Структура и свойства нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЩЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ОБЩЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МАТРИЧНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ, ИХ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ И ГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРЫ

§1.1. Вывод фундаментального соотношения.

§ 1.2. Рекурсионный оператор.

§ 1.3. Построение общих Бэклунд-преобразований.

§ 1.4. Общая форма интегрируемых уравнений.

§ 1.5. Гамильтонова структура интегрируемых уравнений

§ 1.6. Теоретико-групповая структура интегрируемых уравнений.

§ 1.7. Примеры: N =

ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С N ПОТЕНЦИАЛАМИ V0 , . . . , М ^ И КОНСТАНТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ: ГРУППА

ОБЩИХ БЭКЛУНД-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§2.1. Рекурсионный оператор при различных способах разрешения связи.

§2.2. Группа общих Бэклунд-преобразований и нелинейные эволюционные уравнения.

§2.3. Калибровочная инвариантность и гамильтонова интерпретация интегрируемых уравнений.

§ 2.4. Примеры: /V =

§2.5. Примеры: М-в

ГЛАВА 3. ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,

ИНТЕГРИРУЕМЫХ ОБЩЕЙ МАТРИЧНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ

§ 3.1. Общая структура нелинейных уравнений.

§ 3.2. Калибровочная инвариантность.

§ 3.3. Примеры . IOI

ГЛАВА 4. ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В I + 2 ИЗМЕРЕНИЯХ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ОБОБЩЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕЙ

§ 4.1. Некоторые важные соотношения.

§ 4.2. Рекурсионные операторы.

§ 4.3. Общий вид интегрируемых нелинейных уравнений. ИЗ

§ 4.4. Примеры: Л/=2 , /\/ =

Одним из основных методов описания физических процессов являются дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных уравнений: волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа, встречающихся почти во всех разделах физики. Однако многие физические явления существенно нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений.

Традиционные методы решения линейных уравнений: методы преобразования Фурье, Лапласа и т.д. в применении к нелинейным уравнениям оказываются в большинстве случаев малоэффективными.

В 1967 году в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГПШ) [8] при решении задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (Кд2>) Ut +6UUX+ ЪСхх=0 был открыт новый метод математической физики - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Важным моментом работы ПЖМ было сопоставление нелинейному уравнению КдФ линейной спектральной задачи, потенциал которой отождествлялся с решением уравнения КдБ.

Лаке в работе [э] переформулировал первоначальные результаты ШМ на операторном языке, введя L,A -пару, и нашел бесконечное семейство интегрируемых уравнений, ассоциированных с уравнением Кд£. Им был предложен первый метод поиска интегрируемых уравнений.

В работе Захарова и Шабата в 1971 году [ю] с помощью спектральной задачи Дирака было проинтегрировано нелинейное уравнение Пфедингера Ltlt + Uxx +2/UlzU =О . Стало ясно, что метод ITKM применим не только к Кд§.

Дальнейшее развитие МОЗР получил в замечательной работе Захарова и Шабата [ilj 1974 года. В этой работе был предложен метод одевания, который одновременно с построением интегрируемых нелинейных уравнений дает рецепт вычисления точных решений этих уравнений.

Метод описания класса интегрируемых уравнений, ассоциированных с данной спектральной задачей, был предложен также в работе Абловитца, Каупа, Ныоэлла и Сегура (AKHG) [и] .

Результатом перечисленных выше работ, а также ряда других важных работ (см., например, [l-б] ), явилось значительное продвижение в понимании области применимости и в развитии техники МОЗР.

Были предложены методы построения нелинейных интегрируемых уравнений: метод L , А - пары Лакса [9] ; U , V - схема [12], [l3,l] ; метод одевания [пДДб] ; АКНС - метод [и] .

Было осознано, что с различными спектральными задачами связаны бесконечные семейства нелинейных эволюционных уравнений. Помимо интегрируемых уравнений в частных производных были открыты другие типы нелинейных уравнений, интегрируемых МОЗР, например, интегродифференциальные, дифференциально-разностные, раз-ностно-разностные уравнения (см., например, [l-7] ).

В настоящее время существует несколько мощных методов получения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений: метод обратной задачи рассеяния (метод уравнения Гельфанда-Левитана--Марченко) [l-б] , метод одевания [II ,1,15] Захарова-Шабата, метод задачи Римана [l2,I3,l] .

Метод обратной задачи рассеяния можно интерпретировать как нелинейный аналог преобразования Фурье [l4,I,3,4] . При этом преобразовании коэффициентные функции линейной спектральной задачи, отождествляющиеся с решением системы нелинейных уравнений, отображаются в совокупность так называемых данных рассеяния. Закон эволюции данных рассеяния задается легко интегрируемыми линейными дифференциальными уравнениями. Задача интегрирования нелинейных уравнений сводится к нахождению коэффициентных функций спектральной задачи по данным рассеяния - обратной задаче квантовой теории рассеяния (см., например, [l,3-5] ).

В более современных и мощных методах - методе одевания и методе задачи Римана- точные решения интегрируемых нелинейных уравнений находятся без использования обратной задачи рассеяния [11,1,12,13,15] .

За последнее время сфера применимости МОЗР значительно расширилась. Особенно далеко продвинуто применение МОЗР в одномерном случае (одна пространственная переменная X и время t ) (см, например, fl-б] ). Предпринимаются попытки обобщить МОЗР на многомерный случай (несколько пространственных переменныхXi}.,Х^ и время t ), некоторые результаты получены в двумерном случае [i, 15-17] .

Уравнения, интегрируемые МОЗР, встречаются в самых разнообразных областях физики. Так, например, уравнение ВДВ Ut+ 6UUX+ + иххх= О встречается при описании множества процессов, в которых приходится одновременно учитывать простейшие нелинейные и дисперсионные эффекты. Примерами могут служить: I) волны на мелкой воде, 2) ионно-звуковые волны в плазме, 3) магнито-гидродинамичес-кие волны, 4) волны в ангармонической решетке, 5) продольные волны в упругих стержнях, 6) волны сжатия в жидкостях, заполненных газовыми пузырьками и т.д. (см., например, fl-7] ).

Нелинейное уравнение Шредингера lUt+ У>хх+2lUfU = О используется при описании: I) стационарной самофокусировки плоской волны, 2) распространения термоимпульса в твердом теле, 3) ленг-мюровских волн в плазме и т.д. (см., например, [l-7] ).

Уравнение синус-Гордон <Мп И описывает: I) распространение дислокаций в кристаллах, 2) движение блоховских границ в магнитных кристаллах, 3) некоторые вопросы единой теории элементарных частиц, 4) распространение магнитного потока по джо-зефсоновской линии и т.д. (см., например, [l-7] ).

В процессе развития МОЗР выяснилось, что для нелинейных уравнений, интегрируемых этим методом, характерен ряд замечательных свойств:

Решения солитонного типа - это решения нелинейных уравнений типа уединенных волн U (<z-\£t), сохраняющих свою форму и скорость при столкновениях друг с другом (см., например, [l-7] ).

Бесконечные наборы интегралов движения (см., например, [l-7] ) - это свойство интегрируемых нелинейных уравнений резко отличает их от неинтегрируемых нелинейных уравнений, которые имеют конечное число интегралов движения: импульс, энергию, заряд и т.д.

Полная интегрируемость (см., например, [l,3] ), означающая существование канонических переменных типа действие - угол. Уравнения движения в этих переменных линейные и легко интегрируются.

Уравнения, интегрируемые МОЗР, допускают также очень своеобразный тип преобразований - так называемые Бэклунд-преобразования (ЕЛ) (см., например, [2-5,7,18] ). Это нелинейные, неоднородные по полю преобразования, переводящие решения некоторого дифференциального уравнения в решения того же самого уравнения. Формулы, задающие ЕЛ, можно использовать для нахождения явного вида мно-госолитонных решений.

Интегрируемые нелинейные уравнения обладают бесконечномерными группами симметрии нового типа (см., например, [19-20] ). Существование таких групп симметрии, как правило, связано с наличием бесконечного числа интегралов движения для интегрируемых уравнений.

Одной из основных задач МОЗР является эффективное описание классов интегрируемых нелинейных уравнений. Существуют различные подходы к этой задаче. Простой и красивый метод описания интегрируемых нелинейных уравнений - АКНС - метод - был предложен в работе Абловитца, Каупа, Ньюэлла и Сегура [м] в 1974 году. Центральным моментом АКНС - метода является использование так называемого рекурсионного оператора L*. Понятие рекурсионного оператора было впервые введено для уравнения ВД> Ленартом (см.

21] ). Абловитц, Кауп, Ньюэлл и Сегур показали [м] , как вычислить рекурсионный оператор L* » исходя из спектральной задачи. Для спектральной задачи== \\ )($)> РассматРи~ вавшейся ранее в работе Захарова и Шабата [il] при $ , АКНС, используя рекурсионный оператор Lf , показали, что уравнения, интегрируемые указанной спектральной задачей,могут быть представлены в следущем виде: (^J + 2A0(Lf)(^) — 0 . Здесь A0(Lf) - произвольная мероморфная функция L+ . Эти уравнения содержат в себе семейства нелинейных уравнений, ассоциированных с уравнениями КдФ, модифицированного уравнения КдФ (мКдФ), нелинейного уравнения Шредингера, уравнения синус-Гордон и т.д.

Гамильтонова структура полученных в работе АКНС [l4] нелинейных уравнений была детально исследована Флашкой и Ньюэллом

22] .

Б последующих работах АКНС - метод был обобщен на матричную спектральную задачу [23-26,28,29,3lJ , квадратичный пучок [30,33] и другие спектральные задачи [27,29,32-34] .

Привлекательные черты АКНС - метода заключаются в том, что он позволяет: I) найти общую форму нелинейных уравнений, связанных с данной спектральной задачей, в простой и компактной форме, 2) вычислить бесконечномерную группу общих Бэклунд-преобразова-ний для этих уравнений, 3) исследовать гамильтонову структуру одновременно для всего класса уравнений, интегрируемых данной спектральной задачей. С помощью Бэклунд-преобразований, полученных АКНС-методом, могут быть построены многосолитонные решения интегрируемых нелинейных уравнений. Отметим, однако, что более эффективными и мощными методами построения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений являются метод одевания [lI,I,I5] и метод задачи Римала [l2,I3,l] .

Настоящая диссертация посвящена развитию и обобщению МНС -метода в применении к общей дифференциальной спектральной задаче дН + + здесь и ниже д -д/дх) и её различным вариантам - скалярному ( Vkfaify- скалярные фугк-ции) и матричному ( Vfrfat-) — МхЛ1 - матричные функции). ЖНС -метод применен в диссертации также к общей матричной спектральной задаче с ненулевой диагональной частью потенциала и к двумерному обобщению общей дифференциальной спектральной задачи. В основу диссертации положены работы [54-57, 59] .

Общая дифференциальная спектральная задача и нелинейные уравнения, интегрируемые этой задачей, впервые рассматривались в работе Захарова и Шабата [п] . В этой работе был предложен метод одевания, позволяющий как получать новые системы интегрируемых нелинейных уравнений, так и находить их точные решения.

Затем были выполнены важные работы [35-39J Гельфанда и Дикого, в которых методами резольвенты и исчисления символов дифференциальных операторов были получены широкие классы нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей, была исследована гамильтонова структура этих уравнений.

Начиная с работ Гельфанда и Дикого [35-39] , общая дифференциальная спектральная задача и нелинейные уравнения, интегрируемые этой задачей, становятся объектом интенсивного изучения. В работах [40-49] исследовались алгебраическая и гамильтонова структуры интегрируемых нелинейных уравнений, некоторые спекиаль-ные Бэклунд-преобразования, факторизация оператора Ь^ + J .+ V0 и другие важные свойства нелинейных уравнений.

В настоящей диссертации, в рамках обобщенной АКНС-техники, развитой в работах [25-29,33,34] , исследуются теоретико-групповая и гамильтонова структуры нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей.

В главе I осуществляется построение бесконечномерной абеле-вой группы общих Бэклунд-преобразований (группы общих БП) [54] и получаются интегрируемые нелинейные уравнения [54] , связанные с общей дифференциальной спектральной задачей: д" + v„b**+ + г где - матричные функции, такие, что Vfifat)—*- О.

Общая дифференциальная матричная спектральная задача рассматривается, таким образом, в данной главе в фиксированной калибровке С Vf/.ifal)^ 0 ) и с нулевыми граничными условиями для потенциалов ( Vkfafyj^Too

0).

На многообразии матриц рассеяния { S(X,t)} данной спектральной задачи действие группы общих ЕП задается простым линейным образом. На многообразии потенциалов { V(x,t), Vfaty-^j^o} где У(х,1)= ( .Vt/-2(Х>1))Т » действие группы общих

БП задается формулой [54] :

ЛШ(Х*У-Мк\0=О,

К—О где Вк (Af,t) - произвольные целые функции Л*. А+ (V, V'),

Жк (К V') и Мк (V, V') - некоторые интегродифференциальные операторы. V') - рекурсионный оператор, играющий центральную роль во всех построениях. йнфинитезимальной формой общих БП, генерируемых сдвигом по времени, являются нелинейные эволюционные уравнения. Эти уравнения имеют вид [54] : |/ H-i ot k=d где Q^(Lfji) - произвольные функции, мероморфные по L *,

Z. ^ — Л* jv=v< > 2м^ Таким образом, эта формула дает компактное и простое описание нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей.

Отметим, что группа общих БП при Н — 2 , 1 и

О впеРвые построена в работе Калодздеро [50] .

При А/ = 2 и произвольном М группа общих Ш была вычислена в работе Калодаеро и Дегаспериса [52] , которые детально исследовали свойства построенной ими группы общих БП [51,52] . "Общие" HI, вычисленные в работе Адлера [53] при произвольном /V , М=1 и Ук(эс, t)/хj^ О (к = 0,1,., М-2) являются лишь частным случаем ( Д,— О, Bfj-i - константы) общих БП, построенных в настоящей работе [54] .

Рекурсионный оператор (типа Lf = A*/w ) для общей дифференциальной спектральной задачи был вычислен также с помощью совершенно другой техники в работах [41,43] .

Впервые гамильтонова структура уравнений, интегрируемых общей дифференциальной спектральной задачей, была исследована в работах [35-39] . В главе I с помощью МНС-техники показано, что интегрируемые нелинейные уравнения с целыми по.// функциями k = iM-i) являются гамильтоновыми относительно бесконечного семейства гамшгьтоновых структур [54] . Раяее в работах [35-39J и (41,66-67] обсуждались первая и вторая гашльто-новы структуры.

В главе I исследуется также теоретико-групповая структура интегрируемых нелинейных уравнений. Показано, что бесконечномерная группа общих ЕП содержит в качестве своих подгрупп помимо группы, порождающей сдвиги по времени, I) бесконечномерную Б-группу авто-Бэклунд-преобразований (дBk(Af,i)/dt = О) ,2) бесконечномерную группу симметрий ( Ьк (A*t) = eccp/k(Af), 3) бесконечномерную группу обобщенных ЕП (dBf<(Af,i)/dt ф О) .

В конце главы I вычисляются конкретные примеры [54J рекур-сионных операторов, общих ЕП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев У = 2,3, Ч общей дифференциальной матричной спектральной задачи. Некоторые из вычисленных в главе I конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

В главе 2 рассматривается общая дифференциальная скалярная спектральная задача где Vk (x,t) - скалярные функции, такие, что ^ Vkoo.

Данная спектральная задача обобщает скалярный случай общей дифференциальной спектральной задачи, рассмотренной в главе I, по двум направлениям: I) предполагается наличие дополнительного потенциала Vы-* » что означает калибровочную свобода у спектральной задачи, 2) потенциалы (зс, t) удовлетворяют константным граничным условиям ( У^ФО).

Традиционно [l4, 22-34] нелинейные уравнения, интегрируемые различными спектральными задачами, при работе в рамках МНС-техники получались в фиксированной калибровке и содержали лишь динамические переменные. На примере общей дифференциальной спектральной задачи в главе 2 развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих БП, обусловленные калибровочной свободой [55,5б] .

Так, например, действие построенной в главе 2 бесконечномерной абелевой группы общих БП на многообразии потенциалов

Vfrt). VfrVj^rVJ, где V(x,t)£ (VJx,i),-.,K,M)T задается формулой [56] :

Z&M.vj -JUm(v-\q) - о, к=о где Bk (Л*,t) - произвольные целые функции стандартного рекур-сионного оператора A * (V, V') J ^fK Ю » V'h^ V'} - некоторые интегродифференциальные операторы; C*(V, V') — (£(V,V'),., некоторые дифференциальные операторы; <fi&(x,t) - произвольная скалярная функция. Отметим, что построенная группа общих ЕП содержит в качестве подгруппы группу калибровочных преобразований, сохраняющих спектральную задачу. Полученные в главе 2 общие ЕП [бб] (аналогично и интегрируемые нелинейные уравнения [55] ) имеют произвол, содержащийся в одной скалярной функции <f>s (зс, t)

В главе 2 исследуются также трансформационные свойства ре-курсионных операторов, общих ЕП и нелинейных уравнений относительно группы калибровочных преобразований, сохраняющих спектральную задачу. Показано, что построенные общие БП и интегрируемые нелинейные уравнения имеют калибровочно-инвариантные части. Дается явно калибровочно-инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений, рассматривается гашльтоно-ва интерпретация нелинейных уравнений [55,5б] .

В конце главы 2 приводятся конкретные примеры общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений для случаев А/=2 и Л/=3 [55,5б] . Некоторые из вычисленных в главе 2 конкретных Бэклунд-преобразований и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

Ситуация с неоднозначностью задания рекурсионного оператора, с произволом в нелинейных уравнениях и с калибровочной инвариантностью типична при работе в рамках АКНС-метода со спектральными задачами без фиксации калибровки. Это также продемонстрировано [57] в главе 3 диссертации на примере общей матричной спектральной задачи где А - постоянная диагональная М* N матрица, Pfe,t) -произвольная матрица /Vх А/ ( Pfafy 0 ). В предположении Р3Ф 0 ( Р§)(*>£)- диагональная часть P(x,t) ) в главе 3 диссертации получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей, исследованы их трансформационные свойства относительно группы калибровочных преобразований, дана явно калибровочно-инвариантная формулировка этих уравнений. Среди вычисленных в главе 3 конкретных интегрируемых систем нелинейных уравнений содержится (при А/ = 2 ) новая интегрируемая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

Актуальной задачей является получение интегрируемых нелинейных уравнений в многомерном случае [15-17] . В главе 4 диссертации рассмотрено следующее двумерное обобщение общей дифференциальной спектральной задачи: * + ■■■+ Vofafii) + f О, где V^ t) - скалярные функции, V^ (х,у>, t) — 1 у г ® t^9] • с помощью билокального подхода, развитого в работе [58] , в рамках АКНС-техники в главе 4 получены обширные классы нелинейных уравнений [59] , интегрируемых указанной двумерной спектральной задачей. Среди этих уравнений (при fj ) содержится двумерное обобщение семейства одномерных уравнений Гарри-Дим (см., например, [4] ), а при /V =3 получено новое уравнение (аналог уравнения Гарри-Дим), не содержащееся в семействе уравнений Гарри-Дим.

В заключении к диссертации сформулированы основные полученные результаты.

Результаты, ^изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах теоретического отдела Института ядерной физики СО АН СССР, на научном семинаре теоретического отдела ВНИЦПВ, на научных семинарах кафедры теоретической физики НЭТИ и опубликованы в работах [54-57, 59] .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В рамках АКНС-техники построена бесконечномерная группа общих Бэклунд-преобразований (группа общих ЕЛ), соответствующих общей дифференциальной матричной спектральной задаче.

2. Дано компактное и простое описание классов нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной матричной спектральной задачей.

3. Исследованы теоретико-групповая и гамильтонова структуры полученных нелинейных уравнений, интегрируемых общей дифференциальной матричной спектральной задачей. Рассмотрены следующие подгруппы бесконечномерной группы общих Ш: бесконечномерная группа авто-БП, бесконечномерная группа симметрий и бесконечномерная группа обобщенных ЕЛ интегрируемых нелинейных уравнений.

4. Развита АКНС-техника для работы со спектральными задачами (на примере общей дифференциальной и общей матричной спектральных задач) без наложения калибровочных условий. Эффективно описаны неоднозначности в рекурсионных операторах и произвол в интегрируемых нелинейных уравнениях и в общих ЕЛ, обусловленные калибровочной свободой.

5. Построены бесконечномерная группа общих ЕЛ и интегрируемые нелинейные уравнения, связанные с общей дифференциальной скалярной спектральной задачей А/ -го порядка с N потенциалами и константными граничными условиями. Дана явно калибровочно--инвариантная формулировка общих БП и интегрируемых нелинейных уравнений.

6. Получены нелинейные уравнения, интегрируемые общей матричной спектральной задачей с ненулевой диагональной частью потенциала. Дана явно калибровочно-инвариантная формулировка интегрируемых нелинейных уравнений»

7. С помощью АКНС-техники описаны классы нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной спектральной задачи.

8. В диссертации приводятся конкретные примеры рекурсион-ных операторов, интегрируемых систем нелинейных уравнений, общих ЕП, соответствующих общей дифференциальной спектральной задаче для случаев N = 2,5,4 . Некоторые из вычисленных общих ЕП и интегрируемых систем нелинейных уравнений являются новыми.

9. Приводятся конкретные примеры систем нелинейных уравнений, интегрируемых общей матричной спектральной задачей с ненулевой диагональной частью потенциала, для случая . Среди полученных нелинейных уравнений, наряду с известными уравнениями, содержится новая смешанная система уравнений Кортевега-де Фриза и Бюргерса.

10. Вычислены конкретные примеры нелинейных уравнений, интегрируемых двумерным обобщением общей дифференциальной скалярной спектральной задачи для случаев N = 2 и N=3 . Среди этих уравнений, наряду с известным семейством двумерных уравнений Кадомцева-Петвиашвили, содержатся двумерные обобщения известных одномерных уравнений, в частности, двумерное обобщение семейства уравнений Гарри-Дим и новое уравнение (аналог уравнения Гарри-Дим), не содержащееся в семействе уравнений Гарри-Дим. Приводятся примеры чисто двумерных уравнений, имеющих своим одномерным пределом тривиальные линейные уравнения.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., ст. научн. сотруднику ШФ СО АН СССР Б.Г.Конопельчен-ко, во многом определившему направление данной работы, за неоце-. нимую помощь, постоянное внимание и поддержку, которые были оказаны во время работы над диссертацией.

Автор выражает благодарность в адрес руководства Физико-технического факультета и кафедры теоретической физики Новосибирского электротехнического института за предоставленную возможность завершить работу.

1. Теория солитонов: Метод обратной задачи /В.Е.Захаров, С.В. Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский. - М.: Наука, 1980. -320 е., ил.

2. Буллаф Р., Кодри Ф. (редакторы). Солитоны /Пер. с англ. Б.А.Дубровина и др.; Под ред. С.П.Новикова. М.: Мир, 1983.- 408 с., ил.

3. Ablowitz M.J., Segur Н. Solitons and the Inverse Scattering Transform. Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics, 1981. - 456 p., ill.

4. Calogero P., Degasperis A. Spectral Transform and Solitons: Tools to solve and investigate nonlinear evolution equations. Amsterdam: Horth-Holland Publishing Company, 1982.- 516 p., ill.

5. Лэм Дж. ,Л. Введение в теорию солитонов /Пер. с англ. Н.Г. Пащенко; Под ред. В.Е.Захарова. М.: Мир, 1983. - 294 е.,ил.

6. Лонгрен К., Скотт Э. (редакторы). Солитоны в действии /Пер.с англ. под ред. А.В.Галонова-Грехова и Л.А.Островского, -М.: Мир, 1981. 312 е., ил.

7. Method for solving the Korteweg-de Vries equation /G.S.Gardner, G.M.Green, M.Kruskal and R.M.Miura. Phys. Rev. Lett., 1967, vol.19, p. Ю95-Ю97.

8. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math., 1968, vol. 21, p. 467-490.

9. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн. ЖЭТФ, 1971, т. 61, & I, с.118-134.

10. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. Функц. анализ и его прилож., 1974, т.8, в.З,с.43-53.

11. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. П. Функц.анализ и его прилож., 1979, т.13, в.З, с.13-22.

12. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния. ЖЭТФ, 1978, т.74, с.1953-1973.

13. The inverse scattering transform Fourier analysis for nonlinear problems /M.S.Ablowitz, D.S.Kaup, A.C.Newell and H.Se-gur. - Stud.Appl.Math., 1974, vol.53, p. 249-315.

14. Захаров В.Е. Метод обратной задачи рассеяния. В кн.: Р.Буллаф, Ф.Кодри (редакторы). Солитоны/Пер. с анг. Б.А. Дубровина и др. , Под ред. С.П.Новикова. - М.: Мир, 1983.- с.270-309.

15. Zakharov 7.Е. Integrable systems in multidimensional spaces.- In: Mathematical problems in theoretical physics, Lect. Notes in Phys.-Berlin:Springer, 1982, vol.153, p. 190-216.

16. Захаров В.Е., Манаков C.B. Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы построения их решений. В кн.: Зап.научн.семин. ЛОМИ. - Ленинград: Наука, 1984, т. 133,с.77-91.

17. Backlund transformations. Lecture Notes in Mathematics /ed. R.M.Miura. Berlin: Springer, 1976, vol. 515, 234 p., ill.

18. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics, 1979. - 220 p.

19. Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, I983.-280C.

20. Korteweg-de Vries and generalizations. VT: Methods for exact solution /G.S.Gardner, G.M.Green, M.Kruskal and R.M.Miura. Comm. Pure Appl. Math., 1974, vol. 27, p.97-133.

21. Flaschka H., Newell A. Integrable systems of nonlinear evolution equations. In: Dynamical Systems, Theory and Applications, Lecture Notes in Physics /Ed. by J.Moser - Berlin: Springer, 1975, vol. 36, p. 355-440.

22. Newell A.G. General structure of integrable evolution equations. Proc. Roy. Soc. (London), 1979, vol. A365, p.283-311.

23. Кулиш П. П. Порождающие операторы интегрируемых нелинейных уравнений. -В кн.: Зап. научн. семин. ЛОМИ. -Ленинград: Наука, 1980, т.96, с.105-112.

24. Konopelchenko B.G. The linear spectral problem of arbitrary order: the general form of the integrable equations and their Backlund transformations. Phys. Lett., 1980, vol. 75A, No. 6, p. 447-450.

25. Konopelchenko B.G. On the structure of integrable evolution equations. Phys. Lett., 1980, vol. 79A, No. 1, p.39-43.

26. Konopelchenko B.G. Transformation properties of the integrable evolution equations. Phys. Lett., 1981, vol. 100B, No. 3, p. 254-260.

27. Konopelchenko B.G. On the structure of equations integrable by the arbitrary order linear spectral problem. Journal of Phys. A: Math. Gen., 1981, vol. 14, H°6, p. 1237-1259.

28. Konopelchenko B.G. Honlinear Transformations and Integrable Evolution Equations. Fortschr. Phys., 1983, Bd. 31,1. Heft 5, p. 253-296.

29. Гердаиков B.C., Иванов М.И., Кулиш П.П. Квадратичный пучок и нелинейные уравнения. ТШ, 1980, т.44, В 3, с.342-357.

30. Gerdjikov V.S., Kulish P.P. The generating operator for the IT x N linear system. Physica, 1981, vol. 3D, p. 549-564.

31. Гаджиев И.Т., Гердаиков B.C., Иванов М.М. Гамильтоновы структуры нелинейных эволюционных уравнений, связанных с полиномиальным пучком. В кн.: Зап.научн.семин. ЛОМИ. - Ленинград: Наука, 1982, т.120, с.55-68.

32. Konopelchenko B.G., Formusatic I.В. On the structure of nonlinear evolution equations integrable by the Z2-graded quadratic bundle. Journal of Phys. A: Math. Gen., 1982, vol.15, H°7, p.2017-2040.

33. Конопельченко Б.Г. Интегрируемые эволюционные уравнения: семейство гамильтоновых структур и редукции. Функ. анализ и его прилож., 1982, т.16, в.З, с,63-65.

34. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Асимптотика резольвенты Штурм-лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза. УМН, 1975, т.ЗО, & 5, с.67-100.

35. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Структура алгебры Ли в формальном вариационном исчислении. Функц. анализ и его прилож. ,1976, т.10, в.1, с.18-25.

36. Гельфанд И.М., Дикий Л. А. Дробные степени операторов и гамшгьтоновы системы. Функц.анализ и его прилож., 1976, т.10, в.4, с.13-29.

37. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Резольвента и гамильтоновы системы. Функц.анализ и его прилож., 1977, т.П, в.2, с.П-27.

38. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Исчисление струй и нелинейные гамильтоновы системы. Функц.анализ и его прилож., 1978, т.12, в.2, с.8-23.

39. Манин Ю.И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки и техники, серия "Современные проблемы математики", 1978, т.П, с.5-152.

40. Adler М. On a trace functional for formal pseudodifferential operators and symplectic structure of the Korteweg-de Vries type equations. Invent. Math., 1979, vol. 50, p.219-248.

41. Лебедев Д.P., Манин Ю.И. Гамильтонов оператор Гельфанда--Дикого и коприсоединенное представление группы Вольтерра. Функц.анализ и его прилож., 1979, т. 13, $ 4, с.40-46.

42. Symes V/. Relations among generalized Korteweg-de Vries systems. Journal of Math. Phys., 1979, vol. 20, p. 721-725.

43. Соколов B.B., Шабат А.Б. (L,A) пары и замена типа Ри-катти. - Функц.анализ и его прилож., 1980, т.14, в.2,с.79-80.

44. Fordy А.P., Gibbons J. Factorization of Operators. I.Miura transformations. Journal of Math. Phys., 1980, vol. 21, p. 2508-2510.

45. Fordy A.P., Gibbons J. Factorization of Operators. II. -Journal of Math. Phys., 1981, vol. 22, p. 1170-1175.

46. Kupershmidt В.A., V/ilson G. Modifying Lax equations and the second hamiltonian structure. Invent. Math., 1981, vol. 62, p. 403-436.

47. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Уравнения типа Кортевега-де-Фриза и простые алгебры Ли. ДАН СССР, 1931, т.258, $ I, C.II-I6.

48. Mikhailov A.V. The Reduction problem and the inverse scattering method. Physica, 1981, vol. 3D, p. 73-117.

49. Calogero F. A Method to generate solvable nonlinear evolution equations. Lett. Nuovo Gim., 1975» vol. 14, p.443-448.

50. Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations, solvable by the inverse scattering transform. I. Nuovo Cim., 1976, vol. 32B, p. 201-242.

51. Calogero P., Degasperis A. Nonlinear evolution equations, solvable by the inverse scattering transform. II Nuovo Cim., 1977, vol. 39B, p. 1-54.

52. Dubrovsky V.G., Konopelchenko B.G. Backlund-Calogerо group for the general differential spectral problem of an arbitrary order. Novosibirsk, 1983* - 29 p. - (Preprint/Institute of Nuclear Physics; IYaP 83-57).

53. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. On the general structure of nonlinear equations integrable by the General Linear Spectral Problem.-Phys.Lett., 1983, vol. 95A, №9, p. 457-462.

54. Коддингтон Э.А., Левинсон H. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений/ Пер. с англ. Б.М.Левитана. М.: Издательство иностранной литературы, 1958, 474 с.

55. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 с.

56. Вадати М. Обобщенная матричная форма метода обратной задачи рассеяния. В кн.: Р.Будпаф, Ф.Кодри (редакторы). Соли-тоны /Пер. с англ. Б.А.Дубровина и др ; Под ред. С.П.Новикова. - М.: Мир, 1983, с.310-322.

57. Каир D.J. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class 1jrxxx GQf.r + SR^r ^i/r- Studies in Appl. Math., 1980, vol. 62, p. 189-216.

58. Caudrey P.J. The inverse problem for the third order equation UXXXS- Phys. Lett., 1980, vol. 79A, p. 264-268.

59. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Семейство гамильтоновых структур, связанных с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, 1978, 22 с. (Препринт/Институт прикладной математики Ш. СССР, ИПМ № 136).

60. Гельфанд И.М., Дорфман И. Я. Скобка Схоутена и гамильтоновы операторы. Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, в.З, с. 71-74.

61. Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. Гамильтоновы операторы и бесконечномерные алгебры Ли. Функц.анализ и его прилож., 1981, т.15, в.З, с.23-40.

62. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Семейство гамшгьтоновых структур, иерархия гамильтонианов и редукция для матричных дифференциальных операторов первого порядка. Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, в.2, с.77-78.

63. Magri P. Simple Model in integrable Hamiltonian equation. -Journal of Math. Phys., 1978, vol. 19, p. 1156-1162.

64. Magri P. A geometrical approach to the nonlinear solvable equations. In: Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems, Lect. Notes in Phys. - Berlin:Springer, 1980, vol.120, p. 233-263.

65. Кулиш П.П., Рейман А.Г. Иерархия симплектических форм для уравнений Шредингера и Дирака на прямой. В кн.: Зап.научн. семин. ЛОМИ. - Ленинград: Наука, 1978, т.77, с.134-147.

66. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974 , 432 с, ил.

67. Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой. ДАН СССР, 1979, т.247, В 5, C.II03-II07.

68. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Уравнение Кортевега-де Фриза с групповой точки зрения. ДАН СССР, 1979, т.244, В I,с.57-61.

69. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Бэклунда. Функц.анализ и его прилож., 1980, т.14, в.1, с.25-36.

70. Wahlquist H.D., Estabrook Р.В. Backlund transformation for solutions of the KdV equation, Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 23, p. 1386-1389.

71. Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов. ЖЭТФ, 1973, т.65, в.1, с.219-225.

72. Sawada К., Kotera Т. Method for finding U-soliton solutions of KdV equation and KdV like equation. Progr. theoret. phys., 1974, vol. 51, p. 1355-1367.

73. Dodd R.R., Gibbon J.D. Prolongation structure of a higher-order Korteweg-de Vries equation. Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 1976, vol. 358, p. 287-297.

74. Bruschi M., Ragnisco 0. Nonlinear evolution equations as-soiated to the third order scalar differential operator. -Roma, 1981. 12 p. (Preprint/Universita Roma, №254).

75. Hirota R., Satsuma J. Soliton Solutions of a coupled Korte-weg-de Vries equation. Phys. Lett., 1981, vol. 85A,p. 407-408.

76. Dodd R., Fordy A. On the integrability of a system of coupled KdV equations. Phys. Lett., 1982, vol. 89A, p. 168-170.

77. Konopelchenko B.G. Hamiltonian structure of the integrable equations under matrix -iy-reduction. Lett. Math. Phys., 1982, vol. 6, p. 309-314.

78. Konopelchenko B.G. On the gauge-invariant description of the evolution equations integrable by Gelfand-Diki;. spectral problems. Phys.Lett., 1982, vol. 92A, p. 323-327.

79. Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. : A remarkable explicit nonlinear transformation. Journal of Math. Phys., 1968, vol. 9, p. 1202-1204.

80. Olver P.J. Evolution equations possessing infinitely many symmetries. Journal of Math. Phys., 1977, vol. 18,p. 1212-1215.

81. Konopelchenko B.G. On the General Structure of Nonlinear Evolution Equations Integrable by the Two-dimensional Matrix Spectral Problem. Comm. Math. Phys., 1982, vol. 87, p.105-125.

82. Konopelchenko B.G. On the Adjoint Representation for spectral problems and its relation with the AKNS-method, Gauge transformations and Riemann Problem. Phys. Lett., 1983, vol. 9ЗА, p. 377-382.

83. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1 dimensions.- Phys, Lett., 1984, vol. 102A, p.15-17.