Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



На правах рукописи

003450384

Бурцев Максим Владимирович

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 ОПТ 2008

Белгород - 2008

003450384

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений физико-математического факультета Орловского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Зарубин Александр Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Жура Николай Андреевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

Защита состоится 11 ноября 2008 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, аудитория 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан 9 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Прядиев В.Л.

Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований Ф. Трикоми, С. Геллерстедта и Ф. И. Франкля. Именно в это время были впервые поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений смешанного типа связано с именами К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе, И.Н. Векуа.

В работах В.Ф. Волкодавова, Е.й. Моисеева, A.M. Нахушева, А.П. Солдатова, С.П. Пулькина, Т.Д. Джураева, JI.C. Пулькиной, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, O.A. Репина, A.A. Килбаса, М.С. Салахитдино-ва, М.М. Смирнова и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в работах А.Н. Кочубея, A.B. Пеху, В. А. Нахушевой; для уравнений смешанного типа с дробными производными - в работах С.Х. Геккиевой; для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа - в работах А.Н. Зарубина; в работах A.A. Андреева и его учеников рассматривались краевые задачи для уравнений смешанного типа с инва-лютивным отклонением.

Тем не менее, следует отметить, что, не смотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и отклоняющимся аргументом находится в начале своего развития.

Наиболее близкими в этом направлении являются работы А.Н. Зарубина и Е.А. Зарубина, где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом.

Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами, а так же прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики, математической биологии, нелинейной оптики, подтверждает актуальность темы диссертации.

Следует также отметить, что и теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратные задачи для линейных уравнений в частных производных, состоящие в определении либо начального, либо граничного условия, либо правой части уравнения, по некоторой дополнительной информации о решении уравнения, исследовались целым рядом

авторов, такими как: A.M. Денисов, О.М. Алифанов, М.М. Лаврентьев, JI.A. Чудов и др. Однако, обратные задачи для уравнений смешанного типа практически не изучены, тем более для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными.

Цель работы - исследование разрешимости новых, прямых и обратных, нелокальных начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, качественные свойства специальных функций, функции Миттаг-Леффлера, H - функции Фокса, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод "abc"), метод Фурье разделения переменных.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения прямых и обратных нелокальных задач для уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами.

Основные результаты выносимые на защиту:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка в канонических областях.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения обратных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.

3. Доказательство теорем существования и единственности начально-краевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными, запаздыванием, опережением и отражением.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использова-

ны в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и отклоняющимися аргументами в областях изменения типа уравнения.

Значение работы определяется также прикладной значимостью рассматриваемых задач.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Современные методы физико-математических наук", посвященной 75-летию Орловского государственного университета и 75-летию физико-математического факультета (2006г.) ОГУ, г. Орел; на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(2007г.) СамГТУ, г. Самара; на второй Всероссийской конференции "СамДиф" (2007г.) СГУ, г. Самара; на международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"и VI Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики"(2008г.) п. Эльбрус; на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2004 - 2008гг. Орел, ОГУ (руководитель д. ф.-м. н., профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [10J, второму автору в [4], [7], [8] и [9] принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. В каждой главе - три параграфа, список литературы содержит 85 наименований. Объем - 148 страниц.

Содержание работы.

Во введении дан краткий обзор наиболее важных публикаций по теме и анализ основных результатов диссертации.

Глава I посвящена начально-краевым задачам для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка.

Под регулярным решением уравнения в области D будем понимать такое решение U(x,t), что D%j~lU(x,£) G C(D) , ¿'-"Dgi/fof), Uxx(x,t) € C{D), где Dot ' оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования порядка а , 0 < а < 1, действующий на функцию U(x,t) по переменной t.

В §1 рассматривается смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе.

В области D = {(ж, t) : 0 < х < I, t > 0} , для уравнения

DfoU(х, О = Uxx{x, t) + H{t - h)U(x, t-h) + F(x, t), (1)

где О < I, h = const, F(x, t) = f(x)g(t), H(t) - функция Хевисайда, рассматривается

Задача 1.1.Найти в области D регулярное решение U (х, i) уравнения (1), удовлетворяющее начально-краевым условиям

Ит D^4j(x, £) = ш(х), 0 < х < I; 1/(0, t) = U(l, t) = 0, i > О,

где w(x), F(x, t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем и>{0) = ш(1) = 0 .

Доказаны

Теорема 1.1. Однородная задача 1.1 имеет в области D только тривиальное решение.

^Теорема 1.2. Пусть ш(х) 6 С*[0, Z] Г) С2(0,1), F(x, i) = f(x)g{t) е C(D) П C*j(D), причем w(0) = w(l) = 0, F(0,t) = F(l,t) = 0 .

Тогда существует регулярное решение задачи 1.1.

Для решения задачи был применен метод разделения переменных (метод Фурье) в совокупности с преобразованием Лапласа. При обосновании использовались асимптотические свойства Н - функции Фокса.

Единственность решения доказана с помощью метода вспомогательной функции.

В §2 рассматривается смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате в четверти плоскости.

В области D = {(х, t) : х > 0, t > 0} , для уравнения ■

+H{t - h)U{x,t- h) - H(x - t)U(x - r,t) + F(x, t), (2)

где 0 < r, h = const, F(x, t) = f(x)g(t), H(t) - функция Хевисайда, рассматривается

Задача 1.2. Найти регулярное решение U(x. t) уравнения (2) в области D удовлетворяющее граничному и начальному условиям U{0,i) = 0, i > 0; lim D^Uix,® = ш(х), х>0,

t—»04-

где ш(х), F(x, t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем w(0) = ш(+оо) = 0 .

Доказаны

Теорема 1.3. Однородная задача 1.2 имеет в области D только тривиальное решение.

Теорема 1.4. Пусть w(x), f(x) - непрерывные абсолютно интегрируемые на [0, +оо) функции и w(0) = w(+oo) = 0 ; g(t) - ограничена и непрерывна.

Тогда существует регулярное решение U(x,t) задачи 1.2.

При доказательстве теорем существования и единственности использовались методы энергетических неравенств, интегральных уравнений и уравнений Вольтерра, а так же теория специальных функций.

В §3 рассматривается задача Коши для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате.

В области D = {(х, t) : \х\ < +00, t > 0}, для уравнения

Г&Щх, 0 = U„(x, t) - U(x -T,t) + F(x, t), (3)

где 0 < г = const; F(x, t) — g(t)f(x), H(t) - функция Хевисайда, рассматривается

Задача 1.3. Найти регулярное решение U(x,t) уравнения (3) в области D удовлетворяющее начальному условию

Ит D^Ufag) = N1 < +оо,

где ш(х), F(х, t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, абсолютно интегрируемые при х G (—оо;+оо), причем w(±oo) = О, F(±oo,i) = 0 .

Доказаны

Теорема 1.5. Однородная задача 1.3 имеет е области D только тривиальное решение.

Теорема 1.6. Пусть функции w{x) , f(x) - непрерывные, абсолютно интегрируемые на (—оо, +оо), g(t) - непрерывна и ограничена, ш(±оо) = 0, F(±оо, t) = 0 .

Тогда задача 1.3 имеет единственное регулярное решение U(x,t), стремящееся к нулю при х2 +12 —► +оо (|х| < +оо, i > 0).

Единственность решения поставленной задачи доказывается с помощью метода вспомогательных функций, а существование, с использованием теории преобразований Фурье и Лапласа.

Глава II посвящена обратным задачам для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.

Под регулярным решением уравнения в области D = D+ U D~ U J, будем понимать такое решение U(x,t), что DST'UM б C(D+), U(x,t) е C(D=), ¿-«D&Ui6 C(D+ U J), Uxx(x, t) € C(D\J), Ua(x,t) 6 C(D~).

В §4 рассматривается обратная начально - краевая задача для дробного диффузионно - волнового уравнения с запаздывающим аргументом по времени.

В области D - D+ U D~ U J , где J = {(x,t) : 0 < x < t, t = 0} , D+ = {(x,t) : 0 < x < r, t > 0} ,

D~ = {(x, t): -i<i<r + i, —r/2 < t < 0} , для уравнения

D»U(x,$) = Uxx(x,t) + H(t - h)U(x,t — h) + F(x,t), t > 0, Utt{x,t) = Uxx{x,t),t<0,

p

где 0 <h,t = const, F(x, t) = J2 9i(t)fi(x), 1 < p 6 N, H(t) - функция

¡=i

Хевисайда, рассматривается

Задача 2.1. Найти функции gi(t), Dq.^giiQ е С[0;+оо) (I — 1,р), при известных функциях fi(x) е С[0;т] П , и регу-

лярное решение U(x,t) уравнения (4) в области D, удовлетворяющее краевым условиям

U{0, t) = U(r, t) = 0, t > 0; U(x, -х) - ф(х), 0<х<%, U{xj, i) = ^-(i), i > 0, 0 < Xj <т, j = 1,р, условиям сопряжения

lim U(x,t) = lim Щ^Щх,0 = ш(х), О <х<т,

t—* 0— t—»04-

lim Ut{x,t) = lim tl~aD^U{x,0 = г/(х), 0 < х < г,

t~* 0— ¿—>04-

где Ф(х), (pj(t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем ф{0) = О . Доказана

Теорема 2.1. Пусть функция гр(х) € С[0,т/2) П Са(0,т/2)," е С(0;+оо), п(+оо) = 0 (j = Т~р); ф(0) = 0; Дт ö0TVj(0 = , Mxj) Ф 0 , Л(®) € С[0, г] Л С1 (0, г).

Тогда существует единственное регулярное решение U{x,t) и gi(t) (i = l,p) задачи 2.1.

Вопрос существования решения задачи 2.1 сводится к разрешимости дифференциального уравнения относительно функции ш(х), а задача определения функций gi(t) (( = 1, р) - к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Единственность U(x, t) следует из того, что однородная задача 2.1 имеет в области D только тривиальное решение.

В §5 рассматривается обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате.

В области £> = £>+ U £>~ U J, где D+ = {(x,i) : ж > 0, t > 0}, J = {(x,t) : х > О, Ь = 0},

D~ - (J ^fc. ^fc = (ОМ): kr-t<x<t+{k + l)r, -r/2 < i < 0} , для fc=0

уравнения

DStU(x, О = Uxx(x, t) + H(t - h)U(x, t - h)~

- H{x - t)U{x -r,t) + F(x, t), t > 0, (5)

Utt(x, t) = Uxx(x, t) - H(x - t)U(x - г, t), t < 0, p

где 0 < h, г ~ const, F(x, i) = E 9i(t)fi(x), 1 < p € N , H(t) - функпдя

¡=i

Хевисайда, рассматривается

Задача 2.2. Найти функции gi(t), D^gfá) 6 С[0;+оо) (I = Tj>), при известных функциях fi(x) 6 С[0; +оо) П С1 (0; +оо) и регулярное решение U(x,t) уравнения (5) в области D, удовлетворяющее краевым условиям

U{0, t) = 0, £ > 0; Щх, kr — х) = фк(х), кт<х < (2к + 1)т/2,

&U(xJtt) - <Pj(t), t>0,Q<xj< +00, j = 1 ,p,

условиям сопряжения

lim U(x,t) = lim D^T1U(x,£) = ш(х), 0 <x < +oo, 0— t—»0+

lim Ut(x, t) = lim <£) = u(x), 0 < x < +oo,

где фк{х), fj{t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции. Доказана

Теорема 2.2. Пусть функция ^(х) € С[кт, (2к 4- 1)т/2]П С2(kr, (2к + l)r/2), DgwiO е С(0; +оо), ^(+оо) = О (j = 1^) /

lim max = 0 ; lim Wf) = z%(xA+

k^+oo [ftr,(fe+l)r] v ' t—0+ Ш Jv ' l

к x, -mr

+ E 7тЯ(^ - mr) / {xj - mr)2 - rf-^z^i^dr, m=1 o '

5C.¿ -mr

+ E 7- mr) 7 t]((xj - mrг - rf t^zhri)^} ф 0,

1 m=l __0 J

/cr < xj <(k+ 1 )r (j = 1, p), /г (i) € C[0, +oo) П C^O.+oo), где *"(*) = Ь- < ® < (Л + l)r (A = 0,1,2,...)},

fc х—тт

= ш(х)Н(х) + £ (-l)m7mtf (¡c - mr) f ф2 - (jj + тт)«)»1-1^^,

m=l 0

(а:) имеет форму 2^(x), если там заменить w(x) на fiix) . Тогда существует единственное регулярное решение U(x,t) и gi(t) (I = 1~р) задачи 2.2.

Вопрос существования решения задачи 2.2 редуцируется к разрешимости дифференциального уравнения относительно функции 2ш(х), а определения функций gi(t) (I = 1,р) - к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Единственность решения U(x,t) следует из того, что однородная задача 2.2 имеет в области D только тривиальное решение.

В §6 рассматривается обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и опережающе-запаздывающими аргументами.

В области D = D+ U D~ U J, где £>+ = {(s,t) : |ж| < +оо, t > 0} , J = {{х, t) : х > 0, t - 0}, D~ = {(ж, i) : х > 0, -х < t < 0} , для уравнения

О = Uxx(x, t) - U(x - г, t) + F(x, t)} t > 0,

Uxx{x, t) - Utt(x, t) = H(-t - h)U(x, t + h),t< 0, p

где 0 < h,r = const, F(x, t) = £ gi(t)fi(x), 1 < p e N, #(i) - функция

i=i

Хевисайда, рассматривается

Задача 2.3. Найти функции gi(t), € С[0; +оо) (I = 1 ,р),

при известных функциях fi(x) е С(0: +ос) (j = 1 ,р), и регулярное решение U(х, t) уравнения (6) в области D , удовлетворяющее начальным и краевым условиям

Hm D^f1U(x, £) = ß(x), -оо < х < 0; U(x, -х) = ^(я), ж > 0;

^£/(0,0 = i = Т7р, i > о,

условиям сопряжения

Дт f/(a-, £) = Дт D^lU(x, f) = ы(х), х>0,

lim Ut(x.i) = lim &-а1Ш/(х,0 = и(х), х>0, t—.0— t—»0+

где ф(х), ifj(t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем 0(0) = ф(0) . Доказана

Теорема 2.3. Пусть функции Ф(х) 6 С[0;+оо) П CJ(0;+oo) ; ß(x) е С(—оо;0] П CJ{—оо;0) ; Dfcpfö) € С(0;+оо), ^(+оо) = 0; Дт Öä-Vi(fl = , Ф 0 , № е Cj(0; +оо) (7 = 1,р).

Тогда существует единственное регулярное решение U(x,t) и (i = 1~р) задачи 2.3.

Вопрос существования решения задачи 2.3 сводится к разрешимости интегро-дифференциально-разностного уравнения относительно функции üj(x), a gi(t) (I = 1,р) - к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Глава III посвящена начально-краевым задачам для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и отклоняющимися аргументами.

Под регулярным решением уравнения в области D = D+ U D" U J, будем понимать такое решение U(x,t), что

ЩГ^М 6 C(D+), U(х, t) € C(D-), tl~«D&U{x,t) 6 C(D+ U J), С^исСяг, t) e C(L>+ U £»-), u«(z< t) 6 C(£>").

В §7 рассматриваются начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и отклоняющимися аргументами.

• В области D = £>+ U D~ U J , где

D+ = {(.T,i) : 0 < х < т,г > 0} , J = {(a:,t) : 0 < x < т, t = 0} , D~ = {(a;, t): —t < x < т + t, — | < t < 0} , для уравнения

FLU(x,t) = 0, t>0, Ua(x,t) = U„(z,t),t<0,

где

LU(x, t) = D^U(x, £) - Usx(x, t) - H{t - h)U{x, t - h),

p

F = ]Г) aj^f, 0 < r, /i, a; = const, 1 < p € N , H(t) - функция Хевисайда, 1=0

рассматривается.

Задача 3.1. Найти регулярное решение U(x,t) уравнения (7) в области D удовлетворяющее краевым условиям

U(0, t) = U(t, t) = 0, t > 0; U(x, -х) = ф(х),_0_< х < §, U(xj,t) = <fij(t), t > 0, 0 < xj < т, j = условиям сопряжения

Дт U{x, t) = Дт £>&_1t/(a\ О = oj(x)„ 0 <х<т,

tim Ut(x, t) - ^lim tl~aD%tU(x, £) = ¡/(x), 0 < а: < r,

где i/i(x), (/}j(t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем ф{0) — 0 .

• В области D = D+ U D~ U J, где

D+ = {(¡М) : x > 0,i > 0}, J = {(x,f) : ж > 0, f = 0} ,

+oo

D~ = jj = {(x,f) : Ar-t < x < t+ (k+ l)r, -r/2 < i < 0}, для

fc=0 уравнения

FLU(x, i) = 0, i > 0,

0 = t) - #(® - t)U(x -t,t),t< 0, U

где

Щх, i) = Dgt(7(xt О - [^(ж, t) - Я(£ - h)U(x, t-h) + H(x - r)i7(x - r, i), p

F = £ , 0 <r,h,ai= const, 1 < p 6 N, #(i) - функция Хевисайда,

z=o

рассматривается

Задача 3.2. Найти регулярное решение U(x, t) уравнения (8) в области D , удовлетворяющее краевым условиям

U(0, t) = 0, t > 0; U(x, кт —x) — фк(х), кт <x < (2k + l)r/2, £U(xj, t) = <pj{t), t > 0, 0 < xj < -boo, j = 1 ,p,

lim U(x,t) = lim D^U{x, £) = w(ar), 0 <x < +oo,

условиям сопряжения

lim U(x,t, t—0- 4 ' t—0+

Um_СЛ(ж,t) = tlim tl-aD^U{x,0 = ¡/(ж), 0 < ж < +oo,

где t/)fc(a;) , <£j(i) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем lim max |^/>&(ж)! = 0, т/'о(0) = 0.

оо [Ь-,(й+1)т]

• В области £> = D+UD-U J , где D+ = {(x,t): jx| < +оо, t > 0} , J = {(x,t) : x > 0, t = 0} , D~ - {(ж, i) : x > 0, -x < t < 0}, для уравнения

(9)

j FLU(x,t) = 0, t > о,

\ £/«(x, t) - tftt(sr, t) = ff (-t - h)U(x, t + h),t<0, где

LU(x, t) = О&Щх, 0 - ¡У*х(ж, t) + £/(ж - т, £),

p

F = £ а^ет , 0 < r,h,ai ~ const, 1 < p € N , Я(£) - функция Хевисайда, ;=o

рассматривается.

Задача 3.3. Найти регулярное решение U(x,t) уравнения (9) в области D , удовлетворяющее краевым условиям

tlim D^lU(x,Ci = ß(x), -оо < х < 0; С/(ат, -х) - ф(х), х > 0;

условиям сопряжения

Ш Щх, £) = Дт 0&-1и(х, 0 = ж > О,

Нт иг{х,Ь) = ^Нт^(х, £) = и(х), х > О,

где ф(х), - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции,

причем /3(0) = ф(0).

Решение задач 3.1 - 3.3 строится путем сведения их к обратным задачам, так как, если ЪГ1 (ж), и^{х),..., ир(х) - линейно независимые решения уравнения РУ = 0 , где V — Ы1(х, I), то его общее решение имеет вид

1=1

Сг(й) - произвольные непрерывные, достаточно гладкие функции.

В §8 рассматривается начально-краевая задача для уравнения смешанного типа высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с запаздывающим аргументом.

В области В = £>+ и и /, где £>+ = {(ж, £) : |ж| < +оо, £ > 0} ; +00

О- = и Оъ , ££ = {(ж,«) ■. кт-1 <х <(к + 1)т + 4, -г/2 < 4 < 0} ;

к=0

J = {(x, t): x > 0, t — 0} , для уравнения

FLU(x,t) = 0, (10)

в котором

F = #(«)(< +-y) +ЯН), LU{x, t) = Uxx(x, i) - D^tH{t)+2H{'t}U(x, t)- {H{t) + H(—t)H(x - r)) U(x - t, t),

0 < a < 1; га - 1 < ß < n (n € N); 0 < 7,r = const] Я(£) - функция Хевисайда, рассматривается

Задача 3.4. Найти регулярное решение U(x,t) уравнения (10) в области D , удовлетворяющее начально-краевым, условиям Дт+ t) = f(x), х < 0; U(x, kr- х) - ipk(x), kr<x<(2k + l)r/2,

lim <-'£/(£ i) = ^-(i), t > 0 (j = T7n),

условиям сопряжения

lim Ц£-гЩх,0 = lim U(x, t) = 0/(2), xeJ, t~> 0+ t—*o—

Дт t}-aD&U(x, £) = Дт £/t(ar, i) = i/(a:), x 6 J,

где i-'k(x), <fj(t) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем /(0) = ^о(О), <^¿(+00) = 0, /(-оо) = 0, lim max = 0.

fc—+00 a:S[fcr,(2fc+l)r/2j

Если в (10) LU = V , то общее решение уравнения FV — 0 имеет вид V = LU(x, t) - H(t) Е 7^), (11)

где Q(£) (/ = 1 , n) - неизвестные непрерывные, достаточно гладкие функции.

Поэтому решена обратная

Задача 3.4'. Найти функции Ci(t), £>щ-1С/(£) 6 С[0, +00) (/ - 1, п) и регулярное решение U(x,t) уравнения (И) в области D, удовлетворяющее краевым условиям и условиям сопряжения задачи 3.4, где f(x) б С(—оо,0] П С2(—оо,0) и абсолютно интегрируема на (—оо,0) вместе со своими производными; фк{х) € С[кт, (2& + 1)т/2]ПС2(А:г. (2fc + 1)г/2); € С[0,+оо); /(0) = ^(0), /(-с») = 0, ^-(+оо) =

0; lim max Шх)\ = 0; KmI)0VV,(£) = Hmi^üJ(£) (j =

00 xe[&r,(2fc+l}r/2] t—>0+ ®-»0

Мг), S7(x) = H(x)w(x) + H(—x)f(x).

Вопрос существования решения задачи 3.4' сводится к разрешимости интегро-дифференциально-разностного уравнения относительно функции и(х), а Сi{t) (I — 1,п) - к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

В §9 рассматривается начально-краевая задача типа Геллерстедта для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с отражением и опережающе-запаздывающими аргументами.

В области £> = £>+ U D~ U J, где D+ = {(sc, t) : |xj < +00, t > 0} ; D~ = D{\JD2 , £>Г = {(x,t) : x > 0,£ > -x} , DJ = {(®,i) : x < 0,t > x} , J = I (x, t): )a;| < +00, t = 0} для уравнения

(lf0x + 7) (Uxx{x, t) - D%tU(x, t) - U(x - r, t)) = 0, t > 0, Uxx(x, t) - Uu(x, t) = H(~t - h)U{-~x,t + h),t < 0,

в котором 0 < a < 1; n-l</?<n(n€ N); 0 Су,т, ft = const; if(f) -функция Хевисайда, рассматривается

Задача 3.5. Найти регулярное решение U(x,t) уравнения (12) в области D , удовлетворяющее начально-краевым условиям U(х, -х) = фi(x), х > 0; U(x, х) = х < 0; lim D&Utf, t) = ^(i), t > 0 (j = Mi); условиям сопряжения

D£f1U(x, £) - Дт U(x,t) = ш(х),х 6 J

Hm tl~aD%tU{x, f) = Hm Ut(x, t) = v(x),x 6 J;

где '/'¿(ж) (г = 1,2), <Pj(t) (j = l,n) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции, причем чрi(0) = ^г(О), 1)г+1оо) = 0 (г = 1,2),

V?j(+oo) = 0 .

Аналогично §8 задача 3.5 может быть решена как обратная Задача 3.5 '. Найти функции Q(t), D^lCi(t) € С[0, +оо) (7 = 17п) и регулярное решение U(x,t) уравнения

Uxx(x, t) - f) - С/(ж - т, <) = F(®, i), t > 0,

£/хх(ж, t) - Uti(x, t) = tf (-£ - h)U(—x, t + h), t < 0,

в области D удовлетворяющее начально-краевым условиям и услови-

п

ям сопряжения задачи S.5, где F(x,t) = >

А{х) 6 C{(-l)i+1x > 0} П C2{(-l)i+1x > 0} (г = 1,2); ^(0) = V2(0), Vi((-l)i+1cx)) =_0 (i = 1,2), %(+oo) - 0,

Hm V, (0 = Hm i&Vfl tf = 1, n) •

Пользуясь случаем автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю - Александру Николаевичу Зарубину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Бурцев М.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробного порядка // Вестник науки. - Орел: ОГУ, В.З, 2004. - с 32 - 34.

2. Бурцев М.В. Начально-краевая задача для смешанного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.25. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004. - с. 55 - 56.

3. Бурцев М.В. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе / / Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: Материалы Третьей международной конференции. Нальчик,

2006. - с. 70 - 71.

4. Бурцев М.В., Зарубин А.Н. Задача Копта для составного уравнения дробной диффузии с некарлемановским сдвигом // Вестник науки. - Орел: ОГУ, В.6,

2007. - с. 38 - 40.

5. Бурцев М.В. Смешанная задач» для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате // Материалы конференции "СамДиф-2007". - Самара: Издательство "Универс групп", 2007. - с. 35 - 36.

6. Бурцев М.В. Задача Хрикоми для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом // Труды Всероссийской заочной научно-практической конференции "Актуальные проблемы обучения математике (К 155 - летию со дня рождения А.П. Киселева)". - Орел: ОГУ, 2007. -с. 399 - 402.

7. Бурцев М.В., Зарубин Л.Я.Начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Новосибирск: НГУ, 2007. - с. 105 - 106.

8. Бурцев М.В., Зарубин А.Н. Теорема единственности смешанной задачи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по обеим переменным // Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч.З. -Самара: СамГТУ, 2007. - с. 42 - 45.

9. Бурцев М.В., Зарубин А.Н. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом // Дифференциальные уравнения. - 2008. -Т. 44, №3. - с. 373 - 383.

10. Бурцев М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения опережающе-запаздывающего типа // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак. - 2008. - Т. 3 - С. 74 - 85.

Подписано в печать 3.09.2008г. формат 60x80 1/16 Печать на ризографе. Бумага офсетная. Гарнитура Times Объем 1 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 650

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе редакдионно-издательского отдела ГОУ ВПО "Орловский государственный университет" 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95. тел. (4862)74-45-08

Введение

I. Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка

§1. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени в полуполосе.

1.1. Постановка задачи. Единственность решения.

1.2. Построение решения задачи Коши для неоднородного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом.

1.3. Существование решения задачи 1.1.

§2. Смешанная задача для неоднородного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате в четверти плоскости.

2.1. Постановка задачи. Единственность решения.

2.2. Существование решения задачи 1.2.

§3. Задача Коши для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате.

3.1. Постановка задачи. Единственность решения.

3.2. Существование решения задачи 1.3.

II. Обратные задачи для дифференциально - разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.

§4. Обратная начально - краевая задача для дробного диффузионно - волнового уравнения с запаздывающим аргументом по времени.

4.1. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом. Функциональное соотношение.

4.2. Первая задача Дарбу. Функциональное соотношение.

4.3. Существование и единственность решения задачи 2.1.

§5. Обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате.

5.1. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздыванием по обеим переменным. Функциональное соотношение.

5.2. Задача Коши для волнового уравнения с запаздыванием по пространственной координате. Функциональное соотношение.

5.3. Существование и единственность решения задачи 2.2.

§6. Обратная задача для неоднородного уравнения смешанного типа с дробной производной и опережающе-запаздывающими аргументами.

6.1. Задача Коши для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по пространственной координате. Функциональное соотношение.

6.2. Задача Копти для волнового уравнения с опережающим аргументом. Функциональное соотношение.

6.3. Существование и единственность решения задачи 2.3.

III Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и отклоняющимися аргументами.

§7. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными и запаздывающими аргументами.

7.1. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и запаздывающим аргументом по времени.

7.2. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и запаздывающими аргументами по обеим переменным.

7.3. Начально-краевая задача для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробной производной и кратным запаздыванием по пространственной координате.

§8. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с запаздывающим аргументом.

§9. Начально-краевая задача типа Геллерстедта для диффузионно-волнового уравнения высокого порядка с дробными производными по времени и пространству с отражением и опережающе-запаздывающим аргументом. 126 Список литературы.

В работах В.Ф. Волкодавова [23], Е.И. Моисеева [51] - [53], A.M. Нахушева [55] - [56], А.П. Солдатова [79], С.П. Пулькина [62] -"[64], Т.Д. Джураева [33], Л.С. Пулькпной [65] - [66], К.Б. Сабитова [71] - [72], А.Н. Зарубина [35] - [39], О.А. Репина [67] - [70], А.А. Килбаса [47] -[48], М.С. Салахитдинова [73] - [74], М.М. Смирнова [78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробной производной исследовались в работах А.Н. Кочубея [49], А.В. Псху [60] - [61]; для уравнений смешанного типа с дробными производными - в работах С.Х. Геккиевой [26] - [27]; для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа - в работах А.Н. Зарубина [34] - [43]; в работах А.А. Андреева [2]- [5] и его учеников [57], [76] - [77] рассматривались краевые задачи для уравнений смешанного типа с инвалютивным отклонением.

Тем не менее, следует отметить, что, не смотря па достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с дробными производными и отклоняющимся аргументом находится в начале своего развития.

Наиболее близкими в этом направлении являются работы А.Н. Зарубина [41] - [42] и Е.А. Зарубина [46], где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного тина с дробной производной и запаздывающим аргументом.

Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами, а так же прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики, математической биологии, нелинейной оптиюi, подтверждает актуальность темы диссертации.

Следует так же отметить, что н теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем, связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений. Обратные задачи для линейных уравнений в частных производных, состоящие в определении либо начального, либо граничного условия, либо правой части уравнения по некоторой дополнительной информации о решении уравнения, исследовались целым рядом авторов, такими как: A.M. Денисов [30], О.М. Алифанов [1], М.М. Лаврентьев [50], JT.A. Чудов [83] и др. Однако, обратные задачи для уравнений смешанного типа практически не изучены, тем более для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых, прямых и обратных, нелокальных начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и запаздыванием по различным переменным, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, качественные свойства специальных функций, функции Миттаг-Леффлера, Н - функции Фокса, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования. метод вспомогательных функций (метод "abc"), метод разделения переменных Фурье.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных - проблеме решения прямых и обратных нелокальных задач для уравнения смешанного типа с дробной производной и запаздывающими аргументами.

Основные результаты выносимые на защиту:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения начально-краевых задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений диффузии дробного порядка в канонических областях.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения обратных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной.

3. Доказательство теорем существования и единственности начальнокраевых задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа высокого порядка с дробными производными, запаздыванием, опережением и отражением.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для неоднородных дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и отклоняющимися аргументами в областях изменения типа уравнения.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.

Апробация работы.

Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались па:

• Международной конференции "Современные методы физико-математических наук", посвященной 75-летию Орловского государственного университета и 75-летию физико-математического факультета (2006г.) ОГУ, г. Орел.

• Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (2007г.) СамГТУ, г. Самара.

• Второй Всероссийской конференции "СамДиф" (2007г.) СГУ, г. Самара.

• Международном Российеко-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-форматики"и VI Школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (2008г.) Нальчик - Эльбрус.

• Научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2004 - 2008гг. Орел, ОГУ (руководитель д. ф.-м. н., профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [12] -[21], второму автору работ [15], [18] - [20] принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка. В каждой главе - три параграфа. Список литературы содержит 85 наименований. Объем - 148 страниц.

1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

2. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе Лыкова с инволютиным отклонением // Труды десятой межвузовской конференции " Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара. 2000. С. 8 - 16.

3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.-М.: Высшая школа, 1999. 695 с.

4. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи мат. наук. 1953. - т.8, №2. - 160 с.

5. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. -Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -252 с.

6. Бейтмен ГЭрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. т. 1-2. - М.: Наука, 1969. - 344 с.

7. Бицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. - т. 70, №4. - с. 561 - 564

8. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.

9. Бурцев М.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробного порядка // Вестник науки. Орел: ОГУ, В.З, 2004. - с 32 - 34.

10. Бурцев М.В. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате // Материалы конференции "СамДнф-2007". Самара: Издательство "Универс групп", 2007. -с. 35 - 36.

11. Бурцев М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения опережающе-запаздывающего типа // Дифферснциальныеуравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции. Стерлитамак. 2008. -Т. 3 - С. 74 - 85.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ, 1959. - 628 с.

13. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. -Казань, 1969. 10 с.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений М.: Наука, 1982. - 304 с.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

16. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной / /Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т.5, №1. с. 16 -19

17. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994, №1. с. 17 -18

18. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач: Учеб. пособие. -М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

19. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

20. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 544 с.

21. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

22. Зарубин А.Н. Краевые задачи для дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 2002. - 220 с.35 . Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. - 255 с.

23. Зарубин А.Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа //Дифференциальные уравнения. 1999. - Т.35, №8 - с. 1135 - 1136.

24. Зарубин А.Н. Интегральные преобразования 'теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа / / Дифференц. уравнения. 1999. - Т.35, №8. - с. 1135 - 1136

25. Зарубин А.Н. Задача для уравнения фрактальной диффузии с запаздывающим аргументом // Вестник науки. Орел: ОГУ, В.4, 2005. - с. 73 - 79

26. Зарубин А.Н., Зарубин Е.А. Начально краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной // Материалы международной конференции. -Орел: ОГУ, 2006.

27. Зарубин Е.А. Метод интегральных преобразований решения дифференциально-разностных уравнений математической физики. Методическая разработка. - Орел, ОГУ, 2003.- 34 с.

28. Зарубин Е.А. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени // Вестник науки. Орел: ОГУ, В.4, 2005. - с. 73 - 79.

29. Килбас А.А., Репин О.А. Аналоге задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. -Т. 39, №5. - с. 638 - 644.

30. Килбас А.А., Репин О.А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. -Т.43, №6. - с. 799 - 805.49 . Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка //Дифференц. уравнения. 1996. - Т.26, №4. - с. 660 - 670.

31. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности некоторых нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа //Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, № 3. с. 531-533

32. Моисеев Е.И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1979.52 . Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. -М.: Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

33. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. т. 26, Ш. - с. 1160 - 1172.

34. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

35. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. - 272 с.56 . Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа j j Дифференц. уравнения. 1969. - Т.5, т. - с. 44 -59.

36. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. -Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. 186 с.

37. Пулъкина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки. 2003. Т.73, В.З. с.435 - 445.

38. Репин О.А. О разрешимости одной нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной //Мат. моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвузовской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2004. - с. 161 - 164

39. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. -Саратов:Изд-во Саратов, ун-та. 1992. 161 с.

40. Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Математическое моделирование. 1990. Т.2, №10. с. 100 - 109.

41. Саушкин И.Н. Об одной краевой задаче для уравнения с инволю-тивным отклонением в бесконечной области // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской конференции. Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2005. с. 199 - 204.

42. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

43. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением.// Дифференц. уравнения. 1974. -т. 10, №1. - с. 143 -152.

44. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф. И. Франкля). -M.-JL: Гостечиздат, 1947. 192 с.

45. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В Зт. Т.З/Пред. и прим. А.А. Флоринского. 8-е изд. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 728 с.

46. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля //Изв. АЕ СССР. сер. ма-тем. - 1945. т. 9, №5. - с. 387 - 422.

47. Чудов Л. А. Обратная задача Штурма-Лиувилля // Мат. сб. 1949. Т. 25, № 3. С. 451-454.