Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Михайловская Маргарита Николаевна

МОНОТОННЫЕ БИКОМПАКТНЫЕ С] ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

ТИПОВ

Специальность 01.01.07 - «Вычислительная математика»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 3 НОЯ 2011

Москва — 2011

4858773

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук доцент

Рогов Борис Вадимович

Официальные доктор физико-математических наук

оппоненты: профессор

Петров Игорь Борисович

доктор физико-математических наук профессор

Толстых Андрей Игоревич

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет ВМК

СО

часов на

Защита состоится « / » ^С^^рХ- 2011 года в заседании диссертационного совета Д 212.156.05 в Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 кпм.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета). Автореферат разослан « /У» 2011 года.

Ученый секретарь у^/

диссертационного совета / Федько О.С.

Д 212.156.05 1—7

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертационной работы

В настоящее время широкое распространение получили двухслойные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения (Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. 2001; Холодов A.C. 2008; Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. 2008). При построении таких схем основным принципом является известная теорема об ограничении порядка аппроксимации двухслойных монотонных линейных схем {Годунов С.К. 1959). Среди схем повышенной точности большой популярностью пользуются компактные схемы (Толстых А.И. 1990; Tolstykh A.I. 1994; Adams N.A., Sharif К. 1996, Shen Y.-Q., Zha G.-C. 2011), построенные для каждого пространственного направления на двух- или трехточечном шаблоне, вследствие их экономичности и удобства постановки граничных условий. Компактные схемы обладают свойством консервативности (Tolstykh A.I. 1994; Толстых А.И. 2002). Схемы с нецентрированными пространственными аппроксимациями {Толстых А.И. 1990; Tolstykh A.I. 1994), ориентированными против потока, являются устойчивыми и диссипативнъши при подходящей аппроксимации производных по времени. Однако, для точного воспроизведения структуры скачков искомых функций с помощью этих схем нечетного порядка аппроксимации по пространственным переменньм приходится прибегать к монотонизаторам в виде ограничителей потоков {Толстых А.И., Ши-робоковД.А. 1996; Tolstykh АЛ., Lipavskii M.V. 1998). Для подавления осцилляции численных решений, полученных с помощью компактной

схемы, вблизи скачков в схему добавляют искусственную вязкость (iОстапенко В.В. 2000, 2002), однако этот способ полностью не устраняет немонотонность численного решения вблизи скачков. Другим подходом для построения неосциллирующих вблизи разрывов схем является применение процедур ENO и WENO для расчета потоков через границы разностных ячеек (Adams N.A., Sharif К. 1996, Shen Y.-Q., Zha G.-C. 2011). Однако и этот подход также полностью не устраняет немонотонность численного решения. Кроме того, процедуры ENO и WENO достаточно трудоемки.

В связи с этим актуальным является развитие подходов к построению монотонных высокоточных разностных схем сквозного счета, которые, с одной стороны, являются экономичными, а, с другой стороны, не используют искусственную вязкость и какие-либо ограничители потоков. Иными словами, в настоящее время очень важным является построение монотонных схем, у которых собственная диссипация полностью подавляет внутреннюю дисперсию и порождаемые ею осцилляции в области сильных изменений решения.

Цели и задачи диссертационной работы

Целями диссертационной работы являются:

• Построение и исследование свойств бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического и параболического типов.

• Построение монотонизированных схем высокого порядка аппроксимации по времени; исследование их свойств, включая монотонность и точность.

• Сравнение результатов численного моделирования решения нестационарных гиперболических и параболических задач математической физики, полученных с использованием разработанных бикомпактных разностных схем и известных существенно неосцил-лирующих схем высокого порядка аппроксимации.

• Применение бикомпактных схем к решению задач газовой динамики.

Научная новизна диссертационной работы

В диссертационной работе предложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений гиперболического и параболического типов. Основные этапы этого способа: 1) построение двухслойной монотонной бикомпактной разностной схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и первого порядка аппроксимации по времени с помощью интегро-интерполяционного метода и метода прямых; 2) построение двухслойных диссипативных бикомпактных схем третьего порядка аппроксимации по времени на основе специальных диагонально-неявных трехстадийных методов Рунге-Кутты; 3) оригинальный метод построения гибридных нелинейных монотонных бикомпактных схем повышенного порядка точности по времени на основе базовых разностных схем, полученных на первых двух этапах. Построенные на основе этого способа разностные схемы обладают уникальным набором свойств. Они являются высокоточными, экономичными, консервативными, монотонными в широкой области значений локального числа Куранта.

В работе предложен новый способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. В отличие от известных в мировой литературе способов построения разностных схем. с использованием продолженной системы, исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество предложенного подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама искомая функция. Благодаря компактности шаблона, схемы не требуют вспомогательных граничных условий и решаются либо бегущим счетом, либо двухточечной прогонкой.

Предложен новый способ построения компактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на двухточечном шаблоне для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Суть данного способа состоит в получении двух независимых консервативных разностных уравнений на двухточечном пространственном шаблоне, используя дифференциальные следствия исходной системы уравнений. Из этих уравнений определяются значения искомой сеточной функции в целом рассчитываемом узле и полуцелом вспомогательном узле. В результате построенная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате по существу является бикомпактной схемой для опреде-

ления искомой сеточной функции в целых узлах сетки и решается методом бегущего счета.

Теоретическая и практическая ценность

Разработанные в диссертации методы построения разностных схем высокого порядка аппроксимации с уникальным набором свойств (экономичность, монотонность, консервативность) могут служить основой для конструирования разностных схем для решения широкого класса прикладных задач, описываемых уравнениями и системами уравнений гиперболического и параболического типа.

Построенные в работе высокоточные бикомпактные разностные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов, благодаря свойству монотонности и консервативности, могут быть использованы для решения нестационарных задач аэродинамики высоких скоростей, а благодаря хорошим дисперсионным свойствам - для решения задач аэроакустики. Экономичность построенных схем благоприятна для их использования при решении различных трудоемких нестационарных многомерных задач гиперболического и параболического типа.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый подход к построению монотонных высокоточных схем для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для линейного уравнения переноса и гиперболических систем квазилинейных законов сохранения со следующими свойствами: абсолютно устойчивы, монотонны в широком диапазоне значений локального числа Куран-

та, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются методом бегущего счета, могут быть использованы для решения жестких задач. Результаты исследования монотонности и точности разработанных схем.

2. Новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем для параболических уравнений на примере уравнения теплопроводности. Новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для уравнения теплопроводности со следующими свойствами: абсолютно устойчивы, монотонны, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются двухточечной прогонкой, могут быть использованы для решения жестких задач. Результаты исследования монотонности и точности разработанных схем.

Апробация работы

Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях и семинарах:

• Международный молодёжный научный форум «Ломоносов -2011», секция «Вычислительная математика и кибернетика» (Москва, 2011);

• 49-я, 50-я и 51-я научные конференции МФТИ (Долгопрудный, 2006-2008);

• Семинары кафедры информатики МФТИ (Москва, 2010-2011);

• Семинар кафедры вычислительных методов ВМК МГУ (Москва, 2011).

Публикации

Результаты исследований по теме диссертации изложены в 6 печатных работах, все работы опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.

В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1] - построение бикомпактных высокоточных схем для линейного уравнения теплопроводности, анализ их устойчивости, монотонности и реального порядка точности, выполнение расчетов; [2] - построение бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной для расчета гладких решений уравнений и систем уравнений гиперболического типа, анализ реальной точности предложенных схем; [3, 4] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса, исследование свойств бикомпактной схемы (устойчивость, монотонность, диссипативные и дисперсионные свойства), проведение расчетов; [5] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа, исследование свойств схемы (устойчивость, монотонность), выполнение расчетов; [6] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для многомерного линейного уравнения переноса, проведение расчетов.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 92 страницы. Список использованных источников содержит 82 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обоснование актуальности выбранной темы, характеристика особенностей построения схем высокого порядка аппроксимации для уравнений гиперболического и параболического типов, приводится обзор литературы по тематике диссертационной работы, представлены положения, выносимые на защиту, а также описаны научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе приведены ключевые понятия и методы построения бикомпактных схем высокого порядка аппроксимации для нестационарных задач. Выполнено и подробно описано построение бикомпактных схем для уравнений гиперболического типа. Рассмотрены примеры линейных и квазилинейных уравнений. Показана монотонность бикомпактной схемы первого порядка аппроксимации по времени, продемонстрировано построение различных вариантов мо-нотонизированных схем высокого порядка аппроксимации по времени.

В первом параграфе первой главы диссертационной работы подробно описано построение бикомпактной схемы четвертого порядка для решения смешанной задачи Коши для линейного одномерного уравнения переноса.

В кратком изложении методика построения компактных консервативных разностных схем на двухточечном шаблоне (т.е. бикомпактных схем) состоит из следующих основных этапов: 1) введение пространственной первообразной функции в качестве дополнительной искомой функции с целью получения четвертого порядка аппрок-

симации пространственной производной на двухточечном шаблоне; 2) использование интегро-интерполяционного метода, квадратурной формулы Эйлера-Маклорена и дифференциального следствия исходного уравнения для построения эволюционной бикомпактной дифференциально-разностной схемы (метод прямых); 3) применение специальных А- и Ь-устойчивых диагонально-неявных методов Рун-ге-Кутты для интегрирования дифференциально-разностной схемы по времени.

Монотонные нелинейные бикомпактные схемы повышенного порядка точности по времени строятся на основе двух базовых («опорных») бикомпактных схем: схемы А - монотонной чисто неявной схемы точности О(т), схемы В - немонотонной диссипативной либо А- либо Ь-устойчивой трехстадийной диагонально-неявной схемы Рунге-Кутты точности 0(т3), в которую вложена схема А. Здесь т - шаг по времени. Результирующее решение получается методом гибридизации по формулам

Иу=ауи,(А) + (1-а>у(в),

с весовыми коэффициентами

0<«У=Л2(С(М/В)-М;(А))Д)<1, ^

О < /7, = л2 (с(иг(В)-м>/А))/г) < 1,

где у - номер пространственного узла сетки на рассчитываемом временном слое, uJ,wJ - основная искомая сеточная функция и ее первообразная на этом временном слое; «ДА), и^(А) и иу(А), гсу(А) -

решения, полученные по схемам А и В, соответственно; константа С > 0 подбирается в зависимости от задачи.

Показано, что бикомпактная схема А точности О(т) является монотонной. Исследованы диссипативно-дисперсионные свойства бикомпактных схем. Построенные монотонизированные высокоточные схемы являются абсолютно устойчивыми, консервативными и могут решаться методом бегущего счета.

Проведено сравнение расчетов по данным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, которое показало преимущество предлагаемых в настоящей работе бикомпактных схем.

Во втором параграфе первой главы диссертационной работы подробно описано построение бикомпактной схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате для решения квазилинейного одномерного гиперболического уравнения, записанного в дивергентной форме:

и, + /(и)х = о, а(и) = #{и)/А1 > О, (3)

и(:с,0) - и0(х), х> 0; и{0,0 = ДО, ' > 0. Бикомпактная схема четвертого порядка аппроксимации по пространству и первого порядка по времени, построенная для (3) по предложенной в работе методике, имеет вид:

6 6 (4)

Здесь верхний индекс и+1 при значениях сеточных функций на рассчитываемом слое I = /„., опущен; г = т/А, И - пространственный шаг,

w/0= Uj-m(t) ~ вспомогательная функция. Схема первого порядка по времени является абсолютно монотонной для искомой сеточной функции, определенной в целых узлах сетки.

Отмечено, что методика построения бикомпактных схем для скалярного гиперболического уравнения (3) без изменений переносится на случай системы уравнений гиперболического типа

uI+f(ul=0, (5)

где u(x, t) - искомая вектор-функция с т компонентами, f(u) - заданная вектор-функция размерности т.

Монотонные нелинейные бикомпактные схемы повышенного порядка точности по времени строятся методом гибридизации на основе двух базовых («опорных») бикомпактных схем: схемы А -чисто неявной схемы точности О(т), схемы В -диссипативной трех-стадийной диагонально-неявной схемы Рунге-Кутты точности 0(т3), в

которую вложена схема А.

Методом разложения сеточного решения по элементарным ступенчатым функциям показано, что схема А является абсолютно монотонной в случае линейной функции f(u):

/(и) = аи, а = const > 0 , (6)

Если эту схему использовать для расчета решения в целых узлах. Если же использовать схему А для расчета решения и в целых, и в полуцелых узлах, то она монотонна при числе Куранта к > 0.25. Монотонность схемы А в случае, когда функция/^ нелинейна, исследована с помощью численного эксперимента на примере квазилинейного уравнения Хопфа.

Исследованы диссипативно-дисперсионные свойства построенных бикомпактных схем. Разработанные монотонизированные высокоточные разностные схемы являются абсолютно устойчивыми, консервативными и могут решаться методом бегущего счета.

Проведено сравнение расчетов по данным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, которое показало преимущество предлагаемых в настоящей работе бикомпактных схем.

В третьем параграфе первой главы описанный подход к построению схем повышенной точности распространен также на многомерные задачи. Бикомпактная схема для многомерного линейного уравнения переноса строится путем покоординатного расщепления многомерного дифференциального оператора на одномерные операторы. Получающиеся в результате расщепления одномерные задачи численно решаются с использованием монотонной бикомпактной схемы для линейного одномерного уравнения переноса. Обобщение бикомпактной схемы на многомерный случай проиллюстрировано на примере двумерного линейного уравнения переноса

и, + аих + Ьиу — 0, а, Ъ = const > 0 (7)

с начальными данными

и(х,у,0)=ио(х,у), 0<дс< 1, 0<д><1 (8)

и граничными условиями

= 0<у<1, 0<(<Г,

u(x,0,t) = p2(x,t), 0<х<1, 0<t<T.

Предложенная многомерная схема является абсолютно устойчивой и монотонной. Приводятся оценки реальной точности многомерной

схемы путем расчета на сгущающихся сетках для тестовой задачи с известным точным решением. Эффективные порядки сходимости схемы составляют 3.98 для сходимости по И и 2.97 для сходимости по ти близки к теоретическим порядкам одномерной схемы точности

О (у + й4). Проведены также расчеты на неравномерных пространственных сетках, которые подтвердили сохранение порядка сходимости бикомпактной схемы при переходе от равномерной сетки к неравномерной сетке.

Рис.1. Результаты расчета распространения двумерного прямоугольного импульса для момента времени г = 1 при о = Ъ = 1,к = ИГ1 Ь числа Куранта у = 0.25.

На рис.1 показаны результаты расчета распространения двумерного прямоугольного импульса со скоростями а = Ь - 1, имеющего единичную амплитуду и сосредоточенного в начальный момент времени г = 0 в области 0.3 < х,у < 1.2. Расчет проведен по гибридной схеме, являющейся нелинейной комбинацией бикомпактных схем первого и третьего порядка аппроксимации по времени. Форма им-

<1

пульса на рис.1 для момента времени Ь = 1 иллюстрирует монотонность разностной схемы.

Во второй главе изложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений параболического типа. Он проиллюстрирован примером начально-краевых задач для нестационарных одномерных линейных и квазилинейных уравнений теплопроводности. Построенные на его основе двухслойные компактные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на двухточечном шаблоне и третий порядок аппроксимации по времени на гладких решениях уравнений теплопроводности.

В кратком изложении методика построения компактных консервативных разностных схем на двухточечном шаблоне (т.е. бикомпактных схем) состоит из следующих основных этапов: 1) введение пространственной производной в качестве дополнительной искомой функции с целью сведения уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка; 2) использование квадратурных формул Симпсона и Эйлера-Маклорена для построения эволюционной дифференциально-разностной схемы (метод прямых); 3) применение специальных А- и Ь-устойчивых диагонально-неявных методов Рун-ге-Кутты для интегрирования дифференциально-разностной схемы по времени; 4) использование формул четвертого порядка точности, определяющих значения искомой функции и ее пространственных производных в полуцелых узлах сетки через значения функции и ее производных в целых узлах, для того, чтобы исключить указанные величины в полуцелых узлах из дифференциально-разностной схемы.

Монотонные нелинейные бикомпактные схемы повышенного порядка точности по времени получаются методом гибридизации аналогично схемам для уравнений гиперболического типа.

В первом параграфе второй главы подробно описано построение высокоточных бикомпактных схем для нестационарного одномерного линейного уравнения теплопроводности. В качестве модельной задачи, для которой строятся бикомпактные схемы и анализируются их свойства, рассмотрена начально-краевая задача с разрывными начальными данными. При построении схем методом прямых для уравнения теплопроводности пространственная производная аппроксимируется по формуле компактного дифференцирования четвертого порядка точности на двухточечном шаблоне. Для решения получающейся при этом эволюционной системы ОДУ рассмотрены различные неявные одношаговые двух- и трехстадийные схемы второго и третьего порядка точности. Проведено сравнение решений, полученных на основе этих схем, друг с другом, с точным решением, а также с решениями, полученными на основе одностадийной комплексной схемы Розенброка и монотизированными А- или L-устойчивыми трехстадийными диагонально-неявными схемами Рунге-Кутты.

Во втором параграфе второй главы подробно описано построение высокоточной бикомпактной схемы для нестационарного одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности. В качестве модельной задачи, для которой строятся бикомпактные схемы и анализируются их свойства, рассмотрена автомодельная задача о температурной волне (Самарский A.A., Соболь И.М. 1963). Проведено

сравнение решений, полученных с использованием монотизирован-ных высокоточных бикомпактных схем, с точным решением и с решением, полученным на основе одностадийной комплексной схемы Розенброка.

В третьей главе приведены примеры применения монотонных бикомпактных схем к решению известных нестационарных одномерных тестовых задач газовой динамики.

Проводится сравнение расчётов по предложенным в работе бикомпактным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, среди которых имеются такие популярные схемы как PPM (the piecewise parabolic method), и WEN05. Тестирование бикомпактных схем выполнено на системе одномерных тестовых задач газовой динамики, которая всесторонне отражает трудности, которые возникают при численном моделировании нестационарных течений газа.

Гиперболическая система законов сохранения массы, импульса и энергии, в декартовой системе координат может быть представлена в дивергентной форме и, +С(и), = 0, где

р ри

U = ри , f(«) = ри +р , е

р(и2/ 2 + е) ри{иг ¡2 + е) + ри

где безразмерные величины р, и, е и р обозначают плотность, скорость, удельную внутреннюю энергию и давление, соответственно, а у - показатель адиабаты.

Одной из задач, рассматриваемых автором в рамках тестирования, является задача Римана о распаде сильного разрыва со следующими начальными условиями:

Pi Pl Ря "я ftt ч

1 -2 0.4 1 2 0.4 0.5 0.15

где значения газодинамических величин слева от разрыва, расположенного в точке х = Х0, помечены нижним индексом L, справа от разрыва - индексом R. Задача Римана решается в области * е [0, 1] на

отрезке времени t е [0, tj\.

В результате распада разрыва образуются две волны разрежения, разбегающиеся друг от друга. В центре между ними образуется область очень низкой плотности и давления. На рис.2 показано сравнение расчетов с использованием известных схем и с помощью бикомпактной схемы повышенного порядка точности по времени с характеристическим расщеплением 4(0.1,1.5)- Все рассмотренные

разностные схемы для h =0.01 дают решения, которые имеют в центре расчетной области так называемый энтропийный след. Видно, что результаты расчета по бикомпактной схеме меньше отклоняются от точного решения в норме С, чем результаты расчетов по схемам WEN05 точности 0(х3 + А5), РРМ точности 0(т3 + h\ JT (симметричная схема с ограничителем) точности 0.(т3 + h2) (Liska R., Wendroff В. 2001,2003).

Рис.2. Распределение внутренней энергии для тестовой задачи Римана о распаде сильного разрыва.

В общей сложности в диссертационной работе приводятся результаты девяти численных экспериментов на задачах с различными начальными условиями, в том числе таких тестов как:

• blast wave problem - взаимодействие двух ударных волн, образу-

ющихся после распада двух сильных разрывов, в Noh problem - течение, содержащее две расходящиеся ударные волны очень большой интенсивности,

• peak problem - течение, содержащее сильную ударную волну, вол-

ну разряжения и контактный разрыв между ними. Результаты численных экспериментов показывают преимущество предлагаемых в диссертационной работе схем.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. На его основе построены и исследованы экономичные консервативные высокоточные компактные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и третьего порядка аппроксимации по времени для линейного и квазилинейного уравнений переноса, системы уравнений газовой динамики. Разработанные схемы являются двухслойными по времени и двухточечными по пространственным переменным, абсолютно устойчивыми, консервативными, монотонными в широком диапазоне значений локального числа Куранта и могут быть использованы для решения жестких задач. Построенные разностные схемы сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке и не требуют вспомогательных начальных и граничных условий. Они решаются методом бегущего счета.

2. Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для параболических уравнений. На его основе построены и исследованы новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для уравнения теплопроводности со следующими свойствами. Они имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной переменной и третий порядок аппроксимации по времени, абсолютно устойчивы, монотонны, сохраняют

консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются двухточечной прогонкой и могут быть использованы для решения жестких задач.

3. Все теоретические оценки свойств (устойчивости, монотонности, консервативности) построенных разностных схем проверены с помощью численных экспериментов на представительной системе принятых в мировой литературе тестов.

Список публикаций по теме диссертации

1. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. О сходимости компактных разностных схем // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №1. С.99-116.

2. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование. 2011. Т.23. №6. С.98-110.

3. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // ДАН. 2010. Т.430. №4. С.470-474.

4. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // ДАН. 2011. Т.436. №5. С.600-605.

5. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонная высокоточная компактная схема бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа//ДАН. 2011. Т.440. №2. С. 172-177.

6. Михайловская М.Н., Рогов Б.В. Бикомпактные монотонные схемы для многомерного линейного уравнения переноса. // Математическое моделирование. 2011. Т.23. №10. С.107-116.

Михайловская Маргарита Николаевна

МОНОТОННЫЕ БИКОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

ТИПОВ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 14.10.2011. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ф-095

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Бикомпактные схемы для уравнений гиперболического типа.

1.1. Бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса.

1.2. Бикомпактные схемы для квазилинейного гиперболического уравнения.

1.3. Бикомпактные схемы для многомерных задач.

ГЛАВА 2. Бикомпактные схемы для уравнений параболического типа.

2.1. Компактная схема первого порядка аппроксимации по времени для линейного уравнения теплопроводности.

2.2. Компактные схемы повышенного порядка аппроксимации по времени для линейного уравнения теплопроводности.

2.3. Компактная схема для квазилинейного уравнения теплопроводности.

ГЛАВА 3. Применение бикомпактных схем к решению задач газовой динамики.

Уравнения и системы уравнений гиперболического типа составляют значительную часть математических моделей, используемых для решения разнообразных прикладных задач [1]. Линейное уравнение переноса является одним из фундаментальных уравнений математической физики [40], которое активно используется для решения широкого круга задач о распространении электромагнитного излучения в различных средах. В их число входят задачи переноса излучения в атмосфере, задачи аэрокосмического мониторинга природной среды и дистанционного зондирования атмосферы планет [41], задача о зондировании биологической ткани лазерным импульсом [42], расчет полей нейтронов, порожденных активной зоной ядерного реактора [43]. Важнейшим свойством, которому должны удовлетворять разностные схемы сквозного счета для численного решения данного класса задач, является их монотонность [1]. Другое важнейшее требование к схемам сквозного счета - свойство консервативности [4]. Созданию высокоточных и экономичных разностных схем для уравнения переноса посвящено огромное число работ (см., например, обзоры [1,35, 44]).

Существует несколько способов повышения порядка аппроксимации схем по пространственным переменным. Эти способы можно условно классифицировать- следующим образом: использование многоточечных шаблонов; использование дифференциальных следствий исходных уравнений; применение компактных аппроксимаций производных [5]; использование комбинаций сеточных функций, полученных на разных сетках, например метод Ричардсона [32, 33]. Существуют также подходы, в которых указанные способы объединены. Например, в хорошо известной среди газодинамиков-вычислителей работе [34] при построении схемы четвертого порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне для скалярного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка 3 использовались как компактная аппроксимация четвертого порядка, так и дифференциальные следствия исходного уравнения.

В настоящее время среди схем высокого (выше первого) порядка аппроксимации большую популярность получили компактные схемы [5-8]. При построении таких схем используются дифференциальные следствия исходных уравнений, что позволяет при разностной аппроксимации производных использовать небольшое число точек шаблона (компактный шаблон). Порядок компактной аппроксимации больше или равен числу точек шаблона [5, 6].

В недавней' обзорной статье [45], посвященной проблеме, построения монотонных разностных схем для уравнений гиперболического типа, в частности, линейного уравнения переноса; отмечено, что перспективным направлением разработки монотонных схем является их поиск среди схем, обладающих компактностью пространственного шаблона, а также среди схем, построенных для продолженной системы. При этом продолженная система состоит из основного уравнения? переноса для искомой функции и уравнения- (или уравнений) для пространственных производных от этой функции, которые рассматриваются как дополнительные искомые функции [46]'. Обычно, при построении компактных схем производные от искомых функций рассматриваются в качестве искомых переменных [9]. Этот прием позволяет легко сформулировать граничные условия с высокой точностью на компактном разностном шаблоне. Компактность шаблона обеспечивает экономичность неявных компактных схем: разностные уравнения решаются либо прогонкой [5, 6, 9], либо бегущим^ счетом' [10]. Компактные схемы обладают свойством консервативности [5, 6, 11].

Анализ литературы показывает, что [34], судя, по всему, является первой работой, в которой построена схема четвертого порядка точности на двухточечном шаблоне по пространственной переменной. Важно отметить, что для расчета областей течений с большими градиентами газодинамических переменных на основе гиперболических законов 4 сохранения [1, 35] двухточечные компактные схемы кажутся более перспективными по сравнению с трехточечными [5], поскольку в отличие от последних обладают следующими важными свойствами. Во-первых, схема с двухточечным шаблоном сохраняет порядок аппроксимации при переходе от равномерной сетки к неравномерной. Во-вторых, если узел сетки расположить в точке разрыва решения, то в компактной двухточечной схеме можно избежать интерполяции через разрыв.

В кратком изложении методика [34] состоит из следующих основных этапов: 1) введение производных в качестве дополнительных искомых функций с целью сведения уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка; 2) использование интегро-интерполяционного метода и квадратурных формул Симпсона и Маклорена для построения разностной схемы; 3) использование формул четвертого- порядка точности, определяющих значения искомой* функции! и ее производных в полуцелых узлах сетки через- значения' функции и, ее производных в целых узлах, для того, чтобы исключить указанные величины в полуцелых узлах из разностной схемы. Заметим, что если на этапе 2 использовать квадратурную формулу трапеций вместо формул Симпсона и Маклорена, то получаются двухточечные схемы второго порядка точности.

Отметим, что в [36] схема второго порядка на двухточечном минимальном шаблоне для гиперболических уравнений была получена, как и в [34], путем введения производной от искомой функции в качестве дополнительного независимого неизвестного. В работе [9] этот же прием использован для построения схемы четвертого порядка для уравнения теплопроводности также на двухточечном шаблоне. В недавней работе [19] схемы повышенного порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне были названы для краткости бикомпактными. В работе мы будем придерживаться этого, на наш взгляд, удачного названия.

В работе [37] бикомпактная схема [34] для скалярного дифференциального уравнения третьего порядка была модифицирована и 5 обобщена на случай решения системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Эта модифицированная схема была применена к решению внутренних и внешних задач динамики вязкого газа [38, 39].

В [20] построены бикомпактные разностные схемы для линейного уравнения переноса путем использования различных схем интегрирования по времени эволюционных систем-дифференциальных уравнений, полученных методом прямых. Однако свойства этих схем были исследованы лишь на гладких решениях.

В настоящее время широкое распространение получили двухслойные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов- сохранения [1, 35]. При построении таких схем основным принципом является известная теорема об ограничении порядка аппроксимации двухслойных монотонных линейных схем [22]. Схемы с нецентрированными пространственными аппроксимациями [5, 6], ориентированными против потока, являются устойчивыми и диссипативными при подходящей аппроксимации производных по времени. Однако, для точного воспроизведения структуры скачков искомых функций с помощью этих схем нечетного порядка аппроксимации по пространственным переменным приходится прибегать к монотонизаторам в виде ограничителей потоков [12, 13]. Для подавления осцилляции численных решений, полученных с помощью компактной схемы, вблизи скачков в схему добавляют искусственную1 вязкость [81, 82], однако этот способ полностью не устраняет немонотонность численного решения вблизи скачков. Другим подходом.для построения»неосциллирующих вблизи разрывов схем является применение процедур £N0 и "\УЕ1ЧО для расчета потоков через границы разностных ячеек [7, 8]. Однако и этот подход также полностью не устраняет немонотонность численного решения. Кроме того, процедуры ЕЫО и \VENO достаточно трудоемки.

В связи с этим актуальным является развитие подходов к построению монотонных высокоточных разностных схем сквозного счета, которые, с 6 одной стороны, являются экономичными, а, с другой стороны, не используют искусственную вязкость и какие-либо ограничители потоков. Иными словами, в настоящее время очень важным является построение монотонных схем, у которых собственная диссипация полностью подавляет внутреннюю дисперсию и порождаемые ею осцилляции в области сильных изменений решения.

В' диссертационной работе предложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений гиперболического и параболического типов. Основные этапы этого способа: 1) построение двухслойной монотонной бикомпактной разностной схемы четвертого порядка аппроксимации! по пространственной координате и первого порядка аппроксимации по времени с помощью интегро-интерполяционного метода и метода прямых; 2) построение двухслойных диссипативных бикомпактных схем третьего порядка аппроксимации по времени на основе специальных диагонально-неявных трехстадийных методов Рунге-Кутгы; 3) оригинальный метод построения1 гибридных нелинейных монотонных бикомпактных схем повышенного порядка точности по- времени на основе базовых разностных схем, полученных на первых двух этапах.

На основе предложенного подхода построены и исследованы новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени разностные схемы. Предложенные схемы являются экономичными (решаются либо методом бегущего счета, либо двухточечной прогонкой), консервативными, монотонными в широкой области значений локального числа Куранта. Схемы не используют искусственную вязкость и ограничители потоков, не требуют вспомогательных начальных и граничных условий.

В первой главе работы предложен новый способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для 7 уравнений и систем уравнений гиперболического типа. В отличие от известных в мировой литературе способов построения разностных схем с использованием продолженной системы [45], исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество предложенного подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама искомая функция. Описанный подход к построению схем повышенной точности распространен также на многомерные задачи. Бикомпактная схема для многомерного линейного уравнения переноса строится путем покоординатного расщепления многомерного дифференциального оператора на одномерные операторы.

В первой главе работы также предложен новый способ построения компактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на двухточечном шаблоне для квазилинейных уравнений* гиперболического типа. Суть данного способа состоит в получении двух независимых консервативных разностных уравнений на двухточечном пространственном шаблоне, используя дифференциальные следствия исходной системы уравнений. Из этих уравнений определяются значения искомой сеточной функции в целом рассчитываемом узле и полуцелом вспомогательном узле. В результате построенная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате по существу является бикомпактной схемой для определения искомой сеточной функции в целых узлах сетки и решается методом бегущего счета.

Во второй главе работы изложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений параболического типа. Он проиллюстрирован примером начально-краевых задач для нестационарных одномерных линейных и квазилинейных уравнений теплопроводности. Построенные на его основе 8 двухслойные компактные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на двухточечном шаблоне и третий порядок аппроксимации по времени на гладких решениях уравнений теплопроводности.

В третьей главе работы приведены примеры применения монотонных бикомпактных схем к решению известных нестационарных одномерных тестовых задач газовой динамики. Проведено сравнение расчётов по предложенным в работе бикомпактным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, среди которых имеются такие популярные схемы как PPM (the piecewise parabolic method) [27], и WEN05 [28]. Тестирование бикомпактных схем выполнено на системе одномерных тестовых задач газовой динамики, которая всесторонне отражает трудности, которые возникают при численном моделировании нестационарных течений газа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для уравнений гиперболического и параболического типов.

2. На основе предложенного подхода построены и исследованы экономичные консервативные высокоточные компактные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и третьего порядка аппроксимации по времени для линейного и квазилинейного уравнений переноса, для линейного и квазилинейного уравнений теплопроводности, а также для системы уравнений газовой динамики.

3. Разработанные схемы являются двухслойными по времени и двухточечными по пространственным переменным, абсолютно устойчивыми, консервативными, монотонными в широком диапазоне значений локального числа Куранта и могут быть использованы для решения жестких задач. Построенные разностные схемы сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке.

4. В отличие от известных результатов, предложенные схемы являются экономичными (решаются методом бегущего счета), не используют искусственную вязкость и ограничители потоков, не требуют вспомогательных начальных и граничных условий.

5. Все теоретические оценки свойств (устойчивости, монотонности, консервативности) построенных разностных схем проверены с помощью численных экспериментов на представительной системе принятых в мировой литературе тестов.

Разработанные автором методы построения разностных схем высокого порядка аппроксимации с уникальным набором свойств (экономичность, монотонность, консервативность) могут служить основой для конструирования разностных схем для решения широкого класса прикладных задач, описываемых уравнениями и системами уравнений гиперболического и параболического типов. Благодаря свойству монотонности и консервативности, схемы могут быть использованы для решения нестационарных задач аэродинамики высоких скоростей, а благодаря хорошим дисперсионным свойствам - для решения задач аэроакустики. Экономичность построенных схем благоприятна для их использования при решении различных трудоемких нестационарных многомерных задач гиперболического и параболического типа.

1. Холодов А. С. Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. T.VII-1.4.2. М.: Янус-К, 2008, С.141-174.

2. Калиткин КН. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

3. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.

5. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в.задачах аэрогидродинамики. — М.: Наука, 1990, 230 с.

6. Tolstykh A.I. High accuracy non-centered compact difference schemes for fluid dynamics applications. Singapore: World Scientific, 1994. 314 p.

7. Adams N.A., Sharif K. A high-resolutiion compact-ENO scheme for shock-turbulence interaction problems // J. Comput. Phys. 1996. V.127. P.27-51.

8. Shen Y.-Q., Zha G.-C. Generalized finite compact difference scheme for shock/complex flowfield interaction // J. Comput. Phys. 2011. V.230. P.4419-4436.

9. Рогов Б.В., Михайловская M.H. О сходимости компактных разностных схем // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №1. С.99-116.

10. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Докл. РАН. 2011. Т.436. №5. С.600-605.

11. Толстых А И. Об интегроинтерполяционных схемах заданного порядка и других приложениях мультиоператорного принципа // ЖВМиМФ. 2002. Т. 42. №11. С.1712-1726.

12. Толстых А.И., Широбоков Д. А. О разностных схемах с компактными аппроксимациями пятого порядка для пространственных течений вязкого газа//ЖВМиМФ. 1996. Т. 36. № 4. С.71-85.

13. Tolstykh A.I., Lipavskii M.V. On performance of methods with third- and fifth-order compact upwind differencing // J. Сотр. Phys. 1998. V.140. №2. P.205-232.

14. Ладонкина M.E., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф., Чеванин B.C. Об одном варианте существенно неосциллирующих разностных схем высокого порядка точности для систем законов сохранения // Математическое моделирование. 2009. Т.21. №11. с.19-32.

15. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса II Математическое моделирование. 2011. Т.23. № 6. С.98-110.

16. Liska R., Wendroff В. Comparison of several difference schemes on ID and 2D test problems for Euler equations // Techn. Rept. LA-UR-01-6225, LANL. Los Alamos, 2001.

17. Liska R., Wendroff B. Comparison of several difference schemes on ID and 2D test problems for the Euler equations // SIAM J. Sci. Comput. 2003. V.25. № 3. P.995-1017.

18. Самарский А.А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1989. 616 с.

19. Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Бикомпактные схемы и слоистые среды // Докл. РАН. 2008. Т.419. № 6. С. 744-748.

20. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // Докл. РАН. 2010. Т. 430. №4. С.470-474.

21. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 685с.

22. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решенийуравнений гидродинамики // Матем. сб. 1959. Т. 47(89). № 3. С.271-306.86

23. Остапенко В.В. О. сильной монотонности нелинейных разностных схем // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 7. С.1170-1185:

24. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 416 с.

25. Толстых А.И. О семействах компактных аппроксимаций 4-го и 5-го порядков с обращением двухточечных операторов для уравнений с конвективными-членами // ЖВМиМФ. 2010. Т. 50. № 5. С.894-907.

26. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comput. Phys. 1984. V.54. P.l 15-173.

27. Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes // J. Comput. Phys. 1996. V.126. P.202-228.

28. Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Возможности квазигазодинамического алгоритма для численного моделирования' течений невязкого газа // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 3. С.549-566.

29. Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Поправка // ЖВМиМФ. 2010. Т. 50. № 4. С.784.

30. Cocchi J.P., Saurel R., Loraud J.С. Some remarks about the resolution of high velocity flows near low densities // Shock Waves. 1998. V.8. P.l 19-125.

31. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. 320 с.

32. Калиткин Н.Н., Алъилин А.Б., Алъшина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: Физматлит, 2005, 224с.

33. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. // Сб. "Численные методы решения диффер. и интегр. ур-ний и квадратурные формулы". М.: Изд-во АН СССР. 1964. С.304г325.

34. Тышкин В.Ф., Фаворский А.П. Методы численного решения уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. От схемы Годунова к схемамвысокого разрешения // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. T.VII-1. 4.2. М.: Янус-К, 2008, С.91-103.

35. Белоцерковский О.М., Грудницкий В.Г., Прохорчук Ю.А. Разностная схема второго порядка точности на минимальном шаблоне для гиперболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т.23. №1. С.119-126.

36. Rogov В. К, Sokolova I.A. Fast numerical method for calculating flows through a Laval nozzle I I In: Proc. 2nd Int. Conf. Finite Difference Methods (CFDM 98), Minsk, Belarus, July 5-9, 1998. Vol. 3. P. 47-52.

37. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И:А. Эффективный метод расчета вязких течений, со значительным искривлением линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т.374. №2. С. 190-193.

38. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическая модель вязких смешанных течений // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 378. № 5. С. 628-632.

39. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 736 с.

40. Сушкевич Т.А. Математические модели- переноса излучения. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 661 с.

41. Кузнецов B.C., Николаева О.В., Басс Л.П. и др. Моделирование распространения ультракороткого импульса света через сильно рассеивающую среду // Математическое моделирование. 2009. Т.21. №4. С.3-14.

42. Аристова E.H., Голъдин В.Я. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №11. С.41-54.

43. Галаиин М.П. Численное решение уравнения переноса // Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей. Под ред. Г.Г.Малинецкого. М.: Едиториал УРСС, 2005, С.78-116.

44. Холодов А. С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа // ЖВМиМФ. 2006. Т.46. №9. С.1638-1667.

45. Грудницкий В.Т., Прохорчук Ю.А. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации для дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. 1977. Т. 224. №6. С. 1249-1252.

46. Shu C.-W. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // ICASE Report. 1997. №97-65.

47. H.H. Калиткин, И.В. Pumyc. Комплексная схема решения параболических уравнений. М.: Инст. Прикл. Матем. 1981. Препринт № 90,18 с.

48. Е.Ю. Днестровская, Н.Н. Калиткин, И.В. Ритус. Решение уравнений в частных производных схемами с комплексными коэффициентами // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 9. С. 114-127.

49. Wornom S:F. Application of two-point implicit central-difference methods to hyperbolic system // Computers and Fluids. 1991. V.20. № 3. P.321-331.

50. Калиткин H.H., Козлитин И.А. Сравнение свойств схем бегущего счета для уравнения переноса // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. №4. С.35-42.

51. Петров КБ., Холодов А. С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа// ЖВМиМФ. 1984. Т.24. №8. С.1172-1188.

52. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. 832 с.

53. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.

54. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

55. В. Cockburn, Shu C.W. Nonlinearly stable compact schemes for shock calculations. // SIAM. J. Numer. Anal., 1994, v.31, №3, p.607-627.

56. N.A. Adams, K. Sharijf. A high resolution hybrid compact-ENO scheme for shock-turbulence interaction problems // J. Сотр. Phys., 1996, v. 127, №1, p.27-51.r

57. A.I. Tolstykh, M.V. Lipavskii. On performance of methods with third- and fifth-order compact upwind differencing // J. Сотр. Phys., 1998, v.140, №2, p.205-232.

58. S.F. Radwan. On the Fourth-Order Accurate Compact ADI Scheme for Solving the Unsteady Nonlinear Coupled Burgers' Equations // Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 1999, v.6, № 1, p. 13-34.f

59. M.Y. Shen, Z.B. Zhang, X.L. Niu. A new way for constructing high accuracy ( shock-capturing generalized compact difference schemes // Comput. Methods

60. JI.M. Скворцов. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге-Кутты для жестких и дифференциально-алгебраических систем. // Математическое моделирование, 2002, т. 14, № 2, с. 3-17.

61. Н.В. Широбоков. Диагонально-неявные схемы Рунге-Кутты // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002, т.42, № 7, с. 1013-1018.

62. Н.В. Широбоков. Расщепление эволюционных уравнений на основе диагонально-неявных методов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2003, т.43, № 9, с. 1402-1408.

63. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, А.Б. Корягина. Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких идифференциально-алгебраических систем // Журнал вычисл. матем. и матем. Физики, 2006, т.46, № 8, с.1392-1414.

64. J.C. Butcher. Coefficients for study of Runge-Kutta integration processes. // J. Austral. Math. Soc., 1963, v.3, p. 185-201.

65. H.H. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Интегрирование жестких систем дифференциальных уравнений. Москва, препринты ИПМ им. Келдыша, 1981, №.80 и №90.

66. H.H. Калиткин, C.JI. Панченко. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование, 1999, т. 11, №6, с.52-81.

67. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под. ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979.

68. Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, Москва, 1990,512с. .

69. Е.А. Алъшина, Е.М. Закс, H.H. Калиткин. Оптимальные параметры явных схем Рунге-Кутты невысоких порядков // Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 2, с.61-71.

70. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977, 440 с.

71. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988, 264 с.

72. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

73. Liu X.-D., Osher S. Nonoscillatory high order accurate self-similar maximum principle satisfying shock capturing schemes I // SIAM J. Numer. Anal. 1996. V. 33.№2.P.760-779.

74. H.H. Калиткин, П.В. Корякин. Одномерные и двумерные бикомпактные схемы в слоистых средах // Математическое моделирование, 2009, т.21, № 8, с.44-62.

75. A.A. Самарский, И.М. Соболь. Примеры численного расчета температурных волн // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1963, т.З, № 4, с.702-719.

76. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations // Computer Journal. 1963. V.5. № 4. P.329-330.

77. В.В. Остапенко. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2000, т.40, № 12, с. 1857-1874.

78. В.В. Остапенко. Симметричные компактные схемы с искусственными вязкостями повышенного порядка дивергентности // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002, т.42, № 7, с. 1019-103 8.