Разноостные уравнения и интегрируемые системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

А оэиа.15 - 2дг5~/оу

^; ^ £ ' ( -'А У

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПАУК ИНСТИТУТ БИОХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

имени Н.М.ЭМАНУЭЛЯ

Президиум ВАК Рос

'Г' такие ОТ" " 19 ^ Гм № ¡Г^/ч£>

судил ученую степень ДОКТО7"'

на правах рукописи УДК 530-145

срчь -Аучт

лик управления ВАК Рг

ЗАБРОДИН Антон Владимирович

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

"V <

ДИССЕРТАЦИЯ ' на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Моим родителям Лагодзинской Галине Валентиновне Забродину Владимиру Алексеевичу

Содержание

0 Введение 10

0.1 Краткий исторический очерк......................................................10

0.2 Основные понятия и методы, используемые в диссертации....................18

0.2.1 Понятия и методы классической теории ..................18

0.2.2 Понятия и методы квантовой теории....................................26

0.3 Содержание работы................................................................34

1 Анзац Бете в проблеме Азбеля-Хофштадтера 41

1.1 Введение и основной результат....................................................41

1.1.1 Общее описание модели..........................41

1.1.2 Уравнение Харпера и зонная структура спектра ...........42

1.1.3 Основной результат............................44

1.2 Две специальные калибровки...........................45

1.3 Квантовая алгебра ^(з^) ............................47

1.3.1 Общие сведения и функциональная реализация представлений спина

3..............................................................................47

1.3.2 Представления £/,(3/2) при q равном корню из 1............48

1.4 Представление £/,(3/2) магнитными трансляциями ............................51

1.5 Функциональный анзац Бете..................-........52

1.6 Циклические представления 6г?(.з/2) в проблеме Азбеля-Хофштадтера ... 54

1.7 Некоторые точные результаты для анизотропного случая и уравнения Бете для краев зон в изотропной модели......................55

1.8 Разное................................................................................57

1.8.1 <7-Аналоги классических ортогональных полиномов как точные волновые функции с нулевой энергией ......................................57

1.8.2 ич(з12) как алгебра симметрии............................................58

1.9 Выводы и результаты. Обсуждение результатов ...............59

2 Разностные уравнения, связанные с ^-деформациями 1/(з12) 61

2.1 Вводные замечания................................................................61

2.2 Разностные операторы второго порядка, связанные с £7?(з/2). Общий случай 63

2.2.1 Линейные формы ..........................................................64

2.2.2 Квадратичные формы......................................................65

2.3 Разностные операторы второго порядка связанные с £/,(5/2)- Треугольные операторы и операторы первого порядка........................................67

2.3.1 Треугольные операторы и ^-гипергеометрические уравнения .... 67

2.3.2 Алгебра, объединяющая треугольные операторы и операторы первого порядка................................................................68

2.4 Периодические разностные уравнения и группа магнитных трансляций . . 69

2.5 Разностные уравнения, имеющие решения в симметрических лорановских полиномах и полиномах Аски-Вильсона..........................................72

2.6 Выводы и результаты..............................................................76

3 Разностные и дифференциальные операторы с частично алгебраическим спектром в рамках КМОЗ 77

3.1 Вводные замечания............,.. '*'..................................77

3.2 Элементарные ¿-операторы и квантовые алгебры..............................78

3.3 Общие свойства матриц монодромии для интегрируемых систем с границами 80

3.4 Тригонометрический случай......................................................81

3.5 Рациональный предел..............................................................85

3.5.1 Дифференциальные операторы второго порядка с частично алгебраическим спектром......................................................86

3.5.2 Присоединенное действие группы 2)................................88

4 Некоторые алгебро-геометрические конструкции, связанные с эллипти-

ческими Z-операторами 91

4.1 Основные определения..............................................................91

4.1.1 Алгебра Склянина..........................................................91

4.1.2 Вакуумные векторы и вакуумные кривые ..............................94

4.2 Вакуумные кривые и вакуумные векторы //-оператора XYZ-модели произвольного спина.................................. 96

4.2.1 Явное описание вакуумной кривой.................... 96

4.2.2 Действие L(u) на вакуумные векторы..................100

4.3 Вакуумные кривые и новая реализация представлений алгебры Склянина . 102

4.3.1 Разностные операторы на вакуумной кривой..............102

4.3.2 Представления алгебры Склянина....................105

4.4 Конечнозонные разностные операторы и представления алгебры Склянина 108

4.4.1 Разностный аналог оператора Ламе при 1 — 1.............109

4.4.2 Разностные аналоги операторов Ламе при произвольном 1 Е Z+ . . 111

4.5 Тригонометрическое вырождение алгебры Склянина.............115

4.6 Обсуждение результатов.............................118

5 Разностные уравнения Хироты 121

5.1 Эквивалентные формы записи билинейных уравнений............121

5.2 Номенклатура потоков и кинематические связи................123

5.3 Коммутационное представление уравнения Хироты с помощью разностных операторов со скалярными коэффициентами...............127

5.3.1 Основные М-операторы..........................128

5.3.2 Дискретные уравнения нулевой кривизны ...............130

5.4 Линеаризация уравнений Хироты........................1-32

5.4.1 Скалярные линейные задачи.......................133

5.4.2 Преобразования Беклунда........................134

5.4.3 Функция Бейкера-Ахиезера........................135

5.5 Об иерархии билинейных разностных уравнений...............136

5.6 Редукции уравнения Хироты...........................137

5.6.1 Редукция типа КдФ и уравнение Фаддеева-Волкова .........138

5.6.2 ЦТ в дискретном времени и родственные модели...........140

5.6.3 Дискретное уравнение СГ.........................141

5.6.4 Дискретное уравнение Лиувилля и его Л^_1-обобщения........143

5.7 Редукция второго порядка общего вида - XX^-модель МГ в дискретном времени.......................................145

5.7.1 Общий вид 3-членных билинейных уравнений и скалярных линейных задач..................................146

5.7.2 Основные билинейные уравнения....................147

5.7.3 Некоторые следствия основных уравнений...............149

5.7.4 Скалярные линейные уравнения.....................150

5.7.5 Векторные линейные задачи и матричный ¿-оператор........151

6 Уравнение Хироты и анзац Бете 152

6.1 Введение ......................................152

6.2 От Д-матрицы Янга к уравнению Хироты .У'.................154

6.2.1 Процедура "размножения" Д-матриц..................154

6.2.2 Квантовые матрицы монодромии....................158

6-2-3 Квантовые трансфер-матрицы......................161

6.2.4 Функциональные соотношения и детерминантные формулы.....161

6.2.5 Билинейная форма правил слияния...................162

6.2.6 Замечания об эллиптическом и тригонометрическом случаях .... 163

6.3 Свойства решений уравнения Хироты, отвечающих квантовой задаче ... 166

6.3.1 Граничные условия по а и s.......................166

6.3.2 Аналитические условия по и.......................167

6.3.3 Нормировка.................................168

6.3.4 Обсуждение.................................169

6.4 Иерархический анзац Бете как цепочка преобразований Беклунда.....170

6.4.1 Представление нулевой кривизны и BJI3................170

6.4.2 Функции Qt{u)...............................171

6.4.3 Уравнения Бете как динамическая система в дискретном времени . 173

6.5 Общее решение билинейных соотношений...................177

6.6 Обобщенные соотношения Бакстера и формулы факторизации .......179

6.7 Билинейные правила слияния для произвольных диаграмм Юнга и высшие уравнения Хироты..............................182

6.8 Сводка результатов....................... .........184

7 "Скрытая" квантовая ñ-матрица в дискретных солитонных уравнениях 187

7.1 Введение и постановка задачи..........................187

7.2 Основной результат................................189

7.3 Представление нулевой кривизны для классической модели СГ на решетке

с помощью квантовой Я-матрицы........................191

7.3.1 Модели СГ на решетке с дискретным и непрерывным временем . . 192

7.3.2 Билинейный формализм Хироты для модели СГ ...........194

7.3.3 Квантовая ñ-матрица в классической дискретной модели СГ . . . .195

7.4 Представление нулевой кривизны для классической модели МГ в дискретном времени и квантовая .ñ-матрица......................196

7.4.1 Представление нулевой кривизны ....................197

7.4.2 "Составные" Ь и М операторы .....................199

7.4.3 Д-матричное представление для ¿-М-пары..............203

7.5 Предел непрерывного времени..........................205

7.5.1 Предельная форма М-операторов....................205

7.5.2 Сравнение с г-матричной формулой...................207

7.6 Заключительные замечания ...........................209

8 Спектральная задача для д-разностного уравнения Книжника-Замолод-чикова 210

8.1 Спектральная задача для уравнения КЗ ^ = \)................212

8.2 Спектральная задача для уравнения д-КЗ...................217

8.3 Некоторые специальные случаи.........................222

8.3.1 Спектральная задача на уровне к = 0 и ¿'-матрица ХХ2-модели . . 222

8.3.2 Предел бесконечного уровня.......................224

8.4 Обсуждение.....................................227

Заключение 229

Список литературы 232

Приложения 257

Приложение к главе 1.....................,.........257

Приложение к главе 2...............................257

Приложение к главе 4...............................260

Приложение к главе 5...............................264

Приложение к главе 6...............................266

Приложение к главе 8...............................272

Список сокращений, принятых в тексте:

МОЗ - метод обратной задачи

КМОЗ - квантовый метод обратной задачи

Уравнение КЗ - уравнение Книжника-Замолодчикова

ВЛЗ - вспомогательные линейные задачи

ПВР - пространственно-временная решетка (в главе 7)

Интегрируемые уравнения и иерархии:

КдФ - Кортвега-де Фриза

МКдФ - модифицированное уравнение КдФ

КП - Кадомцева-Петвиашвили

МКП - модифицированное уравнение КП

СГ - эте-Гордон

АКНС - иерархия, предложенная Абловитцем, Каупом, Ньюэллом и Сегюром (АККЗ)

МГ - магнетик Гейзенберга

ЦТ - цепочка Тоды

РЦТ - релятивистская ЦТ

2ЦТ - двумеризованная цепочка Тоды

ДУЛ - дискретное уравнение Лиувилля

"V •

Сокращения в списке литературы:

ДАН - Доклады Академии Наук

ЖЭТФ - Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики

ТМФ - Теоретическая и Математическая Физика

УМН - Успехи Математических Наук

ЭЧАЯ - Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра

О Введение

0.1 Краткий исторический очерк

Несколько десятилетий назад интегрируемые системы воспринимались как экзотические искусственные примеры, не имеющие других практических приложений, кроме проверки пертурбативных методов. При выходе за рамки теории возмущений или линейного приближения постепенно накапливались свидетельства ограниченности такой точки зрения. Становилось ясно, что нелинейным интегрируемым уравнениям тоже присуща определенная универсальность - они, подобно, скажем, классическому волновому уравнению, возникают в физических задачах самой разной природы - от нелинейных волновых процессов до квантовой хромодинамики.

Сейчас интегрируемость и связанные с нею понятия становятся одними из основных в теоретической физике. За последнее десятилетие эта тенденция обозначилась еще более явно. Осознание того факта, что реальные физические явления в большинстве интересных случаев непертурбативны по своей природе, привело к надежде, что фундаментальная теория физического мира, объединяющая все известные взаимодействия (или по крайней мере теория, дающая нулевое приближение к ней), должна быть в некотором смысле точно решаема. За последние годы появилось множество содержательных примеров, подтверждающих правомерность такой точки зрения. Наличие тех или иных интегрируемых структур фактически превратилось в принцип отбора теорий, претендующих на роль фундаментальных. Различные аспекты интегрируемости присутствуют в таких важных областях современной теоретической физики, как

V •

конформная теория поля, некритическая теория струн (двумерная гравитация), матричные модели, топологические теории, КХД при высоких энергиях, суперсимметричные калибровочные теории. После того, как достаточно свободное обращение с числом измерений пространства-времени стало общим местом в теории струн и даже в некоторых областях физики твердого тела, ограниченность известных нетривиальных примеров интегрируемых систем малым числом измерений перестала служить постоянным поводом для упреков в их "нереалистичности". Все это - помимо, разумеется, символа веры, что любое точное решение ценно само по себе - явилось предпосылкой непрекращающегося интереса к интегрируемым системам как таковым.

Теория интегрируемых систем в ее современном виде сформировалась в период интенсивного развития в 70-х годах, когда был совершен переход от рассмотрения разрозненных примеров к созданию и отработке систематических методов, охватывающих точно решаемые задачи как в статистической механике, так и в теории поля. В начале восьмидесятых годов этот этап был в основном завершен. Итоги этого периода отражены в книгах [1],[2],[3],[4],[5] и ряде обзорных статей, из которых мы здесь отметим [6], [7], [8],[9], [10]. Если говорить кратко, важнейшим результатом стало оформление комплекса идей и методов, которые можно условно назвать методом обратной задачи (МОЗ).

В классическом варианте МОЗ берет свое начало с основополагающей работы [11], где на примере уравнения КдФ была предложена схема интегрирования солитонных уравнений, заключающаяся в замене исходных динамических переменных на "данные рассеяния". Оказалось, что подходящим образом определенные "дарные рассеяния" некоторой вспомогательной линейной задачи (BJI3) (которая для КдФ совпадает со стационарным уравнением Шредингера) эволюционируют линейно по времени. Это позволило говорить о МОЗ как об аналоге преобразования Фурье. Лучшее понимание этой схемы было достигнуто с помощью представления Лакса [12] для КдФ в виде условия коммутации некоторых операторов. Распространение этого подхода на другие уравнения [13]-[15] потребовало как расширения класса ВЛЗ, так и перехода к коммутационным представлениям несколько другого типа - так называемым условиям нулевой кривизны, обобщающим представление Лакса. Для применения этой схемы к задачам с периодическими граничными условиями необходимо было найти правильную замену "данным рассеяния" , что оказалось нетривиальным и потребовало существенного использования методов алгебраической геометрии. В результате была построена теория "конечнозонного" интегрирования [16]—[18] нелинейных эволюционных уравнений, позволяющая выражать их решения через ^-функции Римана и включающая найденные до этого солитонные решения как частный случай. Параллельно развивались гамильтоновы методы [19, 20, 4], и было доказано, что известные солитонные уравнения являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами, а переход к "данным рассеяния" можно интерпретировать как каноническое преобразование к переменным типа действие-угол. Отметим также формальную гамильтонову механику, развитую в работе [21], где-был указан метод построения пар Лакса с помощью резольвенты операторов Штурма-Лиувилля.

Несколько позднее появились альтернативные подходы - например, интерпретация солитонных уравнений как динамических систем на бесконечномерных грассманнианах [22, 23],[24] и операторные методы [25, 26, 27], в результате чего было выявлено фундаментальное понятие г-функции.

История квантовых интегрируемых моделей начинается с работы Бете [28], в которой была решена одномерная модель магнетика Гейзенберга. Придуманная им для этой цели специальная подстановка, называемая сейчас координатным анзацем Бете, оказалась на удивление универсальной и в различных модификациях используется до сих пор. Она явилась прототипом для большинства последующих точных решений других моделей квантовой теории поля и физики твердого тела в малом числе измерений [29]-[33]. Синтез метода Бете с идеями работы Онзагера [34] по модели Изинга позволил найти точные решения более сложных моделей статистической механики на плоской решетке [35]-[37].

Все эти и многие другие примеры удалось объединить в рамках квантового метода обратной задачи (КМОЗ), развитого в работах ленинградской школы Л.Д.Фаддеева и его учеников [38]-[42]. Он не только органично соединил в себе методы, развитые ранее при решении одномерных задач теории поля и двумерных моделей статистической механики на решетке (а также в теории факторизованных 5-матриц [43]), но и дал мощный импульс для дальнейших исследований в этой области. На начальном этапе развития КМОЗ в его схему были вложены практически все известные в то время квантовые интегрируемые модели, что способствовало выявлению основных объектов и понятий метода - Д-матрицы, квантового ¿-оператора, билинейных коммутационных соотношений для элементов квантовых матриц монодромии - и осознанию их фундаментального характера. Более поздний период развития КМОЗ характеризуется углубленным исследованием его математических оснований и попытками создания соответствующей аксиоматики, что оказало влияние и на чистую математику, приведя к понятию квантовых групп [44, 45, 46, 47] и квадратичных алгебр Склянина [48, 49]. Одним из важнейших достижений на этом этапе стало создание метода, называемого сейчас функциональным анзацем Бете [50], что с одной стороны расширило область применения КМОЗ, а с другой - породнило его с классическими исследованиями прошлого века, обнаружив глубокие связи с идеями разделения переменных.

С позиций сегодняшнего дня выработанные понятия и методы представляются более ценными, чем те кон�