Вырожденность законов дисперсии и многомерные интегрируемые дифференциальные уравнения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Ш 0'5, 9,5*

' ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИ Т.и.Т имени Иване Ддавахишвшш

На правах рукописи

Ц X А К А Я Давид Девиевич

УДК: 530. 182

•ВЫРОК'ДЕННОСТЬ ЗАКОНОВ ДИСПЕРСИИ И МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

( 01. 04. 02. - теоретическая физика )

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ТБИЛИСИ 1992

Работа выполнена в Институте физики Академии Наук Грузии

Научный руководитель:

- член-корреспондент АН Росии, доктор физико-математических наук Захаров В. Е.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук Патарая А. Д.

- кандидат физико-математических наук, доцент

Джавахишвили Дж. И.

Ведущая организация - Институт; ки АН ГР имени Андрия

Размодзе.

Защита состоится "2.$" мая 1992 г. в 14 час. 00 мин. на заседании специализированного совета Д.057.03.02 при Тбилисском государственном университете имени Иване Джавахишвили. Адрес: 380028, Тбилиси, пр. И. Чапчавадзе, №3, ТГУ. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан 4,23" ши^Л 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

Аладашвили Д. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА.

'„.,: РА БОТЫ-

- I ' . . ^

Актуальность темы. В последнее^время нелинейные процессы играет все большую роль в исследованиях в различных областях физики, {ак обычно, такие процессы описываются нелинейными дифференциаль-чыми уравнениями в частных производных, поэтому приобретает прин-дипиальное значение изучение этих уравнений. В этом направлении значительных успехов достиг метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), гозволяющий точно интегрировать некоторые классы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме точных решений, фименение МОЗР дает некоторую информацию и о структуре изучаемых 'равнений.'В частности, интегрируемые по МОЗР дифференциальные ура-мения имеют бесконечное множество интегралов движения и симметрии, меют солитонные решения и т. д. К сожалению, далеко не все урав-ения интегрируемы, поэтому принципиальным является разработка ке-одов, позволяющих проверить данную систему уравнений на интегрируемость по МОЗР.

Одним из универсальных методов проверки интегрируемости явля-тся метод Захарова-Шульмана /I/. В ней центральную роль играет воп~ ос вырожденности закона дисперсии относительно допустимых процессов аспада " т волн на п волн". Оказывается, для существования у си-гемьг дополнительных интегралов движения (что является необходимым :ловием интегрируемости по МОЗР) необходима или вырожденность за-жа дисперсии относительно данного процесса, или равенство нулю I резонансной поверхности этого же процесса соответствующего мат-1чного элемента классической матрицы рассеяния. Как показывает эактика, обычно достаточно рассмотреть первые,два-три процесса, »этому особый интерес представляет изучение вырожденности законов

дисперсии относительно простейшего процесса распада I—-2. Важное: этого вопроса не исчерпывается его значением для метода Захарова-Шульмана. Как показано этими же авторами /2/, от вырожденности закона дисперсии относительно процесса I—зависит, является или нет интегрируемой по Лиувиллю данное многомерное гамильтоновое boj новое уравнение с бесконечным числом интегралов движения. Кроме тогр, если закон дисперсии гамильтоновой системы с кубическим взаимодействием вырожден относительно этого процесса, то соответствующее кинетическое уравнение, независимо от конкретного вида гашш тониана, имеет бесконечное число интегралов движения /3/.

Целью диссертационной работы является исследование вопроса вырожденности многомерных законов дисперсии относительно процесса I—-Z и проверка на интегрируемость по МОЗР конкретных систем: системы уравнений Захарова-Михайлова /4/ и системы уравнений несимме тричного кирального поля на

Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертационной работе получены условия, которым должны удовлетворять вырожденные многомерные законы дисперсии. Их использование, в большинстве случаев, дает возможность без особого труда установить вырожден или нет данный закон'дисперсии относительно процесса 1-*2 (речь идет о процессах распада с участием одного типа волн). В свою очередь, это позволит установить интегрируемо или нет по Лиувиллю данное нелинейное дифференциальное уравнение и имеет или нет соответствующее кинетическое уравнение дополнительные интегралы движения. Кроме того, проверка вырожденности закона дисперсии отно сительно процесса I—»2 - эта первая (и иногда конечная1 ступень проверки самого уравнения на существование дополнительных интегралов движения и его интегрируемости по МОЗР.

В диссертации получены условия интегрируемости по МСЗР систем уравнений Захарова-Михайлова и несимметричного кирального ноля на

. Использованный при этом оригинальный метод поиска ингег->алов движения у соответствующих систем обыкновенных дифференциаль-гых уравнений, можно применить и дл^других конечномерных систем, :оторые имеют полиномиальные интегралы движения.

К защите представлены следующие результаты:

1. Найдены двумерные вырожденные законы дисперсии (л) [к) —

и соответствующие единственные функции вырожденности, го однородные полиномы третьей степени по р и ^ и законы дислер-1И типа (20).

2. Среди аналитических в нуле многомерных законов дисперсии, ¡.овлетворяюших условию СО(0) ~ О > вырожденными на классе доиус-1мых функции (см. (3)')относительно процесса 1~*2 могут быть толь> двумерные, которые или имеют вид однородного полинома третьей 'епени, или при X *0 разлагаются в следующем виде

ы(Л~¿х/^к;м<3)(к) + ... ,

исутствие полинома необходимо, причем он должен

зть три вещественных корня, два из которых совпадают. Найден ряд /тих необходимых условии вырожденности.

3. Рассмотрены условия вырожденности многомерных законов диспер-; I, которые при больших К разлагаются в виде (15) с неквазиодно->ным

. Доказано,что законы дисперсии размерности боль-чем два, удовлетворяющие этому условию, невырокденны на соответ-уюцем классе допустимых функции (см. (16)) относительно процесса ♦2. Невырожденны также двумерные законы дисперсии с /Vф1 3

N — 3 , среди двумерных законов дисперсии, удовлетворяющих олнительно одному из приведенных в теореме 2.2 условий, вырожден-

ными на соответствующем классе допустимых функции могут быть тольи перечисленные в пункте I. законы дисперсии.

4. Система уравнений оахарова-Михайлова (24) с невырожденным J интегрируется но tóO&P только тогда, когда она совпадает с сис темой уравнений несимметричного кирального поля на SD(3) , т. е • когда J ~ ~ О

о. При выполнении условия (37), система уравнений несимметрич ного кирального ноля на SO(^f) не интегрируется по МОЗР за исключением случаев (38), (39) и (40). Б первом случае система ингег рируема, а в двух остальных вопрос остается открытым. Найдена все интегралы движения, которые имеет соответствующая редукцированная система обыкнавенных дифференциальных уравнений.

Апробация результатов. Основные материалы диссертации опублик ваны в 4-х научных работах и докладывались на Международной конференции по нелинейным явлениям в физике (1991, Потсдам (США)).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введена трех глав, в которых изложены результаты работы, Заключения с осно ными выводами и списка литературы из 108 наименований. Работа изло жена на 106 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

tío Ьведении обоснована актуальность темы диссертации, вкратце изложен метод проверки интегрируемости но МОЗР ¿ахарова-iii,ульмана и дается определение процесса распада I —»2:

ьо (К, +\<7) — U(Kt) +ÜJ(K2)

(I)

- закон дисперсии дифференциального уравнения. Далее, сформулирована задача исследования, дается обзор существующих по этой теме работ и приводятся основные результаты диссертации.

В первой главе исследуется вырожденность относительно процесса I —» 2 аналитических в нуле многомерных законов дисперсии. Во Введении главы даются определения резонансной поверхности процесса I —► 2, понятия вырожденности закона дисперсии и класса допустимых функции.

Вся поверхность в пространстве /с^ Ц К % , которую определяет .уравнение (I), называется резонансной поверхностью процесса I— и обозначается Г ' .

Определение. Закон дисперсии

называется вырожденным

на заданном классе функции в точке Р резонансной поверхности Г ' ёсли существует принадлежащая заданному классу функция ^(к) , линейно независимая от (К ) и компонентов вектора К и удовлетворяющая уравнению

/(к}+/г,) = /(к1)ч-/а?2) (2)

в окрестности точки Р на' Г^ .

Класс допустимых функции определяется следующим образом: будем говорить, что функция ^ (К ) ■ допустима, если он& удовлетворяет условию

ос .

1^1« 1; о)

/=/1

где ^ (к) однородные функции с показателей однородности - / , а Л целое число. Причем, в двумерном случае необходимо, чтобы функция

имела особенностей (по "5 ) кроме полюсов конечного порядка. Что

же касается случая большей размерности, то в этом случае требуется, ... чтобы функция (К) не равнялась тождественно нулю ни в

одной вещественной с/ -мерной области, где с^ -размерность 1< (в дальнейшем такие функции называются нормальными).

Б § 1.2 исследуег&я вырожденность двумерных аналитических законов дисперсии относительно процесса I —>2. Так как формула (I) .V инвариантна относительно добавления к и) (К) линейных форм от К , то для простоты принято, что разложение ■ К ) вблизи ^ = не содержит линейных по К членов.

Доказывается следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть Ш аналигична по р и ^ в ок-

рестности и ¿о(0)='0 . Тогда

1. Для того, чтобы и ( ]< ) была вырожденна в точке £ = (2 на классе допустимых функции, необходимо, чтобы при р^ _

2. Соответствующая функция вырожденности ^ (к) единственна с точностью до умножения на константу и добавления линейных форм от Ы1Ю и .

3. При малых р , функция ^ (К) имеет вид

(4)

где

Для доказательства теоремы, в области малых К2 вводится следующая параметризация резонансной поверхности /~* 2 :

Г1!2

Здесь , уэ и ^ независимые координаты на поверхности / в окрестности б - . > а функции . , $ ■ опреде-

1яются из уравнения (I).

Параметризация (5) подставляется в уравнение (2) и полученное зыражение разлагается гго ^ . Группируя члены с разными степенями 10

, получаем систему уравнений для функции вырожденности [ункт 3. теоремы вытекает из первого же Сравнения. Далее, представая ряд Тейлора функции СО (р, в виде разложения по одно-гадным полиномам

со

п=// ^ (6)

= со Ф!(к) , СЛ = соп^е , = 1

устремляя р , £ к нулю (но « I р11 > / )

эрвые три уравнения системы принимает следующий вид:

х'^^-мт/ + х(у[э(? +

+Мь))(з-2А'<У + (Ъ+АС$)}*

)'+ ^ ^<С 'Л V -

-^¡(0) - у; + '

где = , + 2 ^(Ъ) ,а

^ — старший член разложения ^ Г А'/ (4).

доказывается, что в классе допустимых функция система (7) имеет решение только при Л/ =3 и это решение, а также соответствующая функция ^(к) , единственны (с указанной выше точностью). Эти-л доказательство Теоремы 1.1 завершается.

Теорема 1.2. Любой однородный третьей степени полином вырожден на классе допустимых ^ ) .

для доказательства теоремы, кубический полином без нарушения общности записывается в виде

^^^ - ¿у , Я>0 (8)

и непосредственно проверяется, что функция

является соответствующей функцинй вырожденности относительно процесса I —»2.

Далее доказывается следующая теорема

Теорема Полином третьей степени, приводящийся к виду (а) с ^ ^ р ч нельзя дополнить членами болие высокой степени одно-

родности так, чтобы получающийся при-этом закон дисперсии был вырожден на классе допустимых /(Ю- .

Для доказательства теоремы параметризация (5) вновь подставляется в уравнение '(2) и полученное выражение разлагается по Группируя члены с разными степенями по Ж и устремляя р , ^ к нулю, получаем систему из трех уравнении, линейно содержащую следующие, (за Ьи^Чк) и ) члены разложения и>(К) и / {£) ~ . (см- (4) и (6)). При этом, без нарушения общности считаем, что старшие члены разложения и(/<) и соответственно имеют вид (8) и (9). Доказывается, что при 0 эта система уравнений не имеет решения, т. е. справедлива Теорема 1.З.- Кроме того, получено условие для , которое необходимо для вырожденности "дополненного" закона дисперсии. Это условие имеет следующий вид:

(10)

где . при О-

Заметим, что целые решения /7 существуют только при /1=5, 9 % и 9К - 2, где ТС натуральное число.

В § 1.3. рассматривается вырожденность аналитических законов дисперсии размерности больше чем два.

Доказывается справедливость следующей теоремы: Теорема 1.4. Пусть закон дисперсии и>(К) , ,.

аналитичен в окрестности К—0 и Сь>(0) ~ 0 . Тогда он невырожден на классе допустимых функции.

Для доказательства вводится многомерный аналог пар.ягетризации

- 12 -

(5) резонансной поверхности

^ = И №1«! ,

которая подставляется в уравнения (I), (2). Разлагая полученные выражения по ЗС. и оставляя старшие по члены, получаем следующие уравнения:

= . (13>

Затем, одно из частных решений первого уравнения рС подстав-

ляется в уравнение (12) и доказывается, что единственное решение ^ (к) полученного уравнения (линейно независимое от эта линейная по своим аргументам функция. Это противоречит условию вырожденности и, таким образом, доказывается Теорема 1.4.

В Заключении первой главы суммируются полученные результаты и рассматривается закон дисперсии важного для физики уравнения волн Россби во вращающейся жидкости и дрейфовых волн в плазме

£

П-—-"Г П4>

\ ■+ р у2

Доказывается, что на классе допустимых функции этот закон дисперсии невырожден относительно процесса I—»2 (хотя, как показано в работе /5/, существует функция вырожденности, не принадлежащая классу допустимых функции).

Глава II посвящается исследованию вырожденности многомерных законов дисперсии относительно процесса распада I—*2 в области боль-

ШЫХ ¡С2 . Во Введении приводится условие, которому должны удовле-

творять исследуемые в этой главе законы дисперсии

ОО

1X1«'

где А/ натуральное число больше единицы, а ЬОи> ( К) однородные нормальные функции с показателем однородности /

В Главе II будем говорить, что функция -^[к) допустима, если она удовлетворяет - условию

I V \ — V £ /1,7'

Ш)= Г /¡НЮ,

(16)

¿ = 0

р^е (¿У , / «I, 2,..., любые (вещественные) числа отличающиеся друг от друга не на целое число, а ^ ¡С) однородные нормальные функции с показателем однородности

. В § 2.2 исследуются двумерные законы дисперсии.

Доказывается следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть двумерный закон дисперсии удов-

летворяет условию (15) с /УфЗ. и пусть функция Ь0[М}(р, <£) не квазиодномерна, т. е.

( (/ и Л константы). Тогда на классе допустимых функции невырожденна относительно (I).

Для доказательства теоремы в области больших К2 резонансная поверхность Г параметризуется следующим образом:

г^-кг- 1х1<<^ ш

¡>0 1>0

Здесь р и ^ независимые координаты, а функции /^ ■ ,

определяются из уравнения (I).

Параметризация (18) вводится в уравнение (2) и полученное выражение разлагается по <№ . Как и в первой главе, группируя члены с разными степенями по X. < получаем систему уравнений для функции вырожденности ^ (К) .С использованием этой системы доказывается следующая лемма:

Лемма 2.1. Если двумерный закон дисперсии вырожден на классе допустимых функции и удовлетворяет условию (15) с неквази-одномерным

, то соответствующая функция вырожденности, с точностью до добавления линейного по члена, однородная фун-

кция первой степени - £ (р, ^) — 'р у ( Чт/р)

С учетом Леммы 2,1, первые два уравнения системы (при А/фЗ) принимают следующий вид:

^ ? (19)

-ех р1(/у-1)ПЫ

Эти уравнения не имеют общего решения, поэтому не существует соответствующего ^(К) , чем и доказывается справедливость Теоремы 2 Л.

В случае когда /¡/^ 3 , доказывается следующая теорема:

Теорема 2.2. Пусть двумерный закон дисперсии .удовлетворяет условию (15) с /К= 3 , где функция = — р^Ж^/р) н® квазиодномерна и не представляет собой однородный полином по р и с^ . Обозначим через 3) комплексную область, на которой существуют аналитические продолжения функций ,

-зЖУ/Я'Ш ■ Тогда, если на действительной оси и в области $) (если она существует) функция

Я 09 удовлетворяет одному из следующих условий:

а) Имеет хотя бы один полюс конечного порядка в области

б) Имеет нуль выше первого порядка;

в) При некотором пути стремления >оо , имеет конечный предел, или полюс конечного порядка, за исключением второго и третьего порядка;

То на классе допустимых функций Со>{к) невырожденна относительно (I).

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Выводится система уравнений для функции

доказывается, что если 52 ^^ удовлетворяет одному из условий Теоремы 2.2, эта система не имеет решения. Показано, что закон дисперсии

тде С < 0 , ^ 0 , вырожден относительно процесса Т-* 2 I соответствующая функция вырожденности имеет вид (9).

В §2.3. исследуются законы дисперсии размерности больше чем

,ва.

Доказывается справедливость следующей теоремы:

Теорема 2.3. Пусть закон дисперсии и> (\с) - размерности

больше чем два, удовлетворяет условию (15) с неквазиодномерным СО ((С) . Тогда он невырожден на классе допустимых функции относительно процесса I—»2.

Как и раньше, для доказательства вводится параметризация резонансной поверхности Г*'2' :

зг -J •• (21)

(h) /-1'

в i:t>0

где оС размерность СО (К} • Подставляя эту параметризацию в уравнения (I) и (2) и оставляя старшие по члены, получаем

j ^'M'O , (й2)

Выражая затем из первого уравнения и подставляя его во вто-

рое уравнение, доказывается, что (К) может зависеть от К только линейно. Это противоречит условию вырржденности и, таким образом, доказывается Теорема 2.3.

В Заключения суммируются полученные в этой главе результаты. В Главе П1 проверяются на интегрируемость по МОЗР системы уравнений Захарова-Шульмана и несимметричного кирального поля на

SOih) .Во введении дается краткое описание используемых методов проверки интегрируемости.

В § 3.2 проверяется на интегрируемость система уравнений Захарова-Михайлова:

* I - (24)

in = +S~*ts' ,

, ^ - диагональные матрицы, а знак " * " означает векторное произведение.

Сначала, основываясь на результаты работ /6/ и /7/, получены следующие необходимые условия для интегрируемости по МОЗР системы (24):

"]- с&л^ (7, / , У3) !

, (256)

]+=<Ьар(0,7/, 0) , Г= ^{0, о, ];).

Здесь учитывается инвариантность системы относительно добавления к или ] любой матрицы, которая пропорциональна единичной

матрице.

Далее, для проверки интегрируемости в случае (25а) используется метод Захарова-Шульмана, а в случае (256) метод, который основан на требовании, что система обыкновенных дифференциальных уравнений должна быть интегрируемой, если она редукцированна из интегрируемой по МОЗР системы дифференциальных уравнений в частных производных. В первом случае вводятся новые переменные и система (24) записывается в гамильтоновом виде в Фурье представлении

= Ш- , ¡Щ1=Ж. . (аи

И ¡аМ и Шк)

Здесь О. (К) и новые переменные, а ^ гамильтониан системы (24). Соответствующие законы дисперсии имеют следующий вид: _^

и^М^схтМ -^-/й^РТТ ,

_^ (27)

и. (К) = оъпМ +Х-]\л/2к2 + { , и/

где •

ъи+Ия 1

Далее рассматривается процесс 3—>3 с участием волн типа с({/С) и доказывается, что закон дисперсии ¿о^С/с") невырожден относительно этого процесса. Тогда, для интегрируемости по МОЗР необходимо равенство нулю на резонансной поверхности этого же процесса соответствующего матричного элемента классической матрицы рассеяния. Показано, что для выполнения последнего условия необходимо — = 0 . Повторяя эти рассуждения для провеса 3—с участием волн типа (К) , получаем аналогичное условие интегрируемости

= 0 . Таким образом, в случае (25а) для интегрируемости по МОЗР системы (24) необходимо = О

Для случая (256), путем редукции Ь/^ ^ , —* <({

из (24) получена система обыкновенных дифференциальных уравнений. На, поверхности она представля-

ет гамильтонов.у» систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом

Г Г) +?($'+ Ж) + ($1ТВ') . (28)

Для интегрируемости по МОЗР системы (I) необходима интегрируемость редукцированной системы', т. е. существование второго интеграла движения. Чтобы найти этот интеграл, преобразованием £ —* —* £ вводится параметр £ и разлагается по нему предпо-

лагаемый интеграл. Начиная поиски со старшего по £ члена, доказывается, что уже второй член этого разложения, и поэтому весь интеграл, существует только при — 0 йли _73 = 0 • Если при этом соответственно зЬ 0 или 1+ ф 0 , то тогда

з 2

(256) совпадает с неинтегрируешм по МОЗР случаем (25а).

Таким образом, доказывается, что при невырожденном ] не-

обходимым условием интегрируемости по МОЗР системы уравнений Захарова-Михайлова является . Если ]- — О , то система (24) совпадает с известной интегрируемой системой уравнений несимметричного кирального поля на $0(1) /8/.

В § 3.3 проверяется на интегрируемость по МОЗ? система уравнений несимметричного кирального поля на 5* 0 (¿t)

где и В - антисимметричные матрицы 4->«4, принадлежащие алгебре Ли группы $ О (Jf) • "J - постоянная симметричная матрица с нулевыми диагональными элементами — 0 , произведение " • " означает следующую операцию: = А С использованием линейного преобразования

a-(Ai2 +/U, ; Алз f А, J ,

и введением матрицы

jl}±jH/7J1±jH)i od

система (29) записывается в более простом виде

& = «»(Tc4-rd) , ¿¡-^¿»(Гс+ГЗ), дЪ ЬУ

Исследуется случай с невырожденными матрицами

Г и 7"

После проведения редукции ^ , ^^ц ^^ » из ' 32) по-

лучается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая на поверхности ¡а) / ^ \с\ , ¡^( пред-

ставляет собой гамильтоновую систему с четырьмя степенями свободы. Для интегрируемости по ЮЗР системы (32) необходима интегрируемость редукцированной системы.

Основываясь на результаты работ /6/, /7/, получено следующее необходимое условие интегрируемости

+ ¡=1,2,3, (33)

где с/ произвольная константа. При 0 возможны два

варианта

1+ ~± у

(34а)

или

= ^ = ; (34б)

где ) ^^ ^ К .В первом случае система (32) разбивается

на две системы - систему уравнений несимметричного кирального поля на $0(3) , которая интегрируется по МОЗР, и систему линейных уравнений. Это означает, что в случае (34а) система (32) вцелом интегрируется по МОЗР. Во втором случае, к сожалению, большей информации об интегрируемости не получено. Это относится и к случаю с ¿^Ф 0 > когда хотя бы два, компонента матрицы У * (или ) ) совпадают по обсолютной величине.

В случае с 0 , когда все компоненты матрицы У +

(и У ) различны,или совпадают только два из них (по обсолютной величине), кроме гамильтониана •

Н=(г, Г С )+(а, Т1)+(?, 1+2)+(I Ус) (35)

найдено еще два интеграла движения редукцированной системы

Г2 = ч-Сс^с) +

+ (I, Р!) +

+ (2,1с), (36)

где Р , А/ , & , и А

диагональные матрицы

следующего вида

1 = Йг КК(К*-?**) ,

м^ЫЮГ-У?*) , с^пг^и*1-:;2) ,

"(У72-Ур,

Для интегрируемости системы необходимо существование еще одного интеграла движения. Используя оригинальный метод, доказывается, что такой интеграл не существует и поэтому редукцированная система неинтегрируема. Суть метода заключается'^ следующем: преобразованием & , <£—* £ с( и , С; , ^С/, ¡— 4J 2 , вводятся параметры Х- , £ , ^ и разлагаются по ним интегралы движения редукцированной системы. При М. , £ ,

X 0 редукцированная система решается в явном виде и доказывается, что на поверхности ¡CC I* } ¡&¡ ¡ ¡C ! } ¡O(¡ — — OOTiM система имеет всего четыре независимых интеграла. При

= 0 и любом ¿Г эти интегралы найдены. Три из них соответствуют старшим членам разложения H » и Xг • Если существует четвертый независимый интеграл редукцированной системы, то при , £ —* 0 старший член его разложения должен выражаться через некоторую комбинацию найденных интегралов системы с — = £ = 0 . Записывая в общем виде эгу комбинацию, доказывается, что не существует уже следующего члена разложения по £ , т. е. не существует самого четвертого интеграла движения.

Итак, приходим к заключению, что при невырожденных матрицах J система (32) интегрируется по МОЗР в случае (34а), не исключается интегрируемость в случае (346) и в случае (33), когда хотя бы два компонента матрицы (или J ) совладают, а в остальны> случаях система неинтегрируема. Для системы (29) этот результат формулируется следующим образом: при выполнении условия

. «И

для всех ) ф J. ф к zfz t <~ система .(29) не интегрируется по МОЗР за исключением случаев

J^j — O J \~i t2 п зафиксировано (38)

J¡K = J¡j = Jjcj —0 j ¡Ф+ФК (39)

^¡К ^JC ^ Ък 7/е Для всех ' ¡ф^фЦф СJ

iïtnsl = Ünsl , Г*ФГ)ф s ,

где S пробегает два значения, a m и л зафиксированы. При этом, в первом случав система интегрируется по МОЗР, а в двух остальных вопрос остается открытым.

В Заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые приводились в пункте " К защите представлены следующие результаты" и обсуждаются перспективы их применения.

МАТЕРИАЛЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Цхакая Д. Д. Об условиях интегрируемости уравнений, описывающих взаимодействие встречных волновых пакетов различной поляризации в нелинейной оптике. - Теоретическая и тт. физика, 1989, т. 81, с. 154 - 157.

2. Цхакая Д. Д. Об условиях интегрируемости уравнений несимметричного кирального поля на SC(^t) . - Теоретическая и мат. физика, 1990, т. ЬЗ, № 3, с. 334 - 341.

3. Шульман Е. И., Цхакая Д. Д. О вырожденных аналитических законах дисперсии. - Теоретическая и мат. физика, в печати.

4. Цхакая Д. Д. О вырожденных многомерных законах дисперсии. -Теоретическая и мат. физика, в печати.

5. Schulman B.I., 'l'skiiakaya D.D., On analytic degenerate dispersion laws, Intern, workshop on nonlin. p±oc. in physics, Postdam (USA); 1-11 August 1991, (Abstarcts).

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

I. Zakharov V.E. and Schulnian ii.I. On additional motion invari-

ants of classical Hamiltonian wave systems. - Physica D, 1988, v,29, Яо.5, pp.283-521.

2. Захаров В. E., Шульман E. И. О матрице рассеяния и интегрируемости классических волновых систем, обладающих дополнительным интегралом движения. - ДАН СССР, 1985", т. 283, №6, с.

1325 - 1328.

3. Zakharov V.E. and Schulman E.I. Degenerative dispersion laws, motion invariants and kinetic equations. - Physica 1D, 1980, v.1, До.2, pp.191-202,

4. Захаров B.E., Михайлов А.'В. Домены поляризации в нелиней-

г

ной оптике. - Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 45, № 6, с. 279 - 282.

5. Balk A.M. On tfce new invariant for Kossby waves systems. -Fhys.Lett., 1991, v.155 A, No,1, pp.20-24.

6. Веселов А. П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на 50(4) .. - ДАН СССР, 1983, т. 270, 1Р б, с. 1298 - 1300.

7. Веселова. А. Н. О динамике тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. - Вестник ЫГУ. Сер. мат. мех., 1985, № 2, с. 64 - 67.

8. Чередник И. В. Релятивистски - инвари4нтные■квазиклассические пределы интегрируемых двумерных квантовых моделей. - Теоретическая и мат. физика,. 1981, т. 47, № 2, с. 225 - 229.

оьйз^ой с? ¿зоил тазои <ээ

15ПЬЗЗй1)ПП!) «ЗЙ6П60501)

аз^-ьазйАэазсзп&б О б 6 О 4 А О & 5? О

ел ¿в ¿ч 5 бб1па о с оа о леи 1?090<чОбоойе?эАо аобапчоаоао

( ЛзЬзс;

01 а Г) <5 о Ь О 1992

ПЕЧАТНЫХ.Л. - 1,5 УЧЁТ.ИЗДАТ.Л.-1.1

БЕСПЛАТНО

ЗАКАЗ № 14ДЗ ТИРАЖ 100

У^П ГРУЗГИДРОМЕГА, ТБИЛИСИ пр. ДАВИДА АГМАШЕНЕБЕЛИ 150