Монотонные разностные схемы для уравнений параболического и гиперболического типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР л т ^

ил/

На правах рукописи

АЛТЫННИКОВА Любовь Александровна

МОНОТОННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Научно-исследовательском центре математического моделирования Национальной Академии наук Кыргызской Республики ь городе Бишкеке.

Научные руководители:

член-корреспондент HAH Кыргызской Республики,профессор В.П.Кочергин , кандидат физико-математических'наук, ст.н.с. С.Н. Скляр

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.И. Кузин

доктор физико-математических наук В.И. Климок

Ведущая организация:

Институт вычислительной технологий СО РАН, г. Новосибирск.

¿¿.ej.qy в /О

Защита состоится - ■ ' I в ( ^ часов

на заседании Специализированного совета К 002.10.01 при Вычислительном центре СО РАН по адресу:

<330090, г.Новосибирск, пр. академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ СО РАН, г.Новосибирск, пр. академика Лаврентьева, 6.

19-01

Автореферат разослан _ 1994 года

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.- мат. наук Ю.И. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

В различиях областях науки и техники, например, при расчетах движения вязкой жидкости, распространения тепла, при изучении процессов горения, возникает потребность в решении эволюционных задач.Нестационарные диффузионно-конвективные процессы описываются, как известно, задачами для уравнений параболического типа. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании термодинамики океана, определяя перенос тепла и солей. К гиперболическим уравнениям приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространения возмущений электромагнитных шлей и другие.

Многими авторами, как советскими (Годунов С.К., Марчук Г.И., Самарский A.A.), так и зарубежными ( Мортон К., Рихт-майер Р.), акцентировалось внимание на сохранении основных свойств дифференциальной задачи в ее разностном аналоге. Такими свойствами обычно являются: принцип максимума, сохранение монотонности начального профиля, консервативность.

Цель работы заключается в построении и исследовании новых , а также в дополнительном анализе известных разностных схем для задач параболического и гиперболического типов ,удовлетворяющих вышеуказанным свойствам. Основное внимание уделяется вопросам построения аппроксимаций по времени. С этой целью используется методика, условно названная нами проекционным вариантом интегро-интерполяционного метода. Для исследования схем использовался аппарат, связанный с утверждениями типа дискретного принципа максимума. Научная новизна.

С использованием оригинальной методики построены новые аппроксимации но времени для уравнений параболического и гиперболического типов. Доказаны оценки скорости сходимости приближенного решения к точному в сильной сеточной норме. Для однопараметрического семейства разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для нестационарного уравнения диффузионно-конвективного переноса, доказан критерий сохранения монотонности начального профиля. В рамках этого критерия построены различные варианты схем, сохраняющих

монотонность. Все теоретические исследования иллюстрируются численными расчетами на модельных задачах с известными точными решениями. Практическая ценность.

Предложенные в работе новые оригинальные разностные схемы могут быть использованы в моделях гидротермодинамики и тепломассообмена. Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на ежегодной Школе молодых ученых ВЦ СО РАН (Новосибирск,1988,1989), Школе- семинаре " Численные методы для высокопроизводительных систем " (Фрунзе,1983), Школе молодых ученых " Численные методы механики сплошной среды" (Красноярск, 1989), 4-й Всесоюзной научно-технической конференции " Вклад молодых ученых и специалистов в решение современных проблем океанологии и гидробиологии " ( Севастополь, 1989) , Всесоюзной конференции " Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" ( Новосибирск, 1990 ), III Всесоюзной Школе молодых ученых " Численные методы механики сплошной среды " ( Красноярск, T99I) , Всесоюзной конференции " Асимптотические методы теории сингулярно - возмущенных уравнений и некорректно поставленных -задач:" (Бишкек, 1991).

Полностью диссертация докладывалась на объединённом семинаре МВТ СО РАН и кафедры Вычислительных методов механики сплошной среды НГУ " Численные методы механики сплошной среды ", семинаре " Физика атмосферы и океана и охраны окружающей среды " ВЦ СО РАН, заседании учёного совета Научно-исследовательского центра Национальной Академии Наук Кыргы з ской Ре спублики. Публикации.

По теме диссертации опубликовано восемь работ. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы.Список литературы включает 70 наименований отечественной и зарубежной литературы. Общий объем диссертации составляет НО страниц, в том числе 6 рисунков и 10 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования,основные результаты работы. Приведен краткий обзор литературы.

Первая глава посвящена (р-ъ.) версии метода конечных элементов (МКЭ) для уравнения первого порядка с малым параметром при производной.Традиционный вариант МКЭ иногда называют ь-версией мкэ.т.к. сходимость метода обеспечивается за счет уменьшения верхней границы "л" площадей элементов триангуляции. В (р-1г) версии МКЭ дополнительным рычагом ускорения сходимости является увеличение степени "р" полиномов, которые используются для построения пространств аплроксиман-тов.В гл.1 предлагается и исследуется алгоритм такого типа,строится семейство аппроксимаций уравнения первого порядка с малым параметром при производной. Аналогичный результат получен при использовании другой методики,условно названной нами методом разложения билинейной формы. Доказаны равномерные по малому параметру оценки скорости сходимости. Проделаны численные эксперименты на модельных задачах с известными точными решениями, которые подтвервдают эффективность предложенного метода. Работа предполагалась подготовительным этапом для аппроксимации по времени в параболических задачах.Полученные схемы могут трактоваться как полиномиальные приближения к предложенным в диссертации аппроксимациям.

Вторая глава посвящена аппроксимациям по времени уравнений параболического типа.

В §1 предлагается несколько алгоритмов .применимых в случае общих параболических задач. Из классически известных аппроксимаций по времени для параболического уравнения чаще всего применяются чисто неявная схема и схема Кранка-Николсона . Первая из них абсолютно устойчива как в сильной норме, так и в асимптотическом смысле, и правильно описывает профиль решения. Однако, обладая лишь первым порядком аппроксимации, уступает схеме Кранка-Николсона при использовании малых временных шагов.Кроме того, чисто неявная схема в некоторых случаях может накапливать ошибку при расчетах на длительное время. Схема Кранка-Николсона теряет монотон-

ность и ухудшает решение при больших значениях числа Куранта. В силу вышесказанного, понятно желание построить схему.обладающую достоинствами обеих и свободную от их недостатков. После дискретизации по пространственным переменным при помощи метода конечных разностей, смешанная параболическая задача может быть сводена к задаче Коши для системы уравнений:

dU(£,t)

- + AU(M)=f(M), lew. t>0

. 1Щ,0)=ср(О,£€«

Здесь u> - пространственная сеточная область; А - оператор, действующий в пространстве сеточных функций {v(|)}5€&, который определен формулой:

AV(£)=2a(5,Ti) Y(r}) (2)

Кроме того, ядро оператора А -сеточная функция а(|,т)) -удовлетворяет следующим условиям:

£ а(?,Т))»0, а(£,Т)ХО .ДЛЯ T)€U\ а(£,т))>0 (3)

Т)£ш ¿¡¿I)

Для дискретизации задачи (I) мы используем проекционный вариант интегро-интерполяционного метода.Получено однопараме-трическое семейство двухслойных безусловно устойчивых в сильной сеточной норме разностных схем,аппроксимирующих задачу (I) с первым порядком равномерно по числу Куранта и со вторым порядком при фиксированном шаге сетки по пространству. Этим же методом в §2 построены трехслойные схемы.Отметим, что предлагаемые схемы учитывают экспоненциальную по времени структуру решения.Доказаны оценки скорости сходимости. Серия численных экспериментов иллюстрирует работу предложенного метода.

Эффективным инструментом исследования вопросов корректности разностных задач и доказательства оценок скорости сходимости в сильной сеточной норме является дискретный принцип максимума. Многие результаты,связанные с принципом максимума для разностных операторов общего вида,хорошо известны по монографиям А.А.Самарского. Однако,они не применимы, если дискретная задача получена после аппроксимации дифференциальной с оператором дивергентного вида. В §3 мы попыта-

лись восполнить этот пробел: вводятся определения монотонных операторов 1-го и 2-го типов. Исследуются их свойства,доказываются утверждения типа дискретного принципа максимума.Кроме этого, в §3 рассматриваются некоторые классы аппроксимаций по времени для параболических уравнений как в градиентной,так и в дивергентной форме, удовлетворяющие принципу максимума.Проведены расчеты на модельных задачах для схем из этого класса.

В §4 рассмотрена задача Коши для нестационарного уравнения диффузионно-конвективного переноса:

г эи <32и — = е —— +

дЬ дх аи

-I а--ьи , оо, I»), 1>0 (4)

дх

. и(х,0)=ф(х)

Для однопараметрического семейства разностных схем .аппроксимирующих (4),получены необходимые и достаточные условия сохранения монотонности начального профиля (Критерий сохранения монотонности ).В рамках этого критерия изучены различные варианты схем,аппроксимирующих уравнение теплопроводности. Необходимо отметить,что приведенный в § 4 критерий может быть использован не только при построении аппроксимаций уравнения (4),но и для получения условий на т и и, гарантирующих сохранение монотонности начального профиля в случаях известных разностных схем.Для вышеуказанного класса схем доказаны оценки устойчивости и сходимости в сильной сеточной норме. Проведены эксперименты на тестовых задачах.

В третьей главе § I при помощи методики, изложенной в Гл.II,построены различные варианты аппроксимаций по времени гиперболических задач.

После дискретизации по пространственным переменным при помощи метода конечных разностей, смешанная гиперболическая задача может быть сводена к задаче Коши для системы уравнений :

^uce.t)

—--+AU(5,t)=f(|,t), ш, t>0

dt

■ и(?.0)=фо(и (5)

dU

где А - оператор, действующий в пространстве сеточных функций . который определен формулами (2),(3).

Для дискретизации задачи (5) использован проекционный вариант интегро-интерполяционного метода. Получена двухша-говая двухслойная разностная схема. Доказаны оценки устойчивости и сходимости в сильной сеточной норме.Описаны примеры построения других разностных схем. В заключение приведены результаты некоторых численных экспериментов, которые демонстрируют эффективность работы предложенных схем.

Уравнение переноса является модельным и позволяет "отрабатывать" схемы для более сложных уравнений акустики, кинетических интегро-дафференциальных уравнений переноса нейтронов,нелинейных уравнений газовой динамики и других. Для уравнения переноса существует проблема построения разностных схем,сохраняющих монотонность начального профиля.В §2 Гл.III с использованием проекционого варианта интегро-интерполяционного метода,получены некоторые результаты в этом направлении.Рассматривается задача Коши:

Зи(х,t) d(aü) • - +- =f(x,t), хе(-«о,+«>), t>0 (6)

8t öx

U(x,0)=<p(x), x>0

В рамках вышеуказанного подхода .построен класс разностных схем для задачи (6) и сформулированы условия, достаточные для сохранения монотонности начального профиля. Обсуждаются различные разностные схемы,как удовлетворяющие, так и не удовлетворяющие этим условиям. Главу завершают результаты численных экспериментов.

В заключении излагаются основные результаты исследования:

I.C использованием (p-h) версии метода конечных элемен-

тов,строится семейство аппроксимаций уравнения 1-го порядка с малым параметром при производной. Доказаны равномерны оценки скорости сходимости приближенного решения к точному. Проведена численные эксперимента на модельных задачах с известными точными решениями, которые иллюстрируют предложенный метод.

2.Рассматривается задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений .К такой задаче могут быть сведены параболические краевые задачи после дискретизации по пространственным переменным. При помощи проекционного варианта интег-ро-интерполяционного метода построено семейство безусловно устойчивых аппроксимаций по времени. Это семейство включает как некоторые из ранее известных, так и новые аппроксимации. Доказаны оценки скорости сходимости приближенного решения к точному в сильной сеточной норме. Проведены расчеты на модельных задачах. Они подтверждают преимущества предложенных схем по сравнению с известными.

3. В случае однопараметрического семейства разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для нестационарного уравнения диффузионно-конвективного переноса, доказан критерий сохранения монотонности. В рамках этого критерия построены различные варианты схем, сохраняющих монотонность начального профиля . Численные эксперименты иллюстрируют преимущества предложенных схем при сравнении с классически известными. Необходимо отметить,что приведенный критерий может быть использован не только при построении аппроксимаций по времени,но и для получения условий на х и Ь,гарантирующих сохранение монотонности известных разностных схем для вышеприведенных уравнений.

4. При помощи проекционного варианта интегро -интерполя-щшого метода построены двухшаговые, двухслойные аппроксимации по времени для уравнений гиперболического типа. Доказаны оценки скорости сходимости в сильной сеточной норме.Численные расчеты подтверждают преимущества разработанных схем.

5.Предложен класс разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для уравнения конвективного переноса.При построении использован проекционный вариант интегро-интерполяционного мотива. Сформулироиаш достаточные условия сохранения моно-

тонности начального профиля для схем из этого класса.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Скляр С.Н..Алтынникова Л.А., Ж.Ж.Бакиров. Применение "ц-р" версии метода конечных элементов к решению задач с пограничным слоем. Школа-семинар "Численные методы для высокопроизводительных систем " : Тез. докл. - Фрунзе: ИМ АН КССР, 1988.- с.50.

2.Алтынникова Л.А. Применение р-Л версии МКЭ для дискретизации уравнения первого порядка с малым параметром при производной. Школа молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды": Тез.докл.-Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1989. С.128-131.

3. Алтынникова Л.А. Об одном варианте метода интегральных тождеств для уравнения первого порядка с малым параметром при производной.// Вычислительная математика и моделирование в физике. Новосибирск.- 1989.-С.82-88.

4. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. Об аппроксимации по времени в задачах диффузии-конвекции. 4-я Всесоюзн.научно-техн.конф. "Вклад молодых ученых и специалистов в решение современных проблем океанологии и гидробиологии".Тез.докл.-Севастополь:МГИ АН УССР, ИБШАН УССР,1989.-с.42-43.

5. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. Об устойчивых аппроксимациях по времени в параболических задачах // Моделирование в механике. Новосибирск.-1990.-т.4(21).-.№6.-с.134-145.

6. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. Дискретный принцип максимума и аппроксимация по времени в параболических задачах.//Теория и методы математического моделирования задач окружающей среда,-Бишкек: Илим, 1991.-с.79-93.

7. Скляр С.Н., Алтынникова Л. А. Об одном варианте аппроксимаций по времени гиперболических задач ЛII Всесоюзная Школа молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды": Тез.докл.- Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1991.-с.32-33.

8. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. О некоторых методах аппроксимации в задачах нестационарной диффузии-конвекции. Всесоюзная конференция "Асимптотические методы теории сингулярно - возмущенных уравнений и некорректно

поставленных задач:" Тез.докл.-Бишкек: ИМ АН РК, 1991.-с.И. 9. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А. О разностных схемах для уравнения диффузии-конвекции, сохраняющих монотонность начального профиля.-( в печати).