Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной

§ 1. Первая краевая задача для модельного нелокального уравнения параболического типа.

§ 2. Первая краевая задача для дифференциального уравнения с дробной производной с переменными коэффициентами

§ 3. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной.

§ 4. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области.

2. Аналоги задачи Трикоми для модельного уравнения смешанного типа с дробной производной в канонических областях

§ 1. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной в области, параболическая часть которой - верхняя полуплоскость, а гиперболическая - характеристический треугольник

2. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной в области, параболическая часть которой - половина верхней полуплоскости.

- з

§ 3. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной в области, параболическая часть которой - полуполоса.

3. Аналоги задачи Трикоми для уравнений смешанного типа второго рода с дробной производной

§ 1. Предварительные сведения и вспомогательные теоремы

§ 2. Постановка задачи для общего уравнения смешанного типа с дробной производной

§ 3. Решение аналога задачи Трикоми для модельного уравнения смешанного типа с дробной производной 2-го рода

§ 4. Решение аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной 2-го рода и с младшей производной в гиперболической части.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение. Такие уравнения могут выступать в качестве математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой [23], [25], [26].

Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены работы [16] - [18], [38], [39].

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в работах ряда авторов. Так, в работах [19] и [20] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. Уравнение диффузии дробного порядка и обобщенное волновое уравнение исследовались в работах [27] - [29].

Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения сформулирован в [28]. Впервые принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1 получен A.M. Нахушевымв 1974 году [22].

Большое внимание уделено вычислению дробных интегралов и производных конкретных функций и приложениям к задачам диффузии в работе [41]. Книга [32] посвящена вопросам обобщения операций дифференцирования и интегрирования функций одной и многих переменных с целых порядков на дробные, действительные и комплексные, а также приложениям теории дробного интегрирования и дифференцирования к интегральным и дифференциальным уравнениям, теории функций.

В работе [30] рассмотрены краевые задачи для некоторых модельных дифференциальных уравнений дробного порядка, найдены функции Грина первой, второй и смешанных краевых задач для уравнения диффузии и смешанных краевых задач для нелокального волнового уравнения дробного порядка.

Монография A.M. Нахушева [25] посвящена основополагающим элементам дробного исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегро-дифференцирования и их применению к локальным и нелокальным дифференциальным уравнениям математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой.

Вопросы дробного интегродифференцирования и его приложений исследованы также в ряде зарубежных публикаций, например, [40], [42], [43].

Следует отметить важную роль дробного исчисления и в развитии теории уравнений смешанного типа (см., например, [25], гл. 5). Краевым задачам для уравнений смешанного типа посвящены также работы [13], [14], [15], [31], [34], [35].

В данной работе рассматриваются краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени.

Доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для обобщенного уравнения переноса и широкого класса нагруженных уравнений параболического типа с дробной производной по времени в канонических областях.

Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши в видоизмененной постановке для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени, решение построено в явном виде.

Для уравнения смешанного типа с дробной производной в канонических областях доказаны существование и единственность решения задачи Трикоми в видоизмененной постановке, найдены условия сопряжения, необходимые для корректности поставленной задачи.

Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Трикоми в видоизмененной постановке для уравнения смешанного типа второго рода с дробной производной в группе младших членов.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава посвящена краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка.

В работе P.P. Нигматуллина [40] показано, что в среде с фрактальной геометрией процесс диффузии описывается обобщенным уравнением переноса: dac(x,t) d2c(x,t) dta ~ дх2 ' где 0 < а < 1, с(х, t) - концентрация, d = const - коэффициент диффузии. Такая структура может служить моделью пористой среды, где имеет место процесс диффузии.

Пусть DqX - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования порядка v [24, с. 28]:

KAt) = sign (ж—а) г g{t)dt п г(-1/) J \x—t\v+1' v ^ U' a g{x), к = 0, ^ sign'"'+1 (x - „ > 0j где Г(г) - гамма-функция Эйлера, [ъ>] - целая часть числа v. В §1 первой главы рассматривается следующая Задача 1.1. В области Q = {(x,t) : 0<х<1, 0<t<T} требуется найти регулярное решение уравнения

DQtu(x,t) = кихх, 0 < а < 1, к = const > 0, (1) удовлетворяющее начальному условию lim tl~au(xA) = <p(x)t t-*o и граничным условиям u{0,t) = 0, u(l,t) = 0; где ip(x) - заданная функция.

Решение и(х,у) уравнения (1) назовем регулярным в области если t1~аи(х,t) G С(П), ихх , щ 6 С(П). Доказана

Теорема 1.1. Пусть функция (р(х) имеет непрерывную производную 1-го порядка и кусочно-непрерывную производную 2-го порядка, и выполнены условия согласования: у>(0) = ср{1) = 0. Тогда существует единственное решение задачи 1.1.

Для решения этой задачи был применен метод разделения переменных (метод Фурье). При обосновании метода использовалась лемма об асимптотических свойствах функции типа Миттаг-Леффлера [12, с. 136].

Мы будем пользоваться следующим определением функции типа Миттаг-Леффлера [12, с. 117]:

Единственность решения доказана с помощью принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1 [25, с. 125]. В §2 исследуется задача нахождения решения уравнения

L[u] = а(х)ихх + Ъ(х)их + с(х)и = DQtu(x, t), 0 < а < 1, удовлетворяющего условиям

Здесь а(х), Ь{х), с(х) - непрерывные на отрезке 0 < х < I функции, а(х) > 0, Ь(х) > 0, с(х) < 0.

Приведены общая схема метода Фурье для нахождения решения задачи, а также свойства собственных функций и собственных значений соответствующей спектральной задачи.

В §3 получено решение задачи Коши в видоизмененной постановке для обобщенного уравнения переноса с дробной производной.

Задача 1.2. Найти решение u(x,t) уравнения limi1 au(x,t) = if{x) u(0,t) = u(l,t) = 0.

DQtu(x, t) = uxx, 0 < a < 1

•XX1

2) в области D = {{x>t) : —оо < ж < оо, t > 0} такое, что 6 C(D), ихх, щ G C(-Z}), удовлетворяющее начальному условию ф), (3) где tp{x) - заданная функция. Доказана

Теорема 1.2. Пусть функция (р(х) Е C(D) и стремится к нулю при [ж| —оо. Тогда задача (2), (3) имеет единственное решение, такое, что t1~au{x,t) G C(D), ихх, щ Е C(D), и и(х,у) стремится к нулю при х2 + t2 —> оо . Решение представимо в виде

00 u(x,t)= J G(x,$,t)<p{Z)d£, — 00 где

- фундаментальное решение задачи (2), (3). Здесь 8 = а/2 и (см. [29])

ОО JL e^z) = ^T{c + ka)T(d-bkY а>Ь• л—U

При доказательстве теоремы были использованы асимптотические формулы для функции типа Миттаг-Леффлера [12, с. 134] и лемма Жор-дана из теории аналитических функций [21, с. 411].

В §4 рассматривается краевая задача для обобщенного уравнения переноса в полубесконечной области. Выписано решение задачи с помощью метода функции Грина, доказана единственность решения.

Во второй главе рассматриваются аналоги задачи Трикоми для модельного уравнения смешанного типа с дробной производной в канонических областях.

В §1 исследуется

Задача 2.1. Найти решение и = и(х,у) уравнения

Q ( ихх- D%yu, у> 0, ^ где 0 < а < 1, в объединении областей D\, удовлетворяющее краевым условиям у1~аи\у=о = 0, —оо < ж < 0, 1 < х < оо, и х/2,-х/2) = ф(х), 0<х<1, где ф(х) - заданная функция. На линии у = 0 выполняются условия сопряжения: lim у аи(х,у) = lim и{х,у), (5)

0+ у-+ 0lim у1 а(:у1 аи(х,у))у= lim иу(х,у), (6) у-л 0+ у-> 0где 0 < х < 1.

Здесь Di = Di U D~ , где D* = {(х,у) : —оо < х < оо, у > 0}, D~ - область, ограниченная характеристиками АС : х + у = 0 и ВС : х — у = 1 и отрезком [0,1] прямой у = 0, у < 0. Доказана

Теорема 2.1. Пусть функция ф(х) £ С[О,1] П С2(0,1) и въг-понено условие согласования у1~аи\у=о = ф{0) = 0. Тогда задача 2.1 имеет единственное решение такое, что у1~аи(х,у) € C(-Di"); у1-"^1-^),, <Е Cpf U {(ж, ?/) : 0 < ж < 1, у = 0}), и{х,у) е «а» G О2(Di U Я"), иуу е C2(D~).

В §2 в объединении областей D2 = D2 U D~, где D% = {(ж, 2/) : О < г < оо , т/ > 0}, рассматривается задача нахождения решения и(х,у) уравнения (4) в D2, удовлетворяющего краевым условиям: и(х/2,-х/2) = ф(х), 0 < ж < 1, и(0,у) = <р(у), 0<у<оо, yl~au\y=Q = 0, 1 < х < оо, где ф(х), <р(у) - заданные функции. На линии у = 0 выполняются условия сопряжения (5), (6).

Доказаны существование и единственность решения задачи. В §3 рассматривается задача нахождения решения и(х,у) уравнения (4) в объединении областей D3, удовлетворяющего краевым условиям: и(х/2,-х/2) = ф{х), 0<аг<1, (7) и{0,у) = ipi(y), и(1,у) = <р2{у), (8) где ф(х), <fi(y), <f2(у) ~ заданные функции. На линии у — 0 выполняются условия сопряжения (5), (6). Здесь D3 = U D~,

D+ = {{x,y): 0<®<1, y>0}.

Доказаны существование и единственность решения задачи (7)-(8) для уравнения (4).

Глава 3 посвящена исследованию аналогов задачи Трикоми для уравнений смешанного типа второго рода с дробной производной.

В §1 в полуплоскости у < 0 рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение ихх - (-yfuyy + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + ф, у) и = f{x, у), (9) где 0 < /5 < 2; а, Ь, с, f - непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка по а; в замкнутой области их задания.

В этом параграфе дается постановка видоизмененной задачи Коши (по терминологии А.В. Бицадзе) и приводятся теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (9) в классической и видоизмененной постановке [35, с. 109].

В §2 в объединении областей D\ — D+ U D~, где D+ = {(x,y) : —oo < ж < oo, у > 0}, D~ ~ область, ограниченная характеристиками AC : £ = x — 2z^(-y)1^ = 0 и ВС : 7] = х + ^(—у)1^ = 1 и отрезком [0,1] прямой у = 0 (у < 0), рассматривается уравнение f Uxx- Щуи, У > 0, ихх - (-уУиуу + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + ф, y)u + f(x, у), у < 0,

10) где 0 < а < 1, 0 < (3 < 2, и ставится следующая

Задача 3.1. Найти решение и(х,у) уравнения (10) в D\, удовлетворяющее краевым условиям

1-awL=o = 0, —оо <£<0, 1 < х < оо, и

АС=Ф), о < £ < 1, где '«/'(ж) - заданная функция. На линии у = 0 выполняются условия сопряжения: lim у аи(х,у) — lim и(х,у), 2/—>04- у-» 0lim т/1 "(г/1 lim иу(х,у),

2/—>- 0+ 2/-Юесли 0 < (3 < 1.

При 1 < < 2 условия сопряжения будут следующие: lim -г/ аи(х,у) = lim и(х,у), lim т/1 "(у1 аи[х,у))у= \im(-y)h^uy{x,y). у-> 0+ 2/—>0—

Здесь lim?/1 @b(x,y) = k(x), k(x) G C^[ж 1,0:2] и удовлетворяет не-2/—>0 равенствам /5 — 1 < А; (ж) < 1 при 1 < /3 < 2. В §3 рассматривается уравнение

0 [ «Я» - 2/ > 0, - (-У)риую У < °> где 0 < a < 1, 0 < /3 < 1.

Найдено решение и (х, у) уравнения (11) в Z>i, удовлетворяющее краевым условиям уг~аи\у=ъ = 0, —оо < х < 0, 1 < х < оо, и \ас= О < X < 1, где ф(х) - заданная функция. На линии у = 0 выполняются условия сопряжения: lim yl~au(x,y) = lim и(х,у), у->0+ у-Л оlim yl~a{yl~au(x,y))y = lim иу(х,у), у-+ 0+ у-ИЭгде 0 < ж < 1.

Доказаны существование и единственность решения задачи. В §4 рассматривается уравнение

Uxx — у > 0, о у , у , ^

Uxx - {-уУщу + У < 0.

Здесь 0 < о; < 1, 0 < /3 < 2, а = const.

Найдено решение и(х,у) уравнения (12) в Di, удовлетворяющее краевым условиям у^и^о = 0, -сю < я < 0, 1 < £ < оо, (13) и\АС = ф{х), 0<х<1, (14) где ф(х) - заданная функция. На линии у = 0 выполняются условия

15сопряжения: lim у аи(х, у) = lim и(х,у), у^г 0+ г/—>-0—

15) lim у а(у "и(х,у!)у = lim (—у)аиу(х, у). y-t 0+ 2/-MJ—

16) где 0 < х < 1.

Доказана следующая теорема существования и единственности решения:

Теорема 3.4 Пусть функция ф{х) £ С[0,1]ПС2(0,1). Тогда задача (12)-(16) имеет единственное решение такое, что yl~0£u(x,y) £ C{D+), у1-а{у1~аи)у е C(D+ U {(ж,у) : Q < х < 1, у — 0}); и(х,у) G C(D~), ихх £ C2(D+ U D-), Uyy G C\D~), (~y)aUy G C{D~).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3]-[11].

1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.- 336 с.

3. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2001, №2 (7). С. 78-80.

4. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, №1. С. 16-19.

5. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. №1 (8). С. 6-8.

6. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области. «Понтрягинские чтения-XIII». Сб. материалов. Воронеж: ВГУ, 2002. С. 37.

7. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1, №1. С. 17-18.

8. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5, №2. С. 18-22.

9. Геккиева С.Х. О некоторых аналогах задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Тезисы докладов. -Воронеж: ВГУ, 2001. С. 50.

10. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

11. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений парабо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. - 220 с.

12. Кобелев В.Л. и др. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН. 1998. Т. 361, №6. С. 755-758.

13. Кобелев В.Л. и др. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. Т. 355, №3. С. 326-327.

14. Кобелев Я. Л. и др. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369, №3. С. 332-333.

15. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №4. С. 660-670.

16. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1359-1368.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

18. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №1. С. 100-111.

19. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 59 с.

20. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.-7325. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. -Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

21. Нахушева В. А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных, уравнений переноса. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, НИИ Прикладной математики и автоматицации КБНЦ РАН, 1998. -9 с.

22. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1996. Т. 2, №1. С. 26-28.

23. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, № 1. С. 45-53.

24. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 2001. - 43 с.

25. Репин О. А. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболическогоуравнения с характеристической линией изменения типа // Дифферент уравнения. 1992. Т. 28, -№1. С. 173-176.

26. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

27. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том II. М.: Гос. изд.-во физ.-мат. литературы, 1965. - 628 с.

28. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. -Минск.: Вышэйшая школа, 1977. 160 с.

29. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985.- 304 с.

30. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. - 432 с.

31. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977. 736 с.

32. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №1. С. 138-139.

33. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. Т. 108, вып. 5(11). С. 1875-1884.

34. Nigmatullin R.R. The Realization of the Generalized Transfer Equation in a Medium with Fractal Geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol.-75133, №1. P. 425-430.

35. Oldham К.В., Spanier J. The fractional Calculus. N.Y.; London: Acad. Press, 1974. - 234 p.

36. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equation // J. Math. Phys. 1989. Vol. 30, №1. P. 134-144.

37. Wegner F., Grossmann S. Diffusion and Trapping on a Nested Fractal Structure // Zeitchr. Phys. B. 1985. Vol. 59, №2. P. 197-206.