Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Данилкина Ольга Юрьевна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей математики Самарского государственного университета путей сообщения

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Пулькина Людмила Степановна

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Уткина Елена Анатольевна

Ведущая организация. Научно-исследовательский институт

прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Защита состоится 31 октября 2007 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета К 212 081 06 при Казанском государственном университете им В И Ульянова-Ленина по адресу. 420008, г. Казань, ул Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд 324

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина

Автореферат разослан

ж

сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, ^ ^ Липачев

к ф -м н , доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При исследовании ряда физических процессов и дальнейшем построении их математической модели возникают задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения или его производных в различных точках границы или в точках границы и каких-либо внутренних точках Такие задачи, называемые нелокальными, для различных классов уравнений изучали А В Бицадзе, А А Самарский, А А Дезин, В А Ильин, Е И Моисеев, А М Нахушев, В И Жегалов, Т Ш Кальменов, О А ч Репин и другие

В последнее время все большее внимание специалистов в области уравнений с частными производными привлекает класс задач с нелокальными интегральными условиями, которые являются естественным обобщением дискретных нелокальных условий

Нелокальные интегральные условия возникают при изучении различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме, процессов распространения тепла, процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах, при математическом моделировании технологического процесса внешнего геттерирования, применяемого для очищения кремниевых плат от примесей, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики

К числу первых исследований нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений параболического типа можно отнести статью Дж Р Кэннона 1 Впоследствии данное направление получило развитие в работах Н И Ионкина, Л А Муравья и А В Филиновского, Н И Юрчука, А И Кожанова, J1С Пулькиной и других Исследования показали, что наличие нелокального условия вызывает трудости при использовании известных методов

1 Cannon J R The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy // Quart Appl Math - 1963 - V 21 - P 155-160

Особенно это проявляется в случае, когда интегральное условие имеет вид операторного уравнения первого рода Такие условия будем называть интегральными условиями первого рода Если же нелокальное условие помимо интегрального оператора содержит значение искомого решения или его производных на границе области исследования, то условия такого вида будем называть интегральными условиями второго рода В силу упомянутых причин возникает потребность модификации стандартных методов изучения нелокальных задач и разработки новых способов исследования

В данной работе исследуются нелокальные задачи для уравнений параболического типа с интегральными условиями различных видов как в случае одной, так и в случае п пространственных переменных Таким образом, тема исследований является актуальной как с теоретической, так и с практической позиций

Целью настоящей работы является исследование нелокальных задач с интегральными условиями первого и второго рода для уравнений параболического типа, установление взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами, а также разработка методов исследования поставленных задач

Общая методика исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории функций и функционального анализа

Научная новизна.

1 Доказательство существования и единственности решения задач с интегральными условиями первого и второго рода для параболических уравнений в случае одной пространственной переменной

2 Изучение взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами для доказательства однозначной разрешимости нело-

кальной задачи с интегральным условием первого рода в случае п пространственных переменных

3 Доказательство существования единственного решения задачи с нелокальным интегральным условием для общего параболического уравнения

Все результаты диссертации являются новыми

Теоретическая и практическая значимость. Данная работа содержит теоретический материал Ее результаты являются вкладом в теорию нелокальных задач, а также могут найти применение при исследовании обратных задач и при математическом моделировании

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались и докладывались на

— научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2005-2007 гг (руководитель — д ф-м н , профессор О П Филатов),

— второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи "(г Самара, 2005),

— конференции "Труды Математического центра имени Н И Лобачевского" (г Казань, 2005),

— XVIII Конференции молодых ученых механико- математического факультета МГУ им Ломоносова (г. Москва, 2006),

— Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XVII" (г Воронеж, 2006) ,

— третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(г Самара, 2006),

— Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г Рязань, 2006),

— III международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (г Нальчик, 2006),

— конференции "Труды Математического центра имени Н И Лобачевского"(г Казань, 2006),

— всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г Самара, 2007),

— Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XVIII"(г Воронеж, 2007),

— восьмой международной Казанской летней научной школе - конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы "(г Казань, 2007),

— семинаре кафедры "Высшая математика"Самарского государственного университета путей сообщения (г Самара, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [12]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих четыре параграфа, и списка литературы из 78 наименований

Краткое содержание работы

Во введении приведен обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, обоснована актуальность темы, излагается краткое содержание работы, а также сформулированы основные результаты, выносимые на защиту

Первая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена исследованию двух нелокальных задач с интегральными условиями для параболических уравнений в случае одной пространственной переменной

В первом параграфе исследуется задача с интегральным условием, имеющим вид операторного уравнения первого рода, для параболического уравнения

Рассматривается уравнение

Щ = ихх + c(t)u + f(x, t) (1)

в области Qt = {{x,t) х € (0,l),t Е (0,Т)}, и для него ставится задача с начальным условием

и(х, 0) = ¥»(«), (2)

граничным условием

«х(0,<) = 0 (3)

и нелокальным условием i

J K(x)u{x,t)dx = E(t) (4)

о

Показана возможность перехода от исследования задачи (1) — (4) к изучению задачи с нелокальным условием второго рода

Лемма 1. 2. Пусть c(f) е C[0,T], f(x,t) € L2(Qt), <р(х) £ S С2[0,1],К(1) Ф 0, B(t) Е С^О,^ Если

выполняется условие согласования

i

Е(0) = J К{х)<р(х) dx,

то задача (1) — (4) эквивалентна задаче

Щ = ихх + c(t)u + f(x, t),

и(х, 0) = <р(х), ux(0,t) = 0,

и.

I

= j H{x)ux{x,t)dx + F(t), (5)

о

Затем получено интегральное тождество, с помощью которого

/1(0 = I еддм)«*®

о

Затем получено шт вводится понятие обобщенного решения задачи (1) — (3), (5)

I

J(~ищ + ихТ]х — сщ) ¿х<И — J /г) ¿хсН + J 1р(х)г](х, 0)с1х+

Qt QT

+ f If H(x)ux(x, t) dx + F(t) J T)(l, t) dt (6)

0 \o /

Назовем функцию u(x,t) € WI'ü{Qt) обобщенным решением задачи (1) — (3), (5), если для любой функции i](x,t) £ W^iQr) функция u(x,t) удовлетворяет тождеству (6)

Основным результатом параграфа является утверждение Теорема 1.1 Пусть c(t) б С[0,Т], f(x,t) б L2(Qt), ф) е w}(o,l), к(х) е c2[o,i], К(1) Ф о, E{t) е Сг[о, Г],

Кх{0) = 0, f Kl(x)dx ф

0 и выполняется условие согласования

I

Е( 0) = J K{x)<p{x)dx

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1) —

(Я (5)

Доказательство существование решения задачи (1) — (3), (5) проводится с помощью метода Галеркина, а единственность решения установлена с помощью априорной оценки

Во втором параграфе первой главы изучается задача с интегральным условием, имеющим вид операторного уравнения второго

рода для параболического уравнения Рассматривается уравнение

Щ - ихх + с(х, Ь)и = /(ж, Ь) (7)

в области <5т = {(%, <) х е (0, /), £ € (О, Г)}, и для него ставится задача с начальным условием

и(®,0)=1р(в), (8)

граничным условием

и(0,<) = 0, (9)

и нелокальным условием

I

и{1,{) = ! К{х,£)и{х,Ь) ¿х (10)

о

Вводится понятие обобщенного решения задачи (7) — (10) Под решением задачи (7) — (10) будем понимать функцию и{х,€) 6 И^'^Фт), удовлетворяющую условиям

и такую, что

и(х, 0) = <р(х), и{0, ¿) = 0, и{1,4) = J К(х, £)и(х, ¿ж

о

с?ля любой функции 1](х, £) £ функция и(х, £) удовлетворяет

интегральному тождеству

j(щ — ихх + си)т](ж,4) (¿ЖСЙ = £ /(х,^Г)(х, £) (1хЖ Я т Ят

Исследование задачи (7) — (10) проводится с помощью метода продолжения по параметру Доказано утверждение

Теорема 1.2 Пусть с{х,г) е С2'1^), /ОМ) € Ь%(@т),<р{х) е №¡{0,1), К{х,Ь) € С1{Щ,К{х,0) = 0, Уж € [0,1]. Тогда существует единственное решение задачи (7) — (10)

Вторая глава состоит из двух параграфов Эта глава посвящена исследованию взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами

В первом параграфе изучается обратная задача о нахождении пары функций и(х, р(Ь), удовлетворяющих уравнению

«4 = Ли+р(0« + /(®)<) (И)

в области С}т = {(ж, £) х е Е (О, Т)}, где П - ограниченная область в пространстве Дя с гладкой границей сЮ, начальному условию

и(ж,0) = (р(х), (12)

граничному условию

и\!Ь = (13)

где 5т = {(а;, ¿) х € сЮ,1 & (О, Т)} - боковая поверхность цилиндра С}т, и интегральному условию переопределения

! К{х,г)и{х,£)ёх-ЕЦ) (14)

и

Показана возможность перехода от задачи (11) — (14), в которой уравнение (И) нелинейно относительно пары (и(ж,£), р({}) к линейной задаче.

Лемма 2.1 Задача (11) — (14) относительно пары функций (и(р(рУ) эквивалентна задаче относительно пары функций

КМ), <?(*))

vt=:&v + q{t)f(x,t), (15)

«(х,0) = ф), (16)

«к = 0, (17)

I К(х, ¿) ¿X = £?(*)«(*), (18)

п

где v(x, t) = u(x, t)exp

j P{V) dv^ > g{t) = exp J p{r¡) dr)

Получено интегральное тождество, с помощью которого вводится понятие обобщенного решения задачи (15) — (18)

J(—vrjt + vxr]x) dx dt = J q{t)fr¡dxdt + J <p(x)rj(x, 0) dx (19)

Qr Qt ü

Назовем пару функций (v(x,t),q(t)) обобщенным решением задачи (15) - (18), если v € W¡'n{QT),q{t) е L2(0,T), и Щх,г) 6 W%(Qt), r](x,t)\sT = 0-, функции v(x,t),q(t) удовлетворяют интегральному тождеству (19) и выполняется условие (18) Основным результатом параграфа является утверждение

Теорема 2.1 Пусть у>(ж) е L2{ü), f(x,t), K{x,t) е C(QT), E(t) 6 C[0,T], E(t) > Е\ > 0 Тогда существует единственное решение задачи (15) — (18)

Во втором параграфе исследуется задача с интегральным условием первого рода для параболического уравнения в случае п пространственных переменных Рассматривается уравнение

щ = Аи- с(х)и + /(ж, t) (20)

в области Qt = {(ж,<) х € 0,í € (0,Т)}, где Q - ограниченная область в пространстве Rn с гладкой границей díl, и для него ставится задача с начальным условием

u(x,0) = (p(x), X&Q, (21)

и нелокальным условием

K(x,t)u(x,t) dx = E(t), t e (0, T), (22)

где функции К(х, ¿), Е{Ь) заданы

Решение и(х, £) задачи (20) — (22) ищется в классе функций, для

ди „

которых след нормальной производной — на боковой поверхности

_ дп

цилиндра Цт представим в виде произведения функций, одна из

которых зависит только от пространственной, а другая только от временной переменной Тогда поставленную задачу можно трактовать как обратную задачу о нахождении пары функций (и, г), удовлетворяющих уравнению (20), условиям (21), (22) и условию

ди дп

= гЩ{х), (23)

где функция ф(х) известна Доказано утверждение

Лемма 2.2 Пусть К{х,1) € СХ(ДТ), Е{€) 6 С^О.Т], <р(х) € С1 (О), /(ж,£ Ь2(<Эт), с(х) € С(П), выполняется условие согласования Е(0) = £ К(х,0)ф(х) <1х и ! К(х,{)ф(х) ¿в > Ь,\ > 0 Тогда

п ао

условие (22) эквивалентно условию

Е( + J К и ¿х + J Кхих с1х — J К/ёх

где /г(£) = £ К(х, ¿)ф(х) сЬ, дп

о ^

К = ~Кг +

(24)

Понятие обобщенного решения задачи (20), (21), (23), (24) вводится с помощью интегрального тождества

J {—ищ + ихТ]х + сщ) ¿X <М = У гфг) ¿в <И+ 0,т Бт

+ J + J (р7](х,0)ёх (25)

С}т о

Назовем пару функций (и, г) решением задачи (20), (21), (23), ), если и € У2{Ят), г(4) € Ь2{0,Т) иУг}(х,г) е Щ{Ят) функции и(х,1),г(Ь) удовлетворяют тождеству (25) и условию (24)

Результатом этого параграфа является утверждение

Теорема 2.2 Пусть выполняются условия Леммы 2 2 и

Щ0) + У К(х,0)<р(х)йх + J Кя(х,0)1рх(х)4х-п п

- J К(х, 0)/(ж, 0)йх = У К(х,0)ф(х)<1а

{1 дП

Тогда существует единственное решение задачи (20), (21), (23),

Третья глава посвящена изучению задачи с интегральным условием для параболического уравнения с п пространственными переменными

Рассматривается параболическое уравнение

Ьи = щ- (ауы^)а,, + а(х, €)и = f(x, €) (26)

в цилиндре Цт — {(ж, I) х Е а,1 € (О, Т)}, где О - ограниченная область в пространстве Д" с гладкой границей да, и для него ставится задача с начальным условием

и(х, 0) = <р(х) (27)

г

= J J к(х> У> т)и{у> т) с£т, 0 < * < Т, ж 6 да (28)

и нелокальным условием

и\ вт'

о п

Для доказательства разрешимости нелокальная задача (26) — (28) сведена к стандартной смешанной задаче с однородным граничным условием Для этого определен оператор В . ¿2(<5т) ^ Ьг(Фт) следующим образом.

(

Ви ~ и(х,€) ~ J J у, t, т)и(у, т)<1у<1т

о п

Обозначая через у(х, значение оператора В при его действии на функцию и(х,Ь) В и = V, получим

и(х, - У j к(х> У>т)и(у, т) ¿у йт = «(ж, <) (29)

о п

t

Обозначим Ф(ж,4) = J j Г (ж, у, t, r)v(y, r)dydr о о

Доказано утверждение

Лемма 3 1. Задача (26), (27), (28) эквивалентна задаче

Lv + ЬФ — f(x,t), (30)

v{x,0 ) = ф), (31)

= (32)

где функция v(x,t) определяется равенством (29)

Вводится понятие обобщенного решения задачи (30), (31), (32) Назовем функцию v(x,t) € ^(Qr) обобщенным решением задачи (30), (31), (32), если 4r)(x,t) 6 W%(Qt), Г?1 ST ~ 0 Функция v(x,t) удовлетворяет интегральному тождеству

J (-vrjt + a4vxrixj + avri - Фщ + а13Фх^хз + аФг/) dxdt =

Qt

= J fr]dxdt + j <pr)(x,Ö)dx

Qt fi

Существование решения задачи (30), (31), (32) доказывается с помощью метода Галеркина

Основным результатом главы является утверждение Теорема 3 1. Пусть f(x,t) G £2д(Qt), </>0*0 € l2(ß),av(x,t), a(x,t) £ C(QT), an — азг, выполняется условие < al}£t£} < K(x, у, f, r) € C1 (Q x П x [О, Г] x [О, Г]) Тогда задача (30) - (32) имеет единственное обобщенное решение v(x,t) £ V<i(Qt)

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Л С Пулькиной за помощь и советы, которые она оказывала мне в период написания этой работы

Публикации автора по теме диссертации

1 Данилкина О Ю Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности / О Ю Данилкина // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" Часть 3.- Самара Изд-во СамГТУ, 2005 - С 81-83

2 Данилкина О Ю О единственности решения одной нелокальной задачи для уравнения теплопроводности / О Ю Данилкина / / Труды математического центра им Н И Лобачевского - Казань Казанское математическое общество, 2005 - Т 31 - С 51 - 53

3 Данилкина О.Ю. Смешанная нелокальная задача для параболического уравнения / О Ю Данилкина // Труды XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им Ломоносова — Москва Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2006 - С 35 - 38

4. Данилкина О Ю Обратная задача для уравнения теплопроводности / О Ю Данилкина //Современные методы теории краевых задач Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII" - Воронеж Центрально - черноземное книжное издательство, 2006 - С 51

5 Данилкина О Ю Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения теплопроводности / О Ю Данилкина // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" Часть 3 - Самара Изд-во СамГТУ, 2006 - С 99 - 101

6 Данилкина О.Ю. Нелокальная задача для параболического уравнения / О Ю Данилкина // Известия Российской академии

естественных наук Дифференциальные уравнения — Рязань Рязанский государственный университет, 2006 - Т 11 - С 70-71

7 Данилкина О Ю Нелокальная задача с интегральным условием для параболического уравнения / О Ю Данилкина // Труды математического центра им Н И Лобачевского — Казань Казанское математическое общество, 2006 - Т 32 - С 72 - 73

8 Данилкина О Ю Об одной обратной задаче для уравнения теплопроводности / О Ю Данилкина //III международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" Материалы — Нальчик РАН, НИИПМиА КБНЦ РАН, 2006 - С 83-84

9 Данилкина О Ю Нелокальная задача для уравнения теплопроводности / О Ю Данилкина // СамДиф всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" Тезисы докладов — Самара "Универсгрупп", 2007 - С 41 - 43

10 Данилкина О Ю Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием / О Ю Данилкина // Вестник СамГТУ - 2007 - №1(14) -С 5 - 9

11 Данилкина О.Ю Об одной смешанной нелокальной задаче для параболического уравнения /ОЮ Данилкина//Современные методы теории краевых задач материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII" - Воронеж Воронежский государственный университет, 2007 - С 61-62

12 Данилкина О Ю. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения / О Ю Данилкина //Вестник СамГУ - 2007 - №6(56) - С 141 - 154

Подписано в печать 18 09 2007 Формат 60x84/16 Бумага писчая Печать оперативная Уел п л 1 Тираж 100 экз Заказ №151

Отпечатано в Самарском государственном университете путей сообщения 443022, г Самара, Заводское шоссе, 18

Введение

Глава 1. Нелокальные задачи для одномерного уравнения параболического типа

§1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода для одномерного параболического уравнения.

§2. Нелокальная задача с интегральным условием второго рода для одномерного параболического уравнения.

Глава 2. Нелокальная задача с интегральным условием для многомерного уравнения параболического типа

§1. Обратная задача с интегральным условием переопределения для параболического уравнения

§2. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода для многомерного уравнения параболического типа.

Глава 3. Нелокальная задача с интегральным условием второго рода для общего параболического уравнения

Задачи с нелокальными условиями представляют собой одно из динамично развивающихся направлений современной теории дифференциальных уравнений. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения или его производных в различных точках границы или в точках границы и каких-либо внутренних точках [60].

Особое место среди нелокальных задач занимает класс задач с нелокальными интегральными условиями, которые являются обобщением локальных и дискретных нелокальных условий. Нелокальные интегральные условия возникают при исследовании различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения. В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме [75], процессов распространения тепла [45], [23], процесса влагопереноса в капиллярно - пористых средах [59], [4]; при математическом моделировании технологического процесса внешнего геттерирования, применяемого для очи-щеиия кремниевых плат от примесей [57], [58].

Нелокальные задачи также имеют практическое значение при решении задач механики твердого тела. Они позволяют управлять напряженно - деформированным состоянием и этим схожи с задачами управления [1], [74].

К числу первых исследований нелокальных задач можно отнести статью А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [2]. В этой работе были поставлены и исследованы пространственно - нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений, которые привели к изучению несамосопряженных спектральных задач. Впоследствии задача, сформулированная в [2], была названа задачей Бицадзе - Самарского.

Дж. Кэннон [45] рассмотрел задачу о распространении тепла в тонком нагретом стержне {0 < х < 1}, в случае, когда задано количество тепла на части стержня {0 < х < Х(х)}, 0 < t < Т. Этот процесс приводит к изучению граничной задачи для уравнения теплопроводности щ — ихх с начальным условием и(х, 0) = <р(х) и нелокальным условием где E(t) и X(t) — известные функции.

В [45] доказано существование и единственность классического решения данной задачи при E(t), X(t) £ Сх[0, Т].

В работе Л.И. Камынина [28] в области St = < х < Х2(t),0 < t <Т} для одномерного параболического уравнения общего вида а(х, t)uxx + b(x, t)ux + с(х, t)u — щ = f(x, t) установлена однозначная разрешимость задачи с условиями в случае, если функции E(t) и Х3(t) удовлетворяют условию Гельдера.

Необходимо также отметить статью А.А. Самарского [75], в которой приведена постановка нелокальной задачи для уравнения теплопроводности и(х, 0) = h(x), g(x,t)u(x,t)dx = E{t), Xi(t) < X3(t) < X2{t), u(X2(t),t) = <p(t)

Ul — ^XXl

0.1: с начальным условием u(x, 0) = <p(x), 0 < x < 1,

0.2; граничным условием u(0,t) = u(t) и с интегральным условием

Эта задача исследована Н. И. Ионкиным в [23].

Также в [75] поставлена задача для уравнения (0.1) с начальным условием (0.2) и с условиями вида aiux(0,t) + b1ux(l,t) + aou(Q,t) + b0u{l,t) = 0, ci«x(0,t) + diux(l,t) + c0u(0,t) + dQu(l,t) = 0.

Существование и единственность решения нелокальной задачи для уравнения щ = ихх — q{x)u + f(x,t) с условиями (0.2), (0.3) исследованы Н.И. Ионкиным и Е.И. Моисеевым [25].

Задачи с нелокальными условиями активно изучаются в настоящее время. Среди работ, посвященных изучению нелокальных задач для гиперболических уравнений, выделим статьи [5] — [6], [25], [38], [39], [50], [51], [56], [71] - [72].

Нелокальные задачи для уравнений параболического типа исследованы в работах [4], [20] - [27], [33] - [35], [32], [57] - [58], [61] - [62], [70], [73], [77], [78]. Рассмотрим более подробно те статьи, в которых нелокальные условия являются интегральными. Остановимся сначала на работах, посвященных исследованию задач для уравнений параболического типа с интегральными условиями, нелокальными по пространственной переменной.

Н.И. Юрчук [78] изучал решение смешанной задачи для параболического уравнения с условиями и s,0) = 0, [ u(x,t)dx = 0. Jo

З.А. Нахушева [61], [62] исследовала нелокальную задачу для параболического уравнения с условиями д fa

J^ и(х, у) dx = ip(y\ 0<y<b, д fa

J^ u(x,y) dx = ф(у), 0 < у < b.

JI.А. Муравей и A.B. Филиновский [57], [58] изучали нелокальную задачу для уравнения (0.1) с условием p(t)u(l,t)+ / u(x,t) dx — р0и(1,0) + / u(x,0)dx.

Jo Jo 4

Н.И. Иванчов [20] показал существование решения нелокальной задачи для параболического уравнения с интегальными условиями pi(x)u(x,t) dx = Hi(t), г = 1,2. Jo

Задачи с нелокальными по времени интегральными условиями рассмотрены в [34], [69]. Так, А.Ю. Попов и И.В. Тихонов [69] исследовали задачу для уравнения (0.1) с нелокальным условием u(x,t) dt = ф(х).

А.И. Кожанов [34] доказал существование и единственность решения нелокальной задачи для уравнения Аллера с условием

В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными условиями с обратными задачами. В теории уравнений с частными производными под обратными принято понимать задачи, в которых наряду с искомым решением подлежат определению некоторые входные данные, например начальные условия или коэф-фиценты уравнения. При исследовании обратных задач задаются дополнительные условия, которые представляют собой либо сведения о состоянии процесса в заданный момент времени (задачи с финальным переопределением), либо средние значения каких-либо физических характеристик (задачи с интегральным переопределением).

Приведем пример, показывающий указанную выше связь. Рассмотрим в области Qt = {(ж, 0 : х Е (0,1), t 6 (0, Т)} уравнение теплопроводности

Щ ~ ихх = 0.

0.4)

Поставим для него задачу с граничными условиями

0, t) = u(l, t) = 0

0.5) и условием т

0.6)

Заметим, что в случае заданного начального условия и(х,0) = ф) (0.7) решение задачи (0.4), (0.5), (0.7) можно найти методом разделения переменных. Поэтому естественно расматривать задачу (0.4) — (0.7) как обратную задачу относительно пары функций (и, <р) с условием финального переопределения (0.6).

Среди последних работ посвященных изучению обратных задач для параболических уравнений выделим [46], [47] - [49], [67], [21], [29] - [31], [37] - [36], [63] - [66], [42], [43].

Остановимся на тех исследованиях, в которых условие переопределения имеет вид интегрального оператора.

Дж. Кэннон и Янпинг Лин [47] изучали задачу о нахождении пары функций (и,р), удовлетворяющих уравнению

Щ = ихх + p(t)u + F(x,t,u,uXip(t)), 0 < ж < 1, 0 <t<T, начальному условию и(х, 0) = Uo(z), 0 < х < 1, граничным условиям u*(0,t) = /(*). ux{l,t) = g(t), 0 <t<T и условию интегрального переопределения 1

Ф(х, t)u(x, t) dx = E(t), 0 < t < T, где функции uq(x), f(t), g(t), E(t) и F(t) известны.

A.M. Прилепко и Д.С. Ткаченко [63] исследовали задачу о нахождении пары функций (и,<р), u(x,t) в Qt = ^ х (0,Т), <р(х) в fi, удовлетворяющих уравнению p{x,t)ut - (CLij(x)ux.)x. - bi{x)uXi - c{x,t)u = Ф(x,t)ip(x), L начальному условию и(х, 0) = щ(х), х £ П, граничному условию u(x,t)\s = о и условию интегрального переопределения fT w(t)u(x, t) dt = x(^).

Jo

A.M. Кожанов [37] рассматривал задачу о нахождении функций и(х, t) и p(t), связанных в цилиндре Qt = & х (0, Т) уравнением

- (a^OMHi)^ - - = f{x,t), при выполнении для функции и(х, t) условий и(х,0) = щ(х), хбО,, u(x,t)\s = 0, I K(x,t)u{x,t)dx = fi{t), t€(0,T).

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений параболического типа и установлению взаимосвязи между нелокальными и обратными задачами.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Алексеева С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевим условием. /С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференц. урав.- 1998. Т.34. - №4. - С. 495-502.

2. Бицадзе А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // ДАН СССР. 1969. - Т. 185. - №4. - С. 793-740.

3. Васильева А. Б.Интегральные уравнения. / А. Б. Васильева, Н.А. Тихонов . М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160 с.

4. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М.Нахушева для одного псевдопараболического уравнения. / В.А. Водахова // Дифференц. уравнения. 2004. - Т.40. - №4. - С. 547-564.

5. Голубева Н.Д. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями./ Н.Д. Голубева, Л.С. Пулькина // Мат. заметки. 1996. - Т. 59.- В. 3. С. 456-458.

6. Гордезиани Д.Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды./ Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Мат. моделир. 2000.- Т. 12. №1. - С. 94-103.

7. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности. / О.Ю. Данилкина // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3.- Самара: Изд-во СамГТУ. 2005. - С. 81-83.

8. Данилкина О.Ю. О единственности решения одной нелокальной задачи для уравнения теплопроводности. / О.Ю. Данилкина // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2005. Т. 31. - С. 51 - 53.

9. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача для параболического уравнения./ О.Ю. Данилкина // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Рязанский государственный университет, 2006. Т. И. - С. 70 - 71.

10. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для параболического уравнения. / О.Ю. Данилкина // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского — Казань: Казанское математическое общество, 2006. Т. 32. - С. 72 - 73.

11. Данилкина О.Ю. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности. / О.Ю. Данилкина // СамДиф: всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докладов. Самара: "Универсгрупп", 2007. - С. 41 - 43.

12. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием / О.Ю. Данилкина // Вестник СамГТУ. 2007. - №1(14). - С. 5 - 9.

13. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения./ О.Ю. Данилкина //Вестник СамГУ. 2007. - №6(56). -С. 141-154.

14. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2./В.А. Зорич // М.: Наука, 1984. 640 с.

15. Ильин В.А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями. / В.А. Ильин,Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 2000. Т.Зб. - №5. - С. 656 -661.

16. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. -№2. - С. 294 - 304.

17. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №7. - С. 1279 - 1283.

18. Ионкин Н.И. Об задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев //Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №7. - С. 1284 - 1295.

19. Ионкин Н.И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальны-мими краевыми условиями. / Н.И. Ионкин, В.А. Морозова // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. №7. - С. 884 - 888.

20. Ионкин Н.И. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряженной краевой задачи. / Н.И. Ионкин, Е.А. Валикова //Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31 №7. - С. 1232 - 1239.

21. Камынин Л.И. Об обной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями./ Л.И. Камынин // Жв-МиМФ. Т.4. - №6. - 1964. - С.1006 - 1024.

22. Камынин В.Л. О предельном переходе в обратных задачах для параболических уравнений с условием интегрального переопределения. / В.Л. Камынин // Дифференц. уравнения. -1996. -Т. 32. №5. - С. 620 - 626.

23. Камынин В.Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения. / В.Л. Камынин // Мат. заметки. Т.77. - М. - 2005. - С. 522 - 534.

24. Камынин JI.И. Нелинейная обратная задача для параболического уравнения высокого порядка. / В.Л. Камынин, М. Сарольди // Жв-МиМФ. Т.38. - №10. - 1998. - С.1683 - 1691.

25. Капустин Н. Ю. Априорная оценка решения одной смешанной задачи для уравнения теплопроводности. / Н. Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 2006. - Т.42. - № 10. - С. 1375 - 1379.

26. Картынник А.В. Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка. / А.В. Картынник // Дифференц. урав. 1990. -Т.26.-№9.

27. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. 2004. - №6. - С. 763 - 774.

28. Кожанов А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений. / А.И. Кожанов // Вест. Самар.гос. тех. ун-та. Сер. физико-матем. науки. -2004. №30. - С.63 - 69.

29. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче. / А.И. Кожанов // Матем. заматки. 2004. - Т.76. - В.12. - С.840 - 852.

30. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. / А.И. Кожанов // ЖвмиМф. 2005. - Т.45. - №12. - С. 2168 - 2184.

31. Кожанов А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений./ А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // ДАН. 2005,- Т.404. - №5. - С. 589 - 592.

32. Кожанов А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболическихуравнений. / А.И. Кожанов, J1.C. Пулькина // Дифференц. уравнения.- 2006. Т.42. - №9. - С. 1166 - 1179.

33. Kozhanov А. I. (Кожанов А. И.) An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation.II. / A. I. Kozhanov (А. И. Кожанов ) // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. - Vol. 11. - №. 5.- P. 505 522.

34. Колмогоров A. H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. / А. Н. Колмогоров , С.В. Фомин — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. 572 с.

35. Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I. / А.Б. Костин, А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. 1996. - №1. - С. 107 - 116.

36. Костин А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. II. / А.Б. Костин, А.И. Прилепко // Дифференц. уравнения. 1996. - № 11. - С. 1519 - 1528.

37. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 /Р. Курант, Д. Гильберт ГТТИ, 1933. - 525 с.

38. Кэннон Дж. (Cannon J.R.) The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy. / Дж. Кэннон (Cannon J.R.) // Quart. Appl. Math. 1963. - V.21. - P. 155 - 160.

39. Кэннон Дж., Эвинг P.(Cannon J., Ewing R.) Dertermination of a source term in a linear parabolic partial differential equation. / Дж. Кэннон, P. Эвинг ( Cannon J., Ewing R.) // J. Appl. Math. Phys. 1976. - №27. -P. 393 - 401.

40. Кэннон Дж., Янпинг JI. (Cannon J.R., Yanping Lin) Dertermination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations. / Дж. Кэннон, JI. Янпинг (Cannon J.R., Yanping Lin) // Inverse problems. -1998. №4. - P. 35 - 45.

41. Кэннон Дж., Д P. (Cannon J.R., DuChateau.) Structural identification of an unknown sourse term in a heat equation. / Дж. Кэннон, P. Д (Cannon J.R., DuChateau P.) // Inverse problems. 1998. - №14. - P. 535 - 551.

42. Лажетич H.JI. О существованиии классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка./ Н.Л. Лажетич // Дифференц. уравнения. 1998. - Т.34. - №5. -С. 682 - 694.

43. Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка./ Н.Л. Лажетич // Дифференц. уравнения. 2006. - Т.42. - №8. - С. 1072 -1077.

44. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. / О.А. Ладыженская — М.: Наука, 1973. 408 с.

45. Ладыженская О.А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. /О.А. Ладыженская,B.А. Солонников, Н.Н. Уральцева — М.: Наука, 1967. 736 с.

46. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.// В.П. Михайлов М.: Наука, 1976. - 391 с.

47. Михлин Г.С. Лекции по линейным интегральным уравнениям. / Г.С. Михлин М.: Физматгиз, 1959.

48. Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи./ Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 2001. - Т.37. - №11.C. 1565 1567.

49. Муравей J1.А. Об одной нелокальной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. / Л.А. Муравей, А.В. Филиновский // Мат. сб., 182: 10(1991). С. 1479 - 1512.

50. Муравей Л.А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения. / Л.А. Муравей, А.В. Филиновский // Мат. зам. -1993. -Т .54. В.4. - С. 98 - 116.

51. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. / А. М. Нахушев // Дифференц. урав. 1982. - Т. 18. - № 1. - С. 72 - 84.

52. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. / А. М. Нахушев. М.:Высш.шк. - 1995. - 301 с.

53. Нахушева 3. А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка. / 3. А. Нахушева //Дифференц. урав. 1990. - Т.26. - №11. - С. 1982 - 1991.

54. Нахушева 3. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных. / 3. А. Нахушева // Дифференц. урав. 1986. - Т. 22. -ДО1.-С. 171-174.

55. Прилепко А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖвмиМф. 2003. -T.43.-JM. С. 537 546.

56. Прилепко А.И. Фредгольмовость и корректность обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // ЖвмиМф. 2003. - Т.43. - №9. - С. 1338 - 1347.

57. Прилепко А.И. Фредгольмовость обратной задачи об источнике для параболических систем. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Дифференц. урав. 2003. - Т.39. - № 12. - С. 1693 - 1700.

58. Прилепко А.И. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем. / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Дифференц. урав. 2004. - Т.40. - №11. - С. 1540 - 1547.

59. Prilepko А. I. (Прилепко А.И.) Inverse problem for a parabolic equation with integral overdetermination. / A. I. Prilepko, D. S. Tkachenko ( А.И.Прилепко, Д.С. Ткаченко) // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003.- Vol. 11. №. 2. - P. 191 - 218.

60. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / Л. С. Понтрягин. 4-е изд. - М.: Наука. - 1974. - 331 с.

61. Попов А.Ю. Классы единственности в нелокальной по времени задаче для уравнения теплопроводности и комплексные собственные функции оператора Лапласа. / А.Ю. Попов, И.В. Тихонов // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. - №3. - С.396 - 405.

62. Пукальский И.Д. Нелокальные краевые задачи для неравномерно параболических уравнений. / И.Д. Пукальский // Дифференц. урав. -2003. Т.39. - №6. - С.777 - 787.

63. Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. / Л.С. Пулькина. // Матем. заметки. -2003. Т.74. - В. 3. - С. 435 - 445.

64. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. / Л.С. Пулькина. // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. - № 7. - С. 887 - 892.

65. Пулькина Л.С. Неклассические уравнения математической физики. / Л.С. Пулькина. // Изд-во института математики СО РАН. 2005. -С.231 - 239.

66. Розанова А.В. Управляемость в линейной параболической задаче с интегральным переопределением. / А.В. Розанова // Дифференц. урав.- 2004. Т.40. - №6. - С. 798 - 815.

67. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. / А.А. Самарский // Дифференц. урав. 1980. - Т. 16. -№11.-С. 1925 - 1935.

68. Треногин В.А. Функциональный анализ. / В.А. Треногин — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с.

69. Чегис Р. Монотонная разностная схема для параболической задачи с нелокальными краевыми условиями. / Р. Чегис , О. Штиконес , О. Субоч // Дифференц. уравнения. 2002. - Т.384. - №7. - С. 968 - 975.

70. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений. / Н.И. Юрчук. // Дифференц. урав. 1986. - Т.22. - № 12. - С. 2117 - 2126.