Дискретные симметрии интегрируемых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Объединённый Институт Ядерных Исследований Лаборатория теоретической физика им H.H. Боголюбова

Дерягин Владимир Борисович

Дискретные симметрии интегрируемых систем. ( 01.04.02-теоретическая физика )

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель профессор, доктор ф.-м. наук А.Н. Лезнов

ДУБНА, 2001 г.

г

ОГЛАВЛЕНИЕ

В в е дение ...... ... ................................с.

Г л а в а I. Дискретные симметрии, Пуассоновы структуры и соответствующие иерархии ПЛ) интегрируемых с истем.

1. Гостроение инвариантных пуассоновых структур относительно некоторых типов интегрируемых преобразований....... . ................ . ......с.

АЛ. Иерархия нелинейного ^редингера иез производной. с. А.2. Иерархия модифицированного нелинейного Шре .цинге-

ва ................................................с.

А . 3. . е рархмя Лу н да -Р э джа............................с.

кЛ. иерархия в классической области...........с.

к Л Л Невырожденный случай........................... ...с.

к Л. у Вырожденный случай..............:.................с.

А.5 Иерархия нелинейного Иредингера с производном... .с.

2. Интегрируемая подстановка Лотки-Вольтерра в Ci+I) случае и соответствующая иерархия интегрируемых систем. . .. . ...................................... .5.

Глава Ii. Интегрируемые системы с точки зрения групповых свойств их дискретных симметрии в (1+1) и (1+2) случаях.

1. двумерные интегрируемые преобразования..........с.

1.1 Преобразование Дарбу-Тоды........................с.

1.2 Преобразование Лотки-Вольтерра...................с.

2. Одномерные интегрируемые преобразования.........с.

2.1 Преооразование модифицированного нелинейного

до недавнего времени основное внимание в теоретической и математической физике уделялось симметриям вариационного или Нё те ровен ого типа, для таких симметрии Лагранжев либо Гамкльтонов функционалы остаются инвариантными по отношению к действиям соответствующих групп преобразований Ли. Основополагающую роль в этом случае играет теорема З.Нётер, устанавливающая фундаментальную связь кэжд^ вариационными симметриями и законами сохранения соответствующих уравнений Эйлера - Лагран&а либо уравнений Гамильтона.

Ситуация радикально изменилась после того, как стало ясно что наиболее важные свойства интегрируемых систем .включая явный вид их солитонных решений, являются прямом следствием дискретных силк?трий этих систем. Все интегрируемые с и стены, которые будут рассмотрены в диссертации,являются инвариантными относительно дискретных обратимых подстано -вок вида :

1

Ц/ является ^ -мерным вектор-дункцией

¡ЮТ ООО ой ра по пространственным переменным

¿¿^ ,, . представляют сооой производные этого векто-

Свойство оиратимости означает,что равенство ' I ^ можно

разрешить и выразить "старые" переменные локальным

образом через новые ОС и их производные.

и=Г[И] ( г )

- преобразование, обратное к преобразованию (I ).

Функции Ч^М} , зависящие от X , (Л , производных от. 1С по X 50 некоторого произвольного, но конечного порядка обладающие непрерывными частными производными любого порядка по всем своим аргументам, будем называть дифференциальными функциями. Множество дифференциальных функций образу -ет некоторую алгебру, которую будем обозначать через ¿¡^ . Пространство наборов из £ дифференциальных пункций обозначается в дальнейшем через ^^ . Подстановки ^ , ф принадлежат .

Согласно ,

производной Ф Р £ П Е, соответствующей некото* рой функции , называется линейный

оператор ^ : , определённый следующим образом:

у#>4 ¡Р1Ыт]

для любой Функции ^

Нетрудно видеть, что производная Фреше, как следует из этого определения, представляет собой линейный матричный дифференциальный оператор размера (¡,Х$' с компонентами

=Х_ у,и, ^=/7! (3}

т т

Мы будем обозначать производную Фреше, соответствующую подстановке ( I ), через ^ [uJ . Рассмотрим теперь уравнение :

го

которое, будучи записанным в несколько иных обозначениях, впервые было рассмотрено в работе £ зJ • -неиз-

вестный ^ -мерный вектор, компоненты которого являются

дифференциальными функциями.

Уравнение ( 4 ) обладает очевидным тривиальным решением

К1 = ^ для произвольной подстановки У . Для того, чтобы доказать этот факт, достаточно продифференцировать уравнение Г I ) по любой из пространственных переменных. Если уравнение С Ц ) обладает некоторым другим решением ' для данной подстановки ^ ), отличным от тривиального , то в дальнейшем мы будем называть такую подстановку интегрируемой. Ещё раз подчеркнём, что уравнение ( к ) содержит две неизвестные вектор - функции УСи2 и и только

для достаточно узкого класса интегрируемых подстановок оно обладает нетривиальными решениями для функций Принципиальная проблема .связанная с основным уравнением, заключается в том, чтобы отыскать такую подстановку ,

что уравнение ( # ) оудет обладать хотя оы одним нетривиальным решением. Зта проблема не рассматривается в нашей работе. Мы рассматриваем лишь конкретного виды интегируемые подстановки как в одномерном , так и двумерном случаях. С каждым из решений /равнения ( м-) мы молем свя -

зать систему уравнений эволюционного типа :

и{ =РП<] < 5 )

которое оудет, очевидно, инвариантные относительно преоора -зования г I ).

Уравнение ( ц ) будем в дальнейшем, называть основным функционально- дифференциальным соотношением. Ввиду всего этого основное уравнение ( 4 ) занимает центральное ,место во всей диссертации.

Уё первая глава гтосвдщеьа целиком ( I + I ) вполне интегрируемым системам, наиболее характерное свойство которых

можно описать следующим образом.

Каждая такая система обладает бе скобочным набором инволю-

лютивных законов сохранения, которые можно записать в следующем видэ ;

для всех гладких решений системы, (и) о?,I

При этом _[ ^ и являются дифференциальными функциями,

зависящими от пространственной переменной X и производных

1 5

от функций и , . . . , и, по X м-

Каждая плотность закона сохранения может сыть рассмотрена в качестве плотности Гамильтоноза функционала. Ста плотность вместе с соответствующей скобкой Пуассона образует вполне интегрируемую систему. Совокупность таких уравнений образует иерархию интегрируемых систем. Для того, что -бы найти явный вид иерархии, необходимо знать все сохра-

няющиеся величины / . Существуют два основных метода

—о

поиска таких величин. Один из них, основанный на обратной задаче рассеяния, состоит в рассмотрении рекуррентного соотношения, позволяющего последовательно получать сохраняющиеся величины, начиная с нескольких начальных. Другой метод основан на том, что любая вполне интегрируемая система уравнений может быть записана с помощью различных скобок Пуассона и различных Гамиль тоновых функционалов. Различные скобки Пуассона строятся посредством соответствующих операторов Гамильтона, ¿ная два Гамильтоновых опера -тора образующих Гамильтонову пару, мы можем найти все сохраняющиеся величины, начиная снова с нескольких началь-

-х Г -г1 ■

Все эти факты были известны достаточно давно.

Тем не менее не существовало простых конструктивных мето -дов нахождения интегралов и Гамильтоновых пар. Ситуация с построением операторов Гамильтона существенно изменилась после того, как стал ) ясно, что все наиболее важные свойст -ва вполне интегрируемых систем можно получить из свойств их дискретных симметрия. Стало ясно, что требование инва -риантиости оператора Гамильтона по отношению к дискретной симметрии представляет собой мощный метод построения соответствующей иерархии Гамильтоновых структур. В статье 4 условие инвариантности было использовано для формулирования конструктивной процедуры поиска коэффициентов разложения Гамильтонова оператора по степеням оператора полной производной [) . Исходным пунктом вычислений была фиксация максимальной положительной степени оператора /) Предложенный метод позволяет, в принципе , последовательно

находить все требуемые коэффициенты. При этом необходимо

Си)

знать поведение сохраняющихся величин "]" под действием дискретного пре образования.

Основной акцент в первой главе делается на то, чтобы, исходя из анализа работа , понять общую

структуру операторов Гамильтона, их связь с сохраняющимися величинами, получить явные выражения для них в случае („, I ) интегрируемых систем.

Для дальнейшего рассмотрения чрезвычайно важным являются решения следующих уравнений :

ал)

,Т

г'щ л«] г' ад=тог м]

(1.2)

Н[Ц], представляют собой неизвестные матричные опе-

раторы размера , матричные элементы которых явля-

ются полиномами некоторого конечного порядка относительно оператора дифференцирования [)

Лз (1.1 у сразу следует следующее утверждение :

¿ели ри[и] является некоторым решением основного уравнения (4) , тогда ( р - произвольное

натуральное число ) также является решением уравнения

М •

Решение второго уравнения (1.2) при дополнительном требовании кососимметричности оператора ЛИн] может быть связано с Пуассоновой структурой, которая инвариантна относительно преобразования дискретной симметрии. Кососимметрические ше -раторы известны в качестве Гамильтоновых.

Два различных решения уравнения (а. .2) ( если возможно их отыскать ), например, и ^ [и] в коыбтацш^и]^^]

либо ^[н]Л~1 Си] 4ают решение уравнения (1.1). Операторы

ли0° ^гМД" М^И являются решениями уравнения (1.2) и так далее. Этим путём обычно и возникают Гамильтоновы операторы в теории интегрируемых систем. Оператор Н[н] > удовлетворяющий урашению (1.1), будем называть оператором с и м м е т р и и. Впервые для построения операторов Гамильтона уравнение (1.2) было использовано в работе

Согласно [Ч^ можно ожидать, что некоторые частные решения уравнения (1.2) имеют вид :

13 с

с

, V /\ 1\1 / . . .

X . ^ 1

cL В

где ^ , представляют сооой С - мерные векторы,

A¿ - некоторая матрица размера , компоненты кото-

рой являются дифференциальными функциями. Более детальную информации о свойствах интегро- дифференциальных операторов такого типа можно найти в работе [5J .

для того, ч тис ы понять эту структуру, рассмотрим действие оператора ^'[uj на решение FnEtí] основного уравнения (О- :'меем :

=F„[y[uJ] +с,й +с2дг + ...

Отсюда сразу же следует, что, если оператор J выбран

в виде :

J[«J=I FhM0"-FÍW +LA¿lf а.4)

пУ i I /Т

то для произведения операторов

ГШЫГ [и] получаем

^мш'Ья. тФ''-F^L^Ml v

ну '

и второе уравнение (1.2) эквивалентно равенствам :

Бее вышесказанное позволяет п > лучить сравнительно простые явные выражения для операторов > постро-

ения которых, как правило, необходимо использовать кроме

I

тривиальных решений СС уравнения ( 4 ) некоторые другие решения низших порядков.

3 силу того, что комбинации ^¡[и][к] или ^¿^

удовлетворяет уравнению (1.1), т.е. представляют сооои

операторы симметрии, на протяжении все,! первой г л а-вы ,чы уделяем особое внимание получению не ооходимых и

достаточных условий того, что операторы вида (1.4; удои -лети оря ют уравнению (1.2). При этом производная Фреше имеет определённые ограничения на свои компоненты, накладываемые исходя из вида определённых типов интегрируемых подстановок

М .

Основной результат п е р в о и г л а в ы состоит в получении именно таких условий для определённых типов интегрируемых подстановок , которые позволяют получать в явном виде ГамильтоноЕы операторы , > удовлетворяющие уравнению (1.2) и , как следствие, операторы Ц [ц] , удовлетворяющие уравнению (1.1). Для конкретных подстановок принадлежащих к определённым типам, проведены конкретные вычисления и приводятся в явном виде выражения для опера-

"р°в Ш ДМ ■ НСч].

Сравним теперь уравнение (4)( с определением линейного представления 'П'^) некоторой группы л для бесконечномерных групп ли ) :

где Ц является групповым элементом, ~ групповий

оператор для некоторого представления. ¿р{^ - вектор соответствующего пространства представления.

Очевиднее соответствие возникает после сравнения г 5 ) и

Ри[р{] ~ решение уравнения ( 4 ), зависящее от производных - го порядка.

Итак, основное уравнение ( 4 ) (с данной интегрируемой подстановкой ) является определением, некоторого

линейного представления группы интегрируемых подстановок.

Методы построения Гамильтоновых операторов, используемые в этой главе, являются типичными для теории представления групп. Уравнения (1..ТЛ и ("1.2) с теоретико- групповой точки зрения представляют собой уравнения на некоторые инвариантные ядра. Таким образом, построение теории представления интегрируемых подстановок эквивалентно теории интег -рируемых систем данной иерархии.

В дальнейшем дифференциальные функции , либо операто-

ры 00 сдвинутым аргументом будем обозначать :

для случая прямой подстановки СС-^С^] » и

Для случая обратной :

Вторая глав а диссертации целиком посвящена исследованию групповых свойств интегрируемых подстановок Здесь разрабатывается механизм решения основного уравнения

(4) именно с использованием таких- скрытых свойств. Такой метод в принципе не зависит от размерности интег -рируемой подстановки ( числа пространствен-ых переменных ) и позволяет строить иерархии интегрируемых систем, инвари -антные относительно рассматриваемого преобразования, не обобщаясь к Гаиильтонову формализму. Это особенно наглядно продемонстрировано в первой части второй главы, где исследуются свойства двумерных интегрируемых подстановок. На базе этих свойств впервые были построены в явном виде соответствующие иерархии (1 + '¿) интегрируемых систем.

Мы исследовали свойства двумерных подстановок Даро.у - 'Годы и Лотки - Вольтсрра, получили иерархии (I + 2) интегрируемых систем, инвариантных относительно этих преобразований. При этом, несмотря на то, что операторы ©реше существенным образом отличаются для осеих подстановок, основное уравнение в обоих случаях имеет одинаковую структуру и решения ищутся одинаковыми способами.

Вторая часть второй главы посвящена определённым одномерным интегрируемым подстановкам. Иерархии интегрируемых систем , инвариантных относительно этих под -становок, были получены в первой главе посредством Гамильтонова формализма. Теперь мы используем групповые свойства этих подстановок для непосредственного решения основного уравнения ( 4 ). Способ нахождения рэи^ний уравнения ( 4 ) во многое аналогичен двумерному случаю. Немаловажным представляется на наш взгляд и тот факт, что для построения интегрируемых систем, инвариантных относительно рассматриваемых интегрируемых подстановок, нам потребовалось знание максимум двух функций и -¿.^ . . Каждая из этих функций "6/ и "¿2 удовлетворяет рекуррентным соотношениям вместе с функциями, пре цставляющими собой результат действия прямой и оиратной подстановок на ;л.ункции и . Эти рекурентные соотношения играют весьма важную роль в п редложенном механизме .

Окончательное выражение для уравнений , полученных иерархий записывается мзрез результаты многократных действий прямой и обратной подстановок на функции 2 . Переход ,..е к переменным ( Ц , ) приводит к гораздо солее громоздкие выражениям.

Общий вид формул для иерархий интегрируемых систем, записанных в терминах действия дискретной подстановки на функции ~Ь, £ , ещё 13 бохызй степени подтверждают вывод сделанный о том, что дискретные преобразования представляют собой принципиальный момент в теории интегрируемых систем. Более того, мы можем предположить, что для полного пони -мания теории интегрируемых систем необходимо создать завершённую теорию представлений для групп интегрируемых п одстановок.

3 третьей главе рассматриваются обобщения некоторых интегрируемых подстановок, из первой главы на случай некоммутативных переменных ( Ц , (/ ), а именно:

и (Г - несингулярные матрицы размере • Благодаря

этому мы молем рассматривать Ц , (Г как столбцы высотой

/У каждый , компоненты которых обозначаются двойным индексом ( I , ^ ). Отсюда следует, что оператор Фреше для соответствующей матричной подстановки представляет собой матричный оператор размера 2. /Ц* X2 компоненты которого

являют собой линейные дифференциальные операторы. В тол же главе мы проводим обобщение схемы построения к о сос имметри чу ских операторов, удовлетворяющих уравнению (1.2), предложенной в работе [43 на рассмотренный выше случай. Зто обобщение даёт конструктивную процедуру для построения операторов > ^[&] нулевого и первого порядка

в подобных случаях. При этом операторы ^[^ЗЗ/С^ либо 7,[и]Т0'[и] попрежнему удовлетворяют уравнению (1.1)-Таким образом, действуя этими операторами на нзкотор>е начальное решение основного уравнения Г Ц ), мы получаем, как и в первой главе, иерархию интегрируемых систем ,

инвариантных относительно соответствующей матричном интег -рируемой подстановки.

Глава четвёртая посвящена суперсимметрич кой подстановке Ферми - 'Тоды, действующей в г 1 ) супер -пространстве с одной бозонной переменной % и двумя $ермионными 9 » 9 координатами. Впервые эта подстаков ка была получена в работах £15,16]] Она содержит пару киральных - антикиральных полей ( £ , £ ) и в бозонном пределе совпадает с преобразованием Т