Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Олисаев Эльбрус Георгиевич

Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением

01.01.02 — "Дифференциальные уравнения" Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нальчик — 2003

Работа выполнена в Северо-Осетинском государственном университете им. К. Л. Хетагурова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Шхануков Мухамед Хабалович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович; кандидат физико-математических наук, доцент Хубиев Радмир Нюрчукович

Ведущая организация:

Институт математики им. академика С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится "'•У" сентября 2003 г. в " 1Р"часов на заседании диссертационного совета КР 002.195.45 в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино - Балкарского научного центра Российской академии наук по адресу: 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НИИ ПМА КБНЦ РАН.

Автореферат разослан августа 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н. лПсхуА.В.

Л0

if^sf

-3-

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам для дифференциальных уравнений математической физики.

Краевые задачи для параболических уравнений с нелокальным условием возникают также при математическом моделировании технологических процессов, и в теории солепереноса в почвогрунтах при интенсивном испарении. Задачи возникающие в математической биологии, как правило, нелокальные.

Различные классы нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными изучались в работах A.B. Бицадзе, Д.Г. Гордезиани, A.A. Дезина, Н.В. Житарашу, В.А. Ильина, Н.И. Ионкина, Л.И. Камынина, A.A. Керефова, Е.И. Моисеева, JI.A. Муравей, A.M. Нахушева, A.A. Самарского, А.П. Солдатова, В.А.Стеклова, A.B. Филиновского, А.Ф. Чудновского, H.H. Шополова, М.Х. Шханукова, С.Д. Эйдельмана.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для уравнений параболического типа с вырождением. В работе изучаются вопросы единственности решений рассматриваемых задач, строятся разностные схемы и доказывается сходимость построенных разностных схем.

Цель работы. Основной целью работы является построение и исследование разностных схем, аппроксимирующих нелокальные краевые задачи для параболических уравнений с вырождением.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода энергетических неравенств и теорем вложения в дифференциальной и разностной трактовках, метода Ротэ, итерационного

метода и метода линеаризации.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С.Петербург «ял

ОЭ ?<Х>3

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Получена априорная оценка для решения нелокальной краевой задачи для параболического уравнения с вырождением. Доказана сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т).

2. Доказана сходимость итерационного процесса, сводящего решение нелокальной краевой задачи к решению краевой задачи с классическими граничными условиями.

3. Для решения рассматриваемой нелокальной задачи построена разностная схема и доказана сходимость ее решения к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью (^(Л12^ 4- г2), т = 1,2.

4. Для нелинейной нелокальной краевой задачи для уравнения параболического типа в двумерной области предложен метод линеаризации и показана его сходимость в малом.

5. Получена априорная оценка решения линейной краевой задачи для уравнения параболического типа в двумерной области, из которой следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи от входных данных. Для решения линейной нелокальной краевой задачи построена разностная схема и доказана сходимость схемы типа Кранка-Николсона со скоростью 0(|/г|2 + г2).

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Результаты работы могут быть применены при решении различных проблем современного естествознания: при решении задач фильтрации жидкости в сплошной среде, переноса влаги в почвогрун-тах, при численном моделировании процессов тепло- и массообмена.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Второй Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 3-7 декабря 2001 г.), на Международном Российско-Узбекском симпозиуме " Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 18-25 мая 2003 г.), на семи-

наре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН, на семинарах математических кафедр СОГУ, на семинаре кафедры высшей математики ТРТУ.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[7]. Из них, работа [1] - в соавторстве с H.A. Березовским, которому принадлежит постановка задачи, [4] - в соавторстве с М.М. Лафи-шевой, которой принадлежит проведение численных экспериментов, [7] -в соавторстве с М.Х. Шхануковым, которому принадлежит постановка задачи.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе - шесть параграфов, во второй - пять параграфов, в третьей - четыре, список литературы содержит 53 наименования. Объем диссертации - 116 страниц, набранных с использованием пакета Т^Х.

Во введении дан обзор публикаций по теме и приведены основные результаты диссертации.

Глава 1. В первой главе изучаются краевые задачи для вырождающегося уравнения параболического типа.

1.1. В области ^ {(я,: 0 < х < /, 0 < I < Т) рассмотрена краевая задача

Содержание работы

-k{x,t)-^- = ß(t)u(l,t) - »{t),

X G (0,0, t 6 (0,T], m= 1,2,

(1)

u(z,0) = Uofc).

где к(х, > с, > 0, |*(*,*)1<с2> |/?(<)| < сг.

Здесь и в дальнейшем предполагается, что регулярное решение рассматриваемых краевых задач существует. При построении разностных

схем, для обеспечения необходимого порядка аппроксимации дифференциального оператора разностным, требуется более высокая гладкость коэффициентов уравнения и граничных условий.

Для решения задачи (1) справедлива априорная оценка

t

+ I Аг)с1тУ (2)

о

I t

где \\х?и\\2о = ¡хп^с!!, ||а:*и||' = о о

1.2. На отрезке [0,Т] вводится равномерная сетка ыт = {<, = ]т :

2 = 1,2,... ,и задаче (1) ставится в соответствие схема Ротэ

< х < /, т = 1,2,

Пш хт^- = О,

х-+о дх (3)

ду =/?(%(/, <) -//(<),

Х-1

^ дх

у(х,0) = и0(ж),

где у{ = у = у(х,г}), у = у{х,г]_1), г = гг

Для решения задачи (3) получен дискретный аналог априорной оценки

(2):

<М [р (\\х?Р'\\1 + ц%))т+\\х?и0\\^ ,

откуда следует сходимость метода Ротэ при т —> 0 со скоростью 0(т).

1.3. В вводится сетка йкг = х ыг, шк = {г, = г/г, г =• 0,1,... , ./V}, и>Г = = ¿г, ] = 0,1.....У0} и задаче (1) ставится в

соответствие разностная схема

= Л^У") + р, {х,г)€ыкг,

= (»«.о+- <ро).

у(ж,0) = и0(г),

где

а№у = ¿г (я™0»»).., ~ = *«•> = 1

+ г = 1,2,... , N — 1,

/т 2\ я г ,, /г

/т 2\ _

Для погрешности г = у — и, при <г = справедлива априорная оценка

п*,'+1н?1) < м Ё (н**^++))»-.

i'=0

где Н^+Ч!?,. = £ ^ - по-

грешности аппроксимации уравнения и краевых условий задачи (1). Из полученной оценки следует справедливость теоремы Теорема 1. Если € С^{0Т), *(*,*) € С(3'2>(0Т), д,/ е

С(2,2)(<Эг)> то ПРИ достаточно малом т <т0 решение разностной задачи (4), при а = сходится к решению дифференциальной задачи (1) в смысле нормы || • ||(1) со скоростью

1.4. В задаче (1) вместо краевого условия третьего рода, рассматривается условие

ди ди

Для задачи (1), с краевым условием (5) справедлива априорная оценка аналогичная оценке (2).

Для решения рассматриваемой краевой задачи строится разностная схема, аналогичная схеме (4), в которой разностное краевое условие при х = I имеет вид

= *А5Н*"+Соу,.„ + о,ьнх™(<1„уу - ?„), (6)

л.

где усх — 1+0'511т •

Для погрешности схемы (4) с разностным краевым условием (6) при х = I справедлива априорная оценка

3' =о

< м £ +и^,) +

3>=о

Аналогичная (2) оценка имеет место и в случае краевых задач для вырождающихся уравнений с конвективным членом

ди

т

= -^1г(хтк1г) + О<х<1, 0<t<T.

хт дх V дх) хт дх 1 '

Глава 2. Глава посвящена изучению нелокальной начально-краевой задачи для уравнения параболического типа с вырождением.

2.1. Для уравнения (1) рассматривается краевая задача с нелокальным условием

I

щ ! хти(х,1)<1х = ц(1). (7)

о

Для решения задачи (1) с нелокальным краевым условием (7) получена априорная оценка

(

* о

2.2. В качестве одного из способов решения нелокальной краевой задачи рассматривается итерационный метод, предложенный Гордезиани Д.Г.:

О и "

ы

о и

Нт хт^— = 0, ох

о и

дх

(9)

"^(х, 0) = и0(х), 5 = 0,1,2,.... Для погрешности "и1 — и метода (9) справедлива оценка тах С41 - и)||2 < (Ш(0)'+1 тах,||«* (£ - иЩ,

откуда следует сходимость в норме || • ||0 итерационного процесса (9) в малом.

2.3. Задаче (1) с нелокальным краевым условием (7) ставится в соответствие схема Ротэ

7° (Ю)

I хтУ1с1х = о

у(*,0) = «„(*), 0 < х <1,

где шг — = ]т : ] = 1,2,... ,70} - сетка на отрезке [0,Т].

Для погрешности метода Ротэ г = у — и справедлив дискретный аналог оценки (8):

11**^11' + Е < М £ (\\г*ф>'\\1 + и^Лт, (И)

,7' = 1 }'=1 4 '

где ф, и = 0(т) - соответственно погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и нелокального условия. Из оценки (11) следует сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т) в норме стоящей слева в неравенстве (И).

2.4. В замкнутой области 0Т = {(я,/) : 0<ж</, 0<<<Т} введем сетку ш11г = х шг, — {х, = г'Л, г = 0,1,... , ЛГ, N¡1 = I}, ит = {г, = зт, ] = 0,1,... ,]0т = т} и дифференциальной задаче (1) с нелокальным условием (7) поставим в соответствие разностную схему

*у, = Щу{а) + <р,

1 ¿=0

2/(з:,0) = и0(ж),

где = ^ (хтауг)а. < - с?,у,, у^ = ау+( 1 - <т)у,

I

Л2 /

1 + (т-1)_- ¿=1,2,...,^-1,

(12)

12а:2' 1 ~ / + 0,5/нтГ

При сг = | получена априорная оценка для погрешности г — у — и метода (12):

+ (13)

Из оценки (13) следует справедливость следующей теоремы Теорема 2. Если «(ж,«) е С(4'3)(<5Т), к(х,г) е $т), 9>/ 6

С{2'2)(Ят), и к[х,1) > с, >0, ?(0,2) > 0, то при достаточно малом т <т0 решение разностной задачи (12) сходится к решению дифференциальной

задачи со скоростью О(к2^ + т~в норме

ЦП'

Глава 3. В главе 3 работы рассматривается нелинейная, начально-краевая задача для уравнения параболического типа в двумерной области с нелокальным краевым условием.

3.1. В цилиндре <?т = Г2 х [0,Т], П = {(г, <р) : Я1 < г < Я2, 0 < у < 2л-} рассматривается нелокальная задача

ди 1 д ( ди\ 1 д2и ,, . , , Л „

2тг

ди С

-£ = д{и)-е1 I К{<р,ф)д{и)йф-ц^^), г = Я,, (14) о

ди

«(»•. У. 0) = «о (г> ¥>)> и(г> У3! О = V + *)> где ф) = --А- £ - резольвента ядра интегрального

1 *е=1 1

уравнения лучистого теплообмена, |5'(и)| < с1, |/'(и)| < с3, <

С». \Р\ < С4-

3.2. Для решения задачи (14) рассматривается следующий метод линеаризации:

З'й1 1 д ( 3"ЙЛ 1¿Гй' , , Л п

~. = д{Ь)-е1 I Я.{<р,ф)д{и)с1ф- г = Я,,

о

„-+1

—^ = /?(*>,<)"« '• = Да1 (15)

Т(г, 0) = и0(г, у»),

Для погрешности "и' = "и — и метода (15) получена оценка тах

из которой следует сходимость, при малом t (M(t) < l), итерационного процесса (15).

3.3. Предложенный метод линеаризации позволяет рассматривать вместо исходной нелинейной задачи линейную задачу на каждой итерации:

du 1 д ( ди\ 1 д2и , , . Л п

2тг

du f

-Q- = ßi {<Р, t)u - / 1>)ud1> - Vi iv>> 0. r = Я,,

° (16)

du

~ fr = ßÄPJ)"-f*i{<P,t), r = R3, u(r,ip, 0) = u0{r, <p),

u{r,y,t) = u(r,p + 2M),

гдед(г,f(r,9,t)eC(2'°HQT), |i|<clf \ßt |, \ßa | < c2, |Я| < c3. Для решения задачи (16) справедлива априорная оценка

HvMlo2+||V^llL + II7HI2, g,<

t 2тг

<м(\Ш\\lQt+J I (ß2l+ßl)d!pdr+\\^u0\\l),

о о

2п R-2 t где |М|о2= / / u4rdV, ||«||?= Л1«Н>.

ОЙ! О

3.4. В цилиндре QT - Q х [0,Т], Q = {(г,у?) : Я, < г < Я,, 0 < <р < 2тг] введем сетку ш = ühr х х ыг, Qhr = {г, = Я, + ihr, i — 0,1 Nhr = Я2 - Я,}, whv = {<рк = khk = 0,l,...,P, Phv = 2тг}, w„ = {tj = jr, j = 0,1,... J0, jnr = T).

Задаче (16) ставится в соответствие разностная схема

у, = Лгу^> + Л¥>у(°') - dy(<7) +р, г, <р, t е ы, Hv(°) - о 5/i и 4- О 5Л в - 5fcr „f0') _

'o 'o

/>-1

m=0 (17)

_ ^„И - О 5Л U + o 5h в i/M - - ñ

y(r,v?,0) = tí0(r,yj), r € whr, V? G y{r,<P>t) = y{r,<p+2ir,t)) r,<p,tew,

где

ЛГУ=-(ryf)r, = ^-y^, />=/,

* = +y'" Á = +

Для погрешности z = у — u, при а — | справедлива оценка

|[*i+1]|2 + £ + Zj"),]|2r + ¿ |[(¿'+1 + г],)ф]\2г < j'—0 j'=o

<M¿ (|И|2 + Е (W')a +(18)

i'=0 ^ A=0 '

где ф,и1,и2 — 0(\h\2 + тгп") - погрешности аппроксимации уравнения и краевых условий соответственно.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 3. Если и е С(4,3)(<Эт)> q,f 6 C^'2¡>{QT), то решение разностной задачи (17) при достаточно малом г < т0 сходится к решению исходной дифференциальной задачи при с = ^ со скоростью 0(|/i|2 + r2) в норме, стоящей слева в (18).

Публикации по теме диссертации

1. Березовский H.A., Олисаев Э.Г. Задача со свободной границей в проблеме загрязнения и очищения атмосферы точечным источником // Материалы седьмой международной конференции имени академика М.Кравчука. - Киев, 1998, с.39.

2. Олисаев Э.Г. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для уравнения теплопроводности с вырождением // Сб. научных трудов института математики HAH Украины "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения". -Киев, 2001, с. 114-117.

3. Олисаев Э.Г. Априорная оценка решения краевой задачи для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью в цилиндрической и сферической системах координат // Тезисы докладов Второй международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". -Нальчик, 2001, с.79.

4. Олисаев Э.Г., Лафишева М.М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах // Владикавказский математический журнал, 2002, т.4, вып. 2, с.50-56.

5. Олисаев Э.Г. Априорная оценка решения краевой задачи для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом // Вестник СОГУ, серия - Естественные науки, 2003, т.2, №1, с.34-36.

6. Олисаев Э.Г. Об одной априорной оценке для параболического уравнения в двумерной области с нелокальным граничным условием // Тезисы докл. Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". - Нальчик, 2003, с.75.

7. Шхануков М.Х., Олисаев Э.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности в сферической и цилиндрической системах координат // Вестник СОГУ, серия - Естественные науки, 1999, т.1, №1, с.70-71.

Сдано в набор 1.08.2003. Подписано в печать 05.08.2003. Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. п.л. 0,84. Тираж 120 экз. Заказ №7.

Издательство Северо-Осетинского государственного университета имени K.JI. Хетагурова, 362025, г. Владикавказ, ул. Ватутина, 46.

Полиграфический центр Северо-Осетинского государственного университета имени К.Л. Хетагурова, 362025, г. Владикавказ, ул. Ватутина, 46.

Sooj-A _ 1 »13054

Введение

Глава 1. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с краевым условием третьего рода

1.1. Постановка задачи

1.2. Априорная оценка для решения дифференциальной задачи

1.3. Метод Ротэ

1.4. Построение разностной схемы, устойчивость и сходимость

1.5. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с сосредоточенной теплоемкостью

1.6. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом

Глава 2. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с нелокальным краевым условием

2.1. Постановка задачи

2.2. Априорная оценка для решения дифференциальной задачи

2.3. Сходимость итерационного процесса для нелокальной краевой задачи с вырождением

2.4. Метод Ротэ

2.5. Построение разностной схемы, устойчивость и сходимость

Глава 3. Нелокальная, нелинейная краевая задача для параболического уравнения в двумерной области

3.1. Постановка задачи

3.2. Линеаризация нелинейной задачи

3.3. Априорная оценка для решения линейной задачи

3.4. Разностная схема 100 Литература

Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики.

К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [6], внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15],[16], Самарского А.А. [35], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [19], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова Н.Н. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[11], Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова А.А. [21], Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского А.А. [24], Муравей Л.А., Филиновского А.В. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д.

Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний.

Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью

12], Солдатова А.П., Шханукова М.Х. [42] и др. дги д

8w f{x,w), 0 <х <1, 0 <t^T, (0.1) где »•(./'. /) - объемная влажность почвы: D(w) - коэффициент диффузивности;

K(w) - коэффициент влагопроводности.

Чудновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: а

D?g\z=0 = JwdX, (0.2) о 0, (0.3) дги дх х—а w(x, 0) = <р(х), 0 <С X < а. (0.4)

Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а.

Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида х2С0

J g(x.t)u(x.t)clx = E(t). 0 ^t^T, х,'(0 где Xi(t)->г" = 1, 2; g(x.t). E(t) - известные функции.

В работе [36] Самарский А.А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: u(0,t) + a2(t)u(l,t) + a3(t)ux(Q,t) + a4{t)ux{l,t) = (t), /3, (t)u(0, t) + (32 {t)u(l, t) + Д3 (t)us (0, t) + в4 (t)ux(l, t) = <p7(t).

При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий.

Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [8], u(x,t) является решением нелокальной задачи ut + их = /г(ж, t), 0 < X < I, t > 0, (0.5)

- э u(x,0) = р(х), (0.6) i u{0,t) = J c{x,t)u(x,t)dx, (0.7) о где (р(х) - начальное возрастное распределение, а условие (0.7) называется законом рождаемости, c(x.t) - коэффициент рождаемости. Здесь следует заметить, что задачи, возникающие в мат с м ат и ч е с ко и биологии, как правило, нелокальные (см. [29]).

Нелокальные условия вида (0.7) для параболических уравнений возникают при математическом моделировании технологических процессов, применяющихся для очистки кремниевых плит от примеси, а также в теории солепереноса в почвогрунтах при интенсивном испарении [25]-[26].

В работе [15] методом Фурье доказано существование и единственность решения нелокальной задачи и = а2и . 0 < х < /. t > 0. t XX > / ' ii(0,t) = u{l.tt), ux(0,t) = g(t), u(x. 0) = u0{x).

К результатам работы [36] близко примыкают результаты ТТТопо-лова Н.Н. [48]. В работах [1-3]-[14], [50] для обыкновенного дифференциального уравнения

Lu = — clx dii

4х) fa - q(x)u = -f{x), о < х < 1 изучены нелокальные задачи: и( 0) = 0, = к= 1 где - фиксированные точки интервала (0.1); т и( 0) = 0, П(1) = 5>,П(0: к= 1 где Щж) = - поток через сечение х. ак - постоянные числа.

В этих же работах получены априорные оценки в нормах С. W2 ,

2 ,. W'o в дифференциальной и разностной трактовках.

Равномерно сходящиеся разностные схемы построены в работе [16] для нелокальной задачи ut = ихх + /(.х, t), 0 < х <1, 0 <t ^Т, u(0,t)=0, ux(0,t) = ux(l,t), 0 ^ t < T, u(x,0) = (p(x), 0 < x I.

В работе [17] построены схемы повышенного порядка точности (О(/г4)) для решения нелокальной задачи du~ т - d Lu — — ах q(x)u = -f(x), 0 <х<1, и(0) = 0, k(0)u(0) = к(1)и(1).

Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [9]-[11] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.

В работе Нахушева A.M. [28] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики (см., например, [49]).

Разностным методам решения нелокальных краевых задач посвящены работы [15], [1-3]. [16]. [18], [51], [2], [52]. Вопросам построения экономичных разностных схем в цилиндрических и сферических координатах посвящены работы [39]-[40], [45].

Настоящая диссертационная работа посвяшена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений параболического типа. В работе изучаются вопросы единственности решений рассматриваемых задач, строятся разностные схемы и доказывается сходимость построенных разностных схем.

Работа состоит из введения и трех глав.

1. Абрамов А.А., Андреев В.Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений // ЖВМ и МФ, т.З, №2, 1963, с. 377-381.

2. Абрегов М.Х. Краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля1с нелокальным условием u(l) f u(x)dx // Сб. научных трудов инстиотута математики НАН Украины "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики", Киев, 1997, с. 9-11.

3. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, 1968, т.8, №6, с. 1218-1231.

4. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения // ЖВМ и МФ, 1969, т.9, №2, с. 337-349.

5. Березовский Н.А., Олисаев Э.Г. Задача со свободной границей в проблеме загрязнения и очищения атмосферы точечным источником // Материалы седьмой международной конференции имени академика М.Кравчука. Киев, 1998. с. 39.

6. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969. т. 185, №4, с. 739-740.

7. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск, Наука, СО АН СССР, 1981, - 208 с.

8. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982, 304 с.

9. Гордезиани Д.Г. Об одном методе решения задачи Бицадзе-Самарского. Семинар института прикладной математики, аннотации докладов, Тбилиси, 1970, с. 39-41.

10. Гордезиани Л.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Препринт института прикладной математики при ТГУ. - Тбилиси, 1981.

11. Житаршу Н.В., Эйдельман С.Д. Об одной нелокальной параболической граничной задаче // Матем. исслед., Кишинев, 1970, с. 85-100.

12. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // ДАН СССР, 1986, т.291, №3, с. 534-539.

13. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения, 1987, т.23, №8, с. 1422-1431.

14. Ионкин И.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальным условием // Дифференц. уравнения, 1977, т. 13, №2, с. 294-304.

15. Ионкин Н.И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи // Актуальные вопросы прикладной математики, Изд-во МГУ, 1989, 240 с.

16. Ионкин Н.И. Разностные схемы повышенного порядка точности для одной неклассической краевой задачи. Актуальные проблемы прикладной математики. МГУ, 1989, 240 с.

17. Ионкин И.И., Зидов Н. Устойчивость в С разностных схем для одной задачи // Вестник МГУ, вычислит, оддтем. и кибернетика. 1982, 1. с. 8-16.

18. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, Л°7, с. 1284-1295.

19. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // ЖВМ и МФ, 1964. т.4, Х°-6, с. 1006-1023.

20. Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1979, т.15, А"-4. с. 74-78.

21. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

22. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

23. Митропольский Ю.А., Шхануков М. X., Березовский А.А. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения // Укр. мат. журнал, 1995, т.47, №6, с. 790-801.

24. Моделирование и управление водно-солевым режимом почвы // Соколенко Э.А., Делов В.И., Зал и ченко Е.Н. и др. Алма-Ата. Наука, 1976, 180 с.

25. Муравей А.А., Филиновский А.В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения // Матем. сб., 1991, т. 182, №10, с. 1479-1512.

26. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР, 1978, т.242, №5, с. 1008-1011.

27. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения // Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, №1, с. 86-94.

28. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 301 с.

29. Олисаев Э.Г. Априорная оценка решения краевой задачи для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом // Вестник СОГУ. серия Естественные науки, 2003, т.2, .Y^l, с. 34-36.

30. Олисаев Э.Г., Лафишева М.М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах // Владикавказский математический журнал,2002, т.4, вып. 2, с. 50-56.

31. Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа // ЖВМ и МФ, 1963, т.З, №2, с. 266-298.

32. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. т. 16. .A^ll. с. 1925-1935

33. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983, 616 с.

34. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 414 с.

35. Самарский А.А., Мостинская С.Б. Численное решение двумерного уравнения теплопроводности с разностными коэффициентами в полярных координатах // В сб. "Вычислительные методы и программирование"'. Вып. Ill, М., Изд-во МГУ, 1965, с. 147-162.

36. Самарский А.А., Мостинская С.Б. О применении локально-одномерного метода к решению уравнения, теплопроводности в цилиндрических координатах //В сб. "Вычислительные методы и программирование". Вып. VII, М., Изд-во МГУ, 1967, с. 55-63.

37. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978 с. 589.

38. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А.А. для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987, т.297, №3, с. 547-552.

39. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

40. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960, 656 с.

41. Фрязинов И.В., Бакирова М.И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических координатах // ЖВМ и МФ, 1972. т. 12. №2, с. 352-364.

42. Чудновский А.Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве // Сб.трудов АФИ, 1969, вып.23. с.41-54.

43. Чудновский А.Ф. Теплофизика почвы. М.: Наука, 1976.•352 с.

44. Шополов Н.Н. Некоторые краевые задачи для уравнения теплопроводности // Докл. Болг. АН, 1980, т.33, с. 47-50.

45. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Лифференп. уравнения. 1977. т.13. №1. с. 163-167.

46. Шхануков М.Х. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского // Докл. АМАН, 1994, с. 38-43.

47. Шхануков М.Х., Абрегов М.Х., О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач и их приложения к автоматизированным системалл. Нальчик, 1989, с. 275-283.

48. Шхануков М.Х., Олисаев Э.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности в сферической и цилиндрической системах координат // Вестник СОГУ. серия Естественные науки, 1999, Т.1, №1, с. 70-71.Ц