делении" на полином и теорема о существовании медленно растущего фундаментального решения для дифференциального оператора с посто-яппыми коэффициентами, доказаппые Л.Хсрмапдсром. Глава 3 посвящена вопросам возможности "делении" на полином в алгебре выше упомянутых мнемофупкций, а также понятию "фундаментального решения" для диф ,>сренциального уравнения с постоянными коэффициентами с точки зрения этих мнемофункций.

Определение 3.1. Будем говорить, что мнемофункция и £ G(S), имеющая в качеств? представителя последовательность и„, ассоциируется с распределением / из <5'(R), если и„ сходится к / в топологии 5'(R).

Легко видеть, что различные элементы из алгебры мнемомо-фупкций G(S) могут ассоциироваться с одной обобщеппой фупк-цией из S'(R). Например, следующие последовательности определяют различные элементы, которые будут ассоциироваться с функцией Дирака :

Определение 3.2. Все мпемофупкции из С(5), которые ассоциируются с 6 -функцией Дирака, будем называть й -мнемофункцилмь Пусть дано уравнение Г(и)Е - 6, где Г{0) = Х3|а|<го " дифференциальный оператор т-го порядка, который получается из полинома Р(£) заменой переменных на а щ = »Оу; 6 функция Дирака.

Если рассмотривать указанное выше уравнение в алгебре мнемофункций, то не совсем понятно, какую мнемофункцшо следует ставить вместо 6, поскольку 8 функции Дирака соответствует много различных элементов из этой алгебры, то есть много различных Ь мнемофупкций.

Определение 3.3. Будем говорить, что мнемофункция Е явля ется фундаментальным решением для некоторой 6 мнемофункции

в G(S), если Е удовлетворяет уравдешно

P(D)E = 5 в G(S)

Оказывается, не для всякой S -мнемофуы.ции, существует фундаментальное решение уравнения P(D)E <=■ 6 в G(S).

Определение 3.4. Обозначим через В(Р) множество всех 6 -мнемофункций, которые обращаются в нуль в вещественных корнях полинома P(f). Иначе говоря, для мнемофункции а из В{Р) существует представитель (ст«)^ € сг, такой, что его преобразование Фурье обращается в нуль а„ (А) = 0 в корнях полинома -Р(£) и если Л - корень кратносСй / > 2, то

ffW(À) = 0, fc= 1,2,.../-1.

Лемма 3.2. Множество В(Р) непусто.

Теорема 3.2. Уравнение P(D)u — <5 имеет фундаментальное решение в G(S) для некоторой фиксированной à -мнемофункции тогда и только тогда, когда 6 -мнемофункцья принадлежит множеству В (Р).

Если такое решение существует, то оно единственно.

Отметим, что проблема деления на полином, имеющий вещественные корни, в том случае, когда решение уравнения P(D)u — Ь шцух в 'P'(ït") решается цутем обхода корней в комплексной области. Строится так называемая " лестница Хермандера". А именно, справедлива формула Хермандера Трсва для фундаментального решения

(Я,¥>) = 77ГТ- / Ш-е^1^ Я - "лестница Хермандера", Я с С". \**Г JH Щ) •

В нашем случае, мы подбираем такую последовательность 6п(х). "лабо сходящуюся к S - функции Лирака, с тем, чтобы ее преобразование Фурье ¿>„(£) обращалось в нуль в вещественных корнях полинома, на который нам нужно разделить.

В заключение, пользуясь возможностью, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Б. Антоневцчу за постановку задачи, поддержку и'внимание к работе.

выводы

При рассмотренных конструкциях расширений алгебр, возникают алгебры, которые имеют структуру модуля над некоторым кольцом так называемых "обобщенных комплексных чисел". Такая структура позволяет использовать, в качестве спектрального параметра обобщенные комплексные числа и перенести основные положения спектральной теории на рассматриваемые алгебры. Такой подход позволяет по новому взглянуть на некоторые "ч классически« вопросы теории операторов (спектр неограниченного оператора, разрывность спектрального радиуса) и теории дифференциальных уравнений (построение фундаментального решения).

Итак, основные результаты, которые выносятся на защиту :

1. Конструкции расширения алгебр с дифференцированием.

2. Спектральпые свойства элементов бапяхового модуля над кольцом обобщенных комплексных чисел, полученного расширением банаховой алгебры.

3. Понятие и построение фундаментального решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в алгебре мнемофункций, содержащих медленно растущие распределения.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ АВТОРА, ВЫПОЛНЕННЫХ НО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. О фундаментальных решениях линейни.» дифференциальных уравнений в алгебре мнемофункций, содержащих медленно

, растущие распределения, Доклады российской академии наук, в иечати.

2. On a geacial spectral theory of the Bauacb modules, Lecture Notes iu Mathematics, (совместно с Гулсцкой О.И.), в печати.

3. К общей спектральной^теории банаховых модулей, Доклады российской академии наук, 1995, том 343, N 1, стр.7-9 (совместно с Гулецкой О.И.).

4. Алгебры новых обобщенных периодических функций, Доклады академии наук Беларуси, 1992, том 36, N 7-8, стр.585-588 (совместно с Мазель М.Х.). ,

5. К вопросу о расширении алгебр с дифференцированием, Материалы международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление"(16-20 ферваля 1996), посвященная 90-летщо со дня рождения академика Ф.Д.Гахо-ва, стр.78-79,'Минск, 1996.

6. О некоторых свойствах банаховых модулей в общей спектральной теории, Материалы Межгосударственной научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (16i20 мая 1994), стр.270-271, Минск, 1994.

7. Гпименение мнемофункций к исследованию уравнения Шре-дмнгера с 6 потенциалом, сосредоточенным на прямой, Материалы международной математической конференции, посвященной 25-лстию Гомельского университета имени Ф.Ско-рины "Проблемы математики и информатики". Часть I. Фундаментальные проблемы математики, стр.160, Гомель, 1994.

8. On generalization of the unbounded operator, International Conference "Different Aspects of Differentiability" (13-18 September, 1993), Abstracts, Warsaw, 1993.

9. Об одном обобщении неограниченного оператора, Тезисы докладов весенней воронежской математической школы "Пон-трягинские чтения-1У', посвященной 85-летию со дня рождения Л. С.Понтрягина (3-8 мая 1993), стр.157, Воронеж, 1993.

10. К гипотезе Л.Шварца о расширении дифференцирования, Тезисы докладов 6-ой конференции математиков Беларуси. Часть 2 (29 сентября - 2 октября 1992), стр.115, Гродно, 1992.

11. Задача Э.Бореля для новых обобщенных периодических функций, Материалы международной конференции, посвященной акдемику М.П.Кравчуку, стр.171, Киев, 1992 (совместно с Тузиком С. А.).

12. Новые обобщенные 2х периодические функции, Материалы 49-й студенческой научной копферепции БГУ (апрель-май 1992), стр.48, Минск, 1992.

13. Вложение периодических обобщенных функций в алгебры, Материалы Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молоДежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (18-22 мая 1992), стр.207-208, Минск, 1992.

РЕЗЮМЕ Радыно Николай Яковлевич

Модули над кольцом обобщенных комплексных чисел и мнемофункции.

Ключевые слова : обобщенные функции, алгебра с дифференцированием, банаховы алгебры, модуль над кольцом, обобщенные комплексные числа, спектр, мнемофункции, фундаментальное решение.

Доказана теорема о существовании расширений для алгебр с дифференцированием, Дающая частичный ответ на гипотезу Л.Шварца и предложен конструктивный способ построения некоторых из таких расширений, являющихся модулями над кольцом обобщенных комплексных чисел.

Построено расширение банаховой алгебры с использованием степенной шкалы сравнения, доказаны аналоги классических теорем о спектральных свойствах элементов полученного расширения.' Введена классификация регулярных точек элемента этого расширения.

Лаво новое определение понятия фундаментального решения дифференциального уравнения с постоянными х;оэффициснтами в алгебре мнемофу-икций, содержащих медленно растущие распределения; доказана теорема о существовании фундаментального решения в смысле мнемофункций.

РЭЗЮМЭ Радыва Мша лай Якаулев1ч

. , Модул! над кальцом обагульненых

каьгалексныг лшау й мнемафункцыь

Шг^чавыя словы: абагульненыя функцьп, алгебра здыферэн-цаванцем, банаховы алгебры, модуль над кальцом, абагульненыя камплексныя лш, спектр, мнемафункцн, фундаментальнас рашэн-не.

Даказана тэарэма .аб ¡сиаваяш пашырэпня ^ля алгебр з ды-ферэнцаваннсм, якая дао частковы адказ на гшотззу Л.Шварца 1 праланаваны канструктыуны спосаб пабудавання некаторых з тамх пашырэнняу, пын будуць модулти над кальцом абагульне-ных Л1кау.

Пабудавапа пашырэпис б&нахавай алгебры з выкарыстаннем стуненеаай шкалы парауняння, даказаны аналаг! клаачных тэар-з>м аб спектральных уласцшасцях элементау птрыманага пашыр-эння. Уведзепа кяаафюащя регулярных пунктау элемента гатага иашырэння.

Ладзена новае азцдчэпне паяядця фундамептальпага рашэн-ня дыферепцыпльпага ypaynnmm з пастаяпным1 каэф!цигптам1 у алгебры мпемафункцШ, яыя змяшчаюць аавольна ^зрастальныя абагульпепыя фупжщл. Даьаэапа тчарэма аб icminnnni фундамеп-тальнага рашэния р сэпсс мпемафупкщП.

SUMMARY Radyno Niko.ii Yakovlevich

The modulies on the ring of the generalised numbers and mnemofunctione.

Key \vord3 j the generaliml fuuctiou, ati algebra with a differentiation, the Dnnacli algebra, a module on a rinft, the generalized complex number, a sped nun, uuH'tnofiiuctioim, a fundamental solution.

The theorem about existence oi extensions for the algebras with differentiation is proven. It gives the partial answer to L.Schwartz's hypothesis. The method of construe tiou some of such extensions is offered so that, these extension* will be a modiilen on the ring of the generalized complex numbers.

The extension of n Bannrh algebra is constructed by usinR the power scale of a comparison. Analogues of the classical tLeorents about U;e spectral properties of an elements of this extension are proven. Classification of regular points of nil element of this extension is proposed.

New definition of the concept of the fundamental solution of the differential equalion with constant coefficient* in the algebra of rnucmo-functions which contains tempered distributions is given. The theorem about existence of the fundamental solution in sense of imiemofimctiouH is proven.