Классификация интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

/

/__

ВИЛЬДАНОВ АЛМАЗ НАФКАТОВИЧ

КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

(01 01.0? дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нефтекамск 2005

Работа выполнена в Нефтекамском филиале Башкирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Хабибуллин Исмагил Талгатович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Жибер Анатолий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор. Рамазанов Марат Давидович Ведущая организация: Башкирский государственный педагогический университет

Защита состоится "Г 5 " г. в 1Ь часов СО минут на за-

седании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450000, Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан "£$_" кс&^^с 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук,

Попенов С.В.

2Ш96Р

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последнее время большой интерес вызывают ьелинейные уравнения в частных производных, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). В данном методе существенную роль играет представление интегрируемого уравнения

как условия совместности двух линейных систем уравнений в частных производных первого порядка вида

с матричными коэффициентами и и V, зависящими от функций и, их,... и от комплексного параметра А.

Традиционно в методе обратной задачи рассматривались либо задача Коши для уравнения (1) в классе быстроубывающих при \х\ —> оо функций, либо периодическая по х задача. Однако, как правило, физические модели должны учитывать влияние некоторых пограничных взаимодействий. Математически это выражается в виде наложения на нелинейное уравнение (1) краевого условия в некоторой точке х — х0 вида

Выяснилось, что лишь для краевых условий весьма специального вида начально-краевые задачи для интегрируемых уравнений можно эффективно решать при помощи МОЗР. Естественно называть такие краевые условия интегрируемыми. Е.К. Скляниным был предложен эффективный

щ = С{и,их,ихх,...,ип),

(1)

Ух = и(х, £, А) У,

(2) (3)

11, Чх, ■ • . ) Ит)\х=ха — 0) ® —

(4)

РОС

Е

алгоритм поиска таких граничных условий. Он был сформулирован в терминах г-матриц, являющихся решениями классического уравнения Янга-Бакстера. Для моделей с дискретным временем этот метод был развит Ю Б. Сурисом. Существуют также способы обрыва интегрируемых систем, использующие их симметрии.

В данной работе используется альтернативный подход, предложенный в [1]. Он основан на использовании второго уравнения пары Лакса (3) и может быть применен к нелинейным эволюционным уравнениям с одной пространственной переменной.

Цель работы: разработка метода построения интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений, обладающих представлением нулевой кривизны; поиск симметрий и законов сохранения, а также построение решений полученной начально-краевой задачи на полуоси для уравнения Буссинеска.

Методы исследования. В работе используются основные методы сим-метрийного подхода к исследованию интегрируемых систем: построение симметрий и законов сохранения, поиск интегрируемых условий обрыва. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна состоит в разработке удобного метода классификации интегрируемых краевых условий. С его помощью найдено новое интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска, доказано, что оно совместно с бесконечным числом высших симметрий и преобразованием Беклунда. Построены частные решения соответствующей начально-краевой задачи на полуоси с интегрируемым краевым условием для уравнения Буссинеска. Найдены краевые условия для бесконечной цепочки Тоды и для дискретного уравнения Ландау-Лифшица, совместные с высшими симметриями данных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Предложенный метод классификации применим к любому эволюционному уравнению, обладающему представлением нулевой кривизны Полученная начально-краевая задача для уравнения Буссине-ска может быть в принципе решена методом обратной задачи рассеяния. Наличие частных решений позволяет судить о возможном поведении реальных физических явлений, описываемых этим уравнением.

Апробация работы. Результаты, приводимые в диссертации, докладывались

- на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы"(Уфа, 2000 г.);

- на международной конференции "Modern Group Analysis for the new mil-1епшт"(Уфа, 2000 г.);

- на конференции "Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (Уфа, 30-31 октября 2003 г.);

- на республиканской научно-практической конференции "Актуальные проблемы вузовской науки"(Нефтекамск, 2004 г.);

- на семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института под руководством профессора К.Б.Сабитова (Стерлитамак, 2001 г.);

- на семинаре кафедры математического и программного обеспечения вычислительных машин НФ БАШГУ (Нефтекамск, 2005 г.);

- на семинаре института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессора Л.А. Калякина и профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2005

г-)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Из работы [2], выполненной совместно с научным руководителем,

на защиту выносятся только результаты, полученные автором лично

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 118 наименований. Объем диссертации 90 страниц.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор литературы по вопросам, связанным с точным интегрированием краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных, и приведены результаты автора по классификации краевых условий для эволюционных уравнений и для бесконечных цепочек, изложенные в последующих главах.

1 Классификация интегрируемых краевых условий

Рассматривается задача классификации краевых условий для интегрируемых эволюционных уравнений вида (1), представимых в виде условия совместности системы уравнений (2), (3). Ищутся краевые условия в точке хо = 0 вида (4), при которых задача (1), (4) является интегрируемой. Для этого используется новый подход, разработанный в совместной работе автора с научным руководителем [1], использующий только второе уравнение Лаксовой пары (3). Рассмотрим следующее уравнение на неизвестную матричную функцию Z(t, А) вида

Zt — V(0, t, \)Z. (5)

В основу данного подхода поиска интегрируемых краевых условий положено следующее определение:

Определение 1.1 Краевое условие (4) назовем интегрируемым, если существуют матричная функция Р = к(0, их(0, <),..., Л), (/eí(F) ф О, и скалярная функция к = /г(Л), такие, для любого решения Л) уравнения (5) новая функция

А ) = (б)

скова является решением уравнения (5) (но функции У(х^,Х) и Р^,и{х,1),их(х^), ...,Х)У(х,Ь,к(\)) не являются одновременно решениями уравнения (3) при произвольных значениях их(х,Ь),...).

Предложение в скобках исключает уже имеющиеся инволюции Лаксовой пары. Другими словами, при наложении интегрируемого краевого условия уравнение (3) при х — 0 приобретает дополнительную точечную симметрию.

Отметим, что из условия (6) следует выполнение равенства

= (7)

означающего, что элементы матрицы Z~1(t, X)Zl(t, X) есть производящие функции законов сохранения начально-краевой задачи (1), (4).

Как нетрудно показать, условие существования симметрий (6) эквивалентно существованию невырожденных матричных решений уравнения

^ = (8)

Уравнение (8) является основным для определения интегрируемых граничных условий. Оно фактически содержит три неизвестные функции (граничное условие (4), скалярную функцию /г(А) и матричную функцию Р) и, имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Однако, если зафиксировать набор аргументов функции .Р или функций Ра из краевого условия, то возникают дополнительные ограничения и искомые функции

удается найти На примере уравнений КдФ, sine-Gordon, Гарри Дима и мКдФ показано, что известные для этих уравнений интегрируемые краевые условия удовлетворяют определению 1.1, и доказано, что для конкретного класса краевых условий они единственны. Так, например, уравнение Гарри Дима

щ + А1И = 0, х > 0, t > 0, (9)

допускает в точке х = 0 два интегрируемых краевых условия. Первое из них имеет вид

u(0,t) = 0; их(0,t) = b, be R. (10)

Другое интегрируемое условие есть

о?и d

их(0, t) = аи, uxx(0,t) = - + - ■ a, de R. (И)

г и

Уравнение Гарри Дима записывается как условие совместности системы уравнений (2), (3), с матрицами

ит —2иу

-(Л i)

и = | , . |, У = -2А ,

v Uix + и Ux

Следующей теоремой проверяется, что известные краевые условия удовлетворяют определению 1.1.

Теорема 1.3 При выполнении краевого условия (10) уравнение (5) в точке х — 0 допускает симметрию (6) с функциями

Г = / + Л = А,

где постоянная а не зависит от Ь. При выполнении краевого условия (11) уравнение (5) допускает симметрию (6) с функциями

р А 0\ h _ -d - 2А ± VcP ~ 4Ad - 12А2

|(А — h) h)1 4

Данные интегрируемые краевые условия (10), (11) будут единственными интегрируемыми условиями (в смысле определения 1.1) в классе краевых условий вида

Ря(и, их, ихх)|1=0 = 0, з = 1,..., А;,1 (12)

где к равно одному или двум.

Далее в первой главе с помощью рассматриваемого подхода получено новое интегрируемое условие. Рассматривается задача поиска интегрируемых в смысле определения 1.1 краевых условий для уравнения Буссинеска

1 4

«И = дИетет + X > О, Ь > 0.

(13)

Для решения этой задачи удобно переписать уравнение в виде системы эволюционных уравнений

1 8

щ = Ух, = -иххх -1- -иих, х > о, г > 0.

(14)

Последнюю систему можно записать как условие совместности уравнений (2), (3), с матрицами

/0 1 0\

и =

0

0

1

и + о/

У = г

—и

\ _ «1 _ зу

Л 4 2°

— Ихх. _ 3?. 4 2 х

-52 + 1

1

о

(15)

(16)

Справедлива следующая

Теорема 1.4 Уравнение Буссинеска (Ц) допускает в точке х = 0 интегрируемое краевое условие (в смысле определения 1.1), состоящее из двух равенств вида:

и(0, *) = а, их(0, £) = Ь,

(17)

где ci; b - произвольные вещественные конст,анты При выполнении (17) уравнение (5) при х = 0 имеет точечную симметрию (6), где h = —2ai — Л, с диагональной матрицей преобразования F = diag(—X — га 4- Ь/3, Л + га+b/3, —Х—ia+b/3). Омо будет единственным интегрируемым краевым условием в классе тех матриц F преобразования (6), которые зависят только от X и не зависят от времени t.

Следствие 1.1 Уравнение Вуссинеска (13) имеет интегрируемое краевое условие, которое состоит из двух равенств, вида

'"х|х=о = Ь, иххх + 8иих\х=о - 0. (18)

В заключение главы рассматривается уравнение Kayna-Вуссинеска (КБ): Щ - ихх + ß2uxxxx - е(ихтг)х, (19)

где 7г = щ 4-1/2 £их.

Уравнение (19) может быть получено как условие совместности двух линейных уравнений (2), (3), с матрицами .

0 Г

U - , , ,

v=( ¡Ях —2ißX — ßq

\lqxx + (2ißX + ßq)p -lqx P = А2 + + гАд - г, = ~ux, r = + ~euI).

Теорема 1.5 Уравнение Kayna-Вуссинеска (19) допускает в точке х = 0 интегрируемое краевое условие (в смысле определения 1.1) вида:

£2

Uxlx^O = ь= const, ß2uxxx - ещих - —ul + = 0. (20)

При выполнении (20) уравнение (5) при х = 0 допускает точечную симметрию (6). с функциями

niß^b о у

V 0 2ißh + \b)'

Оно будет, единственным интегрируемым краевым условием в классе т,ех матриц Р преобразования (6). которые зависят только от X и не зависят от времени Ь.

2 Симметрии и интегралы движения интегрируемых начально-краевых задач

Во второй главе проверяется, что полученное интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска выдерживает симметрийный тест, т.е. совместно с бесконечным числом высших симметрий.

Определение 2.1 Симметрия

иТ = д{и,их,...,ит) (21)

уравнения (1) называется совместной с краевым условием (4), если дифференцирование (4) по г дает тождество с учетом краевого условия (4) и его дифференциальных следствий.

Сначала доказывается существование симметрии уравнения Буссинеска (14), совместной с краевым условием (17). Это (лемма 2.1) симметрия

их — ьххх + 4иьх + 4ихь - 4аих>

1 32

ух = -щ + 8ихихх + 4ищ + 4 тх + —и2их — Ааих. (22)

о о

Далее строится матричный оператор рекурсии высших симметрий для уравнения (14), действующий на набор динамических переменных I = {и, к, их, и))Т, где к = ихх + 4и2, и) = V — а, и

' 3 ш \uxDt1 Д 2 и + 2щВ$х '

-их1 - ЧихВ1 3ги + г^Д"1 2иД 4к + ЗД2 + Д~'

-Зи»-6иД Д + ^Д-1 Зги 2и^1 + Ъих , + ^ ¡u + fD;l г^Д^ + Зи) ,

Оказывается, верно следующее утверждение:

Теорема 2.1 Пусть 1Т0 - симметрия, совместная с краевым условием (17) Тогда применение квадрата оператора рекурсии Я\ к этой симметрии снова дает симметрию, совместную с (17).

Из этой теоремы следует, что неоднократным применением к симметрии (их, ь'х) квадрата оператора рекурсии П\ мы получим бесконечную иерархию симметрий, совместных с краевым условием (17).

Во втором параграфе данной главы изучаются интегралы движения для уравнения КдФ на полуоси с интегрируемыми краевыми условиями

Щ = иххх — биих, х > 0, t > 0, (23)

и\х=о = а, «х:г|х=о = Ь, (24)

и|<=0 = «о«о(®)|:г-.+оо 0- (25)

Известно, что в случае всей оси — оо < х < +оо данное уравнение имеет бесконечное количество локальных законов сохранения с плотностями Хп(х), где функции х„(х) определяются из реккурентного соотношения

й Я"1

Х\{х) = -и, х«+1(х) = Хп{х) + Е Хк(х)Хп-к(х), (26)

ах 1

и для всех номеров п выполнено Хп(х)^х — 0. На полуоси они,

сИ

вообще говоря, не сохраняются. Например, для первых трех справедливы соотношения

¿1ГХ\{х)йх = ийх ' - 1^°°(иххх - 6иих)йх = 3и2 - =

= Ь — За2,

! г° ===- ° >

~ /0+о° хгШх = - /0+°°(«2 - ихх)<1х = иЦ0, Ь) +~-их(0,0 + 4а3 - 2аЬ ф 0. Следующая теорема утверждает, что при Ь = За2 задача на полуоси для уравнения КдФ "унаследует" 2/3 интегралов движения задачи на всей оси-

Теорема 2.2 При Ь = За2 дня всех номеров таких, что

п ф 0 (mod 3), выполняется равенство -- \n(x)dx = 0.

ОЛ/

Данная теорема доказана в соместной работе И.Т.Хабибуллина с В.Э.Адлером в случае, когда а = Ь = 0.

3 Частные решения интегрируемой краевой задачи для уравнения Буссинеска

В третьей главе построены частные решения интегрируемой краевой задачи для уравнения Буссинеска:

1 4

= ^Uxxxx + и2)хх, х > 0, t > 0, (27)

щ\х=о - Ь, иххх 4- 8иих\х^о = 0. (28)

Доказано, что применением преобразования Беклунда

kw't - 2w'xx - 4wxx + 12 (w' - w)wx + 4(го' - и>)3 + A = 0

kwt + 4u/xx + 2wxx + I2{w'- w)w'x + 4{w'- wf + \ = 0, (29)

3

где k2 = —36, и = 2Wx> к Решепию начально-краевой задачи, можно добиться, подбором коэффициента ПБ, того, чтобы новое решение снова удовлетворяло рассматриваемой краевой задаче. Именно, вспомогательная функция w удовлетворяет уравнению

wtt = 4wxwxx + ~wxxxx. (30)

Интегрируемые краевые условия (28) для функции ги(х, t) примут вид

w{0,t) = 0,wxx{0,t) = ^b. (31)

Тогда оказывается справедливой

Теорема 3.1 Пусть w(x,t) - решение уравнения (30) с краевыми условиями

w(О, t) = 0, uixx(0, t) = b- (32)

w'0(x,t) - решение, полученное преобразованием Бэклунда (29) функции w(x, t) при А = 2Ь, удовлетворяющее начальному условию w'0(0, 0) = 0. Тогда решение w'0(x, t) также удовлетворяет краевым условиям вида (32)

4(0,*) = о, w'0xx(Q,t) = bub^-b.

В качестве примера приведен класс рациональных решений уравнения Бус-синеска, удовлетворяющих краевому условию (28) при 6 = 0:

и(х, t) = ~ 1п(х2 + в), и(х, t) = ~ 1п(а;4 + 29х2 - в2), 3 <Р

«(*> t) = ^-гт + 5х40 + 5x2Ö2 + 5в3), ...,6 = ±2 i(t - t0). 2 ах1

Они получаются преобразованием Беклунда (29) при А = 0 к нулевому решению.

4 Интегрируемые редукции для бесконечных цепочек уравнений

В последней, четвертой главе для уравнения Тоды

Qu(n) = qzz(n) + е*(п+,Ьз(") _ grf»)-«(»-i), -оо < n < +оо, (33)

ищутся краевые условия в точке z = 0 вида

о = ^(д(п + 1), q(n), q(n - 1)), -оо < п < +оо, (34)

совместные с его симметриями. Доказан следующий результат. Возьмем симметрию второго порядка вида

gT(n) = h(n) + h(n - 1) + 2 q2{n) + 2 q2{n), (35)

где нелокальная функция h(n) удовлетворяет реккурентному соотношению

h(n) -= h(n - 1) + 4qTT(n) + 2c(n - 1) - 2c(n), (36)

и обозначено c(n) = e4(n+i)-q(n) Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема 4.1 Симметрия (35) совместна с краевым условием

= (37)

где все числа ßn удовлетворяют равенству = 1, либо все ßn равны нулю. Оно будет единственным краевым условием, совместным с (37), в классе функций вида (34).

В последнем параграфе рассматривается задача поиска интегрируемых редукций для дискретной модели Ландау-Лифшица. Пусть даны многочлен четвертой степени

Р(и) = аиА + Ьи3 + cu2 + du + e,

и функции

A-« + »W)H---Ч + ^

VUn+1 Щ,- Un-i/ 2

Модель Ландау-Лифшица представляет собой бесконечную цепочку уравнений вида

Unxx = -fn- (38)

Для этого уравнения построены условия обрыва вида = F(uq), совместные с его симметриями второго и третьего порядков. Обозначим q = и = щ. Тогда симметрии третьего порядка для этих номеров имеют вид-

„„, . 12их , Р'(и). 12их . 9 ..

иТ = 2 иххх + ихР" (и)--Цихх + + --х-~(и2х + Р{и)),

и — q I [и — qf

Чг = 2qxxx + qxP"(q) + (fe + + + P(q))-

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 4.3 Связь вида q — F(u) совместна с симметрией (иТ. qT) в следующих случаях: 1) q = с. 2) q — —и + с, 3) (c^q + C2XC1W + с2) = —1. Здесь с, С], С2 - произвольные константы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Habibullin I.T., Vil'danov A.N. Boundary conditions consistent with LA pairs. Материалы международной конференции "Modern Group Analysis for the new millenium", ред. B.A. Байков и др., г. Уфа, Россия, 2000 г., с. 80.

2. I.T. Habibullin. A.N. Vil'danov. Integrable Boundary Conditions for Nonlin-ear Lattices. CRM, Proceedings and Lecture Notes, ed. D. Levi, Montreal, v. 25, 2000, p. 173 - 180.

3. Вилъданов A.H.- Краевые условия, совместные со свойством интегрируемости периодической цепочки Тоды. // Материалы Всероссийской научно-практической конференции 16-18 марта 1999 г. "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе, с 6-8.

4. Вилъданов А.Н. Краевое условие для уравнения Буссинеска, совместное с интегрируемостью. // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. 30-31 октября 2003, г. Уфа. с. 17.

5. Вилъданов А.Н. Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси. // Республиканская научно-практическая конференция "Актуальные проблемы вузовской науки", г. Нефтекамск, 2004.

6. Вилъданов А.Н. Интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска. Теор. и матем. физика, 2004, т.150 №11. с. 33.

17

18

#214 65

РНБ Русский фонд

2006-4 22104

Введение

1 КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

1.1 Определение интегрируемого краевого условия.

1.2 Интегрируемые краевые условия.

1.3 Интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска

2 СИММЕТРИИ И ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

2.1 Высшие симметрии краевой задачи для уравнения Буссинеска

2.2 Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси.

3 ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА

4 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ РЕДУКЦИИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦЕПОЧЕК УРАВНЕНИЙ

4.1 Постановка задачи.

4.2 Периодическая цепочка Тоды

4.3 Краевые условия, совместные с симметриями периодической цепочки Тоды.

4.4 Интегрируемое краевое условие для бесконечной цепочки Тоды.

4.5 Дискретная модель Ландау-Лифшица.

В последнее время большой интерес вызывают нелинейные уравнения в частных производных, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1]. В данном методе существенную роль играет представление интегрируемого уравнения как условия совместности двух .линейных систем уравнений в частных производных первого порядка вида с матричными коэффициентами U и V, зависящими от функций и, их,. и от комплексного параметра Л. Идея использовать обратную задачу квантовой теории рассеяния для решения нелинейных уравнений в частных производных восходит к классической работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры "Метод для решения уравнения Кортевега-де-Фриза", опубликованной в 1967 году [2]. В становлении метода обратной задачи рассеяния важную роль сыграли следующие две работы: П.Лакса "Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны", опубликованной в 1968 году [3], в которой были формализованы результаты работы [2] и введено понятие L — А пары Лакса, и работа В.Е.Захарова и А.Б.Шабата "Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах" 1971 года [4], в которой были найдены новые примеры интегрируемых уравнений. В результате стало ясно, что понятие L — А пары не является специальным свойством уравнения Кортевега-де-Фриза, а применимо также и щ = G(u,ux,u

1)

Yx = U(x,t,\)Y, Yt = V(x,t,\)Y,

2) (3) к нелинейному уравнению Шредингера. Тем самым были открыты перспективы для применения метода и к другим уравнениям.

Характерным признаком уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, является наличие бесконечного множества явных решений (это солитонные, конечно-зонные и другие автомодельные решения). Выяснилось также, что интегрируемые уравнения обладают бесконечным числом локальных законов сохранения и высших симметрий.

С появлением все новых и новых примеров интегрируемых МОЗР систем возник вопрос: как выяснить, применим ли метод обратной задачи рассеяния к тому или иному уравнению? Симметрийный подход, заложенный еще в работах Э.Нетер, позволил выработать алгебраический критерий интегрируемости. В работах А.Б.Шабата, Н.Х.Ибрагимова, А.В.Жибера, В.В.Соколова, Р.И.Ямилова, С.И.Свинолупова, А.В.Михайлова и др. была решена задача полного описания классов интегрируемых уравнений типа Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, цепочки Вольтерра и др. В основу классификации был положен признак наличия симметрий сколь угодно высокого порядка.

Традиционно в методе обратной задачи рассматривались либо задача Коши для уравнения (1) в классе быстроубывающих при |а;| —> оо функций, либо периодическая по х задача. Однако, как правило, физические модели должны учитывать влияние некоторых пограничных взаимодействий. Математически это выражается в виде наложения на нелинейное уравнение (1) краевого условия в точке а: = жо вида

Pa(t,u,ux,.,um)\x=x0 = 0, а = 1 (4)

Однако, как показывает теперь уже многолетняя история развития теории интегрируемости, граничные задачи не очень успешно решаются при помощи метода обратной задачи рассеяния. Выяснилось, что лишь для краевых условий весьма специального вида начально-краевые задачи для интегрируемых уравнений можно эффективно решать при помощи МОЗР. Сравнительно недавно была продемонстрирована возможность аналитического решения новых интересных краевых задач:

1) уравнение Шредингера на полуоси [5], [б], [7].

2) Уравнение sin-Gordon на полуоси [8].

3) Уравнение КдФ на полуоси [9] и др.

С появлением новых примеров возникла задача выделения именно тех краевых условий, при которых соответствующая начально-краевая задача может быть решена при помощи метода обратной задачи рассеяния. Естественно называть такие краевые условия интегрируемыми. Первой работой в этом направлении является работа Е.К.Склянина [10]. В ней предложен метод поиска интегрируемых граничных условий и найдены новые примеры. В основу метода кладется совместимость граничного условия с гамильтоновой структурой уравнения. Используется понятие классической и квантовой г - матрицы. Стоит упомянуть наблюдение А.И.Бобенко, состоящее в том, что интегрируемое граничное условие, как правило, можно записать в виде условия треугольности V-оператора в уравнении по t для вспомогательной линейной задачи ([8]). Это обстоятельство трудно использовать для построения общего решения краевой задачи, однако в том случае, когда решение вспомогательной линейной задачи известно явно (это имеет место, например, в теории конечнозонно-го интегрирования), этот подход позволяет эффективно выделить частные решения краевой задачи.

В работе И.Т.Хабибуллина [11] интегрируемые краевые условия исследовались с помощью высших симметрий уравнения (1). Пусть в точке х = xq задано краевое условие (4), и ит = д(и, их,., Um) (5)

- высшая симметрия уравнения (1). Продифференцировав соотношение (1) по переменной т, получим соотношение вида к ар 0,(1 = 1, .л (6) г=0 ОЩ где производные по т следует заменить в силу уравнения (5).

Определение ОД ([11]-) Граничная задача (1), (4) называется совместимой с симметрией (5), если соотношение (6) выполняется тождественно в силу (4) и его дифференциальных следствий, получающихся при дифференцировании по переменной t в силу самого уравнения (1).

Оказывается, что известные классы интегрируемых граничных условий совместны с бесконечным количеством высших симметрий. Так, например, у уравнения КдФ щ = иххх - 6иих, (7) имеется интегрируемое краевое условие вида и\х=о = а, ихх\х=о = 6, (8) которое совместно с бесконечным количеством высших симметрий вида «г = /9 - 6fc/5 + 6/c2/l, UT = /15 - 10kfи + 30k2f7,

UT = /21 - Ukfn + 70k2 fn - 770k4 f5 4- 868fc5/i,. где к = За2 + b и utj = fj высшие потоки j-ro порядка.

В работе [12] данный симметрийный тест перенесен на бесконечные цепочки уравнений. На примере уравнения Тоды qxy{n) = eq(n+1)~q{-n) - , оо < n < +00, (9) построены обрывы вида q{ 1) = g(q(0), qx(0), Яу(0), q{— 1)), совместные с симметриями второго и третьего порядка вида где &i(n), b2{n) - нелокальные функции. При этом интегрируемые условия для Тоды имеют вид

Данные обрывы сводят интегрируемую бесконечную цепочку уравнений Тоды к полубесконечной, опять таки интегрируемой ([12]). С другой стороны, интерес представляет задача нахождения интегрируемых "обрывов" цепочки уравнений по пространственным переменным. В работе [25] для периодического уравнения Тоды в лабораторных координатах t = х + y,z = х — у, в которых оно примет вид qtl(n) = bi(n) + 6i(n- l) + gx(n)2, (Ю)

Qtiji) = b2(n - 2) + b2(n - 1) + b2(n) + b!(n)[2qx(n) + +qx(n + 1)] + bi(n - l)[2gx(n) + qx(n - 1)] + qx(nf, (11)

1) = 0, MO) = 0.

2) 9(1) = const., b2(0) = 0;

5) e'^-V = 0,h{0) = qxx(0) + const. qtt(n) = qzz(n) + - еяМ-ф-1) j q(n-{-N)=q(n), построено краевое условие в точке z = 0 вида

12)

41 п ч(п+1)-д(п) д(п)-д(п-1) qz{n) |z=o = A»e 2 -Pn-ie 2

7(n+l)-q(n)

13)

Условие (13) в точке z = 0 разбивает задачу для уравнения (12) на всей оси — оо < z < +оо на две: на полуоси 2>0hz<0. В настоящем исследовании доказано, что данное краевое условие совместно с симметрией второго порядка бесконечной цепочки Тоды (12).

Научная новизна работы заключается в следующем. Предложен новый эффективный метод классификации интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений в частных производных. При этом оказывается, он дает, во первых, краевые условия, совпадающие с ранее известными, и, во вторых, позволяет получить новые результаты. При помощи этого метода найдено новое интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска. Предъявлен бесконечный набор высших симмет-рий, совместимых с этим краевым условием. Построены классы частных решений краевой задачи для уравнения Буссинеска.

Работа носит теоретический характер. Автору представляется, что имеется в перспективе возможность применения полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Например, интерес представляет задача применения техники МОЗР к уравнению Буссинеска с интегрируемым краевым условием на полуоси.

Текст диссертации состоит из введения, 11 параграфов, разбитых на 4 главы, и списка литературы.

1. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Москва, Наука, 1980.

2. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteveg-de Vries equation. Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p. 1095-1097

3. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math., 1968, v.21, №5, p. 467-490.

4. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 1971, т. 61, №, .с. 118-134

5. В.О.Тарасов. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера. Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1988. Т. 169. С. 151-165.

6. Fokas A.S., An initial-boundary value problem for the nonlinear Shrodinger equation, Physika D 35 (1989),167-185.

7. Бикбаев Р.Ф., Итс A.P., Алгебро-геометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, Мат. заметки 45, вып. 3 (1989), 3-10.

8. Р.Бикбаев, В.Тарасов. Неоднородная краевая задача на полуоси и на отрезке для уравнения sine-Gordon. Алгебра и анализ, 3 (1991), с 78-93.

9. И.Т. Хабибуллин. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями. Теор. и матем. физика, 2002, т.130. №1. с. 31.

10. Е.К.Склянин. Граничные условия для интегрируемых систем. Функц. анализ и его прилож. 1987. Т. 21. №2. С. 86-87.

11. I.T. Habibullin, Symmetries of boundary problems, Physics Letters A, 1993, v.178, p.369-373.

12. B.Gurel, I.Habibullin, Phys. Letts A, 233 (1997), 68-72.

13. V.Adler, B.Gurel, M.Gtirses, I.Habibullin, Boundary conditions for integrable equations, J. Phys. A: Math. Gen. v.30, 1997, p. 35053513.

14. А.Дегасперис, С.В.Манаков, П.М.Сантини. Смешанные задачи для линейных и солитонных уравнений в частных производных. Теор. и матем. физика, 2002, т. 133. №. с. 184-201.

15. A.V. Mikhailov, V.S. Novikov. Perturbative symmetry approach. Journal of Physics A: Math. Gen., vol. 35, 22, pp. 4775 4790 (2002).

16. Habibullin I.T., Vil'danov A.N. Boundary conditions consistent with L-A pairs. Материалы международной конференции "Modern Group Analysis for the new millenium", ред. В.А. Байков и др., г. Уфа, Россия, 2000г, с80.

17. А.О. Смирнов. Вещественные конечнозонные регулярные решения уравнеия Каупа-Буссинеска. Теор. и матем. физика, 1986, т.66, №1, с. 33.

18. I.T. Habibullin, A.N. Vil'danov. Integrable Boundary Conditions for Nonlin-ear Lattices. CRM, Proceedings and Lecture Notes, ed. D. Levi, Montreal, v. 25, 2000, p. 173 -180

19. S.Ghoshal, Alexander B.Zamolodchikov. Boundary state and boundary S matrix two-dimentional integrable field theory; RU-93-20, hep-th/9306002.

20. П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва, Мир, 1989.

21. В.Э. Адлер, И.Т. Хабибуллин, А.Б. Шабат. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси. Теор. и матем. физика, 1997, т.130. №1. с. 98-113.

22. Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. 4.2. Москва, 1963.

23. И.Т. Хабибуллин. Уравнение sin-Гордон на полуоси. Теор. и матем. физика, 1998, т.114. №1. с. 115.

24. Р.Хирота. Прямые методы в теории солитонов. В сборнике "Со-литоны", под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. Москва, Мир, 1983.

25. E.Corrigan, P.E.Dorey, R.H.Rietdijk, R.Sasaki, Phys. Letts В 333 (1994), 83.

26. В. Giirel, M. Giirses, I.T.Habibullin. Boundary value problems, compatible with symmetries, Phys. Lett. A, 190, 1994, 231-237.

27. Лезнов A.H. Теор. и мат. физика, 1980, №3, 343-349.

28. С.П.Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прилож.1974, т.8, вып. 3, с.54-66.

29. Б.А.Дубровин, В.Б.Матвеев, С.П.Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, т.31, вып. 1, с.55-136.

30. P.D.Lax, Periodic solutions of Korteweg-de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., 1975, V.28, p.141-188.

31. В.А.Марченко, Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев: Наукова думка, 1977.

32. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, ЖЭТФ, 1976, т.71, N1, с.203-215..

33. A.R.Its and V.Yu.Novokshenov, The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations, Lect. Notes in Math., A.Dodd and Eckmann ed., Springer Verlag, 1191, (1986).

34. В.Е.Корепин, Л.Д.Фаддеев, Квантование солитонов, в кн. Фи» зика элементарных частиц, Материалы XII Зимней школы Ленингр. ин-та ядерной физики. Ленинград, 1977, с. 130-146.

35. М.Тода, Теория нелинейных решеток. М. Мир. 1984.1 у/2

36. Moutard Т, Sur la construction des equations de la forme ^^^ = X(x,y), qui admittent une integrate g6nerale explicite, J.Ecole Polytechnique 45 (1878), 1-11.

37. G. Darboux, Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometrique du calcul infinitesimal, T.2. Paris :Goutier-Villars, 1915

38. С.В.Манаков, О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах, ЖЭТФ, 1974, т.67, N2, с.543-555.

39. Н. Flashka, On the Toda lattice. Inverse scattering solution, Progr. Theor. Phys., 1974, v.51, N3, p.703

40. А.Б.Шабат, Задача Римана и нелинейные уравнения. Труды Всесоюзной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 1976), Издат. Москов. Гос. Унив., М.,1978, с.242-248.

41. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории со-литонов, М. Наука, 1986.

42. А.П.Веселов, Интегрируемые отображения, УМН, 46, 1995, 5(281), с.3-45.

43. И.М.Кричевер, Аналог формулы Даламбера для уравнений главного кирального поля и уравнения sine-Gordon., ДАН СССР, т.253, 1980, Т2, с.288-292.

44. И.Р.Габитов, В.Е.Захаров, А.В.Михайлов, Уравнение Максвелла-Блоха и метод обратной-задачи, ТМФ, 1985, т.63, N1, с.11-31.

45. С.В.Манаков, В.Ю.Новокшенов, Полное асимптотическое представление электромагнитного импульса в длинном двухуровневом усилителе, ТМФ, т.69, N1, с.40-53.

46. A.S.Fokas, A.R.Its, An initial-boundary value problem for the sine-Gordon equation in laboratory coordinates, TMF, v.92, 1992, N3, p386-403.

47. E.D.Belokolos, General formulae for solutions of initial and boundary value problems for the sine-Gordon equation, TMF v.103,1995, N.3, c.358-367.

48. А.Л.Сахнович, Нелинейное уравнение Шредингера на полуоси и связанная с ним обратная задача, Укр. мат. журнал, 1990, т.42, N.3.

49. А.Л.Сахнович, Задача N-волн на полуоси, УМН, т.46, 1991, N.4, с.171-172.

50. J. Moser (1985) Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential integrable system, Lecture Notes in Physics, 38, 467-498.

51. М.А.Ольшанецкий, A.M.Переломов, Функцион. анализ и его прилож. т.10, 1976, в.З, d.86.

52. А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, М., Наука, 1985.

53. А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, В.Г.Смирнов, Теория представлений групп и интегрирование нелинейных динамических систем, ТМФ, т.48, 1981, N.1, с.3-12.

54. Р.Ф.Бикбаев, С.Б.Куксин, Периодическая краевая задача для уравнения синус-Гордон, ее малые возмущения и КАМ-деформации конечнозонных торов, Алгебра и анализ, 1992, т.4, в.З, с.70-111.

55. В.А.Козел, В.П.Котляров, Почти-периодические решения уравнения utt ихх = sin и, ДАН УССР, т.10, А, с.878-881.

56. Р.Ф.Бикбаев, А.Р.Итс, Алгебро-геометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, Мат. заметки, т.45, 1989, N.3, с.3-10.

57. I.T. Habibullin, in: Proc.IV Int. Workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, Vol.1, Kiev, 1989, (Singapore, 1990), p.259

58. И.Т.Хабибуллин, Преобразование Беклунда и интегрируемые начально-краевые задачй, Матем. Заметки, т.49, 1991, N4, с.130-138.

59. И.Т.Хабибуллин, Об интегрируемыех начально-краевых задачах, ТМФ, т.86, 1991, N1, с.43-51.

60. И.Т.Хабибуллин, Граничные задачи на полуплоскости для уравнения Ишимори, совместимые с методом обратной задачи рассеяния, ТМФ, т.91, 1992, N3, с.363-376.

61. И.Т.Хабибуллин, Начально-краевая задача на полуплоскости для уравнений Ишимори и Деви-Стюартсона, в сб. Задачи математической физики и асимптотика их решений, под ред. Л.А.Калякина, Уфа, 1991, с.50-59.

62. A.B.Borisov, Vortices in the sine Gordon system and solution of the boundary value problem by the inverse scattering problem, Physics Lett. A, v.143, 1990, N.l, p.52-56.

63. M.Jaworski, D.Kaup, Direct and inverse scattering problem associated with the elliptic sinh-Gordon equation, Inverse Problem, v.6, 1990, N.4, p.543-556.

64. G.Costabile, R.D.Parmantier, B.Savo, D.W.McLaughlin, A.C.Scott, Exact solutions of the sine-Gordon equation, describing oscillationsin a long (but finite) Josephson junction. Appl. Phys. Lett., v.32, 1978, p.587-589.

65. H.Saleur, S.Skorik, N.P.Warner, The boundary sine-Gordon theory, USC-94-013, hep-th/9408004.

66. J.Ishimori, Multi Vortex Solutions of a Two-Dimentional Nonlinear Wave Equation, Progress of Theoretical Physics, v.72,1984, p.33-37.

67. Л.В.Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978.

68. У.Миллер, Симметрия и разделение переменных, М.:Мир, 1981.

69. Н.Х.Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.:Наука, 1983, 280 с.

70. А.В.Жибер, А.Б.Шабат, Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой, Докл. АН СССР, т.247, 1979, N.5, с.1103-1107.

71. S.I. Svinolupov (1989) On the analogues of the Burgers equation, Phys. Lett. A, 135(1), 32-.36.

72. S.I. Svinolupov (1992) Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs, Commun. Math. Phys., v.143, 559-575.

73. I.T.Habibullin, S.I. Svinolupov, Integrable boundary value problem for the multicomponent Schrodinger equations, Physica D, v.87, 1995, p.101-106.

74. А.В.Михайлов, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, УМН, 1987, т.42, В.4(256), с.3-53.

75. I.T.Habibul-lin. Boundary problems for integrable equations, Proceedings of VIII International Workshop NEED'S92, Dubna near Moscow 1992, World Scientific, Singapore, 1993.

76. A.Medina, Sur quelques algebres symetriques a gauche l'algebre de Lie sous-jacente est resoluble, C.R.Acad.Sci., Paris, Ser.A 286, 1978, N.3, p. 173-176.

77. О.В.Мельников, В.H.Ремесленников, В.А.Романьков, JI.A.Скорняков, И.А.Шестаков, Общая алгебра, М.:Наука, 1990.

78. В.В.Соколов, С.И.Свинолупов, Векторное и матричное обобщения классических интегрируемых уравнений, ТМФ, т. 100, 1994, N2, с.214-218.

79. S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov (1991) The multi-field Schrodinger lattices, Phys. Lett. A, 160, 548-552.

80. О.И.Богоявленский, Интегрируемые уравнения на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Известия АН СССР (сер. мат.) т.48, 1984, N.5, с.883-938.

81. А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрии нелинейных цепочек, Алгебра и анализ, т.2, 1990, в.2.

82. A.B.Shabat, Higher symmetries of two-dimensional lattices, Phys. Letters A, v.200, 1995, p. 121-133.

83. F.Calogero, A.Degasperis, Reduction technique for matrix nonlinear equations solvable by the spectral transform, preprint Instituto di Fizica G.Markoni Univ. di Roma, 151, 1979, p.1-37.

84. С.И.Свинолупов, В.В.Соколов, Р.И.Ямилов, О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений, ДАН СССР, 271, 1983, N.4, с.802-805.

85. M.Bruschi, O.Ragnisco, P.M.Santini, Tu Gui Zhang, Integrable symplectic maps, Physica D 49, 1991, 273-294.

86. V.E.Adler, I.T.Habibullin (1995) Integrable boundary conditions for the Toda lattice, solv-int/9505003.

87. Р.И.Ямилов, Классификация дискретных эволюционных уравнений, УМН, 38:6, 1983, с.155-156.

88. Ю.Мозер, Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем, УМН, т.36, 1981, в.5, с.109-151.

89. И.Т.Хабибуллин, Граничные условия для нелинейных уравнений, совместимые с интегрируемостью, Теор. Мат. Физ., 96,1993, N1, с.109-122.

90. Б.Б.Кадомцев, В.И.Петвиашвили, Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах, ДАН СССР, 192, 4, 753756, (1970).

91. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функц. анализ и его прилож. т. 8, вып. 3, 43-53, (1974).

92. С.И.Свинолупов, И.Т.Хабибуллин, Интегрируемые граничные условия для многокомпонентного уравнения Бюргерса, Матем. Заметки, 1995.

93. I.T.Habibullin, Boundary conditions for integrable chains, Phys. Letts. A, v.207, 1995, N.5', p.263-268.

94. В.Э.Адлер, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к проблеме интегрируемости, ТМФ, т.125, N3, с. 355-424, 2000.

95. М.Д.Рамазанов. Матем.сб., 1964г, т. 64, № 2, с. 234.

96. А.В.Фаминский. Труды ММО, 1988, т. 51, с. 54.

97. Б.Г.Конопельченко. Интегрируемые уравнения: группы симметрии, Бэклунд-преобразования и динамические группы. Сибирское отделение АН СССР, Институт ядерной физики, препринт 80-147, 1980г.

98. D.J.Kaup. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class фххх + 6Qipx + 6В,ф = A ф. Studies in applied mathematics, 1980, 62, p. 189-216.

99. Ф.Х.Мукминов, В.В.Соколов. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями. Мат. сб., т. 133, с. 392-414, 1987г.

100. В.В.Соколов. О симметриях эволюционных уравнений. Успехи математических наук, т. 43, вып. 5, с. 133-163, 1988г.

101. И.Лорис. Билинейные представления интегрируемых уравнений. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. №2. с. 270-278.

102. Б.Пеллони. О корректных граничных задачах для интегрируемых эволюционных уравнений на конечном интервале. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. №2. с. 327-336.

103. Ф.Женье, Ж.Леон. Спектральное преобразование Захарова-Шабата на полупрямой. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. №2. с. 218-232.

104. А. Дегасперис, Д.Д.Холм, А.Н.И.Хон. Новое интегрируемое уравнение с пиконными решениями. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. №2. с. 170-183.

105. А.Г.Рейман, М.А.Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы. АНО "Институт комьпьютерных исследований", Ижевск, 2004г.

106. В.И.Лагно, С.В.Спичак, В.И.Стогний. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа. АНО "Институт комьпьютерных исследований", Ижевск, 2004г.

107. М.В.Павлов. Уравнение Буссинеска и преобразования типа Ми-уры. Фундаментальная и прикладная математика, 2004, том 10, № 1, с. 175-182.

108. Вильданов А.Н. Начально-краевая задача на полуоси для уравнения КдФ. // Материалы международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". г. Уфа, 2000г. с. 38-41.

109. Хабибуллин И.Г., Вильданов А.Н. Краевые задачи для интегрируемых уравнений. //4-ый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ -98). Новосибирск, Издательство Института мат. СО РАН. 2000, с. 85.

110. Вильданов А.Н. Краевое условие для уравнения Буссинеска, совместное с интегрируемостью. // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. 30-31 октября 2003, г. Уфа. с. 24-32.

111. Вильданов А.Н. Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси. // Материалы республиканская научно-практической конференции "Актуальные проблемы вузовской науки", г. Нефтекамск, 2004, с. 63-67.

112. Вильданов А.Н. Интегрируемая граничная задача для уравнения Буссинеска. Теор. и матем. физика, 2004, т.141. №2. с. 192-207.