Линейные краевые задачи для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробными производными в младших членах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. БЕРБЕКОВА Х.М.

На правах рукописи

с*

Бечелова Аминат Расуловна

ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ

01.01.02 - "Дифференциальные уравнения"

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Нахушев А.М.

доктор физико-математических наук, профессор Шхануков-Лафишев М.Х.

Нальчик - 1998 г.

Содержание.

стр.

Введение............................................................................................................4

Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

с дробной производной в младших членах............................... 14

§1. Элементы дробного исчисления.............................................................. 14

§2. Некоторые особенности при постановке краевых условий для

дифференциальных уравнений с дробной производной........................16

§3. Дискретные аналоги дробной производной и принципа

экстремума для оператора дробного дифференцирования....................19

§4. Построение разностных схем для обыкновенных

дифференциальных уравнений с дробной производной....................... 22

§5. Принцип максимума для уравнения с разностной дробной

производной в младших членах............................................................... 24

§6. Оценка решения разностной задачи в равномерной метрике.................26

§7. Метод итерации для решения сеточных уравнений...............................32

§8. Другие краевые задачи для дифференциального уравнения с

дробной производной в младших членах............................................... 33

Глава II. Краевые задачи для параболических уравнений с дробной по пространственной переменной производной в младших членах................................................ 36

§1. Априорная оценка для решения первой краевой задачи....................... 36

§2. Метод Ротэ.................................................................................................. 39

§3. Разностные схемы для первой краевой задачи....................................... 41

Глава III. Дифференциальные уравнения в частных производных

с дробной по времени производной.......................................... 44

§1. Построение разностных схем первой начально-краевой задачи

для обобщенного уравнения переноса..................................................... 44

§2. Устойчивость и сходимость в равномерной метрике............................ 48

§3. Монотонные схемы для уравнения общего вида с дробной по

времени производной................................................................................. 52

§4. Третья краевая задача для уравнения диффузии дробного

порядка. Априорная оценка.......................................................................54

§5. Разностные схемы для третьей краевой задачи уравнения диффузии

дробного порядка........................................................................................57

§6. Устойчивость и сходимость...................................................................... 58

§7. Построение разностных схем повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного

порядка........................................................................................................ 67

§8. Алгоритм решения задачи........................................................................ 74

§9. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности с дробной

производной в граничных условиях...................................................... 76

§10. Дискретный аналог нелокальной задачи с дробной производной

в граничных условиях............................................................................. 79

Литература...................................................................................................... 83

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач теории уравнений смешанного типа, механики сплошных сред и изучение процессов стохастического переноса приводят к дифференциальным уравнениям с дробной производной (Нахушев A.M., Керефов A.A., Бэгли P.JL, Нигматуллин P.P., Чукбар К.В.).

В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработка методов их решений.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по направлению "Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения". (№ ГР 01.950004494 код 1.1.11. (1.1.11.1,1.1.11.3)).

Целью работы является исследование линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробной производной в младших членах и разработка численно-аналитических методов их решения.

Основными методами исследования являются: метод априорных оценок в сочетании с принципом экстремума для оператора дробного дифференцирования; метод функции Грина; метод построения устойчивых разностных схем.

В диссертационной работе рассматриваются новые по постановке задачи. Научную новизну представляют следующие результаты:

• построен специальный дискретный аналог дробной производной и установлен дискретный аналог принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования;

• для широкого класса решений обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной в младших членах получена априорная оценка в норме 0^(0,1). Построены разностные схемы основных краевых задач, доказаны их устойчивость и сходимость;

• в нестационарном случае, дано обоснование метода Ротэ для третьей краевой задачи, построена разностная схема и доказана ее сходимость;

• для обобщенного дифференциального оператора переноса дробного порядка получена априорная оценка, гарантирующая единственность решения краевой задачи. На основе принципа максимума доказана сходимость соответствующих разностных схем в равномерной метрике;

• для уравнения теплопроводности изучен новый класс нелокальных задач с дробной производной по времени в граничных условиях.

Результаты, полученные в работе, являются определенным вкладом в теорию краевых задач для нелокальных дифференциальных уравнений, численно-аналитических методов их решения.

Результаты работы могут быть использованы для решения конкретных задач теории фильтрации в сильно пористых средах, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов, а также при описании физических процессов стохастического переноса.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре НИИ ПМА по современному анализу, на научно-исследовательском семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского государственного университета, отдельные ре-

зультаты докладывались на международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики.» (Нальчик, 1996 г.), на международной конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики» (Киев, 1997 г.).

В первой главе изучаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной в младших членах. 1. Исследована краевая задача

г(хЩх и - q(x) и = -/(*), 0 < х < 1, (1)

ах ах

и(0)=0, и(1)=0, (2)

где &(x)>Ci>0, г(х)>0, <у(х)>0, Dqx - оператор дробного в смысле Рима-

на-Лиувилля дифференцирования порядка ае]0,1[:

Установлен дискретный аналог принципа экстремума для дробной производной: пусть сеточная функция y(Xj) ^ const принимает йаиболь-шее положительное (наименьшее отрицательное) значение в некоторой точке х = х1о сеточной области coh={Xi=ih, i-l,2,...,N-lj, тогда А"0л: j>0

(Аа0х. у < 0), для всех осе (ОД).

1

Здесь Д" и=

а 1 Z_iv «-S+1 i-s f x,s

х. 1 — СС S=i

Г(1 - a)

- дискретный аналог дробной производной порядка а. В этой же главе установлена важная формула

Х)£и=Ла0х11 + О(А). 2. Задаче (1) - (2) поставлена в соответствие разностная схема

L"y = (ЧУ* )х ~ КхЖхУ ~dy = ~y у (3)

jo=jn=0, (4)

cii=ki_1/2, di=q(Xi), (Pi~f(Xi),

Пусть q(x)> т> О, тогда для решения разностной задачи получена априорная оценка в равномерной метрике. В случае, когда </(л;)>0, пользуясь методом функции Грина, доказана сходимость решения разностной задачи (3)-(4) к решению дифференциальной задачи (1)-(2) со скоростью 0{li) в равномерной метрике.

Аналогичные результаты справедливы и в случае более общего уравнения

d du '"

Lu=~— [£(*) aj (x)D^u-am+1(x)u= -f(x). (5)

ах dx

Для решения рассматриваемых краевых задач получена априорная оценка ЦиЦ^ < М||/||о,

II II2 II II2 II II2 II II2 V 2 /- ч J

N 1 = к + М , N = \и (x)dx.

II IlWjio.i) II *llo II Но' II Но J v '

о

Во второй главе исследуются краевые задачи для нестационарного уравнения с дробной производной по пространственной переменной.

1. В области Q ={(x,/):0<x<l, 0</<Т} рассмотрена первая l . >-I ¡ краевая задача

^ = А [/с(х,0- r(x,t)Da0Xu- q(x,t)u + /(дс,t), (6)

dt ох ох

M(0,t)=M(l,0=0,

и(\,0)=и0(х) , (7)

k(x,t)>cx>0, г(дс,*)>0 , q(x,t)>О,

где Щи =--\ —L,0 < а < 1.

0v T{\-a)äcl (x-xj

В предположении существования регулярного в области Q решения задачи (6)-(7) получена априорная оценка

где

< 2 ни = ЛИ(*»')1

о о

2. Для дифференциальной задачи (6)-(7) записана схема Ротэ Уг

о о

— [к(х, О - Г(х, (Щ*ху - 9(х, О у + /(*, О,

оде сЬс

^(0,0^(1.0=0,

V-V • у

У, =-, = =

т

т- шаг сетки по временной координате. Получен дискретный аналог априорной оценки (8):

(9)

/=1 \/=1

Для погрешности г = у - и, как это следует из (9), справедлива оценка

(Ю)

\\40+уТК ог-м£1г" /=1 /=1

где М=соп81>0 не зависящая от т, \|/ = О(т).

Из оценки (10) следует сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т) в норме, стоящей слева в (10).

3. Для задачи (6)-(7) построено однопараметрическое семейство разностных схем.

у, = Л(ау+(1-о-)у) + <р, Уо=У*= 0, .К^О) = и0(х),

(11)

у = у]+1, У = У], У

Ау = (а(х,Оу,)х - г(х,1)Аа0ху

а{х.,О = (О, Л(х, О = ?(л;,0, ф = /(х,1), * = *;+1/2.

Для решения задачи (11) получена априорная оценка в равномерной метрике на слое:

j+1

<

/ „+2V

/=о

maxJ

o<i<N

откуда следует сходимость разностной схемы со скоростью где

А,т - шаги сетки по пространственной и временной координате.

В третьей главе исследованы краевые задачи для обобщенного уравнения переноса или уравнения диффузии дробного порядка. 1. В области О ={(л:,*): 0<дс<1, О<*<Г} рассмотрена задача

^ ч г 4^1 , Ч

Dotu = Lu + f (х, 0» Lu = — [к{х, t)—] - q(x, t)u.

м(0,О = и(1,О = 0,

О, (или =0 )

(12)

K1"

t=o

í->0

где

k(x,t)>cx>Q, q(x,t)> 0,

1 д 'rii(x,T)dT

m.u =

01

í-

0<a<l

Г(1-а) át o (t-r)a Для решения u(x,t) задачи (12) справедлива априорная оценка:

1

ш <M\\f\\ , М =

II * 112,0 П-7 112,6:

(13)

где £>0 - произвольная постоянная, удовлетворяющая условию

£<2Ci, V=CI - £•/2. Из оценки (13) следует единственность решения задачи.

2. В замкнутой области Q ={(x,í): 0 < х < 1,0 < t < Т} введена сетка

cohT =сокха>г= {(ih,jr):i = 0,1,...,N;j = 0,1,...,j0} с шагом h=l/N, r=T/j0.

Предполагается, что Л(х,/)еС3[0,1], еС2[0,1] при каждом фикси-

рованном ¿е[0,Г]. Установлено, что если исходная дифференциальная задача (12) однозначно разрешима в классе достаточно гладких функций, то необходимо и(л;,0) = 0.

Дифференциальной задаче (12) поставлена в соответствие разностная схема:

Аа0^ = Л(а^+(1-а)з;) + ф, (14)

У о ~ Ум — 0, у(х,0) = 0,

где

Лр = (я(0л), - ¿(¿)у, <р = /СМ),

I У'+> ^

Ло % ¡У = г(2- а) ^ ~ '

у-^у'-уЩ*, у = у1+\ У = у,

Имеет место следующая

Теорема. Пусть выполнены условия А:(х,*)еС3[0,1], #,/еС2[0,1]

при каждом фиксированном

(2 — 11~аЛк2

ха <-----—; 0 < с, < к <с2 у 0 <а<с3. (15)

Г(2 - а)(1 - а)(2с2 + сък ) 1 2 3

Тогда решение разностной задачи (14) сходится в равномерной метрике к решению дифференциальной задачи со скоростью

О

\ т

, кг = о{тх~а).

3. Рассмотрена третья краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка

» <Эи „ дх

, ди » -л— = р2и-ц2(/), л; = 1.

дх

и(х,0)=0.

к{х^)>сх >0,^г(х,О>0,Р1(О>0,(32(О>0,Р1 + р2 >0. Для решения и=и(х,1) задачи (16) получена априорная оценка

о

откуда следует единственность решения исходной задачи.

Третьей краевой задаче поставлена в соответствие разностная задача

л

Д^ = А(ст^+(1-а)>0 + Ф,

кл- А(0 л)+(! - о-К^л,!+Л ('к) = -МО, (1?)

У К А(О^) + (1 - ООКЛ.ЛГ + Д (ОУАГ) = (О. У(х,0)=0.

Пусть 0 < с1 < с2, 0</и<^<с3, тогда при выполнении условия

(15) и 0 < и < 1 для решения задачи (17) справедлива оценка

шах

0<й<у+1

< — тъх\(рк \\с + ~ тах(|// )| + \цг {1к )|),

/// 0<*-./+1 И 0<к^+1

(18)

где Д. > Д > 0, 1 = 1,2.

При </>0 для решения задачи (17) получена априорная оценка в равномерной метрике

У

У+1

<

У +тах

0<к<}+1

/=о

а для погрешности г = .у - и неравенство

с

ry'+l

c ^max

0</(</+l

/= о

(20)

Так как v,,v2,\|/ =0(r + h), то из (20) следует оценка

< h Л г' у

<М\ т°

, 0<а <1,

(21)

Из (21) следует, что

—>

0 при —> 0, если h = 0(xx а).

4. Для третьей краевой задачи (16) написана схема повышенного порядка точности

Aa0ty = А(<зу+ (1 - а)у) + Ф, у(х, 0) = 0,

(22)

Л =

Л, xecoh, Л", х = 0, Л+, .V = 1,

где

Ay = (a(i)y,)x-d(i)y,

-й(*кь д(0=д(0+0.5/^(0,

п

= -7К(Oj,„v -Д(0*J, Д(0=Д(0+0.5/i<jrv(i). h

Ф =

<р, XECOh, <p = f(x,t), i = tJ+ll2, ^ -

p", * = 0, Д = //,(*)+0,5A/O(i),

0,5 h

277

0.5/i

Схема (22) имеет порядок аппроксимации 0(re + /г2) при любом а.

На основании принципа максимума для решения разностной задачи (22) получена оценка:

У

j+1

<

cpJ

ß* o<ksj+i j'=o

5. В области Q ={(jc,/):0<jc</, 0</<T} рассмотрена задача

(23)

du _ д dt cbc

k(x,t)

дх

+

f(x,t\

kux(0,t)= ß,{t)u{0,t)-mM * =

-kux(l,t) = ßt(t)Z>0"u(l,t)~/j2(t\ x = l, и(л;,0) = uQ(x\

k(x,t)>ci > 0, A,/?2>0, ßt+ß2>0. Для решения задачи (24) получена априорная оценка

( * (

(24)

Построен дискретный аналог нелокальной задачи (24) и получена оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость соответствующей разностной задачи со скоростью 0{т1'а +к).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53], [54], [55], [56], [57], [58].

Глава I.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с дробной производной в младших членах.

§1. Элементы дробного исчисления.

Пусть

д>(*)=£ (-i){fW* - ks„),

дп *=о ykj

с х-а

где дп =-, - между предельное конечно-разностное отношение порядка

п

a<=R скалярной функции ср: D(cp)—>R в точке х из области D(<p). Как известно (см., например, [1]) если существует

КшД> = [£>(*)];, (1.1)

И->°0

то этот предел называется междупредельной производной порядка ос, от функции <p(t), взятой в пределах от а до jc.

Предел (1.1) A.M. Нахушев [2] предложил обозначить в более компактной форме, положив

Оператор D"x, который действует на функцию cp(t) eL\A,B\ по формуле sign(x - a) xr (p{t)dt

а+1

f-

г (-a) aJ| x-t <р(х), а = О,

sign{x-a)~^D°

, а <0,

~х(р{х), а > 0,

следуя A.M. Нахушеву [I, с.2.8] назовем оператором дробного (в смысле Ри-мана-Лиувилля) интергродифференцирования порядка \cù\ с началом в точке ае[А,В] и концом в точке дс eD((р). Здесь и далее [а\ означает целую часть а.

Имеют место следующие две теоремы.

Теорема 1.1 (теорема Летникова). Если (p(t) еС [а,х], то при а<О справедлива (1.2), если же а>О и то

Г 1 , V

[Da<p{x)l = Dl(p{t) = X V I*~ "У" +K'lahV[a]+1)(t)-

k=о Г(к -a +1)

Теорема 1.2. Уравнение Абеля

2Г>(*) = /(*), -oo<a<x<b, 0 <а<1 (1.3)

разрешимо в L[a,b] тогда и только тогда, когда

/>Г'/(0 е AC[a,bh lim D? = 0. (1.4)

x—»a

При выполнении (1.4) единственное решение ср(х) eL[a,b] задается формулой

cp(x)=DaJ(t). (1.5)

Здесь АС[а,Ь] - класс абсолютно непрерывных на отрезке [а,Ь] функций (см., например, [46]).

Следовательно, решение (р(х) уравнения Абеля (1.3) совпадает с дробной производной порядка о. от правой части f(x) .

В теории краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, в частности, для уравнения второго порядка с дробными производными в группе младших членов [38], важную роль играет следующий впервые замеченный A.M. Нахушевым [40] принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования (см., так же [38]): пусть неубывающая положительная при 0<Кдс функция co(/)eC[0,x] и в сколь угодно малой окрестности 0 < 8 < t < х точки Р=х произведение co(/)j(i) удовлетворяет условию Гельдера с показателем х>а. Тогда, если на сегменте 0 < / < х функция y{t) достигает положительного максимума ( отрицательного минимума) в точке t=x, то D^ay > 0(<0) для любого ае(0,1).

§2. Некоторые особенности при постановке краевых условий для дифференциальных уравнений с дробной производной.

В интервале 0<л<1 рассмотрим уравнение

Ьи^^- [*(*) - /■(*)/>£«- д(х)и = -/(*), (2.1)

ах ах

где Л(х)>С1>0, /*(х)>0, 0<&<1, #(л:)>0.

В работе [38] изучена задача Штурма-Лиувилля для уравнения вида (2.1). В дальнейшем для нас важным будет вопрос о том, в каком классе функций ищутся решения граничных задач для уравнения (2.1). При этом особое внимание заслуживает условие на левом конце отрезка [ОД]. Чтобы прояснить ситуацию рассмотрим простой пример

«"(*)-2>о> =/(*)• (2.2)

Допустим, что мы за область определения оператора приняли множество

П(Ва0х)={и(х): и(х) еС(7), и '(х) еС/4 По определению (см. [40], с. 107), (р(х) еС^З) тогда и только тогда, когда

Ы = шах хгф(х)

< оо.

Хорошо известно, что если у<1-а, то

Ит/>вах1|(0<«> для всех иеО(О^) (2.3)

тогда и только тогда, когда

и(0)=0. (2.4)

Приведем доказательство, которое является следствием формулы (см. теорему 1.1 гл.1)

Г(1 - а) Г(1-а)оЧ*-Ов Т(1-а) 0х

Действительно, легко видеть, что

lim 2>rV(0 =-1-lim xia~r f*V(*r)</r

x-*> 0x Г(1 - a) о (l-r)a

Следовательно, если y<l-a, то

limZ)0avV(O = 0, (2.6)

¡-0 *

если же у=1-а, то

lim DT'u'it) =---f(l - туа lim xyu\xr)dT < oo. (2.7)

0V Г(1 - а) о

Из (2.5) и (2.6), (2.7) следует, что (2.3) имеет место тогда и только тогда, когда соблюдено равенство (2.4).

Равенство (2.5) говорит о том, что если и'(х) <=L[0,1] и lim 2>,e;V(0<°°,

то

lim D*ji(f) < oo

,v-> С UJC

тогда и только тогда, когда имеет место (2.4).

Допустим теперь, что мы ищем решение уравнения (2.2) в классе функций, непрерывных со второй производной вплоть до границы х=0, то есть предполагается, что значение ихх(0) конечно. Будем считать, что /(0) также конечно. К подобным требованиям мы приходим при решении краевых задач, например, разностным методом; чтобы достигнуть необходимый порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором. Итак, уравнение (2.2) перепишем в виде

D«xu=u"{x)-f{x). (2.8)

Условие

lim[w"(x) - /(*)] < oo (2.9)

в силу (2.6) эквивалентно неравенству (2.3), из которого следует (2.4).

Таки�