Трансцендентность и теория двойственности модулей над кольцами многочленов положительной характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.687+511.36+511.66

ДУБОВИЦКАЯ Наталья Викторовна

ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ МОДУЛЕЙ НАД КОЛЬЦАМИ МНОГОЧЛЕНОВ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1990

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

НАУЧНЬЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - кандидат физико-математических

наук, доцент ПАНЧИШКИН Алексей Алексеевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор фиэико-математическмих

наук НИКУЛИН Вячеслав Валентинович, кандидат физико-математических наук ГЛАВАЦКИЙ Сергей Тимофеевич ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Ленинградский университет

Защита диссертации состоится " " ^^_1990г.

в /& час. на заседании специализированного Совета N2 по математике (Д. 053. Об. 05) при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу:

Москва. 117234, Ленинские Горы, МГУ им. К. Е Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического фа.- /льтета ИГУ.

Автореферат разослан " / " •/&_1990г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор фиа. -мат. наук

ц

Чл

- / ^ В. Я Чу5арикоп

ОБЩАЯ ХАРЛКТЕРИСТККА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Аналогия между числовыми н функциональными долями активно использукггся как в задачах алгебраической геометрии, та!« и в задачах алгебраической теории чисел. Так доказательство гипотезы Риы&ча для дзета-фуикций глобальных функциональных полей Сыто ус пето применено для оценок тригоноыетрических сум:,!.

Одним из центральных понятий в теории функциональных полей положительной характеристики является понятие эллиптического модуля, введенное Е Г. Дринфздьдом'^ и использованное для

2)

явного построения теории полей классов функциональных полей , а такжэ для доказательства гипотезы Лзкглендса о соответсвни ыещу автоморфными представлениями группы ВЦ 2) и двумерными комплексными представлениями Галуа основного поля Ч

Эллиптические модули являются аналогом эллиптических кривых н допускают как чисто аналитическое описание с поющыи рч-вегок - дискретных модулей над кольцом регулярных функций,-тй1с и алгебраическое описание с помощью морфизма Фробениуса, которое позволяет определить рациональные эллиптические модули, аналогичные эллиптическим кривым, - заданным уравнением с

1) Дринфедьд Е Г. Эллиптические модули // Цате и. сборник. 1974. ' Т. 94. С. 694-627.

2) Hayes О. Analytic olass number formulas in global function fields// Inv. Math. 1981. V-ББ. P. 49-69.

3) Лринфзльд E Г. Доказательство гипотеэы Петерсона для функциональных полей // УИН. 1977. Т. 32, Н2. С. 209-210.

рациональными коэффициентами.

В диссертации изучается арифметические свойства аналити ческих функций, периодических относительно решеток, ствечаяц рациональным эллиптическим модулям. Кроме того, строится тео рия двойственности локально компактных модулей над кольцом р гулярных функций, в которой дуализирующим модулем является а липтический модуль ранга 1.

Дальнейшее развитие результаты диссертации получили в I 4)

де работ .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Первый раздел диссертации (главы I — 11> посвящен доказательству общзй теоремы о трансцендентности пэрг доб решеток, задающих рациональные эллиптические модули, чтс является аналогом классического результата Зигеля . Устанаг ливаюгся также свойства трансцендентности специальных зкачег экспоненциальных функций рациональных эллиптических модулей.

Второй раздел диссертации (глава III) посвящен построе! теории двойственности локально компактных модулей над кольце регулярных функций. Помимо доказательства основной теоремы < существовании двойственности устанавливается структурная те< рема и дается описание основных топологических классов моду, из данной категории.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации испольэуотс: метода теории аналитических функций над неархимедовыми ноля;

4) Yu J, Transcendence and Drinfeld modules // Inv. Math. 19

V. 83. P. 507-617. 6) Slogel C. L. Transcendental numbers // Annals of Math. Stu 16 (Princeton, 1949).

и методы теории топологических модулей над дискретными кольцами.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты.

1) Доказана трансцендентность над основнш полем рациональных функций специальные значений экспоненциальной функции рационального эллиптического модуля.

2) Доказана трансцендентность над полем рациональных функций периодов реветки, связанной с рациональным зллиптичес-киы I»дулеи специального вида

3) Доказана теорема о существовании двойственности для локально компактных А-иодулей, где А-Т^СТ!, ^ - конечное поле из а элементов.

4) Доказана структурная теорема для точных локально компактных А-модулей.

6) Введено понятие А-свяэности топологического А-модуля и установлено соответствие шжду А-связньш модулями и модулями без кручения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут Сыть использованы в теории глобальных полей положительной характеристики, неархимедовом анализе, топологической алгебре и алгебраической теории чисел.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЕ Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Теория трансцендентных чисел и ее приложения" (1983г.), на научно-исследовательских семинарах по алгебре и теории чисел в МГУ и ЛОМИ АН СССР.

ПУБЛИКАЦИИ. По теш диссертации опубликовано 4 работы [1-4].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав, объединяющих 13 параграфов. Список литературы содержит 47 наименований. Объем диссертации 89 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе, носящей,в основном, вводный характер, излагаются необходимые для дальнейшего сведения из теории глобальных полей положительной характеристики. В § 1 дано определение глобального поля к характеристики р>0 как паля рациональных функций на гладкой неприводимой проективной кривой С над конечным полем констант Р^ , д-р"", приведено описание точек поля к, свойства его кольца аделзй и группы вделей. В §2 дано алгебраическое определение эллиптического модуля как гомоморфизма колец

^ : А —* К {?'>,

где А - кольцо функций, регулярных вне фиксированной точки <*» глобального поля к, К - поде над А, 9": г I—► г ^ - эндоморфизм йробениуса. Далее определяются ранг эллиптического модули, шрфиэм эллиптических модулей, схемы точек деления, а таккэ модуль Тзйта.

Следующий параграф посвящен аналитическому описанию эллиптического модуля. Вводится поле 12. - полное и алгебраи-

чески замотутоэ расширение к. С произвольной А-ре сеткой (дискретным конечно порожденным А-модулем) L в пола Л связана целая аддитивная функция о. (2):

е (2) - z

ТТ

( 1 -

о-ыеь

сХ

2

)

- экспоненциальная функция А-решэтки L. Положив

ifa ( ) - eL(az)

для а 6 А, получаем гомоморфизм tp : А—(а>-><^), задащий эллиптический юдуль (р . Справедлива теорема о взаимно однозначном соответствии шлду А-реиетками ранга г в ■и. и л-г'сду'ями панга г над 12.. Приводит-

ся важный пример эллиптического иодуля ранга 1 - модуль Карлица ^ : А —> k < Т У, где А - F^ СТЗ, к - Fq (Т). с условием ■ v|/ - Т У0- 9* ; дано явное описание решетки, от-вечашей этому шдула

В ^4 определение эллиптического' но дуля над полем распространяется на случай произвольной А-схемы S (вместо S- Spec К. где К - поле над А). Дано определение и приведены некоторые свойства модулярных многообразий как универсальных алгебраических семейств. Точки этих семейств над к отождествляются с рациональными эллиптическими А-модулями.

Глава II посвя!щзна доказательству теорем трансцендентности для рациональных эллиптических модулей А —» k< Т >,

где А - СТ], к - С ТЗ - В доказывается условие трансцендентности над полей к суммы ряда с коэффициентами из к, которое обобщает теорему Уэйда Доказательство проводится от противного. Именно, предположение об алгебраичности над к суммы рассматриваемого ряда влечет равенство нулю некоторого ряда с к-рациональными коэффициентами. Если домножить этот ряд на подходящий множитель, то он разобьется на две части так, что одна принадлежит А, а члены другой имеют отрицательные степени. Доказательство того, что сумма первой части не равна нулю, приводит к противоречил.

В $2 выводятся явные формулы для коэффициентов разложения в ряд экспоненциальной функции эллиптического модуля, которые доказываются, исходя из рекуррентных соотношений, вытекающих ив равенства е^(Тг) - <рт( «^(г)).

Результаты §1-2 используются в следующем параграфе для доказательства теоремы о специальных значениях экспоненциальной функции рационального эллиптического модуля.

1ЕОРЕШ. Пусть Ц: А —* к { У > - эллиптический модуль ранга г, е^(2) - соответствующая экспоненциальная функция. Тогда если г<я, то для всех °< € к, о( / 0, транс-

ценденгно над к.

Доказательство теоремы основано на оценке степеней коэффициентов разложения в ряд функции и использовании условия трансцендентности из

Простым следствием этой теоремы является утверждение об

6) Wade L. I. Certain quantities transcendental over GF(p ,x) // Duke Math. J. 1941. V.8, N4. P. 701-720.

иррациональности периодов решетки, отвечающей рациональному эллиптическому модулю ранга . г<ч.

В § 4 установлена теорема о трансцендентности периодов решетки рационального эллиптического модуля специального вида.

ТЕОРЕМА. Шриоды решетки эллиптического модуля : А —» к {!?}. заданного условием

- Т 3*°+ кг<Уг , Аге к. Аг + О

трансцендентны над к.

В доказательстве используется та жэ идея, что и в доказательстве условия трансцендентности из §1. Используется также ряд технических лемм.

Для эллиптических модулей ранга 1 это было установлено Уэйдом.

Глава III посвятена построений теории двойственности для аокально компактных А-модулей, где А - ^ Г И, которая являлся вариантом двойственности Понгрягниа''^ Дуализирующим молу-кем в этой теории является эллиптический модуль ранга 1 Бд -- Л. где к^- ((Т~1)) - пополнение поля к в точке со. в дано определение функториальной двойственности в категории Хк локально компактных модулей над дискретным томыутативным кольцом И. Вводится категория £д для А -• СТ], определяется характер топологического А-модуля М сак непрерывный гомоморфизм ц : М —» Б д и топологический юдуль характеров Я

') Понтрягин Л. С. Нэпрерывныв группы // и.: "Наука". 1084.

В следувдзм параграфе рассматриваются пряызры локально компактных А-модулей, а именно модули А, Бд. к^, конечный А-mдуль Z, k v - пополнение поля к в точка v 4 оо • дается описание шдудей характеров этих модулей. Доказывается теорема о сашдвойствеиносги непрерывного (недискретного локально компактного) поля над А. Вводится понятие элешнтарно-го до дуля как конечной прямой судаы модулей A, Z, SA и к^. В ^ 3 доказывается основная теорема двойственности для

категории 7д точных локально компактных модулей, утверждал

Сй5эя, что естественный гомоморфизм W: Ы —> М ( to(x)(M) -- Ц (х) для кб М, W) является изоюрфизиои. Доказательство этой теореш опирается на ряд других теореи и утверждений. Приведем формулировки некоторых из них.

ТЕОРЕЫА (П. 3.1). 1) Если МеХд, то Ые^д, 2) Если а

М дискретен, то М гашактен, и наоборот, еслзг М компактен,

✓л.

то М дискретен.

ТЕОРЕЫА (п. 3.3). Цусть U £ и пусть И- подшдуль, j. л

в II Тогда 4? - Ann НСМ является шдулем характеров для М / Н.

ТЕОРЕМА (п. 3.6). Пусть M«£JC. и пусть Н - открытый подшдуль в М, ф - Ann Н с: м. Тогда И / Ф является иоду леи характеров для Н.

Следующий параграф посвящай структурной теории модулей из ТА . Ряд вспомогательных лемм позволяет доказать следующие . утверждения.

TE0PEUA (п. 4.1). Из дуль М из компактного проис-

хождения распадается в прямую сушу компактного подмодуля и элементарного подмодуля.

ТЕОРЕМА (п. 4 9). Произвольный модуль из Т^ представляется в виде

М - ^ © М^ ,

где М,^ содержит такой компактный подмодуль Н , что И1 / И дискретен.

Отметим, что с топологической точки зрения все рассматриваемые модули вполне несвязны. Однако, можно выделить класс модулей, аналогичных связным аболевым группам. В $ б вводится следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Шдуль называется А-свяэным, есл1! он порождается любой своей окрестностью нуля. .

Вполне А-цесвяаным модулем назовем модуль, у которого в любой окрестности нуля содержится некоторый открытый подмодуль. Назовем А-компояентой нуля пересечение всех открыть« подмодуля ладного модуля. Примерами А-связних модулей является модули S^, примером вполне А-несвязного модуля мокег служить поле ку. В качестве нетривиального примера А-связного компактного модуля рассматривается модуль кд/ к (А-соленоид), где к д - кольцо адеяей поля к.

Основным результатом параграфа является следующая

ТЕОРЕМА (п.б. 3). Пусть М е - компактный модуль. Ы - его модуль характеров. Пусть Р с $ - подмодуль элементов А-кручения. Тогда Ann Рс М является А-компонентой нуля в ■I В частности, М является А-связным тогда и только тогда, тогда Р - 0; М вполне А-неевяэен тогда и только тогда, ко-

А

'да Р - М.

Эта теорема мотет быть "обобщена на произвольный локально

компактный модуль из , если вместо элементов А-кручэ-

ния рассматривать компактные элементы (элемент х называется компактным, если мнокество Ах компактно).

ТЕОРЕМА (п. Б. Б). Пусть М€ Зд. M - модуль характеров модуля М. В с: и - подмодуль компактных элементов. Тогда . Q - Апп В - А-компонента нуля в M В частности, M является

✓s

Д-связным тогда и только тогда, когда в M нет компактных

элементов; M вполне А-несвязен тогда и только тогда, когда

!

все элементы в Ы компактны. j

Принопу глубокую благодарность моему научному руководителю А. А. Панчишкину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Ю. К. Панину и R Г. Дринфельду ва ценные советы и полезные обсуждения.

РАБОТЫ АВТОРА ГО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дубовицкая ЕЕ Трансцендентность периодов эллиптических модулей // Всесоюзная конференция "Теория трансцендентных чисел и ее приложения". Тезисы сообщений. 1L 1983. С. 36-37.

2. ДуОовицкая Н.В Трансцендентность аналитических параметров рациональных эллиптических модулей // Штем. сборник. 1985. Т. 126. С. 131-141.

3. ДуОовицкая Н. В. Двойственность Понтрягина над кольцами многочленов // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Львов, 1987. 4.1. С. 90.

4. ДуОовицкая Е В. Теория двойственности модулей над кольцами многочленов // Двп. в ВИНИТИ . 27.12.89, N 7676-В89.