Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шевякова Ольга Петровна

Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2006

. Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нахушев A.M.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Зарубин А.Н.\ кандидат физико-математических наук, доцент Андреев A.A.

Ведущая организация - Казанский государственный университет

им. В.И. Ульянова-Ленина

Защита состоится « 26 » декабря 2006 г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета К 212.015.05 при Белгородском государственном университете по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, ауд. 322.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан « 22 » ноября 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., профессор

Глушак A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Применению дробного исчисления в математическом моделировании посвящены работы В.М. Головизнина, B.J1. Кобелева, A.M. Нахушева, В.А. Нахуше-вой, P.P. Нигматуллина, К.В. Чукбара и других авторов.

Основой большинства моделей, описывающих физические и химические процессы, протекающие во фрактальных средах, экономические и социально-биологические явления, служат дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка изучались в работах A.A. Андреева, A.A. Ворошилова, С.Х. Геккиевой, A.B. Глушака, A.C. Еремина, А.Н. Зарубина, Е.А. Зарубина, A.A. Килбаса, А.Н. Кочубея, Г.П. Лопушанской, М.О. Мамчуе-ва, A.M. Нахушева, В.А. Нахушевой, A.B. Псху, O.A. Репина, С.Д. Эй-дельмана.

Среди работ, посвященных нагруженным дифференциальным уравнениям, отметим работы М.Т. Дженалиева, А.И. Кожанова, A.M. Нахушева.

Граничные задачи для нагруженных дифференциальных уравнений с усреднением исследованы М.М. Амангалиевой, М.Т. Дженалие-вым, A.M. Нахушевым, М.И. Рамазановым, I. Ozturk.

В работах I. Ozturk и С.Х. Геккиевой исследовались задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка.

Как отмечено в монографии A.M. Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (2003 г.), "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред."

Таким образом, проведение фундаментальных исследований по теме диссертационной работы является актуальным.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ ПМА КБНЦ РАН по теме: «Дробное исчисление и его применение к фундаментальным и прикладным проблемам информатики, естествознания и социально-исторических наук», № гос. регистрации 0120.0 508754.

Цель работы. Основной целью работы является исследование краевых задач для дифференциальных уравнений порядка меньше либо

равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием теории интегральных уравнений, методов функционального анализа, свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования.

Научная новизна. В диссертации исследуются краевые задачи для дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом и усреднением по одной из независимых переменных.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1) Доказательство существования и единственности решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2) Теоремы существования и единственности решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3) Доказательство единственности решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты имеют важное значение для построения теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по современному анализу и информатике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (руководитель - Солдатов А.П.), на Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.), на III Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2005 г.), на VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых «Наука - XXI веку» (Майкоп, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-

[10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, состоящих из 11 параграфов, заключения, списка литературы (99 наименований), и изложена на 91 странице.

Содержание работы

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов диссертации.

В вводных сведениях приведены элементарные сведения из теории дробного интегродифференцирования, необходимые для изложения материала.

Первая глава посвящена краевым задачам в прямоугольной области для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

В §1 первой главы в области Г2 = {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь} евклидовой плоскости точек (я, у) рассмотрено дифференциальное уравнение

+ <Ъ-Я£«(х, у) + ВИ^ф, у) = /(х,у), 1=1

(1)

где а, /3,7, , ] = 1,п , - действительные числа; А, В, а— 1,тг, -постоянные величины, - оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка с началом в точке с и концом в точке t, который определяется следующим образом

о'Ж) =

~ С)

Г но

УI«-

9(0

¿г1

при (1 < О,

¿М+1

_ ^^В^дЦ) при у. > 0.

Регулярным решением уравнения (1) в области Г2 назовем функцию и = и(х,у) из класса х1~£У~'3и (ж, у) € С(П) , В^и, В^и в С(П), удовлетворяющую уравнению (1) во всех точках (х, у) 6 С1.

Сформулирована следующая

Задача 1.1. Найти регулярное решение и = и(х,у) уравнения (1), 0 < а,0 < 1, а/3 < 1, 7 < 0,с*7- < 0, ] = 1,п , в области Л, удовлетворяющее краевым условиям

Нш 1п(х, 2/) = ^(х) , 0 < х < а ,

(2)

lim D^uix, у) = <p{y) ,0<y<b, (3)

x—HJ

где tp(y) , ip(x) - заданные функции.

В §2, используя обобщенный принцип сжатых отображений, доказана теорема существования и единственности решения задачи 1.1 в классе функций, допускающих особенности на начальных линиях, порядок которых зависит от порядка производных главной части.

Теорема 1.1. Пусть А > 0, 0 < а, ß < 1, aß < 1, 7 < 0, aj < 3=Т^,х1-аф(х)^С[0,а], y1-^(y)eC[0,b}> x^y^fix, у) € С(П),

удовлетворяет условию Гельдера по переменной х, и выполнено условие согласования

lim Dft-V(v) = HmDSrVi®) ,

тогда в области П существует единственное регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2) и (3).

В §3 первой главы рассмотрена задача для уравнения вида (1) с регуляризованными дробными производными (производными Капуто).

В прямоугольной области ¡¡1 = {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < 6} для уравнения

дохи(х, у) + д$уи(х, у)+

п

+ ]Г ajD&uix, у) + ВШЪФ, у) = /(*, у) , (4)

j=i

где 0 < а, ß < 1, 7 < 0, aj < О, j = 1, п , - оператор дробного дифференцирования (по Капуто) порядка ¡J, с началом и концом в точках с и t:

dfa(t) = sign"(i - c)££"Vn,(t). n-l<ß<n,n=l,2,..., сформулирована

Задача 1.2. Найти регулярное решение и = и(х, у) уравнения (4) в области П, удовлетворяющее краевым условиям

u(sc,0) = 4>{х), х е [0, а]; и(0,у) = <р(у), у € [0,6], (5)

где ф, ip - заданные непрерывные функции.

Регулярным решением уравнения {А) в области П назовем функцию и — и(х,у) из класса и(х,у) € С(<Л), д§хи, dfiyu € C(fi), удовлетворя-

ющую уравнению (4) в области Q. Доказана

Теорема 1.2. Пусть 0 <а,р <1,а0<1, т_< 0, aj < О, j = 1^. , ф(х) е С[0, а], <р(у) 6 С[0,Ъ], f{x, у) е С(П), f(x,y) удовлетворяет условию Гельдера по переменной х, и выполнено условие согласования V>(0) = v?(0).

Тогда существует единственное регулярное решение уравнеюья (4) в области Q, удовлетворяющее краевым условиям (5).

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

В §1 в области П = {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < 6} ставится задача для уравнения

De0yu(y) = AI^u(x,y), (6)

где 0 < а, /3 < 11 А — const ф 0, й(у) - среднее значение функции и(х,у) попеременной х на сегменте [0, а]:

а

й{у) =i J u{x,y)dx, о

Dqv - оператор дробного дифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка /3 с началом в точке 0 и концом в точке у, /"а ~ оператор дробного дифференцирования порядка а с фиксированными началом и концом в точках 1 = 0их = а, который действует на функцию и(х, у) по переменной х и при а > 0 определяется следующим образом

я[а] + 1

Ых>У) = № + (-ф+1Оаах)и(х,у) = о^^^а Ф'У)-

Задача 2.1. Найти решение и = и(х,у) уравнения (6), О < а, /3 < 1, в области , удовлетворяющее краевым условиям

lim х{1~а)12и{х,У) = ¥>(3/). О < у < Ъ, (7)

х—>0

Ит£>&-1й(и)=*0, (8)

где <р{у) - заданная функция, <5о - заданная постоянная величина.

Регулярным решением уравнения (6) в области О будем называть решение и = и(х,у), такое, что у1~^[х{а — у) € С(£~2) ,

£>£,й(у) 6 С7(0,6), ¿ггМ*,у) 6 сх(П).

В §2 доказана теорема существования и единственности решения задачи 2.1 для уравнения (6).

Теорема 2.1. Пусть 0 < а, ¡3 < 1, <р{у) 6 С{О, Ь]. Тогда в области П уравнение (6) имеет единственное регулярное решение, удовлетворяющее краевым условиям (7), (8). Это решение задается формулой

и(х,у) = В(х)<р(у) + дМХ)

С(у) + х{боу^1Е1/3(\у'3]0) + 1 С(1)(у - - *У;/3)Л}

+

0° к

Здесь Е1/Р(г;р) = £ г(рА + А(х), В(х), А определяются соотношениями

- функция типа Миттаг-Леффлера,

х{а — х)

(а-1)/2

-х<а+1>/2(а - г)^-1)/2,

(в_1)/2 /а + 1 а + 1\

А

А = А/А», С(у) =

В §3 второй главы поставлена и решена задача для уравнения (6) при 0 < /? < 1, 1 < а < 2.

Задача 2.2. Найти решение и = и(:с, ?/) уравнения (6), 0 < /3 < 1, 1 < а < 2, в области П, удовлетворяющее краевым условиям

Нт х&~а)/2и(х,у) = уз(у), О < у < Ь,' (9)

lim(a - х){2'а)/2и{х, у) = ф(у), О < у < Ь,

(10)

}imDfclü(y) = S0,

1/-Ю

(П)

где <р(у), ф(у) - заданные функции, во - заданная постоянная величина.

Регулярным решением рассматриваемого уравнения в области П будем называть решение и = и{х,у), такое, что £>оуй(у) £ С(0,Ь),

Пусть ,,

А,=

2 Г(а + 1) eos

Л = А/А,, G(y) = (<р(у) + ф{у)).

(12)

Справедлива следующая

Теорема 2.2. Пусть 0 < /3 < 1, 1 < а < 2, <р(у),ф(у) € С[0, 6]. Тогда в области Q, уравнение (6) имеет единственное регулярное решение, удовлетворяющее краевым условиям (9)~(11). Это решение задается формулой

и(х,у) = х^'2 + (а - х)^'2ф{у) +

+

2АТ{а + 1) eos )

[х(а - x)]a¡2

G{y) + \{50yt-lEUíi{\ye-í}) +

У

+1 G{t){y -ty-^E^iXiy -ty-,l3)dt} o

где G{y) и А определяются соотношениями (12).

В §4 второй главы поставлена и решена задача для уравнения (6) при 1 < а < 2, т — 1 < ß < т, ттг = 1,2,...

Задача 2.3. Найти решение и = и(х, у) уравнения (6), 1 < а < 2, т — 1 < ß < т, т = 1,2,..., в области П , удовлетворяющее краевым условиям (9), (10) и

lim Dtkü{y) = 6k,k= T~m, (13)

y-tO "

где ¡p(y), Ф(у) - заданные функции, 5ц, к = 1,т, - заданные постоянные величины.

Регулярным решением рассматриваемого уравнения в области Q будем называть решение и = и(х, у), такое, что ут~^[х{а—х)\^~0^2и(х, у) 6 е С(П),т = 1,2.....D¡yñ{y) е С(0, Ь), Dß0~kü{y) 6 С[0, Ь], к =

Теорема 2.3. Пусть 1 < а < 2, т — 1 < ß < т, m = 1,2,...,

lp{y)i Ф[у) £ С[0,6]. Тогда в области fi уравнение (6) имеет единственное регулярное решение, удовлетворяющее краевым условиям (9), (10), (13). Это решение задается формулой

+---L-y—^ixia -

2ЛГ(а + 1) cos ) L ^ л

х G(y) + а{ V; ß - k + 1) +

*=1

v_

+

0

У

J Gifyiv-ty^EkvMy-ty^dt}

где С{у) и А определяются соотношениями (12).

В §5 второй главы рассмотрено уравнение типа (6) с производной Капуто

д(>уй(у) = АЫх,у) , (14)

где 1 < а < 2, т — 1 < /3 < т., т = 1,2,...

Краевая задача для уравнения (14) формулируется следующим образом.

Задача 2.4. Найти решение и — и(х,у) уравнения (14), 1 < а < 2, т— 1 < /3 < т, ш = 1,2,..., в области П, удовлетворяющее краевым условиям (9), (10) и

(0) = 4, к=1,т, ' (15)

где <р(у), 4¡(y) - заданные функции, 6k, к = 1,ш, - заданные постоянные величины.

Регулярным решением уравнения (14) в области ÍÍ будем называть решение и = и(х, у), такое, что [х(а — х)](2-а'/2и(х, у) £ C(Q), <й(2,) е С{О, Ь), й{у) е ст~1[0,6], т = 1,2,..., /оГЧх, у) 6 С2(О,). • Доказана

Теорема 2.4. Пусть 1 < а < 2, m — 1 < /3 < т, m = 1, 2,...,

V>(y)^{y) € С[0,Ц. Тогда в области Í2 уравнение (Ц) имеет единственное регулярное решение, удовлетворяющее краевым условиям (9), (10), (15). Это решение задается формулой

и(х,у) = (^-Ej^^y) + (|)°/2 (а - х)("-2>/^Ы+

+-;-^-т—т[®(о - х)Т'2х

2ЛГ(а+l)cos(f)1 k п

т

х G(y) + а{ ]Г 0кут-кЕш(\уР-, т-к + 1) +

L к= 1

У

+ J Gmy-ty-iEwMy-tfifldt}

где С?(у) и А определяются соотношениями (12).

В третьей главе, обобщая результаты первой главы, доказана единственность решения краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

В §1 третьей главы сформулированы свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования.

В §2 рассматривается краевая задача для дифференциального урав-

+ ВЩи(1, у) + + С^>(х, у) +

(п т

¿=1 1=1

где а, /3,7, <5, а^, ; = 1,п , г = 1,т - действительные числа; А, В, С, а^-,= 1, п , Ь,-, г = 1, ттг , — постоянные величины.

Задача 3.1. Найти решение и = и(х,у) уравнения (16), О < а, 0 < 1, -1 < ау < а, = 1~гг , -1 < 0{ < 0, г_= 1,т , ¡т( < 1, |5| < 1, в области Г2 такое, что х1~ау1~@и (х, у) € С(С1) и и[х,у) удовлетворяет краевым условиям (2), (3).

Используя свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования, доказана ~ _

Теорема 3.1. Пусть 0 < а,0 <1, — 1 < а^ < а, з = 1 ,п , -1 <_0г < 0, г = |7| <1, |5| < 1; А > 0 , В > 0 , С > 0, а, > 0, 3 — 1,п, Ь,-> 0, г=1 ,т, тогда существует не более одного решения и = и(х,у) задачи (16), (2), (3), такого, что х1~ау1~^и(х,у) € С(П). Показано, что теорема 3.1 справедлива, если А ~ А(х,у),

a.] = а}(х,у), j = Т~п , ^ = Ы(х,у), г = 1,т , и фунхщия Л(а;,у) непрерывна, положительна и при фиксированном х является невоз-растающей на сегменте [0,6] как функция переменной у, функции

b,(х, у), г = 1, т, непрерывны, неотрицательны и при фиксированном х являются невозрастающими на сегменте [0,6] как функции переменной у, а функции а7(х,у), j = 1,п , непрерывны, неотрицательны и при фиксированном у являются невозрастающими на [0, а] как функции переменной х.

В §3 исследуется уравнение с производными Римана-Лиувилля, когда коэффициенты при дробной производной и дробном интеграле по переменной у являются отрицательными.

Задача 3.2. Найти регулярное решение и = и(х, у) уравнения

их{х, у) - АО^х, у) - С01уи{х, у) = /(х, у) , (17)

0 < /3 < 1, ¿<0, А > 0, С > 0, в области С2, удовлетворяющее краевым условиям

\хт 0^1и(х,у) = -ф(х) ,

и(х,у) = /(х,у), (16)

или Г(/3) Ит у1 ^(х, у) = ф(х) ) , 0 < х < а ,

(18)

«(а>2/) = <р(у) , О < у < Ь, (19)

где <р(у) , Ф(х) — заданные функции.

Существование решения доказано методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, а единственность доказана с использованием свойств положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования.

Теорема 3.2. Пусть 0 < ¡3 < 1, 6 < О, А_> О, С > О, ф(х) е С[0,а], г6 С[0,6] , у1~^(х,у) 6 С(П), /(х,у) удовлетворяет условию Гельдера по переменной у, и выполнено условие согласования

Нш £&1<р{у) = ф(а) (или Г(/3) Иту1""^) = ф{а)^ ,

тогда в области О, существует единственное регулярное решение уравнения (17), удовлетворяющее краевым условиям (18) и (19).

Заключение

Выполненные исследования, посвященные краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными Римана-Лиувилля и Капуто, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы.

Для уравнений порядка меньше либо равного единице:

- доказана теорема 1.1 о существовании и единственности решения задачи 1.1 в классе функций, допукающих особенности на начальных линиях, порядок которых зависит от порядка производных главной части уравнения;

- доказана теорема 1.2 существования и единственности решения краевой задачи 1.2 для уравнения с производными Капуто;

- доказана теорема 3.1 о единствености решения уравнения с частными производными Римана-Лиувилля с различными началами в главной части;

- доказана теорема 3.2 о существовании и единственности решения уравнения с частными производными дробного порядка с отрицательными коэффициентами.

Для уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом:

- доказаны теоремы 2.1-2.3 существования и единственности реше-

ний задач 2.1-2.3 для нагруженных уравнений с усреднением по переменной х ;

- доказана теорема 2.4 о существовании и единственности решения нагруженного дифференциального уравнения, когда нагрузка представляет собой дробную производную Капуто от среднего значения искомой функции по одной их переменных.

Публикации по теме диссертации

1. Шевякова О.П. Краевая задача для модельного уравнения дробной диффузии / Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус, 2004. - С. 187 - 188

2. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с различными началами // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2004. -№2 (12). - С. 121 - 123

3. шевякова О.П. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2005. - Т.7. - №2. - С. 82 - 85

4. Шевякова О.П. Единственность решения краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: Понтрягипские чтения - XVI». - Воронеж, 2005. -С. 175 - 176

5. Шевякова О.П. Краевая задача для уравнения в частных производных дробного порядка с различными началами с постоянными коэффициентами / Материалы III Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». -Нальчик-Эльбрус, 2005. - С. 78 - 81

6. Шевякова О.П. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка / Отчет НИИ ПМА КБНЦ РАН по научно-исследовательским, опытно-конструкторским работам за 20012005 гг. по теме: «Развитие дробного исчисления и анализа на фракталах для разработки математических моделей физико-биологических процессов и сред с фрактальной структурой». - Нальчик, 2005. - Ч. 3. -С. 297 - 301. № гос. регистрации 01.20.0012845, № регистрации в ВНТИЦ 02.2 00 601423

7. Шевякова О.П. Краевая задача для одного дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка / Доклады VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых «Наука - XXI веку». - Майкоп, 2006. — С. 121 - 126

8. Шевякова О.П. Краевая задача для одного нагруженного дифференциального уравнения дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2006. - Т. 8. - №2.-С. 79-80

9. Шевякова О.П. Краевая задача для нагруженного уравнения с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Вестник Сам РТУ. Серия: Физико-математические науки. -Вып. 43. - 2006. - С. 24 - 30

10. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2006. - Приложение №11. - С. 22 - 27

Формат 84 х 108^5. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1.0. Тираж 120 экз. Заказ № 633

Отпечатано на участке оперативной полиграфии и множительных работ АГУ 385000, г. Майкоп, ул. Университетская, 208.

Введение

Вводные сведения

1 Уравнения порядка меньше либо равного единице с операторами интегродифференцирования с различными началами

§ 1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля. Постановка задачи

§ 2. Формулировка результатов и решение задачи.

§ 3. Задача для уравнения с производными Капуто.

2 Задачи для уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом

§ 1. Постановка задачи для уравнения порядка меньше единицы

§ 2. Доказательство существования и единственности решения

§ 3. Уравнение с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом порядка меньше двух

§ 4. Уравнение произвольного порядка.

§ 5. Уравнение с производной Капуто.

3 Теоремы единственности для уравнений дробного порядка

§ 1. Свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования

§ 2. Единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части

§ 3. Задача для уравнения с отрицательными коэффициентами

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение.

Физики достаточно давно и плодотворно используют идеи дробного исчисления преимущественно во фрактальных средах [5], [6], [38]—[40], [43], [44]. Дифференциальные уравнения дробного порядка встречаются при описании медленных и быстрых стохастических процессов, диффузии в средах с фрактальной геометрией, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [79], [92]. Полученные при этом результаты говорят о существовании мощного метода, каким является дробное исчисление при построении математических моделей в тех средах, где классическое дифференциальное исчисление не работает. Особый интерес к дробным производным проявляют гидрогеологи в связи с вопросами безопасности хранения высокоактивных долгоживущих радиоизотопов в геологических фармациях [20]—[23].

Основой большинства моделей, описывающих физические и химические процессы, протекающие во фрактальных средах, экономические и социально-биологические явления [56], [61], [64], [65], [78], являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка исследовали в своих работах: А.Н. Кочубей, С.Д. Эйдель-ман [43] - [46], A.M. Нахушев [52], [55], [56], [62], С.Х. Геккиева [И] -[14], О.А. Репин [37], [74] - [76], А.В. Псху [66] - [73], В.А. Нахушева [63] - [65], А.В. Глушак [17] - [19], А.Н. Зарубин, Е.А. Зарубин [32] -[36], М.О. Мамчуев [49] - [51], А.А. Ворошилов, А.А. Килбас [8] - [10], А.А. Андреев, А.С. Еремин [3], [4], [30], [31], Г.П. Лопушанская [48], Ph. Clement, G. Gripenberg, S.-O. Londen [90], W.R. Schneider, W. Wyss [97], [99], F. Wegner, S. Grossmann [98].

Теория дробного исчисления и ее приложения изучались в монографиях [29], [52], [56], [73], [77], [91], [93], [96].

Монография A.M. Нахушева [52] посвящена основополагающим элементам дробного исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегрирования и дифференцирования и их применению к решению проблем математического моделирования различных процессов и явлений в живых и неживых системах с фрактальной структурой; к локальным и нелокальным обыкновенным и в частных производных дифференциальным уравнениям основных и смешанных типов. В монографии сформулирован целый ряд вопросов и задач, служащих источником новых направлений в изучении теории и приложений дробного исчисления.

В книге [77] рассмотрены вопросы обобщения операций дифференцирования и интегрирования функций одной и многих переменных с целых порядков на дробные, действительные и комплексные, а также приложения теории дробного интегрирования и дифференцирования к интегральным и дифференциальным уравнениям, теории функций.

В монографии А.В. Псху [73] исследованы основные краевые задачи для класса уравнений дробного и континуального порядка. Рассмотрены уравнения порядка меньше либо равного единице, диффузионно-волновые уравнения, эволюционные уравнения.

В работе A.M. Нахушева [57] решена видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

Среди работ, посвященных нагруженным дифференциальным уравнениям, отметим работы A.M. Нахушева [58]—[60], М.Т. Дженалиева [24]-[28], А.И. Кожанова [41].

Граничные задачи для нагруженных дифференциальных уравнений с усреднением исследованы A.M. Нахушевым [54], М.М. Амангалиевой, М.Т. Дженалиевым, М.И. Рамазановым [1], [2], I. Ozturk [94].

В работах I. Ozturk [95] и С.Х. Геккиевой [15], [16] рассмотрены задачи для нагруженного уравнения диффузии дробного порядка, причем в первой статье нагрузка представляет собой дробную производную от усреднения по пространственной переменной искомого решения, в остальных двух - след от искомого решения.

В данной работе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

В ходе работы автором получена следующая совокупность результатов и положений.

-71. Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2. Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3. Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, состоящих из И параграфов, списка литературы (99 наименований) и заключения. Объем работы - 91 страница.

Заключение

В работе рассмотрены краевые задачи для дифференциальных уравнений порядка меньше либо равного единице и уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

1. Доказано существование и единственность решения краевых задач для класса дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля и Капуто порядка меньше либо равного единице с операторами дробного интегрирования с различными началами в младших членах.

2. Доказано существование и единственность решения краевых задач для уравнений с усреднением и оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом.

3. Доказана единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной части.

1. Амангалиева М.М. Граничные задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени / Тр. Международной конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2002. - С. 19 -23

2. Андреев А. А., Еремин А. С. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени/Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. двенадцатой межвуз. конф. Ч. 2. Самара, 2002. - С. 3 - 9

3. Андреев А.А., Еремин А.С. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2004. - Вып. 26. - С. 5-10.

4. Архинчеев В.Е. О дрейфе при случайном блуждании по самоподобным кластерам // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - Вып. 3. - С. 1016 -1023

5. Архинчеев В.Е. Случайное блуждание по иерархическим гребешко-вым структурам // ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - Вып. 4. - С. 1285 -1296

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М., 1973. -293 с.

7. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для уравнения диффузии дробного порядка // Докл. НАН Беларуси. 2005. - Т. 49. -№3. - С. 14 - 18

8. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Докл. РАН. 2006. - Т. 406. - №1. - С. 12 - 16

9. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42. - №5. - С. 599 - 609

10. Гсккисва С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. - Т. 5. - №1. - С. 16 - 19

11. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. - №1 (8). -С. 6-8

12. Геккиева С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. - 14 с.

13. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. - Т. 1. - №1. - С. 17 - 18

14. Геккиева С.Х. Первая краевая задача для нагруженного уравнения с дробной производной / Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара, 2004. - С. 65 -67

15. Глушак А.В. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2001. - №2. - С. 74 - 77

16. Глушак А.В. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физ., мат. Воронеж, 2002. - №2. - С. 61 - 63

17. Глушак А.В. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными // Матем. заметки. -Т. 77. Вып. 1. - С. 28 - 41

18. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрков 10. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002.- 57 с.

19. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002. - 35 с.

20. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2003. - 35 с.

21. Дженалиев М.Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференц. уравнения.-801989. Т. 25. - №4. - С. 641 - 651

22. Джеиалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы, 1995. - 270 с.

23. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представленияфункций в комплексной области. М., 1966. - 672 с.

24. Еремин А.С. Три задачи для одного уравнения в дробных частных производных / Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конференции. Ч. 3. Самара, 2004. -С. 94 - 98

25. Зарубин А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. -Т. 41. - №10. - С. 1406 - 1409

26. Зарубин А.Н., Зарубин Е.А. Задача Коши для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: Понтрягинские чтения -XVI». Воронеж,2005. С. 65

27. Зарубин Е.А. О единственности решения задачи Жевре для смешанного уравнения диффузии дробного порядка / Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения -XV». Воронеж, 2004. -С. 93 - 94

28. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39. - №5. - С. 638 - 644

29. Кобеле в В. П., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // Докл. РАН. 1997. -Т. 355. - №3. - С. 326 - 327

30. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Матем. заметки. -2004. Т.76. - №6. - С. 840 - 853

31. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976. - 544 с.

32. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц.уравнения. -1990. Т. 26. - №4. - С. 660 - 670

33. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25. - №8. - С. 1359 -1368

34. Кочубей А.Н., Эйделъман С.Д. Уравнения одномерной фрактальной диффузии // Доп. Нац. АН Украины. 2003. - №12. - С. 11 - 16

35. Кочубей А.Н., Эйделъман С.Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. РАН . 2004. - Т. 394. - №2. -С. 159-161

36. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. M.-JL, 1953. - 379 с.

37. Лопушанъска Г.П. Основш граничш задач! для одного р1вняння в дробних похщних // Укр. мат. журн. 1999. - Т. 51. - №1. - С. 48

38. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. -2004. №2 (12). - С. 116 - 118

39. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т.7. - №2. - С. 37 -44

40. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М., 2003. -272 с.

41. Нахушев A.M. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувилля // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. - Т.5. - №2. - С. 42 - 43

42. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамикепочвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. -Т. 18. - №1. - С. 72 - 81

43. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик, 1995. - 59 с.

44. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М., 1995. -301 с.

45. Нахушев A.M. Видоизмененная задача Коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36. - №7. - С. 903 - 908

46. Нахушев A.M., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - №1. - С. 105 -110

47. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - №1. - С. 86 - 94

48. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. -1985. Т. 21. - №1. - С. 92 - 101

49. Нахушев A.M., Кенетова P.O. Математическое моделирование социально-исторических и этнических процессов. Нальчик, 1998. -170 с.

50. Нахушева В. А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1998. - 9 с.

51. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциалных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик, 2002. - 100 с.

52. Нахушева В.А. Диффернциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М., 2006. - 173 с.

53. Псху А.В. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка / Труды Международной научной конференции «Современные проблемы математической физики и информационной технологии». Ташкент, 2003. - С. 216 - 217

54. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка.- Нальчик,2005. 186 с.

55. Псху А.В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39. - №8. - С. 1092 - 1099

56. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39. - №10. - С. 1430 - 1433

57. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2003. - Т. 39. - №9. -С. 1286 - 1289

58. Псху А.В. Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Труды института математики НАН Беларуси. Минск, 2001.-С. 101-111

59. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. -М., 2005. 199 с.

60. Репин О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное интегродифференцирование: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Минск, 1998. - 30 с.

61. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. - 688 с.

62. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик, 2002. - 144 с.

63. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108. - Вып. 5(11). - С. 1875 - 1884

64. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с различными началами // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2004. - №2 (12).-С. 121-123

65. Шевякова О.П. Краевая задача для уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т.7. - №2. - С. 82 - 85

66. Шевякова О. П. Краевая задача для нагруженного уравнения с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки.- Вып. 43. 2006. - С. 24 - 30

67. Шевякова О.П. Краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.- 2006. Приложение №11. - С. 22 - 27

68. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Schauder estimates for equations with fractional derivatives// Transactions of the Amerikan Mathematical Society. 2000. - V. 352. - №5. - P. 2239 - 2260

69. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics studies 204, Elsevier, 2006. - 523 p.

70. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phus. Status Solidi. B. 1986. -V. 133. - P. 425 - 430

71. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equation // J. Math. Phys. 1989. - V.30. - №1. - P. 134 - 144

72. Wegner F., Grossmann S. Diffusion and trapping on a nested fractal structure // Zeitchr. Phys. B. 1985. - V. 59. - №2. - P. 197 - 206

73. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. 1986. -V. 27. - №11. - P. 2782 - 2785