Пертурбативный симметрийный подход и некоторые уравнения теории солитонов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

1. Введение

2. Пертурбативный симметрийный подход.

2.1. Симметрийный подход - основные определения.

2.2. Символьное представление.

2.3. Симметрийный подход в символьном представлении.

2.4. Обобщение на случай систем эволюционных уравнений

3. Нелокальное обобщение симметрийного подхода

3.1. Введение.

3.2. Обобщенные уравнения Бенджамина-Оно.

3.3. Классификация интегрируемых уравнений типа Бенджамина-Оно.

3.4. Уравнение Абловитца.

3.5. Уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса.

3.6. 2 + 1-мерные уравнения.

4. Безотражательные потенциалы акустической спектральной задачи

4.1. Введение.

4.2. Безотражательные потенциалы акустической спектральной задачи.

Интегрируемые нелинейные уравнения в частных производных имеют множество приложений в современной физике и математике и описывают множество важных физических моделей. Кроме того, интегрируемые нелинейные уравнения интересны сами по себе. В настоящее время существует чрезвычайно богатая теория интегрируемых динамических систем, посвященная, в основном, проблеме построения решений таких систем и изучению алгебраических и аналитических структур, связанных с ними. Основополагающей теорией является метод обратной задачи, который берет свое начало с работ Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (см., например, [1]) и В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [2].

Чрезвычайно важной задачей в теории интегрируемых систем является проблема определения, какие системы являются интегрируемыми в рамках известных методов теории интегрируемых систем, каким необходимым условиям удовлетворяют такие системы. Здесь также существует ряд подходов, позволяющих выяснить, является ли данная система интегрируемой в рамках тех или иных методов или нет. Среди таких подходов выделим теорию Пенлеве, пертурбативный анализ почти интегрируемых и квазилинейных систем и симметрийный подход, базирующийся на теории высших симметрий и законов сохранения.

В симметрийном подходе существование бесконечной иерархии высших симметрий и/или локальных законов сохранения берется за определение интегрируемости. Основными целями теории являются как получение легко проверяемых необходимых условий интегрируемости и идентифицирование интегрируемых случаев, так и полное описание и классификация интегрируемых систем определенного вида. Подход успешно зарекомендовал себя при описании интегрируемых эволюционных уравнений и систем уравнений [3, 4, 5]. Метод применим к эволюционным уравнениям произвольного вида щ = F(un,.,uhuo), п> 2 (1) где w0 = u(x,t),ui = Ux(x,t),U2 = uxx(x,t),. ,un = Здесь F есть произвольная функция, зависящая от конечного числа аргументов. В симметрийном подходе предполагается, что все об'екты, как то высшие симметрии и плотности законов сохранения , зависят от конечного числа аргументов Uj и принадлежат соответствующему дифференциальному полю Т{и, D), или, другими словами, являются локальными функциями, и это является ключевым местом теории. Основополагающим результатом в теории является понятие формального рекурсионного оператора (или формальной симметрии) уравнения [6, 3, 4, 5]), для которого справедлива теорема А.Б. Шабата: если уравнение (1) интегрируемо, то есть обладает бесконечной иерархией высших симметрий, то существует формальный ряд

Л - lmDm + Im-iD"1-1 + + + l-iD~l + l2D~2 + • • • , (2) удовлетворяющий уравнению

Д(Л) = F,oA-AoF,: (3) такой, что все коэффициенты (Е D). Здесь D есть оператор дифференцирования D = ^ и F* есть производная Фреше правой части уравнения (1).

Если уравнение (1) интегрируемо, то есть обладает бесконечной иерархией высших симметрий, то уравнение (3) разрешимо и все коэффициенты lm, lm-i,. формального рекурсионного оператора Л принадлежат дифференциальному полю D). Условия разрешимости уравнения (3) можно сформулировать в элегантной форме канонической серии законов сохранения уравнения (1), и эти условия являются необходимыми условиями интегрируемости уравнения (1). Эти условия могут быть использованы как тест на интегрируемость данного уравнения или даже для полного описания интегрируемых уравнений заданного вида.

Первые две главы данной диссертации посвящены построению пертурбативного симметричного подхода, цель которого - построение теории, удобной для описания нелокальных и неэволюционных динамических систем и получение легко проверяемых необходимых условий интегрируемости, а также описания интегрируемых случаев.

До сих пор симметрийный подход использовался при изучении и классификации локальных эволюционных уравнений и систем. Однако, хорошо известны примеры нелокальных динамических систем, интегрируемых методом обратной задачи и обладающих бесконечным набором высших симметрий и законов сохранения. Таковым, например, является уравнение Бенджамина-Оно щ = Н(и2) + 2 uui, где Н есть оператор Гильберта. Другим примером является уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса rrit = стщ + ит\, т = и — , сф 0 , которое не является эволюционным, но может быть переписано как нелокальное эволюционное уравнение. 2+1-мерные уравнения также нелокальны в своей структуре.

Во всех этих примерах как сами уравнения, так и об'екты с ними связанные, как то высшие симметрии и законы сохранения также нелокальны, что и является основной проблемой обобщения симметрийного подхода, который базируется на понятии локальности. Эта проблема преодолевается естественным обобщением понятия локальности - введением квазилокальных функций.

Эта идея впервые была предложена в работе [14] в связи с 2 + 1 уравнениями и успешно себя зарекомендовала при рассмотрении 2+1- мерных динамических систем.

Другой важной идеей теории является введение символьного представления, которое есть ни что иное как упрощенная форма правил обычного Фурье представления, и теория возмущений. Символьное представление (или символьный метод) успешно использовалось в математике с середины 19-го века. Оно успешно применялось в теории интегрируемых уравнений в работах И.М. Гельфанда и JI.A. Дикого в 1975 г. (см., например, [7]), а также позже в работах В.Е. Захарова и Е.И. Шульмана (см., например, [8]). Недавно мощность подхода была вновь продемонстрирована в серии работ Я. Сандерса и Дж.П. Вонг (см., например, [9], [10]), где была построена полная классификация интегрируемых иерархий полиномиальных однородных интегрируемых уравнений. Теория возмущений успешно использовалась в работах В.Е. Захарова и Е.И. Шульмана в теории интегрируемых систем. Именно символьное представление позволяет успешно работать с нелокальными об'ектами. С другой стороны, теория возмущений позволяет получать явные формулы для всех основных об'ектов теории, как то, например, формальный рекурсионный оператор и высшие симметрии, в терминах заданной динамической системы.

Об'единение этих трех идей- понятие квазилокальности, символьное представление и теория возмущений и легли в основу пер-турбативного симметрийного подхода. Построенная теория позволяет работать как с локальными, так и с нелокальными и неэволюционными динамическими системами и является удобным методом тестирования интегрируемости данной системы.

В главе 1 диссертации излагается локальная теория. Глава 2 посвящена обобщению на нелокальные динамические системы. В главе 2 рассматриваются примеры применения теории:

• Задача классификации интегрируемых уравнений типа Бенджамина-Оно.

• Классификация интегрируемых случаев уравнения Камассы-Холма-Дегаспериса.

Кроме того, в главе 2 рассматривается приложение теории и в 2 + 1- мерном случае.

Последняя глава диссертации посвящена построению баргма-новских и безотражательных потенциалов акустической спектральной задачи

Фхх = А £(х)ф. (4)

Здесь ф = ф(х), е(х) есть потенциал и А есть спектральный параметр. Уравнение (4) имеет многочисленные физические приложения, так как описывает распространение волн в неоднородных средах. Например, оно соответствует задачи распространения электромагнитных волн в неоднородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью е(х) си2 ф = Е,(х), Ех = Еу = О, А = —у с

Исследованию уравнения (4) посвящено большое число работ (см., например, [24],[25]), где рассматривается различный характер поведения е(х).

Баргмановским потенциалом называется потенциал, обладающий следующим важным свойством: квазиклассические решения уравнения (4) п ф(х,р) = exp(ipf(x) + д(х)) \=-р2. (5) з=1 являются точными решениями (4) с таким е(х).

Из такого класса потенциалов, можно выделить подкласс безотражательных потенциалов задачи (4), удовлетворяющих условию е(х) —>• 1, —»■ оо (6)

При выполнении условия (6) и достаточно гладких е{х) можно рассмотреть задачу рассеяния iP(x,\)~e-ipx + R{p)eipx, х^оо (7) ф(х, А) - T{p)e~ipx, х -оо, (8) и R(p) = 0 в безотражательном случае. Баргмановские и безотражательные потенциалы акустической задачи являются весьма важными для различных физических приложений.

Основными результатами диссертации являются:

• Построение в рамках симметрийного подхода теста на интегрируемость, пригодного для работы как с локальными, так и с нелокальными и неэволюционными нелинейными уравнениями в частных производных.

• Классификация интегрируемых уравнений типа Бенджамина-Оно.

• Классификация интегрируемых случаев уравнения Камассы-Холма-Дегаспериса.

• Построение класса безотражательных потенциалов акустической спектральной задачи.

Основные результаты глав 1 и 2 опубликованы в работах [18, 19]. Результаты главы 3 опубликованы в работе [22], [23].

5. Заключение

В заключение еще раз опишем основные результаты данной диссертации.

В главе 1 построен пертурбативный симметрийный подход, дающий необходимые условия интегрируемости локальных эволюционных уравнений.

В главе 2 теория обобщена на некоторые нелокальные динамические системы, такие как обобщенные уравнения Бенджамина-Оно, уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса. Предложено обобщение теории на случай 2 + 1-мерных эволюционных уравнений. Получена классификация интегрируемых уравнений типа Бенджамина-Оно и классификация интегрируемых случаев уравнения Камассы-Холма-Дегаспериса. Показано применение пер-турбативного симметрийного подхода в задачах определения типов нелокальных операторов в интегрируемых эволюционных уравнениях (раздел 3.4).

В главе 3 рассмотрена классическая акустическая спектральная задача и построены важные в приложении баргмановские и безотражательные потенциалы такой задачи.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям проф. А.Б. Шабату и проф. А.В. Михайлову за глубокое внимание, участие и энтузиазм в данной работе, а также В.В. Соколову, В.Г. Марихину, П.Г.Гриневичу, Дж. П. Вонг, Я. Сандерсу, П.Л. Лушникову, Д. Холму, А. Хону за чрезвычайно полезные обсуждения разных аспектов данной диссертации.

1. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p. 1095

2. B.E. Захаров, А.Б. Шабат, ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 118

3. V.V. Sokolov, А.В. Shabat: "Classification of Integrable Evolution Equations"in Soviet Scientific Reviews, Section C, 4, 221280 ,1984.

4. A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, R.I Yamilov "The Symmetry Approach to the Classification of Non-linear Equations. Complete Lists of Integrable Systems", Russian Math. Surveys 42:4 1-63 1987.

5. A.V. Mikhailov, V.V. Sokolov, A.B.Shabat: The symmetry approach to classification of integrable equations, in "What is In-tegrability?"(V.E. Zakharov ed.), Springer series in Nonlinear Dynamics.

6. I.Kh. Ibragimov, A.B. Shabat "Infinite Lie-Backlund Algebras" Functional Anal. Appl. 14, pp. 313-315, 1980.

7. I.M. Gelfand, L.A. Dickii "Asymptotic properties of the resolvent of Sturm-Lioville equations, and the algebra of Korteweg de Vries equations. Russian Math. Surveys 30, pp. 77-113, 1975.

8. V.E. Zakharov, E.I. Schulman "Integrability of Nonlinear Systems and Perturbation Theory", in "What is Integrability?" (V.E. Zakharov ed.), Springer series in Nonlinear Dynamics

9. Jing Ping Wang "Symmetries and Conservation Laws of Evolution Equations", PhD thesis, published by Thomas Stieltjes Institute for Mathematics, Amsterdam, 1998.

10. J. Sanders, Jing Ping Wang "On the Integrability of homogeneous scalar evolution equations", J. Differential Equations 147, pp. 410-434, 1998.

11. P. Olver, Jing Ping Wang "Classification of integrable one-component systems on associative algebras", Proc. London Math. Soc. (3) 81, pp. 566-586, 2000.

12. F. Beukers, J. Sanders and Jing Ping Wang "On Integrability of Systems of Evolution Equations", J. Differential Equations 172, pp. 396-408, 2001.

13. П. Олвер, "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям", приложение "Каноническая серия законов сохранения "А. Б. Шабата

14. A.V. Mikhailov, R.I. Yamilov "Towards classification of (2+1)-dimensional integrable equations. Integrability conditions I.", J. Phys. A: Math. Gen 31 (1998), 6707-6715

15. R. Camassa, D. Holm, "An integrable shallow water equation with peaked solutions", Phys. Rev. Lett. 71, pp. 1661-1664, 1993.

16. A. Degasperis and M. Procesi "Asymptotic integrability", in Symmetry and Perturbation Theory, edited by A. Degasperis and G. Gaeta, World Scientific (1999) pp.23-37.

17. A. Degasperis, D.D. Holm and A.N.W. Hone, "A New Integrable Equation with Peakon Solutions", to appear in NEEDS 2001 Proceedings, Theoretical and Mathematical Physics (2002).

18. A.V. Mikhailov, V.S. Novikov "Perturbative Symmetry Approach", Journal of Physics A, vol. 22., 4775-4790.

19. A.V. Mikhailov, V.S. Novikov "Classification of Integrable Benjamin-Ono type equations", Phys. Lett., in press.

20. M. Ablowitz, Н. Segur "Solitons and the Inverse Scattering Transform", SIAM, Philadelphia, 1981.

21. P.M. Santini "Integrable Singular Integral Evolution Equations", im "Important Developments in Soliton Theory", A.S. Fokas, V.E. Zakharov (Eds.), Springer Series in Nonlinear Dynamics, Springer-Verlag, 1993.

22. V.S. Novikov, "Reflectionless potentials for the acoustic spectral problem", JETP Lett., vol. 72, No.3, 2000

23. B.C. Новиков, М.Ю. Куликов, "Об одной редукции одевающей цепочки оператора Шредингера", ТМФ, 123, 3, 2000

24. В.Л. Гинзбург Распространение электромагнитных волн в плазме, "Наука", 1967

25. Л.М. Бреховских Волны в слоистых средах, Издательство АН СССР, 1957.

26. А.Б. Шабат Динамика сплошной среды, 1970, т. 5,130

27. А.П. Веселое, А.Б. Шабат ФАН, 1993, 27, 1

28. Ф. Калодо/серо, А. Дегасперис Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений, "Мир", 1985.

29. В.А. Аркадьев, А.К. Погребков, М.К. Поливанов Сингулярные решения уравнения KdV и метод обратной задачи. Записки научного семинара ЛОМИ.

30. А.В. Shabat, Inverse Problems, 8(1992), 303-308.

31. В.Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Пигпаев-ский Теория солитонов. Метод обратной задачи, "Наука", 1980.

32. L.A. Dmitrieva, Phys.Lett., 182A,65 (1993)

33. L.A. Dmitrieva,J. Phys A: Math. Gen.,26 (1993),6005-6020.