Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Фаршбаф Могими Мохаммад Багер АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа»

Автореферат диссертации на тему "Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Фаршбаф Могими Мохаммад Барбр.

/ **

Спектральные свойства задач^феллерс|йг(та и связанных с нею двух задач вырож/1^ющегося уравнения смешанного- тййа

Специальность 01.01.02 - Дифферфсийльные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН

Е. И. Моисеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится "10 "июня 2005 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета К 501.001.07 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан........мая 2005 г.

Ученый секретарь

кандидат физико-математическю

профессор А. Н.Зарубин.

доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Макин.

Ведущая организация: Российский государственный

университет Дружбы Народов.

наук, доцент

В. М Говоров

Z-f6W0ZJ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Первым исследователем в этой области был Ф. Трикоми. Результаты его работы были развиты в работах С. Геллерстед-та. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные теперь в литературе как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль, А. В. Бицад-зе, К. И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, M. M. Protter, С. S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, P. O. Lax, R. P. Phillips, M Schneider, Б. A. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. H. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И. JI. Кароль, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев, С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, M. М. Смирнов, А. П. Солдатов,

Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л. И. Чибрикова. и другие В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Спектральные свойства задач для уравнения смешного типа активно изучались начиная с 80 годов. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и используя свойство базисности построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Я. Н Мамедов распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области - это половина круга в соответствующей геометрии. Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [12]. Там же были выписаны собственные функции задачи Геллерстедта и в случае вырождающегося уравнения смешанного типа.

В этой работе изучена полнота собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа в случае когда эллиптическая часть области - четверть круга в соответствующей геометрии. Ранее были результаты только для случая полукруга.

Основные результаты. В работе получены следующие результаты

1. Найдены в аналитической форме через спецфункции общие решения вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения со спектральном параметром.

2. Выписаны собственные функции с помощью функций Лежандра и Бесселя и собственные значения задачи Трикоми, НейманагТрикоми и Геллерстедта.

3. Доказана полнота в эллиптической части области системы собственных функций задачи Трикоми, Неймана-Трикоми и Геллерстедта.

4. Доказана полнота в весовом пространстве двух систем функций одна из которых выражена через сумму функций Лежандра, а другая через разность функций Лежандра.

Целъ работы. Целью работы является исследование полноты систем собственных функций задач Трикоми и Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа, а также задачи Геллерстедта.

Методы исследования. Собственные функции задачи выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя и Лежандра. Полнота системы функций Лежандра исследуется с помощью решения специального интегрального уравнения. При этом используется принцип сжимающих отображений и теория пространств суммируемых с некоторой весовой степенной функцией в Ьр. Применяется формула МелерагДирихле для представления функции Лежандра. Кроме того, используются полнота специальных неортогональных систем косинусов.

го типа в эллиптической части области являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее аналогичные результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа. Ранее такие результаты были известны для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа и при решении прикладных задач методом спектрального анализа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ (научные руководители - академик Е. И. Моисеев, профессор И. С. Ломов ) ,а также докладывались на международной конференции в Калининграде в апреле 2005г, посвященной 200 летию К. Г. Якоби.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трёх статьях и направлены в печать.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы. В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 84 страницы.

Основное содержание работы

Первая глава.

В первой главе рассматриваются собственные функции задачи Трикоми для уравнения смешанного типа и доказывается полнота собственных функций.

В пункте 1.1 приведена постановка задачи Трикоми со спектральным параметром А для вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения в области Б в следующем виде,

\у\п^1ихх + уит + дии + Х\у\т*-1и = 0, = (1)

где 9<1, тп> — 2 - действительные числа, и с условием склеивания

Дт удиу = Дто(-у)% (2)

и граничными условиями

«|х=0 = о, и|7 = и\ъ = 0, (3)

причем границей области И служат характеристики 71 , 72 и "нормальная"кривая 7, которые имеют вид:

7 = {(*, у)\х2+ (гу^Дт + 2))2 = 1, 0 < х < 1},

71 = {(я, у) \х = 2(^)^/(171 + 2)), 0 < а; < 1/2},

72 = {(*,?/) 11 - г = 2(-у)т?/(т + 2)), 1/2 < х < 1}.

Пусть область £>+ ограничена сегментом [0,1] оси Ох, сегментом [0, ((т 4- 2)/2)яйя] оси Оу и кривой 7, а область £)_ ограничена сегментом [0,1] оси Ох и характеристиками 71 ,72. Регулярное решение задачи (1-3) изучается в следующем классе функций

и е С°(£>+ и £>_) П С2(1>+) Г) С2(1>_)

с условием склеивания (2).

В пункте 1.2 найдено общее решение уравнения (1) и с помощью работ [1] и [2] это решение получено в следующем виде

+В(£%(С08 6)) при у>0, (4)

и = вшЬ2^^ДсовЬ V) при у < 0.

где 17(г)— модифицированная функция Бесселя первого рода, [4, с. 143 ] функции Лежандра на разрезе, функция Лежандра.

В пункте 1.3, используя условия склеивания (2), найдено общее решение задачи Трикоми в следующем виде:

и = г^-к^ц^г) ехр(2г/3тг) вш2"0х

х (| coth /?тгР^2/?(со8 - С&^соз 0)) при у > 0, (5)

совИ^) при у < 0.

В пункте 1.4, с помощью граничного условия (З)найдены значения для а в выражением (5) и найдены собственные функции задачи Трикоми в следующем виде

_ 2/3-1 J2кЦМ схр(2г7г/?)Г(2/3 + 2к + 2) 2

52Г(-20 + 2к + 2) sin7г(—2/3 + 2/е + 1)^8Ш 0Х

X[P2k+l(COS0) - P2kfl(-^)] При у > О,

Щ = p2p^ J2k+IЫзР)sinh2/3^(coshф) ищу <0. где J7 функция Бесселя, а Р^, Q^ и Qf функции Лежандра.

В пункте 1.5 доказана следующая теорема о полноте системы функций Лежандра

Теорема 1.5.1Система функций Лежандра

vk = sin2^[p-2¿(cos0) - р-к2£(-со80)] полна в L2(0, §) при /3 е (0,

В пункте 1.6 доказаны следующие результаты о полноте собственных функций задачи Трикоми.

Теорема 1.6.1 Пусть q < 1, т > —2, 2q + т > 0 и существует функция f(x,y) Е L2(D+), для которой

у2^ f(x,y)uk)dxdy = О,

D+

Ук — 0,1,2,..., У] — 1,2,..., где являются собственными функциями задачи Трикоми. Тогда /(х, у) — 0 в

Доказательство теоремы основано на применении следующих двух лемм.

Лемма 1.6.1. Если / € Ь2{0+), то

г2/(т+2) Г/\{^в))21(ътв)т«т+Ъ<1вйг < ос, Уо ио

причём

гтт/2

/ (/(г, ^))2/(вт в)т/(т^(1в < оо

для п. в. г € (0,1) Лемма 1.6.2. Если

/ у)ик]ёхйу = 0,

JD+

Ук = 0,1,2, ...,У7 = 1,2,... то

гт/2 ¿0

У/с = 0,1,2,..., для п. в. г € (0,1),

где п^, являются собственными функциями задачи Трикоми и

ук = 8т2^0[р2к2£(со80) - Р^-совб)] при 9 € (0,тг/2).

Вторая глава.

Во второй главе рассматриваются собственные функции задачи Неймана-Трикоми для уравнения смешанного типа и доказывается полнота системы собственных функций.

В пункте 2.1 приведена постановка задачи Неймана-Трикоми со спектральным параметром Л для вырождающегося эллептико-гиперболического уравнения в области D в следующем виде,

\y\m+luxx + yuyy + quy + \\y\m+1u = Q, в £> = D+U£L, (6)

где q < 1, т > — 2 - действительные числа, с условием склеивания

lim yquv= lim (-y)qUy, (7)

y—*+0 у-*-о

и граничными условиями

Ux\x=o = 0 и|7 = и\1х = 0, (8)

причем характеристики 71, 72 "нормальная- кривая 7 и области D, D-, D+ определены такие же как, и в пункте 1.1.

В пункте 2.2, найдено общее решение задачи Неймана-Трикоми в следующем виде

и —

(лЛфгЛ ехр(2г/?тг) [f cot(/?7r) x xP2%(eos0) - Q?_2/3(cos0)] приу > 0

k (улр) sinh2/3 t/><3Q2^(cosh ф) при у < О

В пункте 2.3, с помощью граничного условия найдено значения для а, и получены собственные функции в следующем виде

= 2p_i J2k+^r) ехр(2гтг/3)Г(2/3 + 2к + 1) Ukj ~ Г 2Г(—2/? + 2к + 1) sin 7г(—2/3 + 2*) Х

х 7г sin2^ 0[-P¿2/3(cos - P¿2/3(- cos 0)] при у > О, Ukj = {VkjP) sillh2^ Ф0у.{cosh при у < 0.

при к = 0,1,2, • • • .

В пункте 2.4 доказаны следующие теоремы. Теорема 2.4.1. Если q < 1,т > -2, т + 2q > 0, и

у)г2р Ь2к+1 {г^к])шк{в)йхйу = О

\/к = 0,1,2,-■■ , V? = 1,2, • • •, где

ык{в) = ьт20 в[?~^{соьв) + Р'Л-сов0)] то ?{х,у) = 0 в £+.

Для того, чтобы доказать теорему 2.4.1 нам требуется следующее замечание 2.4.1 и теорема 2.5.1.

Замечание 2.4.1. Если / е то справедливо нера-

венство

Следствие. Из теоремы 2.4.1 и замечания 2.4 1 следует полнота в эллиптической части области системы собственных функций задачи Неймана-Трикоми.

В пункте 2.5 доказана следующая теорема о полноте системы функций Лежандра.

Теорема 2.5.1. Если /3 € (0,1/4), /(0)/(со80)° е ¿1(0,тг/2), а= (1/2)-2/? и

где

юк{в) = яг^в\Р^(оовв) + Р~к2/3(- со8 0)], то /(в) =(п. в.)= 0.

Третья глава.

В главе 3 рассматриваются собственные функции задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и доказывается полнота системы собственных функций в эллиптической части области.

В пункте 3.1 дана постановка задачи Геллерстедта со спектральным параметром А для вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения в области

Б = £>+ и и .Ог- в следующим виде,

\у\т+1иХх + уиуу + ящ + Х\у\т+1и = 0,

где ? < 1,т > —2 - действительные числа. Решение этой задачи ищется в классе функций

и е С°(£>+и А- и IV) П С2(£>+) П С2^-) П С2(Р2-) с условием склеивания

1 шуЧу= Ит (-у)Х,

У~>+0 у-*-о

и граничными условиями

и|7 = и\ъ = и\ъ = О, где характеристики 71 , 72 , 7з, 74 и "нормальная"кривая 7

имеют вид: 7 = <

/2 2 \ 771 + I I

I, М1 лп+2^ п\

7а = |(аг,у)|1-х = ^г,-^—] < У < 01)

Область И+ ограничена сегментом [—1,1] оси Ох и "нормаль-ной"кривой 7. Область ограничена сегментом [0,1] оси Ох и характеристиками 71, 72 и область ограничена сегментом [—1,0] оси О а; и характеристиками 73 , 74.

В пункте 3.2 найдены собственные функции задачи Геллерстедта в следующем виде

{готп} = {«гЛ и Кг}

где {иг]} - собственные функции задачи Трикоми нечетно продолженные на значения х < 0 и {г>и} собственные функции задачи Неймана-Трикоми четно продолженные на значения х < 0. Можно показать, что в этом случае {гитп} имеет следующий вид в эллиптической части области

и -т^-Ь Лги 1 *Г(2/? + т + 1)ехр(2»#г) п - 2Г(_2/? + т + 1) вш[(-20 + т)тг] Х

х 8т2^0[(-1)т+1р-2/3(со8 0) - р-2/3(-со8 0)] при 0 < 0 < 7г , Ут = 0,1,2, • • • , и Уп = 1,2, ■ • • .

В пункте 3.3 доказана следующая теорема о полноте собственных функций задачи Геллерстедта.

Теорема 3.3.1. Пусть д < 1, тп > —2, тп -+ 2д > 0 и пусть существует / € ¿2(1?+), для которой справедливо

/ у^^х, у)штпйхйу = 0

\/т = 0,1,2, • • •, Уп = 1,2, • • •, где являются собствен-

ными функциями задачи Геллерстедта.Тогда /(х,у) =(п.в)= 0 в Ь2{0+).

Собственные функции задачи Геллерстедта при <7 = 0 были в другой форме найдены в работе К. Б. Сабитова и

А. Н. Кучкарови [12], там же рассмотривалась и полнота этой системы но в других пространствах.

В параграфе 3.4 рассмотрены задачи Трикоми и Неймана-Трикоми для уравнения ЛаврентьевагБицадзе.

В пункте 3.4.1 рассмотрены собственные функции задачи Трикоми в случае т = О, <7 = 0.

Постановка задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе имеет следующий вид

Область Д характеристики 71 , 72 и "нормальная"кривая 7 такие же, как и в пункте 1.1. Собственные функции задачи Трикоми в этом случае имеют вид

ихх + здпуиуу + 1?и - 0,

и(1,0) = О, 0 < 0 < 7Г/2, и(0,у) = 0, 0<у<1, и(х, -х) = 0, 0 < х < 1/2.

Г 7Г"

икэ = {2к 4- 3/2)0 + — при у > 0,

2 4 J

Щ] = ((-2 к - ] при у < 0.

Полнота этих собственных функции задачи рассмотрена в работе [7, 8]

В пункте 3.4.2 рассмотрены собственные функции задачи НейманагТрикоми в случае т — О, д = 0.

Постановка задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе имеет следующий вид

Область Д характеристики 71 , 72 и "нормальная"кривая 7 такие же, как в пункте 1.1.

ихх + вдпупуу + ¿Л = 0,

м(1,0) = О, 0 < в < 7г/2, «1(0,у)-0, 0 < у < 1, и(х,-х) = 0, 0 < ж < 1/2.

Собственные функции задачи Неймана-Трикоми в этом слу-

чае имеют вид

при у < 0.

Объединение собственных функций задачи Трикоми (3.12) и собственных функций задачи Неймана-Трикоми (3.21) дает собственные функции задачи Геллерстедта, найденные в работе [8]. Полнота этих собственных функции рассмотрена в работе [8].

Благодарности

Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своему научному руководителю академику РАН Е. И. Моисееву за постановку задач, постоянное внимание к работе, и полезные советы. Также автор благодарен доценту В. В. Тихомирову и веем сотрудникам кафедры общей математики Факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.

Публикации по теме диссертации

Основные научные результаты, полученные в диссертации, направлены в печать в виде трех статей:

Е. И. Моисеев, М. Могими

• Полнота собственных функций задачи Трикоми в случае, когда эллиптическая часть области четверть круга (в печати)

Е. И. Моисеев, М. Могими

• Полнота собственных функций задачи Неймана - Трикоми в случае, когда эллиптическая часть области четверть круга (в печати).

М. Могими

• Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смещенного типа (в печати).

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 12.05.2005 г. Формат 60x90 1/16, Усл.печл.1,25. Тираж 90 экз. Заказ 285. Тел. 939-3890. ТелУФакс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

16 s

РНБ Русский фонд

2QQ6-4 11539

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Фаршбаф Могими Мохаммад Багер

Введение

1 Собственные функции задачи Трикоми

1.1 Постановка задачи.

1.2 Общее решение уравнения Трикоми.

1.3 Сшивание решения.

1.4 Граничное условие задачи Трикоми.

1.5 Полнота системы функций Лежандра в 1<2(0,

1.6 Доказательство полноты системы собственных функций задачи Трикоми в L 2{D+).

2 Собственные функции задачи Неймана-Трикоми.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Общее решение задачи Неймана-Трикоми.

2.3 Граничное условие задачи Неймана-Трикоми.

2.4 Доказательство полноты системы собственных функций задачи Неймана-Трикоми.

2.5 Доказательство полноты системы функций Лежандра.

3 Собственные функции задачи Геллерстедта.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Собственные функции задачи Геллерстедта.

3.3 Полнота собственных функций задачи Геллерстедта.

3.4 Уравнение Лаврентьева-Бицадзе.

3.4.1 Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

3.4.2 Задача Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Выводы Литература

Введение диссертация по математике, на тему "Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с нею двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа"

Общая характеристика работы

Первым исследователем в этой области был Ф. Трикоми. Результаты его работы были развиты в работах С. Геллерстедта. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные теперь в литературе как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль, А. В. Бицад-зе, К. И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, М. М. Protter, С. S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, Р. О. Lax, R. P. Phillips, M. Schneider, Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. Елеев, В. И. Жегалов, А. Н. Зарубин, Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, И. JI. Кароль, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев,

С. М. Пономарев, С. П. Пулькин, О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, М. М. Смирнов, А. П. Солдатов, Р. С. Хайруллин, Хе Кан Чер, JI. И. Чибрикова, и др. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Спектральные свойства задач для уравнения смешного типа активно изучались начиная с 80 годов. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и используя свойство базисности построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Я. Н. Мамедов распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области - это половина круга в соответствующей геометрии. Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [12]. Там же были выписаны собственные функции задачи Геллерстедта и в случае вырождающегося уравнения смешанного типа.

В этой работе изучена полнота собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа в случае когда эллиптическая часть области D+ - четверть круга в соответствующей геометрии. Ранее были результаты только для случая полукруга.

Цель работы. Целью работы является исследование полноты систем собственных функций задач Трикоми и Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа, а также задачи Геллерстедта.

Методы исследования. Собственные функции задачи выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя и Лежандра. Полнота системы функций Лежандра исследуется с помощью решения специального интегрального уравнения. При этом используется принцип сжимающих отображений и теория пространств суммируемых с некоторой весовой степенной функцией в Lp. Применяется формула Мелера-Дирихле для представления функции Лежандра. Кроме того, используются полнота специальных неортогональных систем косинусов.

Научная новизна. В первые главе доказана полнота собственных функций задачи Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области, являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее такие результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа в эллиптической части области являющейся четвертью круга в соответствующей геометрии. Ранее аналогичные результаты были известны для половины круга. Доказана полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа. Ранее такие результаты были известны для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК, МГУ (научные руководители - академик Е. И. Моисеев, профессор И. С. Ломов ), а также докладывались на международной конференции в Калининграде в апреле 2005г, посвященной 200 летию К. Г. Якоби.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трёх статьях и направлены в печать.

Основное содержание работы

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Выводы

В работе получены следующие результаты

2. Выписаны собственные функции с помощью функций Лежандра и Бесселя и собственные значения задачи Трикоми, Неймана-Трикоми и Геллерстедта.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Фаршбаф Могими Мохаммад Багер, Москва

1. Моисеев Е. И.// Дифференц. уравнения. 1991-Т.27.№ 1. с. 94-103

2. Моисеев Е. И.//Дифференц. уравнения. 1991-Т.27. № 7. с. 1229-1237

3. Моисеев Е. И.//Дифференц. уравнения. 1984-Т.275. № 4. с. 795-798

4. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1965.Т.1.

5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1974.Т.2.

6. Ватсон Г. Н. Теория Бессолевых функций. Т.1-М.:ИЛ,1949,-603.

7. Моисеев Е. И.//Дифференц. уравнения. 1989-Т.25. № 1

8. Ионкин Н. И., Моисеев Т. Е. //ДАН. 2005-Т.400, № 5, с. 592-595

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. 2004

10. Бипадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.-М.:Наука ,1981- 448 с.

11. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром.- М. Изд-во.МГУ, 1988 г. ,150с.

12. Кучкарова А.Н. Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения:Дис. . к-та Физ.-мат. наук. Казань-2002.

13. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа:Дис. . д-ра физ.-мат. наук. -М. ,1952

14. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа.-М.Изд-во АН СССР. 1959

15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- ч.1-М.Наука, 1982.

16. Лаврентьев М.А., Шабат М.В. Методы теории функции комплексного переменного М., 1958.

17. Моисеев Т.Е. //Дифференц. уравнения. 2003-Т.39 № 11.

18. Пономораве С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения Лавренътъева-Бицадзе:Дис. . д-ра физ.-мат.наук.- М.1981

19. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа.- М.:Наука, 1970.-304

20. Зарубин А.Н. Исследование начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с запаздывающим аргументом. Докторская диссертация, 1996 г., 234 с.

21. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференту Уравнения. -1977.-т.13,Т 8, с.1718- 1725

22. Мамедов Я.Н. О полноте корневых функций некоторых краевых задач. Дифференд. уравнения. 1989 Т.25, с. 167169.

23. Лаврентьев М.А. , Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа. Докл. АН СССР, 1950, 70, 3. 373-376.

24. Сабитов К. Б.,Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения// Сиб. мат. ж. -2001.-Т. 42 5.-С.1147-1161

25. Е. И. Моисеев, М. Могими// Полнота собственных функций задачи Трикоми в случае, когда эллиптическая часть области четверть круга (в печати).

26. Е. И. Моисеев, М. Могими// Полнота собственных функций задачи Неймана Трикоми в случае, когда эллиптическая часть области четверть круга (в печати).

27. М. Могими// Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смещенного типа (в печати).