Построение точных решений с функциональными параметрами (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений методом ә-одевания тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

На правах рукописи

Топовский Антон Валерьевич

Построение точных решений с функциональными параметрами (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений методом <9-одевания

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 С о а 7 2011

Новосибирск - 2011

4857338

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Новосибирский Государственный Технический Университет" на кафедре прикладной и теоретической физики физико-технического факультета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Дубровский Владислав Георгиевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Шаповалов Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор,

Цвелодуб Олег Юрьевич Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева

СО РАН

Защита состоится 24 ноября 2011 г. в 14.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 при Томском Государственном Университете, расположенном по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан с О^^Я_2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.07, д. ф.-м.н, с.н.с. Ивонин И.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Физические законы выражаются, как правило, в форме дифференциальных уравнений. Известна исключительная роль линейных дифференциальных уравнений. Но многие физические явления нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений. Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются во всех фундаментальных физических теориях: теории тяготения, квантовой теории поля, гидродинамики, теории упругости и т.д.

В 1967 году в работе американских ученых Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1] был открыт новый метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Вскоре после этого открытия последовало множество работ, в которых многие важные (1 + 1)-мерные, а затем (2 + 1)- и (3 + 0)-мерные нелинейные уравнения были проинтегрированы различными вариантами МОЗР. Одним из наиболее мощных подходов МОЗР является метод д-одевания Захарова^ Манакова [2-4]. Данный метод позволяет конструировать новые интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соответствующими линейными вспомогательными задачами, вычислять юс волновые функции и потенциалы, а также находить широкие классы точных решений нелинейных уравнений. Оогметим, что метод (9-одевания применим и к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных с переменными коэффициентами.

Развитие аналитических методов построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, в частности метода 9-одевания, представляет собой весьма актуальную задачу современной математической и теоретической физики. Очень важным является также использование точных решений линейных и нелинейных уравнений для анализа конкретных физических ситуаций.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является применение метода 5-одевания Захарова-Манакова к построению классов точных решений с функциональными параметрами некоторых (2 + 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений. Более конкретно, в диссертации ставятся и решаются следующие задачи.

1. Построение с помощью метода Э-одевания класса новых точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением -е ^ 0 на бесконечности для (2 -Ь 1)-мерного интегрируемого нелинейного эволюционного уравнения Нижника-Веселова-Новикова (НВН).

2. Исследование частного случая класса точных решений с функциональными параметрами, а именно, подкласса многосолитонных решений уравнения НВН.

3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в потенциальных полях солитонного типа в соответствии с построенными с помощью метода 9-одевания точными волновыми функциями для двумерного стационарного уравнения Шредингера (первой вспомогательной задачи эллиптической версии уравнения НВН).

4. Построение с помощью метода 3-одсвания класса новых точных решений с функциональными параметрами двумерных интегрируемых обобщений уравнений Савады-Котера (2БСК) и Каупа-Купершмидта (20КК).

5. Построение для уравнения НВН нелинейных суперпозиций простых плосковолновых периодических решений (ниже, для краткости - про-

стых периодических решений); построение для уравнений 2DCK и 2DKK простых периодических решений.

6. Построение специальных "линейных" суперпозиций простых (односо-литонных или периодических) решений уравнения НВН таких, что сумма некоторого числа простых решений со специально подобранными параметрами также является решением.

Научная новизна и практическая значимость

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

• Методом 9-одевания построены новые классы точных решений с функциональными параметрами известных интегрируемых нелинейных уравнений НВН, 2DCK и 2DKK.

• Построены новые специальные многосолитонные решения с ненулевым асимптотическим значением -б ф 0 на бесконечности нестационарного и стационарного уравнений НВН, представляющиеся с точностью до константы, кратной е, суммой соответствующих односолитонных решений.

• Построены новые классы простых периодических решений с тригонометрическими функциями sin ipk(x, у, t) - sт.щ(акх + Ьку + ckt) и cosipk(x,y,t) = cos ipk(akx + bky + ckt) интегрируемых нелинейных уравнений НВН, 2DCK и 2DKK. Для нестационарного и стационарного уравнений НВН построены также специальные нелинейные суперпозиции простых периодических решений, представляющиеся с точностью до константы, кратной е, суммой соответствующих простых периодических решений.

• Построены примеры специальных линейных суперпозиций односолитон-

ных и простых периодических решений нестационарного и стационарного уравнений НВН.

• Для построенных методом 9-одевания прозрачных одно- и двухсолитон-ных потенциалов и волновых функций двумерного стационарного уравнения Шредингера дана физическая интерпретация соответствующих стационарных состояний микрочастицы.

Работа носит теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Полученные результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях. Научная и практическая ценность диссертации обусловлены возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях по теории интегрируемых нелинейных уравнений и их приложений.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Класс точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением — е ^ 0 на бесконечности уравнения НВН [А1, А2].

2. Специальные классы многосолитонных решений нестационарного и стационарного уравнений НВН, как частные случаи класса решений с функциональными параметрами [А2, АЗ].

3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в поле построенных с помощью метода Э-одевания одно-и двухсолитонных потенциалов [А2, АЗ, А4, А5].

4. Класс точных решений с функциональными параметрами с

нулевым асимптотическим значением на бесконечности уравнений 2DCK и 2DKK [А2, А6].

5. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений с тригонометрическими функциями sin (pk(x,y,t) = sin tpk(akx + + hy + ckt) и cos <pk(x, y, t) = cos ipk(akx + bky + ckt) для уравнения HBH; простые периодические решения указанного выше типа для уравнений 2DCK и 2DKK [А2, A3, А6].

6. Специальные линейные суперпозиции произвольного числа од-носолитонных решений с нулевыми асимптотическими значениями на бесконечности и, аналогично, специальные линейные суперпозиции произвольного числа простых периодических решений уравнения HBH [А2, A3].

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, были доложены на международных конференциях "Nonlinear physics: theory and experiment VI" (23 июня -3 июля 2010, Галлиполи, Италия) и "Мезоскопические структуры в фундаментальных и прикладных исследованиях" (20-26 июня, 2010 года, Эрлагол, Горный Алтай). Основные результаты диссертации докладывались также на теоретических семинарах в НГТУ, ТГУ, ТГПУ и ИМ СОРАН.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в четырех печатных работах [А1, А2, А4, А5], из них три статьи в рецензируемых журналах [А1, А2, А4] и одна статья в сборниках трудов конференций [А5], результаты диссертации также представлены в 2 электронных статьях в arxiv.org [A3, А6],

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка

литературы. Общий объем диссертации составляет 155 страницы и включает 18 рисунков и библиографию из 93 наименований на 9 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту положения, описана структура работы по главам. Здесь же приведен краткий обзор основных моментов развития теории классических интегрируемых систем, изложены ингредиенты метода 3-одевания и сформулированы известные схемы метода 3-одевания для уравнений НВН, 2ВКК и 20СК.

В первой главе диссертации изучается симметричное двумерное обобщение уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) - (2 + 1)-мерное интегрируемое нелинейное уравнение Нижника-Веселова-Новикова (НВН):

щ + + к2и^ + 3 К1{ид~\)6 + 3 к2(ид^1щ),1 = 0, (1)

здесь - скалярная функция и ки к2 - некоторые константы; £ =

= х + ау, т] = х - ау и а2 - ±1. Случаю а - 1 и вещественных констант «1, «2 соответствует гиперболическая версия уравнения НВН или уравнение НВН-Н, а случаю а = г((,=т) = г = х + ¿у), = Щ = к. - эллиптическая версия уравнения НВН или уравнение НВН-1 (известное также как уравнение Веселова-Новикова (ВН)).

Для обеих версий уравнения НВН методом 3-одевания построены классы новых точных решений с функциональными параметрами с постоянным асимптотическим значением —е на бесконечности, т.е.

т?, £) = й(£, ??, г) + Моо = «(£, ?7,0 - е, (2)

8

где ü(£,r],t) —>■ 0 при £2 + rf —> оо. Простейший пример точного решения уравнения HBH-I из построенного класса имеет вид:

2 2

u{z, Z, t) = -С + ^ (|0!1г|2 - |а1г|2) - ~~ ' ^

здесь vi £ К - произвольная константа и Д = (1 - ^Sj^o^au) 4- ^|ai|2). Функциональный параметр a:i(z,z,t), по определению, удовлетворяет линейным уравнениям аш = саи аи + каигг + кашЕ = 0. Результаты, представленные в первой главе диссертации, опубликованы в работах [Al, А2].

В качестве частных случаев решений с функциональными параметрами уравнения НВН во второй главе диссертации подробно рассмотрены подклассы многосолитонных решений, а также нелинейных суперпозиций простых плосковолновых периодических решений (с тригонометрическими функциями sin щ{х, у, í) = sin ipk(akx + bky + ckt) и eos <pk(x,y,t) = eos tpk(akx + bky + + ckt)). Все построенные простые периодические решения и их суперпозиции являются сингулярными решениями.

Приведем примеры построенных односолитонных и простых периодических решений уравнения HBH-I. Односолитонное решение имеет вид:

u(z, z, t) = -e + ü(z, z,t) = ~€+ 2 coyfzM ' £=-Л^ь №

здесь фох € К - произвольная константа и <pi(z, z, t) = Ai)z— (J2i~Xi)z+

+ «(/if - Xl)t-K(jll - Ai)t]. Пример простого периодического решения дается выражением:

i \ |2

u(z,z,t) = -e + ü(z,z,t) = -c- —е — А1Д1, (5)

где |Ai| > ]¿ii|, Ф01 £8 - произвольная константа и <p\{z, z,t) = (pi — Ai)z + + (Дх - Ai)z + - A?)t + k(/I¡ - Ai)f.

Построены специальные нелинейные суперпозиции двух простых (одно-

солитонных или простых периодических) решений вида

«К, V, t) = -с + , Г), t) + V,t) = e + иЩ, T],t) + rj, t), (6)

где u(")((,r/,t) = —е + й(")(€,т),t), n = 1,2 односолитонные или простые периодические решения. Для всех построенных решений вычислены волновые функции линейных вспомогательных задач.

Помимо суперпозиций типа (6) построены также и специальные нелинейные суперпозиции большего числа простых решений п = 1,..., N > 2 (односолитонных или простых периодических решений), удовлетворяющие уравнению НВН. Такие решения имеют вид

N

«к,»/,«) = -£+«W(e,4,f)+Х><п)м (7)

п=2

и состоят из одного нестационарного u(1)(£,i},t) = и TV — 1 ста-

ционарных (с независящими от времени фазами) простых решений rf) =

i

= -б + 77). Показано также, что любая сумма -£ + ^ wn), 1 < i < j <

n=i

TV, образованная из слагаемых решений (7), является также решением урав-

з

нения НВН, а суммы -е + X) й(п), 1 < г < j < JV, являются также точными решениями стационарного уравнения НВН.

Приведем, в качестве примера, нелинейную суперпозицию односолитонных решений (4), удовлетворяющую уравнению HBH-I. Это решение имеет вид:

N

u(z,z,t) = -б + fiW(z,2,t) + =

п=2

= _ 1л1-№12 у^ |An-/*nl2

6 2 cosh2 £ii£S)±Ai 2 cosh2 '

где фазы <p\(z, z,t) и tpn{z, z) (n = 2,..., N) выражаются формулами: Vl(z, z, t) = ifa - Xjz - fa - \M + 2(-l)'=|«|(|A1|3 - (-ir|№|3)i, <Pn(z, z) = -[(rnpi - T~l\i)z + (тп/Ij - r"1 Ai)z], n = 2,...,N

(8)

здесь т„ G R и ф0п G М, (n = 1,..., N) произвольные константы и arg^i —

- argAi = mir, шей. Параметры решения (8) удовлетворяют условиям:

Хп = h~l\i, ßn = ггп/ць n = 2,...,N,

argAi = —- (argк + -—, keN.

Решение (8) представляют собой решетку из N - I неподвижно стоящих на плоскости (стационарных, с независящими от времени фазами) солитонов с паралаллельными линиями постоянных значений фаз и распространяющегося в плоскости поперек этой решетки движущегося солитона. Нелинейная суперпозиция простых периодических решений (5) имеет вид:

N

u = -e + üV(z, z, t) + ]Г z) =

п=\ (Ю)

[Ai-A^il2 у* lAn-pnl2 6 2 cos2 ¿2 2 cos2 +'

здесь |A„| > (n = 2,..., N) и фазы ipi{z, z, t), ip„(z, z), (n = 2,..., AT) выражаются формулами:

^(z, z, t) = - AOz + (Mi - Ш - 2(-l)fc|K|(|A1p - (-1ГЫ3)*, ^„(г, z) = i[(r„Aii - T-^iJz - (TnjÜ! - T^XiJz], n = 2,..., N,

где т„ e R и </>on £ Ж, (n = произвольные константы и arg/ij -

- arg Ai = Ш7г, m G N. Параметры решения (10) удовлетворяют условиям:

\„ = iT~1\u ßn = iTnHu n = 2,...,N

! (11) arg Ai = —- (arg к + kir), k G N.

О

Показано, что в подходящим образом" определенном пределе —е —> 0 (9-одевание с нулевым асимптотическим значением) построенные нелинейные суперпозиции двух (6) или более (7) простых решений (односолитонных

или простых периодических) превращаются в специальные линейные суперпозиции произвольного числа соответствующих простых решений. Таким образом, построен новый класс точных решений нестационарного и стационарного уравнений НВН в форме линейных суперпозиций произвольного числа простых решений п = 1,..., N так, что суммы и = и^1' + ... + 1^кх<к2< ...кктп^Ы произвольного числа решений из указанного множества также являются решениями.

Приведем, в качестве примера, специальную линейную суперпозицию од-носолитонных решений вида (4) с е = 0, удовлетворяющую уравнению НВН-1. Такое решение имеет вид:

N а |д |2

« = + = 2соаЬ2УЦ)+^ + £

(12)

здесь фазы г, Ь), <рп(г, Щ (тг = 2,..., ТУ) выражаются формулами:

(л, = -г(Л12 - А^) + 2(-1)к|к||Л1|31, г) = т^г +

где тп € М и фоп еК,(п = 1,...Д) произвольные константы. Параметры решения (12) удовлетворяют условиям (9).

Специальная линейная суперпозиция простых периодических решений вида (5) с е = 0, удовлетворяющая уравнению НВН-1, дается выражением:

N а |д р

« = + = ~ § 2с082,ГМ+^'

(13)

здесь фазы г, £), (рп{г, г), (п = 2,..., И) имеют вид:

Ч>1(г,г,Ь) = —— Ахл" — 2(—1)Л|/с||Лх|3«, = -гт"1^ - А^),

где т„ £ 1й и Фоп £ К, (га = 1,..., ТУ) произвольные константы. Параметры решения (13) удовлетворяют условиям (11). Результаты, представленные во второй главе, опубликованы в работах [А1, А2, АЗ].

12

Первая вспомогательная задача уравнения НВН, при ненулевом значении потенциала на бесконечности (2), имеет вид

Ь1ф=(Щп + й)ф = еф. (14)

В случае эллиптической версии уравнения (уравнение НВН-1), т.е. для комплексных £ и т/, задача (14) представляет собой 2Б стационарное уравнение Шредингера с потенциалом УэсЬг = —2й = —2(и + е) и энергией Е = —2е. В случае гиперболической версии уравнения НВН (уравнение НВН-Н), т.е. для вещественных £ и т], уравнение (14) является возмущенным телеграфным уравнением или уравнением Клейна-Гордона, а при е = 0 - уравнением струны. Таким образом, при построении решений нелинейного уравнения НВН, мы одновременно получаем точные потенциалы, а также соответствующие им волновые функции указанных выше линейных уравнений.

Представляет большой интерес выяснение физического смысла построенных методом 3-одевания потенциалов и волновых функций рассматриваемых линейных вспомогательных задач, в особенности для 2Б стационарного уравнения Шредингера. Этому посвящена третья глава диссертации, где дана физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы с различными волновыми функциями в построенных односолитонном (4) и специальном двухсолитонном потенциале ^сьг = 4- Уд®г, соответствующем решению вида (6).

Используемый в работе метод 9-одевания на фиксированном уровне энергии позволяет строить потенциал и некоторое достаточно "широкое" подпространство волновых функций (уровень энергии бесконечно вырожден), соответствующих различным стационарным состояниям микрочастицы, как связанным, так и состояниям свободного безотражательного движения микрочастицы в солитонном потенциальном рельефе. Одному и тому же уровню энергии могут соответствовать различные физические состояния микроча-

13

стицы. Например, в случае двухсолитонного потенциала У&Ьг = 4-микрочастица может находиться в связанном состоянии, при этом она локализована в поперечном, относительно минимума одного из потенциалов или К^), направлении и свободно движется в продольном. При увеличении полной энергии микрочастицы таких стационарных состояний она всегда

остается локализованной в поперечном долине потенциала направлении. Для того же уровня энергии указанного двухсолитонного потенциала построены волновые функции, соответствующие также состояниям безотражательного движения частицы. В конце главы с использованием плотности тока вероятности доказывается безотражательность (прозрачность) построенных соли-тонных потенциалов. Показано также, что вероятности переходов из одного стационарного состояния микрочастицы в поле солитонных потенциалов в другие состояния равны нулю. Данная глава основана на работах [А4, А5].

В четвертой главе диссертации рассмотрены двумерные интегрируемые обобщения уравнений Каупа-Купершмидта (2ВКК):

Щ + иххххх + Щихихх + оииххх 4- Ъи2их + Ъихху - Ьдх1иуу + Ъииу + Ъихд~1иу = 0;

(15)

и Савады-Котера (2ЭСК):

1к + Щхххх + 5ихихх + 5ииХхх + 5и2их + 5ихху - Ъд~хиуу + Ъииу + 5ихдх1иу = 0.

(16)

Первая вспомогательная задача, соответствующая уравнениям 2БКК и 20СК, в общем положении имеет третий порядок относительно дх и, следовательно, содержит несколько полевых переменных. Уравнения 2ВКК и 2БСК являются различными редукциями нелинейной системы уравнений на эти полевые переменные. Использование метода 9-одевания в этой нестандартной ситуации, когда приходиться удовлетворять условиям редукции, которые на языке волновых функций вспомогательных задач имеют вид нелинейных выра-

жений, представляет собой интерес с точки зрения развития самого метода 3-одевания в применении его к многомерным интегрируемым уравнениям.

С помощью метода 9-одевания построен класс новых точных решений с функциональными параметрами уравнений 2БКК и 2БСК. Приведем пример простейшего решения уравнения 2БКК из построенного класса. Это решение имеет вид:

Т55> + (17>

где У\!С\ е К - произвольная константа и Д = (1 — ^й^с*!!2). Функциональный параметр с*1 (х,у,4), по определению, удовлетворяет линейным уравнениям а1у + ацххх = 0, ац + ос1ХХХХХ + 5аХхху - Ьдх1а.\уу = 0.

В качестве частных случаев решений с функциональными параметрами рассмотрены примеры солитонных решений и простых периодических решений уравнений 2БКК и 2БСК с тригонометрическими функциями впкрк{х,уЛ) — ышр^акХ + ЬкУ + СкЬ) и сое <рь(х,2/,*) = соэ ^(акХ+ЬкУ+с^). Почти все построенные периодические решения сингулярны, но для уравнения 2БКК получены также и несингулярные простые периодические решения. Пример несингулярного простого периодического решения уравнения 2ПКК имеет вид:

(С08¥>± ]

и{х,у,1) = ТПЫ^Ш--(18)

ЫУ

где ¡р — (¡1\ + Щ)х + + ц1)у + + ¡1:1)1. Данная глава основана на результатах, полученных в работах [А2, Аб].

В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Список публикаций

Al. В.Г.Дубровский, А.В.Топовский, М.Ю.Басалаев. Новые точные решения с функциональными параметрами уравнения Нижника-Веселова-Нови-кова с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 165, № 2. С. 273-294.

А2. В.Г.Дубровский, А.В.Топовский, М.Ю.Басалаев. Новые точные решения двумерных интегрируемых уравнений НВН, 2DKK и 2DCK полученные с помощью метода ¿¡-одевания // Теоретическая и математическая физика. 2011. Т. 167, № 3. С. 377-393.

A3. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. New exact solutions with constant asymptotic values at infinity of the NVN integrable nonlinear evolution equation via 5-dressing method // http://arxiv.org/abs/0912.2155v2. 2010. Pp. 1-43.

A4. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. 2D Stationary Schrodinger equation via the d-dressing method: New exactly solvable potentials, wave functions and their physical interpretation // Journal of mathematical physics. 2010. Vol. 51, no. 9. Pp. 092106-092106-22.

A5. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. The construction of exact soliton potentials and corresponding wave functions of two-dimensional stationary Schrodinger equation via the 5-dressing method // Международная конференция с элементами научной школы для молодежи: Мезоско-пические структуры в фундаментальных и прикладных исследованиях. 2010. С. 70-76.

А6. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. New exact solutions of two-dimensional integrable generalizations of Kaup-Kuper-

schmidt and Sawada-Kotera equations via the 3-dressing method // http://arxiv.org/abs/1011.5954v2. 2010. Pp. 1-18.

Цитированная литература

1. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. Vol. 19. Pp. 1095-1097.

2. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. Многомерные нелинейные интегрируемые нелинейные системы и методы построения их решений // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1984. Т. 133. С. 281.

3. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений // Функциональный анализ и его приложения. 1985. Т. 19, № 2. С. 11.

4. V.E.Zakhaxov. Commutating operators and nonlocal д- problem // Nonlinear and turbulent processes in Physics / Ed. by V.G.Bar'yakhtar, N.S.Erokhin, V.E.Zakharov et al. 1988.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20,

тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16 объем 1.25 п.л. тираж 90 экз. Заказ № 1421 подписано в печать 27.09.2011 г

Введение.

Список п\'бликаций по теме диссертации.

Основные ингредиенты метода <9-одевания.

Применение метода 9-одевав и я к уравнению Нижника-Веселова-Новикова и двумерным интегрируемым обобщениям уравнений Kayna-Купсршмидта и Савады-Котера.

Глава 1. Решения с функциональными параметрами уравнения Нижника-Веселова-Новикова

1.1. Удовлетворение условия потенциальности.

1.2. Точные решения с функциональными параметрами уравнения HBH-I

1.3. Точные решения с функциональными параметрами уравнения HBH-II

Глава 2. Многосолитонные решения и нелинейные суперпозиции простых периодических решений уравнения Нижника-Веселова-Новикова

2.1. Общие формулы.

2.2. Точные многосолитонные решения уравнения HBH-I

2.3. Точные многосолитонные решения уравнения HBH-II.

2.4. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений уравнения НВН

Глава 3. Построение точных потенциалов и соответствующих волновых функций двухмерного стационарного уравнения Шредингера методом Ö-одевания

3.1. Многосолитонные потенциалы и соответствующие волновые функции 2D стационарного уравнения Шредингера.

3.2. Физические свойства стационарных состояний квантовой частицы в поле многосолитонных потенциалов

Глава 4. Решения с функциональными параметрами двумерных обобщений уравнений Савады-Котера и Каупа-Купершмидта.

4.1. Решения с функциональными параметрами уравнения 2DKK.

4.2. Решения с функциональными параметрами уравнения 2DCK.

4.3. Простые периодические решения уравнений 2БКК и 2БСК.

Актуальность работы

Физические законы выражаются, как правило, в форме дифференциальных уравнений. Известна исключительная роль линейных дифференциальных уравнений. Но многие физические явления нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений. Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются во всех фундаментальных физических теориях: теории тяготения, квантовой теории поля, гидродинамики, теории упругости и т.д. Развитие аналитических методов построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений представляет собой весьма актуальную задачу современной математической и теоретической физики. Весьма актуальным является также использование точных решений нелинейных уравнений для анализа конкретных физических ситуаций.

В 1967 году в работе американских ученых Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ) [1] был открыт новый метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Авторы указанной работы применили МОЗР к решению задачи Коши для известного нелинейного эволюционного дифференциального уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ):

Щ + У.1ХХ + 6 иит = 0, и{1 = 0, х) = и0(х), (0.1) где щ(х) достаточно быстро спадает при |ж| —> оо.

Ключевая идея МОЗР состоит в сопоставлении нелинейному эволюционному уравнению нескольких линейных вспомогательных задач, условием совместности которых является данное нелинейное уравнение. Все этапы МОЗР сводятся к решению линейных задач: на первом этапе решается прямая спектральная задача для первой вспомогательной задачи, на втором этапе интегрируются уравнения линейного закона эволюции для данных обратной задачи и на третьем этапе решаются линейные интегральные уравнения обратной спектральной задачи, например, уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМ). Подробное описание МОЗР можно найти в книгах [2-9]. Важный шаг в развитии метода был сделан в работе Лакса [10], где основные результаты, полученные ГГКМ, были переформулированы в операторной форме. Работа содержала новые, фундаментальные идеи, которые способствовали дальнейшему развитию и обобщению МОЗР.

Вскоре после открытия метода Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой, в работе Захарова и Шабата [11] с помощью МОЗР было проинтегрировано второе нелинейное уравнение, нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). важное для физических приложений Примечательным моментом этой статьи явилось введение в МОЗР локальной проблемы Римапа-Гильберта для волновой функции х вспомогательных задач, что привело к открытию мощных обобщений МОЗР, использующих различные подходы из теории функций комплексного переменного. В данный момент МОЗР, основанный на использовании локальной проблемы Римана-Гильберта, является основным способом интегрирования (1 + 1)-мерных (одна пространственная и одна временная координата) нелинейных дифференциальных уравнений [3. 7, 12]

Вслед за работой [11]. последовали множество других работ, в которых МОЗР был применен к интегрированию других важных (1 + 1)-мерных нелинейных уравнений, таких как модифицированное уравнение Кортсвсга - де Фриза (мКдФ) [13], уравнение Бусси-неска [14]. система уравнений, описывающих резонансное взаимодействие трех волновых пакетов в нелинейных средах [15], уравнение синус-Гордон [16] и т д Полученные результаты продемонстрировали эффективность применения МОЗР для точного интегрирования имеющих большое физическое значение нелинейных уравнений и необходимость его дальнейшего развития

Особое место в ряду аналитических методов интегрирования нелинейных уравнений занимают так называемые методы одевания, позволяющие как конструировать новые интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соответствующими вспомогательными задачами, так и вычислять широкие классы точных решений построенных уравнений, а также волновые функции и переменные коэффициенты вспомогательных задач. Основная идея методов одевания заключается в том, что, стартуя с найденного решения более простой (неодетой) задачи, можно получить решение более сложной (одетой) задачи. В фундаментальной работе Захарова и Шабата [17] был сформулирован метод одевания, основанный на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра (метод одевания Захарова-Шабата) Метод оказался применим как для (1 + 1)-мерных, так и для (2+ 1)-мсрных (две пространственные и одна временная координата) нелинейных уравнений [7] Другой вариант метода одевания, с использованием локальной проблемы Римала-Гильбсрта, был разработан в важной для развития МОЗР работе Захарова и Шабата [18].

Успешное применение МОЗР к интегрированию одномерных нелинейных уравнений способствовало развитию и обобщению метода на случай многомерных уравнений. Это привело к открытию целого ряда интересных (2 + 1)- и (3 + 0)-мерных нелинейных уравнений, интегрируемых различными подходами МОЗР. Отметим среди них следующие: двумерное обобщение уравнения КдФ - уравнение Кадомцева-Пствиашвили (КП) [17, 19, 20]; модифицированное уравнение КГТ (мКП) [21-23]; уравнение Дэви-Стюардсона (ДС) (обобщение НУШ) [24]; уравнение Ишимори [25] для спинового поля (двумерное обобщение уравнения ферромагнетика Гейзснбсрга) и т.д. Важное наблюдение Мапакова [26], относительно использования условия совместности линейных вспомогательных задач в более слабой форме (коммутативность операторов вспомогательных задач на пространстве решений этих задач), привело к открытию новых многомерных интегрируемых нелинейных уравнений, таких как уравнение Нижника-Веселова-Новикова (еще одно двумерное обобщение КдФ) [27, 28], двумерное обобщение уравнения синус-Гордон [29. 30] и других. Некоторые и з открытых уравнений нашли физические применения.

Первым обобщением МОЗР, позволяющим строить классы точных решений двумерных уравнений, был уже упомянутый метод одевания Захарова и Шабата [17]. С помощью этого метода, в работе [17] (см. также книгу [7]), для уравнения КП были впервые получены решения с функциональными параметрами. Такие решения, представляют собой большой интерес в математических и физических приложениях, так как они содержат функциональный произвол в виде некоторых произвольных функций (функциональных параметров), удовлетворяющих определенным линейным дифференциальным уравнениям.

Как и в (1 + 1)-мерном случае, интегрируемые (2 + 1)-мерные нелинейные уравнения представляются в виде условия совместности некоторых линейных вспомогательных задач, в которые тем или иным способом вводится спектральный параметр. Введение комплексного спектрального параметра позволяет поставить, исследовать и использовать для нахождения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений некоторую проблему теории функций комплексного переменного. Если для (1 + 1)-мерных интегрируемых нелинейных уравнений соответствующей проблемой теории функций комплексного переменного оказалась классическая локальная проблема Римана-Гильберта, то в случае (2 + 1)-мерных интегрируемых нелинейных уравнений потребовались другие средства. Так, например, для интегрирования уравнения КП-1 (КП с а2 = —1), в важной работе Манакова [31], впервые была использована нелокальная проблема Римана-Гильберта для волновой функции х вспомогательных задач. Эта проблема, как оказалось впоследствии. возникает при интегрировании целого ряда (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений таких как. уравнение ДС-П, уравнение НВН-Н и т.д. С помощью нелокальной проблемы Ри-мана-Гильберта, по заданному нелокальному выражению для скачка волновой функции па некотором контуре комплексной плоскости, определяется волновая функция аналитическая внутри и снаружи контура. Переменные коэффициенты линейных вспомогательных задач и точные решения нелинейных уравнений выражаются затем по формулам реконструкции через найденную волновую функцию.

Но этот вариант МОЗР не покрывает все (2 + 1)-мерные уравнения. Так уже, па-пример, для уравнения КП-П (КП с а2 = 1) оказывается, что волновая функция вспомогательных задач х неаналитична всюду в комплексной плоскости. В этом случае, как было показано в работе Абловица, Бари Яакова и Фокаса [32]. следует использовать так называемую, локальную <Э-проблему для волновой функции х- С помощью проблемы задается характер отклонения этой функции от аналитичности. Впервые ^-проблема, как обобщение локальной проблемы Римана-Гильберта, была использована в работе Билса и Койфмана [33] при изучении (1 + 1)-мерных нелинейных уравнений. Кроме уравнения КП-П локальная проблема возникает при решении еще ряда (2 + 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений, таких как уравнение ДС-1. уравнение НВН-1 т. д.

Более общим случаем ¿^-проблемы является нелокальная ¿^-проблема, предложенная Захаровым и Манаковым [34]. Эта проблема была положена в основу разработанного ими нового метода <9-одевания [34-36] (см. также книги [37, 38]), который позволяет конструировать новые интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соответствующими линейными вспомогательными задачами, вычислять их волновые функции и потенциалы, а также находить широкие классы точных решений нелинейных уравнений. Метод <9-одевания Захарова-Манакова. является вершиной в развитии всех подходов МОЗР и в настоящее время успешно применяется для получения точных решений интегрируемых многомерных нелинейных уравнений. Подчеркнем, что метод <9-одевания. по сути своей, позволяет находить волновые функции и классы точных потенциалов, переменных коэффициентов линейных вспомогательных задач. Таким образом, этот метод применим и к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных с переменными коэффициентами.

Развитию метода 9-одсвания для построения интегрируемых уравнений и вычислению их точных решений со специальными свойствами посвящены работы [39-41]. Также следует упомянуть работу [42]. в которой был предложен так называемый квазиклассический метод д-одевания. представляющий собой общий и эффективный метод построения бездисперсионных пределов некоторых 2 + 1-интегрируемых нелинейных уравнений и вычисления их ючпых решений. Интересный вариант метода <9-одевания, основанный на введении в одевающий оператор произвольной функции был рассмотрен для некоторых (1 + 1)-мерных интегрируемых нелинейных уравнений в работах [43, 44]. В работах [38, 45] было предложено обобщение метода ¿>-одевания, одевание на фоне, позволяющие строить новые решения интегрируемых нелинейных уравнений на фоне известных решений.

Помимо метода обратной задачи рассеяния, для изучения и построения решений нелинейных уравнений применяются и прямые методы, такие как метод Хироты, преобразования Беклупда, Дарбу, Моттарда и т д. Указанные методы не предназначены для решения задачи Коши и приводят, в отличие от МОЗР, к более узким классам решений. Прямые методы позволяют получать нетривиальные классы решений и изучать их свойства в тех случаях, когда полный анализ, основанный на подходах МОЗР, весьма затруднен или вообще отсутствует. Метод Хироты [46. 47] является эффективным средством построения точных решений, с использованием обрывающихся рядов теории возмущений. Преобразования Беклупда, действующие на пространстве решений нелинейного уравнения, преобразования Дарбу и Моттарда, действующие на пространство решений и потенциалов вспомогательных задач, по существу, являются методами одевания, так как позволяют из бочее простых, тривиальных решений путем чисто алгебраических конструкций строить иерархии решений нелинейного уравнения. Изучению и применению указанных преобразований к нелинейным интегрируемым уравнениям посвящены монографии [48-51].

Начиная с работы С.П. Новикова [52], в рамках МОЗР интенсивно разрабатываются методы конструирования точных решений нелинейных уравнений с привлечением методов алгебраической геометрии. В результате, был открыт новый класс решений - ко-печнозонные потенциалы [53]. В работе [54] схема конечнозонпого интегрирования была распространена на (2 + 1)-мерные уравнения, в частности, были построены точные конеч-нозонные решения уравнения КП. Следует отметить также, что для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений используется симметрийный анализ этих уравнений на основе теории алгебр и групп Ли [55. 56].

Цель диссертационном работы

Целью диссертационной работы является применение метода <9-одевания Захарова

Манакова к построению классов точных решений с функциональными параметрами некоторых (2 + 1)-мсриых нелинейных интегрируемых уравнений. Более конкретно, в диссертации ставятся и решаются следующие задачи.

1. Построение с помощью метода <9-одевания класса новых точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением — е на бесконечности для (2 + 1)-мерного интегрируемого нелинейного эволюционного уравнения Нижиика-Весслова-Новикова (НВН).

2. Исследование частного случая класса точных решений с функциональными параметрами, а именно, подкласса многосолитонных решений уравнения НВН.

3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в потенциальных полях солитонного типа в соответствии с построенными с помощью метода ¿^-одевания точными волновыми функциями для двумерного стационарного уравнения Шредингера (первой вспомогательной задачи эллиптической версии уравнения НВН).

4. Построение с помощью метода ¿^-одевания класса новых точных решений с функциональными параметрами двумерных интегрируемых обобщений уравнений Савады-Котера (2БСК) и Каупа-Купершмидта (2БКК).

5. Построение для уравнения НВН нелинейных суперпозиций простых плосковолновых периодических решений (ниже, для краткости - простых периодических решений); построение для уравнений 2БСК и 2БКК простых периодических решений.

6. Построение специальных "линейных" суперпозиций простых (односолитонных или простых периодических) решений уравнения НВН таких, что сумма некоторого числа простых решений со специально подобранными параметрами также является решением.

Научная новизна и практическая значимость

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

• Методом гЗ-одевапия построены новые классы точных решений с функциональными параметрами известных интегрируемых нелинейных уравнений НВН. 2 ОС К и 2БКК.

• Построены новые специальные многосолитонные решения с ненулевым асимптотическим значением — е па бесконечности нестационарного и стационарного уравнений НВН, представляющиеся с точностью до константы, кратной е, суммой соответствующих односолитонпых решений.

• Построены новые классы простых периодических решений с тригонометрическими функциями вш^Сл у, I) = зшуок{акх+Ьку+ск1) и со&у?^.(.г, у,1) = сох<рк(акг+Ьку+скЬ) интегрируемых нелинейных уравнений НВН, 2БСК и 2БКК. Для нестационарного и стационарного уравнений НВН построены также специальные нелинейные суперпозиции простых периодических решений, представляющиеся с точностью до константы. кратной 6. суммой соответствующих простых периодических решений.

• Построены примеры специальных линейных суперпозиций односолитонпых и простых периодических решений нестационарного и стационарного уравнений НВН.

• Для построенных методом 3-одевания про зрачных одно- и двухсолитонных потенциалов и волновых функций двумерного стационарного уравнения Шредиигсра дана физическая интерпретация соответствующих стационарных состояний микрочастицы.

Работа носит теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Полученные результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях. Все публикации по теме диссертации приведены отдельным библиографическим списком во Введении. Научная и практическая ценность диссертации обусловлены возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях по теории интегрируемых нелинейных уравнений и их приложений.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Класс точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением —е на бесконечности уравнения НВН [А1, А2].

2. Специальные классы многосолитонных решений нестационарного и стационарного уравнений НВН, как частные случаи класса решений с функциональными параметрами [А2, A3].

3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в поле построенных с помощью метода 9-одевания одно- и двухсолитонных потенциалов [А2, A3, А4, А5].

4. Класс точных решений с функциональными параметрами с нулевым асимптотическим значением на бесконечности уравнений 2DCK и 2DKK [А2, А6].

5. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений с тригонометрическими функциями sill *pk(x.y,t) = sin <Рк(о.кХ + ЬкУ + Ckt) и COS <Pk(x,y,t) = = cosipk(akT+bklJ+Ckt) для уравнения HBH; простые периодические решения указанного выше типа для уравнений 2DCK и 2DKK [А2, A3, А6].

6. Специальные линейные суперпозиции произвольного числа односолитон-ных решений с нулевыми асимптотическими значениями на бесконечности и, аналогично, специальные линейные суперпозиции произвольного числа простых периодических решений уравнения HBH [А2, A3].

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, были доложены на международных конференциях "Nonlinear physics: theory and experiment VI" (23 июня - 3 июля 2010, Галлиполи, Италия) и " Мезоскопические структуры в фундаментальных и прикладных исследованиях" (20-26 июня, 2010 года, Эрлагол, Горный Алтай). Основные результаты диссертации докладывались также на теоретических семинарах в НГТУ, ТГУ, ТГПУ и ИМ СОРАН. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 155 страниц и включает 18 рисунков и библиографию из 93 наименований на 9 страницах. Содержание работы

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. С помощью метода ¿)-одевания построен класс точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением —f па бесконечности уравнения НВН [А1].

2. В качестве частного случая класса решений с функциональными параметрами уравнения НВН подробно рассмотрен специальный подкласс многосолитонных решений. Приведена физическая интерпретация построенных с помощью метода <9-одеваиия одно- и двухсолитонных потенциалов и соответствующих им волновых функций 2D стационарного уравнения Шредингера [А4, А5].

3. С помощью метода <9-одевания построен класс точных решений с функциональными параметрами с нулевым асимптотическим значением на бесконечности уравнений 2DCK и 2DKK [А2, А6].

4. Методом <9-одевания для уравнения НВН построен подкласс нелинейных суперпозиций распространяющихся простых плосковолповых периодических решений с тригонометрическими функциями sill ipk{x,y,t) — sin -Pk{(lkX + 1>кУ -f Ckt) и COS(pk(x,y,t) = cos<рк(и.кХ + bky + Ckt)] для уравнений 2DCK и 2DKI< построен подкласс простых плосковолповых периодических решений указанного выше типа [А2, A3, А6].

5. Построены специальные примеры линейных суперпозиций некоторого числа односо-литонных решений и, аналогично, линейных суперпозиций некоторого числа распространяющихся простых плосковолповых периодических решений уравнения НВН с нулевыми асимптотическими значениями на бесконечности [А2, A3].

Я благодарен своему научному руководителю профессору Дубровскому В.Г. за постановку задач, постоянное внимание, активную и интересную совместную работу. Также я хочу сказать слова благодарности своему коллеге и соавтору магистранту Басалаеву М.Ю. за радость совместной работы и регулярные и плодотворные обсуждения полученных результатов.

1. С.S.Gardner, J.М.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / ' Physical Review Letters 1967. Vol. 19. Pp. 1095-1097.

2. Р.Додд, Дж.Эйлбек, Дж.Гиббон. Х.Моррис. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Мир, 1988.

3. М.Абловиц, X Сигур. Солитоны и метод обратной задачи. Москва.: Мир, 1987.

4. Р.Буллаф, Ф.Кодри, С.П.Новиков. Солитоны. Москва: Мир. 1983.•5. Дж.Лсмм. Введение в теорию солитонов. Москва: Мир, 1983.

5. P.G.Drazin, R.S.Johnson. Solit.ons: an introduction. Cambridge University Press, 1989.

6. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский. Теория солитонов: Метод обратной задачи. Москва: Наука, 1980.

7. В.Г.Дубровский. Элементарное введение в метод обратной задачи и теорию солитонов. Новосибирск: НГТУ, 1997.

8. В.Ю.Новокшенов. Введение в теорию солитонов. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

9. P.D.Lax. Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1968. Vol. 21, no. 5. Pp. 467-490.

10. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде ' / Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1971. Т. 61. X« 1. С. 118-134.

11. M.J.Ablovvitz. P.A.Clarkson. Solitons. Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Cambridge: Cambridge university Press, 1991. Vol. 149 of Lecture Notes Series.

12. M.Wadati. The modified Korteweg-de Vries equation /, Journal of the Physical Society of Japan. 1973. Vol. 34. Pp. 1289-1296.

13. В.Е.Захаров. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов / ' Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1973. Vol. 6-5. но. 1. Рр 219-225.

14. В.Е.Захаров. Коллапс лепгмюровских волн / / Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1973. Vol. 62. по. 5. Pp. 1745-1759.

15. M.J.Ablowitz, D.Л.Каир, А.С.Newell, H.Segui. Method for solving the sine-Gordon equation / / Physical Review Letters. 1973. Vol. 30. Pp. 1262-1264.

16. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния I 7 ' Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8, № 3. С. 45-53.

17. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния II // Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т. 13, № 3. С. 13-22.

18. Б.Б.Кадомцев, В.И.Пствиашвили. О стабильности уединенных волн в слабо диспергирующей среде '/ Доклады Академии Наук СССР. 1970. Т. 192, № 4. С. 753.

19. В.С.Дрюма. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-де Фриза / ' Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1973. Т. 19. А'2 12. С. 753-757.

20. B.G.Konopelchenko. On the gauge-invariant decription of the evolution equations integiable by Gelfand-Dikii spectral problems // Physics Letters A. 1982. Vol. 92. P. 323.

21. B.G.Konopelchenko, V.G.Dubrovsky. Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1-dimensions // Physics Letters A. 1984. Vol. 102, no. 1-2. Pp. 15-17.

22. B.G.Konopelchenko, V.G.Dubrovsky. Inverse specral transform for the modified Kadomt-sev-Pctviaslivili equation ,'/ Stud. Appl.Math. 1992. Vol. 86. P. 219.

23. A.Davcy. K.Stcwartson. On three-dimensional packets of surface waves // Proc.Roy.Soc.London A. 1974. Vol. 338. P. 101.

24. Y.Ishimori. Multi-vertex solutions of a two-dimensional nonlinear wave equation //' Prog.Teoi.Phys. 1984. Vol. 72. P. 33.

25. С.В.Малахов. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения ,'/ Успехи математических наук. 1976. Т. 31. № 5. С. 245-246.

26. Л.П.Ннжпик. Интегрирование многомерных нелинейных уравнений методом обратной задачи , / Доклады Академии Наук СССР. 1980. Т. 254. № 2. С. 332-335.

27. А.П.Веоелов, С.П.Новиков. Копечнозонные двумерные потенциальные операторы Шрсдингера. Явные формулы и эволюционные уравнения ' / Доклады Академии Наук СССР. 1984. Т. 279. № 1. С. 20-24.

28. B.G.Konopelchcnko, C.Rogers. On (2—l)-dimensional nonlinear systems of Loewner-typc Phys.Lett. 1991. Vol. 158. P. 391.

29. B.G.Konopelchenko, V.G.Dubrovsky. The 2+1-dimensional generalization of the sine-Gordon equation. II. Localized solution // Inverse problems. 1993. Vol. 9. Pp. 391-416.

30. S.V.Manakov. The inverse scattering transform for the time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation // PhysicaD. 1981. Vol. 3. no. 1-2. Pp. 420-427.

31. M.J.Ablowitz, Yaacov D. A.S.Fokas. On the inverse scattering transform for the Kadomtsev-Petviashvili equation // Studies in Applied Mathematics. 1983. Vol. 69. no. 2. Pp. 135-143.

32. R.Beals, R.R.Coifman. The 0 approach to inverse scattering and nonlinear equations /, Physica D. 1986. Vol. 18, no. 1-3. Pp. 242-249.

33. V.E.Zakharov. Commutating operators and nonlocal д problem // Nonlinear and turbulent processes in Physics / Ed. by V.G.Bar'yakhtar. N.S.Erokhin, V.E.Zakharov et al. 1988.

34. B.G.Konopelchcnko. Introduction to Multidimensional Integrable Equations: The Inverse Spectral Transform in 2—1 Dimensions. New York: Plenum Press, 1992.

35. В G.Konopclchenko. Solitons in Multidimcnsions: Inverse Spectral Transform Method. Singapore: World Scientific, 1993.

36. L.V.Bogdanov. S.V.Manakov. The non-local d- problem and (2—l)-dimensional soliton equations / ' Journal of Physics A. 1988. Vol. 21. no. 10. Pp. 537-544.

37. Л.В.Богданов, В.Е.Захаров. Убывающие решения и законы дисперсии в (2 + 1)-мсрпом методе одевания > • Алгебра и анализ. 1991. Vol. 3, по. 3. Pp. 49-56.

38. L.V.Bogdanov, V.E.Zakharov. On some developments of the ¿^-dressing method '/ Алгебра и анализ. 1994. Vol. 6, no. 3. Pp. 40-58.

39. B.G.Konopelchenko, Alonso L. O.Ragnisco. The ¿^-approach to the dispeisionless KP hierarchy // Journal of Physics A. Mathematical and General. 2001. Vol. 34, no. 47. Pp. 10209-10217.

40. А.И.Зенчук. Об интегрировании некоторых классов слабо деформированных нелинейных уравнений Шрсдиигсра // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66, № 3. С. 206-211.

41. А И.Зенчук. 5-проблема для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 68, № 9. С. 715-720.

42. A.S.Fokas, V.E.Zakhaiov. The dressing method and nonlocal Ricmann-Hilbert pioblems // Journal of Nonlinear Science. 1992. Vol. 2, no. 1. Pp. 109-134.

43. R.Hirota. Exact solution of the Kotcweg-dc Vrics equation for multiple collisions of solitons // Phys.Rev.Lett. 1971. Vol. 27.

44. R.Hirota. The direct method in soliton theory. Cambridge tracts in mathematics no. 155. Cambiidge university piess, 2004.

45. C.Rogers, W.K.Schief. Backlund and Darbonx transformations geometry and modern applications in soliton theory. Cambridge University Press. 2002.

46. C.Rogers. W.F.Shadwick. Backlund transformations and their applications. Academic Press. 1982. Vol. 161 of Mathematics in science and engineering.

47. V.B.Matveev, M.A.Salle. Darboux Transformations and Solitons. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1991.

48. E.V.Doktorov. S.B.Leble. A dressing method in mathematical physics. Springer, 2007. Vol. 28 of Mathematical physics studies.

49. С.П.Новиков. Периодическая задача для уравнения Кортевега де Фриза. I // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8, № 3. С. 54-66.

50. E.D.Bclokolos. A.I.Bobenko, V.Z.Enolskii et al. Algcbro-geometric approach to nonlinear intcgrable equations. Springer. 1992.

51. И.М.Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии / / Функциональный анализ и его приложения. 1977. Vol. 11, no. 1. Pp. 15-31.

52. T.Miwa. Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebras. Cambiidge University Press, 2000.

53. H.Stephani. Differential Equations. Their solution using symmetries. Cambridge University Press, 1989.

54. B.G.Konopelchenko, U.Pinkall. Integrable deformations of affine surfaces via the Nizh-nik-Veselov-Novikov equation // Physics Letters A. 1998. Vol. 245. Pp. 239-245.

55. B.G.Konopelchenko. A.Moro. Geometiical optics in nonlinear media and integrable equations / Journal of Physics A: Mathematical and General. 2004. Vol. 37, no. 10. Pp. 105-111.

56. B.G.Konopelchenko, A.Moro. Intcgrable Equations in Nonlinear Geometrical Optics // Studies in Applied Mathematics. 2004. Vol. 113, no. 4. Pp. 325-352.

57. И.М.Гельфанд, M.И.Граев, Н.Я.Виленкин. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы. Обобщенные функции А'2 5. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы и Наука. 1962.

58. V.G.Dubrovsky, Ya.V.Lisitsyn. The constmction of exact solutions of two-dimensional generalizations of Sawada-Kotera and Kaup-Kupershmidt integrable nonlincar equations via ¿j-dressmg method <, Physics Letters A. 2002. Vol. 295, lio. 4. Pp. 198-207.

59. Л.В.Богданов. Уравнение Вееелова Новикова как естественное двумерное обобщение уравнения Кортевсга - дс Фриза ¡• Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 70, № 2. С. 309-314.

60. Б.А.Дубровин. И.М.Кричевер, С.П.Новиков. Уравнение Шредингера в периодическом поле и Римаповы поверхности / ' Доклады Академии Наук СССР. 1976. Т. 229, № 1. С. 15-18.

61. А.П.Веселов, С.П.Новиков. Копечпозонные двумерные операторы Шредингера. Потенциальные операторы / ' Доклады Академии Наук СССР. 1984. Т. 279, № 4. С. 784-788.

62. П.Г.Гринсвич, Р.Г.Новиков. Аналоги многосолитонных потенциалов для двухмерного оператора Шредингера ó Функциональный анализ и его приложения. 1985. Т. 19,4. С. 276-285.

63. П.Г.Грипевич. Мапаков . Обратная задача теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера, «9-метод и нелинейные уравнения / ' Функциональный анализ и его приложения. 1986. Т. 20, № 2. С. 14-24.

64. П.Г.Гринсвич. Рациональные солитоны уравнений Вееелова Новикова. безотража-тсльпые при фиксированной энергии двумерные потенциалы ' / Теоретическая и математическая физика. 1986. Т. 69, № 2. С. 307-310.

65. П.Г.Грипевич. С.П.Новиков. Двумерная "обратная задача рассеяния"для отрицательных энергий и обобщенно-аналитические функции. I. Энергии ниже основного состояния ' Функциональный анализ и его приложения. 1988. Т. 22, № 1. С. 23-33.

66. П.Г.Гриневич. Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шрёдингера с убывающим на бесконечности потенциалом при фиксированной ненулевой энергии // Успехи математических наук. '2000. Т. -55, № 6(336). С. 3-70.

67. M.Boiti, J.J.P.Lcon, М.Manna, F.Pempinelli. On a spectral transform of a KDV-like equation related t.o the Schrodinger operator in the plane // Inverse Problems. 1987. Vol. 3, no. 1. Pp. 25-36.

68. V.G.Dubrovsky, B.G.Konopelchenko. The 2+1 dimensional integrable generalization of the sine-Gordon equation. II. Localized solutions // Inverse Problems. 1993. Vol. 9, no. 3. Pp. 391-416.

69. V.G.Dubrovsky, I.B.Formusatik. New lumps of Vcselov-Novikov integrable nonlinear equation and new exact rational potentials of two-dimensional stationary Schrodinger equation via ^-dressing method /, Physics Letters. 2003. Vol. 313, no. 1-2. Pp. 68-76.

70. V.B.Matveev, M.A.Salle. Darbu Transformations and solitons. Berlin: Springer. 1991.

71. C.Athornc. J.J.C.Nimmo. On the Moutard transformation for integrable partial differential equations 'Inverse Problems. 1991. Vol. 7. no. 6. Pp. 809-826.

72. L.V.Bogdanov. B.G.Konopelchenko, A.Moro. Symmetry constraints for real dispersionless Vcselov-Novikov equation 1' Journal of Mathematical Sciences. 2006. Vol. 136. no. 6. Pp. 4411-4418.

73. D.Zwillinger. Handbook of Differential Equations. 3rd edition. Academic Press, 1997.

74. E.Datc, M.Jimbo, M.Kashiwara, T.Miva. Operator approach to the Kadomtsev-Petviashvili equation: Transformation groups for soliton equation III // Journal of the Physical Society of Japan. 1981. Vol. 50, no. 11. P. 3806.

75. В.Г.Дубровский. А.В.Грамолии. Калибровочно-ппвариантное описание некоторых (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 160, № 1. С. 35-48.

76. Ни Х.-В., Wang D.-L. Qian Х.-М. Soliton solutions and symmetries of the 2-rl dimensional Kaup-Kupershmidt equation // Physics Letters A. 1999. Vol. 262, no. 6. Pp. 409-415.

77. Hai-Ling L. Xi-Qiang L. Exact solutions to (2+1)-dimensional Kaup-Kupershmidt equation // Communications in Theoretical Physics. 2009. Vol. 52, no. 5. Pp. 795-800.

78. Hong-Yan Z., Hong-Qing Z. Symmetry analysis and exact solutions of (2—l)-dimensional Sawada-Kotera equation ¡ / Communications in Theoretical Physics. 2008. Vol. 49, no. 2. Pp. 263-267.

79. Cc-Wcn C., Xiao Y. Algebraic-Geometrical Solution to (2+l)-dimensional Sawada-Kotera equation // Communications in Theoretical Physics. 2008. Vol. 49. no. 1. Pp. 31-36.

80. E.V.Ferapontov, A.Moro, V.S.Novikov. On the classification of scalar evolutionary integrable equations in 2 + 1 dimensions //' Journal of Mathematical Physics. 2009. Vol. 52, no. 2. P. 023516.

81. L.V.Bogdanov, B.G.Konopclchenko. On Dispersionless BKP Hierarchy and its Reductions /, Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2005. Vol. 12, no. 1. Pp. 64-73.

82. P.G.Grinevich, R.G.Novikov. Transparent potentials at fixed energy in dimension two. Fixed-Energy dispersion relations for the fast decaying potentials // Communications in Mathematical Physics. 1995. Vol. 174. no. 2. Pp. 409-446.

83. Р.Г.Новиков. Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Фу п к пи о н а л ы i ый анализ и его приложения. 1986. Т. 20, № 3. С. 90-91.

84. Р.Г.Новиков. Построение двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии // Теоретическая и математическая физика. 1986. Т. 66, № 2. С. 234-240.

85. R.G.Novikov. The Inverse Scattering Problem on a fixed energy level for the two-dimensional Schrodinger operator // Journal of Functional Analysis. 1992. Vol. 103. no. 2. Pp. 409-463.

86. T.Y.Tsai. The Schrodinger operator in the plane: Ph. D. thesis / Yale University. 1989.