Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом

Чаплыгина, Елена Викторовна

Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Чаплыгина, Елена Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Орёл МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом»

Автореферат диссертации на тему "Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом"

На правах рукописи

Чаплыгина Елена Викторовна

ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ И ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ

АРГУМЕНТОМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород —2013 005537112

005537112

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений физико-математического факультета в ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет».

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Зарубин Александр Николаевич

Официальные оппоненты: Псху Арсен Владимирович, доктор физико-

математических наук, доцент, ФГБУН Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, зав. отделом дробного исчисления

Андреев Александр Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет»

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова», факультет вычислительной математики и кибернетики

Защита диссертации состоится 16 октября 2013 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корп. 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан « 4<9 » 2013 года.

Ученый секретарь „ /

диссертационного совета ' - к Гриценко Светлана Александровна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа, возникшая в 20-50 годы прошлого столетия благодаря работам С.А. Чаплыгина, Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе, И.Н. Векуа, М.А. Лаврентьева, получила значительное развитие в силу многочисленных приложений в трансзвуковой газовой динамике, гидродинамике, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, теории плазмы, при моделировании биологических процессов.

В работах Е.И. Моисеева, A.M. Нахушева, А.П. Солдатова, С.П. Пулькина, В.И. Жегалова, Т.Д. Джураева, JI.C. Пулькиной, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, O.A. Репина, A.A. Килбаса, A.B. Псху, М.С. Салахитдинова, М.М. Смирнова и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

На рубеже 60-90 годов XX века возросший интерес к задачам управления системами с последействием, исследованиям упругих деформаций многослойных пластин и оболочек, управления плазмой, потребовал развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, в том числе уравнений смешанного типа, с отклоняющимся аргументом.

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, содержащих преобразования аргумента искомой функции, относятся к нелокальным.

Теория нелокальных задач Трикоми для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с операторами Лаврентьева-Бицадзе и Геллерстедта в главной части и сосредоточенными отклонениями некарлемановского типа была построена А.Н. Зарубиным.

Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной исследовал М.В. Бурцев. В работах A.A. Андреева и И.Н. Саушкина рассматривались аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции, вычисленной в инволютивных (карлемановских) точках.

В данной диссертации впервые рассматриваются в различных областях задачи Геллерстедта («внутренние» и «внешние») для нелокальных

уравнений смешанного типа с разностными и дифференциально-разностными операторами, имеющими некарлемановские сдвиги запаздывающего и опережающе-запаздывающего типа

L(u(x,y)) = uxx(x,y) + sgnyuyy(x,y) = Аки(х,у) (к = 0,1,2,3), (lfe) где А0=41+Н(уПтН(х), А, = RTxH(x)^,

А2 = (RJHW + R~rH(2т - х) - 1) + , Л3 = (RÏH(x) + R~*H(Зт - х) - 1) +

О < т = const, H(<f) - функция Хевисайда; Rx — оператор некарлемановского сдвига, действующий по переменной х: Rxp(x) = р(х — 0).

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых и начально-финально-краевых задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом соответственно.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Фредгольма, сингулярных интегральных уравнений, аппарата специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций («метод abc»).

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом.

Основные результаты выносимые на защиту:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с кратным запаздыванием в искомой функции в ограниченной области.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения «внешней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с

запаздывающим аргументом в производной первого порядка искомой функции в неограниченной области.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренних» и «внешних» задач Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с опережающе-запаздывающим аргументом искомой функции и её производных первого порядка в ограниченных областях.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с запаздывающими и опережающе-запаздывающими аргументами в областях изменения типа уравнения.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в изучении колебания кристаллической решетки, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака, задач управления и др.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на 6-й Международной конференции «АМАДЕ-2011» (г. Минск, 2011г.); на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011», г. Самара); на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложение в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 2011г.); на Международной научно-практической конференции «Математика и её приложение» (г. Орел, 2011г.); на XIV Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (г. Киев, 2012г.); на 7-й Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2012, г. Минск); на XI Белорусской математической конференции (г. Минск, 2012г.); на Третьей Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2012г.); на Четвертой Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я.Б. Лопатинского (г. Донецк, 2012г.); на II Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2012г.); на Международной

конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Белгород, 2013г.); на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (руководитель семинара - академик РАН, доктор физико-математических наук Е.И. Моисеев) (г. Москва, 2013г.); на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2013гг., г. Орел, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет» (руководитель семинара — доктор физико-математ1гческих наук, профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] - [17]. Публикации [5], [11], [17] выполнены в изданиях, рекомендованных ВАК. В статьях [2,3,4,5,7,8] научному руководителю принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографического списка литературы, содержащего 103 наименования. Объем работы — 141 страница.

Содержание диссертационной работы.

Во введении дан краткий обзор важных публикаций по теме и анализ основных результатов диссертации.

Глава I посвящена уравнениям Лаврентьева-Блцадзе с кратным запаздыванием в искомой функции и с запаздывающим аргументом в производной искомой функции. Доказываются теоремы единственности и существования.

§1. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с разностным оператором в ограниченной области.

Уравнение (10) рассмотрим в области О = В+ и и 1, где £>+ = и£=0 и = и^о1^ (п~ фиксированное натуральное число) — эллиптическая и гиперболическая части области В, причем О* — область, ограниченная отрезком Л2кЛ2(к+1-) оси у — 0, 2кт <х< 2(к + 1)т и «нормальной» кривой рк \ (х - (2к + 1)т)2 + у2 = т2, расположенной в полуплоскости у > 0; = [(х,у): кт - у < х < (к + 1)т + у, - т- < у < о], I = {(х,у): 0 < х < 2(п + 1)г,у = 0).

Регулярным решением в области О назовем функцию и(х,у~), непрерывную в замкнутой области £), имеющую непрерывные первые производные в О, кроме, быть может, точек А2к(2кт, 0) и ^2(к+1')(2(к + 1)т, 0), в которых производные их(х,у) и иу(х,у) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, дважды непрерывно дифференцируемую в £>+ и О".

Задача С0. Найти в области О регулярное решение и(х,у) уравнения (10), удовлетворяющее краевым условиям

и(*. у) и = <Рк О), 0 < 5 < / (к = ОД.....71),

и(*.у)1у=х-(2*+1)т = Фк,к(х). (2к + < х < (2к + 1)т (/с = ОД.....п),

и(*»у)1у=-г+(2«с+1)г = \(х),(2к + 1)т < х < ^2/с (/с = ОД, ...,п), фкЛ«2к + 1)т) = 1)т)(/с = ОД,...,71),

<Рк(Р) = <Рьц№ № = 0,1,...,п-1),

условиям сопряжения и(х, —0) = и(х, +0) = ш(х), 0 < х < 2(п + 1)т, иу(х,-0) = иуО,+0) = у(х),0 < х < 2(п + 1)г, х * 2кт (/с = 1,2, ...,п), где (р^), '/'/с.а-М. Фк,к+1 (х) ~ заданные непрерывные, достаточно гладкие функции. Длина 5 (0 < я < /) отсчитывается от точек ^20+1)(2(А-' + 1)т, 0) в положительном направлении, а / — длина «нормальной» кривой рк (I = 7гт). Теорема 1. Если существует решение задачи Од, то оно единственно. Единственность решения задачи Со доказывается с помощью энергетических неравенств на основе следующих утверждений.

Лемма 1. Пусть и(х,у) е С(Пк) П С2(0+) - решение уравнения (10) в области йк, обращающееся в нуль на кривой рк и в областях Ок_г (к = 1,2, ...,п). Тогда

2(£+1)т

рк= I и(х)у(х)с1х <0, рк + || (и2Ах,у) + и£(дс,у)) йхйу = 0.

2/ст В +

Лемма 2. ЕслииОс, у) е С(йк) П С2(йк) — решение уравнения (10) в области йк, обращающееся в нуль на характеристиках у = х — (2к + 1)т, у = —х + (2к + 1)т и в областях (к = 1,2,..., п), то /Зк > 0.

Теорема 2. Если функции срк (5)еС[0,/]ПС2(0, /), <РкС0) = (РкО) = <р'к(0) = <р'кСО = 0,Ц>к,к{х)еС ^2к + ^т,(2к + 1)1 ^Кк^'^'к,^ [(2к + 1)т, т\тр'к1к+1(х).1р"к1к+1(х)

принадлежат классу Гельдера внутри ^2/с + ^ т, (2к +

{(2к + 1)т, ^2/с + ^ т^ соответственно, то существует в области

О регулярное решение задачи 60 для уравнения (10).

Лемма 3. Если ш(х) е С[0,2(?г + 1)т] П С2(0,2(п + 1)т), х Ф 2кг, у(х) е С1(0,2(п + 1)т),х Ф 2кт, то единственное решение и(х,у) е Сф~) П С2(О-) задачи Коши для уравнения (10) в области удовлетворяющее условиям и(х, 0) = й)(х), 0 < х < 2(п + 1)т, иу (х, 0) = у(х), 0 < х < 2(п + 1)т, х =£ 2/ст, представимо формулой

и"(ж, у) = [щ(х, у), (х,у) е Ок (к = 0,1,2.....п) },

в которой

%(*,у) = Ф{х,у)Н{х) +

£ х—тпт

+ ^ утН(х - тпт) | ?7((х - тт)2 - г^^Ф^.у^йт), (х,у) е Ик,

тп= 1

где

х+у

дг-у

2ы(х) = Ш(Х)Н(Х) + к х—тт

+ ^(-1)тутЯ(х-тг) | г/(х2 — (?7 + тг)2)т_1а> (г])йт], тп=1 о

гу(х) совпадает с 2ш(х), если заменить о>(х)нау(х); ут = (т! Г(т)22т-1)-1, причем Г(т) -Гамма-функция.

Лемма 4. Если ^(.?)еС[0,/]ПС2(0,/), у(х) е С1(иь=0(2/ст, 2(к + 1)т)), причем у(х) может в точках х = 2/ст, х = 2(к + 1)т обращаться в бесконечность порядка меньше единицы и удовлетворяет при 2кг < х < 2{к + 1)г условию Гельдера, а % (0) = <рк ,л (/),

то существует регулярное решение и(х,у) задачи Неймана-Дирихле для уравнения (10), удовлетворяющее условиям и(х,у)\Рк = <рк(5),0 < s < I С к = 0,1, ...,п), иу(х,у) | = у(х), 0 < х < 2(п + 1)т, х Ф 2кг

(/с = 1,2,..., л) в области в форме

и+0,у) = {иЦх,у),(х.у) 6 Дк+ (к = 0,1,2.....п)},

где

^ 2(*+1)г

«о* = -— и,0;х,у)ск +

1 % (Л-) Т77 ^ (ь С*), <7 М; X,

2л- Л дЫ

а Ск(х,у\ха,уа) = 1п- функция Грина,

г гг,

Г 1 = (х - х0)2 + (у + у0)\ \ \ = (х-(2к + 1)г - ¿о)2 + (у + Уо)2, П )

г 2

х0 =12<х0- (2 к +1 )т),у0 =—уа,р1 = (*„ - (2Л + 1)г)2 + уЪ

Рк Рк

N — внутренняя нормаль границы.

Вопрос существования решения задачи Геллерстедта С0 для уравнения (10) в области С сведен к разрешимости полных сингулярных интегральных уравнений с автоморфными ядрами, имеющих характеристическую часть вида

2(/г+1)т

здп(х - (2к + 1)т)у(х) + ^ |

■ +

С — х

2к + 1 -

2кт

& = рк{х),

(2к + 1)(£ + ж) - 7 - 4кт(к + 1)

2кт < х < 2(к + 1)т, х * (2к + 1)т (к = 0,1,2,..., п)

где Рк(х) ~ непрерывно дифференцируемая функция, принадлежащая классу Гельдера на (2/иг, (2/с + 1)т), ((2/с + 1)т, 2{к + 1)т). Регуляризация уравнений проводится методом аналитического продолжения в комплексную плоскость к краевой задаче Римана с индексом х = 0.

Функция v(x) принадлежит классу С1(2/ст, 2(/с + 1)т), при х = 2кт, х = 2(к + 1)т может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

§2. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дифференциально-разностным оператором в неограниченной области.

В области D = D+ U D~ U /, где D+ = {(х,у):х > 0,0 < у < h) = = ий) Dk (0 < h = const) и D~ = иt=0 Du (Df = D£k и D,~k+1) -эллиптическая и гиперболическая части области D, причем Dk = (fcy): кт<х<(к + 1)т, 0 < у < ft},

Dk,k = [(x,y):fcr-y <х <у + (b + fer),-|<y < oj,

Dk,k+1 = {о.у): (Ь + /ст) - у < х < у + (к + 1)г, - < у < о}

(0 < Ь < т), I = {(х, у): 0 < х < +СО, у = 0} рассмотрим уравнение (It).

Регулярным решением в области D будем называть функцию и(х,у), непрерывную в области D, имеющую непрерывные производные до второго порядка (включительно) в области D\l, кроме, быть может, точек (кт, 0), (Ь + кт, 0), в которых непрерывные производные их (х, у) и иу (х, у) в D могут иметь особенности порядка меньше 1.

Задача Сг. Найти регулярное в области D решение уравнения (1^), удовлетворяющее краевым условиям и(х,у)|х=0 = 0, lim u(x,у) = 0, 0 < у < /г,

и(х,у)\у=кт-х = 1/Чк00. кт < х < | + кт,

, м , , л Ь + (2к + Г)т "(*.У)1учг-(*+1)т = IplkW,-^- < X < {к + 1)т,

м(*.У)1у=л = if(x),x > О,

условиям сопряжения и(х, -0) = гг(х,+0) = о>(х),х > 0, иу(х,-0) = иу(х,+ 0) = v(x), х > 0, х кт,

где (р{х), Ф\и_{х)- }1>2к(х) ~ заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем 01О(0) = 0, i/j1íc (/ст) = ф2к-\(кт) (к = 1,2,...), <Р( 0) = <р{+= 0.

Пусть Dk = U Dk U Ik , где 1к = {О,у): кт < х < (к + 1)т,у = 0}.

Теорема 1. Если существует регулярное решение задачи G1 для уравнения (lj) в области D, то при т < 1 оно единственно.

Теорема 2. Если функции ср(х~) 6 С[0,+оо) П С2(0, +оо),

#>(0) = <р(+со) = о,ф1к(х) е с b + (2к + 1)т

кт,-+кт

П С'

(kz,- + kTj,

iр2к(х) е С

,(/с + 1)т

, :ъ + (2к + i)t „ ^

ПС2 -Ч--,(к + 1)т

и ф'1к(х~), ф'2к(х), ф" 1к(х), ф" 2к(х) удовлетворяют условию Гельдера внутри соответствующих промежутков, причем

lim max |0lfc(x)| = 0 lim max \ф2кМ\ = 0,

то существует в области D регулярное решение задачи для уравнения (Ii).

Доказательство теоремы единственности проводится с помощью энергетических неравенств.

Общее решение уравнения (Ii) в области D

и(х,у) = {ик{х,у), (х.у) е Dk(к = 0,1,2,...)}, Щ(х,у) = Ф(х,у)Н(х) +

ь х—тт

V-1 dm Г

+ 2_ YmH(.x - тт)^г J - mт)2 - V2)m 1 Ф(1?,у)йц,

m= 1 О

ф(*.У) =ai{x- yyj-sgny) + д2(х + yj-sgny), 5i(0,52(0 - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, позволяет найти:

1) единственное решение и~(х,у~) е C(D_) П C2(D~) задачи Коши для уравнения (Ii), удовлетворяющее условиям и~(х,у)\у=0 = ш(х), 0 < х < +со, u~(x,y)|y=0 = v(x), 0 < х < +оо, х =£ кт в области D~ и~(х, у) = {ик (х,у), (х,у) £ Dk (к = 0,1,2,...)},

V dm

т—О

где

х+у

у) — 2 С* - У) + (ж + у)] + \ J zv(Odf,

х-у

х—тт

С-тг;Ж*.у) = J 7]((х -7пт + а)2 -(?!+ a)z)m~10(7],y)dr] -

интеграл Эрдейи-Кобера, ym = (т! 22"1)-1, причем

zw(x)={z? (х), кт<х< (к + 1)т (к = 0,1,2,...)},

z?(x) = w(x) + ^ (—l)m2m-1(m - 1)! утЯ(х - тт)хт_1 (х - тт) х

т=1

fr x—mz

Zf dm

утН{х-тх) J 77w(7j) (х2 - (?? + mr)2)m_1d?7,

т=1 0

a w = io.v; ут = (т! ГСт^2'"-1)"1;

2) единственное решение и+(х,у) 6 C(D+) П С2 (D+) задачи Дирихле для уравнения (1г), удовлетворяющее условиям и+(0,у) = 0, ^lirn^ и+{х, у) = 0,0 < у < h\ u+(x, 0) = ы(х), и+(х, h) = ср(х), х > 0 в области D+

u+(x,y) = {u,t(x,y),(x,y)eD+ (fc = 0,1,2,...)},

где

KmH(x - mr) — ;0T (x, y),

m=0

+oo

Т(Х,У) = £ ^CM2n+l)-y) _ RHk(2n+V)+y^7<p(x) +

n= 0

+00

+ 2 (4(2ПЛ+У) - 4(2Л(П+1ЬУ))2Чх) =

. yn

sin— -

-J

n=0

2 h

I.(f~x)n , yr 7 . УЛ"

ch , + cos ~~ ch , + cos —

df +

. уж

smT~ г

a z'p (х), z"(x) определяются приведенной выше формулой для zw(x) при w = (р, ш.

Вопрос существования решения задачи Сг сводится к разрешимости разностного уравнения zk (х) = isgn(x — (b + kr))N^'hzk(x) + дк (х), кт < х < (/с + 1)т, х ФЪ + кт, где дк(х) е С^/ст, (к + 1)т).

Глава II изучает уравнения Лаврентьева-Бицадзе с опережающе-запаздывающим аргументом искомой функции и ее производных первого порядка в ограниченных областях.

§3. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента.

Исследуется «внутренняя» задача Геллерстедта для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в главной части и опережающе-запаздывающим некарлемановским сосредоточенным отклонением в искомой функции и её производной первого порядка (Дг).

Пусть D = D+ U D~ U I, где D+ = {(х,у): 0 < х < 2т, 0 < у < h] = U D? Uj (0 < h = const), D~ = UjUo Dk {Dk = Dkk и Dkk+1) — эллиптическая и гиперболическая части области D, причем Dk = {(х,у): кт < х < (к + 1)т, 0 < у < h},

( хк — кт л Dk,k = (С*. У): кт-у<х< у+хк,----< у < Oj,

Г (/с + 1)т - хк Dk,k+1 = \(х,уу.хк-у < X < (/с + 1)т + у,---- < у < О

кт < хк < (к + 1)т (/с = ОД), / = {(х, у): 0 < х < 2т, у = 0} = UjLo'fc. J = {(х.у):х = т,0 < у < h}. Обозначим Dk = Dk U Dk U lk, где lk = {(x,y): кт < x < (k + l)r,y = 0} (k = 0,1).

Задача G2. Найти в области D функцию u(x,y) £ C(D) n C1(D\J) n C2(D\(J и /)), удовлетворяющую уравнению (12), краевым условиям u(0,y) = u(2r, у) = 0,0 < у < h,

1 уж , уII

ch -—---cos ch -—-— cos —

df,

u(x,h) = <p(x), 0 < x < 2т, kr + xk

u(x,x - xk) = lpk(x),—-— <X<Xk,

r ^ r ^ ^ ^ + (fc + l)r u(x,xk -x) = pk(x),xk <x<---,

условиям сопряжения u(x, —0) = u(x, +0) = ш (x), 0 < x <2т, uy (x, —0) = uy (x, +0) = v(x), 0 < x < 2т, х ф t,

условиям согласования <p(0) = <р(2т) = 0, ipk (xk) = pk (xk) (к = 0,1), где <p(x),\pk{x),pk(x) (fc = ОД) — заданные непрерывные, достаточно гладкие функции.

Теорема. Если функции <р(х) £ С[0,2т] Л С2(0,2т),

[кт + хк 1 , /кт + хк \ Шх) 6 С [—П С2

г хк + (к + 1)т] , / хк + (к + 1)т\ , рк(ж) е С [Хк.-^-^--] п С2 ^--) ik = °Д)<

абсолютно интегрируемы на своих промежутках, (р(0) = <р(2т) — 0, Фк(.хк) = рк(хк) и грк'(х), рк'(х) при х -> хк (к = ОД) допускают интегрируемую особенность, то существует единственное при т< л/2 решение и (х,у) задачи G2.

Единственность решения задачи С2 доказывается с помощью энергетических неравенств.

Если ик{х,у) = и(х,у), (х,у) е Dk(k = ОД), то уравнение (12) редуцируется к системе

LuQc.y) = 0, (х,у) 6 D0, ( д 1\ _

Щх,У) + 2 (fa + 2) й(~х'= (х'6 °0' где

й{х,у) = и0(х,у) + щ(х + г,у),й(х,у) = щ(х,у) - щ(х + т,у), (х,у) е % общее решение которой

"fcO.y) = {fix -кт- yj-sgny) + д(х-кт + y^-sgnyfj X

x (1 + C-l^e-i*"^), (ж,у) 6 Dk{k = ОД), fit), g(jt) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, приводит к формуле типа Даламбера

1 ✓ , , ^ Г - у)

Щ(х,у) = - (1 + (-^е-С'-^) +

<"(*+У) 1

1 + (-1Уе-(х~кт+УЦ

х+у X—у

представляющей решение задачи Коши для уравнения (12) из класса С0к)ПС2(Пк) в области (/с = ОД), когда ш(х) е С[/ст,(/с + 1)т] п

П С2(кт, (к + 1)т), у(х) е Сг(кт, {к + 1)т) (к = ОД), и решению задачи Дирихле в (/с = ОД)

№+1)т

Г /1 + (~1)ке~(х~ктЛ

кт

(к+1)т

г /1 +

+ ] (ттЬк^)ыаЖх',г-М№ (к=олх

кт

где б (х, у, £ ) — дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Вопрос существования решения задачи <72 в областях Од. = и Эк и /к (/с = ОД) сведен к разрешимости разностного уравнения

(1 + £55п(Х - *к)Д™ ) (д + = Ук(*)-

кт < х < + 1)т (к = ОД), где Ук(х) в С1(кт, (к + 1)т) (к = ОД) и зависит от рк(х),-фк(х), <р(х).

Найденное значение функции у(х) позволяет построить решение задачи С2 для уравнения (12) в области В.

§4. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с опережакице-запаздывающнм аргументом.

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с опережающе-запаздыватощим аргументом искомой функции и ее производных первого порядка (13) доказывается теорема единственности и существования решения «внутренне-внешней» задачи Геллерстедта.

Пусть D = D+ U D~ U /, где D+ = {(х,у): 0 < х < Зт, О < у < К} = UjU Dfc U2=i/n (0 < ft = const) и D~ = UI =oAt — эллиптическая и гиперболическая части области D,

= (0,у): кт < х < (к + 1)т, 0 < у < ft], Dk = (fey): кт - у < х < (к + 1)т + у, -т/2 < у < 0} (к = 0,1,2), / = {(х,у):0 < х < Зг,у = 0} = ULo4-Jn = К*, у): х = пт, 0 < у < ft}.

Обозначим Dk = Dk U Dk U Ik, где Ik = {(x,y): кт < x < (k + 1)т, у = 0}

Ск = 0,1,2).

Задача G3. Найти в области D функцию и(х,у) 6 Сф) Л CH^XC/i U/г)) П C2(D\(/ UЛ U/2)), удовлетворяющую уравнению (13), краевым условиям

и(0,у) = и(3т,у) = 0,0 < у < ft; u{x,h) = ср{х), 0 < х < Зт,

и(х,х - 0к + 1)т) = VfcW.(2fe2 1)Т - * - (/с + 1)т (/с = °'2)'

Зт

и(х,т- х) = 0i(x),T < х < —,

условиям сопряжения и (х, —0) = и(х, +0) = а>(х), 0 < х < Зт, uy(x,-0) = uy(x,+0) = v(x), 0 < х < 3т,х Ф т, 2т, условиям согласования <р(0) = <р(3т) = 0, ф0(т) = (г), ф2(3т) = О, где <р(х) 1рк(х)(к = 0,1,2) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции.

Теорема. Если функции <р(х) £ С[0,3т] П С2(0,3т), грк в С [Sip, (ft 4- 1)т] П С2 (fiip, (fc + 1)т) (к = 0,2),

0! 6 С [т, уj П С2 (т. у), абсолютно интефируемы на своих промежутках, <р(0) = <р(3т) = 0, (т) = 01(т), (Зт) = 0 и 0о(х) при х -> т, 01 (х) при х -» т, 02(х) при х -> Зт допускают интегрируемую особенность, то существует единственное решение и(х,у) задачи G3.

Доказательство единственности решения задачи С3 проводится с помощью энергетических неравенств.

Если ик(х,у) = и(х,у), (x, у) е Dk {к = 0,1,2), то исходное

: npi

ду)

опережающе-запаздывающее уравнение приводится к системе уравнении LU(x, у) = (j^ + J-sgny-ЦА Лй(х, у), (х, у) G £>0,

где

"О. У.) = ("оУ). 0 + г, у), и2(х + 2т, у) )г, (х, у) е D0,

/-1 1 0 А= 1 -1 1

V 0 1-1

Общее решение системы

Щ (х, у) = /(х -кт- yQ-sgny)3) + +5(х - кт + yQ-sgny)3)ak{x - кт), (х,у) eDk(k = 0,1,2), а0О) = а2(х) = е~х {ch^Jlx аг (х) = е~х(сЫ2х + V2sW2x),

fit), g (t) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, дает возможность найти решение задачи Коши для уравнения (13) из класса Сфк )П С2фк) в области (/с = 0,1,2) при ш(х) 6 С[&т,(к + 1)т] П П С2(кт, (к + 1)т), v(x) е С1 {кт, (к + 1)т) (к = 0,1,2) в форме типа Даламбера

-г ^ г ^ 1 /—7—I--У vCQWCQ ,

* 3 Vкт)

кт

х+у

4 , а^Х~кТ) f V,C0+M # (к = 0,1,2), 2 у] ак{х - кт + у) fcJ ^а^-кт)

а также решение задачи Дирихле в = 0,1,2)

(к+1)т

кт (fe+1)т

сг/j (х — А:т)

+ /

кт

где Gj (х, у, f) 0 = 1-2) - дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Вопрос существования решения задачи С3 в областях Вк = Вк и Бк и 1к (к = 0,1,2) сведен к разрешимости интегро-разностного уравнения

дк(х) - г Бдп{(х - т)(х - 2т))5кх((1 +Якх)дк(х)) = у,.(х),

кт < х < (к + 1)т (/с = 0,1,2),

где

9к(.х)

х-кт^

^ак{х-кт) I ^<хк(£-кт)

(к = 0,1,2),

ак(х - кт - р2Ш ак (х — кт) *

Гг + 1

л: кт

кт < х < (к + 1)т (к = 0,2),

1-1 Г - г)

/ — тождественный оператор, /д. (х) 6 С2(кг, (к + 1)т) (к = 0,1,2) и зависит от(р(х), фк (х).

Пользуясь случаем выражаю глубокую благодарность и признательность научному руководителю Александру Николаевичу Зарубину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Чаплыгина, Е.В. Задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с дифференциально-разностным оператором / Е.В. Чаплыгина II Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2011, В.10. - С.189-193.

2. Чаплыгина, Е.В. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дифференциально-разностными операторами / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина II 6-я Международная конференция «АМАДЕ-2011». Минск (Белоруссия), 12-17 сентября, 2011. - С.67-68.

3. Чаплыгина, Е.В. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина И Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011»), Самара, 2011. - С.45-46.

4. Чаплыгина, Е.В. Краевая задача для уравнения смешанного типа с разностным и дифференциально-разностным оператором / А. II. Зарубин, Е.В. Чаплыгина И 10-я Международная Казанская научная школа-конференция. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2011,Т.43. - С.144-147.

5. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с отражением и смешанным запаздыванием / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина II Ученые записки Орловского государственного университета. Научный журнал. - Орел, ОГУ, 2011, №5 (43). - С.144-159.

6. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием / Е.В. Чаплыгина И Международная конференция «Комплексный анализ и его приложение в дифференциальных уравнениях и теории чисел». Белгород, 17-21 октября, 2011. -С. 128-129.

7. Чаплыгина, Е.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа в неограниченной пилообразной области / А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина И Современная математика: образование и наука. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения». - Орел: ОГУ, 2011. -С.121-123.

8. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для опережающе-запаздывающего уравнения смешанного типа I А.Н. Зарубин, Е.В. Чаплыгина II Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2012, В. 11. - С.13-23.

9. Чаплыгина, Е.В. О задачах Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента / Е.В. Чаплыгина II Вестник науки. - Орел: ОГУ, 2012, В. 11. - С.61-64.

10. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента / Е.В. Чаплыгина II XIV Международная научная конференция им. акад. М. Кравчука. Киев (Украина), 19-21 апреля, 2012г. - С.43 5-436.

11. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического уравнения со смешанным отклонениям аргумента / Е.В. Чаплыгина II Доклады Адыгейской Международной академии наук. 2012, Т. 14, №1. -С.116-123.

12. Чаплыгина, Е.В. Начально-краевая задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с опережающе-запаздывающим аргументом / Е.В. Чаплыгина И 7-й Международный семинар «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2012). Минск (Белоруссия),! 1-14 сентября, 2012. - С.71-72.

13. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического опережающе-запаздывающего уравнения / Е.В. Чаплыгина II XI Белорусская математическая конференция. Минск, 5—9 ноября, 2012. — С.89-90.

14. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического опережающе-запаздывающего уравнения в ограниченной области / Е.В. Чаплыгина // Третья Международная конференция по математической физике и ее приложениям. Самара, 27 августа — 1 сентября, 2012. -С.305-306.

15. Чатыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с опережающе-запаздывающим аргументом / Е.В. Чаплыгина II Четвертая Международная конференция молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я.Б. Лопатинского. Донецк (Украина), 14-17 ноября, 2012. - С.89-90.

16. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для опережающе-запаздывающего уравнения смешанного типа / Е.В. Чатыгина II II Международная конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик, 28 ноября — 1 декабря, 2012. — С.249-252.

17. Чаплыгина, Е.В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента в производных / Е.В. Чаплыгина II Научные ведомости БелГу. Серия: Математика. Физика. - 2012. - №17(136). Вып.28. - С.119-131.

Подписано в печать 4.09.2013 г. Формат 60x84 1/16 Печатается на ризографе. Бумага офсетная Гарнитура Times. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ Ха 75 Отпечатано с готового оригинал макета на полиграфической базе редакционно-издательского отдела ФГБОУ ВПО «ОГУ» 302026 г. Орел, ул. Комсомольская, 95 Тел. (486 2) 74-09-30

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Чаплыгина, Елена Викторовна, Орёл

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201361722

Чаплыгина Елена Викторовна

ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ И ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ

АРГУМЕНТОМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор А.Н. Зарубин

Орел-2013

Содержание

Введение........................................................................... 4

Глава I. Уравнение Лаврентьева-Бицадзе с кратным запаздыванием в искомой функции и запаздывающим аргументом в производной. 25

§1. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с разностным оператором в ограниченной области............... 25

1.1. Постановка задачи в0.............................................. 25

1.2. Единственность решения задачи во.............................. 26

1.3. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа................................. 29

1.4. Задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного эллиптического уравнения........................... 38

1.5. Существование решения задачи в0.............................. 41

§2. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с

дифференциально-разностным оператором в неограниченной области...................................................................... 51

2.1. Постановка задачи ............................................. 51

2.2. Единственность решения задачи С1............................ 52

2.3. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения.................................................................. 55

2.4. Задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с дифференциально-разностным оператором...................... 61

2.5. Существование решения задачи в!.............................. 70

Глава II. Уравнение Лаврентьева-Бицадзе с опережающе-

запаздывающим аргументом. 77

§ 3. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со

смешанным отклонением аргумента............................... 77

3.1. Постановка задачи вг. Единственность решения........... 77

3.2. Существование решения задачи ........................................................84

§4. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с

опережающе-запаздывающим аргументом................................................100

4.1. Постановка задачи вз. Теорема единственности........................100

4.2. Существование решения задачи вз............................................................104

Список литературы..........................................................................................................................130

Введение

Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа, возникшая в 20-50 годы прошлого столетия благодаря работам С.А. Чаплыгина [102], Ф. Трикоми [82], С. Геллерстедта [103], Ф.И. Франкля [84], К.И. Бабенко [2], A.B. Бицадзе [5], И.Н. Векуа [16], М.А. Лаврентьева [51], получила значительное развитие в силу многочисленных приложений в трансзвуковой газовой динамике, гидродинамике, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, теории плазмы, при моделировании биологических процессов.

В работах Е.И. Моисеева [53]—[54], A.M. Нахушева [56]—[57], А.П. Солдатова [79], С.П. Пулькина [61]-[62], В.И. Жегалова [22], Т.Д. Джураева [20], Л.С. Пулькиной [63]-[64], К.Б. Сабитова [69]-[70], А.Н. Зарубина [23]- [45], O.A. Репина [65]-[68], A.A. Килбаса [48]-[49], A.B. Псху [60], М.С. Салахитдинова [71]-[72], М.М. Смирнова [77]-[78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

Теория нелокальных задач Трикоми для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с операторами Лаврентьева-Бицадзе и Геллерстедта в главной части и сосредоточенными отклонениями некарлеманов-ского типа была построена А.Н. Зарубиным [23]-[46].

Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной исследовал М.В. Бурцев [6]-[15]. В работах A.A. Андреева и И.Н. Саушкина [74]-[76] рассматривались аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции, вычисленной в инволю-тивных (карлемановских) точках.

В данной диссертации впервые рассматриваются в различных областях задачи Геллерстедта («внутренние» и «внешние») для нелокальных уравнений смешанного типа с разностными и дифференциально-разностными операторами, имеющими некарлемановские сдвиги запаздывающего и опере-жающе-запаздывающего типа

L(u(x, у)) = ихх (х, у) + sgnyuyy (х, у) = Аки(х, у) (к = ОД,2,3), (I/O где А0 = Rx1+H^rH(%), A1 = r;h(x

A2 = (R*xH(x) + R~TH(2t -x)-1)(£ +

д д Л3 = (Я* Я(*) + R?H (Зт - x) - 1) (—+

0 < г = const, H(£) — функция Хевисайда; Rx — оператор некарлемановско-го сдвига, действующий по переменной х: Rxp(x) = р(х — в).

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Фредгольма, сингулярных интегральных уравне-

ний, аппарата специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций («метод abc»).

Основные результаты выносимые на защиту:

2. Доказательство теорем существования и единственности решения «внешней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом в производной первого порядка искомой функции в неограниченной области.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренних» и «внешних» задач Геллерстедта для уравнения Лаврентьева- Бицадзе с опережающе-запаздывающим аргументом искомой функции и её производных первого порядка в ограниченных областях.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с запаздывающими и опере-жающе-запаздывающими аргументами в областях изменения типа уравнения.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на 6-й Международной конференции «АМАДЕ-2011» (г. Минск, 2011г.); на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011», г. Самара); на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложение в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 2011г.); на Международной научно-практической конференции «Математика и её приложение» (г. Орел, 2011г.); на XIV Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (г. Киев, 2012г.); на 7-й Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2012, г. Минск); на XI Белорусской математической конференции (г. Минск, 2012г.); на Третьей Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2012г.); на Четвертой Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я.Б. Лопатинского (г. Донецк, 2012г); на II Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2012г.); на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2013гг., г. Орел, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет» (руководитель доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [85]-[101]. Публикации [87], [89], [99] выполнены в изданиях, рекомендованных ВАК. В статьях [96]—[101] научному руководителю принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографического списка литературы, содержащего 103 наименования. Объем работы - 141 страница.

Содержание диссертационной работы.

Во введении дан краткий обзор важных публикаций по теме и анализ основных результатов диссертации.

Глава I посвящена уравнениям Лаврентьева-Бицадзе с кратным запаздыванием в искомой функции и с запаздывающим аргументом в производной искомой функции. Доказываются теоремы единственности и существования.

§1. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с разностным оператором в ограниченной области. Уравнение

L (и(х, у)) = ихх (х, у) + sgn уиуу (х, у) = А0и(х, у), (10)

л0«(,у) = У) = | и*-**-

Rxx- оператор сдвига по х\ Rxq(x) = q(x — г), 0 < т = const, Н(%) - функция Хевисайда,

У J ^---ЧП+ / D°+ \ / (А0 Ах W2 Аз \/ Dt V14 УА2п ¿211+1 у^п+п

0 \Оо/х\ОГ A\d2V \/ V D~ ^ /jX / NP^i+i (2п + 1-Х/ 2(п +1)т

рис.1

рассмотрим в области й = и £Г и /, где = 11£=0 и = и^о1 (п — фиксированное натуральное число) - эллиптическая и гиперболическая части области О, причем — область, ограниченная отрезком ^2/с^2(/с+1)

оси у = 0, 2 кт <х <2 (к + 1)т и «нормальной» кривой рк :

(х — (2к + 1)т)2 + у2 = т2, расположенной в полуплоскости у > 0;

Щ = {(х.уУ кт-у < х < (к + 1)т + у,-\ < У < О),

/ = {{х,у)\О < л: < 2(п + 1)т,у = 0}.

Регулярным решением в области £> назовем функцию и(х,у), непрерывную в замкнутой области й, имеющую непрерывные первые производные В Д Кроме, быть может, точек Л2/с(2/СТ,0) И л2(/с+1) (2(/с + 1)т, 0), в которых производные их(х,у) и Ыу(х,у) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, дважды непрерывно дифференцируемую в и

Задача (?0. Найти в области О регулярное решение и(рс,у) уравнения (10), удовлетворяющее краевым условиям м(*,у)|рл = (рк(^),0 < б <1(к = ОД, ...,п),

и(х,у)\у=хН2к+1)т = Фк,кМ'{2к + ^ * ^ (2к + !)т = ОД,

у) \у=-х+(2к+1)т = *Рк,к+1(х),(2к + 1)г < х < ^2/с +|)т(/с = ОД, ...,п),

т/^((2/с + 1)т) = фк,к+1(С2/с + 1)г)(/с = ОД, ...,п),

<Рк№ = <Рк+М (/с = 0,1,...,п-1), условиям сопряжения

иО, -0) = +0) = й)(*)# 0 < х < 2(п + 1)т,

иу(х,— 0) = Иу(*,+0) = <х < 2 (п + 1)т,х Ф 2кт (/с = 1,2, ...,п),

где (рк {б), фк,к№>'Фк,к+1№ - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции. Длина б (0 < б < I) отсчитывается от точек Л2(й+1)(2(& + 1)т, 0) в положительном направлении, а / -длина «нормальной» кривой (/ = лт). Теорема 1. Если существует решение задачи С/0, то оно единственно. Единственность решения задачи (7о доказывается с помощью энергетических неравенств на основе следующих утверждений.

Лемма 1. Пусть и(х,у) Е Сф£) П — решение уравнения (10) в

области обращающееся в нуль на кривой рк и в областях

(к = 1,2,..., п). Тогда

2(/с+1)т

рк= I со(х)у(х)йх <0, [Зк + Л (уі(х,у) + «у(л:,у)) йхйу = 0.

2кх

Лемма 2. Если и(х,у) Є С(йк) П С2 (£)£") — решение уравнения (10) в области обращающееся в нуль на характеристиках у = х — (2к + 1)т, у = —х + (2/с + 1)т и в областях Ок_г (/с = 1,2, ...,71), то (Зк > 0. Теорема 2. Если функции (рк(з)єС[0, /]ПС2(0, /),

<Ріс(О) = (РМ = ^(0) = = 0,-фк>к(х)єС [^2/с + І)т,(2/с + 1)т], ПЛ^'к,^' 1>к*+і(х)єС [(2к + 1)т, (2/с + принадлежат классу Гельдера внутри (^(2к + т, (2к + 1)т^,

^(2/с + 1)т, (2к + ^ т^ соответственно, то существует в области I) регулярное решение задачи £70 для уравнения (10).

Лемма 3. Если ¿о(х) Є С[0,2(п + 1)т] П С2(0,2(п + 1)т), я: Ф 2кт, у(х) Є С1(0,2(п + 1)т), х 2кт, то единственное решение и(х,у) Є Сф~) П С2(0~) задачи Коши для уравнения (10) в области удовлетворяющее условиям и(х, 0) = <у(х), 0 < х < 2(п + 1)т, иу (х, 0) = у(х), 0 < х < 2(п + 1)т, х Ф 2кт, представимо формулой

и~{х,у) = {ик(х,у), (х,у) ЕЮк (/с = 0,1,2, ...,п) },

в которой

Щ(х,у) = Ф(х,у)Я(х) +

х—тпт

+ ^7тЯ(х-тт) | л((.х-тт)2-г]2)т-1Ф(ї]>у)(іі1>(<х>у)ЕОк>

т=1 о

где

дс+у

Ф(*,у)=І[^х-у)+г"(х + у)]+І I

X -у

а г^О) = о)(х)Н(х) +

х—тт

+ ^Г (-1 )mymH{x - mx) J tj(x2 - (rj + шт)2)т_1(У (j])dr],

m=1 0

zv(x) совпадает с zü)(x), если заменить co(x) на v(pc); Утп ~ Г(т)22т_1)~1; причем Г(т) - Гамма-функция.

Лемма 4. Если ^ О) е С[0,1] П С2 (0,1), v(x) е С1(и^=о(2^т, 2(/с + 1)т)), причем v(x) может в точках х — 2кт, х = 2 (7с + 1)т обращаться в бесконечность порядка меньше единицы и удовлетворяет при 2кт < х < 2{к + 1)т, условию Гельдера, а <рк(0) = (рм{1), то существует регулярное решение и{х,у) задачи Неймана-Дирихле для уравнения (10), удовлетворяющее условиям и(х, у)\Рк = фк (s), 0 < s < I, иу(х,у)| = v(a:), 0 < х < 2(п + 1)т, л: Ф 2кт (к = 1,2, ...,п) в области D+

в форме и+ (х, у) = {ujO, у), (х, у) е (к = 0,1,2,..., п) },

и£(х,у) = иок(х,у) - U - 2т,г])Gk^,r};х,у)dr], (х,у) 6 D

2(к+\)т

где и0к(х,у) = ~— ¡v(t)Gk(t,0;x,y)dt +

2кт

1 ^ +Т" j" n(s)^rTGk^(s\j](s);x,y)ds, 2 ж Рк dN

— — 2

(х, у; х0, у0 ) = In M^L _ функция Грина,

г гг,

г2| г2

2\ = (х-х0)2+(у + уо)2, 4

П J

= (х - (2к + \)т - х0У + (у + у0)2,

т2 т2

хо = ~(хо - (2к + ШУо = —У^Р2к = (*о -(2к + 1)г)2 + Уо> Рк Рк

N - внутренняя нормаль границы.

Вопрос существования решения задачи £0 Геллерстедта для уравнения (10) в области й сведен к разрешимости полных сингулярных интегральных

уравнений с автоморфными ядрами, имеющих характеристическую часть вида

2(/с+1)т

здп(х - (2к + 1)т)у(х) + ^ I у(0 ^ +

2кг

2Л + 1-|

(2к + 1)(£ + х) - Ц- - 4кт(к + 1)

(и = рк(х),

2кт < х < 2(к + 1)т, л: (2к + 1)т (к = ОД, 2,..., п) ,

где Рк(х) — непрерывно дифференцируемая функция, принадлежащая классу Гельдера на (2кг, (2к + 1)г), ((2/с + 1)т, 2(к + 1)т). Регуляризация уравнений проводится методом аналитического продолжения в комплексную плоскость к краевой задаче Римана с индексом X = О, решение которых

1 1 у(Х) = -5дп(х - (2к + 1)т)рк(х) - —Бдп(х - (2к + 1)т) х I ¿л

2(к+1)т

"І ,

2/ст л

2кг)(2(к + 1)т — £)((2к + 1)т — л:)

(х- 2/ст) (2 (/с + 1)т — х)((2к + 1)т - ■0

1 2/с + 1-|

+ т

1~х (2к + 1)(і + х) -Ц-- 4кт(к + 1)

¡Зк(фдп(і - (2к + 1)т)йЬ,

2кт < х < 2(к + 1)т, х*(2к + 1)г.

Функция у(х~) принадлежит классу С1(2/ст, 2(к + 1)т), при х = 2/ст, х = 2(к + 1)т может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

§2. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дифференциально-разностным оператором в неограниченной области. В области й = и и /, где

+оо

= {(я:, у): х > 0,0 < у < к) = (0 < /і = соті) и

к=О

+0О

£> = и йк (рк = йк к и Ок к+1) — эллиптическая и гиперболическая

к=О

части области D, = {(x,y): кт < х < (к + 1)т, 0 < у < h), Dk,k = [Цх.уУ. кт-у<х<у + (Ь + Лт), < у < о},

Dk,k+1 = {(*,у): (Ь + кт) - у < х < у + {к + 1)т, - < у < oj (О < b < т), / = (О, у): 0 < х < +оо, у = 0}

рис.2

рассмотрим уравнение

L(u(x, у)) = (х, у) + sgnyuyy (х, у) = Ащ{х, у), (Ii)

где i4iit(x,y) = RlH(x)-^u(x,y) = Я(я: - т)их(х — т,y),Rxx - оператор

сдвига: RTxq(x) = q(x — т), 0 < т = const, #(f) —функция Хевисайда.

Регулярным решением в области D будем называть функцию и(х,у), непрерывную в области D, имеющую непрерывные производные до второго порядка (включительно) в области D\I, кроме, быть может, точек (кт, 0), (ft + кт, 0), в которых непрерывные производные их(х,у) и иу(х,у) в D могут иметь особенности порядка меньше 1.

Задача G^ Найти регулярное в области D решение уравнения (Ii), удовлетворяющее краевым условиям

и(х,у)l^o = 0, lim и(х,у) = 0,0 < у < h,

Х-*+оо

и(х>У)\у=кт-х = ^Pikix),кт < х < - + кт,

, ч, . , Л ft + (2к + 1)т "(^У)1у=х-(Л+1)т = kW,-2-~ Х ~ +

v-(x,y)\y=h = <p(x),x > O, условиям сопряжения

u(x, —0) = u(x, +0) = (ú{pc),x > 0, uy(x, —0) = uy(x, +0) = v(x),x > 0,x ^ кт, где (p(x),xpik(x),i¡J2k(pe) — заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем 1/>ю(0) = 0, ifrik (кт) = = 1,2,...),

(р( 0) = <р(+оо) = 0.

Пусть Dk = D¿ U Dk и Ik , где 1к = {(х,у): кт < х < (к + 1)т,у = 0].

Теорема 1. Если существует регулярное решение задачи для уравнения (lj) в области D, то при т < 1 оно единственно.

Теорема 2. Если функции (р(х) Е С[0, +оо) П С2(0, +оо),

<р(0) = р(+оо) = 0, i¡Jlk(х) е С Ь + (2к + 1)т

кт,— + кт

ПС2 (/ст,- + /ст),

ф2к(х) е С

, (к + 1)т

Ъ + (2к + 1)т

ПС I-S--,(fc + l)r

и хр'1к(х), гр'2к(х), " lk(x), ip" 2к(х) удовлетворяют условию Гельдера

внутри соответствующих промежутков, причем

lim max Ы1к(х)\ = 0 lim max М2к(х)\ = О,

[кг^+кг] к~*+°° p+C2fc+l)r(fc+1)Tj

то существует в области D регулярное решение задачи G1 для уравнения (Ii).

Доказательство теоремы единственности проводится с помощью энергетических неравенств.

Общее решение уравнения (lj)

и(х,у) = {щ(х,у), (х,у) Е Dk(к = 0,1,2,...)}, ик(х,у) = [дг(х - yyj-sgny) + д2(х + yj-sgny)]H(x) +

к х-гпт

V1 dm Г

+ 2_, J Шх-гпт)2 -т]2)171-1 х

тп=1 о

X [giOl - y^-sgny) + g2(ri+ y^-sgny)]