Исследование интегрируемости 3-компонентных полей кирального типа в двумерном пространстве-времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Симметрийная классификация

1.1 Общий случай.

1.2 Приводимое пространство ¥3.

1.2.1 Общие свойства высших симметрий.

1.2.2 Конфигурационное пространство с метрикой с/я2 = йи2 + 2 (уш + с)-хйи<1у).

1.2.3 Конфигурационное пространство с метрикой ¿в2 =

1и2 + 2 (и + т)~1(1у(1'ш.

2 Гамильтонова форма

3 Представления нулевой кривизны

3.1 Представление нулевой кривизны для системы (1.23)

3.2 Представление нулевой кривизны для системы (1.31)

3.3 Представление нулевой кривизны для системы (1.26)

3.4 Представление нулевой кривизны для системы (1.29)

3.5 Представление нулевой кривизны для системы (1.33)

3.6 Представление нулевой кривизны для системы (1.35)

3.7 Представление нулевой кривизны для системы (1-37)

4 Дифференциальные подстановки для симметрий и интегрируемость по Дарбу гиперболических систем

4.1 Системы, интегрируемые по Дарбу.

4.2 Построение полных наборов псевдоконстант для систем (4.2)-(4.5),(1.39),(1.40)

4.3 Дифференциальные подстановки для симметрий систем (1.22а)-(1.22ё).

Одним из важнейших событий в математике XX века является открытие нового фундаментального метода интегрирования дифференциальных уравнений - метода обратной задачи рассеяния [50]. С помощью этого метода удалось проинтегрировать ряд уравнений, играющих важную роль в описании нелинейных волн самой различной природы. К этим уравнениям относятся, в частности, уравнение Кортвега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение sin-Gordon [15] и др. Как оказалось, эти уравнения обладают широкими классами точных решений, среди которых наиболее известны солитонные. Этот факт возродил интерес исследователей к методам точного интегрирования как таковым. Открытие метода обратной задачи рассеяния также стимулировало множество других, связанных с ним исследований. Одной из таких задач является задача классификации, которая состоит в том, чтобы перечислить уравнения из определенного класса, которые могут быть затем проинтегрированы этим методом.

Задача классификации является одной из задач, которым посвящена данная диссертация. Объектом исследования являются двумерные системы с лагранжианом

Здесь /, дар = д@а некоторые дифференцируемые функции, а = 1,., ш, с!еЬ(дар) ф 0. На протяжении всей работы мы подразумеваем суммирование по повторяющимся индексам, кроме этого мы считаем все встречающиеся функции локально гладкими.

Из лагранжиана (В.1) следуют полевые уравнения здесь Г" - символы Кристоффеля, соответствующие метрике дар

L = (l/2)gaP(u)uaxui> + f(u).

В.1)

В.2) fa — gap f 131 fa = daf = df/dua. Мы рассматриваем только такие конфигурационные пространства Vm, тензор Римана которых

Л а íi pe* n ра i ра рА ра рА

I//9/1 — U0L уц ~ UI¿L "Г 1 /ЗА /л/ — 1 /хА1 /3i/ не равен нулю. Система (В.2) является частным случаем систем общего * вида uaxt = Fa(u^uiu0t). (В.З)

Нелинейным уравнениям и системам вида (В.З) посвящено большое число работ, однако, классификация интегрируемых уравнений имеется только в ряде частных случаев. Например, для случая уравнений вида uxt = F(u), в работах [13], [44] показано, что интегрируемыми над полем комплексных чисел являются только три уравнения

7/ Qi»i п i я uxt = е , uxt = e¿u + е , uxt = smu.

Это хорошо известные уравнения Лиувилля, Цицейки и уравнение sin-^ Гордон, которые представляют два различных класса интегрируемых уравнений: для уравнения Лиувилля известна формула общего реше-V ния, а уравнения Цицейки и sin-Гордон являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. Обобщением уравнения Лиувилля для случая систем уравнений являются открытые цепочки Тоды [34], [18], [61], которые можно записать в виде ulxt = А) ехр(У), здесь Aj-элементы матрицы Картана простой алгебры Ли. К классу v систем лиувиллевского типа относятся также системы типа уравнения

Риккати, рассмотренные в работе [4]. i Первая интегрируемая система вида (В.2) - система для полей со значениями, на Sn, была открыта в работе [60]. Системы вида (В.2) являются модельными в квантовой теории поля и в теории магнетиков. Поэтому они постоянно привлекают к себе интерес исследователей, и им посвящено огромное число публикаций. По этой причине мы сошлемся лишь на некоторые обзорные работы [33], [26], [57].В большинстве работ, процитированных в указанных обзорах, изучаются уравнения главных киральных полей при помощи известного представления нулевой кривизны. Там же можно найти ссылки на работы, в которых получены новые интегрируемые системы при помощи редукций, введенных в работе [16] для главных киральных полей.

Иной подход к интегрируемым системам, основанный на теории двумерных поверхностей, по сути дела был заложен в работах Бианки, Беклунда и других классиков (см. например, [41]). Эти идеи были переосмыслены в 20 веке в работах [53], [54] и применены к построению интегрируемых систем вида (В.2). В связи с этим геометрический подход называется иногда методом Лунда-Редже. Геометрический подход описан во многих обзорах (см. например, [64]). Известны также работы, в которых системы вида (В.2) возникли в результате удачного выбора матриц, реализующих представление нулевой кривизны нелинейной системы (см. например, [3], [63], [59], [43]).

В недавней работе [40] предложена теоретико-групповая конструкция интегрируемых систем вида (В.2) с аффинной связностью Тг-к и ненулевой вектор-функцией /*. Выбирая конкретную полупростую группу Ли, можно получать новые интегрируемые системы. Авторы приводят два примера: SL(2) и SO(3). В первом случае получается уравнение синус-Гордона, а во втором - по-видимому, новая интегрируемая система с лагранжианом

L = i (u\u\ + u2xv% + ulufj -I- cos u3 u\u2x— p cos u3 + a cos u1 sin u3, где аир- постоянные. Заметим, что этот лагранжиан можно записать в виде (В.1) только с несимметричной метрикой.

Все перечисленные выше подходы затруднительно применить для решения следующей задачи: интегрируема или нет наперед заданная система? Наиболее последовательным подходом к решению таких, а также классификационных задач является, на наш взгляд, симметрий-ный подход [21], [1]. Известно, что многие интегрируемые с помощью метода обратной задачи рассеяния системы допускают бесконечный набор высших симметрий. И наоборот, если нелинейная система допускает высшие симметрии, то она, как правило, интегрируема. Поэтому поиск систем, допускающих высшие симметрии, явлется одним из методов их классификации.

Симметрийный подход очень эффективен в случае эволюционных систем, однако при симметрийной классификации систем (В.2) в общей постановке возникают серьезные технические трудности в противоположность эволюционным системам. Поэтому обычно делаются разного рода упрощающие предположения. Наиболее важные результаты, полученные этим способом, содержатся в работах [28] и [62], где получено «векторно-матричное» обобщение системы главных киральных полей и изучены поля со значениями в неассоциативных алгебрах, и найдены новые интегрируемые системы вида (В.2) (при / = 0) на таких алгебрах.

В работе [6], идейно близкой к симметрийному подходу, найдены все системы с лагранжианом 1

Ь = - ф{и,у){щух + ихуь) + f(u,v), допускающие высшие сохраняющиеся плотности порядка 2 и 3, являющиеся полиномами от ип = д%и и ут = д™у, п,т > 0. Таких систем существует только три

1 щух + ихуг 1 щух + ихуг

Ь\ = ---Н киу, Ь2 = ---1- киу(иу + с),

2 ш + с 2 иу + с ш 4ч

Ьз = ----4-Ци + у),

2 и + V где с ф 0 и к - постоянные. Отметим, что лагранжианы (В.4) отличаются от приведенных в работе [6] точечным преобразованием. Система с лагранжианом Ь\ эквивалентна системе Лунда-Редже (комплексный синус-Гордон), а лагранжиан Ь3 приводится к квадратичному по полям виду ФьФх + ФхФь + 2к фф подстановкой и + V = 2фф,

Щ ={ФФ)г + ъ(ФгФ ~ ФФг), их = (фф)х - 1{фхф - ффх), Щ ={ФФ)ь ~ %{<М> ~ ФФь), их = (фф)х + %{фхф - ффх).

Эта подстановка совместна только при условии фгхф = Ф±хФ (или (фхф)г = {Ф±Ф)х)ч которое заведомо выполнено на решениях линейной системы уравнений Клейна-Гордона ф^ = кф, фц = кф. Исследованию модели с лагранжианом посвящена работа [5], в которой показано, что эта модель обладает всеми свойствами интегрируемых систем: допускает представление нулевой кривизны, солитонные решения и т.д. Так же в этой работе приводится преобразование, приводящее систему к билинейной форме, которая удобна для построения многосолитонных решений.

В работе [20] показано, что требование существования высших полиномиальных симметрий у системы вида (В.2) в двумерном конфигурационном пространстве приводит к системам с лагранжинами (В.4), там же получена система уравнений в ковариантных производных на коэффициенты симметрии в произвольном римановом пространстве.

Данная диссертация продолжает серию исследований, начатых в процитированных выше работах. Первая из задач состоит в отыскании систем вида (В.2), допускающих высшие полиномиальные симметрии. Задача решается для случая трехмерного приводимого риманова пространства Уз. Из-за чрезвычайной трудоемкости вычисления симметрий высоких порядков, мы ограничиваемся рассмотрением систем, допускающих симметрии порядка не выше пятого.

Вторая задача состоит в исследовании интегрируемости полученных систем. В качестве определения интегрируемости мы принимаем требование существования представления нулевой кривизны, содержащего спектральный параметр. Для доказательства нетривиальности полученных представлений, мы приводим рекуррентные соотношения для законов сохранения. Отметим, что высшие сохраняющиеся плотности представляют самостоятельный, в том числе и для приложений, интерес, поэтому мы приводим в явном виде несколько плотностей невысокого порядка. Построение представления нулевой кривизны опирается на исследовании эволюционной системы = <т», (В.5) где а - одна из высших симметрий гиперболической системы. В результате, мы доказываем также интегрируемость системы (В.5). В связи с этим представляют инетерес системы, связанные дифференциальной подстановкой с системой (В.5). Задача построения таких систем решается с помощью понятий псевдоконстанты и системы интегрируемой по Дарбу. Замечательно, что интегрируемые по Дарбу системы возникают как вырождения гиперболических систем, интегрируемых в смысле метода обратной задачи рассеяния. Таким образом, существует прямая аналогия с рядом примеров для случая одного скалярного уравнения [11], [13]. Для доказательства интегрируемости по Дарбу необходимо предъявить полный набор нетривильных псевдоконстант.

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух приложений. Первая глава посвящена симметрийной классификации систем (В.2). В параграфе 1.1 приводятся основные определения, а также ряд теорем (1-3), доказанных А.Г. Мешковым в работе [20]. Большое значение для данной работы имеет теорема 3, которая утверждает, что в случае двух зависимых переменных существует только два римановых пространства таких, что соответствующая система (В.2) может допускать высшие полиномиальные симметрии. Эта теорема сводит задачу симметрийной классификации в пространстве, метрика которого распадается на двумерные неприводимые блоки, к классификации лагранжианов (В.1), отличающихся только видом входящей в них функции /. Параграф 1.2 посвящен симметрийной классификации систем (В.2) в трехмерном приводимом пространстве. В первой его части приведены результаты общего характера, которые частично опубликованы в работе [46]. Во второй и третьей части параграфа доказываются классификационные теоремы и приводится явный вид систем и допускаемых ими симметрий до четвертого порядка включительно. Симметрии пятого порядка, из-за их громоздкости, приведены в приложении А.

В главе 2 показано, что любая система (В.2) в трехмерном приводимом пространстве может быть записана в явной гамильтоновой форме. Этот факт позволяет установить простое соответствие между симмет-риями и законами сохранения системы (В.2), а также обосновать предложенный нами способ построения представлений нулевой кривизны.

Глава 3 посвящена построению представлений нулевой кривизны для систем, найденных в результате симметрийной классификации. Дано подробное описание использованного нами алгоритма. Там же приводятся рекуррентные формулы для законов сохранения и явный вид полученных с их помощью сохраняющихся плотностей.

В главе 4 доказывается, что вырождения гиперболических систем, полученных в результате классификации, являются системами, интегрируемыми по Дарбу. Доказательство этого факта выполняется путем построения полных наборов псевдоконстант. Полученные наборы задают диффрениальные подстановки симметрий в некоторые эволюционные системы. В той же главе приведены все такие системы, соответствующие симметриям до третьего порядка включительно.

Заключение содержит некоторые замечания и обзор полученных результатов.

Для вычисления высших симметрий нами был написан пакет процедур под названием «Hyper» [7]. Пакет предназначен для среды Maple V.3. Все эти процедуры, а также краткие комментарии к ним приведены в приложении В.

Основные результаты данной диссертации состоят в следующем:

1. С помощью симметрийного метода выполнена классификация интегрируемых систем кирального типа в случае трехмерного приводимого конфигурационного пространства. Показано, что найденные системы имеют явную гамильтонову форму.

2. Доказана интегрируемость полученнных систем. Как оказалось, они принадлежат двум различным классам: системы, соответствующие функциям (1.22а)-(1.22§), имеют, при аЬ ф 0, нетривиальные представления нулевой кривизны и, следоваетельно, являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния. С другой стороны, системы (1.22Ь), (1.221), а также (1.22a)-(1.22g) при аЪ = 0, обладают полными наборами псевдоконстант, что означает их интегрируемость по Дарбу. Для первой группы систем так-же построены рекуррентные соотношения для законов сохранения. Для построения представлений нулевой кривизны мы использовали модификацию метода Уолквиста-Эстабрука, которая может с успехом использоваться и для других формально интегрируемых гиперболических систем.

3. Построены новые эволюционные системы, связанные дифференциальными подстановками типа преобразования Миуры с симмет-риями исходных гиперболических систем. Для полученных систем указан способ построения рекурсионного оператора, существенно опирающийся на связь между системами лиувиллевского типа и дифференциальными подстановками типа преобразования Миуры. Интегрируемость полученных систем не вызывает сомнения, например, системы (4.21), (4.22) имеют рекурсионный оператор (4.25), что доказывает ее интегрируемость.

Заключение

1. Адлер В.Э., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теор. и мат. физ. 2000. Т. 125. №3. С. 355-427.

2. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука. 1976.

3. Борисов A.B., Киселев В.В. Многосолитонные решения асимметричных киральных SU(2), SL(2, R)-теорий (d = 1) // Теор. и мат. физ. 1983. Т. 54. №2. С. 246-257.

4. Бормисов A.A., Гудкова Е.С., Мукминов Ф.Х. Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати // Теор. и мат. физ. 1997. Т. ИЗ. №. С. 261-276.

5. Гетманов Б.С. Интегрируемая двумерная Лоренц-инвариантная нелинейная модель скалярного поля (комплексный синус-Гордон-II) // Теор. и мат. физ. 1981, т.48, е 1, с. 13-23.

6. Гетманов B.C. Высшие интегралы в двумерных моделях теории поля // Комплексные скалярные поля. Теор.-группов. методы в физ. Тр. Междунар. семинара, Звенигород, 24-26 нояб., 1982. М., 1983. Т. 2. С. 333-344.

7. Демской Д.К. Пакет Hyper для вычисления симметрий // Сб. научных трудов ученых Орловской обл., ОрелГТУ., Орел 1997. Вып. 3. С. 315-317

8. Демской Д.К., Мешков А.Г. Представление Лакса для триплета скалярных полей // Теор. и мат. физ. 2003. Т. 134. №3. С. 351-364.

9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия М.: Наука. 1979.

10. Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. е4. С. 33-54.

11. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. Т. 56. вып. 1. С. 63-106

12. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН. 1995. Т.343. №6. С. 746-748.

13. Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // ДАН СССР. 1979. Т. 247. №5. С.1103-1107

14. Жибер A.B., Шабат A.B. Системы уравнений их = р(и, v), vy = q(u, г>), обладающие симметриями // ДАН СССР. 1984. Т. 277. №1. С.29-33

15. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Под ред. С.П. Новикова. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука. 1980.

16. Захаров В.Е., Михайлов A.B. Релятивистски инвариантные модели теории поля, интегрируемые методом обратного спектрального преобразования // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. №. С. 1953-1973.

17. Ибрагимов Н.Х. Применение групп преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

18. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1985.

19. Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей III. Двумерные интегрируемые модели // Теор. и мат. физ. 1985, Т. 63, е 3, с.323-332.

20. Мешков А.Г. К симметрии двумерных скалярных полей кирально-го типа // Препр. №28. ТНЦ СО АН СССР, Томск, 1991, 22с.

21. Михайлов A.B., Шабат A.B., Соколов В.В. В кн. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев, Наукова думка, 1990. С. 213-279.

22. Мохов О.И. Симплектические формы на пространствах петель и риманова геометрия // Функц. анализ и его прил. 1990. Т. 24. вып. 3. С. 86.

23. Мохов О.И. Симплектические и пуассоновы структуры на пространстве петель гладких многообразий и интегрируемые системы // УМН. 1998. Т. 53. вып. 3(321)

24. Овсянников J1.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1993.

25. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Мир, 1989.

26. Переломов A.M. Решения типа инстантонов в киральных моделях // Успехи физ. наук, 1981, Т. 134. по. 4. С. 577-609.

27. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Слабые нелокальности в эволюционных уравнениях // Мат. заметки., 1990, №6, С. 91-97.

28. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений // Теор. и мат. физ. 1994. Т. 100. т. С. 216-218.

29. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений // УМН. 1988. Т. 43. №5. С.133-163.

30. Соколов В.В. Псевдосимметрии и дифференциальные подстановки II Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22. вып. 2. С. 47-56.

31. С.Я. Старцев. О дифференциальных подстановках типа преобра-зоваия Миуры // Теор. и мат. физ. 1998. Т. 116. еЗ. С. 336-348

32. Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Гамилътонов подход в теории со-литонов М.: Наука, 1986.

33. Чередник И.В. Алгебраические аспекты двумерных киралъных полей I // Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. 1981. Т. 17. С. 175-218.

34. Шабат А.В., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт. Уфа: БФАН СССР, 1981.

35. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах // Изв. Казанск. физ.-мат. общ. 1925. Т.25. Сер.2. с.86-114.

36. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. Казань, 1966. с.256-291.

37. Alberty J.M., Koikawa Т. and Sasaki R., Canonical structure of soliton equations I. // Physica D. 1982, V.5, 43-65; Canonical structure of soliton equations. II. The Kaup-Newell system, // Physica D. 1982, V.5, 66-74.

38. Anderson I.M., Kamran N., The variational bicomplex for hyperbolic second order scalar partial differential equations in the plane // Duke. Math. J. 1997. V. 87. N 2. P. 265-319.

39. Antonowicz M., Fordy A.P. Hamiltonian structures of nonlinear evolution equations. Ed. A.P. Fordy, Soliton Theory : A Survey of Results, P. 273-312. MUP, Manchester, 1990.

40. Balandin A.V., Pakhareva O.N., Potyomin G.V. Lax representation of the chiral-type field equations // Phys. Lett. 2001. V. A283. no. 3-4, 168-176.

41. Backlund A.V. Om Ytor med konstant negativ krokning // Lund Universitets Arsskrift. 1883. V. 19.

42. Case K.M. and Roos A.M. Sine-Gordon and modified Korteweg-de Vries charges // J. Math. Phys. 1982. V. 23. no. 3. P. 392-395.

43. Chowdhury A. Roy and Mitra P. New coupled Liouville system: prolongation structure, soliton solution, and complete integrability // Int. J. Theor. Phys. 1989. V. 28. no. 1. P. 119-126.

44. Dodd R.K. Bullough R.K. Backlund transformations for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc. London, A. 1976. V.351. P. 499523.

45. Dodd R.K. Bullough R.K. Polynomial conserved densities for the sine-Gordon equations // Proc. Roy. Soc. London. 1977. V. A352. P. 481503.

46. Demskoi D.K., Meshkov A.G. New integrable string-like fields in 1+1 dimensions // Proc. Second Int. Conf. Quantum Field Theory and Gravity, July 28 August 2, 1997. Tomsk, Russia. Tomsk Pedagogical University, Tomsk, 1998. P. 282 - 285.

47. Demskoi D.K., Meshkov A.G. Zero-curvature representation for a chiral-type three-field system // Inverse problems. 2003. 19, P. 563571.

48. Focas A.S., Fuchssteiner B. On the structure of symplectic operators and hereditary symmetries // Lett. Nuovo Cimento, 1980, v.28 P. 299303.

49. Focas A.S., Fuchssteiner B. Symplectic structures, their Backlund transformations and hereditary symmetries // Physica, 1981, V. D4, no.l, P. 47-66.

50. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967, v.19, p. 1095.

51. Kaliappan P. and Lakshmanan M. Connection between the infinite sequence of Lie-Backlund symmetries of the Korteweg-de Vries and sine-Gordon equations //J. Math. Phys. 1982. V. 23. no. 3. P. 456459.

52. Kumei S. Invariance transformation, invariance group transformations, and invariance groups of the sine-Gordon equations //J. Math. Phys. 1975. V. 16. no. 12. P. 2461-2468.

53. Lund F. and Regge T. Unified approach to strings and vortices with soliton solutions // Phys. Rev. 1976. V. D14. P. 1524.

54. Lund F. Solitons and geometry // Nonlinear Equat. Phys. and Math. Proc. NATO Adv. Study Inst. Istanbul, 1977. 1978. P. 143-175.

55. Meshkov A.G. Tools for Symmetry Analysis of PDEs // Differential equations and control processes. Electronic Journal. 2002. V. 1. http://www.neva.ru/journal (см. также http://www.orel.ru/meshkov).

56. Meshkov A.G. Hamiltonian and recursion operators for two-dimensional scalar fields // Phys. Lett. A. 1992. 170., 405-408.

57. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Repts., 1983, V. 94. no. 6, C. 313404.

58. Olver P.J. On the Hamiltonian structure of evolution equations // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1980, V. 88, P. 71-88.

59. Pempinelli F., Potenza S. On a new hierarchy of nonlinear evolution equations containing the Pohlmeyer-Lund-Regge equation. //J. Math. Phys. 1986. V. 27. no. 12. P.2861-2867.

60. Pohlmeyer K. Integrable Hamiltonian systems and interaction through quadratic constraints // Commun. Math. Phys. 1976. V. 46. P. 207221.

61. Shabat A.B. Higher simmetries of two-dimmensional lattices // Phys. Lett. A. 1995. V. 200. P. 121-133.

62. Sokolov V.V., Svinolupov S.I. Deformation of nonassociative algebras and integrable differential equations // Acta Appl. Math. 1995. V. 41. P. 323-339.

63. Steudel H. Integrable theories of nonlinearly coupled Klein Gordon fields // Phys. Lett. 1985. V. A109. no. 3. P. 85-86.

64. Sym A. Soliton surfaces and their applications // Lect. Notes Phys. 1986. V. 239. P. 154-231.

65. Wahlquist H.D. and Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. 1975. V. 16. P. 1-7.

66. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. II. // J. Math. Phys. 1976. V. 17. P. 1293-1297.

67. Yajima N., Oikawa M. Formation and interaction of sonic-Langmuir solitons-inverse scattering method // Prog. Theor. Phys. 56 (1976), 1719-1739