Исследование некоторых уравнений смешанного типа методом конечных разностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

»

На правах рукописи

РОМАНОВА Наталья Анатольевна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Специальность 01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 1996

Диссертация выполнена в Якутском государственном университете им. М. К. Аммосова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент И. Е. Егоров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хе Кан Чер кандидат физико-математических наук, доцент А. Е. Поличка

Ведущая организация - Институт математики СО РАН.

Защита состоится _1996 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 064.62.01 в Хабаровском государственном техническом университете по адресу: 680035, г.Хабаровск, Тихоокеанское шоссе, 136.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан

■10 апреля г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф-м. н., доцент

А. Г. Подгаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Неклассические уравнения математической физики - интенсивно развивающееся направление в теории уравнений в частных производных. К неклассическим уравнениям относятся уравнения смешанного типа, гиперболо-параболические уравнения,эллиптико-параболические уравнения и другие. Неклассические уравнения представляют большой интерес с точки зрения их приложений в трансзвуковой газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и во многих других вопросах механики и гидродинамики.

Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.Трикоми и М.Чибрарио. Важнейшие результаты в этом направлении были получены в работах Ф. И. Франкля, К. И. БаСенко, А. В. Бицадзе, М. В. Келдыша. В последующие годы появилось много работ, посвященных неклассическим уравнениям смешанного типа. Это, в частности, работы Г. Фикеры, М.М.Смирнова, С. А. Терсенова, 0. А. Олейник, А. М. Нахушева и др. Различным аспектам неклассических уравнений посвящены работы В. Н. Врагова, Н. В. Кислова, И. Е. Егорова, А. И. Кожанова, С. Г. Пятко-ва, Хе Кан Чера, А. Г. Подгаева и др.

В конце 70-х годов В. Н. Враговым и рядом автором было начато построение общей теории краевых задач для гипврболо-параболических уравнений второго порядка. Изучался вопрос о постановке корректных краевых задач, доказательство их разрешимости и гладкости обобщенных решений. В эти же годы появились работы, в которых рассматривалось уравнение смешанного типа вида

k(x,t)u + a (x,t)u + a(x,t)u +b (x,t)u +c(x,t)u =f(x,t),

i j x t к } t I x (

где a (Xjtj^Cj s 0 , • • • .€„ ). а коэффициент k(x,t)

произвольным образом меняет знак внутри области. Здесь и ниже предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Для этого уравнения были сформулированы некоторые краевые задачи и изучены вопросы слабой и сильной разрешимости этих задач в пространствах Соболева w^(qt) и w2(Qt)- Исследования проводились различными методами: г-регуляризации, методом Лакса -

Филлипса, включающим технику сглаживающих операторов для доказательства существования сильного решения, методом Галеркина.

Метод конечных разностей - один из мощных численных методов решения широкого класса математических задач. В настоящее время не разработана удовлетворительная теория разностных схем для уравнений смешанного типа, в литературе имеются лишь отдельные работы. Большое практическое значение имело бы изучение конечно-разностных аналогов краевых задач для уравнения смешанного типа, т. е. построение разностных схем и изучение их сходимости и устойчивости.

Принципы и методы построения разностных схем, исследование их свойств, а также разработка специальных методов решения сеточных уравнений достаточно полно изложены, например,в монографиях А. А. Самарского, А. А. Самарского и А. В. Гулина, А. А. Самарского и В.Б.Андреева, А. А. Самарского и Е.С.Николаева, Г. И. Мар-чука, Н. Н. Яненко, В. Вазова и Дж. Форсайта и других.

Цель работы - исследование разрешимости начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с помощью метода конечных разностей; построение сходящихся разностных схем и доказательство их устойчивости в метриках, соответствующих энергетическим оценкам.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена явная разностная схема для уравнения гиперболо-параболического типа. Доказана устойчивость разностной схемы в энергетических нормах и сходимость интерполяций ее решений к обобщенному и регулярному решению смешанных задач при естественных усЛЪвиях на шаги сетки.

2. Рассмотрена устойчивая разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу для уравнения смешанного типа. Доказана сходимость конечно-разностного решения к обобщенному решению и установлено повышение гладкости этого обобщенного решения.

3. Изучена сходимость решений простейшей разностной схемы, аппроксимирующей краевую задачу Терехова А.Н. для уравнения смешанного типа, к обобщенному и регулярному решению исходной задачи.

Построенные разностные схемы могут быть использованы при численном решении различных прикладных задач математической

физики.

Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" в ЯГУ (рук. д.ф-м. н. И.Е.Егоров), на семинаре по неклассическим уравнениям математической физики в институте математики СО РАН (рук. проф. В.Е.Врагов), на семннаре лаборатории ВЦ ДВО РАН (рук. проф. С. И. Смагин), на семинаре "Дифференциальные уравнения" в Хабаровском техническом университете (рук. проф. А.Г.Зарубин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1-4/, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы из 65 наименований и изложена на 66 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы, изложены основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуется разрешимость краевых задач для уравнения гиперболо-параболического типа в пространствах Соболева к12(0т) и и|(0т) методом конечных разностей.

В §1.1 рассматривается гиперболо-параболическое уравнение

П п

к(х,1:)и - £ (а..(х^)и ) + У" Ь.(х,Ь)и + а(х,Ъ)и +

1 ' И 1 11* ' ' х.'х. I1 ' ' х. * ' ' I

1, .1=1 J 1 1=1 1

+с(хД)и=£(хЛ) , (1)

в цилиндрической области <3т=0х[о,т], где 0 -ограниченная односвязная область в п-мерном евклидовом пространстве с границей б, х=(х ,х ,...,х ), П . эт=зх[0,т], 0«1:«т.

12 п I 1

Предположим, что коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие, и выполнены условия

Классическая смешанная задача.Найти в цилиндре QT решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

и| = о, иI =о, и I =о. (2)

|ST ' 11 = о ' t 11 = о * '

Видоизмененная смешанная задача. Требуется найти в цилиндре qt решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u|sт= 0' u11 = о= 0' ut|p=0" (3)

Здесь Г* = {(x,o) e fi, k(x,o)>o}.

Краевой задаче (1), (3) поставим в соответствие следующую разностную задачу:

k(s)utî(s) - |[(а (s)u- (s)) + (a (s)ux (s))- ]+

i j i j

+ b.(s)u (s) + a(s)ut(s) + c(s)u(s) = f(s) , (4)

x 6 йь, 8 = 1,...,п < .

и(э)|3 = О, б = 0,1,...,т, (5)

и|1 = 0 =0, х 6 и(х,г) =о, х е Г. (6)

Здесь Г* = { (1Ь, о): к(Ш,0)>0 }.

В § 1.2 при определенных условиях на коэффициенты уравнения (1) и

к(хЛ) е с2(0т), |Ь.|, I а I, |с| < И2, { е ь., (£>т ) (7)

построено обобщенное решение задачи (1), (3).

Для доказательства разрешимости систем (4)- (6), а также для доказательства устойчивости и сходимости исследуемого разностного процесса выведен разностный аналог энергетической оценки :

11их(ю+1)112+ Ни- (т+1) ||2 + |г I ||(э) II2< с г X ||£(8) II2, (8)

Б=0

где с не зависит от и(з), г и Ь.

Неравенство (8) гарантирует устойчивость рассматриваемой разностной схемы. С его помощью доказаны теоремы:

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

а - 1 Ц * 5 > о, £ е Ь2(0Т). (9)

Тогда разностная схема (4)-(6) устойчива при любых Ь и г, если только

г « , 4Цп < т, (10)

о Ь

где с - постоянная из неравенства

и для ее реше-

ния справедлива априорная оценка (8).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда интерполяции {u^Xjt)}, построенные по приближенным решениям

{uh> этой системы, сходятся слабо в w!,(QT) к обобщенному решению u(x,t) смешанной задачи (1), (3) из пространства Wg(QT).

В § 1.3 рассмотрено в qt гиперболо-параболическое уравнение вида:

п

Lu = к(х,t)u - I U + a(x,t)u + c(x,t)u = f(x,t). (11)

i = 1 i i

Пусть, помимо условий (7), выполнены условия:

latl, Ict I и, , ft € L2(QT), f(x,0) = o. (12)

Задачу (11), (2) заменим разностной задачей вида

п

Lhu = k(s)uti(s) - I u^ - (s) + a(s)ut(s) + c(s)u(s) = f(s), 1=1 * i* i

x e на слоях ts , ts= sr, s = i,2,...,m < j, (13)

u(s) | = o, s = l, 2,----, m,

bh

u|i = o = 0, u(x,r) =0, x 6 Qh. (14)

Доказана теорема:

Теорема 3. Пусть выполнены условия (7), (9), (10), (12)

,1 ft ^ R , П

И 3 +2 W ^ 5 >

Тогда интерполяции {u'(x,t)> решений разностной задачи

h

(13), (14) при ыо и г ->о сходятся сильно в к решению

смешанной задачи (11), (2) из пространства Производные

и' и и' сходятся слабо в ь_(от) к и (1=1,п) и и .

Ьх х ЬИ 2 4 Т' х х и

11 11

Во второй главе исследуется разрешимость краевой задачи для уравнения смешанного типа 2-го порядка методом конечных разностей. Устанавливаются теорема существования обобщенных решений краевой задачи в и'2(от) и регулярная разрешимость этой

.2 2

В параграфе 2.1 рассмотрено уравнение

задачи в пространстве Соболева (0 ).

Ьи = к(хЛ)и + I их + а(х^)и + с{х,Ь) = Цх,Ь) . (15) 1= 1 х Iх 1

Предположим, что коэффициент к(х^) может менять знак произвольным образом в от. Положим

Р" = { (х,0): к(х,0) >0, х е П }, (<)

Р* = { (х,Т): к(х, Т) > 0, х € П >. (<)

Краевая задача. Найти решение уравнения (15) в области 0Т> удовлетворяющее краевым условиям:

' т ' |рт |р0

В качестве "е-регуляризирующего" для уравнения (15) используем уравнение третьего порядка:

.3 £

Ь_,и = - Е + Ьи = О < £ < 1 . (17)

е дь3

Для уравнения (17) поставим краевую задачу:

Найти решение уравнения (17) в области от такое, что

иЕ| = т =°<- «ч"|г-о " "ГК-т - »"К-т " <18>

Задачу (17), (18) заменим разностной задачей:

п

Ь „и = -ей - (б) + к(б)и - (б) + У и - (э) + э(б)и (э) +

ЬС " ' И 1 ' . х . х . ' \ I 1 \ >

1=1 11

+ с(s)u(s) = f(s), x 6 Oh, s = 1,2,...,m -1 = -1, (19)

u| =0, ul =0, x € 0 ,

j t = m T ' | t = ( m - 1 ) Z h'

u(s)I = O, s=0,1,...,m. (20)

|s h

В параграфе 2.2 при довольно слабых предположениях относительно коэффициентов уравнения (15)

k(x,t) е cz(QT), a(x,t) €C(Q?), c(x,t) 6 с1 (QT)

доказана теорема:

Теорема 4. Пусть выполнены условия

а - | » 5 > о, с < -с < о, с « о, (21)

2 <7t о ' t

f 6 L2(Qt) 11 К(Х,О) > О, к(х,Т) > о,

где cQ- достаточно большая положительная постоянная.

Тогда разностная схема (19),(20) устойчива, и интерполя -ции {u' (x,t)>, построенные по решениям {и схемы, сходятся

h С h о

сильно в L2(Qt) к решению u(x,t) из w^(qt) задачи (15), (16)

ди' д\1' д ñ

Производные дх** сходятся слабо в Ьг (QT) к ^

i i

(i=T7F).

В § 2.3 методом конечных разностей исследуется повышение гладкости обобщенных решений из w^(Qt) задачи (15),(16), когда данные задачи удовлетворяют более сильным требованиям

k(x,t) €C3(QT), a(x,t), c(x,t) 6Ca(QT).

Теорема 5. Пусть выполнены условия (21) теоремы 4 и

k(x,0) > О, к(х,т) >о, fe w'(Qt). du'

Тогда производные h интерполяций {u'_}, построенные по

с/С h Е

решениям íuhS} системы (19), (20) сходятся слабо в w^(Qt )

к где и(х,1) - решение задачи (15), (16) из н|;(<2т) и

V = О X (О.т - П), О < Г) < т.

В третьей главе методом конечных разностей изучена краевая задача Терехова А. Н. для уравнения смешанного типа.

В § 3. 1 в цилиндрической области от рассматривается уравнение смешанного типа

п

Ьи = к(х,1:)и + £ и + а(х,-Ь)и + с(х)и = (22)

1=1 х Iх 1

Краевая задача. Найти решение уравнения (22) в области такое, что

ч|а = 0; и|1=т = 0; ц|1=0 = если к(х>°) >

и1|1_т = о, если к(х,т) < о. (23)

Предположим, что коэффициенты уравнения (22) достаточно гладкие функции.

В области (2Т рассмотрим вспомогательную задачу:

ь IIе = -е ^^ + шЕ = ¡(Х,Ь), £>0, (24)

Е дь*

иЕ| =0, иЕ|._ = и?1 =о. (25)

U I = U I =0. t = o t t =о Ч = т 11 = т

Разностный аналог задачи (24), (25) запишем в виде:

'5т

L8buh S " Eubtitî (S) + Z Uhx .X . (S> + k<SIV;lS) + a(s;u=t(8) +

1=1 il

+ cuE(s) = f(s), x e fi (26)

h h

s = 1,2,...,m-l = - 1;

uE| =0, uE| _ = 0, uE| _ = 0,

h j t = 0 ' h|t = r ' h[t=(m-l)T '

uE| = o, x e fi uE(s)| =o, s = oTi. (27)

n | t = m t h, h 1 h

В § 3. 2 доказана обобщенная разрешимость краевой задачи (22), (23) методом конечных разностей.

теорема 6. Пусть выполнены условия

1 fik

к(х,0)>0, к(х,Т)>0, a(x,t) - | ^ а S >0, -с » М >0

и f е L2 (QT).

Тогда разностная схема (26), (27) устойчива, и интерполяции {(u®(x,t))'}, построенные по решениям {и®} этой системы,

сходятся сильно в L2(Qt) к обобщенному решению u(x,t) е w^(Qt)

задачи (22). (23).

В параграфе 3.3 приводится теорема повышения гладкости решений краевой задачи (22), (23) по времени.

Теорема 7. Пусть к(х,0) > 0, к(х,Т) > О, f,ft € L2 (QT) . Кроме того, выполнены условия

Л (9к

-с(х) > М >0, а(х,t) 1 ^ ä б > О.

Тогда интерполяции {(u^(x,t))'} решений разностной задачи (26), (27) при h -» о, s -»о, г -» о сходятся слабо в w^ (Qt ) к решению u(x,t) задачи (22), (23) из пространства w^(QT).

Работы автора по теме диссертации:

1. Самойлова H.A. Исследование обобщенной разрешимости смешанной задачи для гиперболо-параболического уравнения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990. С. 145-151.

2. Романова Н. А. Повышение гладкости обобщенных решений смешанной задачи для гиперболо - параболического уравнения // Неклассические уравнения математической физики: Межвуз. сб. науч. тр. под ред. В. Н. Врагова. Новосибирск: НГУ, 1993. С. 137-141.

3. Романова Н. А. Об одной разностной схеме для уравнения смешанного типа // Математические заметки ЯГУ. 1994. Т. 1, ff 1. С.35-40.

4. Романова Н.А. 0 сходимости разностной схемы одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Математические заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, № 1. С. 60-66.