Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□03465169 На правах рукописи

МУРТАЗИНА Регина Димовна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2009

003465169

Работа выполнена в Уфимском государственной авиационном

техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жибер Анатолий Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович; доктор физико-математических наук, профессор Голубчик Игорь Захарович.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт механики Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 23 апреля 2009 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д-002.057.01 при Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан ■{3 марта 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры высших симметрии в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений симметрийным методом1, важный вклад в развитие которого внесла уфимская математическая школа профессора Шабата А.Б. Симметрийный подход является эффективным при исследовании уравнений эволюционного типа. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные технические трудности. Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место. С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой - они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.

В 1981 г. Шабатом А.Б., Ямиловым Р.И.2 был предложен новый подход к классификации, основанный на понятии характеристической алгебры Ли. Авторы показали, что для экспоненциальных систем

= expelí1 + ... + ainun), i = 1,2,..., n

характеристическая алгебра Ли конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты o¿j определяют матрицу Картана простой алгебры Ли К = ||a¿j||. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б.3 в 1982 г. для гиперболических систем уравнений

0~0и{ = Р{и\...,иг), i — 1,..., г

выдвинули гипотезу о том, что условием полной интегрируемости в квадратурах этих уравнений является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением

DW = 0, W = W(ux,uxx,...)

'Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой Ц Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-U07.

Ибрагимов Н. X., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. - 1980. - Т. 14. - № 1. - С. 25 - 36.

Sokolov V.V., Shabat А.В. Classification of integrable evolution equation // N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C. 4. - 1984. - P. 221-280.

Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. - 1987. - Т. 42. - № 4. -С. 3 - 53.

2Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт Б ФАН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с. •

3Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 22.

(характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обрати ной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х.4 в 1991 году обобщили понятие характеристической алгебры Ли для квадратичных систем уравнений

< = c)ku]vk + 4v\ vky = + d)u\ (1)

i = 1,2,..., n, ¿ = l,2,...,n

и применили ее для вычисления высших симметрии уравнений Лиувилля, синус-Гордона, Цицейки:

Uxy = ^ i Иху —• в -f* е , иху — е с

Основной результат диссертационной работы Бормисова А. А.5 является доказательство того факта, что две характеристические алгебры А, А уравнений гиперболического типа (1) естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L — A пары) для системы (1). В настоящее время понятие характеристической алгебры применяется для классификации интегрируемых дифференциально-разностных уравнений в работах Хабибуллина И.Т.6

Применение понятия характеристической алгебры Ли для классификации нелинейных гиперболических уравнений с правой частью общего вида является актуальной задачей.

Цель и задачи исследования. Работа посвящена применению подхода, основанного на исследовании структуры характеристической алгебры Ли для решения задачи классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений, а также описанию характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордона и алгебры высших симметрий модифицированного уравнения сииус-Гордона, доказательству критерия интегрируемости по Дарбу.

Основные методы исследования. Полученные автором результаты базируются на применении классических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории ин-

11 Жибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры Ц Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. -1991. - С. 14 - 32.

5Бормисов А.А. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Стерлитамак.: СГПИ. - 2002. - 74 с.

°Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 151. - № 3. - С.413-423.

Ilabibullin I.T. Characteriatic algebras of jully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Intcgrability Geom.: Methods Appl. - 2005. - V. 1. - Paper 023 - 9 pages.

Habibullin I.T., Zheltukhina N.f Pekcan A. Qn the classification of Darbovx integrable chaina - J. Math. Phys. - 2008. - V. 49. - № 10. (40 pages)

тегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1.Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны х- и ^-преобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа п = 0,1,... конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна.

2. Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли.

3. Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Приведены преобразования Бек-лунда этих уравнений.

4. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли.

5. Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй "медленного"роста.

6. Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекурренции, определяющий алгебру симметрий этого уравнения.

7. Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, при классификации интегрируемых уравнений, построении высших симметрий и точных решений.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались:

/ на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, октябрь 2004 г.); / на ХЫП международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2005 г.);

/ на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров A.B. Жи-бера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2005 г., 2006 г.);

/ на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, май 2006 г.);

/ на международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Якты-Куль, декабрь 2006 г., декабрь 2008 г.); / на 38, 39, 40-ой региональных молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, январь 2006 г., январь 2008 г., январь 2009 г.);

/ на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, май 2007 г.); / на Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, июнь 2007 г.);

/ на Школе молодых ученых Отдела математики РФФИ (Карачаевск, октябрь 2007 г.);

/ на международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения C.J1. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008 г.); / на научном семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, декабрь 2008 г.);

/ на научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессора JI.A. Калякина и профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, декабрь 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 работ, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [4], [5], [6], [10] опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК. Из совместных работ в диссертацию включены результаты полученные лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку. Полный объем диссертации - 147 страницы. Библиография содержит 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложен классический метод точного интегрирования линейных гиперболических уравнений

второго порядка (каскадный метод Лапласа), приведено краткое содержание работы по главам и параграфам, проведен краткий обзор литературы.

В первой главе приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу7

Введем понятие характеристической алгебры Ли линейного уравнения

{ша+а(х- у)1х+ь(-х>у)1у+<х>у))и=

Обозначим через пространство локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных х, у, у, VI = ьх, ь2 = ухх, .... На этом классе функций оператор полного дифференцирования по у Б в силу уравнения (2) задается формулой

р _ & & ду1 д _

ду ду дь ду ду\

9 _ д , . 8 ч д = "5- + «1а--(аи1 + + С")---и(аУ1 + Ы)1 + си)---... -

ду оу ду 1 ОУ2

- - ■ * *

-Dk(ayi + bvi + cv)~

дщ+i Здесь щ = уу,

П 9 f г- л 9 9 9

D~ — ~ (av1 + bvi + cv)-—r + ui— + v2— + .... ox dvi av avi

Так как коэффициенты оператора D линейно зависят от переменной Щ, то

Ъ = Х1 + щХ2, (3)

где

д д д Xi = — ~ (av 1 + cv)— - (D(avi + си) - b(avx + со)) --...,

av avi 0V2

Характеристическое уравнение

DW(x, у, v,vu..., vm) = 0 (4)

согласно (3) эквивалентно системе

Х№ = 0, X2W = 0. (5)

7Жибер A.B., Соколов B.B. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа //

УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1(337). - С. 63-106.

С уравнениями (5) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями Х\ и Хч- Эту алгебру А будем называть характеристической алгеброй Ли уравнения (2).'

Обозначим через h{, i — 0, ±1, ±2,... - последовательность высших инвариантов Лапласа уравнения (2). Инварианты /i¿ определяются по реккурент-ной формуле

д2

hi - 2hi-i - /i¿_2 - ^^ ln/i¿_i, i e Z, (6)

где /i0, /t-г инварианты уравнения (2)

да , db

ho — тг + ab — с, /i_x = — + ab — с. ох оу

Алгебра Ли i уравнения

(зд + a~l{x' у)д~х+ b~l{x> у)ду + C-l{x'у)) = (7)

полученного ^-преобразованием Лапласа уравнения (2)

порождается векторными полями

д д д

— - (a_ipi + c-ip)---(í>(a_ipi + c-ip) - b(a-ipi + c_ip)) ---

ОУ OPl ОР2

9 , д n2 , . д др-Ь~^ + {Ь-1~Ь-1х)дР2 + -' Р = Лемма 1.1. Пусть характеристическая алгебра Ли А уравнения (2) конечномерна, т.е. dim.A = п. Тогда размерность характеристической алгебры Ли Л_1 уравнения (7) dimA-j = п — 1.

Основным результатом первого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 1.1. Последовательность /г_п, п = 1,2,... конечна, если и только если размерность характеристической алгебры dimA < оо.

Доказательство теоремы 1.1 основано на утверждении леммы 1.1. Во втором параграфе рассматривается нелинейное гиперболическое уравнение вида

иху = f{x,y,u,ux,uy). (8)

Определение 0.2. Уравнение (8) называется интегрируемым по ДарбгД если существуют функции ш, ш, зависящие от конечного числа переменных

х, у, и, щ = их, и2 = ихх, и3 = иххх,..., , .

Щ = Uy,Ü2 - Uyy,Uз = ит,...

такие, что на решениях уравнения (8) функция ш не зависит от переменной у, а функция ш - от X.

Поскольку определение преобразований и инвариантов Лапласа для линейного уравнения (2) являются чисто алгебраическими и используют только тот факт, что операторы частных производных являются коммутирующими дифференцированиями, они непосредственно обобщаются на случай линеаризованного уравнения

{DD — fu,D — f^D — fu)v = 0, (10)

где дифференцирования D и D записанные как векторные поля, они имеют вид

д ОО л 00 л

о 00 ГЧ ОО д

Главные инварианты уравнения (10) имеют вид

Н0 = -D + fu¡hx + /„, Я_! - -D + fuJUl + /и,

а высшие инварианты определяются по формулам (см. (6))

DD (In Hi) = -Hi+1 - Hi—i + 2Hu i EZ.

Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.2. Нелинейное уравнение (8) интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда последовательность инвариантов Лапласа Нп,п = О, ±1, ±2,... линеаризованного уравнения (10) обрывается с двух сторон.

В третьем параграфе рассматривается задача об описании нелинейных уравнений

иху - f{u, их, иу), qxу = F{q, qx, qy), (11)

8Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal. - Paris: Gauthier-ViUars. - 1896.

V. 1 - 4. - 513 c., 579 c., 512 c., 547 c.

Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. - 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Линеаризация второго нелинейного уравнения (11) имеет вид

{DD — FqiD — F-qiD - Fq)p = 0. (12)

Теорема 3.1. Пусть линеаризованные уравнения (10), (12) связаны х-преобразованием Лапласа. Тогда уравнения (11) преобразуются к одному из следующих видов

«*» = /(«), 9ху = д/'(Г1Ы); (13)

Uxy = f[u,ux), qxy = -—qx + —q, Ч> = 4>{qy,q)\ (14) РдУ Ря,

иху = <р{и)иу + ф(и), qxy = 4>'{i}~1(qy)){q + v{'4>~1{qy))), $ = Ч>\ (15)

иху = f\{ux) + иу, qxy = /i(/f1(gv))(gI + Л_1(?у)); (16)

«41 = Л К u*) + <р{и)иу + 1р(и), qxy = —§f-qx+

+1±-(q + v(H(q,qy))), H = H(q,qy), $> = ip. (1?)

Преобразования Беклунда, связывающие уравнения (13) - (17) задаются следующими формулами

q = их, qy = f(u);

q = ux, qy = f(u,ux); q = ux- fî(u), qy = ф{и); q — ux — и, qy = fi(ux); q — ux — ф(и), qy = /i(u, ux) + ф[и)

соответственно.

Вторая глава посвящена классификации интегрируемых нелинейных уравнений

иху - f(u,ux,uy) (18)

со специальными правыми частями f(u), f(u,ux), f(ux,uy), основанная на исследовании структуры характеристической алгебры Ли. Для уравнения синус-Гордона построен базис характеристической алгебры. Определение 0.3. Функция F = F(u, щ, щ, и2, щ,... ,ип, йп) называется симметрией уравнения (8) если она удовлетворяет определяющему уравнению

DDF = ^-DF + ^-DF + ^-F. (19)

oui oui du

Исследование классификационной задачи основано на следующем утверждении:

Лемма 4.1. Пусть и-решение уравнения (18) и векторные поля 2 и Z имеют вид

СО д

ыг ди

ОО ^

Если [Б, — 0 и [/?, 2] = 0, то I? = 0 и 2 = 0 соответственно.

В четвертом параграфе проведена классификация уравнений Клейна-Гордона

«X» = /(«). (20)

Вычисление высших симметрий Ли-Беклунда уравнения (20) основано на исследовании характеристических уравнений9

Злу = о, бШ = о. (21)

где функции й'ий' зависят от конечного числа переменных (9).

Первое соотношение (21) для уравнения (20) перепишем так: 5иг - +^+• • •) ^=+

которое эквивалентно системе

= 0, = 0. (22)

С уравнениями (22) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями Х\, Х2

00 я я

* = £а"Ся£. х' = Ти <23>

1=1

Пусть Ьп - линейное пространство коммутаторов образующих длины п— 1, п — 2,3,____Например, Ь2 - линейная оболочка векторных полей Х\, Х2, а

'Лезноз А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних симметрии и условил интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С.

10 - 22.

Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 33 - 54.

Жибер A.B., Гурьева А.М. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. - 2005. - Т. 6. - № 2(13). - С. 26 - 34.

Ьз порождается элементом Хз=[Хг, Х2], - коммутаторами Х4ЦХ2, Хз], Х5=[ХЬ Хз] и т.д. Тогда ^-характеристическая алгебра Ли А представима в виде

Í--2

Аналогично вводится у-характеристическая алгебра Ли А уравнения (20)

00

1=2

Ограничение на порядок роста размерности пространств £п = а

именно не более чем на единицу, по крайней мере на первых шагах (п < 6), полностью определяет правую часть уравнения (20) (леммы 4.2 - 4.4). При этом полученный список уравнений совпадает с известным списком интегрируемых уравнений10:

iiXy — е , У'ху — е -Ь е , иХу — е -j- е

В пятом параграфе для уравнения синус-Гордона

иху = е" + е-" (24)

описана структура ж—характеристической алгебры Ли. Введем кратные коммутаторы следующего специального вида

Xtl...in = adu ... adfn lXin, ad¡Y = [Xj,Y],

Тогда линейное пространство £п есть линейная оболочка элементов где ú = 1,2, к — 1,... ,п.

Теорема 5.1. Для уравнения синус-Гордона (24) справедливы равенства

г [2, при п = 2к dlm¿" = (l )При п = =

при этом линейное пространство Ь2к-1 порождается векторным полем Х1...121, a L2k ~ полями Х1...121 и Х2\...ш- Операторы

Х\, Х2, X2i, I3, Y4, Y5l Z5, У6, Y¡, Z?,..., Y2n, У2П+1, ^2n+i, • ■ ■,

где

Уп = Xi^, i\ = ...— in-2 - in = 1, i„_ 1 = 2,

Zn = X^.-ú, ¿2 = ... = in-2 = in = 1, ii= in-i = 2

10Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-1107.

образуют базис характеристической алгебры. В параграфе 6 рассматривается уравнение

Uxy = f{u,Ux), (25)

х- характеристическая алгебра Ли которого порождена образующими (23), а ту-характеристическая алгебра - полями

Показано, что уравнение (25) с у—характеристической алгеброй А размерности два принимает вид

иху = ихА(и).

Если dim .А — 3, то уравнение (25) приводится к одному из следующих

и

иху — А(их), А!—j — A, A — const,

при У4 = Му1 - П = 0;

иху = e-^l + ul при У4 = -ji(Yi - uxYi), У5 = Ci(Yi - uxY3), c\ - const ф 0;

uxy = s(u)ux + ¡3, ¡3 - const ф 0,

при У4 = 0, У5 = 0;

а с x—характеристической алгеброй А размерности два -иху = A(ux)eku, k — const, k ф 0. Введем следующие обозначения:

Y6 = lYhY5], Y7 = [Y2,Y5], Y8 = [Y3,Y5], Y9 = \YuYe], Y10 = [Y2,Y6].

Теорема 6.1. Пусть dim£j = i,i = 2,3,4,5,6 тогда уравнение (25) приводится к виду

иху = s(u)A(ux), s" = 0, А' = 2А2~ + А, A- const. (26)

А

При этом операторы ^4,^6)^8*^10 принимают вид

П = ^(Я-г1,Уз), У6 = -2А2^У5,

У8 = -j{2\их + A)Y7, Yio = 2\2~Y? + Ys. Уравнение (26) при A ^ О сводится к следующему:

иху = s(u)R(ux), s" = 0, (их- R)(R + 2ux)2 = 1. (27)

С точностью до сдвигов имеется два различных случая:

s = 3и и s = 1. В первом случае уравнение (27) связано с уравнением Цицейки

ихУ == е" + е~'2и-

дифференциальной подстановкой7

и — —j 1п(их — Д). (28)

Во втором случае является уравнением лиувиллевского типа и сводится подстановкой (28) к волновому уравнению vxy — 0.

Теорема 6.2. Пусть dim £{ = i, dim £j = j, i,j = 2,3,4. Тогда уравнение (25) сводится к одному из следующих

либо иху = s(u)A(ux), (29)

и

где s" + сзs' + eis = 0, А' - а-~ = A, Ci, сз, а, А - const;

А.

либо иху = А(и)их + В(и), где А" + с3А' + cjA = 0, В" + с3В' + ciB = 0,

— Ф const, С\, Сз — const.

в

Например, при сз = А = 0 уравнение (29) имеет вид

иху — s(u)a/1 + и\, cis + s" = 0, с\ — const. (30)

С точностью до сдвигов и растяжений в (30) имеется три различных решения этого уравнения:

s = sinw, s = u и s = l.

В первом случае уравнение (30) связано с уравнением синус-Гордона дифференциальной подстановкой v — aresin их + и, во втором - подстановкой у = aresin их. В третьем случае (30) является уравнением лиувиллевского типа и сводится подстановкой v = aresin их к волновому уравнению vxy = 0.

А также описаны уравнения (25) с ж— и у—характеристическими алгебрами Ли при dim £i = i, dim £j = j, i = 2,..., 6, j — 2,3,4. В седьмом параграфе рассматривается уравнение

Uxy~ f{Ux,Uy), (31)

характеристическая алгебра Ли которого порождена образующими:

Показано, что уравнение (31) с ж—характеристической алгеброй размерности два принимает вид

иху — иуА{их), а при dim А = 3 приводится к одному из следующих:

иху — аВ(иу), В' — Ц — Р, а, /3 — const] иху = А(их)(аиу +1), а — const.

Теорема 7.1. Если размерность пространств равна i, а пространств £j равна j, i,j — 3,4, то уравнение (31) принимает вид

иху = A(ux)s(uy), = s' - ^ - А2,

Ai — const, i = 1, 2.

При этом Х4 = -^(Хг — иуХз), У4 = ¿(Yi - uxY3).

В восьмом и девятом параграфах главы 3 перечислены уравнения (18) с конечномерной характеристической алгеброй Ли размерности 2, 3, 4, а также уравнения, для которых выполнены условия п < dim.£n < п + 1, т < dim£m<m+l, п,т~ 2,...,6.

Уравнение (18) с характеристической алгеброй Ли А размерности два приводится к виду

A(u, ux)uy,

при этом Х3 = ~Xi (лемма 8.1).

Получен полный список уравнений (18) с характеристической алгеброй размерности три (лемма 8.2). Приведем одно уравнение из этого списка

1 U U

Uxy = -p(ux)r{uy)' р' + — = A, r'+-rr = A, A - const, А ф 0. и р г

Теорема 9.1. Размерность пространства £i, порожденного операторами длины, 1, 2 и 3, равна четырем тогда и только тогда, когда

Xi + c^Xi - uyXz) + с2Х5 = 0

и выполняется одно из следующих соотношений для правой части уравнения (18): либо

f ~с(их J %tduy + б), ¡5», + ^ = л, В = В(и,их), с = с(и, Uy),

где ci = С2 — 0, 5, А — const, с

либо функция f удовлетворяет соотношениям

(32)

/и "Ь /«,/uj, Uyfuuv f fnt-uv ~ cfuyUy — 0, Dic) - c/u„ - K/u + //uj =0, с = c(u, Uy),

где ci = 0, c2 — c2 ф 0.

с

(33)

Рассматривая ^-характеристическую алгебру Ли, получим "симметричный" вариант (теорема 9.2.).

При выполнении условия (32) и аналогичного условия из симметричной теоремы 9.2 уравнение (18) приводится к виду:

uxy = K(u)L(ux)B(uy), V + >7 = A, 54i(j)=A, (34)

где А, \,г),8 — const (лемма 9.1).

Если размерность характеристической алгебры А равна четырем, то функция К уравнения (34) удовлетворяет соотношению (лемма 9.2)

'ICY г,2

— I = кК , к — const.

Пусть dim £5 = 5. Если dim £5 = 6, то уравнение (34) точечной заменой приводится к виду

иху - К(и)Ь(ихуВ(иу), К" - 2KIC - 4К3 = 0, (их -L)(L + 2их)2 = 1, (иу -В){В + 2иу)2 = 1

которое связано с уравнением Цицейки vxy — ev + e~2v дифференциальной подстановкой

« = ~ 1п(иг - L) - ~ In(иу ~В) + Р(и),

где функция Р(и) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения

Р72 - 2КР - Ш' - 2К2 = 0.

16

В десятом параграфе более подробно рассматривается уравнение (18) со специальной правой частью вида

/(и, их, щ) = К(и)1(их)В{щ), (35)

которая удовлетворяет соотношениям (33) теоремы 9.1.

Лемма 10.1. Уравнение (18) с правой частью (35), удовлетворяющей системе (33), приводится к виду

= = К2. (36)

Уравнение (36) является уравнением типа Лиувилля и размерность его характеристической алгебры равна трем.

В параграфе 11 рассматривается уравнение (34), для которого линейное пространство Ь§ порождено двумя образующими Хд, Хд, т.е. сНт.£б — 7, при условии, что А = А = О

/\ I

иху = К (и) ^l-ul^/1-Ц. (37)

Введем операторы „длины" 6:

Хю = [Хг, Xs] = -Xu = [^1,-^8].

Х12 ~ [Хг, Xg], Х13 = [Xi, Xg]

и положим: s(u) = К (и).

Теорема 11.1. Пусть размерность пространства £7 для уравнения (37) равна девяти. Тогда

Xn = —3ss'ui(X\ - щХ3) + (3s2 + [i)uiX5 + —=2X9.

1 и^

А функция s удовлетворяет соотношению вида

s" - 2s3 - [is = 0, (i- const. (38)

Отметим, что модифицированное уравнение синус-Гордона (37), (38) (мСГ) в значительно более громоздкой форме впервые возникло в работе • A.B. Борисова, С. А. Зыкова11. Последнее заменой7

v = aresin их + aresin иу + Р{и), Р'2 = 2 К' — 2 К2 — д,

11Борисов A.B., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. - 1Э98. - Т. 115. - № 2. - С. 193-214.

сводится к уравнению синус-Гордона.

В двенадцатом параграфе рассмотрено применение характеристической алгебры для описания высших симметрий для уравнения мСГ. В терминах образующих характеристической алгебры построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка, обратный к последнему является оператором рекуррен-ции.

Характеристическая алгебра уравнения мСГ порождена образующими

д о*2_ д , д , . , гциг. д

X = — - в Ьи-у— + ..., У = зЬ~ + (¿щЪ - + ...,

аи ощ ащ о ди%

где Ь = а/1 ~ и1-

Теорема 12.1. Дифференциальный оператор

У2 + 52

переводит высшие симметрии порядка п в симметрии порядка п — 2. Оператор рекурренции

Ч-Эй/«2 - эв' + Лп2) + 52 + Аи2

определяет алгебру симметрий уравнения мСГ.

В случае, если я72 — йэ" + а4 = 0, то уравнение мСГ точечной заменой приводится к виду _

= (39)

Это уравнение является интегрируемым по Дарбу12. Для уравнения (39) построен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии. Теорема 12.2. Оператор

-У+ «1

симметрию Р переводит в интеграл ]¥ уравнения (39). А оператор

МГНЧ;

интеграл - в симметрию.

12Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий 11 Изв.

РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - К» 4. - С. 33 - 54.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна - Гордона // Межвузовский научный сборник, УГАТУ. -2004. - С. 131 - 144.

[2] Муртазина Р.Д. Векторные поля интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений // IV Региональная школа- конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Материалы конференции. - Уфа. - 2004. - С. 15.

[3] Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических уравнений // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ. - 2005. - С. 39 - 40.

[4] Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли интегрируемых уравнений Клейна-Гордона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: ОПиПМ. - 2006. - Т. 13. -ДО 3. - С. 525-526.

[5] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. - 2006. - Т. 7. - ДО 2. - С. 131 - 136.

[6] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения Uxy = f(u,ux) // ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. - 2006. - Т. 12. - ДО 7. - С. 65-78.

[7] Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях иху — f(u,ux,uy) II Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2007. - С. 174 - 178.

[8] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Интегрируемые гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: Материалы международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского. Москва: МГУ. - 2007. - С. 348-349.

[9] Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с конечномерной алгеброй Ли // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. - 2007. - Т. 2. - С. 50-51.

[10] Муртазина Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. - 2007. - Т. 13. - № 4. - С. 102 - 117.

[11] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2008. - С. 118 - 122.

[12] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Уравнения, интегрируемые по Дарбу и преобразования Лапласа // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева: "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений". Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН. - 2008. - С. 135.

[13] Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008 - № 1. - С. 84 - 92.

[14] Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли и симметрии уравнения мСГ // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - № 1. - С. 156 - 164.

МУРТАЗИНА Регина Димовна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 18.03.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,25. Усл. кр. -отт. 1,25. Уч. -изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 65.

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 45000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

Введение

Глава 1. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры

§1. Линейные гиперболические уравнения.

§2. Критерий интегрируемости нелинейных гиперболических уравнений по Дарбу.

§3. Преобразования Лапласа и Беклунда.

Глава 2. Нелинейные гиперболические уравнения со специальной правой частью

§4. Уравнение Клейна-Гордона.

§5. Базис характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордон

§6. Уравнение иху = f(u, их)

§7. Уравнение иху = f(ux, иу).

Глава 3. Гиперболические уравнения иху = f(u,ux,uy)

§8. Нелинейные уравнения с конечномерной характеристической алгеброй.

§9. Условия медленного роста характеристической алгебры Ли

§10. Уравнение иху = K(u)L(ux)B(uy)

§11. Анализ пространств Lg и L7 при dim Lg = dim L7 =

§12. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона . 129 Заключение

Теория алгебр Ли выросла из классической теории непрерывных групп преобразований (вторая половина XIX века), основателем которой считается норвежский математик Софус Ли (см. [7, 8]). Основным результатом является сведение "локальных" задач (исследование локальных свойств), относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, то есть к чисто алгебраическим объектам. Наиболее эффективным приложением групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений (см. [29, 30, 44, 45]).

Существенные достижения в области группового анализа были получены Л.В. Овсянниковым и его школой с 50-х годов XX века [44] который показал разнообразные и плодотворные применения группового анализа в механике жидкости и газа. С использованием теоремы Ли Н.Х. Ибрагимов, В.А. Байков, Р.К. Газизов (см. [3, 50, 52]) получили инфинитезимальное описание приближенных групп преобразований и доказали критерий приближенной инвариантности. Метод обратной задачи рассеяния (см. [1, 27]) позволил проинтегрировать важные для приложений дифференциальные уравнения, обладающие широкой группой симметрий (см. [29]). Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры симметрий в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений на основе "симметрийного" подхода (см. [2, 12, 25, 26, 28, 31, 35, 36, 57]), важный вклад в развитие которого внесла математическая школа профессора А.Б. Шабата. Первые классификационные результаты, относящиеся к уравнениям эволюционного типа, были получены совместно Н.Х. Ибрагимовым и A.B. Шабатом на основе теории формальных групп Ли-Беклунда.

Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место. С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой - они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.

Симметрийный подход является эффективным при исследовании эволюционных уравнений. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные трудности технического и принципиального характера.

В данной диссертационной работе для решения задачи классификации интегрируемых уравнений иху = f(u,ux,uy) (0.1) используется подход, основанный на исследовании структуры так называемой "характеристической" алгебры.

Определение 0.1. Алгебра Ли - это векторное пространство L с билинейной операцией

-, .] : LxL^L, называемой скобкой Ли (коммутатором) алгебры L и удовлетворяющей следующим аксиомам: а) билинейность: г> + cu, w] = [v, w] + c[u, u>], b) кососимметричность: v,w] = ~[w,v\; c) тождество Якоби u, v],w] 4- + [{v,w],u} = 0, для всех u, v, w из L.

Впервые понятие характеристической алгебры было введено A.B. Ша-батом и Р.И. Ямиловым [48] для экспоненциальных систем вида ulxy — exp^in1 + . + ainun), г = 1, 2,., п. (0.2)

Было показано, что характеристическая алгебра Ли системы (0.2) конечномерна тогда и только тогда, когда К = {ац) - матрица Картана простой алгебры Ли.

А.Н. Лезновым, В.Г. Смирновым и A.B. Шабатом в работе "Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем" [33] для гиперболических систем уравнений

DDu1 = F\ul,., ur), i = 1,., г. (0.3) показано, что условием полной интегрируемости в квадратурах уравнений (0.3) является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением

DW = 0, W = W(ux,uxx,.-.) характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры.

В работе A.B. Жибера и Ф.Х. Мукминова "Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры" [14] метод исследования интегрируемости, основанный на изучении характеристических алгебр Ли, используется для систем гиперболических уравнений вида

4 = c)kujvk + 4v\ = dflUjvl + djUj, (0.4) i = 1, 2,., n, к = 1, 2,., п. Например, уравнение Лиувилля zxy = ez можно записать в виде: их — uv, vy — и (г = к = 1, и = и1 — ez, v = v1 = zx).

Показано, что система уравнений (0.4) обладает не одной, а двумя характеристическими алгебрами А, А и эти алгебры естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли (см. также [6]) на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L — А пары) для системы (0.4).

В работе И.Т. Хабибуллина [54] понятие характеристической алгебры было обобщено на дискретные модели и на этой основе в работе [47] была проведена частичная классификация цепочек. В работе [55] авторами получен полный список цепочек вида hx = tx + d(t,t1), (0.5) допускающих нетривиальные rc-интегралы. Проблема существования п-интегралов для цепочки (0.5) остается открытой.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем: Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны х- и ^/-преобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа к-п, п = 0,1,. конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна. Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли. Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Приведены преобразования Беклунда этих уравнений. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли. Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй "медленного"роста. Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекуррен-ции, определяющий алгебру симметрий этого уравнения. Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.

Заключение

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир.- 1987.

2. Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика.- 2000. Т. 125. - № 3. - С. 355 - 424.

3. Банков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29. -№ 10. - С. 1712 - 1732.

4. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. 1998. - Т. 115.- № 2. С. 199-214.

5. Борисов А.Б., Зыков С. А., Павлов М.В. Уравнение Цицейки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений // ТМФ. 2002. -Т. 131. - № 1. - С. 126-134.

6. Бормисов A.A. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Стерлитамак.: СГПИ. 2002. - 74 с.

7. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Москва: Мир. - 1972. - 334 с.

8. Джекобсон Н. Алгебры Ли. Москва: Мир. - 1964. - 355 с.

9. Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 33 - 54.

10. Жибер A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. - 192 с.

11. Жибер A.B., Гурьева A.M. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений ]/ Вестник УГАТУ.2005. Т. 6. - № 2(13). - С. 26 - 34.

12. Жибер A.B., Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Уравнения типа Ли-увилля // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 249. - № 1. -С. 26 - 29.

13. Жибер A.B., Костригина О.С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды Института Механики УНЦ РАН. 2007. - № 5. - С. 195-201.

14. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991. -С. 14 - 32.

15. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. 2008. -С. 118 - 122.

16. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна Гордона // Межвузовский научный сборник, УГА-ТУ. - 2004. - С. 131 - 144.

17. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. 2006. - Т. 7. - № 2. - С. 131 - 136.

18. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. 2008 - № 1. - С. 84 - 92.

19. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху ~ f(u,ux) // ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. - Т. 12. - № 7. - С. 65-78.

20. Жибер A.B., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики иуправления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. - 1995. - N2 2. -С. 51 - 65.

21. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. - Т. 56. - № 1(337).- С. 63-106.

22. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995.- Т. 343. № 6. - С. 746 - 748.

23. Жибер A.B., Шабат A.B. Системы уравнений их = p(u,v), vy = q(u, v) обладающие симметриями // Доклады АН СССР. 1984.- Т. 277. № 1. - С. 29 - 33.

24. Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-1107.

25. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука. - 1980. - 290 с.

26. Звягин М.Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Беклунда к zxy = 0 // Доклады АН СССР. 1991. - 316. - № 1.- С. 36 40.

27. Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике.- Москва: Наука. 1983. - 280 с.

28. Ибрагимов H. X. Опыт группового анализа обыкновенных диффрен-циальных уравнений. — Москва: Знание. 1991. - 47 с.

29. Ибрагимов Н. X., Шабат A.B. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. 1980. - Т. 14. - № 1. - С. 25 - 36.

30. Кузнецова М.Н. Симметрии уравнения эллиптического синуса // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 Математика / Уфа: БашГУ.- 2007. С. 170 - 179.

31. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 22.

32. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу. Учебное пособие / A.B. Жибер, В.В. Соколов. Изд-е Башкирск. ун-та. - Уфа. - 1996. - 56 с.

33. Михайлов A.B., Шабат A.B., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. - 1990.- С. 213 279.

34. Михайлов A.B., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42. - № 4. -С. 3 - 53.J

35. Муртазина Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. - Т. 13. - № 4. - С. 102 - 117.

36. Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях иху = /(и,их,иу) // Проблемы! теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. 2007. - С. 174- 178.

37. Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с конечномерной алгеброй Ли // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2007. - Т. 2. - С. 50-51.

38. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли и симметрии уравнения мСГ ¡1 Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. 2008. - № 1. - С. 156 - 164.

39. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли интегрируемых уравнений Клейна-Гордона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: ОПиПМ. 2006. - Т. 13. - № 3. - С. 525-526.

40. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических уравнений // Студент и научно-технический прогресс: ХЫП Международной научной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ. 2005. - С. 39 - 40.

41. Овсянников JI. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — Москва: НАУКА. 1981. - 399 с.

42. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям Москва: Мир. 1989. - 639 с.

43. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Ил. - 1957. - 443 с.

44. Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. 2007. - Т. 151. - № 3. - С.413-423.

45. Шабат А.В., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. - 23 с.

46. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

47. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4. - 513 c., 579 c., 512 c., 547 c.

48. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie Symmetry of Differential Equations in Finance // Nonlinear Dynamics. 1998. - V. 17. - P. 387-407.

49. Goursat E. Leçons sur l'intégration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables indépendantes — Paris: Hermann, v. 1,11, 1896, 1898. 226 c., 345 c.

50. Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. 2005. - V. 1. - Paper 023 - 9 pages.

51. Habibullin I.T., ZheltukhinaN., Pekcan A. On the classification of Darboux integrable chains J. Math. Phys. - 2008. - V. 49. - № 10. (40 pages)

52. Roux J.Le. Extensions de la methode de Laplace aux equations lineaires aux derivees partielles d'ordre supérieur au second // Bull.Soc.Math.France. -1899. V. 27. - P. 237-262.

53. Sokolov V.V., Shabat A.B. Classification of integrable evolution equation // N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C. 4. 1984. - P. 221-280.

54. Sokolov V.V., Zhiber A.V. On the Darboux integrable hyperbolic equation 11 Phys.Lett.A. 1995. - V. 208. - P. 303-308.

55. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) — 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1939 - V. 18. - № 9. - P. 1 - 61.

56. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) — 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1942. - V. 21. - № 9. - P. 1 - 68.