Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием

Алешин, Павел Сергеевич

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Алешин, Павел Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Орел МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием»

Автореферат диссертации на тему "Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА

факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Алешин Павел Сергеевич

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008 г

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений физико-математического факультета Орловского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Зарубин Александр Николаевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович

доктор физико-математических наук, доцент Псху Арсен Владимирович

Ведущая организация

Самарский государственный университет

Защита состоится "ЛЗ » 200 ^г в /3 час

ЗО мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 43 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-1, г Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория № 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан » «J^UXfanoO. 200<f i

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, ,

профессор ^^еА^") Е В Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Многие задачи трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, моделирования процессов излучения лазера, теории плазмы и другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обеим переменным, опережением и отражением вида

у) - 0%уи(х, г) + АН(у - Н)и(х -т,у- К)+ Л к

+71У Дг(О«(*.1/-£Ж + 01 / ШХ х-т, у-$)<%+

0 =

(1)

г h

+<5х J dtj R3(t, Ои(х - t,y - У > 0,

о о

ихх{х, у) - иуу(х, у) - ¡32Н(х - т)и(х - т, у)-—7гЯ(|ж| — т)и(х — rsgiix,y) — _ -62Н(-у ~ h)u(~x, у+ h), у < 0

В уравнении (1) t) - оператор дробного интегродифферен-

цирования (в смысле Римана-Пиувилля), 0 < г, k = const, Д, 7г, 6i, 6г = const, (г = 1,2), Н(£) - функция Хевисайда, С) ~ огра-

ниченные функции (г = 1,2), и(х, у) - неизвестная функция

Теория уравнений смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований Ф Трикоми Наряду с трудами Ф Трикоми, базу теории заложили работы С Геллерстедта и Ф И Франкля , поставившие и изучившие краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К И Бабенко, И Н Векуа, А В Бицадзе Их работы дали основополагающие результаты при решении задач трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака

В работах В Ф Волкодавова, Е И Моисеева, А М Нахушева, А П Солдатова, С П Пулькина, JI С Пулькиной, Т Ш Кальменова, В И Жегалова, О А Репина, К Б Сабитова, М М Смирнова, С М Пономарева и других математиков теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях

Самостоятельный интерес представляют процессы, будущее развитие которых зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи дифференциальных уравнений смешанного типа с отклонениями различных видов, называемыми также уравнениями с отклоняющимся аргументом или функционально-дифференциальными уравнениями, к которым относится рассматриваемое в диссертации уравнение (1)

Основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, внесли Н В Азбелев, Н Н Красовский, А Д Мышкис, С Б Норкин, Л Б Эльегольц, Э Пинни, R Bellman, К L Cooke, J К Hale, К Gopalsamy, Y Kuang, J Wu и многие другие математики

Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений исследовали А А Андреев, А Б Антоневич, И М Гуль, А Б Мурав-ник, А Б Нерсесян, А В Разгулин, А Л Скубачевский

Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А Н Зарубина

В работах А А Андреева и его учеников исследовались краевые задачи для уравнений смешанного типа с инволютивным (карлеманов-ским) отклонением

В настоящее время внимание исследователей обращено к развитию методов решения краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка, которые, являясь обобщением уравнений целочисленного порядка, помимо огромного теоретического значения имеют довольно широкое практическое применение

В работах А Н Кочубея было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной

Применение уравнений фрактальной диффузии к теории электролитов и в описании автоколебательных процессов исследовалось Я Л Ко-белевым

В монографии А М Нахушева были рассмотрены свойства операторов дробного интегро-дифференцирования и их применение к задачам математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой Им же в 1972 г был впервые получен принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1

Теория применения преобразования Лапласа для решения уравнений с дробной производной была развита словацким математиком I Рос11иЬпу Им же была дана физическая интерпретация начальных условий для уравнений с дробной производной

В монографии А В Псху рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка

В работах С X Геккиевой исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области, доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях

О А Репиным рассматривались задачи для уравнений смешанного типа с дробными производными и интегралами в начальных условиях Полученные результаты находят приложения в моделировании процессов автоматического регулирования, в механике, различных технологических процессах, теории вязкоупругости, биологии, медицине, химии, математической психологии и в других отраслях знаний

Тем не менее, следует отметить, что, несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению жаж уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и отклоняющимся аргументом находится в начале своего развития

Наиболее близкими в этом направлении являются работы А Н Зарубина и Е А Зарубина, где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и сосредоточенным запаздыванием

Центральным моментом настоящей работы является рассмотрение ранее не исследовавшихся уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов опережающе-запаздываюгцего вида

лировании процессов экономики, математематической биологии, нелинейной оптики, подтверждает актуальность темы диссертации

Цель работы - исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав Общая методика исследования. В работе используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, аппарат специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования метод вспомогательных функций (метод "abc"), метод Фурье разделения переменных

Научная новизна Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения нелокальных задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, а также впервые рассмотренного в данной работе уравнения с отражением по пространственной и опережением по временной переменным

Основные результаты, выносимые на защиту.

1 Решение начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в неограниченных областях Доказательство теорем существования и единственности решения

2 Доказательство теорем существования и единственности решения аналога задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной в неограниченной области

3 Решение аналога задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием, опережающе-запаздывающими аргументами и отражением Доказательство теорем существования и единственности

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др

Апробация работы

Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на

- ежегодных Всероссийских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (2006-2007гг ) СамГТУ, г Самара

- второй Всероссийской конференции " СамДифф' (2007г ) СГУ, г Самара

- научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2007 гг Орел, ОГУ (руководитель д ф-м н , профессор Зарубин АН)

- Третьей международной конференции "Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (2006 г), г Нальчик

- Двенадцатой международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis" (2007 г ), Литва, Тракай

- Международной конференции "Дифференциальные зфазнепия, теория функций и приложения" (2007 г ) НГУ, г Новосибирск

По материалам диссертации опубликовано 10 научных статей и тезисов докладов [X]—[Ю]

Содержание диссертации по главам.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка

В первой главе исследуются начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения (1) при у > 0 (/?j = 0, 71 = 1, вг = 0,

¿1 = 0)

D%yu{x, t) - uxx(x, y) = J Д(0«(*. V ~ (2)

+oo

В § 1 в области D = (J Z^, fc=0

Dk = {(ж, y) 0 < x < T,kh < у < (k+ 1 )h},

где (О < к,т = const), рассматривается

Задача 1 1 Найти в области D решение и(х, у) уравнения (2) из класса Dq~1v(x t) € C{D), D^yU{x,t), uxx(x,y) € C(D), удовлетворяющее начально-краевым условиям

hm^Dg^^x, t) = ш(х), 0 < х < т,

u(x,y) = 0, (x,y) €

u(0, у) = и(т, y)= 0, 0 < у < +oo,

где ш(х) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем о>(0) = ш(т) — О Доказаны

_ Ч-со

Теорема i 1 Однородная задача 1 1 имеет в области D = (J Dk

к—О

тривиальное решение

Теорема 1 2 Пусть функция R(y) - ограничена для всех у > 0, а функция Lu(x) имеет непрерывную производную первого порядка и кусочно-непрерывную производную второго порядка, выполнены условия согласования си(0) = cj(t) = 0

Тогда существует регулярное решение задачи 1 1 , определяемое равенством

и{х, у) = J u(t)G(x, y)d£, (х, у) е D,

где

G(x, у) = - дп(у) sin Хпх sin -

IXTt

фундаментальное решение задачи 1 1 , Хп = —. а 6п(у) представимо

выражением

$п{у) = 9п(у) + J 9п{у ~ t)fn{t)dt,

где

fn(y) = H(y-h) J R(y-05rti)di,

y—h

Н(0 ~ функция Хевисайда,

^ }

9п(у) = 1оп{у) + ¿2 JmnitfRmiy ~ t)dt, m—l о

Г R1(y-t) = R(y-t),

\Rm{y-t)=jRm-1{y-s)R1{s-t)ds (m - 2,3, ),

причем

(fc = 0,1,2, ),

E^ pit) - обобщенная функция Миттпаг-Леффлера В § 2 рассматривается задача Копта

Задача 1.2 Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (2) в об-

+QO

ласти D = (J D fc=о

Dk = {(ж, ?/) |ж| < +оо, kh<y <{k + l)h} (0 < h = const), удовлетворяющее начальным условиям

bm+D"i) = ш(х), Jrr] < +оо,

u(x,j/) = 0, (x,y)eD{-1);

где - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем ш(± оо) = О

Регулярным решением является класс задачи i 1 Доказана

Теорема 1 3 Пусть функция ш(х) непрерывна, абсолютно интегрируема на (—оо, +оо) и ш(±оо) = 0, R(y) - ограничена

Тогда задача 1 2 имеет единственное регулярное решение и(х,у), стремящееся к нулю при х2 + у2 —> +оо (|х| < +оо, у > 0) Решение имеет вид

-поо

и(х,у) = J u)(QG{x,£,y)d£,

где

+СО

—оо

фундаментальное решение задачи 1 2 , а <5(А, у) определяется равенством

5(\У) = 9(А, у)+1 а(А, у - 0/(А, (3)

когда

f(X,y) = H(y-h) J R(y-m\0dL

y-h +СО У

771=1

причем

Ri{y-t)=R(y-t),

Rm{y-t) = lRm_1(y-s)R1(s-t)ds (m = 2, 3, ), t

h(A, 2/) = ^-^SwjHV) (A = 0,1, 2, ),

- обобщенная функция типа Миттаг-Леффлера

-f-co

В § 3 в области D = (J Dfe, где fc=о

= {(ж, х > 0, kh < у < (k + l)h} (0 < ft ее const) рассматривается

Задача 1.3. Найти в области П решение и(х,у) уравнения (2) из класса функций 6 ихх(х,у) € С(О),

удовлетворяющее граничному

и{0,у) = 0, у> О

и начальным условиям

Ьт ^«(я, *) = а; > О,

гс?е (¿»(г) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем и>(0) - и(+оо) = О

Решение задачи 1 3 найдено в форме

+оо

и(х

где

С71(х,^,у) = 0(х,£,у) - в(х,

+оо

—оо

фундаментальное решение задачи 12 из §2, в котором ¿(Л, г/) определяется равенством (3)

Глава II посвящена задачам для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием

В §4 для уравнения (1) (/?! = 0, 71 = 1, вг = 0, <5д. = 0, /32 = 0, 72 = 0, ¿2=0)

0 =

у) - £>£уиО, t) + JR(£)u(x, у - у > 0 ф

, ихх(х,у) У), У<0,

+оо

в области D = D+ (J D~ |J J, где D+ = \J D£,

k=0

Dt = {(^ у) 0 < X < t, kh <y < {k + l)/i} (0 < h, t = const),

3 — {(х,у) 0 < х < т, у = 0}, - область, ограниченная характеристиками х + у — 0, х — у = т (у < 0) и отрезком [0, т] прямой у — 0, исследуется

Задача 2 1. Найти решение и(х,у) уравнения (4) в области И, удовлетворяющее граничным и начальному условиям

и{0, у) = и(г, у) = 0, 0 < у < +оо, •и(ж, —х) = ф(х), 0 < х < т/2,

1{X'Vj \и(х,у), (x,y)eD~,

условиям сопряжения

lim i) = lim u(x,y) = w(a;), 0 < x <т,

у—>o+ " y~*0-

lim г/1 ~aDZu(x, t) = lim uy(x,y) = г/(ж), 0 < x < r,

где ^(ж) - заданная, достаточно гладкая функция, причем ф(0) = О Доказана

Теорема 2 1 Пусть функция ф(х) € С[0, т] fj С2(0, г), R(y) - огра-ничека и ф(0) — 0 Тогда задача 2 1 имеет единственное решение, такое, что D%yXu{x,t) € C(D*~), y^D^uix^) 6 C(D+ (J J), u{x,y) € C(D'),uxx{x,y) 6 C(D+\JD~), uyy(x,y) e C(D")

Вопрос существования решения задачи 2 1 сводится к разрешимости уравнения

ш"(х) - Ца)ш'(х) = -Т{а)ф'(х/2), 0 <х<т,

при условии, что

w(0) = w(r) = 0 В § 5 в области D = D+ (J D~ (J J, где

-f-oo

D+ = \J £>+, = {(г, у) < +оо, lh < у < (I + 1 )h} ,

1=0 +оо

D- = (J Dfc, D^ = {(x, у) кт - у < x < (к + 1)т + у, -г/2 < у < 0} ,

к=0

J = {(жд/) 0 < х < +оо, у = 0}, (0 < h,r = const), рассматривается уравнение (1) (ft = 0, = 1, 0! = 0, й = 0, ft = 1, 72 = 0, 52 = 0 )

Q i ^(-Е, у) - Щуи{х, t) + j R(Ou(x, у - у > 0, ^

„ ихх(х, у) - иуу(X, у) - Н{х - т)и{х -т,у), у < О,

для которого ставится

Задача 2.2 Найти регулярное решение и(х,у) уравнения (5) в области Б, удовлетворяющее начальным и граничным условиям

Ът0^1и(х^) = Цх), ж < О,

з/->о+

и(х, кт — х) — фк{х), кт < х < (2к + 1)т/2, условиям сопряжения

кт В^и^х,^) — Ьш и(х,у) = и>(х), х е J, у_>о+ у у—>о-

Ию^ у1~аП£уи(х, €) = Ит иу(х,у) = г/(ж), ж е </,

где /(ж), ^/¿(я) ~ заданные непрерывные, достаточно гладкие функции Здесь и далее под регулярным решением понимается класс, указанный в теореме 2 1 Доказана

Теорема 2.2. Пусть функция /(ж) 6 С2(—оо,0) и абсолютно интегрируема на (—оо,0) вместе со своими производными, Н(у) ~ ограничена, фк(х) е С [кт, (2к + 1)т/2] П С2 (кт, (2к + 1)т/2) и /(-оо) = О, /(0) = фо(0), 1пп тах Шх) [=0

Тогда существует единственное регулярное решение задачи 2 2 в области В

В §6 для уравнения

0 = 4 ихх(х> У) ~~ ^>ауи(х1

ихх(х, у) - иуу(х, у) - Н(х - т)и(х - г, у), у < 0, в области О — £>+ и и J, где

+оо 1=0

4- оо

П- = иП^,Пь={(х,у) кт-у<х<(к+1)т^у, —т/2 < у < 0} , к=. 0

J={(x,y) x > 0,у = 0}

(0 < h,r = const), поставлена

Задача 2.3 Найти решение и(х,у) уравнения (6) в области D удовлетворяющее граничным и начальному условиям

/0' (x^zd^XD-,

и{Х'У> \и(х,у), (x,y)eD-,

40,2/) = 0, у > 0, и(х, кг — х) = фк(х), кт < х < 2(к + 1)т/2, условиям сопряжения

liir= lim и(х,у) = w(x), хб J, lim y1~aDZlu(x,t) — lim uv{x,y) = z/(x), а; € J,

у->0 f " у—>0-

8(?е фк{х) заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем

фо(0) = 0, lim max \ibk(x)\ = 0

4 J k^+oo хфт,{2к+1)т/2]

Доказана

Теорема 2 3 Лусть ibk{x) G C[fcr, (2/s + l)r/2] ПС2(Ь", (2fc + l)r/2) функция R(y) - ограничена и i/>o(0) = 0, lim max \фк(х)\ — О

k—t+oo a:€[fcr,{2fc+l)r/2]

Тогда задача 2 3 имеет единственное решение такое, что D^u{x,t) 6 C(D+), yl-aD%yu{x,t) е C{D+l)J), и(х,у) € C(D~), Uxx(x,y) € C(D+\JD~), иуу(х,у) е G(D~)

В главе III исследуются аналоги задач Геллерстедта для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной по времени, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением

+оо

В §7, в области D = D+ (J D" (J J, где D+ = U

г=о

Df = {(х, у) \x\<+oo,lh<y<(l-rl)h},

Ч-оо +оо

= Di = U = U Dü>

к=О к=О

Dik = (О, у) кт — у <x <{k + 1)т + у, -т/2 < у < 0} ,

Щк = (0> У) ~(к+1)т~у <х < -кт + у, -- г/2 < у < 0} ,

J = {(x,y) \х\ < +оо,у = 0}

(0 < h, т = const), рассматривается уравнение смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием при у > 0 и отклонением опережающе-запаздываюгцего типа при у < 0 (1) (А = 0, 7i = 0, вх = 1, 5Х = 0, р2 = 0 , 72 = 1, ¿2 = 0 )

0 =

!Ь

у) ~ D%yu(x, t) + J R(€)u(x — т,у — у > 0, ^

„ UxX{x, у) - Uyy(x, у) - H(\x\ - т)и(х - TSgnx у), у < О

для которого поставлена

Задача 3.1. Найти регулярное решение и(х, у) уравнения (7) в области £>, удовлетворяющее начальному и граничным, условиям

и(Х'У) \и(х,у), (х,у)€П~,

и(х,кт -х) =ф1к(х), кт < х < (2к + 1)г/2 (А; = 0,1,2, ), и(х,х + кт) = ф2к(х), -{2к + 1)т/2 < х < -кг (к = 0,1,2, ), условиям сопряжения

Ит = Ьт и(х,у) = ш(х), х е 3,

к—о+ у у—» о—

Ит у1~~аВпг1и(х^) = Ьт иу(х, у) = г/(х), х е 3 м у—>о~

Ргде "фгк(х) (г = 1,2, к = 0,1,2 ) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции фю(0) = ^2о(0) Доказана

/ Теорема 3.1. Пусть Л(у) - ограниченная функция, фис(х) € € С [кт, (2А;+1)т/2] С2(кт, (2к+1)т/2), ф2к(х) € С [—(2к+1)т/2, —кт] р| п С2 (-(2Ь+1)т/2, -кт), (к = 0,1,2, 1Ш1 шах \ф1к(х)| = 0,

к->+оо х€[кт,(2к г1)г/2]

Ит тах ]ф2к(х)\ = 0 и ф2О(0) — фю(0)

к-*+оохе[-(2к+1)т/2,-кт]

Тогда существует единственное регулярное решение задачи 3 1 в области I)

В §8 в области D = D+ U D~ (J J, где D+ = +\J Df,

1=0

\x\ < +00, lh<y <(l + l)h}, D~ = [J-Dj >

Di=i(x,y) x > 0, у >-x} , D2 = {(x,y) x<0,y>x},

J = {(x,y) |ж| < +00,2/ = 0} , (0 < h,r = const) для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обеим переменным, опережением и отражением

(1) (А = 1,71 = 0,0! = 0, <5i = 1, /32 = 0 , 72 = 0, <52 = 1)

ихх(х, у) - D%yU(x, t) + ff (у - h)u(x -Т,у- h)+

т h

+ J dt J R(t, Ou(x -t,y- fy > 0, (8)

о 0

_ у) - у) - #(-г/ - h)u(-x, у + h) у < О

поставлена

Задача 3 4 Найтпи регулярное решение и(х,у) уравнения (8) в области D, удовлетворяющее начальному и граничным условиям

4x'v) \и(х,у), (x,y)€D-, и(х, — х) = ф\[х), х > О, и(х,х) —1p2{x), X < 0,

условиям сопряжения

lim DQ~lu(x,t) — lim и(х,у) — uj(x), х € J, у-»оч- " »—»o—

lim у1-0^ u(x, t) = hm uy(x,y) = v(x), x € J

* y->0-

гдефг(х) (г = 1,2) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции

Доказана.

Теорема 3 2. Пусть R(x,y) - ограниченая функция, фг(х) е С {(- 1У+1х > 0} П С2 {(—1)г+1ж > 0} (г = 1,2) и ^(0) = ^2(0)г М-1),+1с»)=0 (г = 1,2)

Тогда существует единственное регулярное решение задачи 3 4 & области D

Пользуясь случаем автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю - Александру Николаевичу Зарубину за постановку задач и постоянное внимание к работе

Работы автора по теме диссертации:

1 Алешин П С, Зарубин А Н Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестник науки - Орел ОГУ, В 3, 2004 - с 16-19

2 Алешин П С О единственности решения краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием // Вестник науки - Орел ОГУ, В 4, 2004 - с 15-18

3 Алешин П С Задача Коши для нелокального, дифферециально-разностного уравнения с дробной производной и распределенным запаздыванием // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики Материалы Третьей международной конференции Нальчик 2006 С 24-25

4 Алешин П С, Зарубин А Н Начально-краевая задача для уравнения фрактальной диффузии с распределенным запаздыванием // Материалы конференции " СамДифф" Самара 2007 С 5-8

5 Алешин ПС О единственности решения задачи Коши для дифферециально-разностного уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием // Математическое моделирование и краевые задачи Труды Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием - Самара СамГТУ, 2007 - С 19-22

6 Алешин П С Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной по пространственной координате// Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" Новосибирск НГУ 2007 С 55-56

7 Алешин П С Начально-краевая задача для нелокального, дифферециально-разностного уравнения с дробной производной // Математическое моделирование и краевые задачи Труды Третьей Всероссийской научной конференции - Самара СамГТУ, Ч 3 2006 - С 19-22

8 Алешин П С Краевая задача для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием // Международная конференция, посвященная памяти И Г Петровского Тезисы докладов М Изд-во МГУ, 2007 - С 15

9 Alyoshm Р A Trikomi Problem for a Mixed Type Equation, with Fractional Derivetive and Distributed Lag // Mathematical Modelling and Analysis Abstracts of the 12th international Conference MMA2007 Trakai 2007 P 18

10 Алешин П С, Зарубин А Н Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения диффузии с дробной производной и рапределенным запаздыванием// Дифференциальные уравнения Т 43, 10, 2007 - С 1363-1368

Издатель Александр Воробьев

Лицензия ИД № 00283 от 1 октября 1999 г, выдана Министерством Российской Федерации по печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций

Подписано в печать 07 03 2008 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Уел п л 1,25 Тираж 100 шт Заказ № 463

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Алешин, Павел Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения диффузии с распределенным запаздыванием и дробной производной

§ 1. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием.

1.1. Постановка задачи. Единственность решения.

1.2. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с распределенным запаздыванием.

1.3. Существование решения задачи 1.1.

§ 2. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения переноса с дробной производной по времени и распределенным запаздыванием.

§ 3. Начально-краевая задача для уравнения переноса с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени на полуоси.

Глава II. Начально-краевые нелокальные задачи для диффузионно-волнового уравнения с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием

§ 4. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным запаздыванием и вырождением на отрезке.

§ 5. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием и вырожднием на прямой.

5.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием и функциональное соотношение.

5.2. Задача Коши для волнового уравнения с сосредоточенным запаздыванием и функциональное соотношение.

5.3. Существование и единственность решения задачи 2.2.

§ 6. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием и вырождением на полупрямой.

Глава III. Аналоги нелокальных начально-краевых задач Геллерстедта для диффузионно-волновых уравнений дробного порядка по времени с распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов.

§ 7. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной.

7.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием. Функциональное соотношение.

7.2. Задача Коши для волнового уравнения с сосредоточенным отклонением аргумента опережающе-запаздывающего типа. Функциональное соотношение.

7.3. Существование и единственность решения задачи 3.1.

§ 8. Аналог задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием, опережающе-запаздывающими аргументами и отражением.

8.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием по временной и пространственной переменным. Функциональное соотношение.

8.2. Задача Коши для волнового уравнения с опережающим аргументом и отражением.

8.3. Существование и единственность решения задачи 3.4.

Введение диссертация по математике, на тему "Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием"

Актуальность темы.

Многие задачи трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, моделирования процессов излучения лазера, теории плазмы и другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обеим переменным, опережением и отражением вида ихх(х, у) - D%yu(x, t) + (ЗгН(у - h)u(x -т,у- h)+

0 =

0.1) п II о о т h

5i J dt J R3(t,0u{x-t,y-£)d£, y> 0; о 0

Uxx(x, y) - Uyy(x, y) - (32H(x - t)u(x - T, y)rf2H(\x\ — r)u(x — Tsgnx:y) — -62H(-y - h)u(-x,y + h), y< 0.

В уравнении (0.1) DQyu(x,t) - оператор дробного интегродиффе-ренцирования (в смысле Римана-Лиувилля), 0 < т, h = const, Д, у 0i, Si = const, (г = 1,2), Н(£) - функция Хевисайда, Ri(t), ограниченные функции (г = 1, 2), и(х,у) - неизвестная функция.

Теория уравнений смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований Ф. Трикоми [103]. Наряду с трудами Ф. Три-коми, базу теории заложили работы С. Геллерстедта [119] и Ф. И. Франкля [104], поставившие и изучившие краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К.И. Бабенко [17], И. Н. Векуа [24], А. В. Бицадзе [21]. Их работы дали основополагающие результаты

- 6 при решении задач трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

В работах В.Ф. Волкодавова [26], В.М. Жегалова [35]—[ЗТ], Т.Ш. Кальменова [52], Е.И. Моисеева [59]—[61], A.M. Нахушева [68], С.М. Пономарева [74]—[75] С.П. Пулькина [79]—[81], Л.С. Пулькиной [82]—[83], О.А. Репина [86]—[89], К.Б. Сабитова [90], М.М. Смирнова [96]-[98], А.П. Солдатова [99]-[100], и других математиков теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

Самостоятельный интерес представляют процессы, будущее развитие которых зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи дифференциальных уравнений смешанного типа с отклонениями различных видов, называемыми также уравнениями с отклоняющимся аргументом или функционально-дифференциальными уравнениями, к которым относится рассматриваемое в диссертации уравнение (0.1).

Основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, внесли Н. В. Азбелев [1], Н. Н. Красовский [55], А. Д. Мышкис [65]— [66], С. Б. Норкин [71], Л. Е. Эльсгольц [106]—[107], Э. Пинни [73], R. Bellman, К. L. Cooke [20], J. К. Hale [105], [115], К. Gopalsamy [113], Y. Kuang [118], J. Wu [129] и многие другие математики.

Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений исследовали А.А. Андреев [12]—[14], А.Б. Антоневич [15], И.М. Гуль [32], А. Б. Муравник [62]—[64], А.Б. Нерсесян [70], А.В. Разгулин [84], А. Л. Скубачевский [23], [94]—[95].

Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных урав

- 7 нений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А.Н. Зарубина [38]—[48]. Так, в монографии [47] изучаются краевые задачи для уравнений имеющих некарлемановский сдвиг аргумента. В статье [44] исследуется краевая задача для уравнения с распределенным запаздыванием, описывающего вероятностные и кумулятивные эффекты в модели, которая в противном случае была бы детерминированной.

В работах А. А. Андреева [12]—[14] и его учеников [72], [92]—[93] исследовались краевые задачи для уравнений смешанного типа с ин-волютивным (карлемановским) отклонением.

В работах А.Н. Кочубея [56]—[57] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной.

Применение уравнений фрактальной диффузии к теории электролитов и в описании автоколебательных процессов исследовалось Я. JI. Ко-белевым [53]—[54].

В монографии A.M. Нахушева [67] были рассмотрены свойства операторов дробного интегро-дифференцирования и их применение к задачам математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Им же в 1972 г. был впервые получен принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1.

Теория применения преобразования Лапласа для решения урав

- 8 нений с дробной производной была развита словацким математиком I. Podlubny [123]. Им же в работе [124] была дана физическая интерпретация начальных условий для уравнений с дробной производной.

В монографии А.В. Псху [78] рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка.

В работах С.Х. Геккиевой [27]—[29] исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии [28]—[29] в одной из частей смешанной области, доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях.

О. А. Репиным [86]—[89] рассматривались задачи для уравнений смешанного типа с дробными производными и интегралами в начальных условиях.

Полученные результаты находят приложения в моделировании процессов автоматического регулирования [125], в механике [120], различных технологических процессах [108], теории вязкоупругости [110], [128], биологии [69], [31], [109], [129], медицине [127], химии [122], математической психологии [111], [112] и в других отраслях знаний.

Тем не менее, следует отметить, что, несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и от

- 9 клоняющимся аргументом находится в начале своего развития.

Наиболее близкими в этом направлении являются работы А. Н. Зарубина [45]—[46] и Е. А. Зарубина [49]—[51], где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и сосредоточенным запаздыванием.

Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обоим аргументам, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением, а также важные прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики [121], математематической биологии [31], [109], нелинейной оптики [85], подтверждает актуальность темы диссертации.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, аппарат специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод "абс"), метод Фурье разделения переменных.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения нелокальных задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, а также впервые рассмотренного в данной работе уравнения с отражением по пространственной и опережением по временной переменным.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Решение начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в неограниченных областях. Доказательство теорем существования и единственности решения.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения аналога задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной в неограниченной области.

3. Решение аналога задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием, опережающе-запаздывающими аргументами и отражением. Доказательство теорем существования и единственности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.

Апробация работы

Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на:

- ежегодных Всероссийских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (2006-2007гг.) СамГТУ, г. Самара.

- второй Всероссийской конференции "СамДифф" (2007г.) СГУ, г. Самара.

- научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2007 гг. Орел, ОГУ. (руководитель д. ф-м. н., профессор Зарубин А. Н.)

- Третьей международной конференции "Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (2006 г.), г. Нальчик.

- Двенадцатой международной конференции "Mathematical Modelling and Analysis" (2007 г.), Литва, Тракай.

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (2007 г.) НГУ, г. Новосибирск.

По материалам диссертации опубликовано 10 научных статей и тезисов докладов [2]-[11].

Содержание диссертации по главам.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Алешин, Павел Сергеевич, Орел

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина J1. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991

2. Алешин П. С., Зарубин А. Н. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестник науки.- Орел: ОГУ, В. 3, 2004. с. 16-19.

3. Алешин П. С. О единственности решения краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием / / Вестник науки.- Орел: ОГУ, В. 4, 2004. с. 15-18.

4. Алешин П. С., Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения фрактальной диффузии с распределенным запаздыванием // Материалы конференции "СамДифф". Самара. 2007. С. 5-8

5. Алешин П. С. Начально-краевая задача для нелокального, дифферециально-разностного уравнения с дробной производной // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, Ч.З. 2006. - С. 19-22.

6. Алешин П. С. Краевая задача для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием // Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского: Тезисы докладов. М.:Изд-во МГУ, 2007. С. 15.

7. Alyoshin P. A Trikomi Problem for a Mixed Type Equation with Fractional Derivetive and Distributed Lag // Mathematical Modelling and Analysis. Abstracts of the 12th international Conference MMA2007. Trakai. 2007 P. 18.

8. Алешин П. С., Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения диффузии с дробной производной и рапределенным запаздыванием// Дифференциальные уравнения. Т.43, 10, 2007. С. 1363-1368.- 127

9. Андреев А.А, Саушкин И.Н. Видоизмененная задача Гурса для телеграфного уравнения с инволютивным сдвигом. // Труды международной конференции "Математическое моделирование и информатика в современном управлении экономикой". Самара.- 2001. С. 202-204.

10. Андреев А.А, Саушкин И.Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области.// Вестник Самарского технического университета. Серия Физ.-мат. науки. Вып. 34. 2005. С. 10-16.

11. Антоневич А.Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе. // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, № 2. - С. 309317.

12. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. - 695 с.

13. Бабенко К.И. О задаче Трикоми. j j Докл. АН СССР. 1986. -Т. 291, № 1.- С. 14-19.

14. Байков В. А., Жибер А. В. Уравнения математической физики. -Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.- 256 с.- 128

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969, т. 1. - 343 с.

16. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

17. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

18. Боголюбов А. Н. , Кравцов В. В. Задачи по математической физике. Уравнения математической физики. М.: Издательство МГУ, 1998. - 350 с.

19. Вальтер Х.-О., Скубачевский A.JI. О гиперболичности решений с иррациональными периодами некоторых функционально-дифференциальных уравнений. //Докл. РАН. 2005.- т.402, N.2.- с.151-154. Библиогр.:9.

20. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959. 628 с.

21. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

22. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук.- Казань, 1969. 10 с.

23. Геккиева С. X Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени. // Доклады Адыгской- 129 Черкесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1, 1. С. 17-18.

24. Геккиева С. X Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2001. 2 (7). С. 78-80.

25. Геккиева С. X Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области. // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. 1 (8). С. 6-8.

26. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, суммм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971 - 1108 с.

27. Гурли С. А., Coy Дж. В. -X., В У Дж. X. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 84-120

28. Гуль И.М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами. // Успехи математических наук. 1955. - Т. 10, № 2 (64). -С. 153-156.

29. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 544 с.

30. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.- 130

31. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках. // Уч. зап. Казанского ун-та. 1962. - Т. 122, кн. 3. - С. 3-16.

32. Жегалов В.И. Задача с несколькимим смещениями для уравнения смешанно составного типа.// Известия ВУЗов. Математика. 1982. 10. С. 15-18

33. Жегалов В.И. Исследования краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989.

34. Зарубин А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения. -1996. Т. 32, № 3. - С. 350-356.

35. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения.- 1998. Т. 34, № 1. - С. 121-127.

36. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. - 225 с.

37. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. // Дифференц. уравнения.- 1998. Т. 34, № 1. - С. 88-94.- 131

38. Зарубин А.Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, № 8. - С. 1135-1136.

39. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с распределенным запаздыванием. // Дифференц. уравнения. -2000. Т. 36, № 10. - С. 13531356.

40. Зарубин А.Н. Задача для уравнения фрактальной диффузии с запаздывающим аргументом // Вестник науки. Орел: ОГУ, В. 4, 2005. - с.73-79.

41. Зарубин А.Н., Зарубин Е. А. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной// Материалы международной конференции. Орел: ОГУ, 2006.

42. Зарубин А. Н. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с запаздывающим аргументом. Орел: ОГУ, 1999. - 225 с.

43. Зарубин Е. А. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени // Вестник науки. Орел: ОГУ, В. 4, 2005. - с.73-79.- 132

44. Зарубин Е. А. О единственности задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения-XV". Воронеж, 2004. С. 93-94.

45. Калъменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов. Автореферат дис. . доктора физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1982.

46. Кобелев Л.Я., Кобелева О.Л., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л. О диффузии через фрактальную поверхность / / Доклады Академии наук, 1997, Т.355, 3, С.326-327.

47. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // Доклады Академии наук, 1999, Т.369, 3, С.332-333.

48. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. M.-JL: Физматгиз, 1959.

49. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, 4. С. 660-670.- 133

50. Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, 6. С. 1359-1368.

51. Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. Минск: Наука и техника, 1978. - 310 с.

52. Моисеев Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1979.

53. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

54. Моисеев Е.И., Зарубин А.Н. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом. // Дифферент уравнения. -2001. Т. 37, № 9. - С. 1212-1215.

55. Муравник А.Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Ма-тем. заметки, 2003, том 74, вып. 4, С. 538-548.

56. Муравник А.Б. О единственности решения задачи Коши для некоторых дифференциально-разностных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, 10. С. 1385-1389.

57. Муравник А.Б. О задаче Коши для некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами. //Докл. РАН. 2005. т.402, .3. с.308-310.

58. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Гостехиздат, 1951. 254 с.- 134

59. Мышкис А. Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. // Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

60. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физ-матгиз, 2003. - 272 с.

61. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, 1. - С. 44-59.

62. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995 301 с.

63. Нерсесян А.Б. О задаче Коши для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. // Материалы II Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Черновцы, 1968. - с. 116-117.

64. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 356 с.

65. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Иностранная литература, 1961. 248 с.- 135

66. Пономарев С.М. О задаче Трикоми для системы уравнений смешанного типа на плоскости, j j Докл. АН СССР. 1978. - Т. 242, № 6. - С. 1256-1257.

67. Пономарев С.М. О единственности решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа на плоскости. // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 1. - С. 183-184.

68. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752 с.

69. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. - 800 с.

70. Псху А.В. Уранения в дробных производных. М.: Наука, 2005. -199 с.

71. Пулъкин С.П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 118, № 1.- С. 38-41.

72. Пулъкин С. П. К вопросу о решении задачи Трикоми для уравнения типа Чаплыгина. // Изв. вузов. Математика. 1958. - № 2 (3). - С. 219-226.

73. Пулъкин С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта. // Изв. вузов. Математика. 1960. - № 6 (19).- С. 214-225.

74. Пулъкина JI.C. О разрешимости внелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения / / Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, 2. С.279-280.- 136

75. Пулъкина JI. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, 7. С.887-892.

76. Разгулин А. В. О параболических функционально-дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов // Доклады РАН. 2005. Т. 403. 4 С. 448-451.

77. Разгулин А. В. Задача оптимизации двумерного преобразования аргументов в параболическом функционально-дифференциальном уравнении нелинейной оптики // Международная конференция "Тихонов и современная математика". М.:МГУ. 2006. С.155-156

78. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. 6. С. 799-805.

79. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения сме- шанного типа с дробной производной. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. 5. С. 638-644.

80. Килбас А.А., Репин О.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с дробной производной. // Тезисы докладов Меж. конф. "AMADE-2003". 2003. Минск. С. 88-89.

81. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1991.

82. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.- 688 с.

83. Саушкин И.Н. Об одной краевой задаче для уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области.// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2005. С. 199-204.

84. Скубачевский А.Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах. // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 9. - С. 1590-1599.

85. Скубачевский A.JI. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. // Матем. сборник. 1986. - Т. 129 (171), № 2. - С. 279-302.

86. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

87. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. -296 с.- 138

88. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

89. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи А.В. Би-цадзе. // Дифференц. уравнения. 1972. - Т. 8, № 1. - С. 143-146.

90. Солдатов А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением. // Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10, № 1. -С. 143-152.

91. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988. - 816 с.

92. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972 - 735 с.

93. Трико ми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф.И. Франкля). М.-JL: Гостехиздат, 1947. 192 с.

94. Франклъ Ф.И. К теории сопел Лаваля. // Изв. АН СССР. -Сер. матем. 1945. - Т. 9, № 5. - С. 387-422.

95. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984

96. Элъсголъц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

97. Элъсголъц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955. 300 с.- 139

98. Bagley R.L. On the fractional order initial value problem and its engineering applications, in: Fractional Calculus and Its Applications (Ed. K. Nishimoto), Tokyo, College of Engineering, Nihon University, 1990, pp. 12-20.

99. Cushing J. M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Heidelberg:Springer-Verlag, 1977

100. L. Debnath Recent Applications of Fractional Calculus to Science and Engeneering // Differential Equations and Nonlinear Mechanics, N.Y. Hindawi Press no. 54 (2003) P. 3413-3442.

101. Glass L., Mackey M. C. Oscillations and chaos in physiological control systems// Science. 1977. -197. - P. 287-289

102. Glass L., Mackey M. C. Pathological conditions resulting from instabilities in physiological control systems // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1979. - 316. - P. 214-235

103. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht: Kluwer, 1992.

104. Gorenflo R. Fractional Calculus: Some Numerical Methods // A. Carpinteri and F. Mainardi (Editors): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer Verlag, Wien and New York 1997, pp. 277-290.

105. Hale J.K., Lunel S.M. V. Introduction to functional differential equations, Springer Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1993.

106. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam - Tokyo: Elsevier, 2006. - 523 p.- 140

107. Krall A.M. The Development of General Differential Operator and General Differential Boundary Systems. // Rocky Mountain J. Math. 1975. - V. 5, № 4. - P. 493-512.

108. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics// In: Mathematics in science and engineering. New York: Academic Press, 1993. - 191 p.

109. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second order de type mixte: These, pour le doctorat. Uppsala, 1935. - 92 p.

110. Mainardi F. Applications of fractional calculus in mechanics, Transform Methods and Special Functions, Varna '96 (P. Rusev, I. Dimovski, and V. Kiryakova, eds.), Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, 1998, pp. 309-334.

111. Mainardi F., Roberto M., Gorenflo R., Scalas E. Fractional calculus and continuous-time finance II: the waiting-time distribution // Physica A 287 (2000) 468-481.

112. Oldham К. В., Spanier J. The Fractional Calculus. N. Y.: Acad. Press, 1974. 340 p.

113. Podlubny I. Fractional Differential Equations. N. Y., London: Acad. Press, 1999. 340 p.

114. Heymans N., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. // Rheologica Acta. Online first. 2005.- 141

115. Podlubny I. Fractional-order systems and fractional-order controllers. Tech. Report UEF-03-94, Institute for Experimental Physics, Slovak Academy of Sciences, 1994.

116. Pucone M. Equazione integralle traducente il pin generalle probleme lineare per le equation differenziali lineari ordinarie de qualsivoglia ordine. // Accademia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni: Roma, 1932. V. 15, № 6. - P. 942-948.

117. Robinson D. A. The use of control systems analysis in neurophysiology of eye movements, Ann. Rev. Neurosci. 4 (1981), 462-503.

118. Rogers L. Operators and fractional derivatives for viscoelastic constitutive equations, J. Rheol. 27 (1983), 351-372.

119. Wu J. H. Theory and applications of partial functional differential equations// Appl. Math. Sci. 1996. - 119 p.

120. Wyss W. The Fractional Diffusion Equation // J. Math. Phys. 1986. Vol. 27, 11. P. 2782-2785.