Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I

Начально-краевая задача для дифференциально-разностного параболического уравнения третьего порядка со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени и характеристической линией изменения типа.

§1. Единственность решения задачи К.

§ 2. Начально-краевая задача К\ для линейного параболического уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом по пространственной координате.

2.1. Единственность решения задачи Ki.

2.2. Краевая задача для линейного однородного уравнения третьего порядка параболического типа без запаздывающего аргумента.

2.2.1. Постановка задачи. Единственность решения. Построение фундаментальной системы решений.

2.2.2. Исследование частного решения.

2.2.3. Построение решения.

2.3. Краевая задача для линейного неоднородного уравнения третьего порядка параболического типа без запаздывающего аргумента.

2.3.1. Исследование частного решения неоднородного уравнения.

2.3.2. Построение решения.

2.4. Существование решения задачи Ki.

§3. Разрешимость задачи К.

ГЛАВА II

Задача Жевре для смешанного параболического уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом и нехарактеристическими линиями изменения типа.

§4. Постановка задачи G. Единственность решения.

5. Существование решения.

5.1. Редукция задачи G к системе интегральных уравнений.

5.2. Применение операторов дробного интегродифферен-цирования при сведении системы интегральных уравнений к системе сингулярных интегральных уравнений.

5.3. Исследование системы сингулярных интегральных уравнений.

ГЛАВА III

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа третьего порядка.

§ 6. Начально-краевая задача для уравнения параболо-гипербо-лического 'типа третьего порядка с запаздывающим, аргументом.

6.1. Постановка задачи R.

6.2. Первая начально-краевая задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом.

6.3. Единственность решения задачи R.

6.4. Существование решения задачи R.

§ 7. Начально-краевая задача для уравнения эллиптико-параболического типа третьего порядка с запаздывающим аргументом.

7.1. Постановка задачи Р. Единственность решения.

7.2. Задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного эллиптического уравнения.

7.2.1. Постановка задачи. Единственность решения.

7.2.2. Существование решения задачи Неймана-Дирихле.

7.3. Существование решения задачи Р.

Актуальность темы. Многие задачи трансзвуковой газовой динамики. гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитогидродинамики, физики плазмы, другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому класс)' уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа третьего порядка с последействием

Liи(х. у) - ви(х,у) = и{х - r,y) + f(x,y) (г = 1, 2, 3), (0.1) учитывающее тот факт, что изменения в физических системах зависят не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от предыстории.

В уравнении (0.1) Ьу = дл/дхк] — к(х. у) д/ду (к(х./у) = sgn у или к(х.у) = sgrix(r — x)~j - смешанно-параболический, L<2 = {д / дх)2+И^ — (д/ду)'2~н^ параболо-гиперболический и L;; = (д/дх)'2+И^ + + ( — д/ду)'2~н^ эллиптико-параболический операторы третьего порядка; 6. т = const, т > 0; #(£) - функция Хевисайда; f(x,y) ~ заданная, а и(х.у) -■ неизвестная функции.

Предметом исследования диссертации являются впервые поставленные нелокальные1 начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в ограниченных и неограниченных смешанных областях, содержащих внутри себя как характеристические, так и нехарактеристические линии изменения типа.

Существенное отличие уравнения смешанного типа (0.1) от ранее изучавшихся состоит в том. что оно является дифференциально-функцио-нальньш. Уравнение (0.1) не рассматривалось, хотя его можно получить при изучении колебаний кристаллической решетки [98]; при изучении распространения волн в средах, где состояние среды в данный момент времени зависит от ее состояния во все предыдущие [30]; при решении задач нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [172] и задач теплообмена при обтекании поверхности покрытой материалом с тепловой памятью [6] и др.

Актуальность исследования следует как из внутренних потребностей теоретического обоснования классических задач для уравнений матсматической физики.так и из важных прикладных возможностей уравнений смешанного типа третьего порядка с запаздывающим аргз'ментом.

Цель работы исследование вопросов разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для смешанно-параболических, парабо-ло-гиперболических. эллиптико-параболических уравнений третьего порядка с запаздывающим аргументом по пространственной координате в ограниченных и неограниченных областях, содержащих внутри себя как характеристические, так и нехарактеристические линии изменения типа,

Для обоснования корректности впервые поставленных нелокальных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что и определяет структуру работы и содержание отдельных глав.

Общая методика исследования. В работе широко используется аппарат специальных, функций, методы теории интегральных уравнений Вольтерра, Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, дифференциально-функциональных уравнений обыкновенных и в частных производных, операторы дробного интегродифференцирования, теория потенциала, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод "аЪс"). метод разделения переменных Фурье.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются качественно новыми в сравнительно мало исследованной и актуальной проблеме теории уравнений в частных производных ■ проблеме решения нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство однозначной разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для уравнений смешанно-параболического, параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа с запаздывающим аргументом по пространственной координате в ограниченных и неограниченных областях, содержащих внутри себя характеристические или нехарактеристические линии изменения типа.

2. Метод построения и исследования решения первой задачи для уравнения параболического типа третьего порядка с запаздывающим аргументом.

3. Доказательство единственности решений нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа третьего порядка.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для уравнений и систем уравнений смешанного типа третьего порядка с запаздывающим аргументом.

Практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные результаты ,к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, тепло- и массообмена в неоднородных средах, влагопереноса в каппилярно-пористых телах, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака.

Предшествующие результаты. Теория нелокальных задач, бурно развиваясь, достигла заметных результатов. Причина такого пристального внимания, как пишет А.А. Самарский [123]. в том. что нелокальные задачи являются качественно новыми и возникающими при решении современных проблем физики.

Нелокальные задачи для классических уравнений, когда краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках границы, имеют уже довольно богатую историю, относящуюся к исследованиям обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных гиперболического, эллиптического, параболического и смешанного типа: А.В. Бицадзе [16]: А.В. Бицадзе, А.А. Самарский [17]; В.И. Жегалов [35]; В.А. Ильин [69]; В.А. Ильин, Е.И. Моисеев [70]-[71]; Н.И. Ионкин [73]: Л.И. Камынин [78]; В.П. Михайлов [100]; Е.И. Моисеев [103]-[104]; A.M. Нахушев [106]; А.И. Прилепко [112]-[113]; М.С. Сала-хитдинов, М. Мирсабуров [122]; А.Л. Скубачевский [126]; ATI. Солдатов [129]-[130]: В.А. Стеклов [132]; Я.Д. Тамаркин [134]; Ф.И. Франкль [144]; В.И. Чесалин, Н.И. Юрчук [146]; A.M. Krall [165]; М. Pucone [171]. Как выяснилось, нелокальные краевые условия возникают в задачах прогнозирования почвенной влаги [18], [107]. при математическом моделировании процессов излучения лазера [152]. диффузии трехкомпонентных систем [173]. в "математической биологии" при исследовании размножения клеток, бактерий [174], в контактных задачах [112]-[113].

Теория нелокальных задач для неклассических (дифференциально-функциональных) уравнений, содержащих преобразования аргумента искомой функции, с краевыми условиями локального характера достаточно серьезно разработана для обыкновенных дифференциально-разностных уравнений: в меньшей степени для дифференциально-разностных уравнений в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типа: А.Б. Антоневич [7]; А.Л. Скубачевский [126]; В.П. Ма-слов [98]; Д.К. Дурдиев [30]; А.К. Алексеев [5]. Указанные уравнения используются при решении задач теории упругости [110], [125]: теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [88]. [92]: теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [2], [9], [38], [86], [91]-[92], [94], [119], [120], [124], [166]; в задачах определения индикатриссы рассеяния в двумерном уравнении переноса [109]. При этом совершенно не развита теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа.

В большинстве своем рассмотренные к настоящему времени нелокальные задачи связаны с решением уравнений смешанно-параболического, параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа второго порядка.

Одними из первых работ, посвященных смешанно-параболическим уравнениям, т.е. параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жевре [162], опубликованные в 19131914 г.г. Последующий интерес к таким уравнениям был вызван тем, что они находят важные приложения при решении вопросов теории рассеяния электронов [153]-[155]. [157]-[158], [161]; к решению стационарного уравнения броуновского движения Фоккер-Планка [24]. [156], [159], [167] и нелинейных уравнений гидродинамических течений со знакопеременным коэффициентом вязкости [8], [11], [65]-[66], [89]-[90], [93], [108], [117]-[118], [148]-[149]. Большое число исследований посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени [31]-[33], [82]-[83], [84], [137]-[142], [150]-[151], [169]-[170]. Краевые задачи указанных работ исследовались в гельдеровских классах функций, в пространствах С.Л. Соболева с помощью ряда свойств собственных функций соответствующих спектральных задач уравнений с меняющимся направлением времени.

В последние годы все возрастающий интерес вызывают уравнения смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типа. Они возникают при исследовании явлений в двух средах с резко отличающимися физическими'свойствами. Еще в 1959 году И.М. Гель-фанд [23] указал на необходимость рассмотрения задач сопряжения параболических и гиперболических уравнений. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой: в канале движение описывается волновым уравнением, а вне его уравнением диффузии. На границе канала выполняются условия сопряжения. Уже первые исследования [68]. [133]. [143] показали прикладную значимость рассматриваемых уравнений, встречающихся при изучении задач распространения электромагнитного поля в неоднородной среде, движения малосжимаемой жидкости в пористом канале, определения напряжения и силы тока в теории электрических цепей и др. [3]-[4], [80]. Среди работ, близких к рассматриваемой тематике, отметим следующие: А. Абдулла-ев [1]; Х.Г. Бжихатлов, A.M. Нахушев [13]: С.И. Гайдук. А.В. Иванов [20]; С.И. Гайдук [21]: Т.Д. Джураев [28]; Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мама-джанов [29]: В.А. Елеев [34]: Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев [74]: Н.Ю. Капустин [79]: Н.В. Кислов [85]; М.С. Салахитдинов [121]: А. Сопуев [131]; Ж.О. Тахиров [135]; В.И. Чесалин, Н.И Юрчук [146].

Вместе с тем, как показывают исследования [81], [95], [168]. не .менее важными являются нелокальные задачи для уравнений смешанного типа третьего, четвертого и более высокого порядков. Так. при рассмотрении задачи обтекания тонкого тела в слабо диспергирующей среде [12], [81], приходят для функции тока к параболо-гиперболическим или эллиптико-параболическим уравнениям третьего порядка. Смешанно-параболические уравнения третьего и более высокого порядка, которые соответственно аналогичным уравнениям второго порядка имеют весьма важные приложения, рассматривали В.А. Водахова [19]: Б.Б. Жураев [36]: О.С. Зикиров [67]: К). Иргашев [76]: Н.К. Мамадалиев [96]: К.И. Михайлов [ 1 () 1 ]-[ 102]: С.В. Попов [111]: Д. Халмуратов [145]; С.Ш. Ядгар [147]. Для построения решения в ограниченных и неограниченных областях. содержащих внутри себя характеристические или нехарактеристи-чсские линии изменения типа.,использовался метод теории потенциала.

Отсутствие исследований по нелокальным задачам для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа второго, третьего и более высокого порядка подтверждает актуальность темы диссертации.

Содержание диссертации по главам.

Присутствие в уравнении (0.1) слагаемого с запаздывающим аргументом требует при постановке задачи (кроме классических краевых условий) задания искомой функции и(х.у) = д(х.у) на начальном множестве — г < х < 0, а < у < Ь. если решение следует искать при х > 0, а < у < Ь. Уравнение (0.1) с учетом начального условия "по запаздыванию" можно записать в виде

L,u(x. у) - 3 и(х. у) - Н(х - т) и(х - г, у) + F(x. у), х > 0 (0.2) г = 1, 2, 3). где F(x,y) = f(x,y) + Н{т — х) д(х - т. у). Поэтому без ограничения общности в диссертации рассматриваются уравнения (0.2).

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Абдуллаев А. С. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями перехода, Автореф. дисс. . доктора физ.-мат. наук. Ташкент. 1988.

2. Аболина Т. Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейных гиперболических систем на плоскости.//.Мат. сб. I960. т. 50, вып. 4.

3. А виз X. Сетгпари. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Наука. 1977. - 736 с.

4. Акилов Ж.А. Нестационарные движения вязкоупругих жидкостей. -- Ташкент: ФАН, 1982. 104 с.

5. Алексеев АЖ. Восстановление истории нагрева с помощью термоиндикаторов размещенных по глубине образца.//Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики. М.: МФТИ, 1992. -с. 92-97.

6. Алексеев АЖ., Чистов 'А.Ю., Шведов Б.А. К определению температуры и плотности теплового потока из решения обратной задачи теплопроводности в термодеструктирующем материале.//Ин-женерно-физ. журнал. Минск. - 1993. - т. 65, J\f 6. - с. 652-656.

7. Антоневич А.Б. Метод функциональных уравнений в теории краевых задач. Автореферат дис. . д-ра ф.-м. наук. - Минск: Б ГУ, 1987.

8. А хм ер о в P.P. Об одной начальной задаче для диффференциально-го уравнения второго порядка со знакопеременным коэффициентом при старшей производной.//Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1984. т. 15, N 3. - с. 3-11.

9. Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

10. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений.//Успехи матем. наук. 1959. т. 14. вып. 3(87). с. 319.

11. Горькое Ю.П. Формула решения одной краевой задачи для стационарного уравнения броуновского движения.//ДАН АН СССР. -1975. т. 223. А 3. с. 525-528.

12. Градштсйн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука 1971. 1108 с.

13. Гурса Э. Курс математического анализа. М.: ГТТИ, 1933. - т. 3, ч. 1. - 276 с.

14. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преоразования. Минск: Наука, 1971. 207 с.

15. Джураев Р.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979. 238 с.

16. Джураев Р.Д. Сопуев А. Мамаджанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гинерболического типа. Ташкент: ФАН, 1986. 220 с.

17. Дурдиев Д.К. Обратные задачи для некоторых гиперболических уравнений с памятью. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. - 1992.

18. Егоров Й.Е. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с гладкими и разрывными коэффициентами. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1977.

19. Егоров И.Е. О первой краевой задаче для одного неклассического уравнения.//Матем. заметки. 1987. т. 42, J\f 3. - с. 394-402.

20. Егоров И.Е. Разрешимость одной краевой задачи для уравнениясмешанного типа высокого порядка.//ДАН СССР. 1987. т. 293, Я 4. с. 785-788.

21. Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа.//Дифференц. уравнения. 1977. т. 13. N 1. с. 56-63.

22. Жегалов В.И. Исследования краевых задал со смещениями для уравнений смешанного типа. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, ИМ СО АН СССР. 1989.

23. Жураев Б.Б. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений высокого порядка, Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1990.

24. Зайцев В.Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения. I.: Физматгиз. 1995. 462 с.

25. Залманов Т. А. Об эволюционных уравнениях с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве.//Докл. на Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1965.

26. Зарубин Е.А. О задачах Дарбу для дифференциально-разностного гиперболического уравнения.//Тезисы доклада, 6-ая Междунар. научная конференция mi. акад. М. Кравчука, Украина, Киев, Институт математики. 15-17 мая 1997. с. 170.

27. Зарубин Е.А. О задаче сопряжения параболического и гиперболического уравнений с запаздывающим аргументом.//Тезисы доклада. Воронежская школа "Современные проблемы механики и прикладной математики". Воронеж: ВГУ. 21-29 апреля 1998.с. 124.

28. Зарубин Е.А. Аналитическое1 решение задачи распространения длинных волн в слабодиспергирующих средах. Сборник научных трудов "Вестник науки". Орел: АМУС. ОГТУ. 1999. в. 5.с. 272-275.

29. Зарубин Е.А. О фундаментальных решениях уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Сборник научных трудов "Вестник науки". Орел: АМУС. ОГТУ. 1999. в. 5. с. 253-255.

30. Зарубим Е.А. Об одной начально-краевой задаче для обыкновенного дифференциально-разностного уравнения третьего порядка. -Научный альманах Орловского гос. ун-та. серия "Естественные науки". Орел: ОГУ. 2000. в. 3. с. 50-51.

31. Зарубин Е.А. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка. -Вестник научных трудов. Самара: изд. СГЭА. 2000. А" 2-3.с. 295-302.

32. Зарубин Е.А. Задача Жевре для дифференциально-разностного уравнения параболического типа третьего порядка. 8-ая Междунар. научная конференция им. акад. М. Кравчука. Украина, Киев, Институт математики. 11-14 мая 2000. с. 85-86.

33. Зарубин Е.А. О сингуляризации сингулярного интегрального уравнения первого рода.//Тезисы доклада. Третья междунар. конференция "Дифференциальные уравнения и их применения". Санкт-Петербург: СПбГТУ, РФФИ. 12-17 июня 2000. с. 145.

34. Зарубин Е.А. Регуляризация характеристического сингулярногоинтегрального уравнения с автоморфным ядром при помощи преобразования Ханкеля. 'Сборник научных трудов "Вестник науки". Орел: АМУС. ОГТУ. 2000. в. 6. с. 212-213.

35. Золина Л. А. О краевой задаче для .модельного уравнения гиперболо-параболического типа.//ЖВМ и МФ. 1966. т. 6, Я 6. с. 9911001.

36. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базиенооти Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка.//Диф-ференц. уравнения. 1986. т. 22. Я 12. с. 2059-2071.

37. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трак-товках.//Докл. АН СССР. 1986. т. 291, Я 3. с. 534-539.

38. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля.//Дифференц. уравнения. -1987. т. 23, .V 8. с. 1422-1430.

39. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. 1. Л.: Наука. 1982. 616 с.'

40. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями.//Дифференц. уравнения. -■ 1977. т. 13, Я 2. с. 294-304.

41. Ионкин И.И. Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми )гсловиями.//Дифференц. уравнения. 1979. т. 15. Я 7. с. 1284-1295.

42. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.//Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. Ташкент: ФАН. 1976.с. 17-27.

43. Иргашев К). Краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1978.

44. Кампе де Ферье Ж. Кембелл Р. Петь о В. Фогель Т. Функции математической физики. М.: ФМ, 1963. 102 с.

45. Камынин Л. И. Единственность краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка,//Дифференц. уравнения. 1978. т. 14. Я 1. с. 39-49.

46. Капустин Н.Ю. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения.//Докл. АН СССР. 1984. т. 274. А' 6. с. 1294-1298.

47. Каратопраклиев В. Д. Об одном обобщении задачи Т для уравнения uxx + sgn y и,уу = 0.//Докл. АН СССР. 1963. т. 151, Аг 6. с. 12711273.

48. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 175 с.

49. Керефов А.А. Задача Жевре для одного смешанно-параболического уравнения.//Дифферент уравнения. 1977. т. 13, Л/* 1. с. 76-83.

50. Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений.//Дифферент уравнения. 1979. т. 15, А' 1. с. 74-78.

51. Кислое Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их применение.//Мат. сб. 1984. т. 125. вып. I. с. 19-37.

52. Кислое Н.В. Гладкие решения задачи Жевре.//Дифференц. уравнения и их приложения. Тезисы докладов .международного семинара. Самара: СамГ'У. 1996. ч. 1. с. 59.

53. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: изд-во Казан, ун-та. 1970. 210 с.

54. Курбанов И.О. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики с памятью.//ДАН СССР. 1991. т. 318, J\f 5.с. 1068-1071.

55. Лаврентьев М.М. О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений переменного типа.//СМЖ. 1980. т. 21. J\f 6.с. 176-185.

56. Лаврентьев М.М. О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями.//СМЖ. 1987. т. 28. JV 2. с. 79-95.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Госте-хиздат. 1953. 795 с.

58. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959. 532 с.

59. Ларькин Н.А. Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука. 1983. 270 с.

60. Линский B.C. Фомина Л.Н. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью.//Изв. АН СССР. ОТН. сер. мех. мат. 1959. Л' 3.

61. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир. 1983. 294 с.

62. Мамадалиев Н.К. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков второго рода. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент. 1991.

63. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. Минск: Наука и техника. 1978. 310 с.

64. Мае.лов В.П. Операторные методы. М.: Наука. 1973. 544 с.

65. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1967. 564 с.

66. Михайлов В.П. О базисах Рисеа в В2(0,1).//Докл. АН СССР. -1962. т. 114, Я 5. с. 981-984.

67. Михайлов К.И. Гранични задачи за уравнение от смссен тип от трети ред.//Годишник на висшите учебни заведения. Приложна математика. София. 1980. т. 16, А" 4. с. 109-116.

68. Михайлов К.И. Гранични задачи за уравнение от трети ред от смесей еллиптико-параболичен тип.//Годишник на висшите учебни заведения. Приложна математика. София. 1980. т. 16. А 4. с. 117128.

69. Моисеев Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Автореферат дисс. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ. 1979.

70. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа,//Дифференц. уравнения. 1990. т. 26, Af 7. с. 1160-1172.

71. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

72. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа,//Дифференц. уравнения. 1969. - т. 5, N 1. с. 44-59.

73. Нахушев A.M. Краевая задача для нагруженного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа и некоторые приложения к прогнозу почвенной влаги.//Дифференц. уравнения. 1979. т. 15, JV 1. с. 96-105.

74. Новиков В.А. Теоремы существования и несуществования для одного класса уравнений переменного типа,//ДАН СССР. 1980. -т. 235. Я 6. с. 1311-1313.

75. Носов В.Р. Теоремы существования для смешанной задачи для гиперболического уравнения и некоторых типов уравнений с запаздыванием. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. М., 1966.

76. Онанов В.В., Скубачевский А.Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела.//Прикл. механика, 1979. т. 15. Л' 5. -с. 39-47.

77. Попов С. В. Краевые задачи для прямо и обратно параболических уравнений. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1989.

78. Прилепко А.И. Внешние контактные обратные задачи обобщенных магнитных потенциалов переменных плотностей.//Дифференц. уравнения. 1970. т. 6, А/" 1. с. 39-49.

79. Прилепко А.И. Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае контактных тел.//Дифференц. уравнения. 1971. т. 7, М 1. с. 94-108.

80. Прудников А.П. Брычков К).А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

81. Прудников А.П., Брычков К).А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 750 с.

82. Прудников А.П. Брычкор К).А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука. 1986. 800 с.

83. Пятков С.Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимися направлением времени. Новосибирск, 1987. 29 с. (Препринт, ИМ СО АН СССР, J\f 16)

84. Пятков С.Г., Подгаев А.Г. О разрешимости одной краевой задачи для не1 линейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени.//СМЖ. 1987. т. 28, Af 3. с. 184-192.

85. Работное Ю.Н. Некоторые вопросы теории ползучести.//Вестник МГУ. сер. А. 1948. А" 10.

86. Розовский М.И. Механика упруго-наследственных сфер.//"Итоги науки". Упругость и пластичность. М.: ВИНИТИ. 1967.

87. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа, Ташкент: ФАН, 1974. 156 с.

88. Салахитдинов М.С. Мирсабуров М. О двух нелокальных краевых задачах для вырождающегося гиперболического уравнения.//Дифференц. уравнения. 1982. т. 18, j\f 1. с. 116-127.

89. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений.//Дифференц. уравнения. 1980. т. 16. J\f 11.с. 1925-1935.

90. Сеидов З.Б. Решение одной краевой задачи для параболического уравнения с запаздывающим аргументом. Уч. зап. АзГУ, Серия физмат. 1962. - т. 1.

91. Ск/убачевский А.Л. Нелокальные эллиптические краевые задачи, возникающие в теории упругости.//Изв. АН СССР. МТТ. тезисы доклада на семинаре А.А. Ильюшина. 1980, Л' 1. с. 158.

92. Скубачввский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах.//Дифференц. уравнения. 1982. - т. 18. Л/" 9. с. 15901599.

93. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

94. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 296 с.

95. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи А.В. Би-цадзе.//Дифференц. уравнения. 1972. т. 8, Л' 1. с. 143-146.

96. Солдатов А.П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай.//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. т. 55, .¥5. с. 1070-1100.

97. Сопуев А. О краевых задачах А.В. Бицадзе для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа,//Изв. АН УзССР. сер. физ.-мат. наук. 1982. j\f 2. с. 23-27.

98. Стекло в В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 432 с.

99. Стругина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений.//Инженерно-физич. журнал. 1961. т. 4, J\1 11. с. 99-104.

100. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

101. Тахиров Ж.Д. Метод потенциалов для параболо-гиперболического уравнения.//Изв. АН УзССР. сер. физ.-мат. наук. 1988. J\l 4. -с. 50-54.

102. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Наука. 1988. 816 с.

103. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ. 1973. 144 с.

104. Терсенов С.А. Первая краевая задача для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск, 1979. 54 с. (Препринт ИМ СО АН СССР)

105. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1982. 168 с.

106. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука. 1985. - 105 с.

107. Терсенов С.А. Разрешимость краевых задач для уравнения щ — = sgn х ихх в классах Hxf2. Новосибирск, 1984. 40 с. (Препринт ИМ СО АН СССР, А' 74)

108. Терсенов С.А. О краевых задачах для одного класса ультрапараболических уравнений и их применения.//Мат. сб. 1987. т. 133. вып. 4. с. 539-555.

109. Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях.//Инженерно-физич. журнал. 1964. т. 7, N 1. с. 89-92.

110. Франк ль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения.//Прикл. мат. и мех. 1956. т. 20. Аг 2. с. 196-202.

111. Халмуратпов Д. Задача Коши и краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1989.

112. Чесалин В.И., Юрчук Н.И. Задача сопряжения абстрактных параболических и гиперболических уравнений с нелокальными условиями по t.//Докл. АН БССР. 1974. т. 18. А' 3. с. 197-200.

113. Ядгар С.Ш. О корректных краевых задачах для уравнений с частными производными третьего порядка составного и гиперболо-параболического типов. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1975.

114. Яиенко Н.Н. Новиков В.А. Об одной .модели жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости.//Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1973. т. 4. N2. с. 142-147.

115. Янснко Н.Н. Новиков В.А. Об одном новом классе уравнений переменного типа.//УМН. 1980. т. 35. вып. 4. с. 156.

116. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equations/Communications part, different, equat. 1978. V. 3. M 11. p. 1007-1040.

117. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation devolution changeant de type.//J. Funct. anal. 1968. V. 2, j\f 3. - p. 352-369.

118. Bassanini P. Calaverni M. Coiitrazioiii nmlti, systemi iperbolici, e problema del laser. Atti sernin. mat. e lis. Univ. Modena, 1982. 31. A' 1. p. 32-50.

119. Beals R. On an equation of mixed type from electron scattering theory.//J. Math. anal, arid appl. 1977. V. 58, Я 1. p. 32-45.

120. Deals R. Partial-range completeness and existence of solutions to two-way diffusion equation.//J. Math. phys. 1981. Y. 22. p. 954-960; erratum.//J. Math. phys. - 1983. Y. 24. p. 1932.

121. Deeds B,. Indefinite Stiirm-Liouville problems and half-range completeness.//,!. Different., equat.- 1985. Y. 56. p. 391-407.

122. Beals R. Protopopeseu V. Half-range completeness for the Fokker-Plarick equation.//J. Stat. phys. 1983. A'. 32. A''3. p. 565-584.

123. BetJie H.A. Rose M.E. Smith B.B. The multiple scattering of electrons.//Proc. Arner. philos. soc. 1938. Y. 78. p. 573-585.

124. Bothe W. Die streneabsorption der elect.ronenstrahlen./ /Z. Phys. -1929. Y. 54. - p. 101-178.

125. Burschka PI.A., Pihdaer V.M. The kinetic boundary layer for the Fokker-Planck equation. A brownaian particle in a uniform field.// Phys. 1982. Y. A112. p. 315-330.

126. Carleman P. Sur la resolution de certaines equations integrales.//Arkiv for Mat,. Astr. och Fysik. 1922. Bd. 16, A' 26. p. 1-19.

127. Fisch N.J., Kraskal M.D. Separating variables in two-way diffusion equation.//J. Math. phys. 1980. Y. 21. p. 740-750.

128. Geuvres de Maurice Gevrey. Paris, 1970.

129. Hardy G. Littlewood J. Some properties of fractional integrals.//J. Math. Z. 1928. 27, Я 4.

130. Kattabriga L. Un problema al contorno per una equazione parabolica di ordine dispari.//An Scuola norm. Super Pisa Sci. fis. e mat. 1959. -V. 13. Л" 2. p. 164-203.

131. Krall A.M. The Development of General Differential Operator arid General Differential Boundary Systems.//Rocky Mountain J. Math. -1975. V. 5. A' i. p. 493-542.

132. Marshall J. Leitman Some Results on Variotional Principles for Liner Initial-Value and Initial-History Problems. Disser. Abs. 1965. -т. 26. A' 6. p. 33-72.

133. Pagaru C.D. Studio di alcune qucstioni concernenti Pequazione generalizzata di Fokker-Planck.//Boll. un. mat. Ital. 1970. V. 3. JV 6. p. 961-986.

134. Pagam C.D. Talenti G. Armali di Maternatiea Рига ed Applicata. serie Quart a. torno XC. 1971.

135. Pagam C.D., Talenti G. On a fonvard-baclward parabolic equation.// Ann. mat., pura ed appl. 1971. V. 90. p. 1-58.

136. Pagani C.D. On the parabolic equation sgn(x)|x,|p«J/ — uxx = 0 and a related one.//Ann. mat. pura ed appl. 1974. A". 99. p. 333-399.

137. Pueone M. Equazione integralle traducente il piu generalle problcrne lineare per le equation differenziali lineari ordinarie de qualsivoglia ordine.//Accademia nazionale dei Lince. Atti dei convegni: Rorna, 1932. V. 15, A'6. p. 942-948.

138. Vorontsov M.A. Iroshnikov N.G. Abernathy R.L. Chaos. Solitons and Fractals. 1994. V. 4, Я 8/9. p. 1701-1716.

139. Wolska-Bochenec J. On Some Non-Local Moving Boundary Value Problem. Demonstr. Math. 1981. V. 14. j\f 3. p. 783-791.

140. Yarnada A., Funakoshi H: On a Mixed Problem for the M'Kendrich-von Foerster Equation. Quart. Appl. Math. 1982. V. 40, A' 2. p. 165-192.