Системы гиперболических уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

§1. Построение формальной L — А-пары, соответствующей системе.

§2. Характеристические алгебры

§3. Аффинные алгебры Каца-Муди

§4. Связь характеристических алгебр системы и алгебры соответствующей системе

§5. Симметрии вида ip(po,. ,Рт).

§6. Симметрии вида -0(<7сь • • • > Чп)

§7. Классификация двухкомпонентных систем типа Риккати.

§8. Примеры.

После известной работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [32] в теории интегрируемых нелинейных уравнений и систем начался бум исследований. При этом само понятие интегрируемости исследователями понимается по-разному. В частности, в ряде работ понятие интегрируемости используется в узком смысле, а именно, нелинейное уравнение считается интегрируемым, если оно обладает симметриями сколь угодно высокого порядка. Такая точка зрения позволяет провести классификацию по признаку интегрируемости ряда классов уравнений и систем эволюционного типа (см. например, работы А.Б.Шабата, В.В.Соколова, Р.И.Ямилова, А.В.Михайлова, В.Г.Дринфельда, С.И.Свинолупова и В.Э.Адлера [24, 26, 11, 25, 1]). Однако, симметрийный подход при классификации интегрируемых гиперболических систем приводит к значительным вычислительным трудностям даже в простейшей ситуации (см. например, работу А.В.Жибера, А.Б.Шабата [18]). Поэтому эффективное исследование интегрируемости уравнений и систем гиперболического типа требует иных подходов. В частности, в работах А.В.Жибера и В.В.Соколова [16, 15, 17] обсуждается подход связанный с инвариантами Лапласа.

В данной диссертации развивается новый метод исследования интегрируемости основанный на изучении характеристических алгебр системы и некоторой алгебры Ли естественным образом связанной с рассматриваемой системой. Понятие характеристической алгебры было введено в работе А.Н.Лезнова, В.Г.Смирнова, А.Б.Шабата [23] для систем гиперболических уравнений вида vicy = Fi(u1,.,ur), i — 1,г.

Это понятие подробно обсуждалось в работе А.Б.Шабата, Р.И.Ямилова [27], в которой рассматривались системы вида игху = ехр(?/), vl = аци1 + . + airur, i = 1,., г (1) и был получен следующий результат. Характеристическая алгебра системы (1) конечномерна тогда и только тогда, когда А = (а^-) — матрица Картана полупростой алгебры Ли. Более того, в этом случае характеристическая алгебра Ли совпадает с нильпотентной частью простой алгебры Ли, канонически ассоциированной с матрицей А. В ходе доказательства было показано, что в случае конечномерной характеристической алгебры система (1) обладает 2N дифференциально и функционально независимыми псевдоконстантами.

Высказанная в работе [23] интересная гипотеза о том, что характеристическая алгебра системы (1) с произвольной матрицей А совпадает с порожденной положительными корнями подалгеброй G+(A) контра-градиентной алгебры Ли, канонически ассоциированной с матрицей Л, долгое время оставалась без развития. В работе [14] было замечено, что гиперболическая система фактически обладает не одной, а двумя характеристическими алгебрами, а гипотеза была расширена до утверждения (без доказательства) о том, что эти алгебры естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (см. §2).

Одной из основных целей настоящей работы является доказательство подобного утверждения для следующего класса систем нелинейных уравнений гиперболического типа у = 4kujui г = 1, • • •, AT, (2) где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Первоначально интерес к системам такого вида возник в связи с работами K.Konno, H.Oono, H.Kakuhata [37, 35, 36, 34]. В них приводится система вида iAxy + 2аВхА + 2 (ЗСХВ + 7 (СВХ + СХВ) = О, гВху - 2аВВх + 2(5(2ААХ + СВХ) + jBAx = 0, (3) гСху - 2аССх + 20(2ААХ + ВСХ) + уСАх = 0.

Частные случаи этой системы

Я.ху = 2rrx, rXy = 2rqx, и

Чху - TSj; TXS fxy = 2qxv $ху = 2qxs, (4) проинтегрированы методом ОЗР. Отметим, что позже система (4) была исследована и другими авторами. В работах [28, 29, 38, 39] для нее была вычислена алгебра классических симметрий, получена билинейная форма Хироты, проведен сингулярный анализ на основе теста Пен леве и применен метод продолжения Уолквиста-Эстабрука.

Далее, классу (2) принадлежат также системы вида

4У = (5) где alj — элементы матрицы Картана простой алгебры Ли или алгебры Каца-Муди ранга N. Любая система (5) дифференциальной подстановкой Vх = 1п(г4) связана с соответствующей двумеризованной цепочкой Тоды

Угху = a) exp(V), см., например, [22]) и поэтому является интегрируемой.

В случае, когда сг-к = с\-, система (2) интегрированием по х приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида = i,.,iv, (6)

Поэтому, в каком-то смысле, системы (2) являются двумерным обобщением уравнения Риккати.

Отметим, что в [36] проинтегрирована не сама система (4), а ее редукция определяемая уравнением (qx) + rxsx = С = const. Система (4) с данной редукцией не нова. А именно, растяжением по х можно добиться того, что С = тогда это условие можно переписать в виде 4(qx) — (2irx)(2isx) = 1. Выражая отсюда qx и подставляя в уравнения системы (4), получим систему

Rxy = + Rx$xi Sxy = Sy/l + RXSX (7) на функции R(x,y) = 2гг, S(x,y) = 2is. Как было показано ранее в работе R.Beals, R.G.Novikov [30], эта система входит в иерархию мКдФ 6 с номером —1. В работе [31] те же авторы обобщают (7) рассматривая линейную систему = (Ха + В(х, 2/))Ф; Фв = (А - Aq)"1^, (8) где а — постоянная диагональная матрица с различными элементами, tr а = О, В — внедиагональная матрица, А — матрица с нулевым следом и det(A — XI) не зависит от х и у. (9)

Условие совместности системы (8) имеет вид

Ау = [А0а + В, А], Вх = -[а, А]. (10)

Второе из равенств позволяет выразить внедиагональные элементы А через элементы матрицы Вх, а условием (9) определяются и диагональные элементы А. Подставляя полученные таким образом выражения в первое уравнение (10) приходят к нелинейной системе уравнений гиперболического типа.

Широкий класс систем вида (2) может быть получен следующим образом. Рассмотрим более общую ситуацию, чем в (8). Пусть 6 = — Z-градуированная алгебра Ли, а е <&i — постоянный элемент, U(x,y) G Рассматривая, по аналогии с (8), условие коммутирования операторов

P = Dy-a-[U,a], Q = DX-UX, (И) получим иху = [[и,а\,их]. (12)

Очевидно, что в компонентной форме уравнение (12) имеет вид системы (2). В этом случае мы будем говорить, что алгебра <& порождает систему (2). Если же алгебра Ли © порождается множеством {a} U то будем говорить, что пара (<£>,а) соответствует системе (2), а пару операторов (11) будем называть формальной L — А-парой для уравнения (12). Отметим, что при этом, как легко следует из тождества Якоби,

1) алгебра Ли ©о порождается множеством [a, (55i] и

2) множество (5i порождается действием ©о на а, то есть

00

5i = Ca + ^(ad6o)>). г=1

В предположении, что функция U(x,y) и постоянный элемент а принадлежат конечномерной алгебре Ли 21, уравнение (12) рассматривалось в [34], как обобщение системы (4). Ясно, что в нашей терминологии последнее порождается алгеброй Ли 0, состоящей из полиномов Лорана с коэффициентами из 21 и градуировкой (*5j = 21Аг. В случае, когда 21 является простой алгеброй Ли, соответствующая системе (2) алгебра Ли 0 изоморфна нескрученной аффинной алгебре Каца-Муди £(21) в стандартной градуировке соответствующей нулевой вершине схемы Дынкина (см. [21]).

Среди уравнений (12) есть исключительный случай, который полезно рассмотреть отдельно. А именно, если в качестве 0 выбрать полиномы с неотрицательными степенями А и коэффициентами из 21 с градуировкой б-i = 21А\% — 0,1,2,. и положить (Si = {Са}, а = <5{ = 0, г > 2, то получим уравнение иху = [и, их], (13) где U — функция со значениями в конечномерной алгебре Ли 21. В работе [10] показано, что последнее уравнение эквивалентно обыкновенному уравнению на функцию Y принимающую значения в группе Ли алгебры Ли 21

Yx = yY(3(x), У(0,у) = а(у), где (3(х) и а(у) — произвольные функции со значениями в алгебре Ли 21, и ее группе Ли, соответственно. Общее решение уравнения (13) выражается через Y формулой

U(x,y)=YyY-\

Если интерпретировать постоянные сг-к как структурные константы некоторой конечномерной (вообще говоря, некоммутативной и неассоциативной) алгебры Т с умножением * и считать U = ulei (е* — базис в Т) элементом этой алгебры, то система (2) запишется в компактной форме

Uxy = U * Ux. (14)

Часто формальные выкладки, связанные с системой (2), удобно проводить в терминах алгебры Т. В том случае, когда система (2) порождена Z-градуированной алгеброй Ли 0, в пространстве <5i формула X * У = [[.X, a], Y] задает структуру алгебры Т. В дальнейшем мы исключаем случай, когда Т является алгеброй Ли, так как в этой ситуации уравнение (14) имеет вид (13), и следовательно, интегрируемо.

В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением только таких систем вида (2), которые не содержат в себе подсистем. Легко видеть, что отсутствие подсистем в (2) эквивалентно отсутствию двусторонних идеалов в алгебре Т с операцией * (см. лемму 1 в §1).

Одним из основных результатов диссертации является утверждение о том, что каждая система вида (2) порождается соответствующей Z-градуированной алгеброй Ли.

Следуя работе [20] будем называть Z-градуированную алгебру Ли (б = транзитивной, если для х Е г > 0, из [х, G5i] = 0 следует х = 0 для х Е (&i,i < 0, из [х, <&i] = 0 следует х = 0.

Напомним также, что Z-градуированную алгебру Ли называют простой, если она не содержит нетривиальных однородных идеалов. Идеал J Z-градуированной алгебры Ли (J5 = фiez&i называется однородным, если J = ®iez{Jn®i).

Теорема 1. Для любой системы (2) существуют соответствующие ей Ъ-градуированная алгебра Ли © = и элемент a G бь Если

Т не является алгеброй Ли и не содержит двусторонних идеалов, то алгебра (25 транзитивна. Если J = — собственный однородный идеал алгебры Ли то = Ji,i = —1, 0, = J\ ® {Аа|А Е С}.

В лемме 2 §1 доказывается, что требование транзитивности однозначно определяет алгебру 65 соответствующую системе (2).

Отметим, что при различном выборе элемента а для данной алгебры <Ь могут возникать как линейно эквивалентные, так и линейно неэквивалентные системы (см. §8). Линейно эквивалентные системы получаются следующим образом. Пусть S — постоянный элемент группы G алгебры Ли ©о- Подставляя в уравнение (12) вместо а элемент получим систему, которая линейной заменой U — SVSприводится к исходной системе. Кроме того, умножение элемента а на число приводит к линейно эквивалентной системе. Таким образом, множество разбивается на классы эквивалентности. Класс эквивалентности состоит из всех орбит действия группы G на пространство таких, элементы которых переводятся друг в друга умножением на число. Если, например, максимальная орбита имеет размерность N — 1, то с учетом умножения на число, получаем, что класс эквивалентности — это ./V-мерное многообразие. Элементы а, принадлежащие орбитам не максимальной размерности, по-видимому, никогда не удовлетворяют требованию о том, чтобы множество {a} U G5i порождало (5. Для некоторых ^-градуированных алгебр вообще не существует элемента а Е удовлетворяющего этому требованию. В одном из примеров в §8 орбиты действия группы G на пространство (Si имеют размерность N — 2. Поэтому рассматриваемой алгебре А^ в стандартной градуировке соответствует зависящее от параметра семейство линейно неэквивалентных систем.

Следующая теорема частично доказывает для систем вида (2) упомянутую выше гипотезу из работы [14]. Характеристические алгебры для таких систем определяются следующим образом. Введем обозначения pi = DyU,qi = Dl+lU, i = 0,1,2,., где Dx и Dy — операторы полных производных в силу уравнения (14). Переменные рг-, qi являются элементами алгебры Т ив выбранном базисе имеют некоторые координаты pi = (pj, ql = (qj, .,qf ).

Система (2), записанная в виде (14), естественным образом продолжается на переменные pi, qi, г = 0,1,2,.: ро)® = go, (Pi)x = Dyq0 =р0* q0,

W® = D^q0 = pi * g0 + Po * (po * go), ••• (15)

My =Po* go, {qi)y = Dx(p0 * g0) = go * go + Po * gi, q2)y = D2x(p0 * g0) = gi * go + 2g0 * gi + Po * 42, - (16)

Пусть A[p], A[q] — алгебры гладких функций от конечного числа переменных pj, qf соответственно, г — 0,1,2, = 1,2,., N. Из формул (15) и (16) следует существование таких элементов Xj € Der А[р], что для любой функции v £ А\р] N

17) j=i

Аналогично, N

Dy(w) = УоН + Yi е DerAM> (18)

3=1 для любой функции w £ A[q\. Поэтому соотношение Dx{y) = 0 эквивалентно переопределенной системе Xj(v) = 0, j = 1,., N, а соотношение Dy(w) = 0 — системе Yj(w) = 0, ,7 = 0,., iV.

Подалгебра Lx С Der А\р], порождаемая как алгебра Ли элементами Xj, j = 1,., TV, называется ж-характеристической алгеброй Ли системы (2). Аналогично, Ly С Der A[q] — ^-характеристическая алгебра — порождается векторными полями Yj, j = 0,., N.

Теорема 2. Пусть Ьх и Ьу — характеристические алгебры системы (2); (<5,а) — пара соответствующая системе (2) из теоремы 1. Тогда существуют эпиморфизмы ip : —Lx и ф : Ly. В случае, когда 0 — аффинная алгебра Каца-Муди, отображения (риф являются изоморфизмами.

Замечание. В теореме 2 и далее в диссертации мы называем аффинной алгеброй Каца-Муди не саму алгебру, а ее фактор по центру (подробнее см. §3).

Установление связи системы (2) с соответствующей алгеброй упрощает исследование вопроса об интегрируемости этой системы. В частности, важным следствием теоремы 2 является интегрируемость по Дарбу систем, соответствующих конечномерным алгебрам Ли (5 (см. §4).

Среди бесконечномерных Z-градуированных алгебр Ли наиболее изученными являются алгебры Ли конечного роста. Насколько нам известно, задача о классификации Z-градуированных алгебр Ли конечного роста соответствующих системам (14) с алгеброй Т без двусторонних идеалов до сих пор не решена. Отметим, что при более жестком требовании об отсутствии левосторонних идеалов мы приходим к эквивалентному требованию о неприводимости действия подалгебры 0о на пространство В известной работе В.Г.Каца [20] проведена классификация транзитивных Z-градуированных алгебр Ли удовлетворяющих упомянутому выше требованию. Наиболее интересную часть таких алгебр составляют, как известно, аффинные алгебры Каца-Муди. В настоящей диссертации мы показываем, что системы (2) связанные с этими алгебрами являются интегрируемыми в смысле симметрийного подхода, то есть обладают двумя сериями симметрий сколь угодно высокого порядка. Более того, мы приводим полное описание этих симметрий в рассматриваемой ситуации.

Определение 1. Симметрией порядка (т, п) уравнения (14) называется функция F со значениями в алгебре Т зависящая от переменных

Po,Pi, ■ ■ ■ ,Pm И q0, qi,., qn, удовлетворяющая уравнению

LF = DxDyF -U* DXF -F*UX = 0, где операторы Dx, Dy действуют в силу уравнения (14). В работе А.В.Жибера [13] для скалярного уравнения l^xy = О,(иj Ux, Uy^j доказано, что симметрия / порядка (га, п) этого уравнения может быть представлена в виде = (р(и, щ,., ип) + <р(щ щ, .,йт), где щ = D%xu, Щ = D3yu. В лемме 11 мы доказываем, что симметрия -^(poj • • • iPm, #о> • • • 5 Qn) уравнения (14) может быть представлена в виде суммы F = <р(ро,. ,pm)+il)(qo,. ,qn), где каждое из слагаемых является симметрией. Для существования симметрий обоих типов оказывается важной возможность разложения алгебры 0 в прямую сумму

0 = Ker(ada) ©Im(ada). (19)

Для доказательства существования симметрий вида ip(po,. ,рт) мы используем следующее утверждение, по существу доказанное в [12, 33]. При условии (19) и некоторых дополнительных предположениях на алгебру <& т для сколь угодно большого m существует формальный ряд А = г=—оо

Ai £ (5i Аш ф 0 такой, что [А, Р] = 0, где Р = Dy — a + [a, U], а коэффициенты Аг являются многочленами от переменных po,pi,. (см. также [8]).

Мы доказываем, что ряд А коммутирует и с оператором Q = Dx — Ux, а многочлен является симметрией уравнения (14). (Здесь и далее верхний индекс -1 ставится в круглые скобки, чтобы не путать его с обозначением обратного оператора.) Таким образом, мы приходим к следующему утверждению

Теорема 3. Если алгебра 0 соответствующая данной системе (2) является аффинной алгеброй Каца-Муди и имеет место разложение (19), то эта система обладает симметриями вида <р(ро,.,рт) как угодно высокого порядка.

Заметим, что в [12] доказано аналогичное утверждение для цепочек Тоды.

Отметим, что наш способ построения симметрий другого направления напоминает схему из работы И.3.Голубчика и В.В.Соколова [9] построения иерархии интегрируемых систем типа уравнения Гейзенберга по разложению Z-градуированной алгебры 0 = фiez^i в прямую сумму 0 = 0 + © 0. Здесь 0+ = Фг>о®г? a 0 — некоторая подалгебра алгебры 0. При 0 = Фг<о^г эта схема имеет следующий вид. Пусть элемент а удовлетворяет условию аналогичному (19). Рассмотрим оператор

L = DX + SaS~\ (20) где S — функция, принимающая значения в группе Ли G алгебры Ли 0о- Для оператора L методом из работы [12] строится оператор А такой, что Lt = [A, L] эквивалентно эволюционному уравнению вида qt = F(q, qx,., где q = SaS-1 6 0i. Ясно, что обе части этого уравнения лежат на орбите элемента а относительно действия группы G. Заметим, что с одной стороны, (20) имеет вид оператора Q, а с другой - оператор вида (20) может быть получен из оператора Р калибровочным преобразованием. Действительно, подставляя Ф = РФ в уравнение РФ = 0 и умножая слева на Р-1, получим РФ = 0, где Р = Dy — R~xaR + (R~lRy — [U,a]). При условии R~lRy = [77, а] получаем, что оператор Р имеет вид (20). Оператор Q при таком преобразовании перейдет в Q — Dx — R~1UXR+R~~1 Rx. Если окажется, что Ь = R~lUxR — постоянный элемент, a R~lRx принадлежит Im(ad&), то Q будет иметь вид оператора Р. В этом случае мы сможем воспользоваться предыдущими рассуждениями и построить ряд В, коммутирующий с операторами Р и Q. Применяя затем обратное калибровочное преобразование к функции В1, получаем симметрию уравнения (14). Мы доказываем, что в случае аффинных алгебр Каца-Муди при некоторых условиях на решение U{x,y) системы (14) существует функция R(x,y) такая, что R~xRy = [U, а], Ь = R~lUxR — постоянный элемент и R~XRX €Е Im (ad6). При этом функция RB1R~1 выражается через конечное число переменных Ux, UXX-,. Таким образом, мы приходим к доказательству следующего утверждения.

Теорема 4. Пусть алгебра = ®iez<&i соответствующая системе вида (2) является аффинной алгеброй Каца-Муди и для элемента a G ©1 имеет место разложение (19). Пусть gi — функциональный базис множества таких функций g(qo), что Dyg(Ux) = 0 в силу системы (2). Тогда система (2) редуцированная уравнениями gi(Ux) = consti имеет симметрии вида F = . ,qn) для сколь угодно большого п.

Таким образом, доказано существование иерархии симметрий вида ф(до,., qn)• Кроме того, если при инволюции Шевалле ш аффинной алгебры Каца-Муди 0 элемент b переходит в а, то мы получаем, что иерархии симметрий калибровочно эквивалентны. Например, в случае системы (4) мы получаем известный факт о калибровочной эквивалентности НУШ и МГ (см. например [19]).

Отметим, что в данной работе не ставилась какая-либо классификационная задача. Тем не менее, результаты работы позволяют свести задачу классификации систем вида (2) обладающих теми или иными свойствами к задаче о классификации соответствующего класса Z-градуированных алгебр. Чтобы продемонстрировать последнее, в §7 мы проводим некоторую классификационную работу в простейшем случае, когда система вида (2) состоит из двух уравнений.

Как известно, системы интегрируемые методом обратной задачи, как правило, связаны с аффинными алгебрами Каца-Муди. Системы же, интегрируемые в лиувиллевском смысле, связаны с конечномерными алгебрами Ли. Поэтому мы перечисляем все двухкомпонентные системы соответствующие простым конечномерным алгебрам Ли или аффинным алгебрам Каца-Муди с учетом различных Z-градуировок.

Основные результаты диссертации опубликованы в [2]-[7].

Автор выражает искреннюю благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю Мукминову Фариту Хамзаевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости// Теоретическая и математическая физика. - 2000. - Т.125, №3. - С.355—424.

2. Бормисов А.А. О существовании полной алгебры для гиперболических систем уравнений//Физика конденсированного состояния: Тр. Всерос. науч. конф. — Т.1. Математические методы физики. — Стер-литамак, 1997. С. 19-25.

3. Бормисов А.А., Гудкова Е.С., Мукминов Ф.Х. Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати//Теоретическая и математическая физика. — 1997. — Т.113, №2. — С.261—275.

4. Бормисов А.А., Мукминов Ф.Х. Симметрии гиперболических систем типа уравнения Риккати//Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т.127, №1. - С.448-459.

5. Бормисов А.А., Мукминов Ф.Х. Симметрии гиперболических систем типа уравнения Риккати//Дифференциальные уравнения и их приложения в физике: Сб. науч. тр. — Стерлитамак, 1999. — С.5—8.

6. Бормисов А.А., Мукминов Ф.Х. О существовании симметрий систем типа Риккати//Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы: Сб. науч. тр. Междунар. науч. конф. — Т.2. Дифференциальные уравнения. — Уфа, 2000. — С.28—32.

7. Голубчик И.З., Соколов В.В., Интегрируемые уравнения на Ъ-градуированных алгебрах Ли// Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т.112, №3. - С.375—383.

8. Голубчик И.З., Соколов В.В., Обобщенные уравнения Гайзенберга на Ъ-градуированных алгебрах Ли// Теоретическая и математическая физика. 1999. - Т.120, №2. - С.248-255.

9. Дринфельд В.Г., Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечнойсерией законов сохранения// Докл. АН УССР. Сер. А, Физ.-мат. и техн. науки. 1985. - №10. - С. 8-10.

10. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения Кортевега де Фриза// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1984. - Вып.24. - С.81—180.

11. Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечномерной алгеброй симметрии// Изв. Рос. Акад. Наук. Сер. Матем. 1994. - Т.58, №4 - С.33-54.

12. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрия, характеристические и полные алгебры// Задачи математической физики и асимптотика их решений: Сб. науч. тр. БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1991. - С.14—32.

13. Жибер А.В., Соколов В.В. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу — Уфа: БГУ, 1996. — 56с.

14. Жибер А.В., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений// Проблемы механики и управления. — Уфа: Уфимский научный центр РАН, 1995. — №2. — С.51—65.

15. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа// Успехи математических наук. — 2001. Т.56, т. - С.63-106.

16. Жибер А.В., Шабат А.Б. Системы уравнений их = p(u,v),vy — q(u,v) обладающие симметриями// Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 277. С.29—33.

17. Захаров В.Е., Тахтаджан JI.A. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредингера и уравнения ферромагнетика Гейзенберга// Теоретическая и математическая физика. — 1979. — Т. 38. — С.26—35.

18. Кац В.Г. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1968. - Т. 32. -С. 1323—1367.

19. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. — М.:Мир, 1993. — 426 с.

20. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М.: Наука, 1985. — 280 с.

21. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем. Препринт ИФВЭ 81-11. — Серпухов, 1981.

22. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений// Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. — Киев: Наукова думка, 1990. С. 213-279.

23. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем// Успехи математических наук — 1987. — Т.42, №4. — С. 3—53.

24. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация интегрируемых квазилинейных уравнений третьего порядка. Препринт. — Уфа, 1986.

25. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана. Препринт БФ АН СССР, (1981).

26. Alagesan Т., Porsezian К. Singularity structure analysis and Hirota's bilinearisation of the coupled 5integrable dispersionless equationsj/ Chaos Solitons Fractals. 1997. - V. 8, №10. - P.1645-1650.

27. Banerjee R.S. Painleve Analysis of a New Coupled Dispersionless Equations// J. Phys. Soc. Japan. 1995. - V. 64, №2. - P.401-402.

28. Beals R., Novikov R.G. New differential equations in the mKdV hierarchy// C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I. 1992. - V. 314, №13. - P.991—996.

29. Beals R., Novikov R.G. The inverse scattering method and systems of equations qxy = F(q,qy)// Stud. Appl. Math. 1994. - V. 92, №3. -P.201-212.

30. Kakuhata H., Konno К. A Generalization of Coupled Integrable, Dispersionless System. Preprint NUP-A-95-12. — 1995. — 7 p.

31. Konno K., Kakuhata H. Interaction Among Growing, Decaying and Stationary Solitons for Coupled Integrable Dispersionless Equations// J. Phys. Soc. Japan. 1995. - V. 64, №8, - P.2707-2709.

32. Konno K., Kakuhata H. Novel Solitonic Evolutions in a Coupled Integrable Dispersionless System. Preprint NUP-A-95-5. — 1995. — 18p.

33. Konno К., Oono H., New Coupled Integrable Dispersionless Equations//J. Phys. Soc. Japan. 1994. - V. 63, №2. - P.377-378.

34. Velan M.S., Lakshmanan M. Lie symmetries and infinitedimensional Lie algebras of certain (1+1)dimensional nonlinear evolution equations// J. Phys. A: Math. Gen. 1997. - V. 30. - P.3261-3271.

35. Xue-qing Zhao, Jing-fa Lu On Integrability and Algebraic Structures of a Coupled Dispersionless Equations// J. Phys. Soc. Japan. — 1999. — V. 68, №7. P.2151—2152.