Точное интегрирование нелинейных уравнений методом обратной задачи с параметром на эллиптической кривой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ НА

ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

§ I, Уравнения нулевой кривизны, с параметром на эллиптической кривой.

§ 2. Уравнения Эйлера на алгебрах 9(3) и 50(4).

Изоморфизм интегрируемых случаев.

§ 3. Обобщенная задача Римана

§ 4. Процедура "одевания". Многосолитонные решения уравнения Лаццау-Лифшица

Глава 2. АЛГЕБРОГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В

ТЭТА-ФУНКЦИЯХ МНОГООБРАЗИЙ ПРИМА.

§ I. Дифференциалы и тэта-функции Прима

§ 2. Функция Бейкера-Ахиезера

§ 3. Алгеброгеометрические решения уравнений Ландау-Лифшица и асимметричного кирального

0(3) поля.

§ 4. Интегрирование некоторых классических конечномерных гамильтоновых систем механики и гидродинамики.

§ 5. Выделение вещественных решений

Открытый сравнительно недавно Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [бо] , метод обратной задачи (МОЗ) в результате бурного развития превратился в самостоятельную область математической физики, имеющую уже довольно богатую собственную историю [14] , [26] . Популярность МОЗ объясняется как обилием конкретных приложений к уравнениям механики, гидродинамики, физики твердого тела и других областей, так и необычайным разнообразием и красотой математических структур, возникающих в разработке теоретических аспектов МОЗ.

В настоящее время наиболее общей схемой построения нелинейных интегрируемых уравнений, включающей большинство известных случаев, является представление "нулевой кривизны" матричные функции, рационально зависящие от дополнительного "спектрального" параметра X . Равенство (0.1) по X выполняется тождественно, а рассматриваемое как уравнение по Ос Д оно дает интегрируемое нелинейное уравнение. Можно сказать, что в настоящее время достаточно полно разработан МОЗ для уравнений (0.1) с его основными атрибутами: построение явных решений, нахождение различных гамильтоновых структур и бесконечной серии интегралов движения, исследование задачи Ко-ши и т.п.

В данной работе методы построения точных решений переносятся на случай уравнения (0.1), когда параметр X меняется на эллиптической кривой (^-1) . Следует отметить, что само обобщение уравнения (0.1) на случай X , меняющегося на римановой поверхности Г рода ^ > 1 > нетривиально [27] , [зз] . Трудности, возникающие на этом пути, цреодолены лишь при 1 за счет специального выбора вида матриц и (редукциях)

Простейший, но и одновременно самый важный, первый пример уравнения интегрируемого МОЗ с параметром на эллиптической кривой появился в 1979 году, когда Е.К.Склянин и А.Е.Боровик (см. [73*] ) напши цредставление (0.1) для уравнения Ландау-Лифшица [35] (см. формулу (1.1.14) в основном тексте)

Б = £ »с ь + * I 1 а

7 1 2 5 ' <3 1 *

Именно на примере уравнения (0.2) отрабатывались основные идеи МОЗ с эллиптическим параметром. В той же работе [73] было показано, что уравнение Ландау-Лифшица описывает вполне интегрируемую гамильтонову систему , и, таким образом, гамильтонова интерпретация МОЗ успешно перенесена на уравнения (0.1) с эллиптическим параметром (современную версию, основанную на теории классической X. -матрицы, см. в [43] ).

С физической точки зрения уравнение (0.2) исключительно важ

В работах [34] , [27] предложено два различных обобщения уравнения (0.1) на случай ^ > 1 , однако даже простейшие из возникавших таким образом нелинейных уравнений в явном виде пока не выписаны и физических приложений для них не найдено. Хотя при в [34] получено интересное уравнение (Кричевера-Новикова)

О" л-— йЛ ^ о^осоа V ос.* СГ^ 02> ; •

ОСно: оно описывает динамику нелинейных волн намагниченности в магнетиках. Поэтому, независимо от "взаимоотношений" с МОЗ теория уравнения Ландау-Лифшица интенсивно развивалась (история вопроса, а также основные результаты, полученные без применения МОЗ, изложены в книге [j3l] ). Особенно активно изучался вопрос о построении точных решений. До последнего времени их удавалось получать либо прямыми методами, совсем не использующими алгоритм МОЗ {3l] , либо методами, использующими этот алгоритм лишь частично. Что касается последнего, то имеем в виду работу [9] , где строятся многосолитонные решения уравнения (0.2) по методу Хироты и работу [57] , где те же решения находятся при помощи те> ории свободных фермионных полей.

Уравнение (0.1) возникает как условие совместности пары линейных уравнений

-а г-нт/ 1\\ (0.3)

TT -функция является центральным объектом при построении точных формул для решений нелинейных уравнений, интегрируемых МОЗ. Первоначально именно она строится конструктивно по своим аналитическим свойствам по X ("матричная задача Римана" [29] ), которые следуют из вида U-V пары, а затем уже по строятся формулы для решений нелинейных уравнений. Трудности в применении МОЗ к уравнению Лацдау-Лифпшца были связаны с отсутствием точной постановки той матричной задачи Римана, аксиоматика которой адекватна структуре U-V пары (I.I.I4) уравнения (0.2). Требуемая формулировка была найдена А.В.Михайловым в 1982 году [70] . Результат не замедлил сказаться: А.В.Михайловым [70] и Ю.Л.Родиным [72] были регулярным образом описаны мног о с олит онны е решения, а А.Б. Борисовым [l2] , И.ВЛередником [49] и автором [в] предложены "процедуры одевания", позволяющие по известным решениям уравнения (0.2) строить новые. Следует отметить, что при построении в § 1.4 "процедуры одевания" мы хотя и отталкиваемся от упоминаемой выше работы А.В.Михайлова [70 ] , однако, следуя А.Р.Итсу [зо] , используем нестаццартную в духе работ Дзимбо, Мива и Уе-но [б2] , [63] , версию сведения интегрируемого уравнения к задаче Римана, которая приведена в § 1.3. Интересной особенностью уравнения Лавдау-Лифшица является возможность строить при помощи "процедуры одевания" некоторые периодические по X решения.

МОЗ позволяет строить кроме многоеолитонннх, еще один класс точных решений. Это так называете конечнозонные (алгеброгеомет-рические) решения, выражающиеся в тэта-функциях. Теория конечно-зонного интегрирования нелинейных уравнений интегрируемых МОЗ, созданная в работах С.П.Новикова, Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса и др. подробно изложена в обзорах [21] , [23] , [68J . Наиболее удачный метод построения явных формул для алгеброгеомет-рических решений был предложен И.М.Кричевером [32] : в терминах тэта-функций Римана и абелевых дифференциалов конструируется

-функция (функция Бейкера-Ахиезера), по которой затем строится решение нелинейного уравнения. Общей теории алгеброгеометри-ческих решений уравнений интегрируемых МОЗ с эллиптическими представлениями нулевой кривизны посвящены работы И.В.Чередника [47],

49] , в которых однако не содержится явного интегрирования в тэта-функциях. Важное утверждение о том, что конечнозонные решения уравнения (0.2) выражаются в терминах тэта-функций многообразий Прима, впервые сделано в работе [57] . Позднее Р.Ф.Бикба-евым и автором [54] были построены формулы для решений в -терминах тэта-функций Римана двулистных накрытий тора, а затем, при помощи техники редукции тэта-функций Римана симметричных поверхностей [2] , [52] , [53] , получены выражения в тэта-функциях соответствувдих многообразий Прима. Однако полученные в [54] выражения отличаются крайней громоздкостью и не позволяют эффективно выделить вещественные решения.

Наконец, автору удалось построить функцию Бейкера-Ахиезера прямо в терминах тэта-функций Прима и интегралов Прима (§ 2.2) (соответствующие результаты анонсированы в заключительных параграфах работ [7] , [бЗ] ). Таким образом были получены компактные формулы .для решений уравнения Лацдау-Лифшица (см. § 2.3). Следует отметить, что по структуре полученные формулы совпадают с аналогичными выражениями для решений уравнения (0.2) в случае одноосной анизотропии (две из величин I- совпадают, "U~V пара рациональна), проинтегрированного ранее А.Р.Итсом, Р.Ф.Бикба-евым и автором [б] , [б] , [7] .

Особо отметим, что в § 2.2 мы используем подход, основанный на синтезе схемы Кричевера с общими идеями матричной задачи Римана - современной версии МОЗ [29] . Этот подход опирается на нестандартную версию метода матричной задачи Римана, извлекаемую из работ Дзимбо, Мива и Уено [б2] , [бЗ] . Он впервые был продемонстрирован в работе А.Р.Итса [зо] на примере нелинейного уравнения Шредингера, а затем перенесен на некоторые другие уравнения, интегрируемые МОЗ [б] . Подход работы [зо] позволяет естественно учитывать в аксиоматике функции Бейкера-Ахиезера группу редукций соответствующей пары. В рассматриваемом случае благодаря тому, что этот метод не опирается на глубокие ал-геброгеометрические теоремы (Римана-Роха, проблема обращения Якоби), мы не исследуем проблему обращения Якоби на пршиане.

Кроме уравнения Ландау-Лифшица имеется еще несколько важных уравнений, обладающих эллиптической XJ-\F парой. Таковым, как было показано И.В.Чередником [4б] , является уравнение асимметричного кирального 0(5) поля. Его интегрирование буквально дословно повторяет интегрирование уравнения Лавдау-Лифшица.

Как известно, каждое алгеброгеометрическое решение стационарно. относительно потока, определяемого некоторым высшим интегралом движения, и является решением соответствувдей конечномерной гамшгьтоновой системы [38] - уравнения Новикова. Благодаря работам А.П.Веселова [16] , [18] было установлено, что таким образом из известных уравнений с эллиптической U~"V~ парой возникают интересные классические системы. Это интегрируемые уравнения Эйлера с квадратичными интегралами движения на алгебрах Ли (см. [i] ) е(ь) (случаи Клебша и Стеклова) и SO(4)(случаи Манако-ва и Стеклова), а также задача Неймана о движении частицы на единичной сфере под действием квадратичного потенциала. Все они обладают представлениями Лакса где L и k - матрицы (2х 2) с параметром на эллиптической кривой. Эти динамические уравнения, имеющие многочисленные приложения к механике и гидродинамике, интенсивно изучались еще в прошлом и начале нашего века [об] , [44] , [?1~| , [74] (правда вне связи с алгебрами Ли: интерпретация их, а также некоторых .других аналогичных систем математической физики как уравнении Эйлера на конечномерных алгебрах Ли - это современное наблюдение (см. [зэ] , [40] , [il] )). Современный взгляд на рассматриваемые классические системы как на уравнения Эйлера позволил связать между собой системы никогда прежде вместе не рассматривавшиеся. С.П.Новиковым впервые замечено, что при контракции So(4) в е(Ь) интегралы случая Манакова перейдут в интегралы Клебша [зэ] (аналогично связаны случаи Стеклова [l7] ). В § 1.2 доказан более сильный результат: оказывается, рассматриваемые случаи интегрируемости на SO(4)h связаны не только посредством контракции So(4}-*e(2>). Имеется замена переменных, переводящая их друг /В .друга.

МОЗ;предполагает явное интегрирование в тэта-функциях конечномерных систем, обладающих представлением Лакса (0.4), причем таким образом строится общее решение задачи. Однако, до недавнего времени, единственными результатами по интегрированию уравнений Эйлера на в(ъ) и 8>0(4) были формулы Кеттера .для классических случаев Клебша и Стеклова движения твердого тела в идеальной жидкости, полученные еще в прошлом веке [бб] , [бб] , естественно, без использования МОЗ. Известны, представления Лакса с рациональной зависимостью от параметра X для случаев Манакова [36] и Клебша [41 ] . В последнее время первый из этих случаев интенсивно исследовался при помощи тленно этого рационального представления Лакса. Вещественные конечнозонные решения матрич

- ю ных систем, включающих в себя как частный случаи Зо(л/) волчки Манакова (последние вдцеляются условием кососимметричности матриц ш, на языке и-А нар, - дополнительной редукцией) построены Б.А.Дубровиным [20] , [22] . Однако эффективное выделение решений собственно уравнений Эйлера на 2>0(ь!)(учет этой редукции) представляет собой отдельную проблему.

В § 2.4 при помощи М03 с эллиптическим параметром X проинтегрированы в тэта-функциях многообразий Прима все перечисленные выше интегрируемые уравнения Эйлера на в (5) и 50(4) , а также задача Неймана. При этом полученные формулы по своей структуре (используется другая параметризация констант) совпадают с выражениями, полученными в прошлом веке в тех случаях, когда они были известны. Решения для случаев Манакова и Стеклова на £>0(4)-новые. Интегрирование всех систем в общем случае проводится в двумерных тэта-функциях. При выполнении определенных условий на интегралы .движения возможны чисто периодические решения, которые определяются аналогичными формулами через одномерные тэта-функ-вди.

В работах Адлера и Ван-Мербеке [50] , [51] изучалась алгебраическая структура инвариантных торов для случая Манакова. В частности, в [50] показано, что уравнения линеаризуются на двумерном многообразии Прима накрытия рода 3 над эллиптической кривой, а в [51] методом С.Ковалевской доказано, что случаи Манакова — единственные алгебраически интегрируемые уравнения Эйлера на $>о(4) с диагональной метрикой. В работе Хайне [б1*] проведен детальный анализ кривых, возникающих в случае Манакова на Ьо(4) тремя способами: из МОЗ с рациональным параметром X , как пересечение квадрик, задающихся интегралами движения, из асимптотического метода С.Ковалевской. Оказывается, эти способы определяют несколько различные абелевы торы (некоторые периоды делятся на 2), которые, правда, все являются многообразиями Прима накрытия над эллиптической кривой. Причина этого несколько удивительного факта вскрыта в § 2.4, где показано, как MOS с эллиптическим параметром X определяет те многообразия Прима, которые возникали в работе [6l] из пересечения квадрик и методом С.Ковалевской.

Все методы построения точных решений нелинейных уравнений, интегрируемых МОЗ, существенно используют аналитические свойства по параметру X функции , поэтому получающиеся решения -комплексные. Для физических приложений, как правило, интересны вещественные решения. Их можно легко выделить, указав эффективные ограничения на свободные параметры. В §§ 1.4, 2.5 исследуются условия вещественности процедуры одевания и алгеброгеометри-ческих решений для уравнения Ландау-Лифшица.

- 100 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В не стоящей работе для уравнений нулевой кривизны с эллиптической 1J-V парой типа уравнения Ландау-Лифшица построены (причем с той же степенью эффективности) все те решения, которые обычно строятся при помощи МОЗ.

1) Получены точные формулы для алгеброгеометрических решений ypaiнении Ландау-Лифшица и асимметричного кирального О (Ъ) поля, причем впервые подобные решения выражаются в терминах тэ-та-функпий многообразий Прима.

2) Проинтегрированы случаи Манакова и Стеклова уравнений Эйлера на алгебре SO (4) .

3) Доказан изоморфизм интегрируемых случаев уравнений Эйлера на алгебрах в(Ь) и $>0(4) .

4) Для уравнения Ландау-Лифшица построена процедура одевания, позволяющая по известным решениям строить новые.

5) Как различные частные случаи получены известные классические выражения для решений задачи Неймана о движении частицы на сфере поц действием квадратичного потенциала, а также интегрируемых случаев Клебша и Стеклова движения твердого тела в идеальной жидкости.

Сформулируем теперь рад математических задач, тесно связанных с содержанием настоящей работы и представляющих, по мнению автора, наибольший интерес.

I) Известно несколько нелинейных уравнений, линеаризующихся на различных многообразиях Прима. В первую очередь, это случаи интегрируемости Манакова уравнений Эйлера на $>0(Ы)» которые, как было показано Адлером и Ван-Мербеке [50] , линеаризуются на многообразии Прима двулистного накрытия Г рода (М-^См-2^/2. над кривой Г рода х N - четно 35 )

О (Гм-ОСм-Ь") д/-нечетно . 1 4

Другой пример - это уравнения, описывающие вращение твердого тела с закрепленной точкой в поле сил с квадратичным потенциалом, интегрируемость которых была доказана О.И.Богоявленским [и] . Здесь двдаение линеаризуется на примиане .двулистного накрытия рода 4 тора Г . Известны выражения для решений этих задач в тэ-та-функцнях Римана накрывающих поверхностей Г [22] , [П*] . В силу вышесказанного они представляются довольно неестественными. Используя теорию редукции тэта-функций Римана поверхностей, обладавших нетривиальной группой автоморфизмов, развитую в приложении к нелинейным уравнениям в работах [2] , [52] , [53 ] , можно выразить исходную тэта-функцию Римана через тэта-функцию Римана поверхности Г и тэта-функцию многообразия Прима, причем от времени будет зависеть только последняя, а тэта-функции поверхности Г будут являться тэта-константами. Однако, таким образом, получаются (возможно неоцравдано) громоздкие выражения для решений. Может быть их возможно резко упростить если, как это было сделано в § 2.2, построить функцию Бейкера-Ахиезера сразу через тэта-функцию Прима.

2) Тесно связанным с предыдущим является вопрос о представлениях Лакоа с параметром на римановой поверхности рода ^ >1 . В настоящее; время содержательные примеры таких уравнений отсутствуют. Довольно естественным для уравнения линеаризующегося на многол образии Прима двулистного накрытия Г-> Г кажется существование представления Лаке а в матрицах (2.* 2.) с параметром на римановой поверхнооти рода ^ . Таким образом, возможно, такое представление с шраметром на кривой рода ^ (*■") имеют случаи интегрируемости Манакова на алгебре .

1. Арнольд В.И. Математические метода классической механики. М.: Наука, 1979.

2. Бабич М.В., Бобенко А.И., Матвеев В.Б. Редукции тэта-функций Рима на рода ^ к тэта-функциям младших родов и симметрии алгебраических кривых. ДАН СССР, 1983, т.272, & I, с.13-17.

3. Барьяхтар В.Г., Белоколос Е.Д., Голод П.И. Одномерные магнитные структуры и высшие уравнения Лавдау-Лифшица. Препринт ИТФ-84-128Р, Киев: ИТФ, 1984.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. т.З. М.: Наука, 1967.

5. Бикбаев Р.Ф., Бобенко А.И., Итс А.Р. О конечнозонном интегрировании уравнения Ландау-Лифшица. ДАН СССР, 1983, т.272, № 6, с.1293-1298.

6. Бикбаев Р.Ф., Бобенко А.И., Итс А.Р. Уравнение Лавдау-Лифши-ца. Теория точных решений. I. Препринт ДонФТИ-84-6(81), Донецк: ДонФТИ, 1984.

7. Бикбаев Р.Ф., Бобенко А.И., Итс А.Р. Уравнение ЛандауКДифши-ца. Теория точных решений. П. Препринт ДонФТИ-84-7(82), Донецк;: ДонФТИ, 1984.

8. Бобенко А.И. Уравнение Ландау-Лифшица. Процедура "одевания". Элементарные возбуждения. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1983,т. 123, с.58-66.

9. Богдш М.М., Ковалев A.C. Точные многосолитонные решения одномерных уравнений Ландау-Лифшица для неизотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 1980, № 8, о.453-457.

10. Бого.шяенский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на шеоти-мернгах алгебрах Ли. ДАН СССР, 1983, т.268, № I, с.П-15.

11. Бого.шяенский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах .Ни, возникающие в задачах математической физики. Изв. АН СССР, сер.мат., 1984, т.48, № 5, с.883-938.

12. Бори зов А.Б. Многосолитонные решения уравнений неизотропного магнетика. ФММ, 1983, т.55, № 2, с.230-234.

13. Боровик А.Е., Робук В.Н. Линейные псевдопотенциалы и законы сохранения для уравнения Лаццау-Лифшица, описывавшего нелинейную динамику ферромагнетика о одноосной анизотропией. -ШФ, 1982, т.46, № 3, с.371-381.

14. Буллаф Р., Кодри Ф.(ред.) Солитоны. М.:Мир, 1983.

15. Весатов А.П. Конечнозонные потенциалы и интегрируемые системы на сфере о квадратичным потенциалом. Функц.анализ, 1980, т.14, № I, с.48-50.

16. Весаяов А.П. Уравнение Лавдау-Лифшица и интегрируемые сиоте-мы классической механики. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 5,с.1094-1097.

17. Весетов А.П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на80(4^ . ДАН СССР, 1983, т.270, №. 6, с.1298-1300.

18. Весеиов А.П. Кноидальные решения уравнения Ландау-Лифшица для ,№ухподрешеточного магнетика. ДАН СССР, 1984, т.276, № 3, с.590-593.

19. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: 1Лир, 1982.

20. Дубрэвин Б.А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, свя> заннае с матричными операторами, и абелевы многообразия.

21. Фукнц. анализ, 1977, т.II, tè 4, с.28-41.

22. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. УМН, 1981, т.36, № 2, с.11-80.

23. Дубровин В.А. Матричные конечнозонные операторы. В сб. : Современные проблемы математики ВИНИТИ, 1983, т.23, с.33-78.

24. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения гипа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, т.31, & I, с.55-136.

25. Дубровин Б. А., Натанзон С.М. Вещественные двух зонные решения уравнения sine-Gordon . Функц. анализ, 1982, т.16, № I, с.27-43.

26. Епеозский В.М., Кулагин Н.Е. О новых случаях интегрируемости уравнений Ландау-Лифшица. ЖЭТФ, 1983, т.84, № 2, о.616-628.

27. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский ЛЛ.

28. Теория солитонов: метод обратной задачи. М. : Наука, 1980.

29. Заха.юв В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравненийматематической физики методом обратной задачи рассеяния. П.

30. Фушсц, анализ, 1979, т.13, Jé 3, с. 13-22.

31. Итс А.Р. Теорема Лиувилля и метод обратной задачи. Зап. научи, семин.ЛОМИ , 1984, т.133, с.ПЗ-125.

32. Коселич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейные волны намагнвченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Науксва дутлка, 1983.

33. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нели-нейнвх уравнений. УМН, 1977, т.32, № 6, с.180-208.

34. Кричевер И.М. Нелинейные уравнения и эллиптические кривые. -В сб.: Современные проблемы математики ВИНИТИ, 1983, т.23,с.79-136.

35. Кричевер И.М., Новиков С.П. Голоморфные расслоения над ал-гебргическими кривыми и нелинейные уравнения. УМН, 1980. т.35, № 6, с.47-68.

36. Ландгу Л.Д., Лифшиц Е.М. К теории .дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. В кн.: Ландау Л.Д. Собр.трудов je 2-х т. М.: Наука, 1969, т.1, с.128-143.

37. Манашв C.B. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динакики Ы -мерного твердого тела. Функц. анализ, 1976, т.10, № 4, с.93-94.

38. Маркзшевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М.: Наука, 1979.

39. Новшшв С.П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фризе. Функц. анализ, 1974, т.8, № 3, с.54-66.

40. Новшсов С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. УМН, 1982, т.37, № 5, с.3-49.

41. Новиг-ов С.П., Пкельцер Й. Периодические решения уравнений Кирхгофа свободного движения твердого тела в идеальной жидкости и расширенная теория Люстершша-Шнирельмана-Морса (ЛПМ) I. Функц. анализ, 1981, т.15, № 3, с.54-66.

42. Переломов A.M. Несколько замечаний об интегрируемости уравнений. движения твердого тела в идеальной жидкости. Функц.анализ, 1981, т.15, № 2, о.83-85.

43. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механикии алгебры Ли. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Препринт ИТЭФ-147, Москва: ИТЭФ, 1983.

44. Решетихин Н.Ю., Фадеев Л.Д. Гамильтоновы структуры для интегрируемых моделей теории поля. ТМФ, 1983, т.56, № 3, о. 32 $-343.

45. Стек лова В.А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893.

46. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи и XY2. модель Гейзенберга. УМН, 1979. т.34, № 5,0.13-63.

47. Чередник И.В. Об интегрируемости двумерного асимметричного щраяьного 0(5) поля и его квантового аналога. Ядерная физика, 1981, т.33, № I, с.278-281.

48. Чередник И.В. О решениях алгебраического типа асимметричных дифференциальных уравнений. Функц. анализ, 1981, т. 15, й 3, с. 93-94.

49. Чередник И.В. О регулярности "конечнозонных" решений интегрируемых матричных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1982, т.266, № 3, с.593-597.

50. Чередник И.В. Интегрируемые дифференциальные уравнения и накрытия эллиптических кривых. Изв. АН СССР, сер.мат., 1983, т.47, В 2, с.384-406.

51. Adl„er Н yan Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian systems. Jacobi varieties and representation theory. Adv.Math., 1980, 38, II 3, p.318-379.

52. Adlei- M., van Moerbeke P. The algebraic integrabolity of geodesic flow on SO(4). Invent.Math., 1982, 67, N 2, p.297-331.

53. Bikbaev R.F., Bobenko A.I. On finite-gap integration of the Landau-Lifshitz equation. XYZ case. LOMI, preprint E-8-83, Leningrad, 1983.

54. Bogoyavlenskii 0.1. Integrable Euler Equations on SO(4) and their Physical Applications. Commun.Math.Phys., 1984, 93, p.41 7-436.

55. Clebsch C. Über die Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit. Math.Annalen, 1871, 3, p.238-257.

56. Date E., Jimbo M., Kashiwara M., Miwa T. Landau-Lifshitz equation: solitons, quasi-periodic solutions and infinite dimensional Lie algebras. Preprint RIMS, 395, Kyoto: RIMS, 1982.

57. Farkcis H.M., Kra I. Riemann surfaces. Springer-Verlag, 1980.

58. Fay Theta Functions on Riemann Surfaces. Lect.Notes in Math. 352, Springer-Verlag, 1973.

59. Gardr.er G., Green J., Kruskal M. , Miura R. A method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys.Rev. Lett., 1967,v.19, p. 1095-1098 .

60. Haine L. Geodesic Flow on S0(A)and Abelian Surfaces. Math Annalen, 1983, 263, p.435-472.

61. Jimbo M., Miwa T., Ueno K. Monodromy preserving deformations of the linear differential equations with the rational coefficients. I. Preprint RIMS, 319, Kyoto: RIMS, 1980.

62. Jimbo M., Miwa T. Monodromy preserving deformations of the linear differential equations with the rational coefficients. IE . Preprint RIMS, 327, Kyoto: RIMS, 1980.

63. Kalnins E.G., Miller W.(jr.), P.Winternitz. The group O(A) , separation of variables and the hydrogen atom. SIAM Journ. Appl. Math., 1976, v 30, N 4, p.630-664.

64. Kötter F. Ueber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. J.reine u. angew.Math., 1892, 109, p.51-81.

65. Kötter F. Die von Steklow und Liapunow entdeckten integrablen Fälla der Bewegung eines Starren Körpers in einer Flüssigkeit. Sitrungsber.Königlich Preussischen Acad. Wissenschaften zu Berl:.n, 1900, 6, p. 79-87.

66. Lamb G.L.Jr. Analytical Description of Ultrashort Optical Pulse Propagation in a Resonant Medium Rev.Mod.Phys., 1971, v.43, N 2, p.99-124.

67. Matveev V.B. Abelian-functions and solitons. Preprint University of Wroclaw, N 373, Wroclaw: 1976.

68. Moser J. Geometry of quadratics and spectral theory. In: The Chern Symposium 1979, pp.14 7-188, Springer, 1980.

69. Mikhailov A.V. The Landau-Lifshitz equation and the Riemann boundary problem on a torus. Phys.Lett., 1982, V.92A, N 2, p.51-55.

70. Neumann C. De problemate quodam mechanico, quod ad proman intedralium ultraellipticorum classem revacatur.- Journ.fur die reine u.angew Math., 1859, 56, p.46-63.

71. Rod.Ln Yu.L. The Riemann boundary problem on a torus and the inverse scattering problem for the Landau-Lifshitz equation. Leti:. Math. Phy s ., 1983, v.7, p.3-8.

72. Sklyanin E.K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation. LOMI, preprint E-3-79, Leningrad: LOMI, 1979.