Многочастичные системы и непертрубативная теория поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЩдаШЗДШКИ —

¿0 .. 1(

_ нашр^вах

1СИ,

_ __и

ГОРСКИИ Александр Сергеевич

МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ И НЕПЕРТУРБАТИВНАЯ ТЕОРИЯ

ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Оглавление

1 Введение 3

1.1 Модули и непертурбативные степени свободы..........................3

1.2 Содержание диссертации..................................................17

2 Коллективные координаты и амплитуды в теории поля 28

2.1 Распад вакуума в двумерии,индуцированный конечной плотностью 28

2.2 Многочастичные амплитуды в скалярной теории с нарушенной дискретной симметрией........................................................32

2.3 Пороговые амплитуды и интегрируемые системы......................41

3 Системы частиц и теория групп 48

3.1 Системы частиц и матричные модели....................................48

3.2 Специальные орбиты алгебры Вирасоро................................52

3.3 Специальные орбиты Вирасоро в теории Лиувилля....................54

3.4 Квазиточнорешаемые задачи и специальные орбиты Вирасоро ... 60

4 Многочастичные системы и калибровочные системы в двух и трех измерениях 63

4.1 Многочастичные системы Калоджеро и теория Янга- Миллса в двух измерениях..................................................................63

4.2 Системы Рюсенара и калиброванная G/G сигма модель..............69

4.3 Эллиптическая модель Калоджеро и калибровочные теории..........75

4.4 Дуальность в многочастичных системах................................78

5 Системы частиц и суперсимметричные калибровочные теории 83

5.1 Цепочка Тоды ..............................................................85

5.2 Теория с гипермультиплетом в присоединенном представлении и системы Калоджеро..........................................................89

5.3 Уравнения Уизема..........................................90

5.4 СКХД и XXX спиновые цепочки.....................................93

5.5 Произведение групп........................................................98

5.6 Твистованная неоднородная ХХ2 спиновая цепочка и 5(1 теории . . 100

5.7 6-мерные теории..............................104

5.8 Приложение.................................107

6 Браны как степени свободы при низких энергиях в суперсимметричных калибровочных теориях 113

6.1 Теории поля на мировой поверхности Б-браны ............113

6.2 Степени свободы многочастичных систем и браны..........116

6.3 Браны в 5-мерной теории.........................120

6.4 Уравнения движения в многочастичных системах и браны......124

6.5 Браны и два лаксовых представления..................127

6.6 Уиземовская динамика в терминах бран ................130

6.7 Случай нескольких масштабов А,-....................132

6.8 Аналогия с дискретной моделью Пайерлса...............134

7 Заключение 140

1 Введение

В диссертации обсуждаются вопросы, связанные с эффективным описанием систем, в которых тем или иным образом возникает пространство модулей или коллективных координат. Коллективные координаты появляются при рассмотрении многих задач и имеют существенно различное происхождение. Они могут описывать эффективные степени свободы, существенные в том или ином режиме в теориях поля, которые не являются полностью интегрируемыми. Режим может определяться кинематикой процесса, либо выбором специальных топологически нетривиальных данных. В ситуациях, когда имеется несколько коллективных степеней свободы, как правило, в теории имеется скрытая интегрируемость, происхождение которой связано с симметрийным характером пространства модулей. В диссертации развит подход, позволяющий единым образом описывать динамические системы на различных пространствах модулей калибровочных теорий в терминах функционального интеграла. Оказывается, что подход работает при описании эффективных действий в 4-мерных суперсимметричных калибровочных теориях, и позволяет ввести правильные степени свободы в вакуумном секторе теорий с сильным взаимодействием.

1.1 Модули и непертурбативные степени свободы

Описание области сильной связи остается одной из ключевых задач квантовой теории поля [1]. Так как методы теории возмущений в области сильной связи не работают, основная надежда состоит в обнаружении новых эффективных степеней свободы, в терминах которых можно будет развивать теорию возмущений по другим параметрам, отличным от константы связи в исходной теории. Наиболее ярким примером существования неэквивалентных теорий поля на разных масштабах энергии является квантовая хромодинамика (КХД). При высоких энергиях теория описывается в терминах кварков и глюонов, в то время, как при низких энер-

гиях применим киральный лагранжиан, определяющий эффективное низкоэнергетическое действие . Степенями свободы в киральном лагранжиане являются поля бесцветных мезонов и барионов, а параметры низкоэнергетического действия не могут быть определены из общих принципов и фиксируются феноменологически

й-

Общая структура низкоэнергетических действий определяется принципами симметрии. Ожидается, что эффективные действия наследуют полный набор тождеств Уорда из исходной теории поля. Часть тождеств Уорда аномальна, однако хорошо известно, что аномалии, будучи связанными с явлением пересечения уровней, не перенормируются и допускают эквивалентное описание в инфракрасных и ультрафиолетовых терминах [3]. В силу этого обстоятельства, выполнение аномальных тождеств Уорда также накладывается в качестве требования к эффективной теории. В частности, аномальные тождества Уорда, связанные с кираль-ной симметрией, фиксируют лагранжиан мезонов, а тождества Уорда для конформной симметрии - дилатонный эффективный лагранжиан в обычной и N ~ 1 суперсимметричной КХД [4, 5].

Одной из особенностей эффективных действий является их универсальность, то есть несколько различных ультрафиолетовых теорий могут приводить к одинаковым теориям в инфракрасной области. Причиной подобной универсальности является жесткость конструкции эффективных действий, фиксируемых симметриями задачи. Более того, симметрия эффективных действий может оказаться выше симметрий исходных ультрафиолетовых теорий. Симметрийный характер эффективных действий приводит к ряду нетривиальных следствий. Пожалуй, наиболее существенным проявлением этих свойств является связь с теорией интегрируемых систем. Как правило, статистическая сумма, вычисленная в эффективной теории, оказывается так называемой т-функцией некоторой интегрируемой системы. Последняя является производящей функцией для законов сохранения в интегрируемой системе и, одновременно, производящей функцией для корреляторов в теории

ПОЛЯ [6].

Идентификация переменных в интегрируемой системе, описывающей эффективное действие, представляет собой нетривиальную задачу. На настоящий момент инвариантный способ введения переменных в теориях, которые не являются топологическими, отсутствует, однако имеется ряд примеров в двумерных теориях, где в качестве переменных интегрируемых систем выступают амплитуды перехода между различными вакуумами теории, индуцированные непертурбатив-ными конфигурациями. Роль "пространственно-временных переменных" интегрируемых систем играют константы связи и источники в теории поля. Примеры систем, связанных с иерархиями двумеризованной цепочки Тоды и Кортевега-де-Фриза(КдФ), могут быть получены в двумерных сг моделях [7] и двумерной теории гравитации [8, 9, 10, 11, 12]. Отдельно стоит задача выбора конкретных решений нелинейных уравнений в интегрируемой динамике, однако проблема решается, если учесть набор тождеств Уорда, наложенных на теорию [13].

Несмотря на возможность фиксации общей структуры эффективных действий из симметрийных соображений, представляет интерес их непосредственное вычисление интегрированием по тяжелым модам в исходной теории поля [14]. Предполагается введение некоторого масштаба энергий, выше которого все моды суммируются. Непосредственное интегрирование ведется по пертурбативным и не-пертурбативным флуктуациям, причем суммирование по пертурбативным модам предполагает вычисление диаграмм Фейнмана, для которых введенный масштаб энергии служит обрезанием. В теориях разных размерностей имеются непертур-бативные конфигурации, которые также необходимо отсуммировать, предполагая, что их характерные размеры ограничены на некотором масштабе. Непертур-бативными флуктуациями, существенными в разных размерностях, являются ин-стантоны в 4-мерной теории поля, монополи, вихри и солитоны разных коразмерностей в теории струн.

Ключевым обстоятельством, в значительной степени определяющим описание

непертурбативных эффектов, является наличие коллективных координат решений или модулей. Происхождение модулей тесно связано с наличием в исходной теории повышенной симметрии, поэтому пространство модулей само по себе обладает нетривиальными симметрийными свойствами. Простейшим примером может служить пространство модулей инстантонов, размерность которого задается симме-триями пространства времени - трансляциями и поворотами, а также калибровочными симметриями [15, 16]. Другими, наиболее интересными пространствами модулей являются пространства модулей комплексных структур римановых поверхностей, модули плоских связностей на фиксированной двумерной поверхности, модули голоморфных векторных расслоений на поверхностях. Каждое из них возникает при описании тех или иных непертурбативных конфигураций и может быть получено процедурой редукции из пространства модулей инстантонов. В силу этого обстоятельства, универсальное пространство модулей произвольного числа инстантонов является наиболее общим объектом, возникающим при описании теорий поля в размерности не выше четырех.

Интегрирование по пространству модулей, неизбежно возникающее при непосредственном получении эффективных действий, приводит к появлению интегрируемых систем и с другой точки зрения. Дело в том, что фазовое пространство интегрируемых систем всегда совпадает с теля или иным пространством модулей или кокасательным расслоением к пространству модулей. В качестве примеров, можно упомянуть иерархию КдФ, связанную с пространством модулей комплексных структур или двумеризованную цепочку Тоды, связанную с модулями плоских связностей. В частности, лагранжиан Черна-Саймонса, определенный на некоторой поверхности, имеет в качестве фазового пространства пространство модулей плоских связностей на этой поверхности [17, 18], а в качестве гамильтонианов могут быть выбраны любые калибровочно инвариантные наблюдаемые. В терминах интегрируемых систем задача о вычислении вклада непертурбативных флуктуа-ций в эффективное действие сводится к вычислению средних от некоторых на-

блюдаемых в интегрируемых системах на пространстве модулей [18, 19].

Приведенные выше общие аргументы непосредственно реализуются в двух существенно разных ситуациях. В первом случае речь идет о выделении некоторого сектора теории, в котором могут быть получены точные результаты, а описание всей теории в терминах конечного числа эффективных координат невозможно. Проиллюстрируем данный класс задач на нескольких примерах.

В качестве первого примера рассмотрим задачу о несохранении барионного заряда в стандартной модели [20]. Как известно, процесс нарушающий сохранение барионного числа может быть интерпретирован как туннельный переход в эффективном потенциале по коллективной координате - числу Черна

где А - неабелево калибровочное поле. Точно получить выражение для эффективного потенциала из первых принципов не удается, однако можно сделать модельно независимые утверждения, что он периодичен, а высота горба потенциала однозначно фиксируется массой сфалерона - конфигурации с нецелым топологическим зарядом, отвечающей нестабильной точке равновесия потенциала. Масштаб энергии фиксируется величиной вакуумного среднего скалярного поля в теории.

Существенно, что можно рассматривать амплитуду несохранения с учетом нетривиальных внешних факторов - плотности [21] ,температуры [22] или энергии сталкивающихся частиц [23, 24]. Если характерный масштаб энергии, определяемый внешним фактором, много меньше энергии сфалерона, то квазиклассический анализ остается справедливым и имеется экспоненциальное подавление, которое можно вычислять в приближении коллективной координаты. Однако, при близости энергии внешнего воздействия к энергии сфалерона, приближение перестает работать и требуется полный учет вклада теории возмущений и инстантон-ан-тиинстантонных конфигураций. Ни один из известных подходов не позволяет довести до конца это вычисление, однако имеется много аргументов, что экспоненциальное подавление остается при любых энергиях [26, 27, 25]. Отметим, что

(1.1)

в дальнейшем, в суперсимметричном случае, мы столкнемся с похожей картиной, где приближение конечного числа коллективных координат будет работать при всех энергиях.

В качестве второго примера рассмотрим задачу о распаде ложного вакуума в скалярной теории с потенциалом

У(ф) = (ф2 - а2)2 + еф. (1.2)

Вакуум в теории является нестабильным и распадается в результате фазового перехода первого рода с образованием зародыша истинного вакуума [28, 29]. Вновь задача допускает введение коллективной координаты - радиуса пузыря, причем геометрические соображения в этом случае позволяют получить явное выражение для эффективного потенциала по коллективной координате. Динамика пузыря может быть точно проинтегрирована, после чего находится экспоненциально подавленная амплитуда. Как и в предыдущем примере, можно рассмотреть индуцированный процесс [30], который может быть описан в том же приближении при небольших внешних энергиях, и перестает работать при энергиях, сравнимых с высотой горба потенциала.

Скрытая интегрируемость, то есть наличие конечного числа коллективных координат, может быть обнаружена и в процессах рассеяния. Наиболее ярким примером такого рода является описание амплитуд при высокой энергии в КХД в реджевском режиме. Было показано [31, 32, 33, 34, 35], что для описания амплитуд в терминах обмена конечным числом реджеонов можно рассмотреть голоморфную гамильтонову систему - магнетик на конечном числе узлов с нулевым спином в каждом узле. Коллективными степенями свободы в данном случае являются реджеоны, причем волновые функции эффективной многочастичной системы совпадают с голоморфной частью амплитуды рассеяния, а спектр гамильтоновой системы определяет интерсепт померонных траекторий .

Наконец в качестве последнего примера скрытой интегрируемости в теориях, которые не допускают точного решения, рассмотрим пороговые амплитуды в раз-

личных теориях поля. Имеются в виду амплитуды процессов, в которых часть состояний (или все состояния) находятся на пороге. Было обнаружено, что для данного класса процессов возникает целое семейство амплитуд, которые зануля-ются по причинам, не имеющим очевидного объяснения [36]. В дальнейшем возникла гипотеза, что в пороговой кинематике имеются дополнительные законы сохранения - то есть скрытая интегрируемость. Первый пример с нетривиальным законом сохранения был рассмотрен в [37]. Коллективными степенями свободы в данном случае являются нулевые гармоники полей.

Другой класс теорий, связанных с пространством коллективных координат, носит название топологических теории поля. Они были введены в квантовую теорию поля Виттеном [38] с целью выделения инвариантов вакуумных многообразий теорий поля. Первые примеры топологических теорий были построены для а моделей и 4-мерных калибровочных теорий, причем в первом случае топологические теории генерировали инварианты голоморфных отображений, а в 4-мерном случае они определяли инварианты пространства модулей инстантонов [39]. На настоящий момент существует достаточно много примеров топологических теорий в разных размерностях, например, топологические а модели в двумерии,теории Черна-Саймонса в трех измерениях и топологические лагранжианы в 4-х мерии.

Во всех случаях топологические теории могут быть получены процедурой тви-стования нетопологических теорий с высокой, как правило N — 2, суперсиммме-трией. Процедура твистования эквивалентна введению в теорию дополнительного фонового поля, меняющего свойства фермионных полей. Она может быть явно проделана в моделях типа Ландау-Гинзбурга [40, 41, 42], а также в N = 2 суперсимметричных калибровочных теориях . Статистическая сумма в топологических теориях является некоторым инвариантом соответствующего пространства модулей. В ряде примеров в теориях поля существуют топологические сектора, которые связаны только с вакуумными состояниями. Наиболее ярким примером является N = 1 теория, где оказывается возможным вычислить точную пертурбативную ¡3

функцию [43] и некоторые корреляторы [44]. На топологичность низкоэнергетического действия в IV = 2 указывает наличие уравнений, аналогичных уравнениям в топологи