О корректности задачи Коши для полиномиальных разностных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

/V Г

Рогозина Марина Степановна

О корректности задачи Коши для полиномиальных разностных операторов

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 ПАП 2015

005568Ь4Э

Красноярск - 2015

005568545

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Лейнартас Евгений Константинович.

Официальные оппоненты: Капцов Олег Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительного моделирования СО РАН, отдел вычислительных моделей в гидрофизике, ведущий научный сотрудник;

Яковлев Евгений Иосифович,

кандидат физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика М.Ф. Решетнева»,

кафедра высшей математики, доцент.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет».

Защита состоится 29 мая 2015 г. п 15:00 на заседании диссертационного совета Д212.099.02 при ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» по адресу: С60041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 8-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета и на сайте http://www.sfu-kras.ru.

Автореферат разослан «24 » апреля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федченко Дмитрий Петрович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач1'2. Другой источник появления разностных уравнений — дискретизация дифференциальных. Так, дискретизация уравнения Коши-Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций3,4, которая нашла применение в теории римановых поверхностей и комбинаторном анализе5'6. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям7. Разностной схемой обычно называют разностное уравнение, аппроксимируещее исходное дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные) условия. В первой главе данной работы и последнем параграфе второй главы изучаются именно такие уравнения, поэтому здесь используется терминология этой теории, однако обозначения теории схем не очень удобны, и мы используем обозначения классической теории конечно-разностных уравнений.

Оператор сдвига öj по переменной Xj определяется следующим образом: öjf (х) = / (xi, ..., Xj-1, xj + 1, Xj+1, ..., xn), а полиномиальный разностный оператор имеет вид Р(6) = ^2са5а, где А — конечное подмно-

аеЛ

жество целочисленной решетки, са — коэффициенты, ö = (¿i, 62, ..., ön),

Стенли Р. Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 440с.

2Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции: Пер. с англ. - М.: Мир, 2005. - 767 с.

3Duffin R.J. Basic Properties of Discrete Analytic Functions // Duke Math. Л. 1956. Vol. 23. P. 335-363.

4Duffin R.J. Potential theory on rhombic lattice // J. Combinatorial Theory 1968. Vol. 5. P. 258-272.

5Даиилов O.A. Медных А.Д. Дискретные аналитические функции многих переменных и формула Тейлора // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 2. С. 38-46.

6 Данилов O.A. Интерполяционная формула Лагранжа для дискретной аналитической функции // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8. вып. 4. С. 33-39.

тСамарский A.A. Введение в теорию разностных схем, - М.: Наука, 1971. - 552 с.

а = (аиа2, ап) и 5° = ... «£». Рассматривается уравнение

1

п

Р(5)/(х) = д(х), хеХ,

где /(х) — неизвестная, а д{х) — заданная на некотором фиксированном множестве X С I/1 функция. Из множества X выделим подмножество Хо С X «начальных» («граничных») точек и сформулируем задачу:

найти функцию/(х), удовлетворяющую уравнению (1) и совпадающуя на Хо с заданной функцией

Задачу (1)-(2) будем называть задачей Коши для полиномиального разностного оператора Р (6).

В одномерном случае, как правило, в качестве X берутся целые неотрицательные числа X = а в качестве Хо = (0, 1, ..., т — 1). При этих условиях задача (1)-(2) очевидным образом имеет единственное решение.

В многомерном случае существование и единственность решения задачи (1)-(2) зависят от всех объектов, участвующих в ее постановке: разностного оператора Р(5), множеств X и Хо. Разрешимость задачи (1)-(2) означает разрешимость бесконечной системы уравнений относительно бесконечного числа неизвестных /(х), х £ X. Если при подходящем упорядочении неизвестных и уравнений матрица этой системы нижнетреугольная, то ее разрешимость очевидна и в этом случае будем говорить о явной разностной схеме. В противном случае задачу (1)-(2) будем называть неявной разностной схемой, и проблема ее разрешимости нетривиальна и выходит на первый план. Приведем некоторые типичные ситуации.

В первой из них, возникающей, как правило, в комбинаторном анализе, X = 2™, а выбор множества, на котором задаются начальные данные, Хо

/(ж) = <р(х), х е Х0.

(2)

зависит от свойств характеристического полинома Р8,9.

Во второй X = {х G Zn, хп ) 0} л в качестве множества .Хо С X берем Х0 = {х € X : хп = 0, 1, ..., m — 1}, а характеристический многочлен имеет моном старшей степени m по переменной хп10. Такого рода разностные операторы появляются в теории разностных схем, например, при дискретизации уравнений математической физики, и называются они линейными многослойными разностными схемами с постоянными коэффициентами. Коэффициенты разностного оператора при этом зависят от параметров сетки. Если же характеристический многочлен имеет несколько мономов старшей степени m по этой переменной, то они называются неявными многослойными линейными разностными схемами.

Теория разностных схем изучает способы построения разностных схем, исследует корректность разностных задач и сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи, занимается обоснованием алгоритмов решения разностных задач. Важное место среди этих свойств занимает корректность.

Для функции / : X —> С обозначим ||/|| = sup\f (х)\.

х

Говорят, что задача вида (1)-(2) для полиномиального разностного оператора Р (¿) поставлена корректно, если выполнены условия:

а) задача однозначно разрешима при любых начальных данных ip (х) и правых частях д(х);

б) существуют постоянные М\ > 0, > 0 такие, что при любых д(х) и ifi(x) справедлива оценка

л/i \\д(х)\\+м2 Мх)||. (з)

Отметим, что при выполнении условия б) разностный оператор называется устойчивым.

Таким образом, разностная задача (1)-(2) поставлена корректно, если

8Bousquet-Melou, M. Linear récurrences with constant coefficients: the multivariate case / M. Bousquet-Melou, M. PetkovSek // Discrète Mathematics. 2000. V. 225. P. 51-75.

9Лейнартас E.K. Кратные ряды Лорана и разностные уравнения, Сиб. матем. журн., 45 (2004), 387-393.

10Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды, - М.:Наука, 1987. - 544 с.

она для любых ¡pug имеет единственное решение и устойчива.

Устойчивость задач вида (1)-(2) в случае одного переменного исследуется в рамках теорий дискретных динамических систем и цифровых рекурсивных фильтров11'12. Различные варианты определения устойчивости в случае п = 1 для однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами означают, что все корни характеристического уравнения по модулю не превосходят единицу, а если корень по модулю равен единице, то он простой. Для неоднородного уравнения критерий устойчивости состоит в том, что корни по модулю меньше единицы.

В диссертационной работе при исследовании устойчивости многослойных явных разностных схем используется терминология теории амеб алгебраических гиперповерхностей. Понятие амебы позволяет сформулировать многомерный аналог условия, что все корни характеристического многочлена лежат в единичном круге, т.е. условия устойчивости многомерных разностных схем.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является отыскание условий разрешимости различных вариантов задачи Коши для полиномиальных разностных операторов и ее устойчивости в случае явных разностных схем.

Методы исследования

В работе рассматриваются полиномиальные разностные операторы, основным источником появления которых является теория разностных схем. В исследовании корректности разностных операторов используется терминология этой теории, методы линейной алгебры, математического анализа, а также методы теории амеб алгебраических гиперповерхностей.

пДаджион Д., Мерсеро О. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988.

12Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. - 541 с.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем:

дан критерий, а также приведено легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи Коши с начально-краевыми условиями типа Ри-кье для полиномиального разностного оператора с постоянными коэффициентами;

доказано, что разрешимость задачи Коши эквивалентна существованию некоторого определенного мономиального базиса в факторе кольца полиномов по идеалу, порожденному характеристическим многочленом;

получены формулы, в которых решение задачи Коши для однородных и неоднородных многослойных явных разностных схем выражается через фундаментальное решение и начальные данные;

используя эти формулы, в терминах теории амеб алгебраических гиперповерхностей найдены как необходимые, так и достаточные условия устойчивости однородных многослойных явных разностных схем. Для неоднородной схемы доказан критерий устойчивости.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в теории разностных схем и теории дискретных динамических систем.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

1) Красноярском городском научном семинаре по комплексному анализу и алгебраической геометрии (СФУ, 2011-2014 гг.);

2) 50-ой международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.);

3) Четвертом Российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012 г.);

4) 51-ой международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2013 г.);

5) IX Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и наука» (Красноярск, 2013 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях и тезисах. Все статьи опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК. Одна статья совместная, ее результаты получены в нераздельном соавторстве с Е.К. Лейнартасом.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста и списка литературы из 44 наименований. Содержит 4 рисунка. Общее число страниц диссертационной работы - 73.

Содержание работы

Во введение раскрывается актуальность темы диссертационного исследования, а также кратко перечисляются основные результаты. Основной текст разбит на две главы.

Первая глава посвящена исследованию корректности явных разностных схем и состоит из четырех параграфов.

Пусть 5, оператор сдвига по 7-011 переменной (х) = / (жь ..., х^ + 1, ..., хп+{). Обозначим

Р {8, 5п+\) = са,1з8а6^+1 — полиномиальный разностный опера-

(а,/3)ел

тор, т.е. А = (а, /3) — конечное подмножество целочисленной решетки, и 5 = 62, ■ ■ •, 8п), а = (с*1, «2, • • • > ап) и 5а = б^б^2... д%п. Рассмотрим разностные уравнения с постоянными коэффициентами такие, что (О, т) е А

и для всех (а, ß) € А, (а, ß) ф (0, то) выполняется условие т > ß. (*)

В первом и втором параграфах рассматривается задача Коши для (то + 1)-слойной линейной явной разностной схемы вида

+ Рт—\ (5) C+i1 + --- + Ро (Ä)] / (х, у) = д(х, у), (4)

где Pj (5) — полиномиальные разностные операторы с постоянными коэффициентами и х = (xi, X2, ■ ■ ■, хп) G Z".

Задача Коши для уравнения (4) формулируется следующим образом: найти решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям

f (х, y) = tpy(x), у = 0, 1, ..., то - 1, (5)

где ipy (х) - заданные функции переменных х = (rri, х2, ■ ■ •, хп) £ Ъп. Определение 3. Решение V(x, у) разностного уравнения

caßV(x + a,y + ß)=Sm{x,y), (x,y)GZn+\

(a,ß)eA

где

Г 0, если (х, у) ф (0,0), <Уо )№!/) = <

если (х, у) = (0,0),

называется фундаментальным решением. Определим две функции <р и ß на Z"+1:

I Ру(х), для х е Z"и у = 0, 1, ..., то - 1, <Р(х, У) = <

I 0, для х € Z"it у > то;

ß(x,y)= ca,ßip(x + а, у + ß), х € Z"n - то ^ у < 0.

(a,ß)eA

Обозначим через П = {(ж, у) G Zn+1 : у ^ 0} полупространство в Z"+1. Теорема 2. Есля /(х, у) решение неоднородной задачи Коши (4)-(5), то для (х, у) е П справедлива формула f(x, у) = /0(х, у) + f*(x, у), где

f0(x, y)=J2 у')Пх y'), (6)

причем суммирование проводится по всем точкам (ху') Е Zn+1, удовлетворяющим условию —то ^ у' < 0, а

f*(x, y)=J2 y')v^x ~Х'>У- у')> (7)

(х',у')

где суммирование проводится по всем точкам (xr, j/') Е Z"+1, удовлетворяющим условию О ^ у' ^ m — 1. При этом для любого фиксированного (ж, у) Е П число слагаемых для /о и f* конечно.

Замечание. Отметим, что fo(x, у) — решение однородной задачи Коши, f*(x, у) — частное решение с нулевыми начальными данными.

Третий и четвертый параграфы посвящены исследованию устойчивости разностной схемы с использованием формул (6)-(7), выражающих решение через фундаментальное и методов теории амеб алгебраических гиперповерхностей. В третьем параграфе формулируются и доказываются необходимое и отдельно достаточное условия устойчивости задачи Коши для многослойной линейной однородной разностной схемы. В четвертом параграфе доказывается критерий устойчивости задачи Коши для многослойной линейной неоднородной разностной схемы.

Определение 1. Многогранником Ньютона Np многочлена P(z, w) называется выпуклая оболочка в R"+1 элементов множества А.

Пусть V = {(г, ги) Е Cn+1 : Р (z, w) = О}— множество нулей многочлена Р (z, w), оно называется характеристическим множеством.

Определение 2. Амебой алгебраической гиперповерхности называется образ множества нулей V многочлена Р (z, w) = ^ ca^zaw13 при отобра-

{а,р)ЕА

женпи

Log : (z,w) = (zi,...,zn,w) (log\zi\,..., log\zn\,log\w\) = (Log\z\, log\w\).

Отметим следующие свойства амебы.

Множество V, а значит и ЬодУ, замкнуто, поэтому его дополнение открыто. Оно состоит из конечного числа связных выпуклых компонент.

Для произвольной функции <р(х, у), заданной в «полупространстве» П = {(х, у) € Ъп+1 : у > 0} определим ее норму следующим образом

Определение 6. Назовем однородную задачу (4)-(5) устойчивой, сели существует константа Ь > 0 такая, что при любых ограниченных начальных данных (5) для соответствующего решения / выполняется неравенство

Теорема 3. Пусть £7(о,т) связная компонента дополнения амебы характеристического многочлена Р (г, и)), соответствующая вершине (0, то) многогранника Ньютона.

1. Если задача Коши (4)-(5) устойчива, то начало координат принадлежит замыканию т.е. (0, 0) £ Е^ ту

2. Если начало координат (0, 0) € Е^0.т), то задача Коши (4)-(5) устойчива.

В четвертом параграфе формулируется и доказывается критерий устойчивости задачи Коши для многослойной линейной неоднородной разностной схемы.

Определение 7. Неоднородную задачу (4)~(5) назовем устойчивой, если существуют константы М\ > 0, М2 > 0 такие, что при любых ограниченных начальных данных (5) и ограниченной правой части д(х, у) для соответствующего решения / выполняется неравенство

Теорема 4. Пусть Е(о,т) связная компонента дополнения амебы характе-

вир \(р(х,у)\.

{х,у)е п

(8)

11/11

||ЛЮ/1|М1 + Л/2|Ы|.

и

ристичсского многочлена Р(г, и>), соответствующая вершине (0, ш) многогранника Ньютона. Неоднородная задача Коши (4)-(5) устойчива тогда и только тогда, когда начало координат принадлежит -£7(о,т)> Т-е-

(о, о) е д(0,т).

Вторая глава посвящена исследованию неявных разностных схем и состоит она из четырех параграфов. Для неявных разностных схем нетривиальным является вопрос о существовании и единственности решения, т.е. о разрешимости задачи Коши.

В первом и третьем параграфах рассматривается полиномиальный разностный оператор порядка т

Р(6)=^2 са5а,

где а = («1, ..., ап) — мультииндекс, |а| = а.\ + ... + ап, 5а = ... 5°п, са — коэффициенты разностного оператора и разностные уравнения вида

Р(6)Пх) = д(х), хе%п+, (9)

где /(х) — неизвестная, а д{х) — заданная на = х ... х Ъ+ функция и Ъ+ — множество целых неотрицательных чисел.

Для двух точек х, у целочисленной решетки Zn неравенство х ^ у означает, что хг- ^ у, для г = 1, ..., гг, а запись х ^ у означает, что найдется г0 е {1, ..., п} такое, что хго < у;о.

Фиксируем мультииндекс /3 такой, что

|/3| =шис?/0. (*)

Обозначим Хо^ = {лё 2" : х ^ /3} и сформулируем задачу:

найти решение /(х) уравнения (9), которое для х € р совпадает с заданной функцией <р(х), т.е. удовлетворяет условию

/(х) = ф),хеХ0,0. (10)

Задачу (9)—(10) будем называть задачей Коши для полиномиального разностного оператора Р(д), а функцию <р(х) — начальными данными этой задачи.

Если /3 ф (т,..., 0) и /3 ф (0, ...,т), то условия (10) будем называть условиями типа Рикье.

Сформулируем легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи (9)-(10).

Теорема 5. Если для коэффициентов полиномиального разностного оператора Р(6) выполнено условие

ы > |cQ|, (И)

\a}=m,ajt0

то задача (9)-(10) имеет единственное решение.

Возьмем произвольное р £ Z+. Неизвестные будем «нумеровать» элементами множества Jp = {у £ Z" : |у| ^ р} и упорядочим это множество однородно-лексикографическим способом. Уравнения «занумеруем» элементами двух множеств 1р = {х £ Z™ : |ж| ^ р — тп} и Ip.p = {ц £ Хо^р : \ц\ ^ р}. Если обозначить =ffM — число элементов конечного множества М, то нетрудно видеть, что + #//з,р = Так как р + {/3 + 1р} = Jp, то элементам множества 1р,р присвоим те же «номера», с которыми они входят в множество Jp, а элементам х множества 1р — те «номера», с которыми ¡3 + х входят в Jp.

Рассмотрим систему уравнений относительно конечного числа упорядоченных неизвестных f(y), у £ Jp вида

£ caf(x + a)=g(x),x£lp, (12)

}{n) = <p{n),iiel0.p. (13)

Обозначим Ддр определитель системы уравнений (12)—(13).

Доказательство теоремы 5 опирается на следующую теорему. Теорема 6. Задача (9)-(10) для всех ip(x) и д(х) имеет единственное ре-

шение тогда и только тогда, когда для всех р = О, 1, 2, ... определители Адр ф 0.

В случае разрешимости задачи (9)—(10) важную роль играет фундаментальное решение, так как через него можно выразить любое решение13'14'15.

Формула для решения задачи (9)—(10) здесь отличается от формул главы 1.

Теорема 7. Если задача (9)-(10) для любых д{х) и <р(х) имеет единственное решение /(х), то для любого х € 2" его можно записать в виде

/(*)= I] £ + ^ - !/) + £ гМР^1" »). (14)

у> о

где Рр — фундаментальное решение задачи (9)-(10). При этом для любого фиксированного х € 2™ число слагаемых в суммах правой части формулы (14) конечно.

Во втором параграфе главы показано, что условия теоремы 6, обеспечивающие разрешимость задачи (9)—(10), также являются необходимыми и достаточными для существования мономиального базиса в факторкольце С\г]/ (Р(г)), где (Р(г)) — идеал, порожденный характеристическим многочленом Р(г) в кольце многочленов С[г\.

Теорема 9. Набор мономов образует базис факторкольца

С[г]/ (Р(г)) тогда и только тогда, когда ф 0 для всех р = 0,1, 2, ... .

В третьем параграфе главы теорема 5 доказана для двумерного случая другим методом. А именно, итерационным методом для двумерного разностностного полиномиального оператора вводится понятие ассоциированной матрицы. Это ленточная матрица бесконечного порядка и се невырожденность является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (9)—(10) (лемма 4). Отметим еще теорему 10, в которой найдено обобщение хорошо известного рекуррентного соотношения для главных ми-

13Лейнартас Е.К. Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений""// Сибирский математический журнал. 2007. Т."48, \Xo~2. С. 335-341.

1 Рогозина М.С. О разрешимости задачи Коши для полиномиального разностного оператора // Вестник НГУ. Математика, механика, информатика. 2014 (принята к печати).

15Рогозина М.С. Устойчивость многослойных разностных схем и амебы алгебраических гиперповерхностей // Журнал СФУ. Математика и физика. 2012. Т. 5, 2. С. 256-263.

норов трехдиагональной матрицы.

В четвертом параграфе главы исследуется разрешимость многослойных неявных разностных схем в «полосе» целочисленной решетки. Введем необходимые обозначения и определения.

Зададим «полосу» П = {(ж, у) е Z2, 0 ^ ж < В, у > 0} в положительном октанте целочисленной решетки, число В +1 будем называть шириной «полосы» П. Рассмотрим разностный полиномиальный оператор с постоянными коэффициентами вида

т b т

p(si,s2) = Е Е = Е (is)

j=О ¿=0 j=о

ь

где Pj(5i) = 3 = 0,1, »., т.

7=0

m b

Степень ш многочленаР(,г, w) = J2J2ci,jztw'' п0 переменной w будем

j=0i—0

называть порядком разностного оператора P{S\,S2) и предполагать, что b < В.

Зафиксируем /3 такое, что сргт ф 0 и рассмотрим множество П^ = {(ж,у) е Z2+ : 0 ^ х - (3 ^ В - b,y > т - 1}. Обозначим Ь0 = П \ Цз и сформулируем следующую задачу:

найти решение разностного уравнения

P(S1,S2)f(x,y) =д(х,у), (ж, у) е П (16)

удовлетворяющее условию

/(ж, у) = ip(x, у), (ж, у) е Ь0, (17)

где д{х, у) и ip(ж, у) — заданные функции целочисленных аргументов. Приведем легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи

(16)-(17).

Теорема 11. Если для коэффициентов полиномиального разностного опс-

ратора Р(5\, 62) выполнено условие

ь

IС/3,ml ^ lCtt-ml' (18)

а=0,а//3

то задача (16)-(17) имеет единственное решение.

Зафиксируем целое р такое, что р ^ то и будем рассматривать прямоугольник IP = {(х,у) : 0 ^ х ^ В, 0 ^ у ^ р}. Неизвестные будем «нумеровать» элементами множества Пр и упорядочим это множество лексикографически. Уравнения будем «нумеровать» элементами двух множеств П£ = {(х, у) В - Ъ,0 ^ у ^ р - т} и Lp0 = IP\ {(/?, то) + Щ}.

Так как Щ U {(/3, то) + П^} = W, то элементам множества присвоим те же «номера», с которыми они входят в множество Пр, а элементам (х, у) множества П^ — те «номера», с которыми (/3, то) + (х,у) входят в Пр.

Получим систему уравнений относительно упорядоченных неизвестных f{x, у), (х, у) £ Пр, вида

P(S1,S2)f(x,y)=g(x,y),(x,y) еП£, (19)

¡(х,у) = ф,у),(х,у)еЦ. (20)

обозначим Ар,0 определитель системы уравнений (19)-(20). Его порядок равен N = (В + 1) • (р + 1) и состоит он из строк двух видов. В строках, соответствующих уравнениям (20) все элементы, кроме одного (равного 1) равны 0. Строки соответствующие уравнениям (19), состоят из нулей и коэффициентов Cj j разностного оператора Р(8\, 62).

Теорема 12. Задача (16)-(17) для всех ip (х, у) и g (х, у) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда для всех р ^ то определители

АР,0 ф 0.

Основные результаты

1. Дан критерий, а также приведено легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи Коши с начально-краевыми условиями

типа Рикье для полиномиального разностного оператора с постоянными коэффициентами.

2. Доказано, что разрешимость задачи Коши эквивалентна существованию некоторого определенного мономиального базиса в факторе кольца полиномов по идеалу, порожденному характеристическим многочленом.

3. Получены формулы, в которых решение задачи Коши для однородных и неоднородных многослойных явных разностных схем выражается через фундаментальное решение и начальные данные.

4. Используя эти формулы, в терминах теории амеб алгебраических гиперповерхностей найдены как необходимые, так и достаточные условия устойчивости однородных многослойных явных разностных схем. Для неоднородной схемы доказан критерий устойчивости.

Работы автора по теме диссертации

[1] Рогозина, М.С. Устойчивость многослойных разностных схем и амебы алгебраических гиперповерхностей / М.С. Рогозина // Журнал СФУ. Серия Математика и физика. — 2012. — №2. — С.256-263.

[2] Рогозина, М.С. Устойчивость многослойных линейных неоднородных разностных схем и амебы алгебраических гиперповерхностей / М.С. Рогозина // Вестник СибГАУ. Математика, механика, информатика. — 2013. — №3(49). - С.95-99.

[3] Рогозина, М.С. О разрешимости задачи Коши для полиномиального разностного оператора / М.С. Рогозина // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. — 2014. — Т. 14, №3. — С. 83-94.

[4] Рогозина, М.С. Разрешимость разностной задачи Коши для многослойных неявных разностных схем / М.С. Рогозина // Вестник СибГАУ. Математика, механика, информатика. — 2014. — №3 (55) — С. 126-130.

[5] Лейнартас, Е.К. Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора и мономиальные базисы факторов в кольце поли-

номов / Е.К. Лейнартас, М.С. Рогозина // Сибирский математический журнал. - 2015. - Т. 56, № 1. - С. 111-121.

[6] Рогозина, М.С. Устойчивость задачи Коши для многослойных разностных схем и амебы алгебраических гиперповерхностей / М.С. Рогозина // Материалы Юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс: Математика. — Новосибирск, Новосибирский государственный университет. — 2012. — С.68.

[7] Рогозина, М.С. Разностный аналог одной теоремы Хермандера / М.С. Рогозина // Четвертое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам. — Красноярск, Сибирский федеральный университет. — 2012. — С. 60-62.

[8] Рогозина, М.С. Рекуррентное соотношение для определителей ленточных матриц Хессенберга / М.С. Рогозина // Материалы 51-й международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс: Математика. — Новосибирск, Новосибирский государственный университет. — 2013. — С.48.

[9] Рогозина, М.С. Устойчивость задачи Коши для многослойных линейных неоднородных разностных схем и амебы алгебраических гиперповерхностей / М.С. Рогозина // Молодежь и наука: сборник материалов IX Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, посвященной 385-летию со дня основания г. Красноярска. — Красноярск, Сибирский федеральный университет. — 2013.

Подписано в печать 09.04.2015. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 110 экз. Заказ 1141

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел./факс: (391) 206-26-49; тел. (391) 206-26-67 E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru