Применение метода обратной задачи для построения точных Решений 2+1-миерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/

Г^.О^Л..... 'П^ГГ-ТЬ......

/ . УУ- /

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

1, //

, 1.не/ .Л .........а/- "

на правах рукописи

£:Я-.....

Ь:

Дубровский Владислав Георгиевич

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ 2+1-МЕРНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ

УРАВНЕНИЙ

01.04.02 - Теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1999

Оглавление

1 Введение 4

1.1 Многомерные интегрируеые нелинейные уравнения и подходы к их решению ................................................................................5

1.2 Обзор содержания диссертации ................................................8

1.3 Актуальность темы, цель работы; основные результаты, выносимые на защиту ................................................13

1.4 Научная новизна и практическая ценность, апробация и публикации . . 17

2 Модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвили 24

2.1 Задача Коши для уравнения т.КР-1............................................26

2.2 Точные решения тКР-1 уравнения . .........................................36

2.3 Задача Коши для уравнения тКР-П..........................................39

2.4 Формулы метода <9-одевания для тКР уравнения............................42

2.5 Построение точных решений уравнения тКР с помощью метода 5-одевания 45

2.5.1 Рациональные решения. Линейные лампы............................45

2.5.2 Решения с функциональными параметрами..........................49

2.5.3 Линейные солитоны и бризеры ........................................50

2.5.4 Преобразование Миуры между тКР и КР уравнениями............55

3 Когерентные структуры уравнения Ишимори 60

3.1 Формализм МОЗ для уравнения Ишимори....................................62

3.2 Общие формулы для вырожденных данных..................................68

3.3 Эволюция во времени данных обратной задачи..............................70

3.4 Точные формулы для солитонных решений уравнения Ишимори..........74

3.5 Стационарные границы..........................................................77

3.6 Зависящие от времени границы................................................83

3.7 Решения в терминах переменной стереографической проекции............89

4 2+1-мерное уравнение Гарри Дима 92

4.1 Формулы метода 9-одевания и точные решения..............................93

4.2 Точные решения в неявной форме с использованием волновых функций тКР уравнения ..................................................................97

5 2+1-мерное обобщение уравнения синус-Гордон 102

5.1 Пара Лакса и некоторые общие свойства 2+1-мерного уравнения синус-Гордон ..............................................................................103

5.2 Построение точных решений уравнения 2DSG с постоянными границами методом д — ô-одевания..........................................................106

5.2.1 Решения с функциональными параметрами.............110

5.2.2 Линейные солитоны (кинки) и бризеры ..............................113

5.3 Задача Коши для 2DSG-I уравнения ..........................................115

5.4 Задача Коши для 2DSG-II уравнения..........................................120

6 Локализованные решения 2DSG-I уравнения 125

6.1 Точные формулы для когерентных структур 2DSG-I уравнения .....126

6.2 Точные решения возмущённого телеграфного уравнения..........128

6.3 Построение точных решений 2DSG-I уравнения с использованием решений возмущённого телеграфного уравнения..................................134

6.4 Точные решения уравнения возмущённой струны..............137

6.5 Построение точных решений 2DSG-I уравнения с использованием решений уравнения возмущённой струны ..........................................143

7 Точные решения с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений 147

7.1 Общие формулы метода <9-одевания для построения решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности......................150

7.2 Решения с функциональными параметрами..................................154

7.3 Линейные солитоны и бризеры ................................................158

7.4 Рациональные решения..........................................................165

8 Точные решения некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений, соответствующие кратным полюсам 175

8.1 Общие формулы метода <9-одевания для построения точных решений с кратными полюсами ............................................................177

8.2 Решения с кратными полюсами для уравнения KP.............180

8.3 Решения с кратными полюсами для уравнения тКР........................188

8.4 Решения с кратными полюсами для DS системы уравнений........194

1 Введение

Основным инструментом описания и исследования физических явлений являются линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных дифференциальных уравнений, но не менее важны и нелинейные уравнения. Так уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье-Стокса, уравнения физики элементарных частиц и т.д. являются нелинейными уравнениями. Развитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет одну из важнейших задач теоретической и математической физики.

Немногим более тридцати лет назад был открыт метод обратной задачи рассеяния. Ключевая идея, лежащая в основе этого метода - сведение задачи точного интегрирования нелинейных уравнений к решению ряда вспомогательных линейных задач, оказалась необычайно плодотворной. Как оказалось, метод обратной задачи рассеяния применим к широким классам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, разностных, интегро-дифференциальных и других уравнений. Многие из нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, такие как уравнение Кортевега де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон, уравнение одномерного ферромагнетика Гейзенберга, уравнение резонансного волнового взаимодействия, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и другие имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкую область применения: от теории гравитации и квантовой теории поля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики и физики твёрдого тела.

В настоящее время значительно усилился интерес к интегрируемым моделям в физике. Концепция интегрируемости является одной из ключевых в современных исследованиях по теоретической физике. Исследуются новые интегрируемые нелинейные системы классической механики и гидродинамики. Интенсивно изучаются маломерные интегрируемые нелинейные модели квантовой теории поля и статистической физики. На основе достижений метода обратной задачи в применении к классическим интегрируемым системам был развит и квантовый метод обратной задачи, успешно применяемый к 1+1-мерным квантовым интегрируемым моделям, весьма актуальной является задача обобщения квантового метода обратной задачи на случай 2+1-измерений.

Метод обратной задачи рассеяния или как принято сейчас говорить, используя первые буквы трёх слов названия - МОЗ, был открыт в 1967 году в работе американских учёных Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ) и является новым современным методом математической физики, широко используемым в теоретической физике. ГГКМ развили МОЗ для известного уравнения Кортевега де Фриза (KdV):

Щ + иххх + 6иих = 0, (1.0.1)

полученного с использованием некоторых приближений из уравнений гидродинамики ещё в 19 веке голландскими учёными Кортевегом и де Фризом [3].

Существенным моментом для открытия МОЗ в работе ГГКМ было использование раннее установленного Миурой так называемого модифицированного уравнения Кортевега де Фриза (mKdV) [4]:

vt + vxxx - 6v2vx = 0 (1.0.2)

и преобразования Миуры и = —v2 — vx между решениями и и v уравнений KdV и mKdV, типа уравнения Риккати для функции v. Линеаризация этого уравнения Риккати как раз и привела ГГКМ к открытию связи между уравнением KdV и стационарным уравнением Шрёдингера - первой линейной вспомогательной задачей для уравнения KdV.

Вслед за уравнением KdV в работе Захарова и Шабата [5] в 1971 году с помощью МОЗ было проинтегрировано нелинейное уравнение Шрёдингера:

гщ + ихх + t\u\2u = 0, (1.0.3)

имеющее многочисленные физические применения. Стало ясно, что уравнение KdV (1.0.1) - это не единичный случай, что схема МОЗ, открытая в работе ГГКМ, применима и к другим нелинейным уравнениям. Существенной особенностью математической техники работы [5] было использование в качестве уравнений обратной задачи системы сингулярных интегральных уравнений. После указанных работ начинается бурное развитие МОЗ и теории солитонов. Одно за другим открываются и интегрируются с помощью МОЗ так называемые 1+1-мерные нелинейные уравнения (уравнения типа (1.0.1)-(1.0.3) с двумя независимыми переменными - временем t и одной пространственной переменной х). Так в работах Вадати [6] и Абловитца, Kayna, Ньюэлла и Сигура [7, 8, 9] были проинтегрированы с помощью МОЗ mKdV уравнение (1.0.2) и уравнение синус-Гордон

uu-uxx = sinu, (1.0.4)

также нашедшее физические применения и, как оказалось, использовавшееся ещё в 19 веке в дифференциальной геометрии - в теории поверхностей. Было проинтегрировано с помощью МОЗ и уравнение для спинового поля

модели одномерного ферромагнетика Гейзенберга [10, 11]. Список 1+1-мерных интегрируемых МОЗ нелинейных уравнений можно продолжить, в настоящее время он насчитывает не один десяток уравнений. К перечисленным выше уравнениям мы добавим

Перечисленные уравнения (1.0.1)—(1.0.6) имеют 2+1-мерные интегрируемые обобщения, рассматривающиеся в данной диссертации.

В настоящее время МОЗ и теория солитонов в 1+1-мерном случае развиты достаточно хорошо и успешно применяются при решении как математических, так и физических проблем [13, 14, 15, 16, 17, 18]. Как выяснилось в ходе развития МОЗ, наиболее адекватным средством рассмотрения 1+1-мерных интегрируемых нелинейных моделей является классическая проблема Римана-Гильберта из теории функций комплексного переменного: проблема нахождения секционно-мероморфной в определённой области ком-плекной плоскости функции по некоторым локальным соотношениям, связывающим граничные значения этой функции на контурах, разделяющих различные подобласти её аналитичности. Подчеркнём, что классическая проблема Римана-Гильберта является локальной проблемой и её решение сводится к решению некоторой системы сингулярных интегральных уравнений. Регулярно классическая проблема Римана-Гильберта из теории функций комплексного переменного стала применяться в качестве основы МОЗ для решения 1+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений после пионерских работ Захарова и Шабата [5, 20] (см. также работу [21] и книгу [13]).

1.1 Многомерные интегрируемые нелинейные уравнения и подходы к их решению

Вскоре после открытия 1+1-мерных интегрируемых МОЗ нелинейных уравнений были установлены и 2+1-мерные (две пространственные координаты х,у и время ¿) интегрируемые нелинейные уравнения. Из них первым оказалось известное уравнение

(1.0.5)

ещё известное уравнение Гарри Дима [12]

и1 + и3их = 0.

(1.0.6)

Кадомцева- Петвиашвили, или кратко , КР уравнение. Применимость МОЗ к уравнению КР была продемонстрирована в работах Дрюма [22] и Захарова, Шабата [19], причём, в работах [19, 20] последних двух авторов МОЗ получил дальнейшее развитие: был открыт общий и мощный метод одевания, применимый к вычислению точных решений как 1+1-мерных, так и 2+1- мерных нелинейных интегрируемых уравнений.

К настоящему времени найдено достаточно много интересных 2+1-мерных и просто трёхмерных (3+0-мерных, в которые три независимые переменные входят равноправно) интегрируемых нелинейных уравнений, наиболее известные из них: уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Дэви-Стюардсона, Веселова-Новикова, система уравнений Захарова- Манакова и т.д. ( см. [23, 24, 25, 47, 48] ).

Развитие МОЗ в 2+1-измерениях привело к открытию существенно новых математических методов. Кратко рассмотрим основные подходы к построению точных решений интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений.

Как и в 1+1-мерном случае, интегрируемые 2+1-мерные нелинейные уравнения представляются в виде условия совместности некоторых линейных вспомогательных задач, в которые тем или иным способом вводится спектральный параметр. Важный момент заключается в том, чтобы спектральный параметр был введён адекватно рассматриваемой проблеме, это достигается далеко не всяким способом введения этой дополнительной переменной. Введение комплексного спектрального параметра позволяет поставить, исследовать и использовать для нахождения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений некоторую проблему теории функций комплексного переменного. Если для 1 + 1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений соответствующей проблемой теории функций комплексного переменного оказалась классическая локальная проблема Римана-Гильберта [5, 20, 21], то в случае же 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений потребовались другие средства.

В очень важной работе Манакова [26] впервые, на примере КР-1 уравнения, для нахождения точных решений этого уравнения была использована нелокальная проблема Римана-Гильберта, которая, как впоследствии оказалось, соответствует целому ряду интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений: естественно возникает при решении линейных вспомогательных задач и эффективно используется для решения этих нелинейных уравнений ( см. также [27] ). Работой Манакова нелокальная проблема Римана-Гильберта была введена в математику впервые.

Однако для других интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений, таких, на-

пример, как KP-II, собственные волновые функции линейных вспомогательных задач неаналитичны всюду в комплексной плоскости спектральной переменной. Оказалось, что и в этом случае существует обобщение классической проблемы Римана-Гильберта. В работе Билса и Койфмана [28] было показано, что проблема Римана-Гильберта, лежащая в основе интегрирования 1+1-мерных систем, может рассматриваться как специальный случай так называемой д- проблемы. Действительно, в случае применимости проблемы Римана- Гильберта волновая функция "теряет" аналитичность лишь на некоторых контурах, тогда как в случае применимости <9-проблемы волновая функция теряет аналитичность уже в целой двумерной области комплексной плоскости: отличная от нуля <9-прозводная (dj) комплексной функции является мерой отклонения этой функции от аналитичности. В обоих случаях - для проблемы Римана-Гильберта и ö-проблемы - знание ¿^-производной от волновой функции достаточно для восстановления этой функции. Хотя для 1+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений более приемлемым оказывается использование проблемы Римана-Гильберта, нежели более общей d-проблемы, Биле и Койфман ввели новый мощный инструмент для исследования интегрируемых систем. И, действительно, вскоре после этого Абловитц, Бари Яаков и Фокас в своей работе [29] показали, что уравнение KP-II требует существенного использования <9-проблемы. Ситуация с уравнениями DS полностью аналогична ситуации с KP ( Фокас [30], Фокас и Абловитц [31, 32, 33], а также Биле и Койфман [34, 35, 36, 37])

В ряду работ, использовавших д-проблему, следует отметить также очень интересные и важные работы Гриневича и Манакова [38], Гриневича и С.П. Новикова [39, 40], посвященные обратной задаче для двумерного оператора Шрёдингера и соответствующего этому оператору интегрируемого 2+1-мерного нелинейного уравнения Веселова-Новикова.

Параллельно работам по 3-проблеме очень важные исследования в развитие методов интегрирования многомерных нелинейных уравнений были проделаны Захаровым и Манаковым [41, 42, 43] ( см. также [44, 45, 46] и [47, 48] ). В работах Захарова и Манакова был открыт общий, очень мощный и эффективный метод <9-одевания. С помощью уравнений метода ö-одевания:

1° Конструируются интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соотвествующими линейными вспомогательными задачами.

2° Вычисляются аналитически широкие классы точных решений построенных нелиней-

ных уравнений, а также решений линейных вспомогательных задач.

Метод 3-одевания Захарова-Манакова, основанный на нелокальной 3-проблеме, является вершиной в развитии всех подходов МОЗ и в настоящее время успешно применяется для получения точных решений интегрируемых многомерных нелинейных уравнений.

1.2 Обзор содержания диссертации

В первой главе, Введении, дан обзор современного состояния теории классических интегрируемых систем, очерчены основные понятия и методы, используемые в диссертации, приведена общая характеристика работы, а также описана её структура по главам.

В главе 2 диссертации рассмотрено модифицированное уравнение Кадомцева- Пе-твиашвили, или кратко тКР уравнение:

Случаям а = г, (сг2 = — 1) и а = 1, (<г2 = 1) соответствуют в стандартной терминологии тКР-1 и тКР-П уравнения соответственно. Оба указанные уравнения, очевидно , допускают редукцию к вещественному полю и. Это уравнение является 2+1-мерным обобщением известного уравнения тКс!У (1.0.2). Уравнение тКР было открыто с помощью различных подходов в работах [49, 50].

Мотивировкой к исследованию точных решений уравнения тКР явились возможные приложения: точные волновые функции первой линейной вспомогательной задачи для уравнения тК�