К теории начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Теория дробного исчисления. Предварительные сведения

§1.1. Исторический обзор.

§ 1.2. Специальные функции.

§ 1.3. Дробные интегралы и производные.

§ 1.4. Дифференциальные уравнения дробного порядка.

ГЛАВА 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка

§ 2.1. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка. ф

§ 2.2. Видоизмененная задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка.

§ 2.3. Задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка.

§ 2.4. Видоизмененная задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка.

§ 2.5. Задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка

ГЛАВА 3. Численное решение задачи Коши и краевой задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка.

§ 3.1. Модификация метода Эйлера для дифференциального уравнения с дробной производной.

§ 3.2. Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной прогонки

§ 3.3. Численное решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения с дробной производной.

Актуальность темы. Более углубленные исследования реальных процессов приводят к необходимости исследования дифференциальных ф уравнений дробного порядка. К таким процессам может быть отнесена проблема фильтрации жидкости в средах с фрактальной геометрией, физические аспекты стохастического переноса, исследование сплошных сред с памятью, математических моделей вязкоупругого тела, климатических моделей. С дифференциальными уравнениями дробного порядка связано решение гиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа, также и нагруженных уравнений.

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алероева Т.С., Барретта Д.Х., Бечеловой А.Р., Вольтерра ® В., Джрбашяна М.М., Зарубина А.Н., Карасева И.М., Килбаса A.A.,

Кумыковой С.К., Лесковского И.П., Летникова A.B., Мандельбройта С., Маричева О.И., Нахушева A.M., Нахушевой В.А., Некрасова А.Б., Нерсесяна А.Б., Нестерова С.В., Пичера Е., Поста Е.Л., ПсхуА.В., Репина O.A., СамкоС.Г., Сербиной Л.И., Сыоелла В., Хольмгрена X., Шханукова М.Х.

Цель работы. Основной целью работы является исследование видоизменной задачи Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка и качественный ф анализ решений канонических междупредельных дифференциальных уравнений. Также построение и исследование разностных аналогов дифференциальных уравнений дробного порядка для видоизмененной задачи Коши и его решение модифицированным методом Эйлера. И, наконец, решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной "прогонки".

Методы исследования. Результаты получены с использованием методов последовательных приближений, сжатых отображений, решения интегральных уравнений, а также теории разностных схем.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Установлена связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках, получено условие разрешимости задачи Коши для междупредельного дифференциального уравнения и также установлена эквивалентность этих задач для линейного дифференциального уравнения дробного порядка интегральному уравнению Вольтерра второго рода в одном случае и интегральному уравнению Фредгольма третьего рода в другом случае.

2. Для различных типов квазилинейных дифференциальных уравнений дробного порядка решена видоизмененная задача Коши, сведением исходного уравнения к интегральному, получены оценки для п-ых приближений.

3. Получен аналог метода Эйлера для дифференциального уравнения дробного порядка для решения задачи Коши.

4. Решена краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной "прогонки получен критерий устойчивости вычислительного процесса для нахождения коэффициентов "прогонки".

5. Дано решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения дробного порядка с использованием явной разностной схемы и критерий устойчивости вычислительного процесса.

Практическая и научная ценность. Работа является как теоретической, так и практической. Теоретическая часть может быть использована в теории дифференциальных уравнений дробного порядка, а практическая часть может быть применена для численного решения задачи Коши для конкретного дифференциального уравнения дробного порядка и также краевой задачи.

Апробация работы. Результаты докладывались в 1993 г. в работе школы-семинара по современным проблемам анализа и математического моделирования в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик и включены в отчет по научно-исследовательской работе за 1992 г.; на региональной научно-практической конференции, посвященной 25-летию образования Чеченского государственного университета, 1997 г.; на региональной научно-практической конференции "Мир, согласие и сотрудничество посвященной 60-летию Чеченского государственного университета, 1998 г.; на региональной межвузовской научно-практической конференции "Вузовская наука - народному хозяйству 2002 г., г. Грозный; на региональной межвузовской научно-практической конференции "Вузовская наука в условиях рыночных отношений 10-11 декабря 2003 г., г. Грозный; на республиканской научно-практической конференции, 2004 г., г. Грозный; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI 2005 г.

В первой главе собраны краткие сведения исторического характера; определения специальных функций, дробного интеграла и производной, дифференциальных уравнений дробного порядка, на которые необходимо опираться в работе.

Во второй главе изучается задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка.

В § 2.1.1. рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения дробного порядка

DS,y(t) = f(x,y), 0 < х < I, I > 0 (1)

C12/W 1*=о =Ь<оо. (2)

Введем класс CJ [0, ¿] функций tp(x), имеющих дробную производную порядка а < 1 во всех точках х Е]0, £] и представимых в виде ср{х) = х-Р(р0(х), где(ро(х) <Е С[0,4

Задача (2) для уравнения (1) разрешима в классе Ср [0,£], если а+(3<1 для b = 0 и а+(5=1 - для произвольного Ь.

Для простейшего междупредельного дифференциального уравнения

DЫt) = № (3) единственное решение из класса Ср [0,^] при а + /3 < 1 задается формулой у(®) = £>£*№ и (<)

В отличие от условия (2) введем локальное условие

Иш х1~ау(х) = У0

4)

Тогда единственное решение уравнения (3) для задачи (4) в классе С\-а [0^ задается формулой у (х) = Уо X"-1 + / (0 .

Задача (4) для уравнения порядка а < 1 названа видоизмененной задачей Коши.

В §2.1.2 рассмотрено дифференциальное уравнение дробного порядка а < 1 п

0* У (*) + I] От М 1С У (*) + (ж) у (я?) = / (ж), (5) т=1 а, > аг+ь аг(гг) е С[0, Ч, г = 1, 2,п. Задано условие лгг1 у (о и = (6)

- заданное число, ц 6 [0, (]. Получено равенство

Нтж1 ау(х) = ——— х->о ^ ' Г (а)

Уи~ м Л устанавливающее связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках. Из этой связи вытекает, что задача

6) для уравнения (3) в классе Ср [0, £] с а + (3 < 1 разрешима тогда и только тогда, когда у* = I /(О«**

Пусть т+ = {т : ат > 0}, т = {т : ат < 0}.

Теорема 1. Если а^х) 6 С1[0,£] для всех э £ т+ и а^х) € С[0,£] для всех 3 6 то задача (6) для уравнения (5) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма третьего рода аг'-И*)- £ У т€т+ д у(*)<Й (// - *)в'

IК (*, 0 2/ (*) X

7) где

Г (а) г/„ с1х X1"' ДоТ / «)

8)

Из (7) и (8) при ¡1 —>0 получаем, что - решение уравнения Ъ

1 / - <) г и х-"-1 + О,-« / (¿)

9)

В классе [0, уравнение (9) всегда разрешимо единственным образом.

Теорема 2. Пусть а^(х) Е Сх[0, для есеяб га+ и а^{х) е С[0,£] для всех ] € ТП-. Тогда задачи (2) и (2.1.13) для уравнения (2.1.15) в классе С\-а [0» эквивалентны интегральному уравнению Вольтерра второго рода (2.1.24) и они всегда разрешимы и при том единственным образом.

В § 2.2 для нелинейного уравнения дробного порядка где 0 < а < 1, (3 < а, 0 < х < И, рассмотрена задача Коши

Иш х1~ау(х) = у0. (И)

Обозначим через множество точек (ж, у) из области И, лежащей в 1хЁ:

Ьг

КхЧ (х, у) е В : 0 < х < к, х ау(х) —

Г(а) а >

НЬп а, Ь0, к - постоянные.

Г(а + 1)

Теорема 3. Пусть /(ж, г) - вещественная, непрерывная в области И функция, удовлетворяющая по г условию Липшица: и ограничению х, - /(х, г2)\ < А- г2\ тах \/(х,г) \ = Ь0 < оо.

Тогда решение задачи (2.2.2) для уравнения (2.2.1), в области Мх С И существует, непрерывно и единственно.

Заменой дифференциального уравнения эквивалентым интегральным уравнением методом последовательных приближений доказывается утверждение теоремы. Для п-го приближения получена оценка

Уп+1 ~ Уп\ < АпЬ0к^а-п13/Т({п + 1)а + 1 - п(3), которая при /3 = 0 совпадает с известной оценкой [25]. В § 2.3 для нелинейного уравнения дробного порядка

12)

13) где 0<а<1, /3< а, х рассмотрена видоизмененная задача Коши

Иш х1~ау(х) = уо. (14) ж—>0

Обозначим через I) множество точек (ж, у, г) из области С?, Лежащей в КхЕхК:

Б = {(х,у,г) € в : 0 < х < I, \х1~ау{х) - у0\ < а, \х1~а+^г(х) - г0| < 6} , оо

IM , 1М Г (a) w , г . . , а > ГКП)' 6 > Г(а — /3 + 1)' г» = »гйу г(а) = /г е dí;

М - постоянные.

Теорема 4. Пусть f(x,y,z) - веществеппозначная, непрерывная в области G функция, удовлетворяющая условию Липшица по у и z:

- f(x,y2,z2)\ < N(\yi — y2\ + \zí - z21) и ограничению max \f(x, y,z)\ = M<oo. x,y,z)eD

Тогда решение задачи Коши в области D С G существует, непрерывно и единственно.

Теорема 4 доказывается аналогично теореме 3. Для n-ого приближения имеем оценку п 1-кр IW*) - Ш\ < N'Ml^gс*пщп+1)а+1щ при (3 = 0, если в качестве N взять JV/2 как и для оценки (12) имеем аналогичный результат.

В § 2.4 для квазилинейного уравнения дробного порядка т

ЩЖ*) + Е = Я*» £>ЬуШ (15) к=i где 0 < (3 < а < 1; а > o¿i > а2 > . > ат, a* G К, х G (О, I) рассмотрена видоизмененная задача Коши lim x^yix) = у0. (16) x-tO

Пусть f(x, z) задана в области G С 1 х 1. Построим в этой области замкнутый прямоугольник D:

D = {(я, z) € G : 0 <х<1, |xx-a^z{x) - Zq\ < b}, b > CZ°ia'ai + fwb) +

Г (a) Zo ~ УоГ(а-/ЗУ

М - постоянная, а с будет определено в ходе доказательства.

Теорема 5. Пусть f(x, z) - вещественнозпачная, непрерывная в области G функция, удовлетворяющая условию Липшица по z : f(x,Zl) - f(x,z2)\ < N\Zl - z2\ и ограничению max \f(x, z) \ = M < oo. x,z)eD

Тогда решение задачи Коши в области D С G существует, непрерывно и единственно.

Заменив исходное уравнение на интегральное и учитывая, что z(x) = D%xy(t) имеем X z(x) + j K(x,t)z(t)dt = F{x,z). (17) 0

Резольвенту ядра K(x, t) определим через повторные ядра оо

R(x, t,-l) = 22(-l)n~lKn(x, t). (18) п—1

Представим решение (17) через резольвенту X z(x) = F(x, z) - J R{x, s, -l)F(s, z(s))ds. (19) 0

В пространстве функций, имеющих суммируюмую производную порядка а — ß, введена метрика p{z2,zl) = sup xl~a+ß\z2(x) - Zi(x)\ о<х<г и рассмотрен оператор ср = Az.

Доказано, что оператор А является сжимающим.

В § 2.5 рассмотрено квазилинейное дифференциальное уравнение дробного порядка m J2an(x)D£y(t) = f(xMx),D%xy(t)), (20) n=l где а > (3 > <*1 > а2 > . > ат > 0, ап(х) е С2[0,1], п = 1,2, .,т с начальным условием ит®1-ву(®) = Уо. (21) х-»0

Функция /(х,у,г) задана в области С К3, построим в этой области замкнутый параллелепипед

В = {(®,у) £ (7 : 0 < х <1, \х1~ау(х) - 2/о| < а, \х1~а+рг{х) - г0| < &}, где г0 = у0Г(а)/Г(а - (3) и а > суй1°-а1 + 6 > с^0/а'а1 +

М1

Г(а) М/ а 2а — с*1 1

-Г

-с*1

Г(а - /9)

М, с - постоянные.

Г(а-Р) 2а-Р-а1 Г

-а 1

Теорема 6. Пусть /(х,у,г) - веществеппозначная, непрерывная в области (7 и удовлетворяющая условию Липшица по переменным у, г:

1/(^,2/1^1) - Дя, 2Лг, 22Л < М(\уг-у2\ + - г2\), где N - постоянная, не зависящая от х, у, г, и ограничению тах \/(х, у, г)\ = М < со. х,у,г)еО

Тогда решение задачи (21) для уравнения (20) в области £) С С? существует, единственно и непрерывно почти всюду.

Способ доказательства аналогичен доказательству теоремы 5.

Третья глава посвящена численным методам решения задачи Коши и краевой задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка.

В §3.1 рассмотрено квазилинейное дифференциальное уравнение дробного порядка (22) с начальным условием

2/(0) = 0.

23)

Так как для любой функции у(х) £ АС0[0, г] справедливо равенство о можно записать для разбиения х^ = кН г М = 1 у- ?

2 --а ■ а 2 71/'

Произведя замену получаем г) = + о(Л), у< е [ж^,, х(;],

24) где =

Пренебрегая вторым слагаемым в правой части (24), за разностный аналог регуляризованной производной в точке Х{ от функции у(х) принято выражение к=1 4 >

Или окончательно = < = 1! и

Уг ~ Уо^Ъ + £у*Д25Г-*-1

Аа'ХМ =-^—-, г = 2, 3, . . охгу\) Г (2 — а) На

В качестве разностного аналога уравнения (22) и условия (23) имеем

5= /(*<,И), г = 1, 2, . ; у0 = 0. (25)

Из (25) получим

Vi = Г (2 - a) haf (х„ Vi) + yoASl, - 5>A2S? = F{xu yt). k—1

В плоскости переменных (х, у) определим множество D: D = {(х,у) : 0 < х < г, |х1~ау{х) - у0\ < а}, где а > Mr/Y(l + а), М = max \f(x, у)|.

Оx,y)eD

Для определенности положим у(х) > 0, тогда у(х) < аха~1. Теорема 7. Пусть функция F(x,y) определена и непрерывно дифференцируема по у на интервале (0, аха-1), причем все ее значения R(F(x,y)) е (0, ах"'1). Тогда, если 1 при у < ах01-1, то:

1) процесс итерации уп = F(x,yn-1) сходится независимо от начального значения у0 G (0, аха~г);

2) предельное значение у = lim уп является единственным корнем

П-¥ ОО уравнения у = F(x, у).

Таким образом, в качестве разностного аналога уравнения (22) можно рассмотреть систему

Даг<УМ = /(®«-1,У£-1), г = 1, 2, . ; Уо = 0. (26)

Так как АS]k = 0 при к < г — 1, то при а = 1 получаем

АОх,2/(0 = АУг-1 = Vi ~ Vi-1

Стало быть, при а = 1 система (26) совпадает с системой разностных уравнений метода Эйлера, поэтому вышеописанный алгоритм назван модификацией метода Эйлера.

В §3.2 рассмотрено дифференциальное уравнение дробного порядка

Ly = D£ly{t) + p(x)Dß0xy(t) + q(x)y(x) = f(x) (27) с граничными условиями

2/(0) = 2/(1) = 0, (28) где 0 < а < 1, 0 < ¡3 < 1, у(х) е АС[ 0,1], р{х), q(x) Е С [0,1], X

DLy(t) = щ^у I y'(t) (х - íf'át, (29) О

D^y(t) = Щ^у ^(0)*"° + Iy"(t)(x - , (30) так как ?/(0) = 0.

Перейдя к разностным аналогам, имеем = Щ^Щ £ Sf.k + (31)

V<*< VW ~ Г(1 - а) + Г(2 - а) £ + Г(2 - а) * ' >

Отбросив последние слагаемые в правых частях (31) и (32), подставив полученные выражения в (27) имеем

Lhy ее A£*y(t) +p{xi)^Xiy{t) + д(х{)у(ъ) = /(*«)•

Приведя подобные члены и учитывая, что Уо = Уы = 0? получим систему N — 1 уравнений с N — 1 неизвестными.

Допустим, что dn>k ~ элементы матрицы этой системы. В матричной форме система уравнений имеет вид:

DY — F, где матрица D является нижней почти треугольной или матрицей Хессенберга. Алгоритм решения системы уравнений (32) назовем модифицированным методом "прогонки".

Пусть апк и рпк - промежуточные коэффициенты, а -^пэ Кп коэффициенты "прогонки". Тогда

Уп = Ьп- КпУп+ь п = 1,2,N - 2.

Теорема 8. Вычислительный процесс для нахоо/сдения Ьп и Кп устойчив, если существует такое число г > 1 + а, что для всех главных диагональных миноров определителя И выполняется

В § 3.3 для однородного дифференциального уравнения с дробной производной у"{х) + (0 - Ы*) = о (33) рассмотрена краевая задача

2/(0) - Ру'(0) = 0, у(1) = 0, (34)

Разностный аналог получим тем же методом, что и в 3.2. В данном случае тоже получена матрица Хессенберга для системы линейных уравнений, но последовательные значения уп вычислены по явной схеме п—1

Ум =-шУк, та = 1,2, к=о

Теорема 9. Если для любого е > 0 существует Н > 0, что выполняется ум~у{ 1)| < е, то вычислительный процесс для нахоэюдения ук, к — 1,2,ТУ — 1 устойчив.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненная работа по исследованию начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений позволяет сформулировать следующие результаты диссертации:

1) Дан качественный анализ свойств решений канонических междупредельных дифференциальных уравнений.

2) Установлена связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках.

3) Установлена эквивалентность задачи Коши для дифференциального уравнения дробного порядка в одном случае интегральному уравнению Вольтерра второго рода, а в другом - интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

4) Для широкого класса нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с дробной производной решена видоизмененная задача Коши.

5) Для численного решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка получена модификация метода Эйлера.

6) Получен алгоритм решения краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка. Сформулирован критерий устойчивости вычислительного процесса.

7) Получена явная схема для численного решения краевой задачи для однородного дифференциального уравнения с дробной производной.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. - 352 с.

2. Алероев Т.С. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 341.

3. Алероев Т.С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, № 1. С. 200.

4. Алероев Т.С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.36, № 10. С. 200.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965. - 294 с.

6. Бечелова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка // Сб. научных трудов "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения". Киев. 1996. С. 42-43.

7. Бицадзе A.B. Линейные уравнения с частными производными смешанного типа. Труды Третьего всесоюзного математического съезда. Т. III, 1958. С. 36-42.

8. Васильев А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 158 с.

9. Гачаев A.M. Применение операционного исчисления к решению краевых для дифференциального уравнения дробного порядка. Тезисы научной конференции. Махачкала, ДГУ, 2005.

10. Дэюрбашяи М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.

11. Джрбашяп M.M., Нерсесян A. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. Ан АрССР, 1968. Т.З, № 1, С. 3-29.

12. Летников A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем // Мат. сб. 1868, Т.З, С. 85-112.

13. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 100-111.

14. Нахушев A.M. К теории дробного исчисления // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 2. С. 313-324.

15. Нахушев A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // ДАН СССР. 1988. Т. 300, № 4. С. 729-732.

16. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с.

17. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000 г. 299 с.

18. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.-272 с.

19. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 174 с.

20. Прудников А.П., Бричков Ю.П., Маричев О.И. Интегралы и ряды: специальные функции. М.: Наука, 1983. 801 с.

21. Псху A.B. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. 186 с.

22. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 200 с.

23. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука. 1997. -239 с.

24. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 616 с.

25. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

26. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

27. Сонин Н.Я. О дифференцировании с произвольным указателем // Мат. сб. 1872, т.6, вып. 1, с. 1-38.

28. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

29. Тьюрсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977.

30. Чадаев В.А. Аналог задачи Коши для нелинейного уравнения дробного порядка. Тезисы докладов региональной научно-практической конференции, посвященной 25-летию образования ЧГУ, г. Грозный. 1997. С. 20-21.

31. Чадаев В.А. Модификация метода Эйлера для дифференциального уравнения с дробной производной. Тезисы докладов научно-практической конференции "Мир, согласие и сотрудничество посвященной 60-летию ЧГУ, г. Грозный. 1998. С. 15-16.

32. Чадаев В.А. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка // Известия КБНЦ РАН, 2002, № 1 (8). С. 123-127.

33. Чадаев В.А. Об одном классе функций, имеющих дробную производную порядка меньше единицы // Вестник КБГУ, 2004. С. 97-98.

34. Чадаев В.А. Модификация краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка // Материалы республиканской научно-практической конференции (27 ноября 2004 г.), г. Грозный, 2004.С.34-39.

35. Чадаев В.А. Модификация метода Эйлера для дифференциального уравнения с дробной производной // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т.7, №2. С. 78-81.

36. Чадаев В.А. Задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка. Воронеж, 2005. Воронежский государственый университет. Весенняя математическая школа (Понтрягинские чтения). С. 164-165.

37. Чадаев В.А. Численное решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения с дробной производной. Тезисы III Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус. 2005. С. 7375.

38. Чадаев В.А. Видоизмененная задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 8, № 1. С. 64-67.

39. Штокало И.З. Операционное исчисление. К.: Наукова думка, 1972. - 304 с.

40. Шхапуков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // Докл. РАН, 1996. Т. 348, №6. С. 746-748.

41. Parlett B.N. Global convergence of the basice QR-algorithm on Hessenberge matrices. Math. Сотр., 1968, 22, р. 803-817.

42. Tamarkin J.D. On integrable solutions of Abel/s integral equation Ann. of Math., (2) 31, 1930, P. 214-228.

43. Tazali A. Z. A.M. Local existence theorems for ordinary differential equations of fractional order. Lect. Notes Math. 1982. Yol, 964, P. 652-665.