Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Попов Владимир Алексеевич

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 ДЕК 2011

Москва 2011

005006368

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А.Л. Скубачевский, Российский университет дружбы народов

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Веденяпин, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Власов, мехапико-матемагический факультет МГУ.

Научно-исследовательский институт математики ВГУ.

Защита состоится " 27" декабря 2011 г. в 15 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, факультет физико-математических и естественных наук, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Автореферат разослан 25 ноября 2011 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Е. Россовский

Актуальность темы

В настоящей диссертации изучаются эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Наличие разностных операторов приводит к тому, что подобные уравнения относятся к нелокальным задачам.

Интерес к нелокальным задачам объясняется значительными теоретическими достижениями в данном направлении, а также важными приложениями, возникающими в теории плазмы1 и теории многослойных пластин и оболочек 2 3.

Нелокальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались в работах А. Зоммерфельда, Я.Д. Тамаркина, М. Пиконе, А.М. Кролла и др.

В 1969 году A.B. Бицадзе и A.A. Самарский1 рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике D = {х 6 M2 : -I < X] < I, 0 < х2 < 1} и непрерывная в D функция и(хь х2), удовлетворяющая условиям

ll(zb 0) = Vl(zi), u(xU 1) = y2(zi), -/<!]< I, "(-'> x2) = <¿>3(12), "(i, x2) = u(0, x2), 0 < x2 < 1,

где <pi, ip2, ips — заданные непрерывные функции. Решение данной задачи приведено в работе1, оно основано на сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и использовании принципа максимума. Для произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная 4.

Такого типа задачи получили дальнейшее развитие в работах Н.В. Житарашу и С.Д. Эйдельмана, Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля, A.B. Бицадзе, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, К.Ю. Кишкиса, А.К. Гущина и В.П. Михайлова и др.

Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2m с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А.Л. Скубачевского и его учеников 5 6 1. С нелокальными задачами для эллиптических дифференциальных уравнений тесно связаны краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений впервые построена в работах А.Л. Скубачевского и его учеников в течение последних 30 лет (А.Л. Скубачевский 8, Л.Е. Россовский 9, Р.В. Шамин 10 и др.). Важность создания этой теории мотивируется принципиально новыми свойствами таких уравнений, а также важными приложениями. Применение этой теории позволило получить новый класс сек-ториальных операторов удовлетворяющих гипотезе Т. Като (Р.В. Шамин п), получить

1 Бицадзе A.B., Самарский A.A. ДАН СССР. - 1969. - Т. 185. - С. 739-740.

2 Онанов Г.Г., Скубачевский А.Л. Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 5. С. 39-47.

3 Skubachevskii A. Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 1997.

4 Самарский A.A. Дифференц. уравнения. 1980. T. 1G. № 11. С. 1925-1935.

5 Скубачевский А.Л. Современная математика. Фундамент, направления, №26, РУДП, М., 2007, 3-132

6 Скубачсиский А.Л. Современная математика. Фундамент, направления, №33, РУДН, М., 2009, 3-179

7 Гуревич П.Л. Мат. заметки, 2002. Т. 72, вып. 2. С. 178-197.

8 Skubachevskii A.Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 1997.

9 Россовский Л.Е. Мат. заметки. — 199G. — Т. 59, № 1. - С. 103-113.

10 Скубачевский А.Л., Шамин Р.В. ДАН, 2001. - Т. 379. - №5. - С. 735-738.

11 Шамин Р.В. Мат. сб. - том 194, 2003 - вып. 9 - С. 1411-1425.

новые достаточные условия существования многолепестковых вращающихся волн в нелинейных лазерных системах 12 и др.

Параболические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованием временной переменной рассматривались в работах В.В. Власова 13 14.

Интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением возник после работы М.В. Келдыша 15. Эта статья стала отправной точкой для исследований многих математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. М.В. Келдыш показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. Подобными задачами занимались многие математики: O.A. Олейник16, М.И. Вишик 17 и другие. Работы Г. Фикеры18, O.A. Олейник19 явились началом нового этапа в развитии теории эллиптических уравнений с вырождением. Данной тематике посвящены работы Е.В. Радкевича 20, A.M. Ильина 21, в работе

0.A. Олейник и Е.В. Радкевича 22 приведен подробный обзор работ посвященных уравнениям с неотрицательной характеристической формой. Статья В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко23 посвящена вырождающимся эллиптическим уравнениям высокого порядка.

Цель работы

Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:

1. получение априорных оценок решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;

2. исследование разрешимости эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;

3. исследование гладкости обобщенных решений.

Новизна результатов

Интерес к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением вызван, в частности, тем, что к таким уравнениям сводятся эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактных множествах (с непустой внутренностью), рассмотренные A.B. Бицадзе, A.A. Самарским1. В отличие от эллиптических задач с нелокальными условиями на многообразиях (упоминавшихся выше), также рассмотренных в этой

12 Skubachevskii A.L. Nonlinear Analysis- v.32, - N2, 1998. - P.261-278.

13 Власов B.B. УМН-19:3(297), 1994-С. 175-176.

14 Власов В.В. Матем. сб.-186:8, 1995.-С. 67-92.

15 Келдыш М.В. ДАН СССР, 1951.-77.-С. 181-18.1.

16 Олейник O.A. ДАН СССР-87-№6, 1952.-С. 885-888.

17 Вишик М.И. Матем. сб.-35(77):3, 1954-С. 513-568

18 Фикера Г. Математика , 1963. - 7, № 6. - С. 99-121.

19 Олейник O.A. Матем. сб.-69(111):1, 1966.-С. 111-140

20 Радкевич Е.В. УМН-24:3(147), 1969-С. 233—234

21 Ильин A.M. Матем. сб.-50(92):4, 1960."С. 443-498

22 Олейник O.A., Радкевич E.B. М.ВИНИТИ, 1971.

23 Глушко В.П., Савченко Ю.Б. М.: ВИНИТИ, 1985.-С. 125-218.

работе, эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактах не нашли дальнейшего развития в научной литературе, за исключением, работ А.Л. Скубачевского8 24 25. Таким образом, на данный момент метод сведения таких задач к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением является единственным методом исследования.

В этих работах рассматривались дифференциально-разностные операторы с вырождением, являющиеся композицией сильно эллиптического дифференциального оператора и неотрицательного разностного оператора с вырождением. Были получены энергетические неравенства, построено фридрихсово расширение рассматриваемого оператора, а также изучены спектральные свойства и гладкость обобщённых решений. В частности, было показано, что решение может не принадлежать пространству Соболева даже при бесконечно гладкой правой части, однако проекция решения на образ разностного оператора обладает определённой гладкостью, но не во всей области, а в некоторых подобластях.

В настоящей работе впервые рассматриваются вырожденные дифференциально-разностные операторы второго порядка общего вида (в случае нескольких вырожденных разностных операторов и переменных коэффициентов).

Изучается уравнение вида

с краевым условием

и(х) = 0 (z i Q), (0.2)

где Rij — разностные операторы, действующие в пространстве Li{Q) и определенные по формуле

Ri;u{x) = аФи(х + hzM

М — конечное множество векторов h из К" с целочисленными координатами, aijh € С, bij = bji — всщсствсннозначиые Ai-периодические функции, М — аддитивная группа, порожденная множеством М.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Глава 1 диссертации носит вспомогательный характер. В ней приводятся известные результаты, посвященные разностным операторам в ограниченных областях.

Глава 2 посвящена априорным оценкам решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением и переменными коэффициентами (0.1), (0.2), а также построению Фридрихсова расширения рассматриваемых операторов и спектральным свойствам.

24 Скубачевскиы А.Л.Тр. Моск. ыат. об-ва, 1997.-59. -С. 240-285.

25 Скубачевский А.Л. Дифф. ур-я. Т. 19, Х'З, 1983, С.457-470.

В главе 3 изучается гладкость обобщенных решений внутри подобластей, порождаемых сдвигами разностных операторов, а также вблизи границ этих подобластей.

Содержание диссертации Глава 1. Разностные операторы

В первой главе диссертации для полноты картины приводятся результаты о свойствах разностных операторов, которые были получены А.Л. Скубачевским и будут использоваться во второй и третьей главах, а также некоторые обобщения этих результатов В § 1.1 приводатся необходимые геометрические построения. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что выполнено следующее условие.

Условие 1.1. Пусть ф С К" — ограниченная область с кусочно-гладкой границей дЯ = II*« (* = г<?е — открытые связные в топологии Эф (п - 1 )-мерные

многообразия класса С°°, п ^ 2. Пусть, кроме того, в некоторой окрестности каждой точки х° € К = дQ\\JXi область <3 диффеоморфна п-мерному углу раствора меньше 2я-

и больше 0. В частности, <3 С Е" может быть ограниченной областью с границей 3<Э € С°°, а также цилиндром (0, с?) х й или прямоугольником, где С К""1 — ограниченная область (с границей дС € С°°, если п ^ 3).

Пусть М С Мп—множество, состоящее из конечного числа векторов /г с целочисленными координатами. Обозначим через М аддитивную абелеву группу, порожденную множеством М, а через <ЭГ — открытые связные компоненты множества

<?\ 1)(дЯ + к).

Лем

Определение 1.1. Множества <2Г мы будем называть подобластями, а совокупность И всевозможных подобластей <2, (г = 1,2,...) назовем разбиением области С

Легко убедиться, что множество 11 не более чем счетно.

Очевидно 1. (_)<2Г = <2-2- Для любых <ЭП и Ь 6 М либо найдется такое С)Г2, что

г

<3г2 = <Эг, + к, либо <5П + к С К" \ я.

Разбиение К естественным образом распадается на классы. Мы будем считать, что подобласти Яп,Яг2 б ^ принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор к € М, для которого <3Г2 = (}п + к. Будем обозначать подобласти <3Г через где 5 —номер класса (я = 1,2,...), а ¿ — порядковый номер данной подобласти в «-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = подобластей (¿^ и

Щв) < ([<Иатд] + 1)\

Введем множество К:

и {§ П(дС} + }ц)П [(90 + к2) \ (Э<Э + л,)]}. (1.1)

(иЛем

Это множество играет важную роль при изучении гладкости решений. Всюду в дальнейшем будем считать, что выполнено следующее условие.

Условие 1.2.

/х„.1(/спад) = о, к с/с.

§1.2 посвящен свойствам разностных операторов в пространстве L2{Q). Рассмотрим разностный оператор R: ^(R") L2(Rn), определенный по формуле

Ru(x) = ahu(x + h), (1.2)

м

где ал — комплексные числа, множество М состоит из конечного числа векторов /iSR"c целочисленными координатами, х = (ii,..., х„) € К".

Введем операторы Iq, Pq, Rq следующим образом: Iq: L2(Q) -» L2(R") —оператор продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn \ Q, Pq : £2(R") L2{Q) — оператор сужения функции из I2(R") на Q, Rq = PqRIq : L2(Q) -»

I*«?).

Сдвиги х х + h, вообще говоря, могут отобразить точку i € Q в точку х + h £ Q. Поэтому краевое условие (0.2) задается не только на 8Q, но всюду в R"\Q. Для того чтобы формально записать это условие, мы вводим оператор Iq. С другой стороны, функция (R/qu)(x) задана в R". Для рассмотрения этой функции только в области Q вводится оператор сужения Pq.

В данном пункте мы изучим некоторые свойства разностных операторов Rq в пространстве L2{Q). Оказывается, эти свойства тесно связаны со свойствами конечного числа матриц, состоящих из нулей и коэффициентов разностного оператора R.

Обозначим через L2 подпространство функций в L2(Q), равных нулю вне

U О«/. а через Рв : L2(Q) -> L2 — оператор ортогонального проектирования функ-

ций из L2(Q) на Ь2 (у Q^j (i = 1, - -. , N{s)).

Лемма 1.1. L2 —инвариантное подпространство оператора Rq.

В силу леммы 1.1 введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств

^¿я^у^-^КМ. (1-3)

определив вектор-функцию (Usu){x) равенством

(Usu)i(x) = и(х + hsi) (xeQ, i), (1.4)

где I = 1,..., N = N(s), hsl таково, что Q,j + hM = Qsl (hsl = 0), L?(Q,i) = П ¿2«?si)-

Лемма 1.2. Оператор Я^: ¿^((З»]) ¿"((Зл), определенный по формуле

Яф = \JsRqU,

(1.5)

является оператором умножена на квадратную матрицу порядка .Щз) х N(3) с элементами

Замечание 1.1. Поскольку область С} является ограниченной, а матрицы Д5 состоят из конечного множества чисел а/, и нулей, то множество различных матриц {Д»„} (и = 1,...,гц) конечно.

При построении фридрихсова расширения дифференциально-разностного оператора, а также при изучении его спектральных свойств мы будем использовать следующие две леммы.

Лемма 1.3. Спектр оператора йц совпадает с объединением спектров конечного числа матриц Д,„ {и = 1,...,^). Каждая точка спектра <7(Дд) является собственным значением бесконечной кратности.

Лемма 1.4. Для самосопряженности оператора Яд : ^(ф) -> Ьг(<Э) необходимо и достаточно, чтобы все матрицы (и = 1,..., П]) были эрмитовы.

Определение 1.2. Непрерывную в С,} функцию <р(х) назовем М-периодической в ф, если = <р(х + Л,) для любых х, я + Л. € <3 и /г€М.

В следующей лемме доказано, что операция умножения на М-периодическую функцию коммутирует с действием разностного оператора.

Лемма 1.5. Пусть функция (р(х) М-периодическая в <2- Тогда Дд(уи) = уЯ^и для всех и е Ш).

В параграфе §1.3 рассмотрены свойства разностных операторов Дц: ¿2(Я) -> имеющих нетривиальное ядро.

Обозначим через Л/"(-) и Т1(-) соответственно ядро и образ некоторого оператора.

Операторы Ац и 5<з называются соответственно вещественной и мнимой частями оператора Дд. Положим Адв = С^ЛдС//1 и = и^ои*1. В силу леммы 1.2 операторы ■А<эа, В(3,(С}Л) являются операторами умножения на матрицы А, = (Дя + Л;)/2, В, = (Д„ - Щ)/2г соответственно.

ан, если к = - 1г3к € М, О, если И, = На — ¡г^ ^ М.

(1.6)

Лемма 1.6. =М(ЯЯ!1)(ВЩЩ}3), Ь%{ЯЛ) = 6ЩЯд,).

Введём обозначения Ая = (Дд + Дд)/2, Вц = (Дез - Лд)/2г. Очевидно, что

Дд = А<э -НВд.

Обозначим через

Рй, Ря\ РА, Рв: Ьг(Я) Ш)

и

р,к, Р?\ РД Р?-- тш

операторы ортогонального проектирования на подпространства

ЩЯо), ЩЯ'а), ЩАц), П{ВЯ)

и

ЖЛц.), ЩР^), ЩАЯа), ЩВс

соответственно. Операторы Р,л, Р,к", Р„А, Р„в суть операторы умножения на некоторые матрицы, которые мы также обозначим Ргй, Р„й", РД Р/ соответственно.

В работе А.Л. Скубачевского24 было доказано, что образ разностного оператора замкнут.

Ограниченный самосопряженный оператор А в гильбертовом пространстве Н назовем положительным, если (Аи,и)н > 0 для любого 0 ^ « 6 Я, и неотрицательным, если (Аи,и)ц ^ 0 для любого и 6 Н. Назовем оператор А положительно определенным, если (Аи, и)ц > с||и||я Для любого и е Я, где с > 0.

Рассмотрим разностные операторы Д{(г = 1,2) вида (1.2) с коэффициентами ау, вместо ал {к е М)■ Положим = РдЯ;/д. Определим матрицы порядка N(3) х А^) с элементами г^ [к,1 = 1,... ,N(5)) по формуле (1.6) с коэффициентами вместо ал.

В дальнейшем нам придется оценивать нормы различных разностных операторов. Для этого нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1.7.

1. Пусть М(Ип) с Л/"(Й2а) (5 = 1,2,...). Тогда ¿¡{И. 13) С М(Я^) и для любой функции и е 1/2(<Э) справедливо неравенство

где С] > 0 — постоянная, не зависящая от и. 2. Дели, кроле того, Ркэ = А5, Ргд = Вц, а матрицы Л» (« = 1,2,...) неотрицатеяъ-

В следующей лемме приведены некоторые свойства разностных операторов Яд в пространствах Соболева.

Обозначим через (<3), к 6 N. пространство Соболева комплекснозначных функций

ЦЯгдиИад) < С1||Дкг"Пы<Э).

(1.7)

с нормой

Лемма 1.8. Оператор непрерывно отображает Й^(<Э) е И^(<Э), при этом для всех и 6 справедливо равенство

Т>аЯци = Дц1>аи (МО),

где И^КФ) — замыкание множества Сж (О) в

Глава 2. Разрешимость эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением

Получению априорных оценок решений посвящен § 2.1.

Введем неограниченный дифференциально-разностный оператор Ья : 1>(£д) С ->■ ЫО), действующий по формуле

Ьни{х) = - £ ¿М*)^Яадф) (2.1)

с областью определения

я) = С°°(<Э),

г<?е 6у(х) = Ь^(х) 6 С°°-веществен1газначцые А/-периодические функции,

Дч<? = ДдДуЛ?, Ду = XI + Ь) (¡>.7 = 1, ■ • ■ ,п). (2.2)

/■ем

Введем матрицы порядка ЛГ(я) х N(3) с элементами

-4« _ ]

гы — ^

ауЛ, если Л = На - к,к 6 О, если к = - ^ ^ .М.

(2.3)

Наряду с матрицами Д^, введем матрицы Ду, следующим образом. Пусть г € произвольная точка. Рассмотрим все точки х' € С} такие, что х1 - х 6 М. Поскольку область (5—ограниченная, множество {г1} состоит из конечного числа точек I = /(я,х) (I ^ Л^з))- Занумеруем точки х' так, что х' = х + для » = 1,... ,.ЛГ = N(3), х1 = х. Введем матрицы Ду» = Ду,(х) порядка I х / (/ = /(5,1)) с элементами

а^н, если /г = х1 — хк € Л4, 'ы ~ "I 0, если к = х[ -хк

су» .

(2.4)

Отметим, что, хотя элементы матриц Ду, являются константами, порядок этих матриц зависит от выбора точки х.

Замечание 2.1. Если /(3,1) = Л^я), то %,(т) = Луа. Если х) > N(3), то матрица Ду,, получается из матрицы Ду*(х) вычеркиванием последних 7(5, х) - строк и столбцов.

Обозначим через Аф = {Яц, + Щи)/2, Аф(х) = (Яц.(х) + Щ^(х))/2, Вф = (Яц, - Я^)/2г, Вф(х) = (%,(х) - Я*^(х))/2г (г,] = 1,... ,п). Пусть Д><? = (Яад + Я*;д)/2 и = {¡ию - Я;«,)/2г.

Будем предполагать, что выполнены следующие условия:

Условие 2.1 (эллиптичности). Существуют нетривиальные самосопряженные неотрицательные разностные операторы Я^ такие, что справедливо неравенство

п п

¡,7=1 ¿=1

для любых х € (в = 1,2,...) и ( 6 К", где ^—матрицы, соответствующие разностному оператору Я^.

Условие 2.2 (вырождения). Множество в = {в : ёеЬАц, = 0, г = 1,..., п} непусто.

Для получения априорных оценок нам необходимо оценивать нормы одних разностных операторов через нормы других разностных операторов. Для этого мы используем лемму 1.7 и следующее условие подчиненности.

Условие 2.3 (подчиненности). М(АФ) С ЩВФ), ЩАШ) = ЩК»), ЩАц3) С ЩАФ) П ЩА}и), г,] = 1 ,...п, где Щ-) -ядро матрицы.

2. В отличие от классической теории эллиптических задач, в которой имеет место неравенство Гординга, для дифференциально-разностных уравнений с вырождением доказать неравенство Гординга не удается в силу нетривиальности ядер разностных операторов. Однако в следующей теореме доказана оценка типа неравенства Гординга.

Теорема 2.1. Пусть область (} удовлетворяет условию 1.1 и выполнены условия 2.1— 2.3. Тогда существуют такие константы Сц ^ 0, С] > 0, что для любой функции и 6 С°°(0) выполнено неравенство

п п

11е(1ди, и)Ыц) + и)£,((3) > С] ^ (2'5)

1=1 (=1

3. Введем неограниченный дифференциально-разностный оператор Ь^ : С Ь2(<Э) Ь2(<3)> действующий по формуле

Из следующей теоремы и теоремы 2.1 следует, что дифференциально-разностный оператор Ьл является секториальным. Это гарантирует существование расширения по Фри-дрихсу данного оператора. Построение расширения осуществляется в § 2.2.

Теорема 2.2. Пусть область <2 удовлетворяет условию 1.1 и выполнены условия 2.1 — 2.3. Тогда существуют такая постоянная сч > 0, что для всех и,ь 6 С1К>((Э)

п

< С2 £ llftgu* ||мв) • IIRiqvXj ||i2(4)+

Uj=i

П

n

+ J2 ll^eHlt,«}) ■ II Лад" Iii, (Q) .

I Z,2(Q)

(2.6)

Л 4C2J2 IIR^uti II • IIRjQVli II

V LX ' ШЯ) i.i=l

ij=l

П

(2.7)

§ 2.2 Фридрихсово расширение.

1. Вначале дадим некоторые определения и сформулируем необходимые нам в дальнейшем свойства секториальных форм.

Пусть Н—сепарабельное гильберотово пространство. Линейный оператор В : В{В) С Я -> Я называется т-аккретивньш, если для Яе А > 0 существует ограниченный обратный оператор (В + А/)"1 : Я -* Я и

Обозначим 0(B) = {(Ви,и) : и € D(B), ||и|| = 1}. Множество в(В) называется числовой областью значений оператора В. Если оператор В : D{B) С Я -> Я—го-аккретивный, то он замкнут, D(B)—плотно в Я и @(В) С {А 6 С : Re А ^ 0}. Будем говорить, что линейный оператор В : D(В) С Я -4 Н квази-ш-аккретивный, если оператор В + а/ является то-аккретивным для некоторого а € К. Оператор В называется секториальным, если существуют в < гг/2 и т € R такие, что 9(B) С {А € С : |arg(A--y)| < 0}. Числа 7 и в называются соответственно вершиной и полууглом секториалъного оператора В. Оператор В : D(B) С Я Я называется т-секториальным, если он секториальный и квази-т-аккретивный.

Рассмотрим полуторалинейную форму i[u, и] с областью определения D(t) С Я. Сопряженная форма Г определяется по формулам

Форма i называется симметричной, если t = t'. Симметричные формы а = (t + t')/2 и b = (t - t*)/2i называются соответственно вещественной и мнимой частями формы t. Очевидно, t = a + ib.

Обозначим 0(t) = {t[u] : u € D(t), ||u|| = 1}, где t[u] = t[u,u]. Форма t называется сек-ториалъной, если существуют в < тг/2 и 7 6 R такие, что 0(i) С {А е С : |arg (А — т)| < в]. Числа 7 и в называются соответственно вершиной и полууглом секториалъной формы

II(В + А/)_1|| ^ (Re А)-1.

t*[u,v] = f[w,u], D{t') = D(t).

t. Секториальная форма называется замкнутой, если из условий ип € D(t), ||u„ — тх|| —> О и t[u„ - Um] -» 0 при п,т-> оо следует, что и 6 D{t) и t[u„ - и] -> 0 при п оо.

Пусть t—секториальная форма. Введем скалярное произведение в На = D{t) по формуле

(u,v)a = o[u,«] + (1 - y){u,v) (u,v€ D(t)),

где 7—вершина формы t. Секториальная форма t замкнута тогда и только тогда, когда предгильбертово пространство На—полио(см. работу 26, теорема 1.11).

Линейное подпространство D' С D(t) называется ядром замкнутой секториальной формы t, если сужение t на D' имеет своим замыканием форму t.

Обозначим через G плотно определенный в Я секториальный оператор. Рассмотрим форму g[u,i>] = (Gu,v) с областью определения D(g) = D(G). В силу 1.27 [гл. VI, §1] из работы 26 существует замыкание t формы д. Обозначим через T - Tt m-ceкториальный оператор, ассоциированный с формой t. Поскольку D(G)—ядро формы t, то по первой теореме оп представлении G С Т. Оператор Т называется фридрихсовым расширением оператора G.

2. Построим теперь фридрихсово расширение дифференциально-разностного оператора Lr и изучим свойства этого расширения. Заметим, что существование такого расширения обеспечивается секториальностью оператора LR, которая, в свою очередь, следует из теорем 2.1, 2.2.

Рассмотрим полуторалинейные формы

gR[u,v} = (LRu,v)u(Q) (u,v € C°°(Q)), g+R[u, v] = (L+ru, v)Î2{q) (u, v e C*(Q)).

Из теорем 2.1, 2.2 и ограниченности операторов AijQ в L2(Q) следует, что операторы LR, L\ секториальные в L2(Q). Поэтому по теореме 1.27 из работы26 формы gR и gR имеют замыкания в L2(Q), которые мы обозначим через lR и lR соответственно. Очевидно, gR[u,v] = дд[и,и] (u,v € C°°(Q)). Следовательно, 1J = l'R.

В силу условия 2.1 и леммы 1.3 и теоремы 2.1 можно ввести скалярное произведение в C°°(Q) по формуле

= + L$u,V)LM) + co^2{AiiQu,v)L2{Q) + M)i2(Q)

1 ¿=i

(u,ve&*(Q))-

Обозначим через WLx множество элементов и в L2(Q), для которых существует последовательность {ир} С C°°(Q) такая, что

lim Цир - u\\L ,Q) = О,

(2.8)

lim |K-u,|L =0.

26 Като T. M.: Мир, 1972.

Введем норму в WiR следующим образом:

(2.9)

где и„ 6 C°°(Q), и„ и в L2(Q) и lim ||up - = 0. Эта норма не зависит от выбора

последовательности {ир}. Пространство Wlr с такой нормой полно, и Wlr = D(Ir) = = D(l'R). Следующая теорема обобщает оценку (2.5) для функций u € WiR, а также некоторым образом описывает свойства пространста W[/R.

Теорема 2.3. Пусть область Q удовлетворяет условию 1.1, и пусть выполнены условия 2.1-2.3.

Тогда WiR С {и € L2(Q) : (Rhqu)x. € L2(Q)}, при этом существует такая постоянная Сз > 0, что

Отметим, что дифференцирование будем понимать в смысле обобщенных функций.

Теорема 2.4. Пусть область ф удовлетворяет условию 1.1 и выполнены условия 2.12.3. Тогда

(а) оператор Сц —фридрихсово расширение оператора Ьц;

(б) оператор Ся + Со Аид +1: £>(£л) С Ь2{0) имеет ограниченный обратный

(2.10)

(и 6 D(Cr) = {и 6 WLr : CRu 6 L2(Q)}),

(ueD(£+R) = {ueWLB: С+иеШ)})-

п

(£я 4- со £ Aiiq + I)-1 : L2(Q) WLr;

(c) = ¿я,

(d) если кроме того RijS — (i,j = 1,... ,n, s = 1,2,...), то оператор CR : D(Cr) С L2(Q) L2(Q) самосопряженный.

Ниже приводятся пример дифференциально-разностного оператора и области, для которых выполнены все налагаемые нами условия и результаты полученные выше, а также имеют место теоремы дальнейших параграфов.

Пример 2.1. Рассмотрим ограниченную область <2 = (0,3|) х (0,1) С К2 и дифференциально-разностный оператор вида

д2

а2

дг

д2

(2.11)

где разностные операторы задаются формулами

ПцЯи = Оц [и(хьх2) + и(хг + 2, х2) + и(хг - 2,х2)] + +^1и(х, + 1,х2)+и(х1 - 1,х2) +и(х1 + 3,х2) + и(х1 -3,12)],

где су < ау, = аа, = с^. По построению 6у(х) г 1, Вэд = 0, Л^д = Л^д = Д,чд-12

<321

о

<Эп Яп <?13

<Э22 1 л Яг* 1 <?24

Рис. 1

Разбиение области состоит из двух классов подобластей: 1-й класс :<2п, (¿¡2, <213; 2-й класс: <Э2ь <Э22, Фгз, <3г4 (см. Рис. 1). Отметим, что в данном примере матрицы ЛуДх) — Лу5.

Матрицы, соответствующие первому классу Л^ь имеют вид

с«

Ядро матрицы (г, 7 = 1,2) есть линейная оболочка, натянутая на вектор (1,0, -1)Г.

Собственные значения матриц такого вида равны: А1 = и, л2 =--,

Л3 = Очевидно, что при ау > сц > 0 все собственные значения матриц

будут неотрицательными. Матрицы соответствующие второму классу А^2(х) = Лу2 имеют следующий вид

(Оу Су % СуД Су Ау Су <2у Яу йу Су

\су йу Су ау/

Лу2 =

Ядро матрицы Луг (itj = 1,2) есть линейная оболочка натянутая на 2 вектора: (1,0,-1,0)т и (0,1,0, — 1)г. Собственные значения матриц такого вида равны: А] = Л2 = О, А3 = 2(ау - dj) Л4 = 2(ау + с^). Очевидно, что при a¡j > с^ > 0 все собственные значения данных матриц также будут неотрицательными. Пусть операторы Rîq имеют вид

raqu =pi [u(xi,z2) + u{xi +2,X2) + - 2,I2)] +

+qi [u(ïi + l,x2) +u(x1 - l,x2) + u(xi + 3,z2) + u(xi - 3,x2)],

где Pi > qi > 0. Матрицы Ris = RiS строятся аналогично матрицам только вместо чисел Ojj стоят Pi, а вместо су стоят ф. По доказанному det^i, = 0(г = 1,2, s = 1,2). Следовательно, S = {1,2}. Таким образом, условие 2.2 выполнено. Кроме того, мы показали, что M(Ajs) = ЩАц,) = Я(Ац,) = N(RiS) (i,j,s = 1,2), a Bijs—нулевая матрица. Поэтому условие 2.3 также выполнено. Тогда условие 2.1 примет вид

/А-Р C-Q А - Р\ С - Q А-Р C-Q ^ 0 (для любых i 6 М2), если s =1, \А~ Р C-Q А-Р)

(А-Р C-Q А-Р С — Q\

C-Q А-Р C-Q А-Р

А-Р C-Q А-Р C-Q

\С -Q А-Р C-Q А-Р/

> 0 (для любых £ 6 К2), если s = 2,

гдеЛ = а„£2 + 2а12^2+а22& С = си(2 + 2с12^2 + с22£2, Р=р1$+рг(,1 Q = qlí¡ + q2íl Эти условия выполнены, если A-P>C-Q>0 для любых 0 ф £ € К2 т.е. если

(оц - си - (р! - + 2(012 - С12)?1?2 + (а22 -С22~(рг- 9гШ1 > 0, (Си - 91)^1 + 2С12?16 + (с22 - > 0,

для любых О ф { € М2.

Таким образом, если матрицы ||су||^.=1, ||оу - Су||2;=1 положительно определены, а ау > су (г,] = 1,2), то выполненяются условия 2.1— 2.3. Поэтому в силу теорем 2.1, 2.2, 2.4 существует фридрихсово расширение оператора при этом справедливы априорные оценки (2.5), (2.6), (2.7).

Изучению спектральных свойств расширения по Фридрихсу посвящен § 2.3. Всюду в дальнейшем помимо условий 2.1— 2.3 будем предполагать, что выполнено следующее условие.

Условие 2.4. Л/ХДц») = М{Аца), 1 = 2.....п.

С помощью теорем 2.1, 2.2 доказана следующая лемма, которая понадобится для дока-зательева теоремы о спектральных свойствах, в частности, для доказательства дискретности спектра оператора С и-

Лемма 2.1. Пусть выполнены условия 2.1-2.4■ Тогда образ разностного оператора TI(Auq) является инвариантным подпространством операторов Auq и Cr и существуют константы со > 0, Ci > 0, с2 > 0 такие, что для любой функции и € D{Cr) выполнены неравенства

п •=i

Теорема 2.5. Пусть выполнены условия леммы 2.1.

Тогда оператор CR : D(Cr) С L2(Q) L2{Q) имеет замкнутый образ U(Cr), при этом dimN{Cr) = codim7J(£fl) = оо и N{Auq) С АГ(СЯ). Спектр o{Cr) состоит из изолированных собственных значений: До = 0 бесконечной кратности и (s = 1,2,...) конечной кратности; o(Cr) С {А € С : |argA - 7ся| ^ &ся}, где уСк S К « 0 < 8сл < несоответственно вершина и полуугол т-секториалыюго оператора Cr.

Глава 3. Гладкость обобщенных решений

В § 3.1 приводится определение обобщенного решения и доказывается теорема о внутренней гладкости обобщенных решений, т.е. локальной гладкости в подобластях Qsi. Рассмотрим уравнение

= е Q) (3.1)

ы=1 1 1

с краевым условием

и(х) = 0 (г € R" \ <5), (3.2)

где / € L2{Q).

Определение 3.1. Функцию и € D(Cr) будем называть обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), если она удовлетворяет операторному уравнению Cru = f.

Дадим эквивалентное определение обобщенного решения задачи (3.1), (3.2).

Определение 3.2. Функцию и будем называть обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), если для любой функции v е ¿""(Q) выполняется интегральное тождество

bijRijQUZjvXidx = J fvdx (3.3)

Q

В силу теоремы 2.5 Я{Auq) С AÎ(Cr). Поэтому уравнение (3.1) может иметь решения, не принадлежащие даже пространству W2(Q). Однако в силу леммы 1.6 в следующей теореме доказано, что ортогональная проекция решения на ортогональное дополнение к ядру разностного оператора Лцд, т.е. на образ 1Z(Auq) уже обладает определенной гладкостью.

Теорема 3.1. Пусть Q С И" ограниченная область, удовлетворяющая условию 1.1, и пусть выполнены условия 2.1-2.4- Пусть и € D[Cr) является обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), и пусть f € L2(Q).

Тогда РА"и 6 W^iQ'^i) для любого открытого связного множества Q'sl такого, что %с<2Л5 = 1,2,...;г = 1,...,лг(5)).

При помощи теоремы 3.1 в § 3.2 доказана следующая теорема о гладкости решений вблизи границ подобластей.

Теорема 3.2. Пусть Q С R™ -ограниченная область, удовлетворяющая условию 1.1, и пусть выполнены условия 2.1—2.4■ Пусть и € D(Cr) является обобщенным решением краевой задачи (3.1), (3.2), и пусть f € L2(Q).

Тогда РАпи € W%(Qsl\Щ для любого £ > 0 (s = 1,2,...; I = 1,...,N(s)), где 1С' = {г € R" : dist(i,K) < £}.

Апробация

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В.В. Власова и доц. К.А. Мирзоева, на семнинаре ИПМ РАН им. Келдыша „Математическая физика" под руководством д.ф-м.н. М.В. Масленникова, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпина, д.ф.-м.н. В.А. Дородницина, д.ф.-м.н. Ю.Н. Орлова, на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (ТУ) под руководством проф. Ю.А. Дубинского и проф. A.A. Амосова, на семинаре НИИМ ВГУ под руководством проф. В.Г. Звягина, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН под руководством проф. A. JI. Скубачевского.

Результаты диссертации докладывались также на Пятой и Шестой Международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2008, 2011; Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» им. И.Г. Петровского, Москва, МГУ, 2011; Международной конференции по прикладной математике и информатике, посвященной 100-летию со дня рождения академика A.A. Дородницына, Москва, ВЦ РАН, 2010; Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, МГУ, 2009 г.; XLII, XLIII и XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 2006, 2007,2008; Крымских осенних математических школах-симпозиумах, Симферополь, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011; Воронежских зимних математических школах, Воронеж, ВГУ 2008, 2010;

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, библиографическое описание которых дается ниже. Результаты работ (5, 6, 7), включенные в диссертацию, принадлежат лично автору.

Список литературы

1. Попов В.А. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. - Spectral and Evolution Problems.-Proceedings of the 17th Crimean Autumn Mathematical Symposium. Simferopol. 2007 — № 17.-C.73-77.

2. Попов В.А. Априорные оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//Тезисы XLIV всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии - РУДН, Москва — 2008г. — С. 19.

3. Попов В.А. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождени-ем//Тезисы III межд. конф. посвященная 75-летию Л.Д. Кудрявцева. РУДН, Москва, 2008-С. 301.

4. Попов В.А., Скубачевский А.Л. Локальная гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//Тезисы Межд. конф. по прикадной математике и информтике, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.А. Дородницына. ВЦ РАН, Москва, 2010 — С. 133.

5. Попов В.А., Скубачевский А.Л. Секториальные дифференциально-разностные операторы с вырождением //ДАН-2009, Т. 428, № 4,-С. 450-453.

6. Попов В.А., Скубачевский А.Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением //Современная математика. Фундаментальные направления.— 2010. — 36.—С. 125-142.

7. Попов В.А., Скубачевский А.Л. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением //Современная математика. Фундаментальные направления. — 2011. — 39.—С. 130-140.

8. Popov V. A. Energy inequalities for solutions of elliptic differential-difference equations with degeneration.//Abstracts. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, PFUR, Moscow, Russia, August 17-24, 2008. — P. 55.

9. Popov V. A. Smoothness of generalized solutions of elliptic functional differential equations with degeneration./VAbstracts. The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Steklov Mathematical Institute RAS, Moscow, Russia, August 14-21, 2008.

Подписано в печать: 23.11.2011 Объем: 1,0усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 568 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Страстной бульвар, д. 6,стр. 1 (495) 978-43-34; www.reglet.ru

Введение

1. Разностные операторы

1.1. Геометрические построения.

1.2. Разностные операторы.

1.3. Разностные операторы с нетривиальным ядром

2. Разрешимость эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением

2.1. Априорные оценки решений.

2.2. Фридрихсово расширение.

2.3. Спектральные свойства.

3. Гладкость обобщенных решений

3.1. Внутренняя гладкость обобщенных решений в подобластях

3.2. Гладкость обобщенных решений вблизи границ подобластей

Введение

1. В настоящей диссертации изучаются дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Наличие разностных операторов приводит к тому, что подобные уравнения относятся к нелокальным задачам.

Интерес к нелокальным задачам объясняется значительными теоретическими достижениями в данном направлении, а также важными приложениями, возникающими в теории плазмы [1], биофизики, теории диффузионных процессов [65, 66], теории многослойных пластин и оболочек [31,77].

Нелокальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались в работах А. Зоммерфельда, Я.Д. Тамаркина, М. Пиконе, A.M. Кролла и др.

В 1969 году A.B. Бицадзе и A.A. Самарский [1] рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике D = {х G М2 : — I < х\ < I, 0 < Х2 < 1} и непрерывная в D функция и(х\, х^), удовлетворяющая условиям и(х 1, 0) = ipi{xi), и(х 1, 1) = (^2), -I < X1 < г, ж2) = <Рз(я2), ж2) = u(0, ж2), 0 < х2 < 1, где </?2, уз — заданные непрерывные функции. Решение данной задачи приведено в работе [1], оно основано на сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и использовании принципа максимума. Для произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная [43,71].

Такого типа задачи получили дальнейшее развитие в работах Н.В. Жи-тарашу и С.Д. Эйдельмана [13], Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля [41], A.B. Бицадзе [2], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [16], К.Ю. Кишкиса [20], А.К. Гущина и В.П. Михайлова [10,11] и др.

Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А. Л. Скубачевского и его учеников [8,9,32,50,52-55,58,59,68-70,75,77]. С нелокальными задачами для эллиптических дифференциальных уравнений тесно связаны краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Теория эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений впервые построена в работах A.JI. Скубачевского и его учеников в течение последних 30 лет (А. JI. Скубачев-ский [44,77], Л. Е. Россовский [42], Р. В. Шамин [56,57], Гуревич П.Л. [67] Е. М. Варфоломеев [3] и др.). Важность создания этой теории мотивируется принципиально новыми свойствами таких уравнений, а также важными приложениями. Применение этой теории позволило получить новый класс секториальных операторов удовлетворяющих гипотезе Т. Като (Р. В. ТТТя,-мин [62]), получить новые достаточные условия существования многолепестковых вращающихся волн в нелинейных лазерных системах [79] и д.р.

Параболические функционально-диффеенциальные уравнения с преобразованием временной переменной рассматривались в работах В.В. Власова [5,6].

Интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением возник после работы М.В. Келдыша [19]. Эта статья стала отправной точкой для исследований многих математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. М.В. Келдыш впервые показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. В дальнейшем подобными задачами занимались многие математики: O.A. Олейник [28], М.И. Вишик [4] и другие. Работы Г. Фикеры [61] O.A. Олейник [29] явились началом нового этапа в развитии теории эллиптических уравнений с вырождением. Данной тематике посвящены работы Е.В. Радкевича [40], A.M. Ильина [15], в работе O.A. Олейник и Е.В. Радкевича [30] приведен подробный обзор работ посвященных уравнениям с неотрицательной характеристической формой, статья В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко [7] посвящена вырождающимся эллиптическим уравнениям высокого порядка.

2. Новизна результатов.

Интерес к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением вызван тем, что к таким уравнениям сводятся эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактных множествах (с непустой внутренностью), рассмотренные A.B. Бицадзе, A.A. Самарским [1]. В отличие от эллиптических задач с нелокальными условиями на многообразиях (упоминавшиеся выше), также рассмотренных в этой работе эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактах не нашли дальнейшего развития в научной литературе, за исключением, работ А. JI. Скубачевского [44,51,77]. Таким образом, на данный момент метод сведения таких задач к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением является единственным методом исследования.

В этих работах рассматривались дифференциально-разностные операторы с вырождением, являющиеся композицией сильно эллиптического дифференциального оператора и неотрицательного разностного оператора с вырождением. Были получены энергетические неравенства, построено фридрихсово расширение рассматриваемого оператора, а также изучены спектральные свойства и гладкость обобщённых решений. В частности, было показано, что решение может не принадлежать пространству Соболева даже при бесконечно гладкой правой части, однако, проекция решения на образ разностного оператора обладает определённой гладкостью, но не во всей области, а в некоторых подобластях.

В настоящей работе впервые рассматривается вырожденные дифференциально-разностные операторы второго порядка общего вида(в случае нескольких вырожденных разностных операторов и переменных коэффициентов) .

Изучается уравнение вида и д

- Е яГ^-ег = /(*) (х е Я с к*) (0.1) г,3=1 с краевым условием и{х) = 0 (х<£С2),

0.2) где Ягз — разностные операторы, действующие в пространстве и определенные по формуле

М — конечное множество векторов /1 из К" с целочисленными координатами, аф 6 С, Ъгз — Ь^-вещественнозначные М-периодические функции, М — аддитивная группа, порожденная Л4.

Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:

1. получение априорных оценок решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;

2. исследование разрешимости эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением;

3. исследование гладкости обобщенных решений.

Впервые получены априорные оценки решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с вырождением в случае нескольких разностных вырожденных операторов и переменных коэффициентов. В отличие от случая с одним разностным оператором и сильно эллипическим дифференциальным оператором при получении априорных оценок нельзя воспользоваться положительной определенностью дифференциального кем оператора. Это приводит к дополнительным трудностям и необходимостью наложения дополнительных условий.

При изучении гладкости также возникают дополнительные трудности. В частности, заменой неизвестной функции и> = Ли не удается свести дифференциально-разностное уравнение к эллиптическому дифференциальному уравнению с нелокальными краевыми условиями и в дальнейшем применить теорему о гладкости обобщенного решения эллиптического дифференциального уравнения. В работе получены новые теоремы о гладкости обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением с несколькими разностными операторами и переменными коэффициентами.

3. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// ДАН СССР. — 1969. — Т. 185. - С. 739-740.

2. Бицадзе A.B. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. т. С. 521-524.

3. Варфоломеев Е.М. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов второго порядка// УМН— 2006-т. 61-вып. 1-С. 173-174.

4. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области//Матем. сб.—35(77):3—1954.—С. 513-568

5. Власов В. В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве//УМН— 49:3(297)-1994.-С. 175-176.

6. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом простран-стве//Матем. сб.-186:8- 1995,-С. 67-92.

7. Глушко В. П., Савченко Ю. Б.Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал.— 23— ВИНИТИ, M —1985.— С. 125-218.

8. Гуревич П.Л. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и формула Грина // Докл. АН. 2001. Т. 379, №6. С. 735-738.

9. Гуревич П.Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах // Мат. заметки. 2002. Т. 72, вып. 2. С. 178-197.

10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1994. Т. 185. № 1. С. 121-160.

11. Гущин А.К., Михайлов В.П. Об однозначной разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения // Докл. АН. 1996. Т. 351. № 1. С. 7-8.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Том 2.—М.:Мир, 1966.

13. Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений // Математические исслед. 1971. Т. 6. Вып. 2(20). С. 63-73.

14. Иванова Е. П., Скубачевский А. JI. Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка// Депонировано в ВИНИТИ, № 3646-81, 1981.

15. Ильин А. М. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения// Матем. сб.-50(92):4- 1960."С. 443-498

16. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 5. С. 795-804.

17. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2059-2071.

18. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

19. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. —1951. — 77.— С. 181-183.

20. Кишкис К.Ю. Об индексе задачи Бицадзе-Самарского для гармонических функций // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 1. С. 105-110.

21. Ковалева O.A., Скубачевский A.JI. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах с весом // Мат. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 6. С. 882-898.

22. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971.

23. Лионе Ж., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

24. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Lp-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Тр. ММО. — 1978. — Т. 37. — С. 49-93.

25. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.—М.: Наука, 1976.

26. Моисеев Е.И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 5. С. 864-872.

27. Моисеев Е.И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 12. С. 2082-2093.

28. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа,вырождающихся на ганице области//ДАН СССР— 87— №6— 1952,— С. 885-888.

29. Олейник О. А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой//Матем. сб.—69(111):1—1966.— С. 111-140

30. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, —М.: ВИНИТИ, 1971.

31. Онанов Г.Г., Скубачевский A.JI. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела // Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 5. С. 39-47.

32. Подъяпольский В.В. Полнота и базисность по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С 568-569.

33. Попов В.А. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the 17th Crimean Autunm Mathematical Symposium. 2007. — C.73-77.

34. Попов В.A. Априорные оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//Тезисы XLIV всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва, РУДН — 2008г. — С. 19.

35. Попов В.А. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением//Тезисы III межд. конф. посвященная 75-летию Л.Д. Кудрявцева. 2008-С. 301-302.

36. Попов В.А., Скубачевский A.JI. векториальные дифференциально-разностные операторы с вырождением //ДАН—2009, Т. 428, № 4,— С. 450-453.

37. Попов В.А., Скубачевский A.JI. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением //Современная математка. Фундаментальные направления., М.: РУДН — 2010.- 36.-С. 125-142.

38. Попов В.А., Скубачевский A.JI. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением //Современная математка. Фундаментальные направления., М.: РУДН-2011,- 39.-С. 130-140.

39. Радкевич Е. В. Гладкость решений первой краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой//УМН-24:3(147)-1969/-С. 233-234

40. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13, № 1. Р. 165-181.

41. Россовский Jl. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. 1996. - Т. 59, № 1. - С. 103-113.

42. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

43. Скубачевский А. JI. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением // Тр. Моск. мат. об-ва. —1997. — 59. — С. 240-285.

44. Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// ДАН СССР. 1989. - Т. 307, № 2. - С. 287-291.

45. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. -1986. -Т. 129(Т. 171), № 2. -С. 279-302.

46. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. ур-я. — 1990. — Т. 26. — С. 119-131.

47. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. ур-я. 1991. - Т. 27. - С. 128-139.

48. Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифф. ур-я. — 1989. — Т. 25, №1. С. 127-136.

49. Скубачевский А.Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром // Мат. сб. 1983. Т. 121 (163). № 2(6). С. 201-210.

50. Скубачевский А.Л. Нелокальные эллиптические краевые задачи с вырождением// Дифференциальные уравнения. Т. 19, №3, 1983, . С.457-470.

51. Скубачевский А.Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы // Мат. сб. 1986. Т. 129 (171). №2. С. 279-302.

52. Скубачевский А.Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 1. С. 127-136.

53. Скубачевский А.Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. т. С. 120-131.

54. Скубачевский А.Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. №1. С. 128-139.

55. Скубачевский А.Л., Шамин Р.В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разносного уравнения // Мат. заметки -1999. Т. 66. - №1. - С. 145-153.

56. Скубачевский А.Л., Шамин Р.В. Параболические дифференциально-разносные уравнения второго порядка// ДАН —2001. — Т. 379. — №5. С. 735-738.

57. Скубачевский АЛ. Неклассические краевые задачи. I //Современная математка. Фундаментальные направления. М.:РУДН —2007. — 26.— С. 3-132.

58. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. II //Современная математка. Фундаментальные направления. М.:РУДН —2009. — 33,- С. 3-179.

59. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград. 1917.

60. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболи-ческих уравнений второго порядка // Математика — 1963. — 7, № 6. — С. 99-121.

61. Р.В. Шамин О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат. сб. — том 194 — 2003 вып. 9 - С. 141-156.

62. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестн. МГУ. Сер. мат. и мех. 1982. № 6. С. 12-21.

63. Carleman T. Sur la théorie des equations integrales et ses applications // Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zürich. 1932. Bd. 1. P. 132-151.

64. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations // Ann. of Math. 1952. V. 55. P. 468-519.

65. Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. P. 1-30.

66. Gurevich P. L. Solvability of the boundary-value problem for some differential-difference equations// Funct. Differ. Equ. — 1998. — T. 5, № 1-2. — C. 139-157.

67. Gurevich P.L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula // Mitteilungen aus dem Mathem. Seminar Giessen, Math. Inst. Univ. Giessen, Germany. 2001. Heft 247. P. 1-74.

68. Gurevich P.L. On the Green formula for nonlocal elliptic problems // Abstracts of International Conf. "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii, Moscow, MSU. 2001. P. 159-160.

69. Krall A.M. The development of general differential and general differential-boundary systems // Rocky Mountain J. of Math. 1975. V. 5. P. 493-542.

70. Picone M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine // Academia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni. 1932. V. 15. P. 942-948.

71. Skubachevskii A.L. On the stability of index of nonlocal elliptic problems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1991. V. 160. № 2. P. 323-341.

72. Skubachevskii A. The first, boundary-value problem for strongly elliptic differential-difference equations //J. Differential Equations —1986. — 63, №. 3.-C. 332-361.

73. Skubachevskii A. Elliptic functional differential equations and applica.-tions. — Basel: Birkhaser, 1997.

74. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Rus. J. Math. Physics. 1995. - T. 3, № 3. - C. 327-360.

75. Skubachevskii A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics// "Nonlinear Analysis-v.32, N2, - 1998. - P.261-278.O A1.' /

76. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodinamischen Erklärung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen // Proc. Intern. Congr. Math. (Rome, 1908). 1909. V. 3. Reale Accad. Lincei. Roma. P. 116-124.