Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

рукописи

Постников Валерий Витальевич

Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005549850

5 !;:0'! 2011

Сочи-2014

005549850

Работа выполнена в Сочинском институте (филиале) Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

чл.-корр. РАН, профессор Александр Абрамович Белавин

доктор физико-математических наук Булат Ирекович Сулейманов, кандидат физико-математических наук Максим Валентинович Павлов

Институт физики металлов Уральского отделения РАН

Защита состоится 20.06 2014 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского Научного Центра РАН, по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан у I мая 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук L^f C.B. Попенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений основано на методе обратной задачи рассеяния. Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Исторически, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма-Лиувилля фхх = (и — Х)ф, которые приводят к уравнению Кортевега—де Фриза

Щ = иххх - 6иих (1)

и бесконечной серии его высших симметрии (иерархии КдФ). К настоящему времени установлена интегрируемость для огромного числа уравнений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и множество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения

«i = /(u,Ux>...,fli(«)). (2)

Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциально-разностных уравнений (цепочек)

u,t = /(Um,---,U-m)> (з)

где обозначено it)t = dt(u(n,t)), Uj = и(п + j, t). Такие уравнения можно интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравпений вида (3). Первым примером применения метода обратной задачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра

u,t = и(и 1 - «_!), (4)

проинтегрированная в работах Кейза, Каца1 и Манакова", и связанная с дискретпой задачей Штурма-Лиувилля ф\ + иф~ \ = А ф.

Цепочка (4) переходит в ypaBneirae КдФ для переменной U(x,t) в непрерывном пределе и(п, t) = 1 — f'2U(x + 2et, \e3t), x = en, с —> 0. Однако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерьпзное уравнение может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка. Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только го

1К.М. Case, М. Кас. A discrete version of the inverse scattering problem. J. Math. Phys. 14:5 (1973) 594-603.

2S.V. Manakov. Complete integrability and stochastizatiori of discrete dynamical

systems. Soviet Physics JETP 40:2 (1975) 269-274.

цепочки Вольтерра, по и из цепочек Богоявленского5 В(т)

u¡t = и(ит Ч-----h tti — it_i-----u_m) (5)

при произвольном т. Таким образом, интегрируемых цепочек, в некотором смысле, больше, чем непрерывных уравнений и, во многих отношениях, их теория оказывается более сложной и: богатой.

Отметим в этой связи, что задача классификации интегрируемых уравнений (2) рассматривалась в работах Шабата, Свшюлупова, Соколова, Михайлова и др. (см. обзоры4'5), в которых был получен ряд важных результатов для порядков fc = 2,4 (линеаризуемые уравнения типа Бюр-герса) и к = 3,5 (уравнения типа КдФ). Возможно, что эти классификационные результаты дают полное решение задачи: имеется гипотеза, что все интегрируемые уравнения нечетного порядка, больше 5 являются симметриями уравнений порядков 3 и 5. Если это так, то число непрерывных интегрируемых иерархий конечно. В дискретном случае это заведомо неверно, поскольку цепочки Богоявленского при различных т принадлежат разным иерархиям (не являются симметриями друг для друга). Можно сказать, что в данном случае мы имеем семейство иерархий.

Цепочки вида (3) хорошо изучены лишь при т— 1. Для этого случая, исчерпывающая классификация цепочек, обладающих высшими симметриями, получена Ямиловым3-7. При т > 1, литература ограничена, в основном, цепочками Богоявленского и их модификациями. В этом случае, нет не только классификации, но даже какого-либо предварительного описания или списка цепочек, которые давали бы примерное представление о том, как устроен (или, насколько может быть сложен) ответ в этом

классе уравнений.

Обобщения другого типа возникают при замене скалярной переменной и на векторную или матричную. Векторными называются уравнения, которые можно записать в безкомпонентной форме при помощи скалярного произведепия, иначе говоря — допускающие группу SO(d) в каче-

3qj Bogoyavlensky. Algcbraic constructions of integrable dynaraical systems — extensions of the Volterra system. Russ. Math. Surv. 46 :3 (1991) 1-64.

4 A V Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classification of integrable equations. in: V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991, pp. 115-184.

SA.G. Mehskov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations with constant separant. http://arxiv.org/abs/13Q2.6010vl.

6Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнении. Усп. мат.

наук 38:6 (1983) 155-156.

7R.I. Yamilov. Syinmetries as integrability criteria for differential difference equations.

J. Phys. A 39:45 (2006) R541-623.

стве классических симметрии. В непрерывном случае, такие уравнения являются важным л довольно хорошо изученным классом интегрируемых систем. Отдельные результаты имеются и для векторных цепочек, но, в делом, эта область остается малоисследованной.

Таким образом, поиск интегрируемых цепочек и изучение их свойств является актуальной задачей, которой и посвящена диссертация. Основной пример связан с семейством иерархий , зависящим от двух целочисленных параметров. Оно обобщает семейство Богоявленского и в непрерывном пределе переходит в иерархию уравнения Савады -Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка). Рассматриваются также примеры векторных цепочек первого порядка и двумерных цепочек. Помимо построения представлений нулевой кривизны, для всех этих примеров решается задача построения преобразований Бэклунда. Напомним, что они определяют дискретную часть интегрируемой иерархии. Если стартовать с непрерывных уравнений тина уравнения КдФ или нелинейного уравнения Шредипгера, то полностью дискретные уравнения на квадратной решетке возникают ira свойства перестановочности преобразований Бэклунда. Для полудискретных уравнений типа цепочки Вольтерра или Тоды, уже сами преобразования Бэклунда описываются полностью дискретными уравнениями, см. папр.8. Особенно интересными оказываются преобразования Бэклунда дня цепочек высокого порядка (3), они имеют вид дискретных уравнении порядка 1 по одной и т по второй дискретной переменной:

Q(v(i + l,n + т),... ,v(i + 1, п), г;(г, п + т),... ,v(i,n)) = 0. (6)

При т = 1 это так называемые квад-уравнения*. В диссертации рассмотрен случай тп > 1, ранее практически не изучавшийся, для которого предложен термин мулътиквад-уравнения.

Основные цели работы. Целью работы является изучение оппсаиных выше классов дифференцшшьпо-разностных и дискретных интегрируемых уравнений. Полученные результаты относятся к векторным цепочкам типа Вольтерра, дискретным уравнениям из трехмерной иерархии Хироты-Охты, неоднородным обобщениям цепочек Богоявлепского и связанным с ними мультиквад-уравнениям. Некоторые примеры, представленные в диссертации, являются новыми. При обосновании интегрируемости основное внимшше уделяется выводу вспомогательных линейных

8R.I. Yamilov. Construction schcme for discrete Miura transformations. J. Phys. A 27:20 (1994) 6839-6851.

9V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513-543.

задач, анализу высших симметрий и преобразований Бэклунда, иострое-1шю точных решений.

Методы исследования. Основным методом в диссертации служит подход Захарова-Шабата10, в рамках которого нелинейные интегрируемые уравнения трактуются как условия совместности вспомогательных линейных уравнений. Используется также симметрийный подход к проблеме интегрируемости1.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые результаты.

1) В утверждениях 1.1, 1.2 приведены преобразования Дарбу-Бэк-лунда и формулы нелинейной суперпозиции для двух векторных обобщении модифицированной цепочки Вольтерра:

Vn,x = 2(vn, Vn+1 - Vn-i)Vn - ('Vn, Vn){Vn+l - Кг-i), (7) V^ = (Vn, Vn)(Vn+1 - Vn-{), (8)

где Vn € Rd. Вычисления основаны на представлениях нулевой кривизны с матрицами размера (d + 2) х (d + 2). Для цепочки (7) используются матрицы из работы11. Для цепочки (8) рапее было известно1- лишь представление в матрицах размера 2d х 2d. Матрицы, определяющие преобразования Дарбу, получепы впервые, в обоих случаях.

2) В разделе 2.2 построены согласованные представления нулевой кривизны для (2 + 1)-мерпой системы Хироты-Охты13 и ее дискретных аналогов. изучавшихся, в рамках различных подходов, в работах"1' '' °'íl' ■

10В.Е. Захаров, A.B. Шабат. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. Фуикц. анализ 8:3 (1974) 43-53; 13:3 (1979) 13-22.

nV.E. Adler, S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Multi-ccmponent Volterra and Toda type integrable equations. Phys. Lett. A 254 (1999) 24-36.

12T. Tsuchida, H. Ujino, M. Wadati. Integrable semi-discretization of the coupled modified KdV equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 4785-4813.

13R. Hirota, Y. Ohta. Hierarchies of coupled soliton equations. I. J. Phys. Soc. Jpn. 60 (1991) 798-809.

14M. Adler, E. Horozov, P. van Moerbeke. The I'faiT lattice and skew-orthogonal polynomials, 'int. Math. Res. Notes 1999:11 (1999) 569-588.

15S. Kakei. Orthogonal and symplectic matrix integrals and coupled KP hierarchy. J. Phys. Soc. Japan 68 (1999) 2875-2877.

16J. van de Leur. Bäcklund-Darboux transformations for the coupled KP hierarchy. J.

Phys A 37 (2004) 4395-4405.

17X.B. Hu, J.X. Zhao. Commutativity of Pfaffianization and Bäcklund transformations: the KP equation. Inverse Problems 21 (2005) 1461-1472.

18C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo, S. Tsujimoto. Pfaffianization of the discrete KP equation. J. Phys. A 34:48 (2001) 10569-10575.

Тем самым, показано, что эти уравнения являются членами одной и той же иерархии, что ранее не было известно. В разделе 2.3 установлена их связь с векторной системой Хулиша-Скляшша, обобщающей нелинейное уравнение Шредшггера.

3) Изучены цепочки, связанпые со спектральной задачей

ui'rn-l + Ф1 — ЧФтп + иф). (9)

Показано, что соответствующие иерархии цепочек образуют семейство , являющееся нетривиальным обобщением модифицированных цепочек Богоявленского. В билинейной форме, это семейство было введено в работах151'"0, однако, его свойства остались пе исследованными (в частности, не было известно представление Лакса). Простейший поток ira

имеет ВИд

U t = U2(um ■■■Ui- И_1 • • • U-m) - u(um-1 ■■■Ul- U-i - • • Ul-m), (Ю)

где правая часть равна сумме двух некоммутирующих друг с другом потоков, определяющих различные модификации цепочек и В^7"-1^. В теореме 3.4 приведена явная конструкция для потоков иерархии и доказана их коммутативность. Непрерывный предел к иерархии уравнения Сап ады-К от ер ы установлен в теореме 3.5.

4) В разделах 3.4, 3.5 получены новые примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.

5) В разделе 4.2 сформулировано определение свойства мпогомерной совместности для дискретных уравнений вида (6), обобщающее известное опредслегаге для случая m=- 1 (то есть, для квад-уравнепий9).

6) В теоремах 4.2, 4.9 приведены многомерно совместные мультиквад-уравнения, задающие преобразования Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для цепочки Богоявленского В^771^ (5) и для цепочки

(.10). Преобразование Бэклунда для рассматривалось ранее в

19S. Tsujimoto, R. Hirota. Pfaffian representation of solutions to the discrcte BKP hierarchy in bilinear form. J. Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2797-2806.

20X.B. Ни, P.A. Clarkson, R. Bullough. New integrable difFerential-difference systems. J. Phys. A 30:20 (1997) L669-676.

21S. Tsujimoto, R. Hirota, S. Oisbi. An extensión and discretization of Volterra equation I. Technical Report of IE1CE, NLP92-90 (1993) 3pp.

22V.G. Papageorgiou, F.W. Nijhoff. On some integrable discrete-time systems associated with the Bogoyavlensky lattices. Phys. A 228 (1996) 172-188.

23Yu.B. Suris. Integrable discretizatíons of the Bogoyavlensky lattices. J. Math. Phys. 37 (1996) 3982-3996.

для dSK(1,m) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах. Они служат многокомпонентными обобщениями квад-уравнений Q" и Я° из списка^1.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут иметь применения в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической и математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау, Института математики с ВЦ Уфимского НЦ РАН, а также на конференции Conformai Field Theory, Integrable Models and Liouville Gravity (2009, ИТФ, Черноголовка) .

Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [1, 2, 3, 4], опубликованных в зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно. Вклад автора в приведённые в диссертации результаты является основным. Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 114 наименований. Общий объём 88 страниц.

Краткое содержание работы

В главе 1, «Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтерра», рассматриваются уравнения (7). (8), определяющие неэквивалентные ип-тегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки. Цепочка (Т) была введена в !} среди других примеров многокомпонентных цепочек, связапных с алгебраическими йордановыми структурами. Цепочка (8) была введена в 24 для случая двумерных векторов и в ~;>> для векторов произвольной размерности. В разделе 1.1 приведены необходимые результаты, относящиеся к скалярному случаю. Основные результаты этой главы представлены в разделах 1.2, 1.3, в которых описан метод одевания для обоих векторных обобщений. Цепочка (7) возникает как условие совместности для линейных систем

О

-2A(V"1)T \2/(vn, vn)J

-A 2F„T_i ° \ 1 (Фп-1

■Vn 0 Vn-l

0 -2VnT A J ' V Фп

Dr

обладающих совместным первым интегралом

J = <ф„,ф„> - ФЖ-1, (Т - 1 )(J) = DX(J) = 0.

(11)

(12)

(13)

Преобразование Дарбу строится по частному решению па нулевом уровне этого первого интеграла, согласно следующему утверждению.

Утверждение 1.1 Пусть = Ф„/фп, где ф = ф, Ф = Ф частное решение линейных систем (11) и (12) при А = ц и 3 = 0. Тогда преобразование

1 N

Ар-*

А2

\

.2AFT t1 п

(Фп-1

Фп

V Фп

24M.A. Salle. Darboux transformations for nonabelian and nonlocal equations of the Toda lattice type. Theor. Math. Phys. 53:2 (1982) 227-237.

25M. Hisakado. Coupled nonlinear Schrodinger equation and Toda equation. J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 1939.

26R. Hirota. "Molecule Solutions" of coupled modified KdV equations. J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 2530-2532.

переводит общее решение этих систем в решение систем того же вида, причем исходный и преобразованный потенциалы связаны уравнениями

мКГ1 = Рп + ¡¡У~г = Рп+1 +

Аналогично, цепочка (8) допускает матричное представление /0 0 1 \ = 0 XV'1

\1 -2Х(У-1)Т \2/(Уп,Уп)/

/Л

(14)

-А2 2АУг7_! 0 N

(■фп-1

А^п- 1 Фп

V ^п

0 -2АУ'ПТ А2 )

(15)

Эти системы обладают совместным первым интегралом (13), как и в предыдущем случае. Преобразование Дарбу -Бэклунда описывается следующим утверждением.

Утверждение 1.2 Пусть ф = ф, Ф = Ф частное решение линейных систем (Ц), (15) при А = /х, такое что 3 — (ФП,ФП) - фпфп-1 = 0. Пусть Рп = Фп/Фп, тогда преобразование

Фч-1' фп 1 =

4>п

/£<*-», я,)-1

^ * _ . __■ 9

\

2А РТ

{РГС) Г„) ^

Ф

Фп

отображает общее решение этих систем в решение систем такого же вида, причем исходный и преобразованный потенциалы связаны уравнениями

В разделах 1.2, 1.3 приведены также простейшие точные решения типа солитонов и бризеров, построенные при помощи полученных преобразований Дарбу Бэклунда. Проводится сравнение с результатами, полученными в 12 для цепочки (8). В разделе 1.4 обсуждаются уравнения в частных производных, ассоциированные с цепочками (7), (8). Напомним, что в работах Леви2' и Шабата, Ямилова28 было замечено, что интегрируемые цепочки типа Вольтерра определяют специальную разновидность преобразований Бэклунда для уравнений типа нелинейного Шредиигера. Это верно и для векторных аналогов: показано, что высшие симметрии рассматриваемых цепочек можно записать в виде векторных обобщений системы Каупа-Ныоэлла (или, нелинейного уравнения Шредингера с производной). Интересна также связь с двумерными цепочками, родственными цепочкам Вольтерра введешгыми Михайловым '9: оказывается, что скалярные величины

Рп = (Vn, Vn), rn = 2{Vn, Vn+l + fn_!>

удовлетворяют, в силу любой из цепочек (7) или (8) и соответствующей высшей симметрии, одной и той же двумерной модифицированной цепочке Вольтерра

Pn,t + '¿PÜPti+i - Рп-1) = (гпрп)х, ÍPn+lPn)x = Pn+lPn{rn+l - rn).

В разделе 1.5 приведены еще два любопытных примера (найденные методом неопределенных коэффициентов) векторных цепочек 2-го порядка, обладающих высшими симметриями 4-го порядка.

Глава 2, «Линейные задачи и преобразования Бэклунда для иерархии Хироты- Охты», посвящена, по сравнению с остальными главами, более сложному объекту: иерархии 3-мерной, 3-компонентной системы

—2щ = иххх — Зиху + 3 wux — 3qu,

-2vt = vxxx 4- 'Avxy + Swvx + 3qv, (16)

4 wt = wxxx — 24 (uv)x + 6 wwx + 3 qy, qx = wy,

27D. Levi. Nonlinear differential difference equations as Bäcklund transformations. ,/. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

28A.B. Sliabat, R.l. Yarailov. Symmetries of nonlinear chains. Len. Math. J. 2:2 (1991) 377-399.

29A.V. Mikhailov. Integrability of a two-dimensional generalization of the Toda chain. Sov. Phys. JETP Lett 30 (1979) 414-118.

обобщающей уравнение Кадомцева-Петвиашвшш. Согласно общему методу Захарова-Шабата, эта иерархия может быть определена как условия совместности вспомогательных линейных задач, которые заменяют в 3-мерном случае представление нулевой кривизны. Цель главы — продемонстрировать, что несмотря на определенные усложнения по сравнению с 2-мерным случаем, этот метод дает единообразный способ вывода полудискретных и дискретных уравпений иерархии (как и раныпе, они определяют преобразования Бэклунда и формулы их суперпозиции). В частности, предложенный подход позволяет показать, что дискретизация из ^ пе просто служит разностным аналогом системы Хироты-Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда. Линейные задачи для непрерывной части иерархии появились в статье' ":

Фу = Фхх + ™ф+ 2иф, -фу = фхх + 2 уф + "шф,

3 3

Фъ = Фххх + ^фх + ^ (гУх + 5 )Ф + 3 ихф, 3 3

Фь = Фххх + 2и)^>х + _ ^ +

Эмпирическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для дискретных уравнений иерархии (с одной, двумя и тремя независимыми дискретными перемытыми), заключается в том, что структура этих линейных задач копирует структуру 2-мерной иерархии 'нелинейного уравнения Шредингера. Именно, показано, что преобразование Бэклунда-Шлезипгера отвечает линейной задаче

Фх = Фхх - + (ы+ ф + Пф, ф\ = --ф,

и \ ¿и ) и

преобразование Бэклупда Да^. • выводится из линейной задачи

Фх =ф1 + Ы^Ф + ифи -Фг, х = ф + У^ф + и'{г)ф{,

а формулы нелинейной суперпозиции из линейной задачи

Фз =Фг+ гит{ф + ифч), 63 =фг- го(у)(г>у^ + ф^), г < 3.

Условия совместности для этих уравнетшй, определяющие все уровни дискретизации системы (16), приведены в утверждениях 2.1 и 2.3.

В разделе 2.3 изучается связь системы (16) с иерархией векторной системы Кулиша Скляшша.*"

Фу = Фхх + 4{Ф, Ф)Ф - 2{Ф, ф)ф, -Фу = Фхх + ЦФ, Ф)Ф - 2(ф, Ф)Ф,

где ф, ф е K.d. В утверждении 2.4 доказано, что если коэффициенты перечисленных выше линейных задач имеют вид

и=-{ф,Ф), У=-(ф,ф), Ю = Цф,ф), Я = ЦФх,Ф)-ЦФ>Фх),

а(») _ а0)

„(О = а(0 + 2(ф, *>, «,<«> = ^Щ^ + МНЪМ'

то все потоки остаются совместными, то есть, эти (формулы определяют самосогласованную редукцию иерархии Хироты-Охты.

В главе 3, «Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса», изучаются некоторые интегрируемые иерархии, связанные с линейными уравнениями вида Рф = АС}ф, где Р, Q разностные операторы. Основной пример, семейство иерархий dSK^m), отвечает спектральной задаче

ифт+l + Ф'1 = ЧФт. + иф). (17)

В частности, это семейство содержит уравнения, найденные ранее в работах 1S'20 в рамках билинейного метода Хироты. Соответствующие нелинейные дифференциально-разностные уравнения можно рассматривать как неоднородные обобщения цепочек типа Богоявленского. В отличие от последних, переходящих в непрерывном пределе в уравнение КдФ (1), рассматриваемые цепочки служат дискретными аналогами уравнений Савады-Котеры

иг = иххххх + тиххх + 5UXU„ + 5 U2UX (18)

и Каупа-Купершмидта

иТ = иххххх + 5 ииххх + ™ихихх + 5 и2их. (19)

В разделе 3.2 содержится необходимая информация о цепочках типа Богоявленского. Раздел 3.3 посвящен дискретизациям уравнения Савады-Котеры и содержит основные результаты главы. Общая конструкция лак-совой пары L,t = [A, L] с оператором L = Q~lP приведена в разделе 3.3.1.

30Р.Р. Kulish, Е.К. Sklyanin. 0(iV)-invariant nonlinear Schrodinger equation — a new completely integrable systcm. Phys. Lett. A 84:7 (1981) 349-352.

В частности, при I — 1 простейшая цепочка описывается следующей теоремой.

Теорема 3.1. Для любого т > 0, простейший поток иерархии dSK(1'т) U¡t = U2(um ■■■U\- U_ 1 • - • U-m) - lt(um_i Ы_! • • • Ul_m) (20)

обладает представлением Лакса

P,t = ВР~ РА, Q¿ = BQ - QA

с операторами

Р = uTm+1 + Т, Q = Tm+u, А = f{T'm - Tm), В = /jT-"1 - /тоТт + «(/ro+i - /),

2í?e / = ÍÍ_I • • ■ u_m.

В общем случае, k-i'i поток иерархии clSK^I,Tr^ определяется из системы рекуррентных соотношений. Для доказательства ее разрешимости, в разделе 3.3.3 применяется r-матричпый подход в разностной формулировке37'32,55, с его помощью строятся явные формулы для оператора А и доказывается коммутативность иерархии dSK*-'-"^. Для этого, рассматривается алгебру Ли формальных рядов Лорана по степепям оператора сдвига, кратным Т7П:

g(m) = g^Tjmy

j< оо

Любой элемент G этой алгебры Ли допускает единственное разложение вида

G = F(Tm - T~m) + Н,

где F = F1" самосопряженный разностный оператор, а Н формальный ряд, содержащий только неположительные степени Ттп. Каждое из лилейных подпространств

3< О

31А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тянь-Шаньский. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход. Ижевск, 2003.

32М. Blaszak, К. Marciniak. Д-matrix approach to Iattice integrable systeins. J. Maíh. Phys. 35:9 (1994) 4661-4682.

33Yu.B. Suris. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach. Basel:

Birkháuser, 2003.

образует алгебру Ли, тем самым, определено разложение

0(™)=0$п)Фв(™)

алгебры Ли па прямую сумму (в смысле векторных пространств) двух подалгебр Ли. Это позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 3.4. Пусть I, т взаимно просты, Р = (иТт+1)Т1, <Э = Тт-\-и и пусть оператор Ь = С}'ХР разложен в формальный ряд Лорана. Тогда потоки

Ьг1р = [тг+(Ь^),Ь] (21)

корректно определены для всехр =1,2,..., совпадают с потоками иерархии ¿БК^1'™) и коммутируют друг с другом.

Непрерывный предел для цепочек из с!8К(,'т), билинейное представление и простейшие решения типа бризера представлены в разделах 3.3.4, 3.3.5.

Раздел 3.4 посвящен дискретизации уравнетшя Каупа-Куиершмидта. Здесь пе удалось найти такого богатого семейства, как (1БК(''7Г1), и основной пример описан в следующей теореме.

Теорема 3.5 Пусть К = иТ3 + Т. Уравнение

Кл + А1 К + К А = О,

определяющее из о спектральную деформацию для спектральной задачи

К*ф = А Кф,

эквивалентно цепочке

uzt2=u(v3-V2 + v1-v-l+v-2—v-■¿-U2+u-2¡)1 V := ихии-1 (22)

при выборе оператора А в виде

А = «хТ4 - + (1 - и-Щ-зХТ2 - Г"2)

— 2 — V + ъ-г ~ + и-з-

Для цепочки (22), непрерывный гфедел к уравнению (19) задается формулами

1 4 ,/ 8 64£Г\ \

и(п,Ь2) = - + -е2и{х - -ег2,т + — Ь),

О,

того же общего вида, что и в случае цепочек Раздел 3.5 содержит

примеры цепочек с несколькими переменными, ассоциированные с более общими дробными операторами Лакса.

В главе 4, «Дискретные двумерные интегрируемые уравнения высшего порядка», дано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (G). Ранее, это свойство рассматривалось только для так называемых квад-уравнений

Q(v(i + 1 ,п+ 1), v(i + 1, n), v(i, п + 1), v(i, тг)) = О, (23)

то есть, при т = 1. В этом случае, многомерная совместность означает, что начальные данные общего положения определяют на 3-мерпой решетке функцию v(i,j,n), удовлетворяющую одновременно трем уравнениям вида (23), относительно каждой пары дискретных переменных. При этом, совместность на решетке любой размерности следует автоматически. Разумеется, свойство 3D-cobmccthocth выполняется не для произвольной тройки уравнений, а только для очень специальной, и, при ряде дополнительных предположений, это позволяет выделить список интегрируемых квад-у равнений9.

В общем случае тп > 1, переменная п выделена и ситуация менее симметрична: уравнения (6) выполняются по переменным (г, п), (j, п), а по переменным (i,j) выполняется некоторое то-компонентное квад-уравнение

V(i + l,j + l) = R(V(i + 1, j), V(i,j + 1), V(i,j)), (24)

где V = (v(n + m),..., v(n + 1)). Символически,

quad + quad + quad m-quad -f m-quad 4- m-component quad.

На многомерной решетке, уравнение (24) удовлетворяет обычному свойству 3D-cobmgcthocth по переменпым i,j,k, отличным от п.

В разделе 4.2 сформулировало следующее строгое определение многомерной совместности для уравнений вида (6). При этом, для удобства обозначений, сдвиги Ts : п —> п + s по выделенной координате п обозначаются нижним индексом s; для остальных координат рассматриваются только единичные сдвиги Т% : пг —> щ + 1, которые помечаются верхним индексом г.

Определение 4.1 Пусть V = (гт_ь •.. ,и), Я('л = (г^р Система уравнений

<4 = • • ■ У, - • - , «) = ОЛ Ут, V),

У" г ф 3,

многомерно совместна, если выполняются следующие свойства:

(г) для любой пары г ф з, при замене угт, V13 в силу (25), (26), раве1 ютва

г^М, VI, VI) = ^(П П V), * = 0,...,т-2,

выполняются тождественно по г'т,

V, V1, V1;

(и) для любой тройки ч ф з ф к ф г, при замене V11, Угк, \пк в силу (26). равенства

У{к, V*) = У*, V') = Еы)Ук)

выполняются тождественно по V, V1, V3, Ук.

Уравнения с произвольным т возникают, как преобразования Бэк-лунда для эволюционных цепочек вида (3), при этом, свойство многомерной совместности отражает перестановочность преобразований Бэклунда. В разделах 4.3, 4.4 рассмотрены два конкретных и достаточно содержательных примера, отвечающих цепочке Богоявленского

и дискретизации уравнения Савады-Котеры <18К(Кт) из предыдущей главы. Нет сомнений, что набор примеров можно расширить, для чего годятся оба определстш интегрируемости, рассмотренные в этой главе, то есть, наличие эволюционной дифференциально-разностной симметрии или, в чисто дискретной постановке, свойство ЗО-совместности. Однако, оба подхода содержат множество нерешенных технических вопросов и на данном этапе не приходится рассчитывать па простые классификационные результаты, аналогичные известным спискам'"" для случая уравнешш первого порядка.

Мультиквад-уравпения, отвечающие цепочке Богоявленского, описаны в следующей теореме.

Теорема 4.2 Система, состоящая из т-квад-уравнений

г(,У1')

(25)

(26)

и тп-компонентных квад-уравнений

яО) рйщз _ ... ч

= ш' р ^ - ^ -(г; ~ в

*лз — <¡0 цЗ — 1}г и1 — и

* . 3 + Ь-+ V = 0, 8=1,...,Ш-1

У38_1 Уа-1

многомерно совместна в смысле Определения 4-1, а также совместна с цепочкой

. Ут г)т_1 VI = и--1---1----41 v v-1 v_

5-т/

связанной с цепочкой Богоявленского (5) подстановкой и = ьт/у. Аналогично, для цепочки (20) доказана следующая теорема.

Теорема 4.9 Система уравнений

04 - «)«4-1" •' = ~ «*>т-1 ""' V,

Р

(¿Л +1

где

= ... - • • • о()«и-1 • • -«

т—1

ли) =;1 * ^ г>

7г,в 1а«а<Л г <з,

многомерно совместна, а также совместна с цепочкой

«т-1 " " • « , ч

у, =--(г>т — и_т;.

• • • У-т

связанной с (20) подстановкой и = ут/ь.

Параметры а^ служат параметрами преобразования Бэклунда-Дарбу (то есть, последнее строится по частному решению соответствующей спек-тральпой задачи при Л = а^).

Публикации автора по теме диссертации

[1] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On vector analogs of the modified Volterra lattice. J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 455203 (16pp).

[2] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Linear problems and Backlund transformations for the Hirota-Ohta system. Physics Letters A 375 (2011) 46S--473.

[3] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Differential-difference equations associated with the fractional Lax operators. J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 415203 (17pp).

[4] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On discrete 2D integrable equations of higher order J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 0-15206.

Постников Валерий Витальевич

Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 05.05.2014. Формат 60 х 84^. Тираж 100

Сочинский институт Российского университета дружбы народов

на правах рукописи

и^и'1 «8366

УДК 517.9

Валерий Витальевич Постников

Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: чл.-корр. РАН, проф. А.А. Белавин

Сочи-2014

Оглавление

Введение 4

1 Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтер-ра 11

1.1 Преобразование Бэклунда для скалярной цепочки..........12

1.1.1 Представление нулевой кривизны......................12

1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции....................14

1.2 Первое векторное обобщение....................................17

1.3 Второе векторное обобщение....................................22

1.4 Высшие симметрии и ассоциированные системы............26

1.5 Дальнейшие векторные аналоги................................27

2 Линейные задачи для иерархии Хироты-Охты 30

2.1 Иерархия НУШ..................................................30

2.2 Иерархия Хироты-Охты........................................33

2.3 Векторная иерархия Кулиша-Склянина......................36

3 Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса 39

3.1 Простейший пример..............................................39

3.2 Предварительные построения..................................42

3.2.1 Определения и обозначения............................42

3.2.2 Цепочки Богоявленского................................43

3.3 Дискретизация уравнения Савады-Котеры..................45

3.3.1 Представление Лакса....................................45

3.3.2 Модифицированные цепочки ..........................48

3.3.3 г-матричная формулировка............................50

3.3.4 Непрерывный предел....................................53

3.3.5 Билинейные уравнения..................................54

3.4 Дискретный аналог уравнения Каупа-Куиерншидта .... 57

3.5 Примеры, связанные с операторами общего вида............59

4 Дискретные двумерные интегрируемые уравнения выс-

шего порядка 61

4.1 Общая схема......................................................61

4.2 Многомерная совместность......................................65

4.3 Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского . . 68

4.4 Преобразование Бэклунда для дискретизации уравнения Савады-Котеры..................................................74

Литература 80

Введение

Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений основано на методе обратной задачи рассеяния. Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Исторически, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма-Лиувилля фхх — (и — X)ф, которые приводят к уравнению Кортевега-де Фриза

Щ = иххх - 6иих (1)

и бесконечной серии его высших симметрий (иерархии КдФ). К настоящему времени установлена интегрируемость для огромного числа уравнений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и множество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения

щ = ¡(и,их,...,д^(и)). (2)

Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциально-разностных уравнений (цепочек)

= /к, • • • ,г1_т), (3)

где обозначено и^ = <Эг(и(п, <)), и3 = и(п + £). Такие уравнения можно интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравнений вида (3). Первым примером применения метода обратной задачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра

= и(щ - «_!), (4)

проинтегрированная в работах Кейза, Каца [27] и Манакова [65], и связанная с дискретной задачей Штурма-Лиувилля ф\ + иф-\ = Хф.

Цепочка (4) переходит в уравнение КдФ для переменной 11(х,т) в непрерывном пределе и(п, £) = 1 — е2и(х + 2е£, ^е3^), х = еп, е —> 0. Однако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерывное уравнение может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка. Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только

из цепочки Вольтерра, но и из цепочек Богоявленского В^"1) [74, 47, 23, 24]

u,t = и(ит Н----+ «х - U-1-----u_m) (5)

при произвольном т. Таким образом, интегрируемых цепочек, в некотором смысле, больше, чем непрерывных уравнений и, во многих отношениях, их теория оказывается более сложной и богатой.

Отметим в этой связи, что задача классификации интегрируемых уравнений (2) рассматривалась в работах Шабата, Свинолупова, Соколова, Михайлова и др., в которых был получен ряд важных результатов для порядков к = 2,4 (линеаризуемые уравнения типа Бюргерса) и к = 3,5 (уравнения типа КдФ). Обзор и ссылки на оригинальные статьи можно найти в [69, 67]. Возможно, что эти классификационные результаты дают полное решение задачи: имеется гипотеза, что все интегрируемые уравнения нечетного порядка больше 5 являются симметриями уравнений порядков 3 и 5. Если это так, то число непрерывных интегрируемых иерархий конечно. В дискретном случае это заведомо неверно, поскольку цепочки Богоявленского при различных т принадлежат разным иерархиям (не являются симметриями друг для друга). Можно сказать, что в данном случае мы имеем семейство иерархий.

Цепочки вида (3) хорошо изучены лишь при т = 1. Для этого случая, исчерпывающая классификация цепочек, обладающих высшими симметриями, получена Ямиловым [108], см. также [61, 111]. При т > 1, литература ограничена, в основном, цепочками Богоявленского и их модификациями [94, 95]. В этом случае, нет не только классификации, но даже какого-либо предварительного описания или списка цепочек, которые давали бы примерное представление о том, как устроен (или, насколько может быть сложен) ответ в этом классе уравнений.

Обобщения другого типа возникают при замене скалярной переменной и на векторную или матричную. Векторными называются уравнения, которые можно записать в безкомпонентной форме при помощи скалярного произведения, иначе говоря — допускающие группу SO(d) в качестве классических симметрий. В непрерывном случае, такие уравнения являются важным и довольно хорошо изученным классом интегрируемых систем. Из работ в этой области, упомянем статьи [31, 66, 92, 101, 100], содержащие примеры и классификационные результаты для векторных систем типа нелинейного уравнения Шредингера с производной. Имеются результаты и для векторных цепочек, см. напр. [1, 98, 7], но, в целом, эта область малоисследована.

Таким образом, поиск интегрируемых цепочек и изучение их свойств является актуальной задачей, которой и посвящена эта диссертация. Основной пример связан с семейством иерархий dSK^,m), обобщающим семейство Богоявленского В^ и зависящим от двух целочисленных параметров. Рассматриваются также примеры векторных цепочек первого

порядка и двумерных цепочек. Помимо построения представлений нулевой кривизны, для всех этих примеров решается задача построения преобразований Бэклунда. Напомним, что они определяют дискретную часть интегрируемой иерархии. Если стартовать с непрерывных уравнений типа уравнения КдФ или нелинейного уравнения Шредингера, то полностью дискретные уравнения на квадратной решетке возникают из свойства перестановочности преобразований Бэклунда. Для полудискретных уравнений типа цепочки Вольтерра или Тоды, уже сами преобразования Бэклунда описываются полностью дискретными уравнениями, см. напр. [76, 15, 59]. Особенно интересными оказываются преобразования Бэклунда для цепочек высокого порядка (3), они имеют вид дискретных уравнений порядка 1 по одной и т по второй дискретной переменной:

Q(v(i -f 1 ,п + т),... ,v(i + 1 ,п),и(г,п + т),... ,г;(г,п)) = 0. (6)

При т — 1 это так называемые квад-уравнения [21, 77, 8]. В диссертации рассмотрен случай т > 1, ранее практически не изучавшийся, для которого предложен термин мультиквад-уравнения.

Научная новизна. Перечислим основные новые результаты, представленные в диссертации.

1) В теоремах 1.1, 1.2 приведены преобразования Дарбу-Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для двух векторных обобщений модифицированной цепочки Вольтерра:

Vn,x = 2{Vn, K+1 - Vn_i>Vn - (Кг, КгХКг+1 ~ Кг-l), (7)

Кг,ж = (Кг; Кг)(Кг+1 Кг—1)> (8)

где Кг € Вычисления основаны на представлениях нулевой кривизны с матрицами размера (d + 2) х (d + 2). Для цепочки (7) используются матрицы из работы [16] Для цепочки (8) ранее было известно лишь представление в матрицах размера 2d х 2d [99]. Матрицы, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях.

2) В разделе 2.2 построены согласованные представления нулевой кривизны для (2 + 1)-мерной системы Хироты-Охты [43] и ее дискретных аналогов из работ [2, 50, 57, 46, 39]. Тем самым, показано, что эти уравнения являются членами одной и той же иерархии, что ранее не было известно. В разделе 2.3 установлена Pix связь с векторной системой Кулиша-Склянина [55], обобщающей нелинейное уравнение Шредингера.

3) Изучены цепочки, связанные со спектральной задачей

U1pm+l + 1pl = Цфт + иф). (9)

Показано, что соответствующие иерархии цепочек образуют семейство с!8К^>т), являющееся нетривиальным обобщением модифицированных цепочек Богоявленского. В билинейной форме, это семейство было введено в работах [102, 45], однако, его свойства остались не исследоваными (в частности, не было известно представление Лакса). Простейший поток из имеет вид

и,г = и2{ит ■ ■ ■ Щ - и_1 • • ■ и-т) ~ и{ит-1 • ' ' Щ - И-1 ■ • • иХ_т), (10)

где правая часть равна сумме двух некоммутирующих друг с другом потоков, определяющих различные модификации цепочек и В теореме 3.4 приведена явная конструкция для потоков иерархии с!8К(г,т) и доказана их коммутативность. В теореме 3.5 доказано, что рассматриваемые цепочки переходят в непрерывном пределе в иерархию уравнения Савады-Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка).

4) В разделах 3.4, 3.5 получены новые примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.

5) В разделе 4.2 сформулировано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (6). Оно обобщает известное определение для случая т = 1 (то есть, для квад-уравнений) [21, 77, 8].

6) В теоремах 4.2, 4.9 приведены многомерно совместные мультиквад-уравнения, задающие преобразования Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для цепочки Богоявленского В1-"1) (5) и для цепочки

(ю). Преобразование Бэклунда для рассматривалось ранее в [103, 78, 93], для с^К^1'"1) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах. Они служат многокомпонентными обобщениями квад-уравнений <35 и из списка [8].

Диссертация выполнена на основе работ [11, 12, 13, 14]. Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Формулы, определения и теоремы нумеруются по главам. Список литературы содержит 114 наименований. Общий объем диссертации 88 стр.

Во введении приводится краткое обсуждение истории вопроса, описаны полученные результаты и структура диссертации.

В главе 1, «Векторные аналоги модифицированной цепочки Воль-терра», рассматриваются уравнения (7), (8), определяющие неэквивалентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки. Цепочка (7) была введена в [16] среди других примеров многокомпонентных цепочек, связанных с алгебраическими йордановыми струк-

турами. Цепочка (8) была введена в [84] для случая двумерных векторов и в [44, 42] для векторов произвольной размерности. В разделе 1.1 приведены необходимые результаты, относящиеся к скалярному случаю. Основные результаты этой главы представлены в разделах 1.2, 1.3, в которых описан метод одевания для обоих векторных обобщений.

Приведены также простейшие точные решения типа солитонов и бри-зеров. Проводится сравнение с результатами, полученными в [99] для цепочки (8). В разделе 1.4 обсуждаются уравнения в частных производных, ассоциированные с цепочками (7), (8). Напомним, что в работах Леви [58] и Шабата, Ямилова [90] было замечено, что интегрируемые цепочки типа Вольтерра определяют специальную разновидность преобразований Бэклунда для уравнений типа нелинейного Шредингера. Это верно и для векторных аналогов: показано, что высшие симметрии рассматриваемых цепочек можно записать в виде векторных обобщений системы Каупа-Ньюэлла (или, нелинейного уравнения Шредингера с производной). Интересна также связь с двумерными цепочками, родственными цепочкам Вольтерра введенными Михайловым [68]. В разделе 1.5 приведены еще два любопытных примера (найденные методом неопределенных коэффициентов) векторных цепочек 2-го порядка, обладающих высшими симметриями 4-го порядка.

Глава 2, «Линейные задачи и преобразования Бэклунда для иерархии Хироты-Охты», посвящена, по сравнению с остальными главами, более сложному объекту: иерархии 3-мерной, 3-компонентной системы, обобщающей уравнение Кадомцева-Петвиашвили. Согласно общему методу Захарова-Шабата [114], эта иерархия определяется как условия совместности вспомогательных линейных задач, которые заменяют в 3-мерном случае представление нулевой кривизны. Цель главы — продемонстрировать, что несмотря на определенные усложнения по сравнению с 2-мерным случаем, этот метод дает единообразный способ вывода полудискретных и дискретных уравнений иерархии (как и раньше, они определяют преобразования Бэклунда и формулы их суперпозиции).

Рассматриваемые уравнения открывались и псреоткрывались разными авторами в рамках различных подходов. В диссертации, термин «система Хироты-Охты» используется для базового непрерывного уравнения иерархии, которое в явном виде было введено в работе [43] при пфаффианизации уравнения Кадомцева-Петвиашвили (пфаффианиза-ция представляет собой определенную процедуру, при которорой много-солитониые решения, выраженные через детерминанты, заменяются на решения, выраженные через пфаффианы. В дальнейшем, эта процедура применялась и к другим уравнениям, см. напр. [37]). Еще раньше, система Хироты-Охты была обнаружена при прямом поиске билинейных уравнений, допускающих 3-солитонные решения [40]. Дифференциально-разностный представитель иерархии Хироты-Охты, известный как це-

почка Пфаффа [2, 3, 4, 50], был введен в рамках теории случайных матричных моделей. Вся иерархия может быть выведена также в рамках подхода, основанного на представлениях алгебры Клиффорда и бозонно-фермионном соответствии [48, 49]. В частности, эта техника применялась при выводе преобразования Бэклунда [57]. В [46], преобразование Бэклунда было получено при пфаффианизации преобразования Миуры для модифицированного уравнения КР. Полностью дискретная версия системы Хироты-Охты введена в работе [39].

В диссертации, иерархия Хироты-Охты выводится, как уже было сказано, в рамках метода Захарова-Шабата из условий совместности вспомогательных линейных задач. Этот способ проще вышеперечисленных, если не с вычислительной, то с идейной точки зрения. В частности, он позволяет показать, что дискретизация из [39] не просто служит разностным аналогом системы Хироты-Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда. Линейные задачи для непрерывной части иерархии появились в статье [51]. Эмпирическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для всех уровней дискретизации (то есть, для систем с одной, двумя и тремя независимыми дискретными переменными), заключается в том, что структура этих линейных задач совпадает со структурой 2-мерной иерархии нелинейного уравнения Шредингера. Более точное соответствие с теорией 2-мерных систем указано в разделе 2.3, посвященном векторной системе Кулиша-Склянина [55].

В главе 3, «Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса», изучаются некоторые интегрируемые иерархии, ассоциированные с линейными уравнениями вида Ргр — \Qijj, где Р, Q разностные операторы (основным примером служат линейные уравнения вида (9)). В частности, эти иерархии содержат уравнения, найденные ранее в работах [102, 45] в рамках билинейного подхода Хироты. Соответствующие нелинейные дифференциально-разностные уравнения можно рассматривать как неоднородные обобщения цепочек типа Богоявленского. В отличие от последних, переходящих в непрерывном пределе в уравнение КдФ, рассматриваемые цепочки служат дискретными аналогами уравнений Савады-Котеры и Каупа-Купершмидта.

В разделе 3.2 содержится некоторая необходимая информация о цепочках типа Богоявленского, см. также книги [25, 94]. Раздел 3.3 посвящен дискретизациям уравнения Савады-Котеры и содержит основные результаты главы. Общая конструкция лаксовой пары L,t = [A L] с оператором L = Q~lP приведена в разделе 3.3 1. В разделе 3.3.3, используется r-матричный подход в разностной формулировке [83, 19, 94], с его помощью строятся явные формулы для оператора А и доказывается коммутативность иерархии Непрерывный предел, билинейное представление, простейшие решения типа бризера представлены

в разделах 3.3.4, 3.3.5. Раздел 3.4 посвящен дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, родственного уравнению Савады-Котеры. Раздел 3.5 содержит примеры цепочек с несколькими переменными, которые ассоциированы с более общими дробными операторами Лакса.

В главе 4, «Дискретные двумерные интегрируемые уравнения высшего порядка», дано определен