Характеристические многочлены разностных модулей и расширений разностных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава I Предварительные сведения.

§1.1 Основные соглашения и обозначения.

§1.2 Целозначные многочлены

§1.3 Градуировки и фильтрации

§ 1.4 Дифференцирования. Модули дифференциалов и модули кэллеровых дифференциалов

§1.5 Некоторые основные понятия разностной алгебры

Глава 2 Характеристические многочлены разностных и инверсных разностных модулей и их инварианты

§2.1 Теорема о характеристическом многочлене градуированного разностного модуля

§2.2 Характеристические многочлены фильтрованных разностных модулей

§ 2.3 Определение и некоторые свойства разностной размерности.

§2.4 Инверсные разностные модули

§ 2.5 Теорема о характеристическом многочлене фильтрованного инверсного разностного модуля. Инверсная разностная размерность

§ 2.6 Тип и размерность разностных и инверсных разностных векторных пространств

Глава 3 Разностные размерностные многочлены расширений разностных полей

§3.1 Теорема существования разностного размерност-ного многочлена для сепарабельной отличной фильтрации разностного расширения

§3.2 Метод вычисления разностного размерностного многочлена конечно порожденного разностного расширения.

§3.3 Разностный размерностный многочлен простой системы разностных уравнений. Примеры вычислений разностного размерностного многочлена некоторых конкретных систем разностных уравнений

Глава 4 Применение разностных размерностных многочленов к исследованию разностных алгебр

§4.1 Тип и размерность конечно порожденной разностной алгебры над разностным полем

§4.2 Модуль кэллеровых дифференциалов разностной алгебры. Разностные локальные алгебры . 138 Литература

Основным направлением исследований в разностной алгебре является, как известно, изучение расширений разностных полей и систем алгебраических разностных уравнений. Первые результаты в этой области, полученные в 30-х годах в работах Ритта и Роденбаша [зз] , [34] и [35] , состояли в описании множеств решений некоторых конкретных обыкновенных разностных уравнений, а также в изучении разностных идеалов кольца разностных многочленов. Следующий этап развития разностной алгебры был связан с работами Бэбита [I9J , Белиники-Бируля [20] и франка [24] , но главным образом с работами Кона, в монографии которого [21] , вышедшей в 1965 г., суммированы практически все полученные к этому времени результаты о разностных полях, кольцах разностных многочленов и алгебраических разностных уравнениях. Следует отметить, что во всех этих работах изучались лишь обыкновенные разностные уравнения, а все рассматриваемые разностные поля предполагались ординарными.

В последнее десятилетие было начато изучение частных разностных полей и систем частных разностных уравнений (см. [22], [25] ), для которых был получен ряд результатов по разностной теории Галуа, а также доказана теорема о базисе, обобщающая известную теорему Ритта [22]. В то же время в работах Колчина, Джонсона и др. была далеко продвинута теория частных дифференциальных полей и начато изучение частных дифференциальных модулей и алгебр. Значительное место в этих исследованиях занимает изучение дифференциальных размерно стных многочленов конечно порожденных расширений дифференциальных полей и их инвариантов (см. [2б], [29]и[37] ), одним из которых является дифференциальная степень трансцендентности расширения. Анализ проблематики дифференциальной алгебры, связанной с дифференциальным размерностным многочленом, был дан Колчиным в работах [29] , [30]и в его докладе на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г., где он сформулировал следующую теорему (доказательство которой было впоследствии опубликовано в [31] ): пусть Г — дифференциальное поле (т.е. поле, на котором задано конечное множество Д - <<fp • • •, > попарно коммутирующих между собой дифференцирований) и пусть Обозначим через

0 - свободную коммутативную полутруппу, порожденную элементами и положим Q(s) - {V'-^cGlZ kt<si для любого •

Тогда для любого дифференциального расширения С поля Г , порожденного конечным семейством дифференциальных образующих существует многочлен и^ от одной переменной с рациональными коэффициентами, обладающий следующими свойствами:

1) de<|<hi = Саге!Д ;

2) t*^ (i)€"2. для всех достаточно больших чисел и, следовательно, (см. [31, гл. О, § 173 ) шогочлен to^ может быть записан в виде ю^х) , где (OcUht) 5

3) для всех достаточно больших S€(}J степень трансцендентности расширения Gs - F^Ots)^ U • • • и над F равна <Aj|pls) t

4) коэффициент a^ равен дифференциальной степени трансцендентности расширения G, над Г .

В 70-х годах в щ-шле работ Джонсона [2б], [27], jss], а также в работах Зита [Зб], [зт], было продолжено изучение дифференциал ьньк размерностных многочленов дифференциальных расширений. Одновременно Джонсон начал изучение дифференциальных модулей (т.е. модулей над кольцами дифференциальных операторов), для которых ил был получен ряд результатов, нашедших применение при исследовании дифференциальных полей. В частности, Джонсон доказал существование характеристических многочленов для фильтрованных дифференциальных векторных пространств, установил их инварианты и с помощью полученных результатов дал простое доказательство теоремы Кончина, а также получил ряд новых результатов з теории дифференциальных полей и алгебр. Среди работ последних лет, касающихся дифференциальных размерностных многочленов, следует отметить работу А.В. Михалева и Е.В. Панкратьева [12] , в которой приводятся методы и примеры вычисления дифференциального размер-ностного многочлена системы дифференциальных уравнений (рассматриваемой как систему уравнений на образующие соответствующего дифференциального расширения). Там же устанавливается связь между дифференциальным размерностным многочленом системы дифференциальных уравнений и введенным А.Эйнштейном [1б] понятием "жесткости" такой системы (более подробно об этом сказано во введении к третьей главе настоящей работы).

В связи с полученными Колчиным, Джонсоном и другими авторами результатами о дифференциальных размерностных многочленах, естественным образом возникают следующие задачи, решение которых и составляет цель настоящей работы.

I) Вияснить, имеет ли место в разностной алгебре аналог теоремы Колчина. Другими словами, можно ли утверждать, что если С, — разностное расширение разностного поля г са at Г-0) с базисным множеством автоморфизмов Д = <о^- • • ^ — конечное семейство разностных образующих этого расширения и Ги) -множество всех таких мономов (кь -■jK^g'Z) > для которых

Zjkjj (Z (tc&l) » то существует такой многочлен J((i) от одной переменной t с рациональншш коэффициентами, что ttdej, Rt^J) для всех достаточно больших

В случае, если указанный шогочлен существует, возникает задача определения его инвариантов (т.е. величин, не зависящих от выбора семейства разностных образующих расширения G поля Г ), а также разработки методов вычисления размерностного многочлена конечно порожденного разностного расширения в том случае, когда система разностных образующих этого расширения удовлетворяет заданной системе алгебраических разностных уравнений.

2) Исследовать свойства модулей над кольцами разностных и инверсных разностных операторов над разностным кольцом (если R — разностное кольцо с заданны!,! множеством попарно коммутирующих автоморфизмов Л - , Т — свободная коммутативная полугруппа, порожденная элементами о(и-■ • , а Г — свободная коммутативная группа, порожденная этими элементами, то каждое из множеств, элементами которых являются всевозможные выражения вида

X СкХ и соответственно 2Lcl Y ( п а £ R и почти все коэй-тет т « фициенты в рассматриваемых суммах равны нулю), можно естественным образом наделить структурой кольца; полученные кольца называются соответственно кольцом разностных операторов и кольцом инверсных разностных операторов над разностным кольцом R ). В частности, установить, имеют ли место для фильтрованных модулей указанных классов теоремы о характеристических многочленах, обобщающие известную теорему коммутативной алгебры о фильтрованных модулях над конечно порожденной алгеброй над артиновым кольцом (см. [32, гл. 5, (12.С)]) и, если такие теоремы справедливы, исследовать, какие результаты вытекают из них при рассмотрении идеалов разностных алгебр и модулей, ассоциированных с расширениями разностных полей. Зта задала возникает в связи с результатами, полученными Джонсоном при изучении дифференциальных модулей [2б] , [27*] и разнообразными применениями этих результатов в дифференциальной алгебре (см., например, работы [12] , [28] , [37] ).

Основными результатами данной работы являются следующие: I) доказано существование характеристических многочленов для отлично фильтрованных разностных и инверсных разностных модулей над артиновым разностным кольцом R (теоремы 2.2.1 и 2.5.1). В случае, когда R — разностное поле, определены инварианты указанных многочленов и установлены их свойства (теорема 2.5.4, предложения 2.3.1 - 2.3.3, 2.5.2 - 2.5.4);

2) доказано существование разностного размерностного многочлена для конечно порожденного расширения разностного поля произвольной характеристики, снабженного сепарабельной отличной фильтрацией (теорема 3.I.I), а также для произвольного конечно порожденного расширения разностного поля нулевой характеристики (теорема ЗД.2), определены инварианты этих многочленов. (Таким образом, доказан разностный аналог теоремы Колчина о дифференциальном раз-мерностном многочлене и получено его обобщение для расширений разностных полей произвольной характеристики);

3) получены соотношения, связывающие тип и размерность конечно поролщенной разностной алгебры без делителей нуля с ее разностной степенью трансцендентности (теорема 4.I.I), вычислены тип и размерность алгебры разностных многочленов над разностным полем нулевой характеристики (теорема 4.1.2).

В диссертации применяются методы коммутативной алгебры, теории колец, теории полей и гомологической алгебры. Кроме того, для изучения различных вопросов разностной алгебры предложены и развиты следующие методы.

I) Изучение конечно порожденных расширений разностных полей и простых систем разностных уравнений с помощью соответствующих инверсных разностных модулей дифференциалов (предложения 3.1 Л и 3.1.2). Его применения относятся к доказательству существования разностного размерностного многочлена отлично фильтрованного разностного расширения (см. теорему 3.I.I), к доказательству разностного аналога теоремы Колчина (см. теорему 3.1.2), а также к вычислению разностных размерностных многочленов конечно порожденных разностных расширений и простых систем разностных уравнений см. предложения 3.2.1, 3.2.2 и примеры 3.3.1 - 3.3.3). Метод может применяться как в разностной алгебре, так и в теории колец (например, при изучении расширений колец с операторами).

2) Исследование размерности разностных модулей и алгебр над разностным полем с помощью характеристических многочленов (обоснование этого метода содержится в доказательствах теорем 2.6.1* и 4.I.I). В настоящей работе этим методом доказываются теоремы ж

2.6.1, 2.6.1 и 4.I.I. Этот подход может применяться как в разностной алгебре, так и в теории колец (например, при изучении колец косых многочленов и их фактор-колец).

3) Изучение разностных локальных алгебр и разностных алгебр конечного типа с помощью соответствующих инверсных разностных модулей кэллеровых дифференциалов (предложение 4.2.1, лемма 4.2.1). Этот метод применяется при изучении вопросов, связанных с определением разностной степени трансцендентности разностной локальной алгебры конечно порожденного типа (см. предложение 4.2.2), а также для доказательства аддитивности разностной степени трансцендентности на классе всех конечно порожденных разностных расширений данного разностного поля (предложение 4.2.3). Его можно применять в разностной алгебре, в теории полей и в теории колец (при изучении полей с операторами и алгебр над такими полями).

Результаты настоящей работы могут найти и находят применение как в разностной, так и в дифференциально-разностной алгебре, а также в теории колец. Так, например, теоремы о характеристических многочленах инверсных разностных модулей и расширений разностных полей (см. теоремы 2.5.1 и 3.1.2 настоящей работы) были использованы Г. А.Джавадовым в работе [б] и в его кандидатской диссертации [7] для получения аналогичных результатов в дифференциально-раз-ностном случае и при изучении дифференциально-разностных уравнений. Другое применение результатов о характеристических многочленах разностных модулей (в частности, теорем 2.5.1 и 2.5.2 настоящей диссертации) содержится в [2] , где приводится метод вычисления разностного размерностного многочлена инверсного разностного векторного пространства, основанный на рассмотрении характеристического множества соответствующего простого разностного идеала.

Настоящая работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов.

В первой главе вводятся основные обозначения и соглашения, а также приводятся некоторые известные результаты из различных областей алгебры, которые наиболее часто используются в дальнейшем. В частности, формулируются основные понятия разностной алгебры и некоторые утверждения о разностных полях и кольцах разностных многочленов. Большинство результатов первой главы приводится без доказательств, но дается ссылка на работу, содержащую соответствующее утверждение с доказательством. Лишь в тех случаях, когда такая ссылка невозможна (например, если приводимое утверждение ранее не публиковалось (хотя и может быть получено как следствие известных результатов — см. предложения I.2.I, 1.4.4, 1.4.5) или публиковалось, но в меньшей общности — см. предложение 1.5.2), соответствующий результат приводится с доказательством.

Вторая глава посвящена изучению разностных и инверсных разностных модулей над разностным кольцом R (разностным (соответственно инверсным разностным) R -модулем называется левый модуль над кольцом разностных (инверсных разностных) операторов над кольцом Центральное место в этой главе занимают теоремы 2.2.1 и 2.5.1, устанавливающие существование характеристических многочленов разностных и инверсных разностных модулей, снабженных отличными фильтрациями (фильтрация, (^г)ге^ разностного (инверсного разностного) R -модуля называется отличной, если все R -модули Мг (t€"Z ) конечно порождены и существует такое teZ что для любого S€&1 выполняется равенство (соответственно 6$!Чг=Мг+5), где и (£s)sg^ — естественные фильтрации колец разностных и инверсных разностных операторов соответственно). В связи с этими результатами значительное место во второй главе уделяется определению инвариантов характеристических многочленов разностных и инверсных разностных векторных пространств, а также описанию свойств разностной и инверсной разностной размерности (эти инварианты дают, по-видимому, наибольшую информацию о разностном (инверсном разностном) векторном пространстве) —см. теорему 2.5.4, а также предложения 2.3.1 - 2.3.3 и 2.5.2 - 2.5.4.

Среди других результатов второй главы следует отметить теорему 2.4.1 о спектральной последовательности для функтора Ext в категории инверсных разностных модулей над разностным кольцом, а также теоремы заключительного параграфа, устанавливающие связь между разностной (инверсной разностной) размерностью конечно порожденного разностного (инверсного разностного) векторного пространства и такими характеристиками этого пространства, которые служат естественным обобщением понятия размерности векторного пространства на случай разностных (инверсных разностных) векторных пространств.

В третьей главе изучаются расширения разностных полей, обладающие конечной системой разностных образующих. Основным результатом этой главы является теорема 3.I.I, устанавливающая существование разностного размерностного многочлена для разностного расширения разностного поля произвольной характеристики, снабженного сепарабельной отличной фильтрацией (т.е. такой возрастающей последовательностью подрасширений заданного разностного расширения С, ^ р , которая удовлетворяет условиям:

J) £ GU1 и ^'(Сг) € Сг+1 Для любого автоморфизма oL из базисного множества поля Г ;

2) Сг= F для всех достаточно малых ;

4) Сг — конечно порожденное расширение поля F для любого

5) G — сепарабельное расширение поля Qx для любого ;

6) существует такое , что для любого S€oJ выполняется равенство = &t(F(s)Gt) , где множество F(S) соответствующее базисному шожеству разностного поля F , определено выше). В качестве следствия этой теоремы для расширений разностных полей нулевой характеристики получается аналог теоремы Колчина (см. теорему 3.1.2). Здесь же вводится понятие "меры жесткости" системы уравнений в конечных разностях (являющееся разностным аналогом введенного А. Эйнштейном [18] понятия "меры жесткости" для системы дифференциальных уравнений) и показывается, что в качестве "меры жесткости" системы алгебраических разностных уравнений естественно рассматривать разностный размерностный многочлен, существование которого устанавливает теорема 3.1.2 (более подробно этот вопрос рассмотрен в § 3.3, а также во введении к третьей главе). Среди других результатов третьей главы следует отметить предложение 3.2.1, в котором обосновывается метод вычисления разностного раз-мерностного многочлена простой системы разностных уравнений (система разностных уравнений "О над разностным полем называется простой, если разностный идеал, порожденный разностными многочленами в кольце ,*}т}> является простым), а также приведенные в §3.3 примеры вычислений разностных размерностных многочленов для конкретных систем разностных уравнений.

В четвертой главе ранее полученные результаты применяются для изучения разностных алгебр. Один из основных результатов этой главы (см. теорему 4.1.1) состоит в обобщении на случай конечно порожденных разностных алгебр над разностным полем следующей классической теоремы: если А — конечно порожденная коммутативная алгебра без делителей нуля над полем \ , то размерность алгебры А (определяемая как длина наибольшей убывающей цепочки простых идеалов этой алгебры) равна степени трансцендентности А над ^ . Именно, теорема 4.I.I устанавливает связь между разностной степенью трансцендентности конечно порожденной разностной алгебры и такими ее характеристиками, которые являются естественным обобщением на случай разностных алгебр понятия размерности коммутативной алгебры.

Помимо вопросов, связанных с размерностью разностных алгебр, значительное место в четвертой главе занимает рассмотрение модулей кэллеровых дифференциалов, ассоциированных с разностными алгебрами, и использование свойств этих модулей при изучении разностных локальных алгебр и расширений разностных полей (см. предложения 4.2.1 - 4.2.3).

Результаты диссертации докладывались на 1У и У Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алгебр и модулей (Кишинев, 1980 г., Новосибирск, 1982 г.), на ХУ1 Всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград, 1981 г.), на Ш и 1У конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 1981 г. и 1982 г.), на научно-исследовательском семинаре по общей алгебре и на семинаре по гомологической алгебре в МГУ, а также на семинаре по общей алгебре и математической логике в Институте математики с ВЦ АН МССР. Кроме того, все основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [38] - [46] .

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доценту А. В. Михалеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор также благодарен Е.В. Панкратьеву за многочисленные полезные обсуждения и советы.

Все основные результаты главы 4 опубликованы в работах автора [42] , [43] .

§ 4.1 Тип и размерность конечно порожденной разностной алгебры над разностным полем

Пусть Г— разностное поле с базисным шожеством и пусть R — разностная алгебра над полем Г (см. определение 1.5.9). Пусть U — некоторое семейство разностных идеалов алгебры R . Обозначим через Д^ множество таких пар (P,Q)£U*U , для которых P^Q . Тогда предложение 2.6.1 показывает, что существует отображение ^'■Jtf^'Z > обладающее следующими свойствами:

1) J*ulP,Q)>--l ДЛЯ любой пары (PQ) € ;

2) для любого числа cUttJ неравенство |iu(P,Q):»d выполняется тогда и только тогда, когда P^Q и существует бесконечная последовательность P'^IJ^. dQ такая, что ^u(.PH)PL) > d~l для каждого Le~Z , 1>0 .

Как и в §2.6, положим tupe„ R = SU.P f4.(pq) и обозначим через 10 » u <P,Q>W ' аип^К наименьшую верхнюю грань длин цепочек разностных идеалов

Р0о[>э--оР таких, что PL ell, JV(PH>PL) = %euR Tuuk) .

Определение 4.I.I Пусть R — разностная алгебра над разностным полем F и пусть It — семейство всех простых разностных идеалов алгебры R . Тогда величины t^pe^R и dim^R называются соответственно типом и размерностью алгебры R и обозначаются через tjf^R и dimli.

Следующая теорема устанавливает связь между величинами Цре R, ditaR и разностной степенью трансцендентности ^ttde-cj^R (см. определение 1.5.6) в случае, когда R — конечно порожденная разностная алгебра без делителей нуля над разностным полем Г .

Теорема 4.1.I Пусть F — разностное поле с базисным множеством Л = ;• и пусть R ~ R^," — Разностная F-алгебра без делителей нуля, порожденная конечным семейством элементов ^~ >'" > ^vrt) • Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ti^eR <К ;

2) если Jtide^pR'O , то type R < Ь> ;

3) если tyfeR^h, , то div* R < ^Kde^R

Доказательство. Пусть И — семейство всех простых разностных идеалов алгебры R . Как и в §2.4, обозначим через Г свободную мультипликативную абелеву группу, порожденную элемента!,ш о^,---,^ и положим ГтЦ^о^--^erioxd^Zlkja} для любого teftj . Далее, для каждого простого разностного идеала Р алгебры R обозначим через обРазы элементов ^/"iV Б К0ЛЬЧе ^/Р • На~ конец, положим Г[ГСг)^и- -иГ(г)*|ы] для любого ге для любого , х<0 .

Легко видеть, что если ге(к1 и Р — простой разностный вдеал алгебры К , то

PnR, является простым идеалом кольца К* и поля частных колец R-JPnR^ и FjTCO^V'- u изоморфны. Применяя к рассматриваемой ситуации теорему 3.1.2, получаем, что существует такой целозначный многочлен J^plt) от одной 'переменной- t , что /рСО * ttde F [ Tw^U - - - U - kde^RJpftjQfljra всех достаточно больших . При этом de<j,J(p(t) и, и многочлен /рШ может быть записан в виде , где ар= itaJe^RJp^fll.

Очевидно, что если

P.Q&U и p3Q , то J^p(t) ^Jq (t) • При .этом, из [31, гл.О, §11, предложение следует, что P=Q тогда и только тогда, когда ^рШ-^Ш • Теперь так же, как и при доказательстве теоремы 2.6.1 , получаем, что для любого kl, oU-l из неравенства MP,Q)*I следует неравенство dej(j(QU)-/pU)M .

Для любого простого разностного идеала Р алгебры R имеем: de^JKptt)^ и de<Jj(p(t)<ft , если ^ttde^R^O (ибо в последнем случае ар= 61го1е<^ЛК/р)-0 ). Поэтому de^, для любых идеалов Р ,Q € , P-Q, и это неравенство становится строгим, если 0 . Отсюда следует, что для любой пары выполняется неравенство ^(ДО)^» а если Jttde^R^O, то f»ull!Q)<fc. Таким образом, "h^e-Rot , причем tjj>eR<ll, если Докажем теперь последнее утверждение теоремы. Пусть tj^ R-^ и пусть ^ э ^ ^ " 'f^ (d^lKl) — произвольная цепочка простых разностных идеалов такая, что = U*i-<d) Чтобы доказать требуемое неравенство dj»v>

R < «ГЫе^И достаточно, очевидно, показать, что^в рассматриваемом случае

Имеем: = £ ^^ f + о o(f) Тан как fvlf^bn. , ТО, как от т.е. мечено выше, отсюда вытекает, что ^^(/plt.)-^ {{)) > Уь

Следовательн°» apci"*ap ^z cv0?. )>d.

С другой стороны, /pd(t)-/po(i) s< гДе /црШ - разностный размерностный шогочлен расширения Ffyr^^pF. Так как о^) (см> теорему 3.1.2), то из последнего неравенства получаем: d <CLp^- 0.р<<5t^dc^FP что и требовалось доказать.

Теорема 4.1.2 Пусть F — разностное поле с базисным шожеством А-<<^1>. и пусть R~ Fl^,--,^]— алгебра разностных многочленов от иг разностных неизвестных ^/"j^n • Тогда t^pe R- Yi,

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.6.1 , поло- к:

ЖИМ

0 = ( Ч ка/ И обозначим через 1Ц множество всех линейных разностных идеалов вида [В^ц/- •> б^ц! » гДе SGlJ ;

Так как каждый такой идеал является простым см. замечание после определения 3.3.1), то <hjj>eR и чтобы установить равенство "hjpeR = ^ , достаточно показать, что ^jpe^R^n. (ибо "b^eR^h, по теореме 4.1 Л). В свою очередь, последнее неравенство сразу вытекает из справедливости для любого неравенства

- (4ЛД) которое №1 и будем доказывать.

Рассмотрит/! семейство идеалов = { Р^ ^П^Г^рТ^Р-tyiV'^p.^. Тогда, очевидно, неравенство (4.1 Л) равносильно неравенству

V^K^eUyViH^^ л 14,1 и

Легко видеть, что при каноническом изоморфизме ^ ^^Vtv^p-j)"^

RV"'Vl семейство идеалов взаимно однозначно и с сохранением включений отображается на множествоUzвсех тех разностных идеалов алгебры R^pj"",^}, которые порождаются конечным числом элементов вида (0*0). Пусть 1Ц — семейство всех разностных идеалов алгебры которые порождаются конечным числом элементов вида 0Jj,p (0£0) . Тогда для любого j€ U^ имеем: JR^r^J £ U2 и •^^V 'Vi n= 3 » откуда следует, что между семействами U р) з и

1ilp) llz существует биективное соответствие, сохраняющее включения.

Приведенные выше рассуждения показывают, что для доказательства неравенства (4.1.2) (и, следовательно, неравенства (4.I.I)) достаточно показать, что если Ffy]— разностная Г -алгебра от одного разностного неизвестного ^ и fi — семейство всех разностных идеалов алгебры Ffy], имеющих вид • • 0S<|] (seftj ; 0О- то . Чтобы доказать это последнее неравенство, индукцией по и=Са,гс1л покажем, что При Уь-0 неравенство, очевидно, выполняется. При и>0 рассмотрим цепочку идеалов "=>[(^1)^] э--- э э э[Кт^]3'0(0) и покажем, что для любого справедливо неравенство ([(^-rf ^ ] где тогда, очевидно, будет выполняться и неравенство Положим +

Тогда Щ = S , , ^'f*Э'оЦ для любого 0'€ ©'= {П ЦН)"' | и элемент | разностно алгебраически независим над разностным полем (F, A7) . Если ^— семейство всех разностных идеалов разностной алгебры (S^A') , которые порождаются конечным числом элементов вида 0'^ (0'fcQ ) , то, как легко видеть, между семействами %и существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее включение (оно индуцируется естественным эпиморфизмом Ffy^Sb откуда следует, что J^tty],(0))-J43'([p/0))+l>M+ +1 - vt (в силу предположения индукции).

Таким образом, неравенство (4.I.I) доказано и, следовательно, доказано равенство t^peR-И-. Более того, из приведенных выше рассуждений вытекает, что (& Для любого здесь через ll обозначено семейство всех простых разностных идеалов алгебры R ). Теперь из рассмотрения цепочки простых разностных идеалов э"^ЯУ49-™* что

WR>nt. С другой стороны, из последнего утверждения теоремы 4.1. i вытекает, что di*n.R<lu. Таким образом, diiuR-Иг и теорема доказана.

§4.2 Модуль кэллеровых дифференциалов разностной алгебры.

Разностные локальные алгебры

Пусть А — кольцо и В — алгебра над кольцом А . Как и в §1.4, через ш будем обозначать ассоциированный с этой алгеброй

В-модуль кэллеровых дифференциалов, а через с)В|д— соответствующее дифференцирование из В в Далее, если А — разностное кольцо с базисным множеством Д = -^и.) , то через А* мы будем обозначать множество, состоящее из элементов о^у -Ы.^ действует на кольце А как автоморфизм, обратный автоморфизму с^ (l<L<h.) ), через — кольцо инверсных разностных операторов над кольцом А .

Предложение 4.2.1 Пусть В — разностная алгебра над разностным кольцом А с базисным множеством Л -^о'"/5^)» Тогда В -модуль Лэдд молено и притом единственным образом наделить структурой инверсного разностного В -модуля так, чтобы для любых элементов о<€ Д* , t^B выполнялось равенство d^k^cJ^lL) (4.2.1)

Доказательство. Зададим на А-алгебре действие элементов множества А , положив для любых С^€А ; Легко видеть, что при этом В^В становится разностной А -алгеброй, а канонический гомоморфизм Р-В®ДВ~^В становится разностным (действительно, если о£€Д ; D » то р(у(1>®о)) = = ^ rf&Mt»') = ^(pctef)) ). Отсюда следует, что если I = ket р , то I/]2 является инверсным разностным В-модулем, на котором элементы из множества А* действуют так, что

6®1-1®U+ Г)= + UB).

Но последнее равенство как раз и означает, что Лод^О-Лод0^) для любых элементов окд* , Ub .

Единственность следует из того, что В-модуль ^ порождается над кольцом В элементами врща (ЛеВ) » а образы этих злементов при отображении ы. (о/€Д*) однозначно определяются из равенства (4.2.1). Предложение доказано.

Замечание. В дальнейшем, если выполнены условия предложения 4.2.1, модуль кэллеровых дифференциалов Л^д всегда будет рассматриваться как такой инверсный разностный Б -модуль, на обж разующих которого действие элементов множества А задается формулой (4.2.1).

•Пусть F — разностное поле с базисным множеством и R — разностная F-алгебра, являющаяся одновременно локальным кольцом с максимальным идеалом Ш (идеал йп, переходит в себя при любом автоморфизме алгебры R и поэтому является разностным). В этом случае алгебра R называется разностной локальной F-алгеброй, а поле U/>а называется полем вычетов алгебры К . Как было отмечено в §1.5 (после определения 1.5.3), поле вычетов | можно естественным образом рассматривать как разностное поле с базисным множеством Л . При этом естественный мономорфизм поля F в поле I является, очевидно, разностным.

Лемма 4.2.1 Пусть F — разностное поле с базисным множеством Д и пусть R — разностная локальная алгебра с максимальным идеалом Ш к полем вычетов ^ . Тогда существует точная последовательность инверсных разностных векторных i -пространств

О— tytf^Sl^l-M^O, (4.2.2) в которой разностные гомоморфизмы ^ и 1Г задаются следующим образом: f(x+iJL2)=dRjF°C-® 1 ; для любых элементов хейь,

R — образ элемента^ при каноническом эпиморфизме

R"-*- R/йп).

Доказательство. Заметим прежде всего, что, так как F— поле, то любая короткая точная последовательность f-модулей расщепляется. Применяя теперь к рассматриваемой ситуации утверждения (I) и (3) предложения 1.4.8, получаем, что существует точная последовательность векторных ^-пространств ^/iifi^Q-^p^li-^Л^О, в которой отображения р и U задаются так, как указано в требовании доказываемой леммы. Так как Ж. и tti2 — разностные идеалы алгебры

R , то ^ можно естественным образом рассматривать как инверсное разностное векторное ^-пространство, т.е. как £j> -модуль. Далее, предложение 4.2.1 позволяет рассматривать модуль кэллеровых дифференциалов как ^-модуль, a R-модуль — как модуль. Теперь то же действие элементов множества Л* на 1-модуле -^-RIF^R^ ' котоРое рассматривалось при доказательстве предложения 2.4.1, превращает Лодг®^ в -модуль. (Напомним, что указанное действие элементов множества $ на ^-модуле fl^p^l задается следующим образом: dR|FX®<x) = с* (d^pX) <£) с*(а) для любых элементов , | , xcR ).

Остается проверить, что \ -гомоморфизмы j> и V разностные, т.е. показать, что у totx) = <*j>(x) и V(°^(dRlF|® i)) = для любых элементов Х= х+йпг £ и R .

Имеем: у (oix) - f (о«х)+ &n2) = dR1F<^(x)®i = <*dR|FX® \ -о^р(х) и uU(dilF^®l)) = v(dR|Fo((p®i)= d^ipoOp* где через ^ обозначен элемент . Таким образом, | гомоморфизмы р и 1Г разностные и, следовательно, последовательность (4.2.2) является точной последовательностью -модулей. Лемма доказана.

Пусть Г — разностное поле с базисным множеством Д=<Ц/-.>с и пусть область целостности R является разностной локальной Г-ал-геброй с максимальным идеалом 1(П. . Если S - F -подалгебра алгебры R , то обозначим через S^ множество элементов алгебры R , представит,их в виде , где jv^S » ^tot .

Определение 4.2.1 Пусть Г — разностное поле и пусть R — разностная локальная Г -алгебра без делителей нуля. Тогда алгебра R называется разностной локальной Г-алгеброй конечно поровденного типа, если существуют элементы R такие, что где ^— максимальный идеал алгебры R . Предложение 4.2.2 Пусть F — разностное поле с базисным множеством и пусть область целостности R является разностной локальной F -алгеброй конечно порожденного типа с максимальным идеалом )пл и полем вычетов | (которое рассматривается как разностное поле с базисным множеством А ). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) йкДл2 является конечно порожденным инверсным разностным векторным & -пространством;

2) > ЛгЛе^рЯ-^г^Д .

Доказательство. Пусть О-*- ^/fa1 О — точная последовательность -модулей, существование которой устанавливает лемма 4.2.1. Чтобы доказать первое утверждение предложения, достаточно, очевидно, установить, что Л^рфД — конечно порожденный Sj-модуль (так как кольцо нетерово слева (лемма 2.5.2), то отсюда будет следовать, что и — конечно порожденный -модуль).

По условию существуют такие элементы -•, ^ £ R , что

Иь "■'Is^ttl' Покажем» что элементы ^щр^®!, ••• > ^rif^s® ^ порождают -модуль Л <8>Д . Для этого, очевидно, достаточно доказать, что любой элемент вида » где J" € R , линейно выражается через элементы , • • •, с коэффициентами из кольца (Действительно, в этом случае любой образующий элемент 4|Л®1 (И R) ^.-модуля ® I. может быть представлен wr > s к^ r s kir r s ч

В виде ZIaiiVl.dRlFl® 1 =ZZK; ^ где a^cR CUUs, Uj^K^ , а cLj — образ элемента aLj при каноническом гомоморфизме . Так как Z'a^^e^

1A£S) , то получаем, что элементы dR|F^®i С1 ^l^S) порождают £ -модуль .!ПК|Г®|Д ). По условию любой элемент молено записать в виде , где I и <1 — разностные многочлены от S пе

5 КЪгЛО * ® | > \ Гп/ ременных и «JlVlsH»1 • 0тсюДа вытекает, что d^] = Ц.

• >%)]tLt^m\(ll6o> как легко видеть, • >1$) и Лщр^^;--,^) линейно выражаются через элементы ^RiF^li СГ, с коэффициентами из алгебры R ) и, следовательно, элементы d^p^® • , являются образующими & -модуля .

Теперь доказательство второго утверждения нашего предложения получается с помощью тех же рассуждений, которые были использованы Джонсоном при доказательстве аналогичного результата для дифференциальных локальных алгебр (см. [27, §4] ).

Замечание. Пусть F — разностное поле с базисным множеством &и Си — конечно порожденное разностное расширение поля F . Из предложения 1.4.9 вытекает, что элементы ^/'^p^Gi разностно алгебраически независимы над полем F тогда и только тогда, когда элементы Л^р^, • • dgp'Jp модуля кэллеровых диффэ-ренциалов линейно независимы над кольцом . Отсюда следует, что разностная степень трансцендентности .citade^C расширения G,?F совпадает с инверсной разностной размерностью icf инверсного разностного векторного Q -пространства ST^p .

Предложение 4.2.3 Пусть F — разностное поле нулевой характеристики с базисным множеством Д , С — конечно порожденное разностное расширение поля F и К — конечно порожденное разностное расширение поля Q . Тогда

Доказательство. Так как все рассматриваемые поля имеют нулевую характеристику, то, какТт в доказательстве предложения 5 из [ 3, гл. У, § 9 , получаем, что если И — произвольное векторное |( -пространство, то любое Г -дифференцирование из С, в М можно продолжить до дифференцирования из К в М . Применяя теперь предложение 1.4.7, получаем, что существует точная последовательность векторных К -пространств

О-Я^К^Я^й-О . (4.2.3) в которой гомоморфизмы V и it задаются следующим образом: U(dGi|Fa® = tdK|Fa ; it(dKIF{,) - dk|Gi{, для любых элементов cue С, , К .

Заметим теперь, что каждое векторное К -пространство, входящее в последовательность (4.2.3), является -модулем (структура &к~модуля на К задается согласно предложению 2.4.1), а отображения If и И являются разностными К -гомоморфизмами (т.е. гомоморфизмами -модулей). Действительно, для любых элементов о^€Д , ае& , UK тлеем: i/Md^O.®?,)) = V(с*(d^pO,)®<*({,))= откуда следует, что К -гомоморфизмы V и и. разностные.

Применяя к точной последовательности (4.2.3) предложение 2.5.3, получаем, что = + '

Так как, очевидно, семейство элементов ^GIF^iXel дуля -линейно независимо над кольцом в том и только в том случае, когда семейство элементов (d^f-^® модуля К линейно независимо над кольцом , то

СДГ^ Ю = ш приходим к соотношению Применяя к посл™ равен" ству замечание, сделанное перед доказываемым предложением, получаем, что

1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру — М.: Мир, 1972 — 160 с.

2. Балаба И.Н. Размерностные многочлены конечно порожденных инверсных разностных модулей над разностным полем — ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция (22-25 сентября 1981 г.): Тезисы докл. ч.1. — Ленинград: ЛГУ, 1981, с. 11-12.

3. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы.1. М.: Наука, 1965 — 303 с.

4. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971 — 707 с.

5. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. — 'М.: Изд. иностр. лит., 1961 — 175 с.

6. Джавадов Г.А. Характеристический многочлен Гильберта для дифференциально-разностных модулей и его приложения. — Махачкала, 1979. — 40 с. — рукопись представлена Дагестанским гос. пед. институтом. Деп. в ВИНИТИ 6 июня 1979, Р 1992-79.

7. Джавадов Г.А. Дифференциально-разностные кольца и уравнения.

8. Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. — Кишинев, 1980. — 101 с.

9. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.Й. Элементы комбинаторики. — М.; Наука, 1977. — 80 с.

10. Зарисский 0., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т.2. — М.: Изд. иностр. лит., 1963. — 438 с.

11. Кон 11. Свободные кольца и их связи. — М.: Мир, 1975 — 422с.

12. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966 — 543 с.

13. Михалев А.В., Панкратьев Е.В. Дифференциальный размерностный многочлен системы дифференциальных уравнений. — В кн.: Алгебра. — М.: МГУ, 1980, с. 57-67.

14. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.1. M.s Наука, 1978 — 399 с.

15. Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972 — 418 с.

16. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: МГУ, 1972 — 256 с.

17. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977656 с.

18. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.1. М.: Наука, 1972 — 736 с.

19. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.2. Работы по теории относительности. I92I-I955. — М.: Наука, 1966, — с.777-786.

20. Baf>E>iH А.Е. Fihiteftj, aenexated pathoEoaicai extensions o| di||etence fields.— Тга-иБ. Атег. МЛ See. k2,v.)02,,J-oi f.W-t

21. В icuij/hicli Bftu&a. 0и Gadois ^еош o| |ieEds wtli opexaWs— Аыег. I Math. t 1%2, f-Я9-Ю9.

22. CoU R.M. 2))|{егеи,се at^ka.~(Jew-Vt.Inie^SCiehceJ%S"-555f

23. CoU R.M. А dijletehce-dij^enliaE basis ^еогет.— Саи.

24. J. МЛ, 19Ю, v. 22, fJ=G , p- 122Ы237

25. Qould Н.Ч ComtinaWiat, IcLUies . ~ Мог}а*1о«и: W. Va, 1972-lOGp.

26. ГгаДе С. Picaid- Vec&jot Uieotu, o| (Wax homogeneous сЩегеюсе C^uaW.-TiawB. Ah**. Mall,. Soc. , 1%3, V-ЮХ, |J53, р^-ЯУ.

27. Evanovich R АЦДгак extensions of dij|e*ence |ieEds.— Тгаиъ. А^ег. Malli. Soc.,

28. Jolmson 'J. Di||eiehliaE dimension poEi^owiads a,fundamental tteoxewi on dijjetenliaf ^odulles.— Амег. J-Mati,., 1969, v. 91, Л, p. 239-242.

29. Joliv,c,ovi "J. kakСег di||etenl:»a(!s a^d diHeteniiaE а£аеЬга,.—

30. В кн.: Труды Международного конгресса математиков. —М.: Мир, 1968, с. 269-276.31. KoeJr.h E.R. щ\егеиЬаЕ. afjebtcL a^ol atyttaic. yt.ou.ps — iJew-Яо^ LoиЛои : Acad. P-tess. > 1975 — Щ p

31. Matsumnuia H. Commutative aloefcta,.- iJew-Vt: W.A. BehcliawiVi1.JC, 1970 —2G2P. S J '

32. RauJeviU^ H.W. IdeaE aj atyUc АЦегепсеe^uaW —ТгаиБ. Аые*. MatLSoc. , v. л1\? 34f-3GX

33. RauJenUb H.W. , Ritt IF I deaf йеог, aj alaeWit dilWeequations.- Ttav*. AМаИ»Лос. , v.35. Ritt 1F Altaic dij|

34. Mail See. , 193*1 , v. 40, Л , р.ЗОЗ-ЗОЯ.

35. Sit w SifJWhtioI dihaensioio polynomials of ImlzLexWions.- Ргос Aw,e*.'MatL Soc./l97^ .251-2%

36. Sit W. , JoWok "J. Oh the di|.leUhtiaE transcendencefo^Ohoiats |\h»tel!u, <jenetated di||e*ehtia,E fieEd

37. MatL, 1979 , v. 101, АЪ, f. 12494263.

38. Левин А.Б. Характеристические многочлены фильтрованных разностных модулей и расширений разностных полей. — Успехи матем. наук, 1978, т.33, №3, с. 177-178.

39. Левин А.Б. Характеристические многочлены инверсных разностных модулей и некоторые свойства инверсной разностной размерности. — Успехи матем. наук, 1980, т.35, №1, с. 201-202.

40. Левин А.Б. Характеристические многочлены разностных модулей и некоторые свойства разностной размерности. — М., 1980 — 42 с. — Рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ 30 маяI1980, №2175-80.

41. Левин А.Б. О функторе Ext в категории инверсных разностныхмодулей. — 1У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей (17-19 сентября I960 г.): Тезисы сообщ. —Кишинев: Штиинца, 1980, с. 67.

42. Левин А.Б. Разностные локальные алгебры. — ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция (22-25 сентября 1981 г.): Тезисы докл. 4.1 — Ленинград: ЛГУ, 1981, с. 92-93.

43. Левин А.Б. Тип и размерность инверсных разностных векторных пространств и разностных алгебр. — М., 1982. — 36 с. — Рукопись представлена МГУ. Деп. в ВИНИТИ 6 апреля 1982, .1606-82.

44. Левин А.Б. Характеристические многочлены разностных модулей и расширений разностных полей. — Вестник Моск. ун-та, 1982, сер.1, вып.4, с.78.

45. Левин А.Б. Тип и размерность инверсных разностных векторных пространств. — У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей (21-23 сентября 1982 г.): Тезисы сообщ. — Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982, с.87.1. М