Специальные разноостные схемы для сингулярно возмущенных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

НОВОСИБИРСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫМ УНИВЕРСИТЕТ

Р—071--—~-"""

На правах рукописи

1.1 С ПН 1305 ■ ■

ГАЕВОИ Виктор Павлович

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01 .Щ -'вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск -1995

Работа выполнена в Институте катализа им. Г.К.Борескова

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Зеленяк Т.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических . наук, -доцент Мацокин А.М

доктор физико-математических наук, доцент Лаврентьев М.М.-мл.

Ведущая организация - Институт гидродинамики

им. М.А.Лаврентьева

- Защита состоится ееаТ&Т^ээъ года

в 15 часов на заседании.диссертационного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск -90, ул. Пирогова, НГУ.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан

'МП' 1995 г.

Учбный секретарь диссертационного совета В.В.Шелухин

Актуальность теш. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной ( сингулярно возмущенные краевые задачи ) встречаются в различных областях науки и техники, например, уравнения движения вязкой жидкости, океанических .течений, переноса тепла и вещества, химико-технологических процессов. Главной особенностью сингулярно возмущенных краевых задач, затрудняющей их численное решение, является наличие узких зон с резким изменением решения и большими значениями производных, получивших название пограничных и внутренних переходных слоев, ширина которых пропорциональна значению малого параметра в той или иной положительной степени. Для нахождения' с приемлемой точностью приближенного решения сингулярно возмущённых краевых задач традиционные конечно-разностные и вариационно- разностные методы требуют выбора тага разностной сетки, значительно меньшего ширины пограничного слоя. С уменьшением значения малого параметра при старшей призводной это ведет к чрезмерно мелкому шагу разностной сетки. В практических задачах параметр при старшей производной может принимать значения в довольно широких пределах. Поэтому естественно возникает потребность в разработке численных методов, обладающих ■ равномерной сходимостью относительно значения параметра при старшей производной и позволяющих находить приближенные решения сингулярно возмущенных краевых задач с требуемой точностью на разумных сетках.

К настоящему времени в развитии равномерных численных методов сложились два основных направления.Одно из них связано с применением известных конечно-разностных схем на специально сконструированных неравномерных ' сетках, сгущающихся по определенному закону в области пограничного или переходного слоя. Другим направлением является построение специальных разностных схем, имеющих равномерный по малому параметру порядок точности на равномерных или произвольных неравномерных разностных сетках. Такие разностные схемы называются схемами

равномерного порядка точности или просто равномерными разностными схемами. До работы [4] в литературе были известны разностные схемы равномерного первого порядка точности ка равномерных разностных сетках.

Целью данной работы является разработка методов построения специальных разностных схем, учитывающих особенности поведения решения исходных краевых задач, и .построение с помощью этих методов равномерных разностных схем для сингулярно возмущенных краевых задач, имеющих равномерный второй порядок точности на равномерных или произвольных неравномерных разностных сетках.

Научная новизна.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с граничными условиями произвольного вида предложен метод построения специальных разностных схем, развивающий метод интегрального тоадесгва Марчука Г.И. и метод точной и усечённых разностных схем Самарского А.А. и позволяющий строить разностные схемы, учитывающие особенности поведения точного решения исходной краевой задачи

Для обыкновенного . дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной, разрывными и. гладкими коэффициентами и правой частью и граничными условиями произвольного вида построены на произвольных неравномерных разностных сетках специальные усеченные разностные схемы первого и второго ранга. Для специальной усечённой разностной схемы второго ранга доказан второй порядок точности, равномерный по малому параметру, при условии, что точки разрывов коэффициентов и правой части уравнения и их первых производных совпадают с частью узлов разностной сетки. Для специальных усечённых разностных схем первого ранга доказан равномерный первый порядок точности на неравномерных разностных сетках при условии, что точки разрывов коэффициентов и правой части. уравнения совпадают с частью узлов разностной сетки, и равномерный, второй порядок точности в случае достаточно гладких коэффициентов и правой части уравнения, граничных условий

первого рода и равномерной разностной сетки.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Втором Советско - Французском семинаре по математическому моделированию каталитических процессов и реакторов (Новосибирск, 1976), Всесоюзном семинаре по методу сплайн-функций (Новосибирск, 1978), Всесибирской школе по вычислительной математике (гос. Шушенское Красноярского края, 1979), на семинаре по методам вычислительной и прикладной математики ВЦ СО АН СССР (руководитель -академик Г.И.Марчук), семинаре по численным методам механики сплошной среды ИТПМ СО АН СССР (руководитель - академик Н.Н.Яненко), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений ИМ СО РАН и НГУ (руководитель - д.ф.- м.н., проф-. Т.И.Зеленяк)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Объём работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав, содержит Ю5 страниц машинописного текста. Список литературы включает 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении к диссертации обоснована актуальность теш, сформулирована цель работы,приведен обзор основных результатов по обсувдаемой проблеме, приведено краткое содержание диссертации с указанием главных результатов.

В параграфе 1.1 рассматривается следующая краевая задача.

т - (p(2)us)x + r(x)ux- q(x)U = - f(x) , x € (0,1) , p(x) > 0 , l0u - - a0ux(0) + (30U(0) = To , (1)

^U- a^O ) + ^ua ) = ^ loijl + |pj| > о , i = 0,1.

Предполагается, что р(х), г(х), q(x), r(x) е Q°[o,U ■

Здесь и' далее используются следующие обозначения. Qn[o,i] - класс функций ограниченных и кусочно-непрерывных вместе с производными до n-го порядка включительно, имеющих конечное число точек разрыва первого рода. с°[о,1 J - класс функций из сп_1 [0,1 ] , имеющих ограниченные

А

ей»

производные n-го порядка , ||и||„о = ||и||Л + sup

■ • Sl-1

С*[0,1} - класс функций из с°[о,1] , имеющих ограниченные кусочно-непрерывные производные п - го порядка с конечным числом точек разрыва первого рода.

Под решением задачи (1) понимается непрерывная кусочно-дифференцируемая функция, обладающая непрерывным кусочно-дифференцируемым потоком g(x) = p(x)Ux(x) .

В дальнейшем предполагается, что на отрезке [0,1] задана произвольная разностная сетка: о = x0<x1<...<xN = 1 , h^ = х^-х^., , i=1,2,...N, h = max h^.

Вводится вспомогательный дифференциальный оператор

L° = — р°(х)— + г°(х) — - q°(x) , dx dx dx

коэффициенты которого выбираются таким образом, чтобы при

хе (xi_1, i=i,2,...N оператор L0 был определен на

решении уравнения (1) и обратим в явном виде на отрезках

[х._1>х1] с граничными условиями первого рода.

Обозначим через vQi(x) Уи(х) , х е [х^.х^ решения следугацих краевых задач

о о

L v0-(x) = bv1±U) = о , х € (ХЬ1,Х1) ,

{с- .1

VOi<Xi-1> = V1i<Xi> = VOi^i>.= V-1X(XX-1> = 0 • .

В работе показано, что для решения задачи (1) справедливы равенства • •

-а0(D0 v0;(О) + ^ vn;(О) + ¥+) + р0U = То •

[Ui-1 VoI(Xi> + VU<*i> + Fi] = = [Ui Wxi> +Ui+1 Vli+1<Xi> '

i=1,2,...N~1,

<M%-1 V0N<1) + ÜN V1N<1> + PN> + MN = Ъ

где üj = 4(3^), p^ = p (х±-о), pt = p (хА+о) , , x.

Fi = J Gx(xi'?)(<L_i,Cl)U+f)dg »

Xi-1 xi <

pi-1 = J Gju-^.SHa-L^U+nd? , Xi-1

G^x,?), € [xi_1,xi] - функция Грина задач (2).

Выбирая специальным образом коэффициенты дифференциального оператора L0 и строя различные приближённые формулы для вычисления функционалов F.., pt, можно получать с помощью равенств (з) специальные разностные схемы, учитывающие особенности поведения решения задачи (1)

Равенства (3), построенные на равномерной разностной сетке для уравнения самосопряжённого вида ( г(х)- о ) с граничными условиями первого рода, при р°(х) ■ р(х), г°(х) ■ о, q°(x) * о совпадают с интегральным тождеством Марчука Г.И., а при р°(х) » р(х), г°(х) ■ о, q°(x) ■ q(x) - с точной разностной схемой Самарского A.A.

В § 1.2 рассматривается краевая задача следующего вида.

L°U(x) 4 P(I-L°)SU(x) = - Pf(x), х € (x^.xj), i = 1,2,...К ,

p°(x1-0)U(xi-0) = p°(xi+0)U(x1+0), i=1 ,2... '.N-1 , (4)

10U(X) = т0 . = 71

где S - оператор интерполирования функции u(x) e o[o.i] e узлах разностной сетки sikx^ = u(xi), i= 0,1,2,...n, P - оператор локального приближения функций на интервалах разностной сетки.

Предполагается, что выражения (L~b°)SU(x) определены и ограничены внутри интервалов разностной сетки (xi_1. Под решением задачи (4) понимается непрерывная кусочно-дифференцируемая функция, обладающая непрерывным кусочно-дифференцируемым потоком g°(x) = р°(х)их(х) . Интегральные тождества (3), построенные для задачи (4), дают для неб точную разностную схему.

ЛЕММ А I. Пусть дифференциальный оператор L0 однозначно обратим на отрезках [х^.х^], i = 1,2,...N, с граничными условиями первого рода, тогда из однозначной разрешимости задач (4) следует однозначная разрешимость точной для неб разностной схемы , и наоборот, из однозначной разрешимости точной для задачи (4) разностной схемы следует однозначная разрешимость задач (4).

В § 1.3. изложен метод построения специальных усечённых разностных схем, развивающий известный метод усечённых разностных схем Самарского A.A.

Пусть выбраны некоторые последовательности функций рк(х), rk(x), qk(x), fK(x), к = 0,1,...n-1, аппроксимирующих функции р(х), r(x),q(x), f(x) соответственно, и введены в рассмотрение вспомогательные дафференциалльные операторы

k 4 1г й к- й к

L = — р (х)— + гк(х)--q (х) , к = 0,1,...п-1 .

dx dx cix

Предполагается, что внутри интервалов разностной сетки

дифференциальные операторы Lk, .к = о,1,...п-1 определены на

одних и тех же функциях, и дифференциальный оператор L0

однозначно обратил на отрезках [xi_1,xi] , i= 1,2,...N, с

граничными условиями первого рода .

а

Обозначил через ^(х), У^(х), , к = о,1,...п ,

1 = 1>2,...К функции, являющиеся последовательными решениями следующих краевых зададч

^(х) . о, у^(х) - о, 4/9 (X) - о ,

0 к 0 V

ь У^т1(х) = - (Ь - ь ^¿¿(х) , X е (Х1_1,*1) , 6 = 0,1 ,

*оГ <х1-1> = <*!> = 1 • <*!> = <*1-1 ) = 0 ■

0 1г+1 к 0 к 1г

Ь = - (Ь - Ь (х)- Г (х) , х € (х1_1,х1) ,

= »^(х^) = о, к=0,1,.. .п-1, 1=1,2,...N .

Для функций и(х) € с[0,1] определим последовательность операторов интерполирования Бк, к = 1,2, ' п

зки(х) = иСх.^^Сх) + и(х4) + (х),

х 6 [х1_1,х1] , 1 = 1,2,...И , к = 0,1,...п .

Приближенное решение задачи (1) определим как решение следующей краевой задачи

Ь°ип(х) + (Ьп-1-Ь°)Бп-1ип(х) = - 1П_1(х),

х е (х^.х^, 1 = 1,2,...И , (5)

р°(х1-0)и^(х1-0) = р°(х1+0)и^(х1+0), 1=1,2,...N-1 , 10ип(х) = Т0 , ^(х) = • Точная разностная схема для задачи (5) имеет следующий вид

-<*о(и5 + и? в? + р?) + РоиП= То . р1 [и1-1 А14 и1 В1+ = (б)

= pi [ui + °i+1 ВШ + Fi+1 ] '

a1<UN-1AN + UNBN + V + № = V

где

Ai= vSix<xi> • Bi= v?ix(xi). • pi= '

Используя понятие ранга усечённой разностной схемы, введенного Самарским А.А., разностную схему (6) будем называть специальной усечённой разностной схеммой ранга п , если выражения для ее коэффициентов и правых частей получены путем п - кратного обращения на интервалах разностной сетки вспомогательного дифференциального оператора L0 .

Б второй главе рассматривается сингулярно возмущённая краевая задача для уравнения самосопряжённого вида.

LU - е2(р(х)их)х - q(x)u = - г(х) ,

х е <о,1) , р(х), <i(x) * 1, 1 i е > о,

10и - - aQp(0)ux(0) + р0и(0) = т0 ^ (7)

1.,и - сцрО^О) + = 71

а.. * о , pj * о , а^ + = 1, 3 = 1,2 .

Предполагается, что е, aQ> a,, р0, р1 могут принимать сколь угодно малые значения

Через М, М0, М1, Ы2,... в дальнейшем обозначайся константы не зависящие от е, a0, а.,, р0,

В параграфе 2.1 доказаны следующие утвервдения.

Л Е М М А 2. Пусть ФУНКЦИИ р(х), q(x), t{%) <L Q1[0,1], 1 sp(x), q (x) s E ; О < t2 <...< < 1 - точки разрывов

функций p(x), q(x), í(x), £0 = 1* Tor^a для решения

задачи (7) и его первой производной справедливы оценки

IU(x)'l i м1 ,

.Ux(x)l * Mh+e-1(e-(x-W/Rs + )/Re)],

х € Ui.,.^). i = 1.2....N+1 ,

Обозначим через и(х) решение краевой задачи L и - е2(р(х)их)х - q(x)u = - f(x) ,

10и - - оуйодуо) + ß0u(0) = 70 > (8)

1пи - а,р(1 )UX(1) + f^Ud ) = т1 .

Л Е М М А 3. Пусть р(х),q(x),Г(х) € Q1[0,1], p(x),q(x) ¿ 1 , р(х), q(x), í(x) € Q1[0,1], р(х),q(x) i 5 > О ,

p(0) = p(0) , p(1) = p(1) , p(x)/p(x) £ C*[0,1J .

Тогда для разности решений краевых задач (7) и (8) справедлива оценка

||U(x)-U(x)||c £ и (||Р-Р|| 0 + I|q-q|| о + ||f-f|| Q) .

COG

В § 2.2. строится приближённая краевая задача и точная для

неб специальная усечённая разностная схема второго ранга.

Обозначим через а°(х), ь°(х) кусочно-постоянные функции

а°(х)= а°, b°(x)= b9, х € (х.^,х1), а9>0, 1=1,2,...Ы.

Зададим вспомогательный дифференциальный оператор

L0 = S2 — р(х)— - q°(x) , q°(x) = а°(х)/ 5(Х) . dx • dx

В данном случае функции voi(x),v11(х), являющиеся решениями

краевых задач (2), находятся в явном виде

Приближённое решение задачи (7) строиться как решение следующей краевой задачи

e2(p(x)u£)z - q°(x)Uh - q1 (x)SUh = - f1 (x) ,

i0Uh = V - 7,. (9)

q1(x) = q (x) - q°(x), f1 (x) =i(x) - q1 (х)ф(х) SUh(x) = ^(х^^о^х) + Uh(x..) Vu(x) ,

_ф(х)=(ь9/а°)(1-У0.(х)-У1:1(х)), x € [х^.х-Ь i=1,2,...N .

Для задачи (9) строится точная разностная схема, являющаяся специальной усеченной разностной схемой второго ранга для задачи (8), и доказываются следующие утвервдения

ЛЕММА .4. Пусть функции р(х), q(x), Г(х) е Q°[0,1],

р(х) > о ,q(x) > О , а°(х) >0, тогда краевая задача (9) и точная для неб разностная схема однозначно разрешемы.

ТЕОРЕМА I. Пусть выполнены предположения ЛИМЫ 3 , разностная сетка и кусочно-постоянная функция а°(х) * S > о выбраны таким образом, что

((p(x)q(x) - а°(х))/а°(х)| s d < 1 .

Тогда для разности решений краевых задач (7) и (9) справедлива оценка

||U(x)-Uh(x)||c * M1 (Up-pH Q+||q-q|| 0+||r-f|| Q) +

С С G

+ I^Bm - а°|| 0(||pq - а°|| 0+||pf - b°|| Q).

С О С

Далее функции P(x),q(x),f(x) выбираются таким образом, что они удовлетворяют требованиям ТЕОРЕМЫ I, достаточно точно

аппроксимирую? функции Р(х), q(x), i(x) , и позволяют точно вычислять интегралы, входящие в выражения для коэффициентов и правых частей точной для задачи (9) разностной схемы. В этом случае точная разностная схема для задачи (9) имеет следующий вид

- (e2ß0 + vX + VX = - £% ~ аор? ■

Aiüi-1" <Bi+i+ 4>ui + Ai+Iui+1 = - F1 " F?+v <10>

i = 1,2,...N-1 ,

WN-1- (£2ßl + «ХЧ = " " a1FN '

где

Ai = s2^i/sllzi • = e2Ai(cthzi -(-1)ьс1ф1(21)), k = 0,1,

= ЛТ1[Ь^_1ф1(21)+ ьТф2(21)-ь°С1(ф1(z1)-2<^(z1))], 4 = ^i1[bt_1$2(zl)+ ЬТф1(21)-Ь°С1(ф1(и1)-2ф2(21))],

ф.,(г) = Cthz - 1/z , ф2(и) = 1/z - 1/Shz ,

± + + ± + +

ai = q(xi o^P^r °>» bi = i^i1 oJptej1 0).

a?=(at_1+aT)/2, b9=(bt_1+bT)/2 , Ci = (aT - at_1)/4a9 ,

V e-1(a°)l/2, z.= X.^d/pT + 1/p+и)/г .

Доказывается, что разностная схема (ю) монотонна и для еб решения справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции p(x),q(x),f(х) е Q2[0,1], p(x),q(x) г 1 ,и разностная сетка выбрана таким образом, что

p(x), q(x), i(x) € C^X^.Xj) , i = 1,2,...N ,

тогда для разности решений задачи (7) и разностной схемы (ю) справедлива оценка

|U(x1) - u^l s М max h| ,

В параграфе 2.3. приближённое решение краевой задачи (7) строится как точное решение следующей краевой задачи

(11)

e2(p<x)u£)x - q°(x)uh = - b°(x)/ р[х),'

I0Uh = 70 , l/1 = 7! ,

где функции p(x),q°(x),b°(x) те же, что и в задаче (9). Точная разностная схема для задачи (11) имеет вид (ю), где

А. = e2Ä../Shz,, В1? = £2Ä..othz,,

1 Iii Ii (12)

F^ = \^1to°(Chzl-1)/ Shz1, - k=0,l, i=l,2,...N.

Решение задачи (11) внутри интервалов разностной сетки выражается в явном виде через решение разностной схемы

Uh(x) = U^_1V°(x)4-t^V°(x)+(b?/a?)(1-V?(x)+V?(x)),

х € [х1_1,х1] , i = 1.2....N , (13)

V?(x) = KT1Sh[A.ihT1((h?-(x-xl_1)2)/pi+(x.-x)2/pi_1)/2] ,

V°(x) = K^ShtÄ-^T1 ((h|-(x-xi)2)/pi_1+(x -х±_л)г/р±)/2] ,

K± = Sha^O/p^+l/p^) .

ТЕОРЕМА 3. Пусть функции p(x), q(x), f(x) € Q1[0,1], p(x),q(x) i 1. ,и разностная сетка выбрана таким образом, что

р(х), q(x), i(x) € С(х1_1,х1) , i =1,2,...И , тогда для погрешености приближённого решения задачи (9),

построенного с помощью разностной схемы О о),(12) и равенств (13) справедлива оценка

|U(x) - Uh(x)| s М max hi ,

ТЕОРЕМА 4. Пусть функции p(x),q(x),f (х) е с| [0,1 ], p(x),q(x) г 1 .тогда для разности решений первой краевой задачи для уравнения (7) и разностной схемы (1 о),(12), построенной на равномерной сётке с шагом h , справедлива оценка

|U(xi) - U??| íKh2 .

В третьей главе рассматривается сингулярно возмущённая краевая задача для уравнение несамосопряженного вида.

eSnt a(x)Ux- b(x)U = í(x) , x € (0,1) 6 > О, А а а(х) ¿1, В ¿ b(x) г О , 10и - - а0их(О) + P0U(1 ) = То , <14)

l.,U - а-,их(1) + fyUd) = 71 otj, pji О, Pá=l, j ='1,2 , МхН^г. S > о

Предполагается, что коэффициенты е, aQ, о,, |30, р1 могут принимать произвольно малые значения. Так как в граничных условиях допускается одновременное обращение в ноль значений Р0 и р1, то требование Ъ(х) + р^ 6> о является существенным.

В '§ 3.1 доказана справедливость следующих утверждений.

Л Е М М А 5. Пусть а(х), b(x), f(x) € Q°[0,1], тогда для решения краевой задачи (14)- справедливы оценки

IU(x)I £ М (I70l + I71I +Suplf(x)l), IUX(X)I s М (1 +• (8+a0)~1exp(-x/s)).

Для различных частных случаев граничных условий оценки первой производной решения задачи (14) были получены в работах других авторов, но цри этом предполагалось, что коэффициенты и правая часть уравнения ограничены в С., [0,1]. -

Л Е М М А 6. Пусть а(х) € С*[0,1], ъ(х), Г(х) е С*[0,1], тогда решение задачи (14) представимо в следущем виде и(х) = и0(х) + и, (х)г(х) ,

где

г(х)= ехр(- Б~1/*а(в)с1в) , ЦИ3(х)|сО[ои] ^ , ¿=1,2.

В 3.2. для задачи (14) строится на произизволльной неравномерной разностной сетке специальная усечённая разностная схема первого ранга. Значения а9, ь9, 1 = 1,2,...ы , задются одним из следущих двух способов:

а° = а(х1-Ь1/2) , ь9 = ь(х1-И1/2) , = £ (х^^/2) ,

а9 = (а(х._1)+а(х1))/2, ъ9 = (Мх...., )+Ъ(х^ )/2,

^ = (Г(х1_1)+1(х1))/2, 1 = 1,2,...Л .

Приближённое решение задачи (14) находится как решение следушей краевой задачи

•8 и^.(х) + а0(х)Ц^(х)г- Ь°(х)и11(х) = £°(х) , (15)

^ Т0 • = Ъ

Точная разностная схема для краевой задачи (15) имеет следующий вид.

- е(р0+а0в£)и£ + ва0с0<= -еТо+ а^г? ,

е[А1и1-1" <в°+в1)и1+ с1и1+1] = «1^+1 <16) 1 = 1,2,...N-1 ,

где

еА№1и£-Г нф^вХ = - ет^ o,q°r°

2z,e zi Ч 2z_,e-zi+yi

А,= —±-^— , С -

hi(1-e-2zi) ' " hl(1-e-2zi) '

pO zi-yj+(zi+yi)e"2Zi R1 g1+y1+(z1-y1)e-gzi

i= h.(1-e-2zi) ' i"1 h.(1-e-2zi) *

С= hjtitz^) - e"zi~yii(z1-yi)]/ (1 -e~2zi) ,

Qi-1 = hi[<&(zi~yi) - e_Zi+yi®(zi+yl)]/(1-e-2zi) . $(z) = (1-e~z)/z , y^= (J.^ , z^ •

ц^ a?/2e , X. = (ц? + b°/e)1/2

Решение задачи (15) внутри интервалов разностной сетки выражается в явном виде через решение разностной схемы (16).

Л Е М М А 7. Пусть b° а о, 1а?)+ь°> О для всех i=i,2,...N,

OLj i О, Pj * О, О , 3=0,1', max b°4 §.,> 0,

тогда разностная схема (16) монотонна на произвольной разностной сетке и для не8 справедлив принцип максимума.

ТЕОРЕМА Б. Пусть а(х), b(x)., Г(х) е Q1 [0,1 ], разностная сетка выбрана таким образом, что внутри е§ интервалов функции а(х), ь(х), f(x) непрерывны, тогда для разности решений задач (14),(15) справедливы оценки

IU(x) - uh(x)l 4Mb-,

IUx(x)-l^(x)ls М hd + ie+Og)-1 е~х/,2е).

В §3.3 доказано следующее утверждение.

Т Е О Р Е М А 6. Пусть функции а(х),Ь(х),Г(х)ес|[0,1], тогда для погрешности приближённого решения первой краевой задачи для уравнения (14), полученного с помощью разностной схемы (16) на равномерной сетке , справедлива оценка

1. Гаевой В.П. Полуаналитический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных параболического типа // Управляемые системы.-Новосибирск, 1972.-Вып. 10.- с.62-70.

2. Гаевой В.П. Сходимость полуаналитического метода для квазилинейного уравнения парабоолического типа // Управляемые системы.- Новосибирск, 1972.-Вып.10.- с.70-78.

3. Гаевой В.П. Схемы высокого порядка точности для уравнения парабоолического типа // Тр. Второго Совет с ко- Француз -ского семинара по математическому моделированию каталитических процессов и реакторов.- Новосибирск, 1976.-с.260-264.

4. Гаевой В.П. Об одном методе построения разностных уравнений для двухточечных краевых задач // Вычисл. системы.- Новосибирск, 1978.- Вып. 75 : Метод сплайн-функций.- с. 96-109.

5. Гаевой В.П. Численные методы решения краевых задач с большими градиентами // Математическое моделирование химических реакторов./ Под ред. Г.И.Марчука. - Новосибирск, 1984.- с.144-162.

тах|и(х1)-и^| £ М II2.

Список работ автора по теме диссертации.