Алгебраические методы в теории интегрируемых уравнений Клейна-Гордона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах -рукописи

БРЕЖНЕВ Юрий Владимирович

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Специальность 01.04.02 -теоретическая физика

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Лебле С.Б.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Калининград 1997

Оглавление

Введение 4

1 Уравнение sine-Gordon 17

§ 1.1 Уравнение sine-Gordon в теории крупномасштабных волн

Россби .............................................................17

§ 1.2 Теорема алгебраической суперпозиции..................................22

§ 1.3 Солитоны на эллиптическом фоне............................................25

§ 1.4 Позитоны уравнения sine-Gordon...........................................29

2 Уравнение Uxi = еи - e~2U М

§2.1 Предварительные сведения............................................................34

§ 2.2 Преобразование Дарбу и 2-фазный солитон........................37

§ 2.3 Суперпозиция солитона и эллиптического периодического решения ..............................................................................40

§ 2.4 Теорема суперпозиции......................................46

3 Алгебраические методы 50

§ 3.1 Алгебраическая трактовка метода Эрмита............................50

§3.2 Интегрируемые потенциалы для спектральной задачи

3-го порядка..........................................................................................58

§ 3.3 Функция Эрмита................................................................................67

§ 3.4 Базисы Гробнера и теорема суперпозиции для уравнения Цицейки........................................................................................75

Приложение А 80

§ А.1 Стандартная теория мономов. Базисы Гробнера................80

Приложение В 84

§ В.1 Графики решений..............................................................................84

Литература 91

Введение

Открытие в конце 60-х начале 70-х годов метода обратной задачи рассеяния МОЗР для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало замечательным не только тем, что появился новый класс уравнений, важных с физической точки зрения и допускающих точные решения. Он привлекателен своими глубокими связями с различными разделами математики на первый взгляд не имеющих отношения к проблемам интегрирования дифференциальных уравнений: спектральная теория операторов, группы Ли, теория рассеяния, дифференциальная алгебра и др. Такие уравнения стали называться интегрируемыми МОЗР или просто интегрируемыми [1]. Этот факт придал МОЗР алгоритмическую эффективность и позволил ему быстро проникнуть в прикладную теоретическую физику. Так, солитонные решения, как простейшие решения этих уравнений давно нашли приложения в гидродинамике (в различных аспектах), нелинейной оптике, сверхпроводимости, физике плазмы, твердого тела и др. Это объясняется как разработанностью метода, так и его вычислительной эффективностью - получающиеся решения убывают на бесконечности, выражаются в элементарных функциях и легко анализируются.

Как известно, МОЗР требует, чтобы потенциалы были быстроубы-вающими. Это условие является достаточно жестким. В противном случае, как показывают исследования, требуется существенное развитие и модификация самого МОЗР. Помимо него был разработан ряд других методов получения солитонных и близких к ним решений. Поскольку эти методы не используют аппарат прямой и обратной задачи рассеяния их принято называть прямыми методами. К ним относятся метод билинейных форм Хироты, преобразования Бэ-клунда (ПБ) [2], преобразования Дарбу (ПД) [3], схема одевания Эахарова-Шабатр. И хотя все они в той или иной степени эквивалентны, метод ПД отличается из них наибольшей простотой и от/г* ед

сутствием специальной техники, неоЬходимой, например в методе

Хироты, и ограничений на затравочные потенциалы. Решения в элементарных функциях всех известных типов наиболее легко могут быть получены методом ПД. В самом деле, почти все элементарные решения интегрируемых нелинейных уравнений, отличные от соли-тонных, первоначально были получены в рамках прямых методов. К этим решениям относятся алгебраические солитоны [4, 5, б, 7] и по-зитоны, недавно открытые В.Б.Матвеевым [9]. Как ни удивительно, несмотря на большую эффективность метода ПД, до сих пор не было предпринято попыток "одевания" нетривиальных затравочных решений. Этот факт не нашел отражения даже в специальной монографии [3]. Солитоны и близкие к ним решения более менее без труда могут быть получены и в рамках других прямых методов. Трудности в них начинаются именно с нетривиальных решений. Практически все стационарные решения интегрируемых нелинейных уравнений выражаются в эллиптических функциях. Естественно было бы предпринять такую попытку и установить связь получаемых интегрируемых потенциалов с классическими потенциалами типа потенциалов Ламе. Такие решения принято называть солитонами на эллиптическом фоне. Несмотря на то, что эта идея лежит на поверхности, единственным примером где строились такие решения являлась до недавнего времени работа Кузнецова Е.А. и Михайлова A.B. [8]. Способ, которым авторы получают их, представлял существенную модификацию МОЗР (схема Шабата) и является достаточно громоздким. Несмотря на наличие многих сопутствующих формул, окончательный вид решения так и не приводится, хотя формулы были бы достаточно компактны. Сравнительно недавно такие решения (в рамках преобразований Бэклунда) появились для эллиптического варианта уравнения sine-Gordon, но как и свойственно этому методу, решение и используемая техника не отличается прозрачностью [10, И]. Не понятно как модифицировать этот подход для других интегрируемых уравнений. Если использовать ПД то все проблемы попросту исчезают и остается одна - явное интегрирование [L-А]-пары. Как показывает опыт (автор проделывал эту процедуру для уравнения Кортевега-де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза, урав-

нений sine-Gordon, Цицейки, Савада-Котера, нелинейного уравнения Шредингера и системы Манакова) это интегрирование однотипно, не требует дополнительных средств, поскольку сводится к интегрированию простых классических потенциалов в спектральных задачах, определяемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. К этому стоит добавить, что во многих интересных случаях решения получаемые таким способом являются пока единственными из известных нетривиальных.

Одним из самых интересных следствий стало обобщение задачи интегрирования этого класса уравнений в случае периодических и ква,зипериодических решений. Если рассматриваемый период устремить к бесконечности, то мы попадаем в рамки собственно теории солитонов. Оказалось, что наиболее интересными свойствами обладают те решения интегрируемых уравнений, для которых спектр ассоциированной спектральной задачи имеет зонную структуру с конечным числом лакун. Здесь, как и в МОЗР, термин интегрируемость понимается не в смысле наличия общего интеграла уравнения (подобно уравнению Лиувилля), а в смысле возможности представить исследуемое нелинейное дифференциальное уравнение как условие совместности (интегрируемости) системы линейных дифференциальных уравнений относительно новой векторно-значной функции (Ф-функции)

' Ф* = U(xyt; Л) Ф

(0.1)

Цгх = V{x>t\ Л) Ф

или в геометрической интерпретации, представления нулевой кривизны.

В середине 70-х годов выяснилось, что основы и математический аппарат для получения периодических и квазипериодических решений целиком лежит в алгебраической геометрии [12] и теории меро-морфных функций на компактных римановых поверхностях. Теория солитонов является самым простым предельным случаем этой более общей ситуации. В связи с этим, конечнозонными стали называться потенциалы (матрицы J7, V) для которых соответствующая алгебра-

ическая кривая (спектр оператора) имеет конечный род. Естественным термином стало алгебро-геометрическое интегрирование. Идейные основы развиваемой в дальнейшем техники уже имелись к тому времени. Так в 1961 г. Ахиезером Н.й. [13] впервые была обнаружена роль абелевых функций и задачи обращения Якоби в спектральной теории оператора Шредингера

с12

л? -и{х)■

Анализ этой работы позволил Матвееву В.Б. и Итсу А.Р. [14] описать весь класс конечно-зонных потенциалов и выписать их динамику во времени в силу уравнения Кортевега де-Вриза (КдВ)

щ + б и их - иххх = 0. Одновременно стала ясна универсальность формулы для Ф-функции

как однозначной мероморфной на компактной римановой поверхности конечного рода функции с существенной особенностью заданного вида. Метод, таким образом, стал универсальным и именуется сейчас как аксиоматика функции Бейкера-Ахиезера. Несмотря на то, что эта деятельность оформилась в отдельное направление, со своими ответвлениями, с прикладной точки зрения, алгебро-геометрические решения значительно уступают солитонным. Причина состоит в их сложности - во всех случаях решения выражаются не в элементарных функциях, а через многомерную ©-функцию компактной римановой поверхности фигурирующей в формуле (0.2). Хотя явная формула для ©-функции известна (она выражается многомерным рядом Фурье), с вычислительной точки зрения, это очень сложный объект. Параметры ряда определяются по периодам абелевых интегралов 1-го рода, а Ш - периоды абелевого интеграла 2-го рода О(Р). Только в особых ситуациях ©-функция способна распадаться на более простые и, в частности, на функции Якоби. Для последних известны формулы в виде быстро сходящихся рядов.

С физической же точки зрения, алгебро-геометрические решения нисколько не "хуже" солитонных. Наоборот, их класс значительно шире и часто именно они позволяют описывать новые физические эффекты. Яркий пример тому дает теория сверхпроводящего контакта Джозефсона, построенная на основе интегрируемого уравнения sine-Gordon [15, 16].

Проблема эффективизации общих в-функциональных формул стала основной еще на ранней стадии развития метода. Таковой она остается и сейчас.

Существует несколько направлений, по которым как предполагается, можно продвинуться в решении этой проблемы. Имеется в виду идеи связанные расщеплением ©-функций высших родов на 0-функции низших родов на основе симметрий алгебраических кривых [17,18,19, 20, 21, 22,23], редукции абелевых интегралов к эллиптическим [24, 25, 26, 27, 28], униформизации автоморфными функциями [29, 30, 31] и др. В конечном счете все указанные направления, за исключением униформизации, нацелены на решение проблемы редукции общей О-функции рода д к эллиптическим, т.е. функциям Якоби. Ситуация с g — 2,3 не является исключением. Как известно, в этом случае можно вообще выкинуть риманову поверхность, т.к. любая матрица Л-периодов голоморфных дифференциалов общего положения будет соответствовать некоторой компактной рима-новой поверхности. Первый пример в этом направлении - работа [32] о вещественных 2-зонных решениях уравнения СГ (численное моделирование см. [33]). Однако даже здесь, получающиеся формулы по эффективности значительно уступают решениям с привлечением аппарата эллиптических функций. В общем понятно почему это так - алгебраические кривые рода д = 1 единственные, на сегодняшний день, для которых проблема униформизации решена полностью как с аналитической точки зрения (единственный модуль, дифференциальные уравнения, теоремы сложения, отсутствие специальных дивизоров), так и с вычислительной (0-функции Якоби и особенно так называемые q- формулы Эрмита). Для высших родов ситуация намного сложнее несмотря на известные современные успехи.

До сих пор отсутствует в достаточной мере эффективное решение этой проблемы, которое позволило бы пользоваться униформизиру-ющими функциями как инструментом.

В 1980 г. [34] Кричевером был сделан важный шаг суть которого заключается в следующем. Рассматривать изначально кривые накрывающие не комплексную плоскость, а кривые накрывающие тор - кривую рода 1

Щк, а) = кп + /2(а) кп~2 4- /3(л) кп~3 + ... = 0,

где fi (а) - мероморфные функции на торе. Эта идея была навеяна классическими работами Эрмита, Аль фана [35, 36, 37, 38] по интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами (в современной трактовке - спектральные проблемы) и эллиптическими коэффициентами

dn tP-1

ЬФ = ^ФО; Л) + щ(ж, Л) —Ф(ж; Л) + ... + ип(х, А) Ф(ж; Л) = 0,

х х (0.3)

Как известно, в этих работах не было даже намека на связь с алгебраической геометрией римановых поверхностей и тем более накрытий. Эта связь и была подмечена в работе [34]. Спустя некоторое время Требих и Вердье [39, 40] открыли свои известные эллиптические потенциалы и стало ясно, что в этом направлении можно получать много новых и красивых результатов, что трудно сделать в общих подходах в проблеме редукции. Утвердился термин - "эллиптические солитоны". Новый взгляд на технику интегрирования спектральных задач позволил попутно получать примеры редукции абелевых интегралов к эллиптическим [28, 41] и результаты из чистой алгебраической геометрии. И хотя такой подход ограничен тем, что рассматривается только класс поверхностей накрывающих тор, по количеству конструктивных результатов он покрывает все остальные. С конца 80-х годов и по сегодняшний день здесь было получено большое число точно решаемых задач в основном в работах Энольского В.З. и Смирнова А.О. [77, 79, 81, 82, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 76, 41, 84, 85, 95, 96, 97, 98]. Ко-

личество новых интегрируемых потенциалов увеличилось настолько, что последние работы носят классификационный характер. Под интегрируемым потенциалом мы понимаем функции щ(х) в некоторой спектральной задаче (0.3), для которой можно выписать ее общее решение при произвольном параметре Л. Сразу стоит заметить, что изучаемая проблема имеет 2 основных аспекта: получение интегрируемых потенциалов и динамика данных потенциалов во времени. Вторая проблема намного труднее первой, но в рамках теории эллиптических солитонов в ней тоже имеются достижения. Так для рода д = 2 (уравнение КдВ) как показано в [76] задача сводится к алгебраической (см. также [109]). Алгебраический характер носит и первый аспект.

Разумеется, проблемы формулируеые и решаемые в диссертации не ограничиваются конкретными уравнениями, но мы взяли в качестве основного объекта исследования класс интегрируемых уравнений Клейна-Гордона (КГ)

U* = F(U). (0.4)

Он интересен своей уникальностью, так как содержит всего 3 уравнения: уравнение Лиувилля

U* = еи,

уравнение sine-Gordon

Uxt = 4smU (0.5)

и уравнение

Uxt=eu-e~2u, (0.6)

известное ранее как уравнение Додда-Буллафа.

Первое из них имеет общий интеграл и обычно представляет интерес не само по себе, а тем, что возникает в связи с другими интегрируемыми уравнениями. Второе уравнение по своей универсальности (как физической так и математической) не уступает знаменитому уравнению КдВ. Наиболее интенсивное его иследование приходится на 70-е годы. Оно было одним из первых уравнений для которого были быстро установлены все атрибуты уравнений, называемых

теперь интегрируемыми МОЗР: метод Хироты, преобразования Бэ-клунда, [L-A]-napa, собственно МОЗР, гамильтонова структура и т.д. Если не учитывать математическую сторону возникновения этого уравнения (А.Эннепер, 1870), то первым замечательным примером возникновения и приложения его в физике явилась работа [45] по аналитическому описанию распространения ультракороткого оптического импульса в резонансной среде. В последствии, число областей, где возникало это уравнение как модельное, описывающее поведение различных физических процессов, существено увеличилось. Подробная библиография по приложениям имеется в монографиях [43, 44]. Известно приложение эллиптического варианта уравнения СГ в статистической физике [120].

Уравнение (0.6) имеет меньшее число физических приложений. Единственное из известных, это работа Капцова О.В. [119], в которой численно (для этого уравнения) изучались профили стационарных течений несжимаемой идеальной жидкости. Тем не менее эллиптический вариант этого уравнения

Uхх "Ь Uyy — е е

обнаружил интересные свойства. Существование двумерной (бесконечной) цепочки замкнутых несингулярных вихреобразованжй, расположенных в шахматном порядке. Как показывает опыт, для уравнения СГ в эллиптическом варианте таких решений пока не обнаружено [11]. Отметим также, что все 3 уравнения представляют большой интерес как точно решаемые нетривиальные нелинейные Лоренц-ковариантные скалярные модели теории поля.

Как уже отмечалось, связь с различной математикой (в частности с чисто алгебраическими манипуляциями) свойствена всем интегри-румым уравнениям. Это обнаруживается как на элементарном уровне (теоремы суперпозиции, ПБ) так и в более сложных аспектах. Мы имеем в виду алгебраический характер метода Эрмита-Кричевера. Если для уравнения СГ алгебраическая суперпозшда давно известна (мы даем ее самое общее эффективное решение), то для уравнения (0.6) это вовсе нетривиальный факт. В связи с этим можно поставить

общую задачу: как получать формулы алгебраической суперпозиции для нелинейных интегрируемых уравнений вообще? Оказалось, что эта про