Интегрируемые многомерные граничные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

I

Гудкова Елена Владимировна

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа—2005

Работа выполнена в

Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Газизов Рафаил Кавыевич; кандидат физико-математических наук, доцент Черданцев Игорь Юрьевич.

Ведущая организация:

Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН.

Защита состоится 16 декабря 2005 г. в 15.00 на заседании специализированного совета Д-002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан // ноября 2005 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н.

С.В. Попенов

го 57г.

&тотч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматривается круг вопросов, связанных с проблемой интегрирования начально-краевых задач для соли-тонных уравнений размерности 2 + 1, т.е. содержащих две пространственные и одну временнную переменную. Метод обратной задачи рассеяния, открытый в 1907 году Крускалом я др. при изучении уравнении Кортевега-де Фриза, оказал плодотворное влияние на развитие теории нелинейных уравнений математической физики. Метод основан на том что замена переменной, заключающаяся в переходе от потенциала одномерного оператора Шредингера к спектральным данным (данным рассеяния), полностью линеаризует уравнение Кортевега-де Фриза. Метод обратной задачи рассеяния позволяет эффективно решать задачу Коши. Помимо задачи Коши в математической физике часто встречается другая важная постановка -начально-краевая задача. Для нелинейных уравнений учет влияния границы сильно усложняет задачу К середине 90-ых годов прошлого века стало ясно. 7то начально-краевая задача с произольными начальными условиями и краевыми условиями общего вида не согласуется со свойством интегрируемости уравнения. Для каждого интегрируемого уравнения типа Кортевега-де Фриза существует некий специальный класс краевых условий, полност ью согласующихся с интегрируемостью.

За последние полтора десятилетия для моделей размерности 1+1, т.е. для уравнений с одной пространственной и одной временной переменной, были найдены эффективные алгоритмы поиска таких граничных условий, использующие законы сохранения и гамильтонову структуру , высшие симметрии уравнения . а также непосредственно пару Лакса .

Для большинства известных уравнений размерности 1 -1-1 интегрируемые краевые условия были перечислены в работах Е.К.Склянина, А.Б.За-молодчикова, Р.Ф.Бикбаева, В О.Тарасова, В.Э.Адлера, И.Т.Хабибуллина, М.Гурсеса, Т Г.Казаковой и др. Отметим, что хотя интегрируемые краевые условия охватывают сравнительно узкий класс краевых условий, тем пс менее они представляю! интерес для физики Приложения граничных задач такого сорта обсуждаются, например, в работах О.Соь1аЫ1е, А.Б.За-молодчикова, Е.Корригана, С.Скорика и др.

Другая точка зрения к начально-краевым задачам, развиваемая в работах А.Фокаса. А Дегасиериса, С.Манакова, П.Сантини, А Буте де Мун-вел и др., состоит в поиске новых, возможно менее эффективных обобщений метода обратной задачи рассеяния^ " " именимы к

БИБЛИОТЕКА

•а ** тЬ>,.

дай' I» г»

начально-краевым задачам с произвольными краевыми условиями и произвольными начальными условиями.

Краевые задачи для интегрируемых эллиптических уравнений с произвольным краевым условием также плохо поддаются исследованию при помощи метода обратной задачи рассеяния, но и здесь наблюдается 101 же эффект: существуют специальные типы граничных условий, совместимых с МОЗР. Так в серии работ А.Б.Борисова, В.В.Киселева и Г.Г.Талуца показано, что математическая модель вихря в двумерном магнетике представляет собой ни что иное, как эллиптическую краевую задачу, подпадающую под действие МОЗР.

Отметим, что для уравнений с двумя и более пространственными неременными проблема граничных условий, согласующихся со свойством интегрируемости. остается мало исследованной. В качестве примеров можно упомянуть лишь несколько типов краевых условий для уравнения Иши-мори и так называемые обобщенные цепочки Тоды - редукции бесконечной двумеризованной цепочки Тоды, связанные с классическими сериями алгебр Ли конечного роста . Они получаются из бесконечной цепочки при наложении условий обрыва (краевых условий по дискретной переменной), согласованных с интегрируемостью. Алгоритм поиска интегрируемых граничных условий, использующий высшие симметрии уравнения, разработанный в статьях В.Э.Адлера, М.Гурсеса, И.Т.Хабибуллина, в случае уравнений размерности 2+1 является достаточно сложным Причина этого кроется в том, что симметрии многомерных уравнений содержат нелокальности.

Цель работы. Цель настоящей диссертации состоит в разработке удобных и эффективных способов отыскания (а также классификации) интегрируемых граничных условий для многомерных интегрируемых уравнений типа двумеризованной цепочки Тоды и уравнения Кадомцева-Петвиа-швили.

Методы исследования. В работе используются основные методы теории интегрируемости: принцип Ь-А пары, классические и высшие симметрии, метод дифференциальных связей, метод одевания Захарова-Ша-бата и др.

Научная новизна.

1 Разработан и апробирован тес г для отыскания интегрируемых краевых условий для многомерных уравнений и цепочек. Найдены новые условия обрыва двумеризованной цепочки Тоды.

2. Получены новые краевые условия для уравнения Кадомцева - Г1ет-

виашви чи, модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили, уравнения Веселова-Новикова

3. Построены явные частные решения краевой задачи для уравнения Кадомцева-Петвиашвили в полосе и в полуплоскости.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях по нелинейным уравнениям в частных производных

Апробация работы. Результаты, приводимые в диссертации, докладывались-

1. Межрегиональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа 2002г., 2003г., 2004 г.; 2 Семинары „Дифференциальные уравнения математической физики" Института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2003 г., 2005 г.; 3. Семинары кафедры дифференциальных уравнений БашГУ, 2004 г, 2005 г

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. Из работ [1-2], выполненных совместно с научным руководителем, на защиту выносятся только результаты, полученные автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 138 наименований Объем диссертации 90 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко обсуждается история вопроса и содержание диссертации.

1 Обрывы двумеризованной цепочки Тоды

Первая глава диссертации посвящена изложению теста, позволяющего выяснить, согласуется ли данное краевое условие со свойством интегрируемости уравнения. Предлагаемый тест использует пapv Лакса уравнения и является непосредственным обобщением результатов работ И.Т.Ха-бибуллина, Т.Г.Казаковой и А Н.Вильданова по 1 + 1-мерным уравнениям.

Кратко объясним содержание геста в 24- 1-мерном случае. Его суть

заключается в следующем. Для заданного нелинейного интегрируемого 2+1-мерного уравнения берутся две неэквивалентные пары Лакса. Неэквивалентность означает, что одна пара не переводится в другую при помощи линейной замены собственной функции. Выберем некоторую область в плоскости пространственных переменных. Затем будем сравнивать операторы, задающие временную динамику собственных функций каждой из пар Лакса. Вдоль границы области на полевые переменные наложим условие связи таким образом, чтобы эти операторы стали подобными. Точнее говоря, чтобы собственные функции операторов выдерживали некоторые линейные дифференциальные связи.

В качестве иллюстративной модели возьмем двумеризованную цепочку Тоды:

Wit(n) = ехр{и (п — 1) - ti (и)} - exp{u (п) ~и (п + 1)}, (1)

которая допускает следующие две неэквивалентные пары Лакса:

ф(п+1) = {Юх + их(п))ф(п), (2)

Фг{п) = -w(n - 1 )ф{п - 1) (3)

И

ф (п + 1) = (Dt + tit (и)) Ф Ы), (4)

трх(п) = -w(n - 1)ф(п - 1). (5)

Нетрудно проверить, что условие совместности системы (2), (3), 1ак же как и системы (4). (5), равносильно выполнению уравнения (1).

Рассмотрим обрывы (краевые условия по дискретной переменной) цепочки Тоды в точке п = 0. Исключая сдвиги по п из системы (2), (3), получим гиперболическое уравнение:

ФАп) + м*(п)^{(п) + w(n - 1 )ф(п) - 0 (б)

и, аналогично, исключая сдвиги из системы (4), (5), найдем

t\t(n) + ut{n)iyx(n) + U'(n - 1 )Ып) -= 0. (7)

Выясним, какие условия связи нужно наложить на функцию и — a(.r, f,it), чтобы существовав линейный дифференциальный оператор М с коэффициентами, зависящими от х, t, такой, что ф = Мц> при п — 0.

Имеет место следующее утверждение .

Предложение 1.2. Пусть существует дифференциальный оператор вида М = аБ2х + ЪОх + с такой, что при п = 0 для любого решения ф уравнения (7) функция ф = Мф является решением уравнения (6). Тогда переменные и(0),и(—1) удовлетворяют одному из следующих соотношений:

1) еи(-1) = О,

2) и(-1) = 0 («(0) = 0),

3) и(-1) = -и(0),

4) (2ао(я;)«,(-1) + а0х(аг))еи<-1) = (с0^) - с0Щщ( При этом соответствующий оператор М имеет вид:

1) М: = аоеи1% + (Ь0еи + а0ихеи)Ох,

2) М2 = а0(еи£>* + ихеиЭх) (М2 = с0), . 3) М3 = йое"Л*,

4) МА = а0(х)еиО2х + (а0(х)их + ^айх{х))еиБх + с0{Ь)е~и,

где ао, Ьо, Со - произвольные числовые параметры, и = и(0).

В списке, очевидно, отсутствует краевое условие, соответствующее обобщенным цепочкам Тоды серии Б Дело в том, что в предложении рассмотрены дифференциальные связи весьма частного вида Если мы рассмотрим более гимметричное условие связи:

(аИх + Ь)ф = (сИх + сО ф,

то придем к краевому условию:

с«(-1) - с-ц(П , ^(0)^(0) 2 вшЬ и(0)'

соотвествующему серии Б

Мы ограничились сопрягающими операторами М = М(Ох) не выше третьего порядка С ростом порядка оператора вычислительные трудности быстро возрастают, а в краевые условия начинают входить нелокальные переменные.

В случае оператора третьего порядка, рассмотренного в работе [5], было получено краевое условие вида:

Д,е"(-2)+»(-1) _ £) е-и(0)+и(-1)_

При этом сам оператор имеет вид:

М = еи{02 + 2ихБх + ихх - ихх{-1)+ +и2х-и2х(-1) - е-"'-1»-"}^.

2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости

Во второй главе диссертации исследуется уравнение Кадомцева-Пет-виашвили и близкие к нему уравнения, такие как модифицированное уравнение КП и уравнение Веселова-Новикова. При помощи операторного теста, предложенного в предыдущей главе, проводится классификация граничных условий, для которых оператор сопряжения имеет второй порядок.

Уравнение КП

имеющее приложение в ряде физических задач, например, в физике плазмы и теории океанских волн, имеет две неэквивалентные пары Лакса.

1'т + Ухх% - б?!УХ

и>х

(8)

Фхх = 1фу + уф,

(рг = -40 хгх + 6уфх -I- 3(г»х + ги>)ф

(9) (10)

и

фх* = -гфу + 1'ф,

фт = -4фххх -I- бпфх + 3(1», - 1ю)ф.

(11) (12)

В работе доказано следующее утверждение

Предложение 2.1. Пусть существует дифференциальный оператор вида А/ = а + ЬБХ + с такой, что при у = 0 для любого решения

ф уравнения (12) функция <р — Му является решением уравнения (10). Тогда выполняется одно из следующих соотношений:

1) w\y=0 = 0,

2) (vx - пи)\у=0 = 0,

(13)

3) (wT - 2vxxy + Uvyy£ + 6vxw - 6vu>x - 6iw2 - 12cvy)\y=0 - 0, где функция с = r(x, т) определяется из уравнения:

Из предложения 2.1 ясно, что краевые условия (13) совместимы с уравнением КП в смысле нашего определения. В этой же главе мы анализируем найденные краевые условия при помощи других тестов. Например, в разделе 2.2 проверяется, что эти краевые условия совместимы с бесконечной серией высших симметрий. А в разделе 2.3 показано, что решения краевой задачи с краевым условием вида (ит — ш) |у_о = 0 есть неподвижная точка композиции двух отображений- преобразования Беклунда и инволюции у —> —у, что является косвенным подтверждением интегрируемости

Далее в этой главе найдены краевые условия для модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (мКП) и уравнения Веселова-Новикова.

3 Алгоритм построения частных решений краевой задачи для уравнения КП

В последней третей главе установлено, что краевая задача совместима с методом одевания по Захарову-Шабату. При помощи этого метода можно построить широкий класс явных частных решений.

При этом соответствующие операторы М имеют вид:

1) М = 1,

2) M = DX.

3) М — D2X + с

г •

(14)

Рассмотрим краевую задачу для уравнения КП:

щ + иххт-6иих = -3а2и>у, а2 = ±1, (15)

■шх ■ иу

на полуплоскости — оо<а;<ос,2/>0с краевым условием вида

{их+аги) |„=о = 0. (16)

В работе [2] было показано, что краевое условие (16) в определенном смысле совместимо с парой Лакса уравнения КП, которая задается в виде следующей системы линейных уравнений:

Фхх — афу + (17)

ф( = -4фххх + 6ифх + 3(их + ст)ф. (18)

Двойственная пара Лакса для уравнения (15) имеет вид:

Фхх = -афу + иф, (19)

фг = -4фххх + 6ифх + 3(их - аги)ф. (20)

Из результатов второй главы вытекает лемма.

Лемма 3.1. Решение и — и(х. у, <) уравнения (15) удовлетворяет краевому условию {их + аю)\у=^ — 0 ( или краевому условию ш|у=о = 0) тогда и только тогда, когда для любого решения ф = ф(х, у, ¿) уравнения (18) функция ф = Юхф (соответственно, функция ф = ф) удовлетворяет уравнению (20) при у — 0.

В литературе известны различные методы построения решений уравнения КП. Воспользуемся методом одевания по Захарову-Шабату. Напомним кратко суть метода одевания Пусть щ - некоторое затравочное решение уравнения КП. Для простоты возьмем ас, = 0. Пусть фо = фо(х: у, ¿) -некоторое решение ассоциированной системы уравнений (17), (18) с коэффициентом и = и0 — 0 (затравочная собственная функция). Будем искать новое решение и уравнения КП. Найдем сначала решение ф = ф(х, у, ¿) ассоциированной системы, соответствующей новому потенциалу и. Для этого воспользуемся следующим интегральным оператором с вольтерровым ядром К - К{.т, г, у, t).

ф(х,уЛ) = фо(х,уЛ)+

+ Г K{x,z',y,t)M<',y,t)dz'= {\ + к)ф0. (21)

J -ос

Ядро К удовлетворяет уравнению Гельфанда-Левятана-Марченко; K{x,z,y,t) + F(x, z,y,t)+

+ Г K(x,z',y,t)F(z',z,y,t)dz' = 0. (22)

J —со

Ядро уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко F, в свою очередь, является решением следующей системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

dF d2F d2F п

+ (23)

dF .¡cPF d3F n

Искомое решение нелинейного уравнения и выражается явно чер^з ядро К по правилу*

u(x,y,t) = -2^K(x,x,ytt). (25)

Если в схеме метода одевания, изложенного выше, заменить пару Лакса (17)-(18) сопряженной парой Лакса (19)-(20), то система линейных уравнений (*23)-(24) заменится следующей системой:

а ядро К оператора преобразования, переводящего затравочную собственную функцию Фо в собственную функцию Ф повою ассоциированного уравнения:

ф{а. у. t) - u,t)+ К(х, z', у, t)j>0(z', у, t)dz' (28)

J—ос

будет удовлетворяв аналогичному уравнению Гельфанда-Левитана-Марченко:

к(х, z. у, t) 4- F(x, z, у, t)+ 4 Г K(x,z\yJ)F(r.',z,y,t)dz'^0 (29)

'-ос

Теорема 3.2. Пусть ядра F(r,-.y.t) и F(v.: у t) уравнений Геть-фанда-Левшана-Марченко (22) и, соответствен»>, (29), построенные по Лаксовьтм ггарам (17) (18) и (19) (20). определяют одно и то же решение и = и(.с, у, t) уравнения КП- и пусть затравочное решение нп удовтетворяеа краевому условию (Ui + n"i)\y=o — 0 (или краевому усчовию ы\у 0). Пусть, кроме того, ядра связаны условием инвотюции

dF OF

ах oz

(или условием инволюции: F(x,z,0,t) = Fix. 0. t)). Тогда решение и = u(x,y,t) также удовлетворяв краевому условию (их i aw)\4-o — 0 (соответственно, краевому условию w\y,s> = 0) Выбрав функцию F в виде:

jv

F(x, г, v, f) = с„ ехр((д% - р\)у - 4(д* + p\)t + qnz + рчх),

П— 1

получаем явные частные решения краевой задачи.

Рассмотрены также краевые задачи в полосе 0 < у < 1с итерируемыми краевыми условиями вдоль прямых у ■= 0 и у 1 В работах И.Т.Хабибуллина было отмечено, что при рассмотрении краевой задачи для интегрируемого нелинейного уравнения следует ставить также ассоциированную краевую задачу для пары Лакса При формулировке ассоциированной краевой задачи важную роль играют сопрягающие операторы М, найденные в Предтожении 2.1 выше Например, краевая задача ила уравнения КП

"( + uJXT — 6иих — —Згг2шу, а1 - ¿1 (31)

wx = иу wx = ии,

"Чи=о = 0 w|„_i = 0 (32)

допускает следующую матричную пару Лакса (именно как краевая задача, а не просто уравнение). Решение первого уравнения пары Лакса

Di

(i)-(s -JО-С) №

должно удовлетворять краевым условиям:

(Ф ~ Ф)\у=о — 0, (ф - "ф)\у=1 = 0 (34)

вдоль гех же прямых у — 0 и у = 1. Здесь оба сопрягающих оператора М равны единице Краевые условия согласованы с эволюцией по времени, которая очевидно задается в виде (второе уравнение пары) •

ч; -Ж)

Отметим, что хотя пара Лакса для уравнения КП является скалярной, но для краевой задачи пара уже матричная. Аналогично, краевая задача

щ + иххх - бищ = -За2и>у, а2 — ±1, (36)

Чу

Шг = и„

гих - иу,

(1>х + аи>)\у=о = 0, (ух + аи>)\у=х = 0 (37)

допускает пару Лакса, состоящую из уравнения

Р2 ( Ф

т \ф

с краевыми условиями

(0-^)|,=о = О, (0-^)1^=0 (39)

вдоль тех же прямых у = 0 и у = 1 Здесь сопрягающий оператор имеет вид М = Ох Второй оператор пары задается в виде:

В работе показано, что краевые задачи (31), (32) и (36), (37) в полосе 0 <" у < 1 имеют бесчисленное множество явных частных решений. Эти

решения могут быть получены в рамках метода одевания по Захароиу-Шабату.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. R.B.r-yáhoea. Краевые условия для уравнения Кндомцева-Петвиа-швили. Материалы региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2002г, стр.4045.

2 И Т.Хабчбулльн, Е.В.Гудкова Краевые условия для многомерных интегрируемых уравнений. Функциональный анализ и его приложения. 2004г., том. 38, вып. 2, стр.71-83.

3. Е В.Гудкова, И.Т.Хабибуллин Уравнение Кадомцева-Петвиашвшш на полуплоскости. Теоретическая и математическая физика, том 140, № 2, август 2004г., стр.230-240.

4. Е.В.Гудъ'ова. Об обрывах цепочки Тоды. Труды региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике Уфа, 2003г., стр.37-43.

5 E.V.Gudkova. Finite reductions of the two dimensional Toda chain. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. Special issue, Proceeding of the international conference „Simmetries and Integrability of Difference Equations'' (SIDE VI). Supplement 2. Volume 12. 2005. Guest Editois. Jan Filipe van Diejen (Universidad de Talka. Chile), Rod Halbind (Loughborough University, UK).

6. E В Гуд/ »в« Частные решения краевой задачи. Тезисы решональ-ной школы-конференци для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2003г., стр.8.

7. Е.В.Гудкова. Интегрируемые редукции трехмерных цепочек. Тезисы региональной школы-конференци для студентов, аспиранюъ и молодых ученых по математике и физике Уфа, 2004г, стр.12.

Гудкова Елена Владимировна

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 08.11.2005 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 0,92. Уч.-изд. л. 0,97. Тираж 100 экз. Заказ 810.

Редакционно-издатепъский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул.Фрунзе, 32.

№22281

РНБ Русский фонд

2006-4 20572

Введение

1 Обрывы двумеризованной цепочки Тоды

1.1 Алгоритм нахождения интегрируемых обрывов двумеризованной цепочки Тоды

1.2 Новый пример

1.3 Как построить пару Лакса для цепочки с краевым условием?.

1.4 Преобразование Мутара и краевые условия.

2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости

2.1 Краевые условия для уравнения КП.

2.2 Мастер-симметрия и граничные условия.

2.3 Обрывы цепочки Тоды и уравнение КП.

2.4 Преобразование Беклунда и граничные условия.

2.5 Модифицированное уравнение КП.

2.6 Уравнение Веселова-Новикова.

3 Алгоритм построения частных решений краевой задачи для уравнения КП

3.1 Краевое условие, совместимое с парой Лакса

3.2 Краткое изложение метода одевания для уравнения

3.3 Редукции уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко и граничная задача.

3.4 Явные частные решения граничной задачи для уравнения КП2.

3.5 Краевая задача в полосе 0 < ?/ < 1.

Метод обратной задачи рассеяния, открытый в 1967 в работе [1], положил начало нового этапа в развитии теории нелинейных уравнений математической физики. Важную роль в становлении и развитии метода сыграли работа Лакса [2], в которой предложена удобная для обобщений альтернативная алгебраическая формулировка МОЗР, и работа Захарова и Шабата [3], где была найдена новая спектральная задача, позволившая авторам "проинтегрировать "нелинейное уравнение Шредингера и выявившая перспективы метода.

Первые успехи метода обратной задачи связаны в основном с построением и исследованием точных явных решений нелинейных уравнений. Одним из наиболее ярких результатов здесь явилось создание теории конечнозонного интегрирования в работах Новикова, Дубровина, Итса, Матвеева, Лакса, Марченко, Маккина и др. [4], [5], [6], [7], [8].

Заметной вехой в развитии солитонной теории стала работа Захарова и Манакова [9], где МОЗР был успешно применен для исследования асимптотики на больших временах решения задачи Коши с произвольным начальным условием для ряда нелинейных уравнений математической физики, таких, как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, sine-Gordon и др. Позже идеи этой работы нашли приложение в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений -уравнений Пенлеве, где с помощью метода изомонодромных деформаций, некоторой модификации МОЗР, в работах известных математиков, таких как Г.Флашка, А.Ньюелл, А.Итс, В.Новокшенов и др. был решен круг проблем об асимптотиках, вынесенных на повестку дня еще в начале прошлого века (см. монографию [10]).

Усилия математиков Санкт-Петербургской школы (Фаддеева, Тахтаджяна, Корепина, Склянина, Кулиша, Реймана, Семенова-Тян-Шанского, Изергина и др.) по переосмыслению МОЗР с точки зрения гамильтоновой механики привели к открытию квантового варианта метода обратной задачи рассеяния (см. [11], [12], [13]).

Схема метода обратной задачи в дальнейшем была распространена на дифференциально-разностные уравнения (нелинейные цепочки) и уравнения в частных разностях (дважды дискретные модели). Манаков [17] и, независимо, Флашка [18] погрузили в схему МОЗР известное уравнение, описывающее цепочку с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими соседями (цепочку Тоды [14]), взяв в качестве L-оператора классическое трехчленное рекуррентное соотношение (дискретный аналог стационарного одномерного уравнения Шредингера). Абловитц, Jla-дик [19] и Шабат [20] предложили дискретную версию спектральной задачи Захарова-Шабата и выписали цепочки, связанные в контексте МОЗР с этой спектральной задачей. В работах, перечисленных выше, а также во многих других работах (см. монографии [21], [22] и обзор [23]) рассматривались предельные переходы от дискретных уравнений к непрерывным при сгущающейся пространственной и пространственно-временной сетке. Например, в [24] уравнения в частных разностях пропагандируются в качестве разностных схем для численного расчета задачи Коши для нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Как известно, уравнения, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния, имеют бесконечные серии законов сохранения. При предельном переходе законы сохранения дискретных уравнений, как правило, переходят в законы сохранения непрерывных аналогов. Иначе говоря, эти разностные схемы являются в известном смысле "сверх-консервативными".

Любопытно, что цепочка Тоды, появившаяся в работе [14] как модель системы частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием ближайших соседей, оказалась одномерной редукцией некоторой бесконечномерной системы уравнений в частных производных гиперболического типа, исследованием которой занимались еще великие французские математики, такие как Лаплас, Лиувилль, Дарбу, Гурса, Мутар и др. Для этой системы, носящей в современной литературе название двумеризованной цепочки Тоды, классиками уже в 19-ом веке была создана соответствующая теория (см. [15], [16]), содержащая, в частности, методы построения решений системы. Следует отметить, что двумеризованная цепочка Тоды имеет массу приложений в геометрии, в теории поля, а также в самой теории интегрируемости. Так в недавних работах А.Жибера, В.Соколова, а также Н.Камрана и И.Андерсона было доказано, что гиперболическое уравнение является интегрируемым (в смысле А.Шабата) тогда и только тогда, когда ряд инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения является конечным.

Помимо задачи Коши в математической физике часто встречается другая важная постановка - начально-краевая задача. Для нелинейных уравнений учет влияния границы сильно усложняет задачу. К середине 90-ых годов прошлого века стало ясно, что начально-краевая задача с произольными начальными условиями и краевыми условиями общего вида не согласуется со свойством интегрируемости уравнения. Для каждого интегрируемого уравнения типа Кортевега-де Фриза существует некий специальный класс краевых условий, полностью согласующихся с интегрируемостью.

За последние полтора десятилетия для моделей размерности 1+1, т.е. для уравнений с одной пространственной и одной временной переменной, были найдены эффективные алгоритмы поиска таких граничных условий, использующие законы сохранения и гамильтонову структуру [45], высшие симметрии уравнения [82], а также непосредственно пару Лакса [59], [124].

Для большинства известных уравнений размерности 1+1 интегрируемые краевые условия были перечислены в работах Е.К.Склянина [45], А.Б.Замолодчикова, Р.Ф.Бикбаева, В.О.Тарасова, В.Э.Адлера, М.Гурсеса, И.Т.Хабибуллина, Т.Г.Казаковой и др. Отметим, что хотя интегрируемые краевые условия охватывают сравнительно узкий класс краевых условий, тем не менее они представляют интерес для физики. Приложения граничных задач такого сорта обсуждаются, например, в работах G.Costabile, А.Б.Замолодчикова, Е.Корригана, С.Скорика и др. (см. [64], [65], [66], [67]).

Другая точка зрения к начально-краевым задачам, развиваемая в работах А.Фокаса, А.Дегаспериса, С.Манакова, П.Сантини, А.Буте де Мунвел и др., состоит в поиске новых, возможно менее эффективных обобщений метода обратной задачи рассеяния, которые были бы применимы к начально-краевым задачам с произвольными краевыми условиями и произвольными начальными условиями.

Краевые задачи для интегрируемых эллиптических уравнений с произвольным краевым условием также плохо поддаются исследованию при помощи метода обратной задачи рассеяния, но и здесь наблюдается тот же эффект: существуют специальные типы граничных условий, совместимых с МОЗР. Так в серии работ А.Б.Борисова, В.В.Киселева и Г.Г.Талуца (см., например, [61], [62]) показано, что математическая модель вихря в двумерном магнетике представляет собой ни что иное, как эллиптическую краевую задачу, подпадающую под действие МОЗР. Близкие результаты получены также в [63].

Отметим, что для уравнений с двумя и более пространственными переменными проблема граничных условий, согласующихся со свойством интегрируемости, остается мало исследованной. В качестве примеров можно упомянуть лишь несколько типов краевых условий для уравнения Ишимори, найденных в [58], и так называемые обобщенные цепочки Тоды - редукции бесконечной двумеризованной цепочки Тоды, связанные с классическими сериями алгебр Ли конечного роста (см., например, монографию [43]). Они получаются из бесконечной цепочки при наложении условий обрыва (краевых условий по дискретной переменной), согласованных с интегрируемостью. Алгоритм поиска интегрируемых граничных условий, использующий высшие симметрии уравнения, разработанный в статьях [81], [82], [83], [104], [115], [116], в случае уравнений размерности 2+1 является чрезмерно сложным. Причина этого кроется в том, что симметрии многомерных уравнений содержат нелокальности.

Цель настоящей диссертации состоит в разработке удобных и эффективных способов отыскания (а также классификации) интегрируемых граничных условий для многомерных интегрируемых уравнений типа двумеризованной цепочки Тоды и уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В работе используются основные методы теории интегрируемости: принцип L-A пары, классические и высшие симметрии, метод дифференциальных связей, метод одевания Захарова-Шабата и ДР

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura, Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys.Rev.Lett., 1967, v.19, p.1095-1097.

2. P.D.Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl.Math., 1968, v.21, N5, p.467-490.

3. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1971, т.61, N1, с.118-134.

4. С.П.Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прилож.1974, т.8, вып. 3, с.54-66.

5. Б.А.Дубровин, В.Б.Матвеев, С.П.Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, т.31, вып. 1, с.55-136.

6. P.D.Lax, Periodic solutions of Korteweg-de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., 1975, V.28, p.141-188.

7. H.P.McKean, P. van Moerbeke, The spectrum of Hill's equation, Invent. Math., 1975, V.30, p.217-274.

8. В.А.Марченко, Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев: Наукова думка, 1977.

9. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, ЖЭТФ, 1976, т.71, N1, с.203-215.

10. A.R.Its and V.Yu.Novokshenov, The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations, Lect. Notes in Math., A.Dodd and Eckmann ed., Springer Verlag, 1191, (1986).

11. В.Е.Корепин, Л.Д.Фаддеев, Квантование солитонов, в кн. Физика элементарных частиц. (Материалыы XII Зимней школы Ленингр. ин-та ядерной физики.)-Л. 1977, с. 130-146.

12. L.D.Faddeev, V.E.Korepin, Quantum Theory of Solitons, Physics Reports, 1978, v.42C, N.l.

13. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin, Quantum spectral transform metod. Recent developments, Lecture Notes in Physics, Berlin New-York: Springer, 1982, v.151, p.61-119.

14. М.Тода, Теория нелинейных решеток. М. Мир. 1984.

15. Moutard Т, Sur la construction des equations de la formeadmittent une integrate gen£rale explicite,J.Ecole Polytechnique 45 (1878), 1-11.

16. G. Darboux, Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometrique du calcul infinitesimal, T.2. Paris: Goutier-Villars, 1915

17. С.В.Манаков, О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах, ЖЭТФ, 1974, т.67, N2, с.543-555.

18. H. Flashka, On the Toda lattice. Inverse scattering solution, Progr. Theor. Phys., 1974, v.51, N3, p.703

19. M.J.Ablovitz, J.F.Ladik, Nonlinear differential-difference equations. J.Math.Phys.,1975, v.16, p.598-603.

20. А.Б.Шабат, Задача Римана и нелинейные уравнения. Труды Всесоюзной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 1976), Издат. Москов. Гос. Унив., М.,1978, с.242-248.

21. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачию М. Наука, 1980.

22. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М. Наука, 1986.

23. А.П.Веселов, Интегрируемые отображения, УМН, 46, 1995, 5(281), с.3-45.

24. T.R.Taha, M.J.Ablovitz, Analytical and numerical aspects of certain evolution equations. J.Сотр.Phys., 1984, v.55, p.192-230.

25. И.М.Кричевер, Аналог формулы Даламбера для уравнений главного кирального поля и уравнения sine-Gordon., ДАН СССР, т.253, 1980, Т2, с.288-292.

26. И.Р.Габитов, В.Е.Захаров, А.В.Михайлов, Уравнение Максвелла-Блоха и метод обратной задачи, ТМФ, 1985, т.63, Nlc.11-31.

27. С.В.Манаков, В.Ю.Новокшенов, Полное асимптотическое представление электромагнитного импульса в длинном двухуровневом усилителе, ТМФ, т.69, N1, с.40-53.

28. A.S.Fokas, An initial-boundary value problem for the nonlinear Schrodinger equation, Physica D 35, 1989, 167-185.

29. A.S.Fokas, A.R.Its, An initial-boundary value problem for the sine-Gordon equation in laboratory coordinates, TMF, v.92, 1992, N3, p386-403.

30. E.D.Belokolos, General formulae for solutions of initial and boundary value problems for the sine-Gordon equation, TMF v.103, 1995, N.3, c.358-367.

31. А.Л.Сахнович, Нелинейное уравнение Шредингера на полуоси и связанная с ним обратная задача, Укр. мат. журнал, 1990, т.42, N.3.

32. А.Л.Сахнович, Задача N-волн на полуоси, УМН т.46, 1991, N.4, с.171-172.

33. M.J.Ablovitz, H.Segur, The inverse scattering problem: semi-infinite interval, J.M.Phys. v.16, 1975, p.1054.

34. J. Moser (1985) Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential integrable system, Lecture Notes in Physics, 38, 467-498.

35. M. Kac, P.van Moerbeke, On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices, Adv. in Math., 1975, v.16, p.160-169.

36. М.А.Олыианецкий, A.M.Переломов, Функцион. анализ и его прилож. т. 10, 1976, в.З, с.86.

37. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov, Classical integrable finite dimensional systems related to Lie algebras, Phys. Reps.,v.71, 1981, N.5, p.313-400.

38. Ю.М.Березанский, Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи, Докл. АН СССР, т.281, 1985, N.1, с.16-19.

39. Ю.М.Березанский, М.И.Гехтман, М.Е.Шмойш, Интегрирование методом обратной спектральной задачи некоторых цепочек нелинейных разностных уравнений, Укр. мат. журн., т.38, 1986, N.1, с.84-89.

40. А.К.Common, S.T.Hafez, Linearization of the relativistic and discrete-time Toda lattice for particular boundary conditions, Inverse Problems, v.8, 1992, p.59-69.

41. A.K.Common, A solution of the initial value problem for half infinite integrable lattice system, Inverse Problems, v.8, 1992, p.393-408.

42. А.М.Переломов, Интегрируемые системы классической механики, М.:Наука. 1990.

43. А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, М., Наука, 1985.

44. А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, В.Г.Смирнов, Теория представлений групп и интегрирование нелинейных динамических систем, ТМФ, т.48, 1981, N.1, с.3-12.

45. Е.К.Склянин, Граничные условия для интегрируемых систем, Функц. анализ и его прилож., т.21, 1987, N.2, с86-87.

46. E.K.Sklyanin, Boundary conditions for integrable quantum systems, J.Phys.A: Math. Gen., v.21, 1988, p.2375-2389.

47. В.О.Тарасов, Начально-краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера, Зап. науч. семинаров ЛОМИ, т. 169, 1988, с.151-165.

48. V.O.Tarasov, The integrable initial-value problem on a semiline: nonlinear Schrodinger and sine-Gordon equations, Inverse Problems, 1991, N.7, p.435-449.

49. Р.Парментье, Флюксоны в распределенных джозефсонов-ских контактах, Солитоны в действии, М.:Мир, 1981. с.185-208.

50. Р.Ф.Бикбаев, С.Б.Куксин, Периодическая краевая задача для уравнения синус-Гордон, ее малые возмущения и КАМ-деформации конечнозонных торов, Алгебра и анализ, 1992, т.4, в.З, с.70-111.

51. В.А.Козел, В.П.Котляров, Почти-периодические решения уравнения иц — ихх = sinw, ДАН УССР, т.10, А, с.878-881.

52. Р.Ф.Бикбаев, А.Р.Итс, Алгебро-геометрические решения нелинейной краевой задачи для уравнения синус-Гордон, Матем. заметки, т.52, 1992, в.4, с.19-28. •

53. Р.Ф.Бикбаев, А.Р.Итс, Алгебро-геометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, Мат. заметки, т.45, 1989, N.3, с.3-10.

54. I.T. Habibullin, in: Proc.IV Int. Workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, Vol.1, Kiev, 1989, (Singapore, 1990), p.259

55. И.Т.Хабибуллин, Преобразование Беклунда и интегрируемые начально-краевые задачи, Матем. Заметки, т.49, 1991, N4, с.130-138.

56. И.Т.Хабибуллин, Об интегрируемыех начально-краевых задачах, ТМФ, т.86, 1991, N1, с.43-51.

57. И.Т.Хабибуллин, Граничные задачи на полуплоскости для уравнения Ишимори, совместимые с методом обратной задачи рассеяния, ТМФ, т.91, 1992, N3, с.363-376.

58. И.Т.Хабибуллин, Начально-краевая задача на полуплоскости для уравнений Ишимори и Деви-Стюартсона, в сб. Задачи математической физики и асимптотика их решений, под ред. Л.А.Калякина, Уфа, 1991, с.50-59.

59. R.F.Bikbaev, V.O.Tarasov, Initial-boundary value problem for the nonlinear Schrodinger equation, J. Phys. A, v.24, 1991, p.2507-2518.

60. A.B.Borisov, Vortices in the sine -Gordon system and solution of the boundary value problem by the inverse scattering problem, Physics Lett. A, v.143, 1990, N.l, p.52-56.

61. А.Б.Борисов, Г.Г.Талуц, Теоретическое описание вихрей в квазидвумерном магнетике, Физика металлов и металловедение, N.1, 1991, с.34-43.

62. M.Jaworski, D.Kaup, Direct and inverse scattering problem associated with the elliptic sinh-Gordon equation, Inverse Problem, v.6, 1990, N.4, p.543-556.

63. G.Costabile, R.D.Parmantier, B.Savo, D.W.McLaughlin, A.C.Scott, Exact solutions of the sine-Gordon equation, describing oscillations in a long (but finite) Josephson junction. Appl. Phys. Lett., v.32, 1978, p.587-589.

64. S.Ghoshal, Alexander.B.Zamolodchikov, Boundary state and boundary S matrix two-dimentional integrable field theory; RU-93-20, hep-th/9306002.

65. E.Corrigan, P.E.Dorey, R.H.Rietdijk, R.Sasaki, AffineToda field theory on a half-line, hep-th/9404108.

66. H.Saleur, S.Skorik, N.P.Warner, The boundary sine-Gordon theory, USC-94-013, hep-th/9408004.

67. J.Ishimori, Multi Vortex Solutions of a Two-Dimentional Nonlinear Wave Equation, Progress of Theoretical Physics, v.72, 1984, p.33-37.

68. Л.В.Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.:Наука, 1978.

69. У.Миллер, Симметрия и разделение переменных, М.:Мир, 1981.

70. Н.Х.Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.:Наука, 1983, 280 с.

71. П.Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М.:Мир, 1989, 635 с.

72. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н., Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука. Сибирское отделение. 1984, 272 с.

73. А.В.Жибер, А.Б.Шабат, Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой, Докл. АН СССР, т.247, 1979, N.5, с.1103-1107.

74. G.Tzitzeica, Sur une nouvelle classe de surfaces, C.R.Acad. Sci. Paris, v.150, 1910, p. 955-956.

75. S.I. Svinolupov (1989) On the analogues of the Burgers equation, Phys. Lett. A, 135(1), 32-36.

76. S.I. Svinolupov (1992) Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs, Commun. Math. Phys., v.143, 559-575.

77. I.T.Habibullin, S.I. Svinolupov, Integrable boundary value problem for the multicomponent Schrodinger equations, Physica D, v.87, 1995, p.101-106.

78. А.В.Михайлов, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, УМН, 1987, т.42, В.4(256), с.З-53.

79. I.T.Habibullin Boundary problems for integrable equations, Proceedings of VIII International Workshop NEED'S92, Dubna near Moscow 1992, World Scientific, Singapore, 1993.

80. I.T.Habibullin Symmetries of boundary problems, Phys. Letts A, 178, 1993, p.369-375.

81. B. Giirel, M. Giirses, I.T.Habibullin Boundary value problems, compatible with symmetries, Phys. Lett. A, 190, 1994, 231-237.

82. B. Giirel, M. Giirses, I.T.Habibullin Boundary value problems, compatible with symmetry algebra, Journal of Mathematical Physics 1995, v.36, №12, p.6809-6821.

83. V.E.Adler and I.T.Habibullin, Integrable boundary conditions for the Toda lattice, Journal of Physics A, Mathematical and General, 1995, v.28, p.6717-6729.

84. M.Leo, R.A.Leo, G.Soliani and L.Solombrino, Letter A1 Nuovo Cimento, v.38, 1983, N.45.

85. M.Boiti, B.G.Konopelchenko, F.Pempinelli, Inverse Problems, 1985, N.1, p.33-56.

86. V.A.Arkadjev, A.K.Pogrebkov, M.K.Polivanov, Physica D, v.36, 1989, p.189-197.

87. B.G.Konopelchenko, B.T.Matkarimov, J. Math. Phys., v.31, N.ll, p.2737-2746.

88. В.Д.Липовский, А.В.Широков, Функциональный анализ и его прилож. т.23, 1989, в.З, с.63-65.

89. С.В.Манаков, О теории двумерной самофокусировки электромагнитных волн, ЖЭТФ, т.5, 1973, с.505-516.

90. К. Meyberg Jordan-Tripelsysteme und die Koecher-Konstruktion von Lie-Algebren, Math. Zeitschrift, v.H5(l), 1970, p.58-78.

91. Е.Б.Винберг, Труды Московского математического общества, т. 12, 1989, с.340-403.

92. A.Medina, Sur quelques algebres symetriques a gauche l'algebre de Lie sous-jacente est resoluble, C.R.Acad.Sci., Paris, Ser.A 286, 1978, N.3, p.173-176.

93. О.В.Мельников, В.H.Ремесленников, В.А.Романьков, Л.А.Скорняков, И.А.Шестаков, Общая алгебра, М.:Наука, 1990.

94. В.В.Соколов, С.И.Свинолупов, Векторное и матричное обобщения классических интегрируемых уравнений, ТМФ, т.100, 1994, N2, с.214-218.

95. S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov (1991) The multi-field Schrodinger lattices, Phys. Lett. A, 160, 548-552.

96. O.I.Bogoyavlenskii, Comm. Math. Phys. 51 (1976) 201-209.

97. О.И.Богоявленский, Интегрируемые уравнения на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Известия АН СССР (сер. мат.) т.48, 1984, N.5, с.883-938.

98. А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрии нелинейных цепочек, Алгебра и анализ, т.2, 1990, в.2.

99. A.B.Shabat, Higher symmetries of two-dimensional lattices, Phys. Letters A, v.200, 1995, p.121-133.

100. F.Calogero, A.Degasperis, Reduction technique for matrix nonlinear equations solvable by the spectral transform, preprint Instituto di Fizica G.Markoni Univ. di Roma, 151, 1979, p.l-37.

101. С.И.Свинолупов, В.В.Соколов, Р.И.Ямилов, О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений, ДАН СССР, 271, 1983, N.4, с.802-805.

102. M.Bruschi, O.Ragnisco, P.M.Santini, Tu Gui Zhang, Integrable symplectic maps, Physica D 49, 1991, 273-294.

103. V.E.Adler, I.T.Habibullin (1995) Integrable boundary conditions for the Toda lattice, solv-int/9505003.

104. Р.И.Ямилов, Классификация дискретных эволюционных уравнений, УМН, 38:6, 1983, с.155-156.

105. V.G.Papageorgeou, F.W.Nijhoff, Capel H.W. (1990) Phys. Lett.A 147(2,3) 106.

106. G.R.W.Quispel, J.A.G.Roberts, C.J.Thompson (1988) Phys. Lett. A. 126, 419.

107. Ю.Мозер, Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоно-вых систем, УМН, т.36, 1981, в.5, с.109-151.

108. И.Т.Хабибуллин, Граничные условия для нелинейных уравнений, совместимые с интегрируемостью, Теор. Мат. Физ., 96, 1993, N1, с.109-122.

109. Б.Б.Кадомцев, В.И.Петвиашвили, Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах, ДАН СССР, 192, 4, 753-756, (1970).

110. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функц. анализ и его прилож. 8, 3, 43-53, (1974).

111. S.V.Manakov, Physica D, 3D, 420, (1981).

112. M.J.Ablowitz, D. Bar Yaacov, A.S.Fokas, Stud. Appl. Math. 69(1983) 135

113. A.K.Pogrebkov, KPII: new results and open problems, Proceedings of the Workshop Nonlinear Physics: Theory and Experiment, 2002, ed. M.J.Ablowitz et al., 2003, World Scientific, Singapore, p. 108-117.

114. С.И.Свинолупов, И.Т.Хабибуллин, Интегрируемые граничные условия для многокомпонентного уравнения Бюргерса, Матем. Заметки, 1995.

115. I.T.Habibullin, Boundary conditions for integrable chains, Phys. Letts. A, v.207, 1995, N.5, p.263-268.

116. В.Э.Адлер, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к.проблеме интегрируемости, ТМФ, т.125, N3, с. 355-424, 2000.

117. B.G.Konopelchenko, Phys. Lett. А, 92 (1982), 323.

118. M.Jimbo and T.Miwa, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 19(3), 943 (1983).

119. А.П. Веселов, С.П. Новиков. Операторы Шредингера с ко-нечнозонными двумерными потенциалами. Явные формулы и эволюционные уравнения. // ДАН СССР 1984. Т. 279. С. 20.

120. P.G.Grinevich, P.M.Santini, The initial boundary value problems on the segment for the nonlinear Schrodinger equation; the algebro-geometric approach, arXiv:nlin.SI/0307026, V2, 25 Jul. 2003.

121. А.Дегасперис, С.В.Манаков, П.М.Сантини. Смешанные задачи для линейных и солитонных уравнений в частных производных. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. №2. с. 184-201.

122. A.B.Shabat Phys. Lett. 200А 121, (1995)

123. I.T.Habibullin and A.N.Vil'danov, Boundary conditions, consistent with L-A -pairs, Proceedings of the International conference Modern Group Analysis 2000, ed. V.A.Baikov, Ufa, 2001, p.80-81.

124. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.

125. П.Г.Гриневич, Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и связанные с ним интегрируемые уравнения математической физики, Докторская диссертация, 1999, ИТФ, Черноголовка.

126. В.С.Дрюма, Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега де Вриза (КДВ), Письма в ЖЭТФ, 19, 12, 753-755, (1974) .

127. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функц. анализ и его прилож. 8, 3, 43-53, (1974).

128. I.T.Habibullin and T.G.Kazakova, Boundary conditions for integrable chains. J. Phys. A: Math, and Gen. 34, 2001, P. 1036910376.

129. I.T.Habibullin, Multidimensional integrable boundary problems, nlin.SI/0401028.

130. И.Т.Хабибуллин, Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями, Теоретическая и математическая физика, М., 2002, т. 130, №1, с. 31-53.

131. Е.В.Гудкова, Краевые условия для уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Материалы региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2002, стр.40-45.

132. И.Т.Хабибуллин, Е.В.Гудкова, Краевые условия для многомерных интегрируемых уравнений, Функциональный анализ и его приложения. 2004, том. 38, вып. 2, стр.71-83.

133. Е.В.Гудкова, И.Т.Хабибуллин, Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости, Теоретическая и математическая физика, том 140, № 2, август 2004, стр.230-240.

134. Е.В.Гудкова, Об обрывах цепочки Тоды. Труды региональной школы-конференци для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2003, стр.37-43.

135. Е.В.Гудкова, Частные решения краевой задачи. Тезисы региональной школы-конференци для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2003, стр.8.