Размножение нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

на правах рукописи

ЗЫКОВ СЕРГЕЙ АРЛЕНОВИЧ

Размножение нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики

01.04.02. - Теоретическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2004 г.

Работа выполнена в Институте физики металлов УрО РАН Научный руководитель:

профессор доктор физико-математических наук Александр Борисович Борисов

Официальные оппоненты:

профессор, доктор физико-математических наук Евгений Алексеевич Памятных профессор, доктор физико-математических наук Анатолий Михайлович Камчатнов

Ведущая организация:

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

Защита состоится 20 апреля 2004 г в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.024.01 при Институте электрофизики УрО РАН (620016, Екатеринбург, ул. Амундсена, 106, ИЭФ УрО РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЭФ УрО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного с доктор физико-мат

«/9 » ЛЬ

г^А.

2004 г.

овета профессор .—> ___.

матических наук

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Практически всякая модель теоретической физики представляет результат некоторого приближенного описания реальных физических явлений. Цель приближений заключается в изучении основных взаимодействий, определяющих главный вклад в физику процесса, в выяснении основополагающих связей между явлениями.

В то же время, ограничения на модель накладываются, как правило, такие, чтобы для нее можно было найти решения в явном виде или достаточно полно их исследовать.

Интегрируемые нелинейные уравнения теоретической физики не являются в этом смысле исключением. Они учитывают не только линейную дисперсию системы, но и основной вклад нелинейного взаимодействия. У самых различных процессов нелинейное взаимодействие имеет в нервом приближении похожий вид и часто определяется геометрией задачи. Поэтому интегрируемые уравнения, как правило, настолько универсальны, что одно и то же уравнение описывает самые разнообразные физические процессы в гидродинамике, оптике и физике конденсированного состояния.

С другой стороны, для ряда нелинейных моделей разработаны глубокие и конструктивные аналитические методы, такие как метод обратной задачи рассеяния [1] и метод "одевания", направленный, в частности, на построение многосолитонных решений посредством применения преобразования Дарбу [2].

Для применимости как первого, так и второго метода нелинейное уравнение для поля и должно быть представлено в виде условия совместности линейной системы дифференциальных

уравнений

-фх = й(и,Х)ф

Й = (1)

для вспомогательной функции ф. Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в 1968 г., а систему (1) называют U-V парой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Для уравнений теоретической физики, ассоциирован-

з РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ/

БИБЛИОТЕКА I

ных с некоторой парой Лакса, можно соответствующими методами решать начальную задачу Коши и находить обширный класс явных решений.

Таким образом, одной из важных и актуальных задач физики нелинейных явлений и теоретической физики является нахождение новых интегрируемых моделей, ассоциированных с ними пар Лакса и преобразований Дарбу - Беклунда.

К настоящему времени известен ряд методов, позволяющих как находить новые интегрируемые уравнения математической физики, так и применять к уже известным метод обратной задачи рассеяния и метод "одевания". Среди них необходимо отметить следующие.

♦ Метод обобщенных симметрий позволяет строить интегрируемые модели с заданным линейным законом дисперсии. Наиболее полно этим методом были исследованы эволюционные системы — системы, в которых учитывается только первая производная по времени. Но этот подход не даёт представления Лакса для найденных интегрируемых моделей.

♦ Метод Уолквиста - Эстабрука не позволяет регулярным образом строить новые интегрируемые системы, но для заданного нелинейного уравнения сводит задачу нахождения U-V пары к вопросу о конечномерных редукциях алгебры операторов Ка-ца - Муди. Поскольку вопрос о разрешимости произвольной алгебры остается открытым, этот метод также нельзя считать универсальным, хотя он и дает ответ об интегрируемости нелинейных уравнений в ряде практически важных случаев.

♦ Метод одевания и квантовый метод обратной задачи рассеяния позволил получить большое число интегрируемых систем.

♦ С помощью теста Пенлеве часто удается проверить на интегрируемость имеющееся нелинейное уравнение, построить пару Лакса или найти широкие классы решений для уравнений, близких к интегрируемым. Основная идея заключается в разложении общего решения нелинейного уравнения в ряд Лорана по множеству особенностей. Если уравнение интегрируемо,

в сумме можно оставить только конечное число членов. Возникающая при этом система уравнений на функцию, определяющую многообразие особенностей, и является, по сути, парой Лакса. Однако этот метод требует большого искусства, поскольку успешность его применения зависит от формы записи уравнения, а порядок матриц U и V, даже если они существуют, заранее неизвестен. Например, в общем случае неясно, как линеаризовать систему уравнений на многообразие особенностей.

Кроме того, существуют трудности в применении перечисленных методов, за исключением последнего, к многомерным (размерности 2+1 и 3+1) уравнениям.

Указанные выше недостатки существующих методов обуславливают необходимость в новых алгоритмах для построения интегрируемых нелинейных уравнений теоретической физики и ассоциированных с ними пар Лакса.

Другая актуальная задача, решаемая в диссертации, связана с построением решений, описывающих распределения намагниченности в ферромагнетиках. Экспериментально наблюдающиеся квазистационарные структуры типа наборов кольцевых доменов в двумерных ферромагнетиках |3] — "мишеней" — не были ранее описаны теоретически [4[. Пониманиюпричин устойчивости таких структур препятствует отсутствие возможности измерения колебаний параметра анизотропии на расстояниях порядка ширины доменной стенки. В то же время было известно, что для образования таких структур используется в том числе точечное механическое воздействие на двумерный ферромагнетик. В результате, выделенная таким образом точка становится центром "мишени". Задача состояла в определении условий на локальные параметры магнетика, при которых двумерная структура типа "мишени" может стационарно существовать.

Цели диссертационной работы состояли в следующем:

1. развить методы регулярного построения интегрируемых моделей и ассоциированных с ними пар Лакса;

2. найти ранее неизвестные нелинейные интегрируемые системы;

3. изучить решения нелинейной системы, близкой к интегрируемой, которая описывает новые типы нелинейных структур в ферромагнетиках.

Направление и методы исследований. Исходным пунктом для построения новых интегрируемых уравнений и систем теоретической физики в диссертации являются уже известные нелинейные интегрируемые модели, для которых известна ассоциированная с ними пара Лакса. Построение пар Лакса для получаемых в диссертации систем основано на использовании дискретных симметрий исходной интегрируемой системы. Предложенная в диссертации (главы 2-3) процедура размножения интегрируемых уравнений использует метод одевающих цепочек, предложенный в работах [5,6|. ' Наличие дискретной симметрии у исходного уравнения и ассоциированной с ним пары Лакса позволило построить дифференциальные связи между решениями модифицированных систем -нелинейных уравнений, построенных путем исключения полей исходного уравнения из пары Лакса (1). Построенные таким образом преобразования Беклунда приводят после определенной замены к парам Лакса, ассоциированным с полученными в работе моделями- Так как удалось получить пары Лакса для модифицированных систем, стало возможным повторить процедуру уже для модифи-цированых уравнений.

Для построения решений одевающей цепочки уравнения sin-Гордон было использовано ее замыкание, приводящее к дискретному спектру (для соответствующей спектральной задачи) в виде геометрической прогресси. Впервые такое замыкание было использовано для уравнения Кортевега-де Фриза в работе [7].

Поскольку в той или иной степени интегрируемые нелинейные уравнения являются приближениями реальных физических процессов, для получения решений, соответствующих эксперименту, приходится использовать численные методы. В четвертой главе диссертации для получения решений типа "мишеней" и оценки величины колебаний параметра анизотропии вблизи центра мишени уравнение Ландау - Лифшица сведено (с учетом геометрии задачи) к уравнению математического маятника с действующей на него переменной силой. Соответственно задача нахождения решений с

с

конечной энергией сводится к поиску сепаратрисных решений на фазовой плоскости.

При анализе возможных неоднородностей одноосной анизотропии принимались во внимание результаты, полученные ранее для плоской доменной стенки. А именно, что небольшая область с более высоким значением параметра анизотропии способна удерживать доменную стенку [8].

На защиту выносятся

1. метод "размножения" нелинейных интегрируемых уравнений,

2. новые интегрируемые модели: "дважды модифицированные" уравнение sin-Гордон и система Додда - Буллафа,

3. новые типы решений в модели Ландау - Лифшица — статические "мишени" из кольцевых доменов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается их совпадением с ранее известными, когда они имеются. В частности, для уравнения Кортевега - де Фриза процедура размножения интегрируемых уравнений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Фриза. Повторное применение процедуры приводит к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегас-периса, а следующее — к эллиптическому уравнению Калоджеро. В этом и других примерах для реализации громоздких аналитических вычислений были использованы программы компьютерной алгебры, результаты работы которых контролировались известными примерами интегрируемых систем и их решений.

Достоверность численных расчетов подтверждается аналитическими результатами, полученными в работе для тех же решений. В частности, при построении решений, описывающих распределения намагниченности, использовался метод анализа на фазовой плоскости соответствующей механической задачи (математического маятника) .

Научная новизна диссертации определяется следующим.

1. Впервые предложена процедура построения не только серий интегрируемых моделей, но и ассоциированных с ними пар Лакса.

2. Найдены новые нелинейные интегрируемые системы и связанные с ними преобразования Беклунда.

3. Для модифицированной. модели sin-Гордон найден новый тип 2я--кинка, представляющий связанное состояние из двух 7т-кин-ков.

4. Для дискретной цепочки, связанной с моделью sin-Гордон, найдены новые решения, которые отвечают бесконечному дискретному спектру в терминах метода обратной задачи рассеяния.

5. Численными и аналитическими методами исследованы существенно нелинейные структуры типа магнитных вихрей и "мишеней" из кольцевых доменов в легкоосных ферромагнетиках.

Практическая значимость работы. Предложенным в диссертации методом найдены новые интегрируемые модели. В отличие от других методов, предложенная процедура дает также представление Лакса для получаемых уравнений. Это открывает перспективу применения. метода обратной задачи рассеяния для новых нелинейных уравнений. Метод "размножения" нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики применим для построения новых многомерных моделей. Поскольку интегрируемые уравнения, как правило, универсальны, они могут найти практическое применение при анализе нелинейных явлений и процессов в разных областях физики конденсированного состояния.

Отличительная черта моделей, построенных впервые — наличие неполиномиальных нелинейных членов, которые содержат производные полей модели. Такие интегрируемые уравнения ранее не поддавались классификации. Модели, полученные впервые, могут быть использованы для более адекватного описания явлений с более сильными нелинейными взаимодействиями. Кроме того, решения впервые построенных интегрируемых моделей связаны с решениями исходных и могут быть использованы для построения новых решений уже известных интегрируемых систем.

Решения для дважды модифицированного уравнения sin-Гордон имеют вид качественно совпадающий с видом решений — двух кинков - для двойного уравнения sin-Гордон. Отличие заключает -

ся в отсутствии излучения волновых пакетов при движении кин-ков, поскольку новая модель (дважды модифицированное уравнение sin-Гордон) является интегрируемой. Для модели sin-Гордон, которая ранее использовалась в качестве нулевого приближения, таких решений нет.

Результаты работы (глава 4) могут быть использованы также при исследовании условий возникновения структур типа "мишеней" в ферромагнетиках. Такие двумерные структуры привлекают внимание благодаря высокой плотности доменных стенок в центре, и, как следствие, перспективности их применения в устройствах хранения информации.

Реализация результатов. Предложенная в диссертации процедура размножения интегрируемых нелинейных уравнений применима также к уравнениям размерности 2+1. Это было продемонстрировано в работе [9] на примере уравнения Кадомцева - Петвиа-швилли. Кроме того, найденное в работе [1*J "дважды модифицированное" sin-Гордон уравнение послужило импульсом к классификации уравнений вида uxt = F(u,uTlut,x,t), обладающих интегралами [10,11].

Вследствие вышесказанного процедура размножения интегрируемых нелинейных уравнений используется в спецкурсе "нелинейные явления", читаемом на Кафедре теоретической физики и прикладной математики УГТУ (УПИ).

Апробация работы. Основные результаты, составляющие содержание диссертационной работы, изложены в публикациях [1* - 5*|.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены диссертантом в виде докладов на следующих международных конференциях и симпозиумах: Международном семинаре "Дни дифракции" (С.Петербург, 1997), Зимних школах физиков-теоретиков "Ко-уровка" (Кыштым - 2000, Кунгур - 2002), Второй международной конференции "Нелинейные модели в математической физике" (Челябинск, 1998), Международной конференции "Nonlinear science festival" (Copenhagen, 1998), Тринадцатом симпозиуме по нелинейным явлениям "Nonlinear Evolutional Equations and Dynamical Systems" (Creet, 1999), Первом евро - азиатском симпозиуме "Прогресс в магнетизме" (Екатеринбург, 2001), Пятой конференции но

симметриям и интегрируемости разностных уравнений "SГОE-V' (Giens, 2002) и других.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, изложена на 103-х страницах и проиллюстрирована 11-ю рисунками. Список цитируемой литературы содержит 135 наименований. Первая глава диссертации носит обзорный характер. Во второй главе предложена новая схема "размножения интегрируемых уравнений". В третьей главе диссертации процедура "размножения" обобщается на двухкомпонентные нелинейные системы. В четвертой главе диссертации анализируются модели близкие к интегрируемым.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, кратко изложены основные результаты, показаны новизна и научная ценность диссертации.

В первой главе производится анализ известных ранее методов построения интегрируемых уравнений и ассоциированных с ними пар Лакса. Все эти методы совершенно различны, и каждый из них имеет свои положительные и отрицательные стороны.

Метод обобщенных симметрий позволил проклассифицировать и составить полные списки интегрируемых скалярных уравнений вида

дги = F(u,дхи,

и двухкомпонентных систем типа нелинейного уравнения Шредин-гера

= 3 3 = ^ ^ ) .

Тем не менее, симметрийный подход не дает представлений Лакса для найденных интегрируемых моделей.

Метод Уолквиста - Эстпабрука не позволяет регулярным образом строить новые интегрируемые системы, но для заданного нелинейного уравнения сводит задачу нахождения U-V пары к вопросу о конечномерных редукциях алгебры операторов Каца-Муди.

С помощью теста Пенлеве часто удается проверить на интегрируемость имеющееся нелинейное уравнение, построить пару Лак-са или найти широкие классы решений для уравнений, близких к

интегрируемым. Однако этот метод требует большого искусства, поскольку успешность его применения зависит от формы записи уравнения, а порядок матриц U и V, даже если они существуют, заранее неизвестен.

Во второй главе на примере уравнений Кортевега - де Фриза и sin-Гордон предложена новая процедура, позволяющая по известной интегрируемой модели и ее паре Лакса строить новую интегрируемую модель. Отправной точкой для процедуры служит нелинейная модель математической физики, которая имеет представление Лакса (3). Из нее строятся новые интегрируемые системы с той же линейной дисперсией, что и в исходной модели, но с другой нелинейностью. Алгоритм, на примере уравнения sin-Гордон, состоит в следующем.

• Исходное уравнение1

uxt = sin« (2)

представимо в виде условия совместности

На первом шаге новая интегрируемая модель получается как условие совместности для поля и(х, г) в виде уравнения на функцию / = Прежде чем выписать это уравнение, за-

пишем систему уравнений для функции /(ж,*) и покажем, как

чо решениям этой системы восстанавливать вектор-функцию ф.

Пусть существует решение ф системы (3). Тогда легко проверить, что функция / = удовлетворяет системе уравнений

/х = A sin / — Их и = isin (« + /).

Обратно, если система (4) совместна, и функция f{x,t) - ее решение, то найдутся xpi(x,t),^2(x,t), удовлетворяющие системе (3). Система (3) и система (4) имеют одно и то же условие совместности - уравнение (2):

(Л)( = A/iCos/-uxi = sin(u + /) cos f — uxt ^

(ЛЬ = jK + /x)cos(u + /) = jAsin/cos(u + /) '

Далее будем систему (4) также называть парой Лакса уравнения sin-Гордон, имея ввиду, что

i) условием совместности для системы (4) является то же уравнение, что и для U-V пары Лакса.

ii) линейную систему (3) можно восстановить по системе (4). Итак, на примере sin-Гордон условие совместности системы (4) для поля имеет вид

откуда получаем модифицированное интегрируемое уравнение на функцию f — модифицированное уравнение sin-Гордон

где А - параметр уравнения.

Таким образом, из уравнения (2) для функции и получается новое нелинейное уравнение для функции /. Далее показывается, что оно интегрируемо — находится ассоциированая с ним пара Лакса.

♦ На втором шаге для полученной модели (5) строится преобразование Веклундпу которое связывает различные решения этой модели.

Для этой цели использовано преобразование Дарбу которое аналогично оператору рождения в квантовой механике преобразует N-солитонное решение и0(х, t) в N+1-солитонное решение wi(x, t). В терминах метода обратной задачи рассеяния это преобразование добавляет собственное значение в спектр оператора и носит название «одевания» солитоном.

Например, для уравнения sin-Гордон связь между "одетым" щ и не "одетым" решениями имеет вид

(6)

где - некоторое решение системы (3) при

Как видно из схемы на рис.1, преобразование Дарбу (6), связывающее некоторые два решения уравнения sin-Гордон, индуцирует дифференциальную связь между решениями модифицированной системы. А именно, из второго уравнения системы (4) следует, что поля щ и щ уравнения sin-Гордон выражаются через поля /о, fi модифицированного уравнения sin-Гордон

Щ = -/о + arcsin Ao/o,t, Щ- -fi+ arcsin Ai/i,t (7)

где A„ - соответствующие собственные значения спектральной задачи (3). С учетом этих подстановок и полагая /0 = /, имеем из (6)

—fi + arcsin Ai/ii( = /о + arcsin Ao/o,t- (8)

Дифференциальная связь типа (8) носит в теории интегрируемых систем название преобразований Беклунда и позволяет получать "одетое" решение по не "одетому" /о, благодаря следующему свойству. Условие совместности системы (8) для поля /о — модифицированного уравнение sin-Гордон на поле Д, а условие совместности для поля - то же уравнение на поле /оНа третьем шаге путем подходящей замены вводятся новые вспомогательные поля, так чтобы преобразование Беклунда трансформировалось в представление Лакса, но уже для вновь построенной, модифицированной интегрируемой модели. Например, для преобразований Беклунда (8) таким полем является

1.1

V*2

щ = «о — 2г ln — = un 4- 2 /, ■ф i

Преобразование Миуры

U| = -f, + arcsinAf, , _

-► f, ,xt = sin f, л/l -Л,2 f,.,2

4 §

тз ш b>

0 и

W

1

s a

от ®

§

V 5

0)

-fo.xt = sin f0 л/ 1 - Ao2 fo.t2

Преобразование Миуры "о = -fo ■»• arcsin Af0.t

Рис. 1: Преобразования Дарбу индуцируют преобразования Беклунда ,уля модифицированной системы.

производную от которого нетрудно выделить в первом уравнении системы (8). Производя замену ¡\ = h - f0 в системе (8), получаем пару Лакса в виде системы

ht - fo,t+ ^-sin(arcsin(Ao/o,t) +h). (10)

Здесь A0 - параметр модифицированного уравнения, а Ai имеет смысл спектрального параметра в паре Лакса. Чтобы привести систему (10) к линейному виду, можно сделать подстановку h = -tlnf^. Тогда равенство (9) позволяет строить N-солитонные решения модифицированного уравнения (5).

Во второй главе также показано, что исходное и построенное интегрируемые уравнения связаны некоторым дифференциальным оператором. Для приведенного выше примера уравнений sin-Гордон (SG) и модифицированного sin-Гордон (mSG) эта связь выражается

соотношением

Щи = -/ + агсвт (А/,)] = М[/] тШ/Ь

где М[/\ - оператор, сопряженный производной Фреше от замены (7): =

Далее изложенную процедуру можно повторить, и она приводит к „размножению" интегрируемых моделей и связанных с ними и-У пар. Кроме серии уравнений типа КдФ (раздел 2.2), в этой главе найдены интегрируемые модели, связанные с уравнением 8т-Гордон (2) (раздел 2.3). Из модифицированного уравнения 8т-Гордон (5) получено дважды модифицированное уравнение sin-Гордон

(где р - функция Вейерштрасса) - получена впервые.

Простейший солитон этой модели в переменных имеет вид

где - параметры функции Вейерштрасса,

г (Ао+А|)

и с - скорость движения солитона.

Это решение представляет два связанных 7г-кинка (см. рис. (2)), расстояние между к ото о ы ми определяется скоростью с, ограниченной интервалом (при Л0 < А]). На границах этого интервала расстояние между -кинками неограниченно увеличивается, и

решение совпадает с обычным -кинком уравнения 8т-Гордон. Можно заметить, что подобные решения, но движущиеся с потерей энергии за счет излучения, наблюдаются в двойном уравнении 8т-Гордон, учитывающем следующие порядки взаимодействия в магнетиках.

Кроме того, предложенная во второй главе процедура применена к уравнению Кортевега - де Фриза. В результате получены модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза, экспоненциальное уравнение Калоджеро - Дегаспериса и эллиптическое уравнение Калоджеро - Дегаспериса. Процедура размножения дает для них,

ь

Риг. 2. Солитонное решение- в виде двух гвяыпных тг-кипков для дважды модифицированного уравнения ьт-Гордон

кроме последнего, пары Лакса. Для эллиптического уравнения Ка-лоджеро - Дегаспериса получены преобразования Беклунда.

Бели продолжить аналогию между операторами рождения в квантовой механике и преобразованиями Дарбу типа (6), "одевающими" решение уравнения солитоном, то переход к модифицированному уравнению аналогичен изменению структуры энергетических уровней квантовой системы вследствие включения некоторого взаимодействия. Причем наша процедура позволяет рекуррентным образом построить "одевающие" преобразования для модифицированной системы. В примере уравнения Кортевега - де Фриза отображения Миуры, связывающие поля модифицированного и исходного уравнений, включают производные только по одной - пространственной - переменной. На примере уравнения sin-Гордон видно, что процедура размножения интегрируемых уравнений может

быть легко перенесена на многомерные системы: отображения Ми-уры содержат производные по двум переменным и их комбинация является уже не одномерной, а двумерной. Более отчетливо это можно увидеть на примерах применения процедуры к системам интегрируемых уравнений.

В третьей главе предложенный метод развит для систем интегрируемых уравнений на примере систем Каупа-Буссинеска и Додда-Буллафа. Рассмотрены серии интегрируемых моделей (раздел 3.1), связанных с уравнениями Каупа-Буссинеска

где т/, V - поля системы, имеющие смысл отклонения жидкости от равновесного уровня в узком глубоком канале и ее скорость соответственно, а 7 - параметр системы. Для двухкомпонентных систем выделены следующие особенности применения схемы размножения интегрируемых уравнений.

♦ На первом, шаге молено исключить из пары Дакса только одно из полей - V или г/. Получающиеся таким образом системы содержат поля ии/)=| или, соответст^ знр»=о^,г д е и к - вспомогательное поле и спектральный параметр пары Лакса

ассоциированной с уравнением Каупа-Буссинеска (11). Нетрудно показать, что получающиеся таким образом системы связаны обратимыми дифференциальными подстановками. Эти связи после ^кратного применения процедуры размножения позволяют построить обратимые дифференциальные подстановки ^го порядка для всех уравнений одного уровня.

♦ На втором шаге при построении преобразований Беклунда для модифицированных систем необходимо использовать вспомогательные функции пары Лакса с двумя различными параметрами

т\1 = дт (г)У- у2итт)

(И)

Другая модель, рассмотренная в третьей главе - система Додда -Буллафа (раздел 3.2) замыкание двумерной цепочки Тоды

Преобразования Дарбу для моделей, получаемых замыканием цепочки, определяются сдвигом полей или отражением

«>» -> «л^-п. где N - порядок замыкания.

Посредством применения процедуры размножения из системы Додда - Буллафа получена ранее неизвестная интегрируемая система - дважды модифицированная система Додда - Буллафа:

Т^Л (в - ^ (Ь - а.д) - ь) (13)

лт^ЛГ (в+«2,) (ь+- ь),

где ДьА2 - произвольные параметры системы, а д,Н обозначают алгебраические выражения - корни уравнений

соответственно.

В четвертой главе аналитическими и численными методами исследованы системы, близкие к интегрируемым. Для ассоциированной с моделью sin-Гордон дискретной системы (одевающей цепочки) найдены новые типы решений. В методе обратной задачи рассеяния этим решениям соответствует бесконечное число дискретных собственных значений. Такой спектр приводит к слабому - медленнее экспоненциального - спаданию на бесконечности потенциала, соответствующего решениям одевающей цепочки. Для построения решений одевающей цепочки (8) использовалось ее замыкание ¡\(хЛ) = /о(ях^/я)> (я < 1)» аналогичное предложенному в работе [8]. Далее решения полученного функционально - дифференциального уравнения аппроксимировались вблизи начала координат дробно -рациональной функцией - разложением Паде. Решение на всей оси Ох получено численно, опираясь на свойство самоподобия потенциала относительно преобразований Дарбу.

=

Кроме того, в четвертой главе проанализированы новые существенно нелинейные решения — „мишени" [9] из кольцевых доменов — в модели магнетика, близкой к интегрируемой. Среди уравнений математической физики, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, одним из наиболее интересных и содержательных является одномерное и двумерное изотропное уравнения Ландау-Лифшица, которые представляют хорошие модели для одномерного и, соответственно, двумерного без учета анизотропии магнетиков. Тем не менее, к настоящему времени не удавалось получить ряд решений двумерной модели с учетом одноосной анизотропии.

В двумерном стационарном уравнении Ландау-Лифшица учитывалось влияние одноосной анизотропии и обменного взаимодействия:

[А/ х (Й - аАМ - 0(г)Гг(пМ))] = О,

где - распределение намагниченности в плоскости

{х,у} = {г cos tp, г sin <р},

г - расстояние до центра мишени, а - параметр обменного взаимодействия, а /3 - параметр одноосной анизотропии. Поскольку в эксперименте для образования квазистационарных структур типа наборов кольцевых доменов — "мишеней" — используют механическое воздействие, было предположено, что параметр анизотропии непостоянен в центре (при г « 0). Задача состояла в поиске функций /?(г), при которых возможно существование таких структур.

Для численного и аналитического исследования решений,мы использовали методы, основанные на анализе решений на фазовой плоскости.

Показано, что для существования "мишеней" с конечной энергией величина параметра анизотропии должна претерпевать резкий (узкий и достаточно большой по величине) скачек, вблизи центра "мишени" (рис. 3). В том же разделе найдены достаточные условия зависимости параметра анизотропии от расстояния до центра мишени при которых могут существовать такие стационарные структуры. Оказывается, что ключевую роль для существования "мишеней" играет правая сторона пика - участок, где величина параметра /? резко уменьшается. Эта особенность играет роль дефекта, удерживающего доменную стенку, ближайшую к центру. На

/3(1пг)

Рис 3 1 Параметр аниютрипии £((1пг) - скачек величины соответств>ет дефекту 2 2-комншкчгта раггфгдолсиия намагниченности

рис. 3.2 приведен пример распределения намагниченности М{г,ф), найденный численно. Соответствующая этому примеру функция ¡3(г) приведена на рис. 3.1.

Заключение

Таким образом, по диссертационной работе можно сделать следующие выводы.

1. Предложен новый метод построения серий нелинейных интегрируемых моделей, связанных операторами аналогичными преобразованию Миуры. Процедура позволяет по одному известному интегрируемому уравнению строить последовательность новых. Для нелинейных моделей последовательности характерна одинаковая линейная дисперсия и различное нелинейное взаимодействие. Преимущество нового метода перед известными ранее методами заключается в том, что он дает представление Лакса для получаемых моделей. Алгоритм апробирован на универсальных нелинейных моделях: уравнении Кортевега -де Фриза, уравнении sin-Гордон, системе Каупа - Буссинеска, системе Додда - Буллафа и уравнении Цицейки.

В процессе построения U-V пар регулярным образом получаются также „одевающие цепочки", которые связывают различные волновые функции в ассоциированной спектральной задаче. Замыкание цепочек позволяет исследовать новые классы

решений, как исходных, так и вновь полученных интегрируемых моделей.

2. Найдены новые интегрируемые модели: „дважды модифицированное" уравнение sin-Гордон и дважды модифицированная система Додда - Буллафа. Системы такого типа не поддавались классификации известными ранее методами, поскольку включают в себя нелинейные члены, неполиномиального вида, содержащие градиенты. Для этих моделей исследованы новые типы солитонов - 2тг кинки с „полочкой" (два связанных п-кинка).

3. Аналитическими и численными методами построены статические структуры типа „мишеней" из кольцевых доменов в одноосных двумерных ферромагнетиках. Показано, что для существования "мишеней" достаточно существования дефекта в ее центре - резкого скачка величины параметра анизотропии. Найдена зависимость размеров "мишеней" от величины этого скачка.

Список публикаций

[1*] А.Б. Борисов, С.А. Зыков. Одевающие цепочки дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений// TМФ, 1998, T. 116, С. 199-214.

[2*} А. Б. Борисов, С.А. Зыков. Безотражательные потенциалы с бесконечным дискретным спектром для уравнения sin-Гордон// TМФ,"1999, T. 118, No.3, С. 337-346.

[3*] А.В. Borisov, M.V. Pavlov, S.A. Zykov. Proliferation scheme for Каир - Boussinesq equation// Physica D, 2001, V. 151-152 (A Special Issue to Honor Vladimir Zakharov), P. 104-109.

[4*] А.Б. Борисов, С.А. Зыков, Н.А. Микушина, А.С. Москвин. Вихри и магнитные структуры типа "мишени" в двумерном ферромагнетике с анизотропным обменным взаимодействием// ФУГ, 2002, T. 44, Вып.2, С. 312-320.

[5*] А.Б. Борисов, С.А. Зыков, М.В. Павлов. Уравнение Цицей-ки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений// TМФ, 2002, T. 131, No.l, С. 126-134.

Список цитированной литературы

[1] В.Е. Захаров, СВ. Манаков, СП. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов: метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980, 360с.

[2] V.B. Matveev, M.A Salle. Darboux Transformation and Solitons. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. 1991, 215p.

[3] Ф.В. Лисовский, Е.Г. Мансветова, Е.П. Николаева, А.В.Николаев. Динамическая самоорганизация и симметрия распределений магнитного момента в тонких пленках// ЖЭТФ, 1993, Т. 103, вып.1, С.213-233.

[4] A.M. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Наукова Думка, Киев. 1983, 450с.

[5] А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек// Алгебра и анализ, 1990, Т. 2, Вып.2, С. 183-208.

[6] А.П. Веселое, А.Б. Шабат. Одевающие цепочки и спектральная теория оператора Шрёдингера// Функц. анализ и его приложения, 1993, Т. 27, Вып.2, С. 1-21.

[7] А. Дегасперис, А.Б. Шабат. Построение безотражательных потенциалов с бесконечным дискретным спектром// ТМФ, 1994, Т.100, No.2, C230-247.

[8] J.K. Janak. Quantum theory of domain - wall motion// Phys. Rev. 1964, V. 134, No. 2A, P. 411-422.

[9] A.B. Юров. Сопряженные цепочки дискретных симметрии (1+2) нелинейных уравнений// ТМФ, 1999, Т. 119, No.3, С 419428.

[10] А.В. Жибер, В.В. Соколов. Новый пример гиперболического нелинейного уравнения, обладающего интегралами// ТМФ, 1999, Т. 120, N1, С. 20-26.

[11] А.В. Жибер, В.В. Соколов. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа// УМН, 2001, Т. 56, Вып. 1, С. 63-106.

Отпечатано на ризографе ЙфМ УрО РАЙ тираж 85 зак.29

объем 1 печ.л.формаг 60x84 1/16 620219 г.Екатеринбург ГСП-170 ул.С.Ковалевской, 18

Введение.

Глава 1. Интегрируемые нелинейные модели

1.1. Примеры нелинейных моделей в физике

1.2. Методы решения проблемы интегрируемости

1.2.1. Метод Уолквиста-Эстабрука

1.2.2. Обобщенные симметрии интегрируемых уравнений

1.2.3. Метод Ковалевской - Пенлеве - Вейса как метод проверки интегрируемости

Глава 2. Процедура размножения нелинейных уравнений

2.1. Преобразования Дарбу и одевающие цепочки, метод факторизации в квантовой механике

2.2. Процедура одевания уравнений на примере уравнения Кортевега - де Фриза

2.3. Одевающая цепочка и размножение уравнения sin-Гордон.

2.4. Выводы

Глава 3. Применение схемы размножения к системам уравнений

3.1. Размножение уравнения Каупа-Буссинеска

3.2. Новые интегрируемые системы уравнений как замыкания модифицированных 2D цепочек Тоды.

3.3. Модифицированные уравнения Цицейки

3.4. Выводы

Глава 4. Исследования систем, близких к интегрируемым

4.1. Безотражательные потенциалы sin-Гордон уравнения с бесконечным спектром

4.2. Вихри и магнитные структуры типа „мишени" в двумерном ферромагнетике с неоднородным параметром анизотропии.

4.3.Выводы

Практически всякая модель теоретической физики представляет результат некоторого приближенного описания реальных физических явлений. Цель приближений заключается в изучении основных взаимодействий, определяющих главный вклад в физику процесса, в выяснении основополагающих связей между явлениями.

В то же время, ограничения на модель накладываются, как правило, такие, чтобы для нее можно было найти решения в явном виде или достаточно полно их исследовать.

Интегрируемые нелинейные уравнения теоретической физики ие являются в этом смысле исключением. Они учитывают ие только линейную дисперсию системы, но и основной вклад нелинейного взаимодействия. У самых различных процессов нелинейное взаимодействие имеет в нервом приближении похожий вид и часто определяется геометрией задачи. Поэтому интегрируемые уравнения, как правило, настолько универсальны, что одно и то же уравнение описывает самые разнообразные физические процессы в гидродинамике, оптике и физике конденсированного состояния.

С другой стороны, для ряда нелинейных моделей разработаны глубокие и конструктивные аналитические методы, такие как метод обратной задачи рассеяния [lj и метод "одевания"', направленный, в частности, на построение многосолитоиных решений посредством применения преобразования Дарбу [2].

Для применимости как первого, так и второго метода нелинейное уравнение для поля и должно быть представлено в виде условия совместности (</>х)< = {Ф^х линейной системы дифференциальных уравнений

Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в работе [3], а систему (1) называют U-V парой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Для уравнений теоретической физики, ассоциированных с некоторой парой Лакса, можно соответствующими методами решать начальную задачу Коши и находить обширный класс явных решений.

Например для уравнения sin-Гордон для которого матрицы U и Уимеют вид

О О

1) по начальной функции и(х, 0), достаточно быстро убывающей при |х| —» оо, строятся данные рассеяния для первого уравнения системы (1) [1]. Вследствие второго уравнения системы (1) динамика данных рассеяния сводится к системе линейных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется. Возвращаясь к прежним полям с помощью обратного спектрального преобразования, получаем точное решение начальной задачи для уравнения (2) [2].

Уравнения, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния, как правило, настолько универсальны, что одно уравнение описывает самые разнообразные физические процессы. Например, уравнение sin-Гордон используется для теоретического описания доменных границ в магнетиках, перегибов на дислокациях в кристалле, флюксонов в джозефсоновских контактах и др.

Метод обратной задачи рассеяния аналогичным образом применим к широкому классу нелинейных моделей, таких как уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) уравнение Буссинеска, уравнение Каупа-Буссииеска, уравнение Ландау-Лифшица (одномерного магнетика), цепочка Тоды и др.

Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в работе [3j, а систему (1) называют U-V парой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Основы применяющихся в настоящее время методов интегрирования нелинейных уравнений были заложены в пионерских работах Гарднера, Грина, Крускала, Миуры, Каупа, Ныоела, Сегура, Абловица [2, 4, 5, 6], Захарова, Новикова, Шабата, Фаддеева и др. [7, 8, 9, 10]. В этих работах было показано, что для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шре-дингера переход к данным рассеяния является переходом к переменным действие-угол, построен гамильтоиов формализм и доказано, что эти системы имеют бесконечный набор законов сохранения в инволюции. Оказалось возможным развить теорию возмущений, позволяющую описать динамику систем, близких к интегрируемым [11|. Такая теория возмущений учитывает характерные черты нелинейной среды уже в основном приближении. dtu = д^и + б и дхи,

3) нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) г с\и = д2хи + |it|2u,

4)

Одно из замечательных явлений, наблюдаемых в нелинейной физике - это соли-тоны, распределения и волны, которые представляют собой локализованные в пространстве решения нелинейных моделей. Солитонам соответствует дискретный спектр в данных рассеяния, вследствие чего они обладают частицеподобными свойствами и играют в нелинейной физике такую же роль, какая отводится квазичастицам в линейной теории.

Точные решения интегрируемых уравнений (солитоны, кноидальные волны, иистан-тоны) соответствуют существенно нелинейным возбуждениям в конденсированных средах, которые нельзя описать ни в каком конечном порядке линейной теории возмущений.

Позднее был предложен простой и эффективный метод построения солитонных решений [12] - преобразование Дарбу, который аналогично оператору рождения в квантовой механике преобразует N-солитонное решение u0(x,t) в N+1-солитонное решение £). В терминах метода обратной задачи рассеяния это преобразование добавляет собственное значение в спектр оператора и носит название «одевания» солитоно.м. Преобразование Дарбу (13] использует решение гр вспомогательной задачи (1):

Например, для уравнения sin-Гордон связь между "одетым" щ и не "одетым" «о решениями имеет вид

В данной работе под термином „интегрируемость" будем понимать уравнения, которые имеют пару Лакса U-V в системе (1). С другой стороны, нахождение пары Лакса -нетривиальная, актуальная задача, решение которой содержит сложности даже для систем, полностью исследованных с точки зрения симметрийного подхода [14] (см. также

Таким образом, одной из важных и актуальных задач физики нелинейных явлений и теоретической физики является нахождение новых интегрируемых моделей, ассоциированных с ними пар Лакса и преобразований Дарбу - Беклупда.

Для решения этой задачи за последние тридцать лет были предложены глубокие методы классификации интегрируемых уравнений, найдены конструктивные тесты проверки на интегрируемость нелинейных физических моделей. Все эти методы совершенно различны, и каждый из них имеет свои положительные и отрицательные стороны [16]. F(u0J). iii = щ — 2i In —

5) где гр — - некоторое решение системы (1) при и = и0.

1151).

Широкий класс физически содержательных нелинейных моделей был построен перебором возможных представлений для операторов U[u] и Kfu]1 [2]; однако этот подход требует некоторого анзатца для U-V пары.

Метод обобщенных симметрий, предложенный в работах [14], (17), [18], [19], позволил проклассифицировать и составить полные списки интегрируемых скалярных уравнений вида

Тем не менее, симметрийный подход не дает представлений Лакса для найденных интегрируемых моделей.

Метод Уолквиста - Эстабрука [20] не позволяет регулярным образом строить новые интегрируемые системы, но для заданного нелинейного уравнения сводит задачу нахождения U-V пары к вопросу о конечномерном представлении алгебры операторов Каца-Муди.

С помощью теста Пенлеве часто удается проверить на интегрируемость имеющееся нелинейное уравнение, построить пару Лакса [21, 23] или найти широкие классы решений для уравнений, близких к интегрируемым [24, 25, 26]. Однако, этот метод требует большого искусства, поскольку успешность его применения зависит от формы записи уравнения, а порядок матриц U и V, даже если они существуют, заранее неизвестен.

Цель работы состояла в том, чтобы

• развить методы регулярного построения интегрируемых моделей и ассоциированных с ними пар Лакса,

• найти ранее не известные нелинейные интегрируемые системы,

• изучить решения нелинейной системы, близкой к интегрируемой, которая описывает новые типы нелинейных структур в магнетиках.

В диссертационной работе предложен новый метод регулярного построения интегрируемых моделей и ассоциированных с ними пар Лакса. Метод позволяет построить

Здесь и далее /[и] обозначает зависимость / от поля и и его производных. dtu = F(u, дхи,д^и) и двухкомпонентных систем типа нелинейного уравнения Шредингера серию интегрируемых уравнений на основе одного известного интегрируемого уравнения.

В главах 1-3 диссертации развиваются аналитические методы построения новых интегрируемых моделей. В главе 4 привлекаются численные методы для анализа существенно нелинейных структур в магнетиках.

Первая глава диссертации носит обзорный характер. В ней подробно изложены известные ранее методы построения интегрируемых уравнений и ассоциированных с ними пар Лакса. Продемонстрированы достоинства и недостатки существовавших к настоящему моменту методов их построения.

Во второй главе предложена новая схема размножения интегрируемых уравнений и продемонстрировано ее применение на примере уравнения Кортевега-де Фриза. Отправной точкой для процедуры служит некоторая нелинейная модель математической физики, которая имеет представление Лакса (1). Из нее строятся новые интегрируемые системы с той же линейной дисперсией, что и в исходной модели, но с другой нелинейностью. Алгоритм, на примере уравнения sin-Гордон, состоит в следующем.

• Исходное уравнение (2) представимо в виде условия совместности (0x)t — (0<)х для ( 0i v = ( в системе (1). На первом шаге новая интегрируемая модель полу-\02/ чается как условие совместности для поля u(x,t) в виде уравнения на функцию / = —iln^. Прежде, чем выписать это уравнение, запишем систему уравнений для функции f(x,t) и покажем, как по решениям этой системы восстанавливать вектор-функцию 0.

Пусть существует решение ф системы (1). Тогда легко проверить, что функция / = —г In ^ удовлетворяет системе уравнений2 fx = Л sin / - их ft = isin (u + f). (6)

Обратно, если система (6) совместна и f{x,t) - ее решение, то найдутся \l)\(x,i),ip2(х,удовлетворяющие системе (1). Для проверки этого утверждения, используя (6) и определение /, можно выписать равенства

01 V01/ 02 01 А 0! ± e-i-Jtl]^. = JL> (tl\2 2-e-'«

2iA V 0i 02/01 2Л \0i / 2Л

23десь и далее нижние буквенные индексы обозначают частные производные и аналогично

Ф\ \Фх) tk Jxrpi К J х> Vi 2\iPx) 2 U, J ip2 2^2

Приравнивая коэффициенты при степенях получаем систему (1). Таким образом, система (1) и система (б) имеют одно и то же условие совместности - уравнение (2): fx)t = A/t cos f-uxt = Ajsin(u + /)cos/ - uxt . m \ I» V / |»v 1 V • e / j»\ ™ '' WjJ ~~ sin XL

Ut)x = iK + /i)cos(u + /) = ^Asin/cos(u + /)

Далее будем систему (б) также называть парой Лакса уравнения sin-Гордон, имея ввиду, что i) Условием совместности для системы (6) является то же уравнение, что и для U-V пары Лакса. и) Линейную систему (1) можно восстановить по системе (6). Итак, на примере sin-Гордон модифицированное интегрируемое уравнение на функцию / как условие совместности системы (6) для поля и имеет вид д и)х = их => — (-/ + arcsin Xft) = A sin / - fx, откуда получаем модифицированное уравнение sin-Гордон (inSG) fxt = sin/\/1 — A2/t2, (7) где A - параметр уравнения.

Таким образом, из уравнения (2) для функции и получается новое нелинейное уравнение для функции /. Далее показывается, что опо интегрируемо - находится ас-социированая с ним пара Лакса.

• На втором шаге для полученной модели (7) строится преобразование Беклунда, которое связывает различные решения этой модели.

Как видно из схемы на рис.1, преобразование Дарбу (5), связывающее некоторые два решения уравнения sin-Гордон, индуцирует дифференциальную связь между решениями модифицированной системы. А именно, из второго уравнения системы (6) следует, что поля щ,и\ уравнения sin-Гордоп выражаются через поля /o,/i модифицированного уравнения sin-Гордон

Uk = —fk + arcsin Xkfk,ti

8) где Ад,- - соответствующие собственные знамения спектральной задами (1). С уметом этих подстановок и полагая /0 = /, имеем из (5)

-/i,x + Ai sin fi = fo,x + A0 sin /0 -fx + arcsinAi/i,t = /о + arcsin A0/o,«. (9)

Преобразование Миуры ut =-f| + arcsin Af, it -f,.xt = sin f, л/ 1 -Л,2 f,.t2

M f

СП "O Q) О

О ш ш X s

33 сл

CD «

-► fo.xt = Sin f0 л/ 1 - До2 fo.t2

Преобразование Миуры u0 = - fo + arcsin Af0,t

Рис. 1: Преобразования Дарбу индуцируют преобразования Беклунда для модифицированной системы.

Дифференциальная связь типа (9) носит в теории интегрируемых систем название преобразований Беклунда и часто позволяет получать "одетое" решение fx по ие "одетому" /о и благодаря следующему свойству. Условие совместности системы (9) для ноля /о - уравнение модифицированного sin-Гордон на поле fx, а условие совместности для поля fx - то же уравнение на поле /0.

• На третьем шаге путем подходящей замены вводятся новые вспомогательные поля, так чтобы преобразование Беклунда трансформировалось в представление Лакса, но уже для вновь построенной, модифицированной интегрируемой модели. Например, для преобразований Беклунда (9) таким полем является h = fo + fu (Ю) производную от которого нетрудно выделить в первом уравнении системы (9). Производя замену fx = h — /0 в системе (9), получаем пару Лакса в виде системы hx = —Д0 sin /о + At s!n(/i — /0)

U = Sin U,

1.xt '

ID a.

03 a

CK s

I та m о о га см о. vo +о о D

Ф :Г о. с

U0.x,= SinU0

Ы = /o,t + Г- sin (arcsin(Ao/o,«) + h).

И)

Здесь До - параметр модифицированного уравнения, a Ai имеет смысл спектрального параметра в паре Лакса. Чтобы привести систему (11) к линейному виду, можно сделать подстановку h = —i In Тогда равенство (10) позволяет строить N-солитоиные решения модифицированного уравнения (7).

Во второй главе также показано, что исходное и построенное интегрируемые уравнения связаны некоторым дифференциальным оператором. Для уравнения КдФ (3), на примере которого проиллюстрирована схема, связь между двумя нелинейными уравнениями соответствует преобразованию Миуры [4]. Для приведенного выше примера уравнения sin-Гордон (SG) эта связь выражается соотношением где М[/\ - оператор, сопряженный производной Фреше от замены (8): M[f ] = —

Далее изложенную процедуру можно повторить, и она приводит к „размножению" интегрируемых моделей и связанных с ними U-V пар. Кроме серии уравнений типа КдФ (раздел 2.2), в этой главе найдена последовательность интегрируемых моделей, связанных с уравнением sin-Гордон (2) (раздел 2.3). Одна из них - дважды модифицированное уравнение sin-Гордон где к - произвольный параметр модели) - получена впервые.

Если продолжить аналогию между операторами рождения в квантовой механике и преобразованиями Дарбу типа (5), "одевающими" решение уравнения солитоном, то переход к модифицированному уравнению аналогичен изменению зонной структуры квантовой системы вследствие включения некоторого взаимодействия. Причем наша процедура позволяет рекуррентным образом построить "одевающие" преобразования для модифицированной системы (см.рис.2).

В третьей главе диссертации процедура „размножения" обобщается на двухком-понентные нелинейные системы на примере уравнений Каупа-Буссинеска и Додда-Буллафа. Рассмотрены серии интегрируемых моделей (раздел 3.1), связанных с уравнениями Каупа-Буссинеска где г/, v - поля системы, имеющие смысл отклонения жидкости от равновесного уровня в узком глубоком канале и ее скорость соответственно, а 7 - параметр системы [6|.

SG[u = -/ + arcsin (А/,)] = M[f) mSG[/], vxt = sn(u, к) v/1 - t>1 \J\ - v\ f,

12) у t t

Рис. 2: Преобразования Дарбу переносятся на модифицированное уравнение

Для двухкомпонентиых систем выделены следующие особенности применения схемы ]шмп0э1сспия интегрируемых уравнений.

• На первом шаге можно исключить из пары Лакса только одно из полей - v или г/. Получающиеся таким образом системы содержат поля v и р = ~ или, соответственно, г] и р = где xj) - поле пары Лакса v

2 + ^ + ^

27 1С

13) ассоциированной с уравнением Каупа-Буссинеска (12). Нетрудно показать, что получающиеся таким образом системы связаны обратимыми дифференциальными подстановками. Эти связи после N-кратного применения процедуры размножения позволяют построить обратимые дифференциальные подстановки N-ro порядка для всех уравнений одного уровня (см. схему 3.1 в главе 3).

• На втором шаге при построении преобразований Беклунда для модифицированных систем необходимо использовать вспомогательные функции пары Лакса с двумя различными параметрами А - At и Аг

Другая модель, рассмотренная в третьей главе - система Додда-Буллафа (раздел 3.2) замыкание двумерной цепочки Тоды ukxl = eu*-u*-1 -eUk+i~Uk.

Посредством применения процедуры размножения получена ранее неизвестная интегрируемая система

I* = Л^ЛТ (9 - <*,„) (h - aht) - ff^g h) = J^m (9 + <>2,z) (h + aw) - h) , где ЛьЛг - произвольные параметры системы, а д, h обозначают алгебраические выражения - корни уравнений

9(9- " 1.x) (9 + а2,х) = ( Л2 e-Ql-Q2 - А^ ( Л2 eQ' - Ai) ( А2 - Aj), h(h- aM) (h + a2,t) = -( АГ1 e'0'"^ - Aj1) ( Af1 e*' - Aj1) ( A]"1 eQ> - AjJ). соответственно.

В четвертой главе диссертации для ассоциированной с моделью sin-Гордон дискретной системы (одевающей цепочки) численно исследованы новые типы решений. В методе обратной задачи рассеяния этим решениям соответствует бесконечное число дискретных собственных значений. Такой спектр приводит к слабому - медленнее экспоненциального - спаданию потенциала на бесконечности.

Кроме того, в четвертой главе проанализированы новые существенно нелинейные решения в модели магнетика, близкой к интегрируемой - „мишени" из кольцевых доменов. Среди уравнений математической физики, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, одним из наиболее интересных и содержательных является одномерное (двумерное изотропного) уравнение Ландау-Лифшица, которое представляет хорошую модель для одномерного (двумерного без учета анизотропии) магнетика. Тем не менее, к настоящему времени методом одевания не удалось получить ряд решений этой модели; в том числе наблюдающиеся в 2D магнетиках квазистационарные структуры типа наборов кольцевых доменов - магнитных "мишеней". Поэтому мы использовали другие методы, основанные на анализе решений на фазовой плоскости, для анализа возможных решений двумерного уравнения Ландау-Лифшица (учитывалось влияние одноосной анизотропии на уравнение магнетика в обменном приближении)

М х[Й - a AM - £(r)n(nM))] = О, где М - распределение намагниченности в плоскости {х, у) = {г cos <р, г sin у?}, г - расстояние до центра мишени, а - параметр обменного взаимодействия, а - параметр одноосной анизотропии. В четвертой главе найдены условия зависимости параметра анизотропии (3 от расстояния до центра мишени г, при которых могут существовать стационарные структуры типа «мишеней»; приведены примеры функций /3(г), для которых численными методами найдены распределения намагниченности M(r,ip).

Таким образом, решение рассмотренных в диссертации задач представляется весьма актуальным, как в силу важности объектов исследования, так и ввиду перспективности теоретических методов.

Научная новизна диссертации определяется следующими положениями

1. Впервые предложена процедура построения не только серий интегрируемых моделей, но и ассоциированных с ними пар Лакса.

2. Найдены новые нелинейные интегрируемые системы и связанные с ними преобразования Беклунда.

3. Для модифицированной модели sin-Гордон найден новый тип 2л--кинка, представляющий „связанное" состояние из двух 7г-кинков. Для дискретной цепочки, связанной с моделью sin-Гордон, найдены новые решения, которые отвечают бесконечному дискретному спектру в терминах метода обратной задачи рассеяния.

4. Численными и аналитическими методами исследованы существенно нелинейные структуры типа магнитных вихрей и „мишеней" из кольцевых доменов в магнетиках.

Научная и практическая ценность. Развитый в работе метод размножения нелинейных уравнений позволил дополнить списки ранее известных интегрируемых моделей. В отличие от других методов, он также дает представление Лакса для получаемых уравнений. Это открывает перспективу применения метода обратной задачи рассеяния для новых нелинейных уравнений. Поскольку интегрируемые уравнения, как правило, универсальны, они могут найти практическое применение при анализе нелинейных явлений и процессов в разных областях физики конденсированного состояния. Отличительная черта моделей, построенных впервые - наличие специфических нелинейных членов, которые содержат высшие градиенты и „неустранимые" радикалы. Такие интегрируемые уравнения ранее не поддавались классификации. По-видимому, они описывают новые физические объекты.

Найденные в работе решения типа „мишеней" из кольцевых доменов могут быть использованы для интерпретации экспериментально наблюдаемых квазистатических структур в магнитных пленках.

На защиту выносятся

• метод „размножения" нелинейных интегрируемых уравнений,

• новые интегрируемые модели: „дважды модифицированные" уравнение sin-Гордон и система Додда-Буллафа,

• новые типы решений в модели Ландау-Лифшица - статические „мишени" из кольцевых доменов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается их сон-падением с ранее известными [27], когда они имеются. В частности, для уравнения Кортевега - де Фриза процедура размножения интегрируемых уравнений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Фриза. Повторное применение процедуры приводит к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегаспериса, а следующее - к эллиптическому уравнению Калоджеро. В этом и других примерах для реализации громоздких аналитических вычислений были использованы программы компьютерной алгебры, результаты работы которых контролировались известными примерами интегрируемых систем и их решений.

Достоверность численных расчетов подтверждается аналитическими результатами, полученными в работе для тех же решений. В частности, при построении решений, описывающих распределения намагниченности, использовался метод анализа па фазовой плоскости соответствующей механической задачи (математического маятника).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [28, 29, 30, 31, 32[ и докладывались на международном семинаре „Day on Diffraction" (С.Петербург, 1997), Зимней школе физиков-теоретиков „Коуровка" (Кыштым - 1998 и 2000, Кунгур - 2002), Второй международной конференции „Nonlinear models in mathematical physics" (Челябинск, 1998), Международной конференции „Nonlinear science festival" (Copenhagen, 1998), Тринадцатом симпозиуме по нелинейным явлениям „Nonlinear Evolutional Equations and Dynamical Systems" (Creet, 1999), Первом евро-азиатском симпозиуме „Прогресс в магнетизме" (Екатеринбург, 2001) и др.

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, можно сформулировать следующим образом.

1. Предложен новый метод построения серий нелинейных интегрируемых моделей, связанных операторами, аналогичными преобразованию Миуры.Процедура позволяет по одному известному интегрируемому уравнению строить последовательность новых. Для различных нелинейных моделей последовательности характерна одинаковая линейная дисперсия. Преимущество нового метода перед известными ранее методами в том, что он дает представление Лакса для получаемых моделей. Алгоритм апробирован па универсальных нелинейных моделях: уравнении Кор-тевега - де Фриза (разд. 2.2), уравнении sin-Гордон (разд. 2.3), системе Каупа-Буссииеска (разд. 3.1), системе Додда-Буллафа (разд 3.2) и уравнении Цицейки (разд. 3.3).

В процессе построения U-V пар регулярным образом получаются также „одевающие цепочки", которые связывают различные волновые функции в ассоциированной спектральной задаче. Замыкание цепочек позволяет исследовать новые классы решений, как исходных, так и вновь полученных интегрируемых моделей.

2. Найдены новые интегрируемые модели: „дважды модифицированное" уравнение sin-Гордон и дважды модифицированная система Додда - Буллафа. Системы такого типа не поддавались классификации известными ранее методами, поскольку включают в себя нелинейные члены, неполиномиального вида, содержащие градиенты. Для этих моделей исследованы новые типы солитонов - 2л- кинки с „полочкой" (два связанных 7г-кинка).

3. Аналитическими и численными методами изучены статические структуры тина „мишеней" из кольцевых доменов в одноосных двумерных ферромагнетиках. Показано, что для существования "мишеней" достаточно существования дефекта в ее центре - резкого скачка величины параметра анизотропии. Найдена зависимость размеров "мишеней" от величины этого скачка.

Таким образом, в работе проиллюстрирована эффективность процедуры „размножения" нелинейных уравнений. С сё помощью можно строить не только серии 1+1-мериых нелинейных моделей, но и новые многомерные нелинейные интегрируемые системы.

Учет координатной зависимости параметра магнитной анизотропии в предложенной модели для магнитных „мишеней" может привести к более адекватной модели квазистатических ведущих центров.

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность А.Б.Борисову за руководство и плодотворное сотрудничество. Я благодарен также А.Г.Шагалову, В.В.Киселеву и Г.В.Хусаиновой за постоянное внимание к работе, а В.Э.Адлеру М.В.Павлову, М.И.Куркину и А.П.Танкееву за полезные замечания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питасвский. Теория солитонов: метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980, 360с.

2. M.J.Ablowetz, D.J.Каир, А.С.Newell, H.Segur. The inverse scattering transform -Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., 1974, V.53, No.4, P.249-315.

3. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Method for solving the Korteveg -de Vries equation, Phys. Rev. Lett., V.19, N19, P.1095-1097, 1967.

4. D.J.Каир, A Higher-order water-wave equation and the method for solving it, 1975, Prog. Theor. Phys., V. 54, N2, P.396-408.7| В.Е. Захаров, Кинетическое уравнение для солитонов, ЖЭТФ, 1971, Т.60, вып.З, С.993-1000.

5. В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев. Уравнение Кортевега де Фриса - вполне интегрируемая гамильтонова система, Финкц. анализ и его прилож., 1971, Т.5, No.4, С.18-27.

6. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1971, Т.61, No.l, С.118-134.

7. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шредингера, ТМФ, 1974, Т.19, С.322-332.

8. В.И.Карпман, Е.М.Маслов, Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны, ЖЭТФ, 1978, Т.75, вып.2, С.504-517.

9. V.B. Matveev, М.А Salle, Darboux Transformation and Solitons. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. 1991, 215p.

10. Darboux G. Lecsons sur la Theorie dcs Surfaces. V.2., Paris: Gauthicr-Villars. 1897, P.214-234.

11. А.В.Михайлов, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, УМН, 1987, Т.42, вы п.4 (256), С. 3-53.

12. A.C.Xewell, M.Tabor, Y.B.Zeng, A unified approach to Painlevd expansions, Physica D, 1987, V.29, P. 1-68.

13. А. Ньюэлл, M. Табор, Интегрируемость, C.117 в сб. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов под ред. В.Г. Барьяхтара, В.Е. Захарова, В.М. Черпоусенко, Киев:Наукова думка, 1990, 620с.

14. Н.Х. Ибрагимов, А.Б. Шабат, Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли Бэклунда, Функциональный Анализ и его приложения, 1980, Т.14, вып.1, С.25-36.

15. Н.Х.Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике. М.Наука. 1983, 280с.

16. П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М.:Мир, 1989, 568с.

17. H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook, J. Math. Phys., V.17, P.1293-1297, 1976.

18. J. Weiss, The Painlevd property for partial differential equations. II: Backlund transformation, Lax pairs, and Schvarzian derivative, 1983, J. Math. Phys., V. 24, N6, P. 1405-1413.

19. J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevale. J.Math. Phys., V.24, p.522-526, 1983.

20. R.Conte, Invariant Painleve analysis of partial differential equations, 1989, Phys. Lett. A, V. 140, N7, p.383-354.

21. M.Musette, R.Conte, Algorithmic method for deriving Lax pairs from the invariant Painlevd analysis of nonlinear partial differetial equations, 1991, J. Math. Phys., V. 32, N6, p.1450-1457.

22. R.Conte, A.P.Fortly, A.Pickering, A petrubative Painlev6 approach to nonlinear differential equations, 1993, Physica D, V. 69, P.33-58.

23. R.I. Yamilov, On Construction of Miura type transformation by other of this kind. Phys. Lett. A, 1993, V.173, P.53-57.

24. А.Б.Борисов, C.A. Зыков. Одевающие цепочки дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений, ТМФ, 1998, Т. 116, С. 199-214.

25. А.Б.Борисов, С.А. Зыков. Безотражательные потенциалы с бесконечным дискретным спектром дл уравнения sin-Гордон, ТМФ, 1999, Т. 118, No 3, С. 337-346.

26. A.B.Borisov, M.V.Pavlov, S.A.Zykov. Proliferation scheme for Kaup-Boussinesq equation, Phisica D, 2001, V. 151-152 (special issue to V.E.Zakharov's birthday), P. 104109.

27. А.Б.Борисов, С.А.Зыков. Н.А.Микушина, А.С.Москвин. Вихри и магнитные структуры типа „мишени" в двумерном ферромагнетике с анизотропным обменным взаимодействием, ФТТ, 2002, Т. 44, Вып. 2, С. 312-320.

28. А.Б.Борисов, С.А.Зыков, М.В.Павлов. Уравнение Цицейки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений, ТМФ, 2002, Т.131, No.l, С.126-134.

29. А. Дегасиерис, А.Б. Шабат. Построение безотражательных потенциалов с бесконечным дискретным спектром, ТМФ, 1994, Т.100, No.2, С.230-247.

30. V.Yu.Novokshenov, Reflectionless potentials and soliton series of the nonlinear Schrdinger equation, 1995, Physica D, V. 87, P.109-114.

31. А.Ньюелл., М.Табор. Интегрируемость, в Сб. науч. тр. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов; отв. ред. В.Г. Барьяхтар, В.Е.Захаров, В.М.Черноусенко, Киев, Наук, думка, 1990, 472с.

32. JI.A. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов.- М.: Наука, 1986, 528с.

33. V.E. Zakharov, E.I. Schulman, Physica D, V.l, p.192-202, 1980. V.E. Zakharov, E.I. Schulman, Physica D, V.29, P.283-320 , 1988.

34. P.Painleve, Lemons de stockolm, 1895, MITTAG-LEFFLER, Germany, P. 199-204.

35. J. Chazy, Sur les equations differentielles dont l'integrale generale possede un coupure essentielle mobile, C.R. Acad. Paris 150, 1910, P. 456-458.

36. V.V.Kiseliev,Weakly-nonlinear dynamics and solitons in the vicinity of a martcnsitic phase transition, Phys. Lett. A, 1994, V. 146, P. 97-100.

37. J.Weiss, Periodic fixed points of Backlund transformations and the Korteveg-de Vrics equation,1987, J.Math.Phys., V.27, No.ll, P.2647-2656.

38. R. Conte, M. Musette, A.M.Grundland. Backlund transformation of partial differential equations from the Painlevtf-Gambier classification, II.Tzitzeica equation, J. Math. Phys. 1999, V.40, P.2092

39. B.E.Адлер, В.Г.Марихин, А.Б.Шабат, Лагранжевы цепочки и канонические преобразования Беклунда, 2001, ТМФ, Т.129, No.2, с.163-184.

40. В.Г. Марихин, А.Б.Шабат, Интегрируемые решетки, 1999, ТМФ, V. 118, N2, С.217-228.

41. А.П.Веселов, А.Б.Шабат, Одевающие цепочки и спектральная теория оператора Шрёдингера, Функц. анализ и его приложения, 1993, Т.27, Вып.2, С.1-21.

42. М.Тода. Теория нелинейных решеток. М.:Мир, 1984, 280с. Toda М. J. Phys. Soc. Japan. 1977. V. 34. P. 18-30.

43. G. Tzitzeica, Sur une nouvelle classe de surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris, V.150 (1910), P.955-956.

44. L. Godeaux, La th£orie des surfaces et l'espace regl6 (G6om6trie projective differentielle), ActualiteS scientifiques et industrielles, N138, Paris, Hermann (1934).

45. R.K.Dodd, R.K. Bollough. Proc. Roy. Soc. London 1976, V. A351, P.499.

46. A.P.Fordy, J.Gibbons. Factorizations of operators I.Miura transformations, J.Math. Phis., 1981, V. 21, P.2508-2510.

47. Жибер, А.Б. Шабат. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой, ДАН, Т. 247, 1979, С. 1103-1107.

48. А.В.Михайлов. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода, Письма ЖЭТФ, т.ЗО, 1979, С.443-448.

49. С.С.Сафин, Р.А.Шарипов. Автопреобразования Бэклунда для уравнения их1 = еи e-2Uj ТМф) 19д3) т 95) с.146-159.

50. Nonlinearity in Condensed Matter, edited by A.R. Bishop, R. Ecke, S. Gubernatis (Springer, Berlin, 1993).55| Nonlinear Coherent Structures in Physics and Biology, edited by K.H. Spatchek, F.G. Mertens (Plenum, New York, 1994)

51. Fluctuation Phenomena: Disorder and Nonlinearity, edited by A.R. Bishop, S. Jimenez, L. Vazquez (World Scientific, Singapore, 1995)

52. Б.А. Иванов, А.К. Колежук. Солитоны в низкоразмерных антиферромагнетиках, ФНТ, 1995, Т. 21, No. 4, С.355-389.

53. М.Е. Gouvea, G.M. Wysin, A.R. Bishop, F.G. Mertens. Vortices in the classical two-dimensional anisotropic Hisenberg model, Phys. Rev., 1989, V. 39, N0.I6-B, P.11840-11849.

54. T. Moriya. Anisotropic superexchange interaction and weak ferroinagnetism, Phys. Rev., 1960, V.120, No.l, P.91-98.

55. K. Yosida. The status of the theories of magnetic anisotropy, J. Appl. Phys., 1960, V.39, No.2(l), P.511.

56. A.C. Москвин, И.Г. Бострем, М.А. Сидоров. Обменно-релятивисткая двухиониан спиновая анизотропия. Тензорная форма, температурная зависимость, численная величина, ЖЭТФ, 1993, Т.104, вып.Ю, С.2499-2518.

57. А.А. Белавин, A.M. Поляков. Письма в ЖЭТФ, 1975, Т. 22, С. 503-506.

58. М.С. Cross, Н.С. Hohenberg. Rev. Mod. Phys., 65, 851, (1993).

59. H. Dotsch, H.J.Schmitt. Interaction of microwaves with ring domains in magnetic garnet films, Appl. Phys. Lett., 1974, V.24, No.9, P.442-444.

60. А.П. Гесь, В.В. Федотова, А.К. Богуш, Т.А. Горбачевская. Аномалии квантового спектра возбуждений магнетика с сильным взаимодействием квазичастиц, Письма в ЖЭТФ, 1990, Т.52, вып.11, С.1079-1082.

61. Г.С. Кандаурова. Хаос и порядок в динамической системе магнитных доменов, ДАН, 1989, Т.308, N0.6, С.1364-1366.

62. И.Е. Дикштейн, Ф.В. Лисовский, Е.Г. Мансветова, Е.С.Чижик. Формирование рефлексивных доменных структур при монополяриом и циклическом намагничева-нии одноосных магнитных пленок, ЖЭТФ, 1991, Т.100, вып.5, С.1606-1626.

63. Ф.В. Лисовский, Е.Г. Мансветова, Е.П. Николаева, А.В.Николаев. Динамическая самоорганизация и симметрия распределений магнитного момента в тонких пленках, ЖЭТФ, 1993, Т.103, вып.1, С.213-233.

64. А.Ф. Гальцев, Ю.И. Ялышев. Кольцевые домены в феррит-гранатовых пленках, ФММ, 1998, Т.85, No.4, С.5-17.

65. Ю.Л. Гобов, Г.А. Шматов. Спиральные и ветвящиеся домены в одноосных магнитных пленках в статическом магнитном поле, ФММ, 1994, Т.78, No.l, С.39-50.

66. Э. Шредингер. Метод определения квантовомеханических собственных значений и собственных функций. В кн. :Э. Шредингер. Избранные труды по квантовой механике. М., Москва, 1976, 422с.

67. E.Shrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad., A45 (1940), P.9-49.

68. X. Грин, Матричная квантовая механика, М.:Мир, 1968.

69. A.M. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Наукова Думка, Киев. 1983, 450с.

70. Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х.Моррис. Солитоны и нелинейные волновые уравнения, М.:Мир, 1986.

71. М.М. Nieto, D.R.Truax, Phys. Rev. Lett.,1993, V.71, P.2843.

72. М.Ф.Морс, Г.Фешбах. Методы теоретической физики, т.1, М.:ИЛ, 1958.

73. V.E.Adler, I.T.Habibullin. Integrable boundary conditions for the Toda lattice, J. Phys. A, 1995, V.28, P.6717-6729.

74. J. Weiss, The Painleve property for partial differential equations, 1982, J. Math. Phys., V.23, P.3421-3428.

75. S.Yu. Dubov, V.M. Eleonskii, N.E. Kulagin, Chaos 4(1), P.47-53, 1994.

76. С.Ю. Дубов, B.M. Елеонский, H.E. Кулагин. Об эквидистантных спектрах ангармонических осцилляторов, ЖЭТФ, 1992, Т. 102, Вып. 3(9), С.814.

77. В.В. Соколов, С.И. Свинолупов, Р.И. Ямилов, ДАН СССР, 1983, т.271, N4, С.802-805.

78. А.В. Жибер, В.В. Соколов. Новый пример гиперболического нелинейного уравнения, обладающего интегралами, ТМФ, 1999, Т. 120, N1, С.20-26.

79. А.П. Форди, А.Б. Шабат, А.П. Веселов, ТМФ, Т.105, N2, С.225-245, 1995.

80. А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек// Алгебра и анализ, 1990, Т. 2, Вып.2, С. 183-208.

81. M.J. Ablovvitz, Painleve equations, Darboux-Halphen systems and overview of Inverse transform method, 1996, Proc. of school "Painleve property, one cicle apres", (Cargese, July 1996).85 868791