Начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Первая начально-краевая задача Геллерстедта для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в областях эллиптичности и гиперболичности

§ 1. Постановка задачи С1.

§ 2. Единственность решения задачи

§ 3. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения Трикоми.

§ 4. Начально-краевая задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного уравнения Трикоми.

§ 5. Существование решения задачи

5.1. Вывод и исследование системы парных сингулярных интегральных уравнений.

5.2. Регуляризация системы парных сингулярных интегральных уравнений.

5.3. Определение неизвестных функций, входящих в правые части парных сингулярных интегральных уравнений.

Глава II. Вторая начально-краевая задача Геллерстедта для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в неограниченной области

§ 6. Постановка задачи

§ 7. Единственность задачи

§ 8. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения Трикоми (продолжение

§ 3).

§ 9. Начально-краевая задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного уравнения Трикоми в неограниченной области.

§ 10. Существование решения задачи G2.

10.1. Вывод сингулярного интегрального уравнения.

10.2. Исследование сингулярного интегрального уравнения и его регуляризация.

Актуальность темы. Многие задачи гидродинамики, теории плазмы, безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака, магнитогидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и другие проблемы естествознания описываются уравнениями смешанного типа. В настоящей диссертации впервые рассматривается принадлежащее к этому классу уравнение с кратным запаздыванием

Ци)=уи(х-(1 + Н(у))т,у), (0.1) учитывающее тот факт, что изменения в физических системах зависят не только от их состояния на данный момент времени, но и от предыстории.

В уравнении (0.1) L(u) = уихх(х, у) + иуу(х, у) - оператор Трикоми, 0 < г = const, Н(0 - функция Хевисайда, и(х, у) - искомая функция.

Предметом исследования диссертации являются впервые поставленные нелокальные начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в ограниченной и неограниченной смешанных областях, содержащих линию параболического вырождения.

Существенное отличие рассматриваемого уравнения смешанного типа от ранее изучавшихся состоит в том, что уравнение (0.1) является дифференциально-разностным, причем в областях эллиптичности и гиперболичности запаздывание по переменной х имеет разную величину.

Актуальность исследования следует из прикладных возможностей дифференциально-разностных уравнений эллиптико-гиперболического типа и из необходимости теоретического обоснования задач для таких уравнений с кратным запаздыванием.

Цель работы - исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в областях эллиптичности и гиперболичности, рассматриваемых в ограниченной и неограниченной областях, содержащих внутри себя линию параболического вырождения.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Общая методика исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римана, аппарат специальных функций, теория потенциала, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод "абс"), метод разделения переменных Фурье.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения нелокальных задач для уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство единственности решений нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием.

2. Доказательство однозначной разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в областях эллиптичности и гиперболичности, рассматриваемого в ограниченной и неограниченной областях, содержащих внутри себя линию параболического вырождения.

3. Метод обращения парных сингулярных интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории плазмы, в изучении колебания кристаллической решетки, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака и др.

Предшествующие результаты. В последнее время теория нелокальных задач, в силу своего бурного развития, достигла заметных результатов. Такое пристальное внимание, по словам A.A. Самарского [79], обусловлено тем, что нелокальные задачи являются качественно новыми и возникающими при решении современных проблем физики.

Нелокальные задачи для классических уравнений имеют уже довольно богатую историю [92], относящуюся к исследованиям обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных гиперболического, эллиптического, параболического и смешанного типа: A.B. Бицадзе [10]; В.И. Жегалов [17]; В.А. Ильин [37]; В.А. Ильин, Е.И. Моисеев [38]—[39]; Н.И. Ионкин [40]; Л.И. Камынин [41]; Е.И. Моисеев [53], [55]; A.M. Нахушев [59]; А.И. Прилепко [64]; А.П. Солдатов [84]-[85]; В.А. Стеклов [87]; Я.Д. Тамаркин [88]; Ф.И. Франкль [90]; A.M. Krall [94]; М. Pucone [96].

Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических и гиперболических уравнений исследовали A.A. Андреев [2]-[5], A.B. Антоневич [6], И.М. Гуль [14], A.B. Нерсе-сян [60], A.JL Скубачевский [ВО]—[81]. Указанные уравнения используются при решении задач теории упругости [61]; теории магнитогидро-динамических течений [43]; теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [47], [49]; теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [1], [7], [19], [44], [50], [69], [70], [95].

Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А.Н. Зарубина [24]—[35]. Задачи для уравнений подобного типа возникают при исследовании явлений в двух средах с резко отличающимися физическими свойствами и необходимостью учета предыстории изучаемых явлений. При этом остается неразвитой теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с различным запаздыванием. Исследование подобных проблем приводит к необходимости решения задач типа Геллерстедта.

Задачами типа Геллерстедта занимались многие математики: А.Н. Зарубин [20]; Ю.М. Крикунов [45]; А.Н. Кучкарова [48]; Е.И. Моисеев [53]; A.M. Нахушев [58]; A.A. Полосин [62]; С.П. Пулькин [68]; М.С. Салахитдинов [78].

Отсутствие исследований задач Геллерстедта для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с кратным запаздыванием аргумента в различных областях изменения типа подтверждает актуальность темы диссертации.

Содержание диссертации по главам.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Аболина Т., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейных гиперболических систем на плоскости. // Мат. сб. - 1960. -Т. 50, вып. 4. 1985. - 5 с. -Деп.

2. Андреев А.А, Огродников E.H. О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе-Лыкова с инволютивным отклонением. // Труды десятой межвузовской конференции " Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. - 2000. - С. 8-16.

3. Андреев А.А, Саушкин И.Н. Видоизмененная задача Гурса для телеграфного уравнения с инволютивным сдвигом. // Труды международной конференции "Математическое моделирование и информатика в современном управлении экономикой". Самара.2001. С. 202-204.

4. Антоневич А.Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе. // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, № 2. - С. 309-317.

5. Бабенко К.И. О задаче Трикоми. // Докл. АН СССР. 1986. -Т. 291, № 1. - С. 14-19.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Т. 1-2. М.: Наука, 1969. - 344 с.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959. - 164 с.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Будак Б.М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

11. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

12. Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. // Успехи математических наук. 1955. - Т. 10, № 2 (64). - С. 153156.

13. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 408 с.

15. Жегалов В. И. Исследования краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук.- Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989.

16. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. М.: Наука, 1993. 462 с.

17. Залманов Т.А. Об эволюционных уравнениях с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве. // Докл. на Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1965.

18. Зарубин А.Н. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа с тремя и четырьмя линиями параболического вырождения: Дис.канд. физ.-мат. наук. Волгоград, - 1976 - 130 с.

19. Зарубин А.Н. О разрешимости в замкнутой форме системы четырех сингулярных уравнений. Свердловск, 1976. 25 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 92-77.

20. Зарубин А.Н. О регуляризации одной системы полных сингулярных интегральных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978.- Т. 14, № 1. С. 177-180.

21. Зарубин А.Н., Зайнулабидов М.М. Об обращении сингулярного интегрального уравнения типа Карлемана с помощью преобразования Ханкеля. // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 1. -С. 171-173.

22. Зарубин А.Н. Некоторые краевые задачи для диффернциально-разностных уравнений смешанного типа. Орел, 1987. 7 с. - Деп.в ВИНИТИ, № 5398-В87. Р. 79-80.

23. Зарубин А.Н. О некоторых начально-краевых задачах для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа. // Докл. РАН. 1996. - Т. 346, № 6. - С. 735-737.

24. Зарубин А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. -1996. Т. 32, № 3. - С. 350-356.

25. Зарубин А.Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием. // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, № 1. - С. 128-130.

26. Зарубин А.Н. Об алгоритме решениия начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // ЖВМ и МФ. 1997. - Т. 37, № 2. - С. 178-181.

27. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения.- 1998. Т. 34, № 1. - С. 121-127.

28. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. - 225 с.

29. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, № 1. - С. 88-94.

30. Зарубин А.Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 8. - С. 1135-1136.

31. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с распределенным запаздыванием. // Дифференц. уравнения. -2000. Т. 36, № 10. - С. 13531356.

32. Ильин В.А., Лозняк Э.Г. Основы математического анализа. -Ч. 1. М.: Наука, 1982. 616 с.

33. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рис-са корневых векторов разрывных операторов второго по- рядка. // Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22, № 12. - С. 20592071.

34. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. // Доклады АН СССР. 1986. - Т. 291, № 3. - С. 534-539.

35. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля. // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 8. - С. 1422-1430.

36. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями. // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № 2. - С. 294-304.

37. Камынин Л. И. Единственность решений краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14, № 1. - С. 39-49.

38. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О строгом принципе экстремума для слабо эллиптически связного оператора второго порядка. // ЖВМ и МФ. 1979. - Т. 19, № 1. - С. 129-142.

39. Коган М.Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа. // Прикл. матем. и мех. 1961. - Т. 25, № 1. - С. 132-137.

40. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1970. - 209 с.

41. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 2. М.: Высшая школа, 1981. - 584 с.

42. Курбанов И.О. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики с памятью. // ДАН СССР. 1991. - Т. 318, № 5. -С. 1068-1071.

43. Кучкарова А.Н. Задача Геллерстедта для пространственного уравнения смешанного типа. // Мат. моделирование в естественных и гуманитарных науках. :Тезисы докладов Воронежского зимнего симпозиума, Воронеж, 20-27 января, 2000. Воронеж, 2000. - С. 132.

44. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959. 532 с.

45. Ленский В. С., Фомина Л.Н. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью. // Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. мат. 1959. - № 3.

46. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций.-минск: Наука и техника. 1978. - 310 с. № 2936-75 Деп.

47. Михлин С. Т. Об интегральном уравнении Р. Тпсогш. // Докл. АН СССР. 1948. - Т. 59, № 6.

48. Моисеев Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1979.

49. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях. // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. - С. 93-103.

50. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, № 7. - С. 1160-1172.

51. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1. -С. 110-121.

52. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

53. Нахушев A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстед-та. // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, № 1. - С. 52-62.

54. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, 1. - С. 44-59.

55. Нерсесян А.Б. О задаче Копш для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. // Материалы II Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. - с. 116-117.

56. Онанов Г.Г., Скубачевский А.Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела. // Прикл. механика. 1979. - Т. 15, № 5.- С. 39-47.

57. Полосин A.A. О разложении решения обобщенной задачи Геллер-стедта в биортогональный ряд. // Дифференц.уравнения. 1996.- Т. .32, № 1. с. 135-137.

58. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

59. Прилепко А.И. Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае контактных тел. // Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7, № 1. - С. 94-108.

60. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

61. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 750 с.

62. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.

63. Пулъкин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта. // Изв. вузов. Математика. 1960. - № 6 (19).- С. 214-225.

64. Работное Ю.Н. Некоторые вопросы теории пол-зу-чести. // Вест-ник МГУ, сер. А. 1948. - № 10.

65. Розовский М.И. Механика упруго-наследст-венных сфер. //"Итоги на-уки". Упру-гость и плас-тичность. М.: ВИНИТИ. 1967.

66. Savkova О. V. An initialy-edge problem for equation mixed type with brevity delay // Труды 7-й Международной научной конференции им. акад. М.Кравчука. Украина, Киев, Институт математики.- 1998. С. 449-450.

67. Савкова О.В. О единственности решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием // Научный альманах Орловского государственного университета. Серия: естественные науки. Орел, 2000. - С. 52-55.

68. Савкова О.В. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием / / Труды IX международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Орел. - 2000. - С. 391-395.

69. Савкова О.В. Начально-краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения с запаздывающим аргументом // Сборник научных трудов межвузовской конференции "Экономика, общество, личность на рубеже XXI века". Орел, 2000. - С. 489-491.

70. Савкова О.В. О решении сингулярного интегрального уравнения второго рода с помощью задачи Римана. // Сборник научных трудов "Вестник науки". Орел: ОГТУ АМУС, 2000. - Вып. 5. - Т. 1. - С. 425-429.

71. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 11. - С. 1925-1935.

72. Скубачевский А.Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах. // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 9.- С. 1590-1599.

73. Скубачевский А.Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. // Матем. сборник. 1986. - Т. 129 (171), № 2. - С. 279-302.

74. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

75. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк.,1985.- 304 с.

76. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи A.B. Би-цадзе. // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, № 1. - С. 143-146.

77. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением. // Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10, № 1. -С. 143-152.

78. Справочник по специальным функциям. Под редакцией Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

79. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

80. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

81. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф.И. Франкля). М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.

82. Франклъ Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. // Прикл. мат. и мех. 1956. - Т. 20, № 2. - С. 196-202.

83. Appel P. and Катре J. de Feriet. Fonctions hypergeometriques et hyperspheriques. Polynome d'Hermite. Paris, Gauthier-Villars. -1926.

84. Brezis H., Browder F. Partial differential equations in the 20th century. // Adv. Math. 1998. - 135. № 1, p. 76-144.

85. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second order de type mixte: These, pour le doctorat. Uppsala, 1935. - 92 p.

86. Krall A.M. The Development of General Differential Operator and General Differential Boundary Systems. // Rocky Mountain J. Math. 1975. - V. 5, № 4. - P. 493-512.

87. Marshall J. Leitman Some Results on Variotional Principles for Liner Initial-Value and Initial-History Problems. Disser. Abs. - 1965. -V. 26, № 6. - P. 33-72.

88. Pucone M. Equazione integralle traducente il piu generalle probleme lineare per le equation differenziali lineari ordinarie de qualsivoglia ordine. // Accademia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni: Roma, 1932. V. 15, № 6. - P. 942-948.