Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Скороход Анна Владимировна

ЗАДАЧИ ТИПА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ СОПРЯЖЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

12 МАЙ 2011

Белгород - 2011

4845936

Работа выполнена на кафедре математического анализа Поволжской государственной социально-гуманитарной академии (г. Самара) и в отдела физико-математических и технических наук уравнений Института прикладных исследований АН Республики Башкортостан (г.Стерлитамак)

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор

Волкодавов Виктор Филиппович,

доктор физико-математических наук, профессор, чл.-корр. АН РБ Сабитов Камиль Васирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Зарубин Александр Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Хайруллин Равиль Сагитович

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 2011 в 15 час. 30 мин. на заседании

диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета

Автореферат разослан 2011 г.

Учёный секретарь (

диссертационного совета Д 212.015.08 С Ру / Прядиев В.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникшая в двадцатые годы прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и во многих других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

Ф. И. Фраикль впервые обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались ученые у нас в России и за рубежом. Полученные результаты приведены в монографиях A.B. Бицадзе, Л. Берса, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева, Т.Д. Джураева. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе, В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер, А.Н. Зарубин, В.И. Жегалов, A.M. Нахушев, Хе Кан Чер, М.М. Смирнов, С. Morawetz, Е.И. Моисеев, Т.Ш. Кадьмеиов, Т.Д. Джураев, К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова, Н.Б. Плещинский, К.А. Губайдуллин, A.A. Косовец, A.A. Полосин и другие.

С. Геллерстедт для уравнения

утихх + ит = 0, (1)

где тп - натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А\ (ai,0) и A-¿{a2,0), а при у < 0 - характеристиками AiCi, С iE, ЕС2, С2А2 уравнения (1), где Е(е, 0), ах < р. < а2, исследовал краевые задачи с данными на Г U AiC\ U А0С2 (задача Gi) и с данными на Г U С\Е U ЕС\ (задача Gi). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает

с "нормальной"кривой Го:

Для уравнения М.А. Лаврентьева

sgny-uxx + uyy = 0 (3)

задача G\ подробно изучена A.B. Бицадзе. При этом единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, существование обосновано методом интегральных уравнений.

С. Morawetz доказала единственность решения задачи G\ для уравнения Чаплыгина

К{у)ихх + Uyy — О,

где уК(у) > 0 при у > О, К{ 0) = 0, К'(у) > 0, К (у) - достаточно гладкая функция, методом вспомогательных функций при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и Ач и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е,

В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер для уравнения

sgny \у\тихх + Чуу= 0, m > 0, (4)

доказали единственность решения задачи Gx методом экстремума при произвольной кривой Г, сн = -1, а2 = 1, но при условии, что

и+(х) = v-(x), -1 < х < 1,

где

v+(x) = Hm иу{х,у), = limuv(x,y), хфе,

¡/—*u+u у—»u—о

lim v-(x) = lim V-(x).

x->e-0 x—»e+0

A.H. Зарубин исследовал краевую задачу типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с тремя линиями вырождения

У{У ~ 1Нх + хиуу = 0,

методом интегральных тождеств им доказана единственность решения, а существование проведено методом интегральных уравнений.

М.М. Смирнов на основании работ Хе Кана Чера для уравнения (4) установил справедливость принципа экстремума, из которого следует единственность решения задач Gi и G2, когда Г - произвольная кривая и

производные их и Uy решения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы в окрестностях точек Ai, Е и А^. Следует отметить, что здесь при доказательстве принципа экстремума используются явные формулы решений задач Хольмгрена и Дарбу в области эллиптичности и гиперболичности соответственно.

Методом разделения переменных Е.И. Моисеев построил решение задач Gi и Gz с нулевыми краевыми условиями на характеристиках для уравнения (3) в виде суммы биортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является полукругом.

К.Б. Сабитов, А.Н.Кучкарова изучили спектральные свойства решения задачи G\ и показали применения этих свойств при построении решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Вицадзе методом биоргоганальных рядов.

В последние годы жизни В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для которых линия изменения типа является характеристикой. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной дробного порядка из области эллиптичности с интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе В.Ф. Волкодавова, О.Ю. Наумова1 для уравнения

0 _ Г ихх +1%, у > О,

\ иху = 0, у < 0,

в области О, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках /1(0,0) и В(1,0) оси у = 0, и отрезками прямых АС(х + у = 0) и СВ(х = 1) в полуплоскости у < 0, с условиями сопряжения:

и(х, 0 + 0) = и(х, 0 — 0), 0<я<1, Н+{х) = Ь(х)Н-(х), 0 < ж < 1,

где

X

Н+{х) = У (х - t)~pu'x (t, 0) dt, 0 < р < 1, о

х

Я_(х)= lim (x-t)'xu(x, -t)dt, 0 < А < 1.

у-.-0 J

-у

волкодавов В.Ф., Щупов О.Ю. Для уравнения сметанного типа задача с сопряжением специального кида // Неклассическио ураштспии матем. физики. Новосибирск: Игг-т матом. СО РАН, 2002. С. 41 4!).

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работах Б.А. Баровой, О.В. Фадеевой и И.П. Егоровой.

Цель работы. Основной целью диссертации является постановка и обоснование теорем существования и единственности решения задач типа Геллерстедта с нелокальными интегральными условиями сопряжения для уравнения смешанного типа

УтЩх + Пуу = 0, т > 0, у> О,

"^"¡ГГ~ (и* ~ •"!,) = О, <7=21^+2)' у<0> Х<0> (5)

д "

иХу +-(«х + Ыу) = 0, у < О, X > 0.

х + у

Уравнение (5) при у > 0 совпадает с обобщенным уравнением Трикоми, а при у < 0 то же самое уравнение записано в характеристических координатах, что позволяет при минимальных условиях на граничные функции доказать существование классического (а не обобщенного, как было в работах К.И. Бабенко и других) решения в области гиперболичности.

В постановке предложенных задач условия сопряжения на линии изменения типа содержат производные и интегралы дробного порядка. Введение этих новых условий сопряжения вызвано тем, что линия изменения типа у — 0 является характеристикой уравнения (5). В силу этого известное условие сопряжения иу (х, 0 + 0) = иу (х, 0 — 0) не подходит.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: Римана и Римана-Адамара; принципы экстремума; теория интегральных уравнений Фредгольма, а также аппарат специальных функций.

Научная новизна.

1. Постановка краевых задач для эллиптико-гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами на линии изменения типа в случае, когда эта линия является характеристикой.

2. Установлены принципы экстремума для уравнений гиперболического и смешанного эллиптико-гиперболического типов.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач, для эллиптико-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа и нелокальным условием сопряжения, содержащим производную дробного порядка.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней исследованы краевые задачи с неклассическим интегральным условием сопряжения на линии изменения типа эллиптико - гиперболического уравнения. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшей разработке нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа.

- Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

• на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2004 - 2005 гг.);

• на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.Б. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.);

• па научном семинаре кафедры уравнений математической физики под руководством д. ф.-м. п., проф. JI.C. Пулькшюй (г. Самара, СамГУ, ноябрь 2010 г.);

• на научном семинаре под руководством д. ф.-м. н., проф. Солдатова

A.П. и Мейрманова A.M. (г. Белгород, НИУ БелГУ, март 2011 г.).

• на первой международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина "Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее" (1-2 ноября 2006г., г. Самара, СамГПУ);

• на всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(29 января 2 февраля 2007г., г. Самара, СамГУ);

• на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилеям академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (г. Стерлитамак, 24 - 28 июня 2008г., СФ АН РБ);

• на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", иосвящениой 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего ( 30 марта - 02 апреля 2009г., Москва, МГУ);

• на второй всероссийской научно-практической конференции, посвящепной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора

B.Ф.Волкодавова "Интегративный характер современного математического образования"( 26 - 28 октября 2009 г., г. Самара, ПГСГА);

• на второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения"(29 августа-4 сентября 2010г., г.Самара, МИАН, СамГУ).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах, в том числе в издании из перечня ВАК [4], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 124 страницах и состоит из введения, двух глав и библиографического списка, включающего 93 наименования.

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, проводится обзор результатов исследований по её тематике, кратко излагается содержание работы.

Первая глава посвящена изучению вопросов существования и единственности решения задачи типа Геллерстедта с данными на характеристиках для уравнения (5) в области Л, ограниченной при у > О кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А{— 1, 0) и В(1, 0), и при у < 0 отрезками прямых х = -1, У — х, У — ~х, х = 1. ■

Пусть 25+ = С П {у > 0}, В\ = Ап{к0,к<0}, = И П {х > 0, у < 0}, = £>1 и Ш; х = х (в), у = у (а), 0 < 5 < I - параметрические уравнения кривой Г, где в - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В против часовой стрелки, I - длина кривой Г.

Задача типа Геллерстедта (Задача 1/1). Найти в области В функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

Основное содержание работы

и (х, у) 6 С (Б) п С2 (П+) П С1 , ихуес(£>_); Ьи = 0, (х, у)€П+ и и (я, у)|г = V (¡0 , 0 < Й ^ «(-1, у) = (у). У е [-1, 0]; •

и(1, у) = (у), У 6 [-1,0];

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

щ (х, +0) = -у1 (х), х 6 (-1, 0), иу(х, +0) = и!(ос), ж €(0,1),

(П)

где

о

х

о

+1 ^-х)'хи2(х, О Л, 0 < А < 1, х 6 (—1, 0), (12)

X

при этом щ (х, у) решение задачи Гурса для уравнения (5) в области £•1 с данными: щ (х, 0) = т\ (ж), — 1 < х < 0, (—1) = 0, щ (—1, у) = 0, — 1 ^ у ^ 0; «2 (я, у) - решение задачи Гурса для уравнения (5) в области /31 с данными: и2 (х, 0) — 0, — 1 < х < 0, щ (—1, у) — фх (0) = 0,

X

^= ^ / ^ ~ ^' +

о

ж

4-У (я - ()~г и2 (X,-г) (й, 0 < г < 1, I € (0, 1), (13)

о

а «1 (ж, у) - решение задачи Гурса для уравнения (5) в области .01 с граничными условиями: щ (х, 0) = т2(х),0 < х < 1, тч (1) = 0,111(1, у) = 0,-1 ^ у < 0; «2 (ж, у) - решение задачи Гурса для уравнения (5) в области /?! с граничными условиями: «1 (х, 0) = 0, 0 ^ х 1, и2 (1, у) = ф2 Ы, -1 < У < 0, ф2 (0) = 0, причем фх (у), Фч (у) I V (5) ~ заданные достаточно гладкие функции, ^>1 (0) = V5 № , ф2( 0)=у(0).

Исходя из представлений функций (12) и (13) доказан следующий принцип локального экстремума.

Лемма 1. Пусть и(х, у) £ С является решением уравнения

(5) в области £>1 и и(—1, ?/) = 0. Тогда если Т\ (х) = и (ж, 0), Ту (г) £ С[— 1, 0] П С1 (—1, 0), т((х) £ ¿1[—1,0], достигает на сегменте [—1, 0] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ £ (-1, 0), то «1 (£) < 0 («1 (£) > 0).

Лемма 2. Пусть и(х, у) 6 С является решением уравнения

(5) в области />! и и(1, у) = 0. 7Ъгда если тг (ж) = и (ж, 0), 7*2 (ж) £ С [0, 1] П С1 (0, 1), -^(ж) £ Ь\[0,1], достигает на сегменте [0, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ £ (0, 1), то ь2_ (0 > 0 («1 (0 < 0).

На основании лемм 1 и 2 установлен принцип экстремума для уравнения (5) в смешанной области О.

Лемма 3. Пусть функция и(х, у) удовлетворяет условиям (6), (7),

(И) и и(—1, у) = и(\,у) = 0. Тогда если тахи(х, у) = и(<2) > О

о+

(гшпи(х, у) =и(<3) < 0), то максимум (минимум) и((5) достигается на кривой Г.

Теорема 1. Если существует решение задачи (6) - (11), то оно . единственно.

Доказательство существования решения задачи Ух для уравнения (5) для простоты вычислений проводится для случая, когда кривая Г совпадает с "нормальной"кривой Го, заданной уравнением (2).

В области П+ в качестве искомого решения берется решение задачи N, т.е. задачи Хольмгрена с граничными условиями: и]Го = <р (х) , —1 < х < 1; иу(х, 0 + 0) = 1>{х), — 1 < х < 1, считая известной функцию 1/(х). В областях £)1 и £>1 за искомое решение возьмем решение задачи Гурса, предполагая известными функции тДх) = и(х, 0), — 1 < х < 0 и Тг(х) = и(х, 0), 0 < х < 1. Теперь на основании формул решения задач Гурса в областях Д1 и вычислим

о

^= Тх / П ~ Х)~Х Л + Ф1(Ж)' (14)

X

X

VI (*) = £/ Т2 («) {X - ¿г а + Ф2(х), (15)

о

где

о

Ф 1(®)_=*1 I (з-х^и + ^йф^-д, д;2-д-А; йз,

(16)

Г (1 — А) Г (2 — 2д — А) ~ . , „ . . д , , . * = - ГМ2-д-А) ' * (5) = ^ (8) + 1 + ,'Ф1 (8)'

о

ВД = к2 I (а + х)1^ (1 + а)« ф2 (а) ^ - д, д; 2 - д - г;

-X

(17)

Г(1 — г)Г(2 — 2д — г) - „.. д ,

Исходя из формулы решения задачи N при у —► 0 + 0, получим функциональное соотношение между функциями т(х) = и(х, 0 + 0) и и(х) - иу(х, 0 + 0): 1

т (X) = -кх! V (0 - ¿Г2' - (1 - ¿х)-29] <Й + Ф (х), -1 ^ X г? 1, (18)

где

Ф (х) = 2к\д (1 - (1 - *») / Л, . (19)

^ (1 + х2 - 2хЬу

47Г + 2у

2?

Г2 О?)

Г(2$)'

Учитывая условия сопряжения (11), в равенстве (18) вместо Иу(х, 0 + 0) = и(х) подставим значения функций г>1(х) и гЯ(х), определенных соответственно формулами (14) и (15). Тогда равенство (18) принимает вид

о о

т(х) = кг I I т[ (а) (^ - *ГЛ ¿а [\х - Ц'2" - (1 - tx)-2q] Л-

-1 4 1 (

/ / ^ " ^ ~ ^ " ^ "

О о

+Ф(х), -1 <х < 1, (20)

где функция Ф(х) определяется через функции (16), (17) и (19).

Дифференцируя равенство (20), доказательство существования решения задачи У\ сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения относительно функции т' (х) : 1

т> (х) + ку! т' (в) К (х, в) ¿а = Ф' (х), х € (-1,0) и (0,1), (21)

где

0 < в < 1,

и явные виды ядра К (х, в) и правой части Ф' (х) приведены в диссертационной работе.

Теорема 2. Ядро К (х, в) бесконечно дифференцируемо в квадрате {(х, з): — 1 < з,х < 1}, за исключением линий х = в, х = —1, в = —1, х = 1, я = 1, и справедлива оценка

|К(х в) | < / С1 О1-^* + + (1+4л+2' + ' х < 0;

\ С2 (|х-«Г+2' (1-х)г+2« + |1_3|2«(1_8)г) 1 X > 0,

где С^ здесь и далее - положительные постоянные.

Из теоремы 2 следует, что если А+2д < 1, г + 2г{< 1, то ядро К (х, в) на особых линиях имеет особенность порядка меньше единицы. Поэтому уравнение (21) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода.

Лемма 4. Если функции ¡р(х) = (1 — ж2)1-29 ~ф(х) е С [— 1, 1],

Фх(у) е С[—1,о] пс1 (—1,о), ф[{у) € iri[—1,0], ф2(у) е cjo, l] n Cl{ О, 1), ф'2 (у) 6 Li[0,l], ^(-1) = ф2( 1) = 0, то функция Ф(х) 6

с[~ 1,1] п с1 ((-1, о) и (о, 1)), ф' (Х) е hl-1,1].

Следствие 1. Если А = г и существуют конечные пределы lim ф\(х), lim ф2(х), и они равны между собой, то

Однозначная разрешимость интегрального уравнения (21) в классе функций С ((—1,0) и (0,1)) П Ьх [—1, 1] следует из теоремы единственности решения задачи VI и альтернативы Фредгольма.

Теорема 3. Если функции <р(х), ф\_ (у), ф2 (у) удовлетворяют условиям леммы 4 и г+2д < 1, А+2д> < 1, то существует единственное решение задачи .

Вторая глава посвящена изучению задачи типа Геллерстедта с данными на нехарактеристических линиях для уравнения (5) в той же области £> (см. стр. 8). Единственность решения доказана исходя из принципа экстремума, а доказательство существования редуцируется к однозначной разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Задача Уг- Найти в области Б функцию и (ж, у), удовлетворяющую условиям:

i->0+0

ФфбСЧ-!,!), Ф'(х)€^[-1,1].

и (х, у) С С (D) П С2 (D+) п С1 (DJ), Uxy е С (DJ);

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Lu = 0, (х, y)eD+ U Z>_;

«0е. v)lr = v(s),0<s<i;

и{х, х) = фх (х), х е [—1, 0];

и (х, -ж) = ф2 (х), х £ [0,1];

иу(х, +0) = vi (ж), х € (-1, 0); Uy{x, +0) = -vl(x), х е (0, 1),

где

X

и

+ J (t - х)'л u2 (x, t)dt, 0 < Л < 1, x e (-1, 0),

I

при этом «1 (x, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области D}_ с данными: щ (х, 0) = т\ (х), — 1 х ^ 0, т\ (0) = 0, щ (х, i)s0, —1 ^ tr ^ 0; U2 (х, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области Die данными: и2(х, 0) = 0, —1 ^ х < 0, и2(х, х) = (х), — 1 < х ^ 0, (0) = 0,

1

vl (х) = 4- I (t - х)~г щ (t, 0) dt + dx J

X

X

+ J {x -t)~~r u2(x, -t)dt, 0 < r < I, x e (0, 1), о

a tti {x, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области Dt с граничными условиями: щ (х. 0) = 7г (х), 0 ^ х ^ 1, гг(0) = 0, «1 (х, —х) = 0, — 1 ^ х < 0; и2 (х, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области Dt с граничными условиями: щ (х, 0) = 0, 0 ^ х < 1, и2 (х, —х) = ф2 (х), —1 < х < 0, я/)2 (0) = 0, причем ф1 (х), ф2 (х), <р (s) - заданные достаточно гладкие функции.

Предварительно в областях D1, Dt методом Римана-Адамара строится в явном виде решение задачи Дарбу. На основании формул решения задачи Дарбу в областях D}_ и Dt вычислены

X

V-ix) = icJ{X~ t}~AП (i) dt + Ф1(г)' (28) -1

1

= l ~ X)~T Г2 ^ +

(29)

и X

Фх(х) = к\ ! (в-х)"А1/'1(«) ¿в, Щх) = к2 ^ (х-з)~тф2{з) ds,

х О

Г (1 — д) Г (2 — 2? — А) Г (1 — д) Г (2 — 2д — г) ^ .

Г (2 — д — А) Г (2 — 2д) Г (2 - д - г) Г (2 - 2д) ^

Используя (28) и (29) доказаны следующие утверждения.

Лемма 5. Пусть и(х,у) £ С является решением уравнения

(5) в области и и(х, х) = 0. Тогда если и (х, 0) = 7\ (х) из

С [—1, 0] П С2 (—1, 0), т{ (х) 6 Ь [—1, 0], достигает на сегменте [—1, 0] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ е (-1, 0), то и! (£) >0 («1 (0 < 0).

Лемма 6. Пусть и (х, у) е С является решением уравнения

(5) в области £>2 и и(х, —х) = 0 . Тогда если и(х, 0) = 72 (х) из класса С [О, 1] П С2 (О, 1), т'2 (х) € Ь [О, 1], достигает на сегменте [О, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ е (О, 1), то (£) <0 (V2 (£) > 0).

На основании лемм 5 и б установлен принцип экстремума для уравнения (5) в смешанной области И.

Лемма 7 (Принцип экстремума). Пусть функция и (х, у) удовлетворяет условиям (22), (23), (27) и и(х, х) — и{х, —х) =0. Тогда

если тахи(х, у) = и(0) > 0 (тти(т, у) = и{0) < 0), то максимум »+

(минимум) и (ф) достигается на кривой Г.

Теорема 4. Если существует решение задачи Уг, то оно единственно. Для доказательства разрешимости задачи Уч для уравнения (5) используются решения двух вспомогательных задач: задачи N в области и задачи Дарбу в областях и В2__. Эти решения удовлетворяя условиям сопряжения (27), доказательство существования решения задачи ]/~2 эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода

1

г' (х) + к31 т' (в) Я (х, в)с18 = Р'(х), -1<х<1, (30)

-1

где явные виды ядра Н (х, в) и правой части Р' (х) приведены в диссертации.

Теорема 5. Ядро Н(х,в) бесконечно дифференцируемо в квадрате {(х, в) : — 1 < х, в < 1} за исключением линий х = в, 5 = 0, х = 0. При этом справедлива оценка

|Я (X, 8) | < ( ^ + + ' ^ < 0'

Лемма 8.Если функции <р(х) = (1 - х2)1-2?^о(х), Щх) 6 С [—1, 1],

Ф,(у) е с [-1,0] пс1 (-1,0), ф[ (у) е ^И.о], Му) е с [о, 1] п

С1 (0, 1), ф'2 (у) в Ьх[0,1], ^ (0) = ^ (0) = о, то функция ^ (х) £ С[-1,1] П С2 (-1,1) , Р (х) € 1,1].

В силу единственности решения задачи Уч и альтернативы Фредгольма

интегральное уравнение (30) при г + 2q <1, А + 2д < 1 разрешимо в классе функций С1 (—1,1) Л 1ц[— 1,1] и притом единственным образом.

Теорема 6. Если функции ¡р(х), трх (х), ^ (я) удовлетворяют условиям леммы 8, г + < 1, X + 2q <1, то существует единственное решение задачи (22) - (27) .

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1. Постановка и обоснование корректности краевых задач для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами на переходной линии.

2. Экстремальные свойства решений уравнений гиперболического и смешанного эллшггако - гиперболического типов и применение этих свойств при изучении задач типа Геллерстедта с неклассическими условиями сопряжения.

3. Теоремы единственности и существования решения краевых задач типа Геллерстедта с нелокальным интегральным условием сопряжения на линии изменения типа и их доказательства.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научным

за предложенную

руководителям: д.ф.-м.н., проф. Волкодавову В.Ф

тему, д.ф.-м.н., проф., чл.-корр. АН РБ Сабитову К. Б. за постоянную помощь и поддержку при выполнении данной диссертации.

Работы автора по теме диссертации

1. Скороход, A.B. Задача Гурса для уравнения Эйлера-Дарбу и принцип локального экстремума // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-й научной конференции. Самара: СГПУ. - 2004. - С. 41 - 46.

2. Скороход, A.B. Для уравнения смешанного типа доказательство единственности решения задачи Геллерстедта //"Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее". Материалы первой международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М.Бредихина (1-2 ноября 2006 г.). Москва-Самара, 2006. -С. 108 116.

3. Скороход, A.B. Единственность решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа // Материалы всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" ( Самара, 29 января - 2 февраля 2007 г.). Самара: Юниверс групп. - 2007. - С. 126 - 128.

4. Скороход, A.B. О существовании и единственности задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа со специальными условиями

сопряжения // Вестник СамГУ. Естественно-научная серия. 2008. №2 (61). - С. 60 - 68.

5. Скороход, A.B. О единственности решения задачи типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа со специальными условиями сопряжения / / Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции, посвящ. юбилеям академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (24 — 28 июня 2008 г.). Стерлитамак — Уфа: Гилем, 2008. - Т.2. - С. 174 - 180.

6. Скороход, A.B. О существовании решения задачи типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с нелокальными условиями сопряжения //"Современные проблемы математики, механики и их приложений". Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В.А.Садовничего (30 марта - 2 апреля 2009г.). М.: МГУ, 2009. - С. 210.

7. Скороход, A.B. О существовании решения задачи типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с нелокальным условием сопряжения // Труды СФ АН РВ. Серия "Физ.-матем. и технические науки". Вып. №6. Уфа: Гилем, 2009. С.127 143.

8. Скороход, A.B. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа / / Интегративный характер современного математического образования. Материалы второй всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, д. ф.-м. ц., проф. В.Ф.Волкодавова (Самара, 26 - 28 октября 2009г.). Самара: ПГСГА, 2009. - С.67 - 72.

9. Скороход, A.B. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с нелокальными условиями сопряжения // Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения"(29 августа - 4 сентября 2010г.) Самара: СамГУ, 2010. - С.120 - 121.

Подписано к печати 14.04.2011 г. Формат 60x84 1/16. Объем 0,93 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 161

Отпечатано в типографии ООО «Порто-принт»: 443041, г. Самара, ул. Садовая, 156

Введение.

Глава 1. Задача типа Геллерстедта с данными на характеристиках.

§ 1.1. Задача Гурса. Принцип локального экстремума.

§ 1.2. Постановка задачи У\.

Единственность решения.

§ 1.3. Существование решения задачи У\.

Глава 2. Задача типа Геллерстедта с данными на нехарактеристических линиях.

§ 2.1. Задача Дарбу. Принцип локального экстремума.

§ 2.2. Постановка задачи У^.

Единственность решения.

§ 2.3. Существования решения задачи У%.

Возникшая в двадцатые годы прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментпой теории оболочек, в магнитной гидродинамике и во многих других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [69, 70] и С. Геллерстедта [79], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ими были изучены задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми"и "задала Геллерстедта".

Ф. И. Франкль [72, 73] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. А. В. Бицадзе [7] впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались ученые у нас в России и за рубежом. Полученные результаты приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6, 9], JI. Берса [5], М.М. Смирнова [63, 65] , Е.И. Моисеева [44], Т.Д. Джураева [22]. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль [72, 73], М.А.Лаврентьев [41], A.B. Бицадзе [7],

B.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [16], А.Н. Зарубин [25], В.И. Жегалов [26], A.M. Нахушев [47], Хе Кан Чер [75, 76], М.М. Смирнов [64],

C. Morawetz [84], Е.И. Моисеев [46], С.С. Исамухамедов [27], Т.Ш. Кальменов [28], Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков [22], К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова [57], Н.Б. Плещинский [48, 49], К.А. Губайдуллин [21], A.A. Косовец [29], A.A. Полосин [50] и другие.

С. Геллерстедт [80] для уравнения

Утихх + иуу = 0, (1) где т - натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Ai(ai,0) и т4.2(а2,0), а при у <

О - характеристиками А\С\, С\Е, ЕС2, С2А2 уравнения (1), где Е(е, 0), öi < е < 02, исследовал краевые задачи с данными на ruAiCiUA2C2 (задача G\) и с данными на Y\JC\E{JEC2 (задача. G2 )• Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной"кривой Го: =^ > <2>

Для уравнения М.А. Лаврентьева sgn у -ихх + иуу = 0 задача G\ подробно изучена A.B. Бицадзе [7]. Причем в этой работе единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г , но при некоторых ограничениях на поведение производных их и иу в малой окрестности точки Е.

В работах С. Morawetz [84] единственность решения задачи G2 для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0, где у К (у) > 0 при у > 0, К(0) = 0, К'(у) > 0, К(у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и "аЬс"при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Е и и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.

В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [16] для уравнения sgny ■ \у\тихх + иуу — 0, т > 0, а\ = -1, а2 = 1 доказали единственность решения задачи G\ методом экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что

1У+(х) = 1У~(х), — 1 < х < 1, х е, где v+(x) = lim иу(х,у), v-{x)= lim uy(x,y), у—>0+0 у—»0—0 и при условии lim V-(x) — lim u-{x). x—>e—0 x—»e+0

A.H. Зарубин [25] исследовал краевую задачу типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с тремя линиями вырождения

У (у - 1 )UXX + XUyy = 0, методом интегральных тождеств им доказана единственность решения, а существование проведено методом интегральных уравнений.

Хе Кап Чер [75, 76] рассмотрел задачу G\ для уравнения уиуу + ихх + ßuy = 0, ^ < ß < 1, ai = -l,a2 = l. (3)

Доказательство единственности решения задачи G\ проведено на основе принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что пределы lim is-(x), lim 1У(х) х—*е—0 х—>е+0 существуют, и v~{x) = — 1 < х < е, е < х < 1, где v-{x)= lim (-y)ßuy(x,y), v+(x)= lim yßuy(x,y).

7/—>0—0 y—>0+0

В случае, когда эллиптическая граница области оканчивается двумя сколь угодно малой длины дужками параболы х2 + 4у = 1, а в остальной части отклоняется от данной параболы наружу, показано существование решения задачи G\ методом интегральных уравнений.

С.С. Исамухамедов [27] изучил задачу G2 для уравнения (3) в случае, когда Г совпадаете "нормальной"кривой Г0. М.М. Смирнов [64] для уравнения sgny ■ \у\тихх + иуу = 0, т> 0, установил справедливость принципа экстремума, из которого следует единственность решения задач Gi и G2, когда Г - произвольная кривая и производные их и иу решения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы в окрестностях точек Ai, Е и А2. Следует отметить, что здесь при доказательстве принципа экстремума используются явные формулы решений задач Хольмгрена и Дарбу в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно. Существование решения доказано для случая, когда Г совпадает с "нормальной"кривой Го

Отметим также работу A.A. Косовец [29], где доказана единственность решения задачи G2 для уравнения

K{y)vxx + vyy - (iv = /, ¡ле С, при произвольной кривой Г, но при условии, что К(у) Е C*[ymin, 0] П С^Утах], yK{y) > 0 при у ф 0 И lim К (у) = К+> 0, lim К {у) = К. < 0, \1тр\ < /сЯе/х, у-++о у-*-о где к удовлетворяет неравенству

0</c<z£1±^I±^!

2 л/2 с0 где с0 = inf (1/\К(у)\), С! = sup (1/\К{у)\). V£D(K) yeD(I<)

Методом разделения переменных Е.И. Моисеев [46], построил решение задач G\ и Gi с нулевыми краевыми условиями на характеристиках для уравнения sgny ■ ихх + иуу = 0 (4) в виде суммы биортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является полукругом. Доказана равномерная сходимость полученных рядов и возможность почленного дифференцирования их.

A.A. Полосин [5U] для уравнения (4) в области Q, ограниченной при у > 0 дугой Г окружности ж2 + у2 = 1, а при у < 0 - отрезками характеристик, выходящих из точек А(—1,0), М(-±,0), 0(0,0), 7V(i, 0) и 5(1,0), исследовал задачу: найти регулярное решение уравнения (4), удовлетворяющее граничным условиям: u\L — 0, г = М, где Li = {(х,у)\х + у = -1, -1 < ж < , Ь2 {{х:у)\х-у = 0, -1<х<0}, L3 = {{х,у)\х + у = 0, 0 < х < ,

U = {(х,у)\х ~ У = 1, ! < а; < 1} ; п|г = /(Ö), 0 < в < тг, / 6

Са[0,7г], /(0) = /(7г) = 0. Решение этой задачи строится с помощью метода разделения переменных и сведения к задаче Римана-Гильберта для круга. Единственность решения задачи доказана на основе принципа экстремума A.B. Бицадзс. R.J. Michael [83] для уравнения

К{у)ихх + иуу + г(х, у)и = /(ж, у), где у К (у) > 0 при уф 0, исследовал задачу с условиями Дирихле на Г, AiCi, ЕС2 и задачу с условиями на Г, А2С2, ЕС\ в случае, когда кривая Г совпадает с параболой. Для этих задач даются условия, при которых квазирегулярное решение из класса C2(D) П C(D) единственно. Устанавливается существование слабого решения в пространстве .

В работе Т.Д. Джураева, Ю.П. Апакова [22] показано существование и единственность решения задачи Геллерстедта. для параболо-гиперболического уравнения

О = / vv ~ ~ У > °>

1 Vyy - (-ij)m(vxx + vzz), у < 0, т > О, в бесконечной цилиндрической области.

А.Н. Кучкаровой [38] для общего уравнения смешанного типа

Ьи ее К{у)ихх + иуу + А(х, у)их + В(х, у)иу + С(х, у)и = F{x, у), где у К (у) > 0 при уф О, К (у), А(х,у), В(х,у), С(х,у), F(x,y) -заданные достаточно гладкие функции, исследованы задачи G\ и С2 • Установлен принцип экстремума и на его основании получены теоремы единственности решения задач.

К.Б. Сабитов, А.Н.Кучкарова [57] изучили спектральные свойства решения задачи G\ и показали применения этих свойств при построении решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе методом биортоганальных рядов.

В последние годы жизни В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка и интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе Волкодавова. В.Ф., Наумова О.Ю. [17], где рассмотрена краевая задача для уравнения

Q = / иXX + Uyy, У > О, иху = 0, у < 0, в области ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А(0,0) и 5(1,0) оси у = 0, и отрезками прямых АС(х + у = 0) и СВ(х = 0) в полуплоскости у < 0, с условиями: и{х,у) € С(О), V(u) = 0 на П+ Uf2, w|r = ^(s), se[0,Z], и\св = д(у), ye [-1,0],

Н+(х) = 6(х)Я(ж), ж €(0,1), где ^(й), д(у), Ъ{х) - заданные функции, й - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В{ 1,0), I - длина кривой Г, х я+(,) = /(*-СХ(г, о)Л,о<р<1,1е[о,1], а;

Н-{х) = lim (x-t)~xu(x, -t)dt, 0 < Л < 1, y->-0J

-у Пп(у > 0), П- = а П (т/ < 0).

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой [51] для уравнения смешанного типа

Q Г Uxx + Uyy - Xu, у > 0, иху + А и, X = const, у < 0.

H.A. Куликовой в работе [37] изучены краевые задачи, условие сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнений а

Lu = uxv Н--ич — 0, a G М, а ^ 0, х + у в ограниченной области и

S (и) = иху Н---— (их + Чу) = 0, 0 < 2q < 1, х у в неограниченной области.

Е.А. Баровой в работе [3] рассматриваются краевые задачи с производными дробного порядка в условиях сопряжения для двух классов уравнений смешанного типа

Ьи = | ■ "УУ

Uxx + иуу = 0, У> 0, uxy + q[lna(x)]'uy = 0, у< 0, qeR, q ^ 0; а (х) G С1 [0, 1]; а (х) > 0, х € [0, 1], и V ихх + иуу + -их = 0, 0 < р < 1, у > 0, Ьи= { р 1Х иХу + - —■— (их + иу) = 0, у < 0. 2 х + у

С аналогичными условиями сопряжения изучены краевые задачи О.В. Фадеевой [72] для уравнения смешанного типа с двумя линиями сингулярности ихх + иуу + + ^иу -О, 0 < 2р < 1, у > О,

Ь<^> - \ Пху ^ 2Р 2 (у их — х иу) = О, 0 < 2д < 1, у < 0. У

В работе Егоровой И.П. [23] рассмотрены нелокальные задачи с подобными условиями сопряжения для уравнения смешанного типа второго рода ихх + утиуу = 0, 0 < т < 1, у > 0, х + у иху - -—7 (и* + = 9 = 2/ <

Целью данной работы является постановка и обоснование теорем существования и единственности задач типа Геллерстедта с нелокальными интегральными условиями сопряжения для уравнения смешанного типа

Ь (и) : <

Утихх + иуу = 0, у > 0, иху---— ('их - иу) = 0, у < 0, X < 0, х — у д у иХу Н--;-(их + Чу) = 0, у < 0, X > 0, х + у

5) где т т > 0, а = —т——тт"• ' 1 2 (гп + 2)

Уравнение (5) при у > 0 совпадает с обобщенным уравнением Трикоми, а при у < 0 то же самое уравнение записано в характеристических координатах, что позволяет при минимальных условиях на граничные функции доказать существование классического (а не обобщенного, как было в работах К.И. Бабенко и других) решения в области гиперболичности.

В постановке предложенных задач условия сопряжения на линии изменения типа содержат производные и интегралы дробного порядка. Введение этих новых условий сопряжения вызвано тем, что линия изменения типа у = 0 является характеристикой уравнения (5). В силу этого известное условие сопряжения иу(х, 0 + 0) = иу (х, 0 — 0) не подходит.

Перейдем к изложению основного содержания диссетации, которая состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению вопросов существования и единственности решения задачи типа Геллерстедта с данными на характеристиках для уравнения (5) в области В, ограниченной при у > 0 кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А (—1, 0) и В (1, 0), и при у < 0 отрезками прямых ж = — 1, у = х, у = —х, х = 1.

Пусть В+ = В П {у > 0}, В1 = В П {х < 0, у < 0}, В2 = В П {х > 0, у < 0}, £> = В1 и В2\ х = х (б) , у = г/(в), 0 ^ б ^ I - параметрические уравнения кривой Г, где я - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В против часовой стрелки, I -длина кривой Г.

В § 1.1 для уравнения (5) в области В\ и В2 в явном виде построены решения задач Гурса.

В § 1.2 и § 1.3 доказаны единственность и существование решения задачи типа Геллерстедта в следующей постановке.

Задача типа Геллерстедта (Задача У\). Найти в области В функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям: и (ж, у) Е С (В) П С2 (В+) П С1 (£>), иху е С ; (6)

Ьи = 0, (ж, у) е В+иВ-] (7) и(х. У) 1г = ^(й) , 0 ^ 5 ^ (8) у)=ФЛу),уе[-1, 0]; (9) и(1,у)=ф2(у),уе[-1,0}-, (10)

11) где иу (х, +0) = — г>1 (ж), же (—1, 0), иу (ж, +0) = у2 (ж), же (0, 1), о сзI С

VI (ж) = — / (г - ж)~А (£, 0) ей + ах 7 X 0 У (¿-ж)~Ли2(ж, 0 < Л < 1, ж Е (-1, 0) , (12) х при этом -(¿1 (ж, у)- решение задачи Гурса для уравнения (5) в области В1 с данными: щ (ж, 0) = т\ (ж), —1 ^ ж < 0, п(-1) - 0, у) = 0, -1 ^ у < 0;гг2(ж, у) решение задачи Гурса для уравнения (5) в области В1 с данными: и2 (ж, 0) = 0, -1 ^ ж < 0, и2 (-1, у) = ф1{у),-1^у^ 0, ф1 (0) = 0, X с1 С у2 (ж) = — / (ж - ¿Гг щ и, 0) М + ах 7 о J (ж -t) ru2{x, -t)dt, 0 < r < 1, ж E (0, 1), (13) 0 a u\ (ж, у)- решение задачи Гурса для уравнения (5) в области D2 с граничными условиями: щ(х, 0) = т2 (ж) , 0 ^ х ^ 1, т2 (1) = 0, щ (1, у) = 0, — 1 ^ у ^ 0; U2 (ж, у) - решение задачи Гурса для уравнения (5) в области D2 с граничными условиями: и2 (х, 0) = 0, 0 ^ ж < 1, U2 (1, у) = ф2(у), -1 ^ у < 0, ф2(0) = 0, причем 4>i (У) > Ф2 {у), (s) - заданные достаточно гладкие функции, (0) —

Исходя из представлений функций (ж) и (х) доказан следующий принцип локального экстремума.

Лемма 1. Пусть и(х,у) Е С ^Dявляется решением уравнения (5) в области D\ и it(—1, у) = 0. Тогда если Т\(х) = и (ж, 0), Ti (x) Е С[-1, 0] П С1 (—1, 0), т[(х) Е Li[-1,0], достигает на сегменте [—1, 0] наибольшего полоэ/сительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ Е (—1,0), то vl (£) < 0 vl (О > о).

Лемма 2. Пусть и (х, у) £ С является решениелг уравнения (5) в области D2 и и{ 1, у) = 0. Тогда если т2 (х) = и (ж, 0), г2 (ж) Е С [0, 1] П С1 (0, 1) , 7*2(ж) Е Li[0,1], достигает на сегменте [0, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ Е (0, 1), то v2 (£) > 0

К (О < 0).

На основании лемм 1 и 2 установлен принцип экстремума для уравнения (5) в смешанной области D.

Лемма 3. Пусть функция и(х, у) удовлетворяет условиям (6), (7), (11) и и(—1,у) = и(1,у) = 0. Тогда если тахи(х,у) =

D4 и (Q) > 0 (тт-и (ж, у) = u{Q) < 0), то максимум (минимум) u(Q) D+ достигается на кривой Г.

Отметим, что при доказательстве данной леммы основная трудность заключалась в том, что надо было показать, что максимум решения и(ж, у) по замкнутой области D не может достигаться в угловой точке О границы области D. Этот факт удалось установить на основании метода, предложенного в работах [55, 61].

Теорема 1. Если существует решение задачи (6) - (10), то оно единственно.

Справедливость теоремы следует из леммы 3.

Доказательство существования решения задачи У\ для уравнения (5) для простоты вычислений проводится для случая, когда кривая Г совпадает с "нормальной"кривой Г0 (2). В области Б+ в качестве искомого решения берется решение задачи Хольмгрена с граничными условиями: и|г = ц> (а;), —1 ^ х ^ 1; иу(х, 0 + 0) = у{х) , —1 < х < 1, считая известной функцию ь>(х). В областях и за искомое решение возьмем решение задачи Гурса, предполагая известными функции 7-1(2;) = и (х, 0), — 1 < х < 0 и Т2{х) — и{х, 0), 0 < х < 1. Теперь на основании формул решения задач Гурса в областях и вычислим о ^ / П (*)(*-я)"* +Ф1(а;), (14) х X

Л /* где о о

ФДх) = кг I {з - х)1~ч~х (1 + з)4 х х xF^l-q,q^2-q-X■ (з) ¿з, (16)

Г (1 — А) Г (2 — 2д — А) ~ , . „ . ч Ч . , ч ** = - ГЦ2-Я-Х) ' ф1 {8) = (5) + ТТ^1 (в)' о

Ф2(®) = к2 I (з + х)1-1~г (1 + зУ ф2 (з) х х

1з, (17)

Г (1 — г) Г (2 — 2д — г) ~ . . ,, . , я . , . к2 = ~ Г2(2дг)-^ ^ (3) = $ (5) + ^ (*) ■

Исходя из формулы решения задачи N при у —> 0 + 0, получим функциональное соотношение между функциями т(х) = и(х, 0 + 0) и у(х) = иу(х, 0 + 0): т (ж) = -Ь ! и (£) -1 ж - - (1 - гху2Л (И + Ф (х), -1 < X ^ 1,

18) где

Ф (¡с) = 2к1Ч (1 - д)-2" (1 - х2) I

-1

2Ч г>2 кл =

1+ж2-2ж£)1+,г

Г2(<?)

ОЙ,

47Г \т + 2/ Г (2д)

Учитывая условия сопряжения (11), в равенстве (18) вместо % (ж, 0 + 0) = 1у(х) подставим значения функций г»1(ж) и определенных соответственно формулами (14) и (15). Тогда равенство (18) принимает вид о о т(х)=к11 ! т[ (5) (в - ¿ГА (¿3 х - ¿Г2" - (1 - 1х)

-2(7 И

-1 г 1 г

Ь II т2 (*) (* - 5)"Г ^ [к - ^Г29 - (1 - ^)

-2д

СЙ+

0 о

Ф(ж), -1 < X < 1,

19) х - ¿Г29 - (1 - гх)

-2«

СЙ0

Ф (х) = -Ач, А:1 I ЩЬ)

-1 1 х - ¿Г29 - (1 - ¿ж)~291 ей + Ф (я).

-/со А;2 J Ф2(*) [к - ¿Г29 - (1 - ¿ж)-29] <Й + Ф (ж). (20) о

Дифференцируя последнее равенство, доказательство существования решения задачи ~У\ сводим к вопросу разрешимости интегрального уравнения относительно функции т' (х) : 1 т' (ж) + кг ¡г' (5) К (х, ¿0 ¿в = Ф' (ж), же (-1,0) и (0,1), (21) где

1^(3), 0<5<1, а ядро К (х, в) задается формулой (1.133).

Теорема 2. Ядро К (х, 5) бесконечно дифференцируемо в квадрате {(ж, б) : —1 < < 1} , за исключением линий х = в, х — —1, 5 - I. х — 1, 5 = 1, и справедлива оценка

Cl (|а;-.!|А+2<г + (1+ж)Л+2'7 + (1+s)A+2? + \x-s\24(\+sy

IК(х, 5)1 <<

I |ж6.|г+29 + ^ху+2Ч + (la)r+2, + l^-spq^.^r J ,

X < 0; х > 0, где С{ здесь и далее - положительные постоянные.

Из теоремы 2 следует, что если А + 2q < 1, г + 2q < 1, то ядро К (х, s) на особых линиях имеет особенность порядка меньше единицы. Поэтому уравнение (21) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода.

Лемма 4. Если функции ф{х) = (1 — x2y~2qTp{x), tp(x) £ С [—1, 1], ^х (у) е С [-1, 0] п С1 (-1, 0), ^1(2/)gLiK0], ф2(у)е С [0, 1]ПС! (0, 1) , ф'2 (у) е Li[0,1], ipi (-1) = ф2 (1) = 0, то функция ф (х) е C[—i, 1] п С1 ((-1, о) и (о, 1)), ф' (х) е Lx[-1,1].

Следствие 1. Если X — г и существуют конечные пределы lim ф\(х), lim ф2{х), и они равны между собой, то х—»0+0 х—>0+0

Ф (х) 6 ^(-1,1), Ф'(х) GLi[-1,1].

Однозначная разрешимость интегрального уравнения (21) в классе функций С ((—1,0) U (0,1)) П Li [— 1, 1] следует из теоремы единственности решения задачи Vi и альтернативы Фредгольма.

Теорема 3. Если функции <р(х), ф\(у), ф2{у) удовлетворяют условиям леммы ^ и г + 2g < 1, А + 2g < 1, то существует единственное решение задачи Vi.

Вторая глава посвящена изучению задачи типа Геллерстедта с данными на нехарактеристических линиях для уравнения (5) в той же области D (см. стр. 10). Единственность решения доказана исходя из принципа экстремума, а доказательство существования редуцируется к однозначной разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Задача Уг. Найти в области И функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и (ж, у) ее (В) П С2 (Я+) П С1 (£>) , иху Е С (£>); (22)

Ьи = 0, (х, у) Е и (23) м(яг>г/)|г = ^(в),0<в</; (24) и (х, х) = ф\ (ж), х Е [-1, 0] ; (25) и(х, -х) =ф2(х), х Е [0, 1]; (26)

27) где иу(х,+0) = у1(х), х Е (-1, 0); иу(х, +0) = -у2(ж), х Е (0, 1), X

I/ Р

У1 {х) = — / {х-¿гАщ (¿, о)<и + ах ] -1 о J(г-х)~хи2(х, г)ей, о < л < 1, х е (-1, о), X при этом щ (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области с данными: щ (ж, 0) = т\ (ж), — 1 ^ ж ^ 0, т\ (0) = 0,^1 (ж, ж) = 0, —1 ^ ж ^ 0; и2 (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области с данными: и2 (ж, 0) = 0, —1 ^ ж ^ 0, и2 (ж, ж) = ф^х), фг (0) = 0, 1 с1 С

VI (ж) = — / - ж)~г щ (¿, 0) ей + ах J J (х- г)~т 42 (ж, -£) ей, 0 < г < 1, ж Е (0, 1), о а (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области В2 с граничными условиями: щ (ж, 0) = т2 (ж) ,0 ^ ж ^ 1, т2 (0) = 0, г¿l (ж, —ж) = 0, —1 ^ ж ^ 0; и2 (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области И2 с граничными условиями: и2 (ж, 0) = 0, 0 ^ ж ^ 1, и2 (ж, —ж) = ф2 (ж), — 1 ^ ж ^ 0, ф2 (0) = 0, причем ф\ (ж), ф2 (ж), ф (5) - заданные достаточно гладкие функции.

Предварительно в областях 1)1, £)2 методом Римана-Адамара строится в явном виде решение задачи Дарбу. На основании формул решения задачи Дарбу в областях и В2 вычислены г>1, и2 : X А I (ж - ¿ГА Т! (¿) ей + ФхОг), (28)

-1 1 л /" у- ^ = ^ / ^ ~ Г2 (£) ^ + (29) х где Ф1(ж) имеет вид о

Фг(х) = к1 I ~ (5) (30) X

Г (1 — д) Г (2 — 2д — Л) ^ ~ Г (2 — д — А) Г (2 — 2д) " X

Щх) = к2 I (х-з)~гф2(з) £¿5, (31) о Г (1 — д) Г (2 — 2д — г) - Г (2 — д — г) Г (2 — 2д) " 2?)'

На основании (28) - (31) установлена справедливость следующих утверждений.

Лемма 5. Пусть и(х,у) € С ^Г) является решениел1 уравнения (5) в области и и(х, х) = 0. Тогда если и(х, 0) = Т\ (ж) из С[-1, 0] П С2 (-1, 0), т[{х) € £[-1,0], достигает на сегменте [—1, 0] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ е (—1,0), то г>1 (£) > 0 {у1 (0 < 0).

Лемма 6. Пусть и (х, у) £ С является решением уравнения (5) в области В2 и и(х, ~х) = 0. Тогда если и(х, 0) = т2 (х) из класса С [0, 1] П С2 (0, 1) , т2 (х) Е Ь[0,1], достигает на сегменте [0, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ Е (0, 1), то г>2 (£) < 0 (и2 (£) > 0).

На основании лемм 5 и 6 установлен принцип экстремума для уравнения (5) в смешанной области И.

Лемма 7. (Принцип экстремума). Пусть функция и(х,у) удовлетворяет условиям (22), (23), (27) и и(х, х) = и (ж, —х) = 0. Тогда если max и (ж, у) = и (Q) > 0 (mintt (ж, у) = u(Q) < 0), то

D+ п+ максимум (минимум) u(Q) достигается на кривой Г.

Доказательство существования решения задачи V2 эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода 1 т' (ж) + k3 J г' (s) Я (ж, s) ds = F' (х), -1 < X < 1, (32) где функции Н(х, s) и F(x) задаются соответственно формулами (2.62) - (2.68) и (2.90 ) - (2.91 ) из главы 2.

Теорема 5. Ядро H(x,s) бесконечно дифференцируемо в квадрате {(ж, s) : —1 < ж, s < 1} за исключением линий ж = s, s = 0, ж = 0. При этом справедлива оценка

Н (ж s) | < { СЗ (|a;-slA+29 + + Мг(-*)2«) (1а;5)г+2Ч + Isl^a;2«) '

Лемма 8. Если функции ip(ж) = (1 — ж2)12<?^(ж), ^(ж) £ С [-1, 1], ^ (у) £ С [-1, 0] П С1 (-1, 0), Vi (3/) е 0], Ф2 (у) £

С [0, 1] П С1 (0, 1), -ф'2 {у) £ Li[0,1], <01 (0) = ф2 (0) = 0, то функция F (ж) £ С[-1,1] П С2 (-1,1), F' (ж) £ Li[-1,1].

В силу единственности решения задачи V2 и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (32) разрешимо в классе функций С1 (—1,1) П Ь\[— 1,1] и притом единственным образом.

Теорема 6. Если функции </?(ж), фх(х), ф2(х) удовлетворяют условиям леммы 8, г + 2q < 1, А + 2q < 1, то существует единственное решение задачи (22) - (27) .

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1. Постановка и обоснование корректности краевых задач для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами на переходной линии.

2. Экстремальные свойства решений уравнений гиперболического и смешанного эллиптико - гиперболического типов и применение ж < 0; ж > 0. этих свойств при изучении задач типа Геллерстедта с неклассическими условиями сопряжения.

3. Теоремы единственности и существования решения краевых задач типа Геллерстедта с нелокальным интегральным условием сопряжения на линии изменения типа и их доказательства.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в работах [85] - [93]. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

• на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2004 - 2005 гг.);

• на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.Б. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.);

• на научном семинаре кафедры уравнений математической физики под руководством д. ф.-м. н., проф. JI.C. Пулькиной (г. Самара, СамГУ, ноябрь 2010 г.);

• на научном семинаре под руководством д. ф.-м. н., проф. Солдатова, А.П. и Мейрманова A.M. (г. Белгород, НИУ БелГУ, март 2011 г.).

• на первой международной паучно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина "Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее" ( 1-2 ноября 2006г., г. Самара, СамГПУ);

• на всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(29 января - 2 февраля 2007г., г. Самара, СамГУ);

• на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилеям академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (г. Стерлитамак, 24 - 28 июня 2008г., СФ АН РБ);

• на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летшо ректора МГУ академика В.А. Садовничего ( 30 марта - 02 апреля 2009г., Москва, МГУ);

• на второй всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова "Интегративный характер современного математического образования"( 26 - 28 октября 2009 г., г. Самара, ПГСГА);

• на второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения"(29 августа - 4 сентября 2010г., г.Самара, МИАН, СамГУ).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору

Волкодавову В.Ф. за предложенную тему, доктору физико-математических наук, профессору, члену-корреспонденту АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания, постоянную помощь и поддержку при выполнении данной диссертации.

1. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 2 (54).- С. 160.

2. Бабенко, К. И. О ириципе максимума для уравнения Эйлера-Дарбу / К.И. Бабенко //ДАН СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777 -782.

3. Барова, Е. А. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения / Е.А. Барова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань: КРУ, 2007. - 16 с.

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 1. М.: Наука, 1965. 296 с.

5. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Вере, Ф. Джон, М. Шехтер // М.: Мир, 1966. 351 с.

6. Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / A.B. Бицадзе // М.: Наука, 1966. 204 с.

7. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе // М.: Изд во АН СССР, 1959. - 164 с.

8. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа / A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1953. - Т. 122. - № 2. - С. 167- 170.

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе // М.: Наука 1981. - 448с.

10. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида / Неклассические уравнения математической физики // В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов. -Новосибирск: Изд во Института математики СО РАН, 2002. -С.41 - 49.

11. Волкодавов, В. Ф. Метод Римана-Адамара для уравнения Эйлера Дарбу и его применение / В.Ф. Волкодавов, В.Е. Жуков. -Самара.: СГПУ. - 2002. - 32с.

12. Волкодавов, В. Ф. Таблицы некоторых функций Римана, интегралов и рядов / В.Ф. Волкодавов и др.]. Куйбышев.: КГПИ. - 1982. - 52с.

13. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс. . доктора физ.-мат. наук. - Куйбышев, 1968. - 187с.

14. Волкодавов, В. Ф. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение/ В.Ф. Волкодавов, Ю.А. Илюшина// Изв. ВУЗов. Математика. 2002. - № 4. - С. 13 - 17.

15. Волкодавов, В. Ф. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка/ В.Ф. Волкодавов, H.A. Куликова //Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - № 12. - С. 1704 - 1707.

16. Волкодавов, В. Ф. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта/ В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер //Дифференциальные уравнения. Труды Пед. Инст. РСФСР, вып. 6. Рязань,1975. - С. 55 - 56.

17. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида// Неклассические уравнения математической физики./ В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов. -Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. С. 41 - 49.

18. Врагов, В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений / В.Н. Врагов // Дифференциальные уравнения. 1972. - Т. 8. - № 1. - С. 7 - 16.

19. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / ФД. Гахов. М.: Наука, 1977. -640 с.

20. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

21. Губайдулин, К. А. О единственности решения задач Геллерстедта для уравнения смешанного типа// Материалы 27-й межвузовской научной конференции математических кафедр пед.институтов Уральской зоны . Ижевск, 1969. - С.50 - 54.

22. Джураев, Т.Д. Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве/ Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков// Дифференциальные уравнения. 1990.- Т. 26. № 3. - С. 438 - 448.

23. Егорова, И. П. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода / И.П. Егорова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань: КГУ, 2010. - 16 с.

24. Ежов, A.M. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа / A.M. Ежов, С.П. Пулькин // ДАН СССР, 1970. Т. 193. - №5. - С.978 - 980.

25. Зарубин, А. Н. Об одной задаче для уравнения смешанного типа, с тремя линиями параболического вырождения / / Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР. -1976. № 8. - С. 40 - 49.

26. Жегалов, В. И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллерстедта / В.И. Жегалов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений матем. физики. Новосибирск: 1981. -С. 58 - 61.

27. Исамухамедов, С.С. Краевые задачи Геллерстедта для одного уравнени смешанного типа второго рода / С.С. Исамухамедов j / / Дифференц. уравнения с частными производными и их применения. Ташкент: Фан, 1977. - С. 33 - 40.

28. Калъменов, Т. Ш. О спектре задачи Геллерстедта / Т.Ш. Кальменов // Теоретические и прикладные задачи математики и механики. Институт матем. и мех. АН Казах.ССР 1977. - С. 167- 169.

29. Косовец, A.A. Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина с комплексным спектральным параметром: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М.,: Изд-во МГУ, 1991. -20 с.

30. Кожанов, А. И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов / / Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

31. Кожанов, А. И. Об одной регуляризации уравнений переменного типа / А.И. Кожанов, H.A. Ларькин, H.H. Яненко // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 52. - № 3. - С. 525 - 527.

32. Коржавина М. В. Решение некоторых краевых задал для уравнения S в неограниченных областях. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Куйбышев: КГПИ, 1978. - 122 с.

33. Котляков, Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: ГИФ-МЛ, 1962. - 768 с.

34. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

35. Крикунов, Ю. М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Изв. вузов. Математика. 1974. - № 2(141). - С. 76 -81

36. Крикунов, Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд - во Казанского государственного университета, 1968. - 148 с.

37. Куликова, Н. А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке.- Автореф. дисс. . канд. физ.-мат наук: 01.01.02/ H.A. Куликова.- Стерлитамак: СГПА, 2006. 14 с.

38. Кучкарова (Байназарова), А. Н. "Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения"/ А.Н. Кучкарова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань: КГУ, 2002. - 16 с.

39. Кучкарова (Байназарова), А.Н. К вопросу о единственности решения задали Геллерстедта. для уравнений смешанного типа / / Ред. Сиб. математический журнал. СО РАН -Новосибирск, 2001, 21с. Деп. в ВИНИТИ 29.08.2001 № 1915.

40. Лаврентьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, №3. - С. 373 - 376.

41. Люк, Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации / Ю. Люк // М.: Издательство "Мир", 1980. - 608 с.

42. Михлин, П. М. Лекции по линейным интегральным уравнениям./ Н.М. Михлин. М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.

43. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. — М.: МГУ, 1988. — 150 с.

44. Моисеев, Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. -т. - С. 93 - 1003.

45. Моисеев, Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев / / Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. - №1. - С. 110 - 121.

46. Нахушев, A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта// Дифференциальные уравнения.- 2068.- Т.4. № 1. - С. 52 - 62.

47. Плещинский, Н. Б. Об эквивалентности задачи типа Геллерстедта задаче Римана для системы функций/ Н.Б. Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ 1977. - Вып. 14. -С. 194 - 205.

48. Плещинский, Н. Б. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта /Н.Б. Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ 1982. - Вып. 18. -С. 144 - 145.

49. Полосин, A.A. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд / A.A. Полосин // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32. - № 1. - С. 435 -437.

50. Плотникова, Ю.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Автореферат. . канд. физ.-мат. наук — Стерлитамак: СГПА, 2005 14 с.

51. Пулькин, С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта / С.П. Пулькин // Известия вузов. Математика. -1960. №6(19). - С.38 - 41.

52. Пулькин, С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу + ^их = 0 / С.П. Пулькин // Ученые записки КГПИ. -Куйбышев. 1958. - Выпуск21. - С. 3 - 41.

53. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / J1.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №12. С. 887 -892.

54. Сабитов, К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов. //Диффиальные уравнения. -1988. Т.24, №11. - С. 1967 -1976.

55. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К.Б. Сабитов, A.A. Карамова, Г.Г. Шарафутдинова// Изв.вузов. Математика. 1999. - № 11. - С. 70-80.

56. Сабитов, К. Б. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения / К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова. //Сибирск.матем.журн. 2001-Т.42 - № 5.- С. 1147 - 1161.

57. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К.Б. Сабитов. М.: Высшая школа, 2003. - 255 с.

58. Сабитов, К. Б. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения / К.Б. Сабитов, Г.Г. Шарафутдинова // Изв.вузов. Математика. 2003. - № 5. - С. 21 - 29.

59. Сабитов, К. Б. Функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения / К.Б. Сабитов М.: Высшая школа, 2005. - 671 с.

60. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б.Сабитов, Г.Г. Биккулова, A.A. Гималтдинова // Уфа: Гилем . - 2006. - 150 с.

61. Сабитова, Ю. К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия вузов.Математика. 2009. - № 12. - С. 49 - 58.

62. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов // М.: Наука, 1970. 296 с.

63. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

64. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов //- М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

65. Солдатов, А. П. О единственности решения одной задачи A.B. Бицадзе / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. -1972 Т.8 - № 1 - С. 143 - 146.

66. Солдатов, А. П. Решение одной краевой задачи теории функции со смещением / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения.- 1974. Т. 10 - № 1 - С. 143 - 152.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1962. - 724 с.

68. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1947.- 192 с.

69. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1962. 351 с.

70. Фадеева, О. В. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения. Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / О.В. Фадеева. -Стерлитамак. 2007. - 16 с.

71. Франклъ, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. - Т. 9. №2. - С. 121-142.

72. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль // М.: Наука, 1973. 711 с.

73. Хайруллин, Р. С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / Р.С. Хайруллин // Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35. - №4. - С. 927 -936.

74. Хе, Кан Чер. О единственности решения задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа / Хе Кан Чер. // Сибирск.матем.журн. 1977. - Т. 18.- № 6,- С. 1426 - 1429.

75. Хе, Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа / Хе Кан Чер.// Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. - Т. 26.- С. 134 - 141.

76. Чаплыгин, С. А. О газовых струях / С.А. Чаплыгин // М.-Л.: ГИТА, 1949. 144 с.

77. Agmon, S. A maximum principia, for a class of hyperbolic equationsd and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Communs Pure and Apple. Math. - 1953. VolVI. - №4. - P. 455 - 470.

78. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derives particielles du second ordre de type mixt.e / S. Gellerstedt // These, Uppsala, 1935. 92 c.

79. Gellerstedt, S. Sur une equation lineaire aux derives particielles de type mixte / S. Gellerstedt // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25A.29. P. 1-23.

80. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. -1963. V. 62. - P. 371 - 377.

81. Hopf, E.A. A remark on linear elliptic differenial equations of second order/ E.A. Hopf // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3. - P. 791 - 793.

82. Michael, J. The will-posed Tricomi problem of two kings/ J. Michael // R/J. Math, and Phys. Sci. 1993. - V. 27. - N 6. - P. 383 - 393.

83. Morawetz, С. S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / С.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. - V. 236. - N 1024. - P. 141 - 144.Работы автора по теме диссертации

84. Скороход, A.B. Задача Гурса для уравнения Эйлера-Дарбу и принцип локального экстремума / A.B. Скороход // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-й научной конференции СГПУ. Самара. 2004. - С. 41 - 46.

85. Скороход, A.B. Единственность решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа/ A.B. Скороход // Конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения"( Самара, 29 января 2 февраля 2007 г.) - Самара: Изд-во "Юниверс групп",2007. С.126 - 128.

86. Скороход, A.B. О существовании и единственности задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа со специальными условиями сопряжения/ A.B. Скороход // Вестник Самарск.ГУ. Естественно-научная серия. №2 (61). - 2008. - С. 60 - 68.